Ce este sinus alfa? Sinus, cosinus, tangentă, cotangentă a unui unghi ascuțit. Funcții trigonometrice

Acasă Curs:

Sinus, cosinus, tangentă, cotangentă a unui unghi arbitrar

Sinus, cosinus al unui unghi arbitrar Pentru a înțelege ce sunt funcțiile trigonometrice, să ne uităm la un cerc cu raza unitară. Acest cerc are un centru la origine pe plan de coordonate . Pentru a determina funcții specificate vom folosi vectorul rază SAU , care începe din centrul cercului și punctul R este un punct pe cerc. Acest vector rază formează un unghi alfa cu axa OH . Deoarece cercul are o rază egală cu unu, atunci.

SAU = R = 1 , care începe din centrul cercului și punctul Dacă din punct de vedere este un punct pe cerc. Acest vector rază formează un unghi alfa cu axa coboara perpendiculara pe axa , apoi primim triunghi dreptunghic

cu o ipotenuză egală cu unu. Dacă vectorul rază se mișcă în sensul acelor de ceasornic, atunci această direcție se numește negativ , dacă se mișcă în sens invers acelor de ceasornic -.

pozitiv Sinusul unghiului SAU , este ordonata punctului R

vector pe un cerc. Adică, pentru a obține valoarea sinusului unui unghi alfa dat, este necesar să se determine coordonatele U

într-un avion. Cum valoare dată

a fost primit? Deoarece știm că sinusul unui unghi arbitrar dintr-un triunghi dreptunghic este raportul dintre latura opusă ipotenuzei, obținem că Și de când R=1 , Asta 0 .

sin(α) = y

Într-un cerc unitar, valoarea ordonatei nu poate fi mai mică de -1 și mai mare de 1, ceea ce înseamnă Sinusul acceptă valoare pozitivă

în primul și al doilea sferturi ale cercului unității, iar în al treilea și al patrulea - negativ. Cosinusul unghiului Sinusul unghiului cerc dat format din vectorul rază , este ordonata punctului R

, este abscisa punctului Adică, pentru a obține valoarea cosinusului unui unghi alfa dat, este necesar să se determine coordonatele U

X

a fost primit? Deoarece știm că sinusul unui unghi arbitrar dintr-un triunghi dreptunghic este raportul dintre latura opusă ipotenuzei, obținem că Și de când R=1 Cosinusul unui unghi arbitrar dintr-un triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul adiacent și ipotenuză, obținem că 0 .

cos(α) = x

În cercul unitar, valoarea abscisei nu poate fi mai mică de -1 și mai mare de 1, ceea ce înseamnă

Cosinusul ia o valoare pozitivă în primul și al patrulea sferturi ale cercului unitar și negativă în al doilea și al treilea.Tangentă unghi arbitrar

Se calculează raportul dintre sinus și cosinus. Dacă luăm în considerare un triunghi dreptunghic, atunci acesta este raportul dintre latura opusă și latura adiacentă. Dacă despre care vorbim

Judecând după aceste relații, se poate înțelege că tangenta nu poate exista dacă valoarea abscisei este zero, adică la un unghi de 90 de grade. Tangenta poate lua toate celelalte valori.

Tangenta este pozitivă în primul și al treilea sferturi ale cercului unitar și negativă în al doilea și al patrulea.

Ceea ce este sinusul, cosinusul, tangenta, cotangenta unui unghi vă va ajuta să înțelegeți un triunghi dreptunghic.

Cum se numesc laturile unui triunghi dreptunghic? Așa este, ipotenuză și catete: ipotenuza este latura care se află opusă unghiului drept (în exemplul nostru aceasta este latura \(AC\)); picioarele sunt cele două laturi rămase \(AB\) și \(BC\) (cele adiacente unghi drept), și, dacă luăm în considerare catetele relativ la unghiul \(BC\), atunci cateta \(AB\) este cateta adiacentă, iar cateta \(BC\) este opusul. Deci, acum să răspundem la întrebarea: ce sunt sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi?

Sinusul unghiului– acesta este raportul dintre catetul opus (distant) și ipotenuză.

În triunghiul nostru:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

Cosinusul unghiului– acesta este raportul dintre catetul adiacent (aproape) și ipotenuză.

În triunghiul nostru:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

Tangenta unghiului– acesta este raportul dintre latura opusă (depărtată) și cea adiacentă (închisă).

În triunghiul nostru:

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

Cotangenta unghiului– acesta este raportul dintre piciorul adiacent (aproape) și cel opus (departe).

În triunghiul nostru:

\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

Aceste definiții sunt necesare amintește-ți! Pentru a vă aminti mai ușor ce picior să împărțiți în ce, trebuie să înțelegeți clar acest lucru tangentăŞi cotangentă doar picioarele stau, iar ipotenuza apare doar in sinusurilorŞi cosinus. Și apoi poți veni cu un lanț de asociații. De exemplu, acesta:

Cosinus→ating→ating→adiacent;

Cotangent → atinge → atinge → adiacent.

În primul rând, trebuie să vă amintiți că sinus, cosinus, tangentă și cotangentă, deoarece rapoartele laturilor unui triunghi nu depind de lungimile acestor laturi (la același unghi). Nu mă crezi? Apoi asigurați-vă că uitându-vă la imagine:

Luați în considerare, de exemplu, cosinusul unghiului \(\beta \) . Prin definiție, dintr-un triunghi \(ABC\): \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), dar putem calcula cosinusul unghiului \(\beta \) din triunghiul \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Vedeți, lungimile laturilor sunt diferite, dar valoarea cosinusului unui unghi este aceeași. Astfel, valorile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei depind numai de mărimea unghiului.

Dacă înțelegi definițiile, atunci continuă și consolidează-le!

Pentru triunghiul \(ABC \) prezentat în figura de mai jos, găsim \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0,8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0,6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0,75\end(array) \)

Ei bine, ai primit-o? Apoi încercați singur: calculați același lucru pentru unghiul \(\beta \) .

Raspunsuri: \(\sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

Cercul unitar (trigonometric).

Înțelegând conceptele de grade și radiani, am considerat un cerc cu o rază egală cu \(1\) . Un astfel de cerc se numește singur. Va fi foarte util atunci când studiezi trigonometria. Prin urmare, să ne uităm la asta mai detaliat.

După cum puteți vedea, acest cerc este construit în sistemul de coordonate carteziene. Raza cercului este egală cu unu, în timp ce centrul cercului se află la originea coordonatelor, poziția inițială a vectorului rază este fixată de-a lungul direcției pozitive a axei \(x\) (în exemplul nostru, acest este raza \(AB\)).

Fiecare punct de pe cerc corespunde a două numere: coordonatele de-a lungul axei \(x\) și coordonatele de-a lungul axei \(y\). Care sunt aceste numere de coordonate? Și, în general, ce legătură au ei cu subiectul la îndemână? Pentru a face acest lucru, trebuie să ne amintim despre triunghiul dreptunghic considerat. În figura de mai sus, puteți vedea două triunghiuri dreptunghiulare întregi. Se consideră triunghiul \(ACG\) . Este dreptunghiular deoarece \(CG\) este perpendicular pe axa \(x\).

Ce este \(\cos \ \alpha \) din triunghi \(ACG \)? Asta e corect \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). În plus, știm că \(AC\) este raza cercului unitar, ceea ce înseamnă \(AC=1\) . Să înlocuim această valoare în formula noastră pentru cosinus. Iată ce se întâmplă:

\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

Cu ce ​​este egal cu \(\sin \ \alpha \) din triunghiul \(ACG \)? Ei bine, desigur \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)! Înlocuiți valoarea razei \(AC\) în această formulă și obțineți:

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

Deci, puteți spune ce coordonate are punctul \(C\) aparținând cercului? Ei bine, în nici un caz? Ce se întâmplă dacă îți dai seama că \(\cos \ \alpha \) și \(\sin \alpha \) sunt doar numere? Cu ce ​​coordonată corespunde \(\cos \alpha \)? Ei bine, desigur, coordonata \(x\)! Și cărei coordonate corespunde \(\sin \alpha \)? Așa e, coordonată \(y\)! Deci ideea \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).

Atunci cu ce sunt \(tg \alpha \) și \(ctg \alpha \) egale? Așa este, să folosim definițiile corespunzătoare ale tangentei și cotangentei și să obținem asta \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), A \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

Ce se întâmplă dacă unghiul este mai mare? De exemplu, ca în această imagine:

Ce s-a schimbat în acest exemplu? Să ne dăm seama. Pentru a face acest lucru, să ne întoarcem din nou la un triunghi dreptunghic. Considerăm un triunghi dreptunghic \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : unghi (ca adiacent unghiului \(\beta \) ). Care este valoarea sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei pentru un unghi \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? Așa este, aderăm la definițiile corespunzătoare ale funcțiilor trigonometrice:

\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac((((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\angle ((C) )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1) ))G)=\dfrac(x)(y)\end(matrice) \)

Ei bine, după cum puteți vedea, valoarea sinusului unghiului corespunde în continuare coordonatei \(y\) ; valoarea cosinusului unghiului – coordonata \(x\) ; și valorile tangentei și cotangentei la rapoartele corespunzătoare. Astfel, aceste relații se aplică oricărei rotații a vectorului rază.

S-a menționat deja că poziția inițială a vectorului rază este de-a lungul direcției pozitive a axei \(x\). Până acum am rotit acest vector în sens invers acelor de ceasornic, dar ce se întâmplă dacă îl rotim în sensul acelor de ceasornic? Nimic extraordinar, vei obține și un unghi de o anumită valoare, dar doar acesta va fi negativ. Astfel, la rotirea vectorului rază în sens invers acelor de ceasornic, obținem unghiuri pozitive, iar când se rotește în sensul acelor de ceasornic – negativ.

Deci, știm că întreaga revoluție a vectorului rază în jurul cercului este \(360()^\circ \) sau \(2\pi \) . Este posibil să rotiți vectorul rază cu \(390()^\circ \) sau cu \(-1140()^\circ \)? Ei bine, bineînțeles că poți! În primul caz, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), astfel, vectorul rază va face o revoluție completă și se va opri în poziția \(30()^\circ \) sau \(\dfrac(\pi )(6) \) .

În al doilea caz, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), adică vectorul rază va face trei ture complete și se va opri în poziția \(-60()^\circ \) sau \(-\dfrac(\pi )(3) \) .

Astfel, din exemplele de mai sus putem concluziona că unghiurile care diferă cu \(360()^\circ \cdot m \) sau \(2\pi \cdot m \) (unde \(m \) este orice număr întreg ), corespund aceleiași poziții a vectorului rază.

Figura de mai jos arată unghiul \(\beta =-60()^\circ \) . Aceeași imagine corespunde colțului \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) etc. Această listă poate fi continuată pe termen nelimitat. Toate aceste unghiuri pot fi scrise prin formula generală \(\beta +360()^\circ \cdot m\) sau \(\beta +2\pi \cdot m \) (unde \(m \) este orice număr întreg)

\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(array) \)

Acum, cunoscând definițiile funcțiilor trigonometrice de bază și folosind cercul unitar, încercați să răspundeți care sunt valorile:

\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(array) \)

Iată un cerc de unitate care vă va ajuta:

Aveți dificultăți? Atunci hai să ne dăm seama. Deci știm că:

\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x); )(y).\end(matrice)\)

De aici, determinăm coordonatele punctelor corespunzătoare anumitor măsuri de unghi. Ei bine, să începem în ordine: colțul înăuntru \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) corespunde unui punct cu coordonatele \(\left(0;1 \right) \) , prin urmare:

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- nu există;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

Mai departe, aderând la aceeași logică, aflăm că colțurile în \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) corespund punctelor cu coordonate \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \dreapta) \), respectiv. Știind acest lucru, este ușor să determinați valorile funcțiilor trigonometrice în punctele corespunzătoare. Încercați mai întâi singur, apoi verificați răspunsurile.

Raspunsuri:

\(\displaystyle \sin \180()^\circ =\sin \\pi =0\)

\(\displaystyle \cos \180()^\circ =\cos \\pi =-1\)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- nu există

\(\sin \270()^\circ =-1\)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- nu există

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin \360()^\circ =0\)

\(\cos \360()^\circ =1\)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- nu există

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- nu există

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

Astfel, putem realiza următorul tabel:

Nu este nevoie să ne amintim toate aceste valori. Este suficient să ne amintim corespondența dintre coordonatele punctelor de pe cercul unității și valorile funcțiilor trigonometrice:

\(\left. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(Trebuie să vă amintiți sau să îl puteți scoate!! \) !}

Dar valorile funcțiilor trigonometrice ale unghiurilor în și \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\) prezentate în tabelul de mai jos, trebuie să vă amintiți:

Nu vă speriați, acum vă vom arăta un exemplu de memorare destul de simplă a valorilor corespunzătoare:

Pentru a utiliza această metodă, este vital să vă amintiți valorile sinusului pentru toate cele trei măsuri de unghi ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\)), precum și valoarea tangentei unghiului în \(30()^\circ \) . Cunoscând aceste valori \(4\), este destul de simplu să restabiliți întregul tabel - valorile cosinusului sunt transferate în conformitate cu săgețile, adică:

\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3) ))(2)\ \end(matrice) \)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \)știind acest lucru, puteți restabili valorile pentru \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Numătorul „\(1 \)” va corespunde cu \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \), iar numitorul „\(\sqrt(\text(3)) \)” va corespunde \(\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . Valorile cotangentelor sunt transferate în conformitate cu săgețile indicate în figură. Dacă înțelegeți acest lucru și vă amintiți diagrama cu săgeți, atunci va fi suficient să vă amintiți numai valorile \(4\) din tabel.

Coordonatele unui punct pe un cerc

Este posibil să găsim un punct (coordonatele lui) pe un cerc, cunoscând coordonatele centrului cercului, raza și unghiul de rotație al acestuia? Ei bine, bineînțeles că poți! Să derivăm o formulă generală pentru a găsi coordonatele unui punct. De exemplu, iată un cerc în fața noastră:

Ni se dă acest punct \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- centrul cercului. Raza cercului este \(1,5\) . Este necesar să se găsească coordonatele punctului \(P\) obținute prin rotirea punctului \(O\) cu \(\delta \) grade.

După cum se poate observa din figură, coordonata \(x\) a punctului \(P\) corespunde lungimii segmentului \(TP=UQ=UK+KQ\) . Lungimea segmentului \(UK\) corespunde coordonatei \(x\) a centrului cercului, adică este egală cu \(3\) . Lungimea segmentului \(KQ\) poate fi exprimată folosind definiția cosinusului:

\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \\delta \).

Atunci avem că pentru punctul \(P\) coordonata \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1.5\cdot \cos \ \delta \).

Folosind aceeași logică, găsim valoarea coordonatei y pentru punctul \(P\) . Astfel,

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1.5\cdot \sin \delta \).

Deci, în vedere generală coordonatele punctelor sunt determinate de formulele:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(matrice) \), Unde

\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - coordonatele centrului cercului,

\(r\) - raza cercului,

\(\delta \) - unghiul de rotație al razei vectoriale.

După cum puteți vedea, pentru cercul unitar pe care îl luăm în considerare, aceste formule sunt reduse semnificativ, deoarece coordonatele centrului sunt egale cu zero și raza este egală cu unu:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(array) \)

Javascript este dezactivat în browserul dvs.
Pentru a efectua calcule, trebuie să activați controalele ActiveX!

Date de referință pentru tangentă (tg x) și cotangentă (ctg x). Definiție geometrică, proprietăți, grafice, formule. Tabel de tangente și cotangente, derivate, integrale, expansiuni în serie. Expresii prin variabile complexe. Legătura cu funcțiile hiperbolice.

Definiție geometrică

|BD|
- lungimea arcului de cerc cu centrul în punctul A.

α este unghiul exprimat în radiani. Tangenta () tan α

este o funcție trigonometrică în funcție de unghiul α dintre ipotenuză și catetul unui triunghi dreptunghic, egal cu raportul dintre lungimea catetului opus |BC| la lungimea piciorului adiacent |AB| .) Cotangent (

ctg α

este o funcție trigonometrică în funcție de unghiul α dintre ipotenuză și catetul unui triunghi dreptunghic, egal cu raportul dintre lungimea catetei adiacente |AB| la lungimea piciorului opus |BC| . Tangentă

Unde
.
;
;
.

n

- întreg.

este o funcție trigonometrică în funcție de unghiul α dintre ipotenuză și catetul unui triunghi dreptunghic, egal cu raportul dintre lungimea catetei adiacente |AB| la lungimea piciorului opus |BC| . Tangentă

În literatura occidentală, tangenta se notează după cum urmează:
.
Graficul funcției tangente, y = tan x
;
;
.

Cotangentă

În literatura occidentală, cotangenta este desemnată după cum urmează:

De asemenea, sunt acceptate următoarele notații:

Graficul funcției cotangente, y = ctg x Proprietățile tangentei și cotangentei Periodicitate Funcțiile y = tg x

și y =

ctg x

sunt periodice cu perioada π.

Paritate la lungimea piciorului opus |BC| . Funcțiile tangentă și cotangentă sunt impare.

	Domenii de definire și valori, în creștere, în scădere Proprietățile tangentei și cotangentei	Domenii de definire și valori, în creștere, în scădere Funcțiile y =
Funcțiile tangentă și cotangentă sunt continue în domeniul lor de definire (vezi dovada continuității). Principalele proprietăți ale tangentei și cotangentei sunt prezentate în tabel (
- întreg).	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
y =		-
Domeniul de aplicare și continuitatea	-
Gama de valori	-	-
Cresterea 0
Descendent 0	Domenii de definire și valori, în creștere, în scădere 0	-

Extreme

Zerouri, y =

; ;
; ;
;

Interceptarea punctelor cu axa ordonatelor, x =

Formule

Expresii folosind sinus și cosinus

Formule pentru tangentă și cotangentă din sumă și diferență

Formulele rămase sunt ușor de obținut, de exemplu

Produsul tangentelor

Formula pentru suma și diferența tangentelor

;
;

Acest tabel prezintă valorile tangentelor și cotangentelor pentru anumite valori ale argumentului.

; .

.
Expresii folosind numere complexe
.
Expresii prin funcții hiperbolice

Derivate

Derivată de ordinul n-a față de variabila x a funcției:

Derivarea formulelor pentru tangentă > > > ; pentru cotangent >>> IntegraleŞi Extinderi de serie Pentru a obține expansiunea tangentei în puterile lui x, trebuie să luați mai mulți termeni ai expansiunii într-o serie de puteri pentru funcții

sin x

cos x
și împărțiți aceste polinoame între ele, . Aceasta produce următoarele formule. La .
;
;
la .
Unde

Funcții inverse

Funcțiile inverse ale tangentei și cotangentei sunt arctangente și, respectiv, arccotangente.

Arctangent, arctg

, Unde la lungimea piciorului opus |BC| . Tangentă

Arccotangent, arcctg

, Unde la lungimea piciorului opus |BC| . Tangentă

Literatura folosita:
ÎN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matematică pentru ingineri și studenți, „Lan”, 2009.
G. Korn, Manual de matematică pentru oameni de știință și ingineri, 2012.

Conceptele de sinus (), cosinus (), tangentă (), cotangentă () sunt indisolubil legate de conceptul de unghi. Pentru a înțelege bine aceste concepte, la prima vedere, complexe (care provoacă o stare de groază la mulți școlari) și pentru a ne asigura că „diavolul nu este atât de groaznic pe cât este pictat”, să începem de la de la început și înțelegeți conceptul de unghi.

Conceptul de unghi: radian, grad

Să ne uităm la poză. Vectorul s-a „întors” față de punct cu o anumită cantitate. Deci măsura acestei rotații în raport cu poziția inițială va fi colţ.

Ce altceva trebuie să știți despre conceptul de unghi? Ei bine, unități unghiulare, desigur!

Unghiul, atât în ​​geometrie, cât și în trigonometrie, poate fi măsurat în grade și radiani.

Se numește un unghi de (un grad). unghiul centralîntr-un cerc, bazat pe un arc de cerc egal cu o parte a cercului. Astfel, întregul cerc este format din „bucăți” de arce circulare, sau unghiul descris de cerc este egal.

Adică, figura de mai sus arată un unghi egal cu, adică acest unghi se sprijină pe un arc circular de mărimea circumferinței.

Un unghi în radiani este unghiul central dintr-un cerc subtins de un arc de cerc a cărui lungime este egală cu raza cercului. Ei bine, te-ai dat seama? Dacă nu, atunci hai să ne dăm seama din desen.

Deci, figura arată un unghi egal cu un radian, adică acest unghi se sprijină pe un arc de cerc, a cărui lungime este egală cu raza cercului (lungimea este egală cu lungimea sau raza egal cu lungimea arcuri). Astfel, lungimea arcului se calculează cu formula:

Unde este unghiul central în radiani.

Ei bine, știind asta, poți să răspunzi câți radiani sunt conținute în unghiul descris de cerc? Da, pentru aceasta trebuie să vă amintiți formula pentru circumferință. Iată-l:

Ei bine, acum să corelăm aceste două formule și să aflăm că unghiul descris de cerc este egal. Adică, prin corelarea valorii în grade și radiani, obținem asta. Respectiv, . După cum puteți vedea, spre deosebire de „grade”, cuvântul „radian” este omis, deoarece unitatea de măsură este de obicei clară din context.

Câți radiani sunt? Asta e corect!

Am înţeles? Apoi mergeți mai departe și remediați:

Aveți dificultăți? Atunci uite răspunsuri:

Triunghi dreptunghic: sinus, cosinus, tangenta, cotangenta unghiului

Deci, ne-am dat seama conceptul de unghi. Dar ce este sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi? Să ne dăm seama. Pentru a face acest lucru, ne va ajuta un triunghi dreptunghic.

Cum se numesc laturile unui triunghi dreptunghic? Așa este, ipotenuză și catete: ipotenuza este latura care se află opusă unghiului drept (în exemplul nostru aceasta este latura); picioarele sunt cele două laturi rămase și (cele adiacente unghiului drept), iar dacă luăm în considerare picioarele relativ la unghi, atunci piciorul este piciorul adiacent, iar piciorul este opusul. Deci, acum să răspundem la întrebarea: ce sunt sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi?

Sinusul unghiului- acesta este raportul dintre catetul opus (distant) față de ipotenuză.

În triunghiul nostru.

Cosinusul unghiului- acesta este raportul dintre catetul adiacent (aproape) și ipotenuză.

În triunghiul nostru.

Tangenta unghiului- acesta este raportul dintre latura opusă (depărtată) și cea adiacentă (închisă).

În triunghiul nostru.

Cotangenta unghiului- acesta este raportul dintre piciorul adiacent (aproape) și cel opus (departe).

În triunghiul nostru.

Aceste definiții sunt necesare amintește-ți! Pentru a vă aminti mai ușor ce picior să împărțiți în ce, trebuie să înțelegeți clar acest lucru tangentăŞi cotangentă doar picioarele stau, iar ipotenuza apare doar in sinusurilorŞi cosinus. Și apoi poți veni cu un lanț de asociații. De exemplu, acesta:

Cosinus→ating→ating→adiacent;

Cotangent → atinge → atinge → adiacent.

În primul rând, trebuie să vă amintiți că sinus, cosinus, tangentă și cotangentă, deoarece rapoartele laturilor unui triunghi nu depind de lungimile acestor laturi (la același unghi). Nu mă crezi? Apoi asigurați-vă că uitându-vă la imagine:

Luați în considerare, de exemplu, cosinusul unui unghi. Prin definiție, dintr-un triunghi: , dar putem calcula cosinusul unui unghi dintr-un triunghi: . Vedeți, lungimile laturilor sunt diferite, dar valoarea cosinusului unui unghi este aceeași. Astfel, valorile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei depind numai de mărimea unghiului.

Dacă înțelegi definițiile, atunci continuă și consolidează-le!

Pentru triunghiul prezentat în figura de mai jos, găsim.

Ei bine, ai primit-o? Apoi încercați singur: calculați același lucru pentru unghi.

Cercul unitar (trigonometric).

Înțelegând conceptele de grade și radiani, am considerat un cerc cu o rază egală cu. Un astfel de cerc se numește singur. Va fi foarte util atunci când studiezi trigonometria. Prin urmare, să ne uităm la asta mai detaliat.

După cum puteți vedea, acest cerc este construit în sistemul de coordonate carteziene. Raza cercului este egală cu unu, în timp ce centrul cercului se află la originea coordonatelor, poziția inițială a vectorului rază este fixată de-a lungul direcției pozitive a axei (în exemplul nostru, aceasta este raza).

Fiecare punct de pe cerc îi corespunde două numere: coordonatele axei și coordonatele axei. Care sunt aceste numere de coordonate? Și, în general, ce legătură au ei cu subiectul la îndemână? Pentru a face acest lucru, trebuie să ne amintim despre triunghiul dreptunghic considerat. În figura de mai sus, puteți vedea două triunghiuri dreptunghiulare întregi. Luați în considerare un triunghi. Este dreptunghiular deoarece este perpendicular pe axa.

Cu ce ​​este egal triunghiul? Asta e corect. În plus, știm că este raza cercului unitar, ceea ce înseamnă . Să înlocuim această valoare în formula noastră pentru cosinus. Iată ce se întâmplă:

Cu ce ​​este egal triunghiul? Ei bine desigur! Înlocuiți valoarea razei în această formulă și obțineți:

Deci, poți spune ce coordonate are un punct aparținând unui cerc? Ei bine, în nici un caz? Ce se întâmplă dacă îți dai seama de asta și sunt doar numere? Cărei coordonate corespunde? Ei bine, desigur, coordonatele! Si la ce coordonata corespunde? Așa e, coordonate! Astfel, punct.

Atunci ce sunt și egal cu? Așa este, să folosim definițiile corespunzătoare ale tangentei și cotangentei și să obținem asta, a.

Ce se întâmplă dacă unghiul este mai mare? De exemplu, ca în această imagine:

Ce s-a schimbat în acest exemplu? Să ne dăm seama. Pentru a face acest lucru, să ne întoarcem din nou la un triunghi dreptunghic. Luați în considerare un triunghi dreptunghic: unghi (ca adiacent unui unghi). Care sunt valorile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei pentru un unghi? Așa este, aderăm la definițiile corespunzătoare ale funcțiilor trigonometrice:

Ei bine, după cum puteți vedea, valoarea sinusului unghiului corespunde în continuare coordonatei; valoarea cosinusului unghiului - coordonata; și valorile tangentei și cotangentei la rapoartele corespunzătoare. Astfel, aceste relații se aplică oricărei rotații a vectorului rază.

S-a menționat deja că poziția inițială a vectorului rază este de-a lungul direcției pozitive a axei. Până acum am rotit acest vector în sens invers acelor de ceasornic, dar ce se întâmplă dacă îl rotim în sensul acelor de ceasornic? Nimic extraordinar, vei obține și un unghi de o anumită valoare, dar doar acesta va fi negativ. Astfel, la rotirea vectorului rază în sens invers acelor de ceasornic, obținem unghiuri pozitive, iar când se rotește în sensul acelor de ceasornic - negativ.

Deci, știm că o întreagă revoluție a vectorului rază în jurul unui cerc este sau. Este posibil să rotiți vectorul rază către sau către? Ei bine, bineînțeles că poți! Prin urmare, în primul caz, vectorul rază va face o revoluție completă și se va opri în poziția sau.

În al doilea caz, adică vectorul rază va face trei rotații complete și se va opri în poziția sau.

Astfel, din exemplele de mai sus putem concluziona că unghiurile care diferă prin sau (unde este orice număr întreg) corespund aceleiași poziții a vectorului rază.

Figura de mai jos arată un unghi. Aceeași imagine corespunde colțului etc. Această listă poate fi continuată pe termen nelimitat. Toate aceste unghiuri pot fi scrise prin formula generală sau (unde este orice număr întreg)

Acum, cunoscând definițiile funcțiilor trigonometrice de bază și folosind cercul unitar, încercați să răspundeți care sunt valorile:

Iată un cerc de unitate care vă va ajuta:

Aveți dificultăți? Atunci hai să ne dăm seama. Deci știm că:

De aici, determinăm coordonatele punctelor corespunzătoare anumitor măsuri de unghi. Ei bine, să începem în ordine: unghiul la corespunde unui punct cu coordonate, deci:

Nu există;

Mai departe, aderând la aceeași logică, aflăm că colțurile din corespund punctelor cu coordonate, respectiv. Știind acest lucru, este ușor să determinați valorile funcțiilor trigonometrice în punctele corespunzătoare. Încercați mai întâi singur, apoi verificați răspunsurile.

Raspunsuri:

Nu există

Nu există

Nu există

Nu există

Astfel, putem realiza următorul tabel:

Nu este nevoie să ne amintim toate aceste valori. Este suficient să ne amintim corespondența dintre coordonatele punctelor de pe cercul unității și valorile funcțiilor trigonometrice:

Dar valorile funcțiilor trigonometrice ale unghiurilor în și, date în tabelul de mai jos, trebuie amintit:

Nu vă speriați, acum vă vom arăta un exemplu destul de simplu de reținut valorile corespunzătoare:

Pentru a utiliza această metodă, este vital să vă amintiți valorile sinusului pentru toate cele trei măsuri de unghi (), precum și valoarea tangentei unghiului. Cunoscând aceste valori, este destul de simplu să restabiliți întregul tabel - valorile cosinusului sunt transferate în conformitate cu săgețile, adică:

Știind acest lucru, puteți restabili valorile pentru. Numătorul „ ” se va potrivi și numitorul „ ” se va potrivi. Valorile cotangentelor sunt transferate în conformitate cu săgețile indicate în figură. Dacă înțelegeți acest lucru și vă amintiți diagrama cu săgeți, atunci va fi suficient să vă amintiți toate valorile din tabel.

Coordonatele unui punct pe un cerc

Este posibil să găsiți un punct (coordonatele sale) pe un cerc, cunoscând coordonatele centrului cercului, raza acestuia și unghiul de rotație?

Ei bine, bineînțeles că poți! Hai să-l scoatem afară formula generala pentru aflarea coordonatelor unui punct.

De exemplu, iată un cerc în fața noastră:

Ni se spune că punctul este centrul cercului. Raza cercului este egală. Este necesar să găsiți coordonatele unui punct obținute prin rotirea punctului cu grade.

După cum se poate observa din figură, coordonatele punctului corespund lungimii segmentului. Lungimea segmentului corespunde coordonatei centrului cercului, adică este egală. Lungimea unui segment poate fi exprimată folosind definiția cosinusului:

Apoi avem asta pentru coordonata punctului.

Folosind aceeași logică, găsim valoarea coordonatei y pentru punct. Astfel,

Deci, în general, coordonatele punctelor sunt determinate de formulele:

Coordonatele centrului cercului,

Raza cercului,

Unghiul de rotație al razei vectoriale.

După cum puteți vedea, pentru cercul unitar pe care îl luăm în considerare, aceste formule sunt reduse semnificativ, deoarece coordonatele centrului sunt egale cu zero și raza este egală cu unu:

Ei bine, haideți să încercăm aceste formule exersând găsirea punctelor pe un cerc?

1. Aflați coordonatele unui punct pe cercul unitar obținute prin rotirea punctului pe.

2. Aflați coordonatele unui punct pe cercul unitar obținute prin rotirea punctului pe.

3. Aflați coordonatele unui punct pe cercul unitar obținute prin rotirea punctului pe.

4. Punctul este centrul cercului. Raza cercului este egală. Este necesar să se găsească coordonatele punctului obținute prin rotirea vectorului rază inițială cu.

5. Punctul este centrul cercului. Raza cercului este egală. Este necesar să se găsească coordonatele punctului obținute prin rotirea vectorului rază inițială cu.

Întâmpinați probleme în a găsi coordonatele unui punct dintr-un cerc?

Rezolva aceste cinci exemple (sau te pricepi la rezolvarea lor) si vei invata sa le gasesti!

1.

Puteți observa asta. Dar știm ce corespunde unei revoluții complete a punctului de plecare. Astfel, punctul dorit va fi în aceeași poziție ca atunci când se întoarce spre. Știind acest lucru, găsim coordonatele necesare ale punctului:

2. Cercul unitar este centrat într-un punct, ceea ce înseamnă că putem folosi formule simplificate:

Puteți observa asta. Știm ce corespunde la două revoluții complete ale punctului de plecare. Astfel, punctul dorit va fi în aceeași poziție ca atunci când se întoarce spre. Știind acest lucru, găsim coordonatele necesare ale punctului:

Sinus și cosinus sunt valori din tabel. Ne amintim semnificațiile lor și obținem:

Astfel, punctul dorit are coordonate.

3. Cercul unitar este centrat într-un punct, ceea ce înseamnă că putem folosi formule simplificate:

Puteți observa asta. Să reprezentăm exemplul în cauză în figură:

Raza formează unghiuri egale cu și cu axa. Știind că valorile de tabel ale cosinusului și sinusului sunt egale și după ce am stabilit că cosinusul de aici ia valoare negativă, iar sinusul este pozitiv, avem:

Astfel de exemple sunt discutate mai detaliat atunci când se studiază formulele de reducere a funcțiilor trigonometrice din subiect.

Astfel, punctul dorit are coordonate.

4.

Unghiul de rotație al razei vectorului (după condiție)

Pentru a determina semnele corespunzătoare de sinus și cosinus, construim un cerc și un unghi unitar:

După cum puteți vedea, valoarea, adică este pozitivă, iar valoarea, adică este negativă. Cunoscând valorile tabelare ale funcțiilor trigonometrice corespunzătoare, obținem că:

Să substituim valorile obținute în formula noastră și să găsim coordonatele:

Astfel, punctul dorit are coordonate.

5. Pentru a rezolva această problemă, folosim formule în formă generală, unde

Coordonatele centrului cercului (în exemplul nostru,

Raza cercului (după condiție)

Unghiul de rotație al razei vectorului (după condiție).

Să înlocuim toate valorile în formulă și să obținem:

și - valorile tabelului. Să ne amintim și să le înlocuim în formula:

Astfel, punctul dorit are coordonate.

REZUMAT ȘI FORMULE DE BAZĂ

Sinusul unui unghi este raportul dintre catetul opus (depărtat) și ipotenuză.

Cosinusul unui unghi este raportul dintre catetul adiacent (aproape) și ipotenuză.

Tangenta unui unghi este raportul dintre latura opusă (depărtată) și latura adiacentă (închisă).

Cotangenta unui unghi este raportul dintre latura adiacentă (în apropiere) și latura opusă (depărtată).

Cred că meriți mai mult decât atât. Iată cheia mea pentru trigonometrie:

• Desenați cupola, peretele și tavanul
• Funcții trigonometrice nu este altceva decât procentul acestor trei forme.

Metaforă pentru sinus și cosinus: dom

În loc să te uiți doar la triunghiurile în sine, imaginează-le în acțiune găsind un exemplu specific din viața reală.

Imaginați-vă că vă aflați în mijlocul unui dom și doriți să atârnați un ecran de proiector de film. Îndreptați cu degetul spre dom la un anumit unghi „x”, iar ecranul ar trebui să fie suspendat din acest punct.

Unghiul spre care indicați determină:

• sine(x) = sin(x) = înălțimea ecranului (de la podea până la punctul de montare al domului)
• cosinus(x) = cos(x) = distanța de la tine până la ecran (pe etaj)
• ipotenuză, distanța de la tine până la partea de sus a ecranului, întotdeauna aceeași, egală cu raza cupolei

Vrei ca ecranul să fie cât mai mare? Atârnă-l direct deasupra ta.

Doriți ca ecranul să atârne cât mai larg posibil? distanta lunga de la tine? Agățați-l drept perpendicular. Ecranul va avea înălțime zero în această poziție și va atârna cel mai departe, așa cum ați cerut.

Înălțimea și distanța față de ecran sunt invers proporționale: cu cât ecranul atârnă mai aproape, cu atât este mai mare înălțimea acestuia.

Sinusul și cosinusul sunt procente

Nimeni în anii mei de studiu, vai, nu mi-a explicat că funcțiile trigonometrice sinus și cosinus nu sunt altceva decât procente. Valorile lor variază de la +100% la 0 la -100%, sau de la un maxim pozitiv la zero la un maxim negativ.

Să presupunem că am plătit un impozit de 14 ruble. Nu știi cât este. Dar dacă spuneți că am plătit 95% impozit, veți înțelege că pur și simplu am fost lână.

Înălțimea absolută nu înseamnă nimic. Dar dacă valoarea sinusului este 0,95, atunci înțeleg că televizorul atârnă aproape de partea superioară a domului tău. Foarte curând va atinge înălțimea maximă în centrul domului și apoi va începe să scadă din nou.

Cum putem calcula acest procent? Este foarte simplu: împărțiți înălțimea curentă a ecranului la maximul posibil (raza domului, numită și ipotenuză).

De aceea ni se spune că „cosinus = latura opusă / ipotenuză”. Totul este să obții interes! Cel mai bine este să definiți sinusul ca „procentul înălțimii curente față de maximul posibil”. (Sinusul devine negativ dacă unghiul dvs. este îndreptat „sub pământ”. Cosinusul devine negativ dacă unghiul este îndreptat către punctul domului din spatele vostru.)

Să simplificăm calculele presupunând că suntem în centrul cercului unitar (raza = 1). Putem sări peste diviziune și doar să luăm sinusul egal cu înălțimea.

Fiecare cerc este în esență un singur cerc, mărit în sus sau în jos la dimensiunea dorită. Deci, determinați conexiunile cercului unității și aplicați rezultatele la dimensiunea specifică a cercului dvs.

Experiment: luați orice colț și vedeți ce procent din înălțime față de lățime afișează:

Graficul creșterii valorii sinusului nu este doar o linie dreaptă. Primele 45 de grade acoperă 70% din înălțime, dar ultimele 10 grade (de la 80° la 90°) acoperă doar 2%.

Acest lucru îți va fi mai clar: dacă mergi în cerc, la 0° te ridici aproape vertical, dar pe măsură ce te apropii de vârful cupolei, înălțimea se schimbă din ce în ce mai puțin.

Tangenta si secante. Perete

Într-o zi, un vecin a construit un zid chiar unul lângă altul la cupola ta. Ți-a strigat vederea de la fereastră și pret bun pentru revanzare!

Dar este posibil să câștigi cumva în această situație?

Desigur că da. Dacă am agăța un ecran de film chiar pe peretele vecinului nostru? Tintiti unghiul (x) si obtineti:

• tan(x) = tan(x) = înălțimea ecranului pe perete
• distanța de la tine până la perete: 1 (aceasta este raza cupolei tale, peretele nu se mișcă nicăieri de la tine, nu?)
• secant(x) = sec(x) = „lungimea scării” de la tine în picioare în centrul domului până în partea de sus a ecranului suspendat

Să clarificăm câteva puncte privind tangenta sau înălțimea ecranului.

• începe de la 0 și poate ajunge la infinit de sus. Puteți întinde ecranul din ce în ce mai sus pe perete pentru a crea o pânză nesfârșită pentru vizionarea filmului preferat! (Pentru unul atât de uriaș, desigur, va trebui să cheltuiți mulți bani).
• tangenta este doar o versiune mai mare a sinusului! Și în timp ce creșterea sinusului încetinește pe măsură ce vă deplasați spre partea de sus a cupolei, tangenta continuă să crească!

Sekansu are și cu ce să se laude:

• Sesiunea începe la ora 1 (scara este pe podea, de la tine la perete) și începe să se ridice de acolo
• Secanta este întotdeauna mai lungă decât tangenta. Scara înclinată pe care o folosiți pentru a agăța ecranul ar trebui să fie mai lungă decât ecranul în sine, nu? (Cu dimensiuni nerealiste, când ecranul este atât de lung și scara trebuie plasată aproape vertical, dimensiunile lor sunt aproape aceleași. Dar chiar și atunci secanta va fi puțin mai lungă).

Amintiți-vă, valorile sunt la sută. Dacă decideți să atârnați ecranul la un unghi de 50 de grade, tan(50)=1,19. Ecranul dvs. este cu 19% mai mare decât distanța până la perete (raza domului).

(Introduceți x=0 și verificați-vă intuiția - tan(0) = 0 și sec(0) = 1.)

Cotangente și cosecante. Plafon

Incredibil, vecinul tău a decis acum să construiască un acoperiș peste domul tău. (Ce e în neregulă cu el? Se pare că nu vrea să-l spioni în timp ce se plimbă gol prin curte...)

Ei bine, este timpul să construiești o ieșire pe acoperiș și să vorbești cu vecinul tău. Alegeți unghiul de înclinare și începeți construcția:

• distanța verticală dintre ieșirea din acoperiș și podea este întotdeauna 1 (raza cupolei)
• cotangent(x) = cot(x) = distanța dintre vârful domului și punctul de ieșire
• cosecant(x) = csc(x) = lungimea drumului către acoperiș

Tangenta și secanta descriu peretele, iar COtangente și COsecante descriu tavanul.

Concluziile noastre intuitive de această dată sunt similare cu cele anterioare:

• Dacă iei unghiul egal cu 0°, ieșirea ta pe acoperiș va dura pentru totdeauna, deoarece nu va ajunge niciodată la tavan. Problemă.
• Cea mai scurtă „scara” până la acoperiș va fi obținută dacă o construiți la un unghi de 90 de grade față de podea. Cotangenta va fi egală cu 0 (nu ne mișcăm deloc de-a lungul acoperișului, ieșim strict perpendicular), iar cosecantul va fi egal cu 1 („lungimea scării” va fi minimă).

Vizualizați conexiunile

Dacă toate cele trei cazuri sunt desenate într-o combinație dom-perete-tavan, va rezulta următoarele:

Ei bine, este în continuare același triunghi, mărit în dimensiune pentru a ajunge la perete și tavan. Avem laturi verticale (sinus, tangentă), laturi orizontale (cosinus, cotangent) și „ipotenuze” (secante, cosecantă). (Cu ajutorul săgeților puteți vedea unde ajunge fiecare element. Cosecantul este distanța totală de la dvs. până la acoperiș).

Puțină magie. Toate triunghiurile au aceleași egalități:

Din teorema lui Pitagora (a 2 + b 2 = c 2) vedem cum sunt conectate laturile fiecărui triunghi. În plus, raporturile „înălțime/lățime” ar trebui să fie, de asemenea, aceleași pentru toate triunghiurile. (Fă-te înapoi de la foarte triunghi mare la mai putin. Da, dimensiunea s-a schimbat, dar raporturile de aspect vor rămâne aceleași).

Știind care latură din fiecare triunghi este egală cu 1 (raza cupolei), putem calcula cu ușurință că „sin/cos = tan/1”.

Am încercat întotdeauna să-mi amintesc aceste fapte printr-o simplă vizualizare. În imagine vedeți clar aceste dependențe și înțelegeți de unde provin. Această tehnică este mult mai bună decât memorarea formulelor uscate.

Nu uitați de alte unghiuri

Psst... Nu vă blocați pe un singur grafic, gândindu-vă că tangenta este întotdeauna mai mică de 1. Dacă creșteți unghiul, puteți ajunge la tavan fără a ajunge la perete:

Conexiunile pitagoreice funcționează întotdeauna, dar dimensiunile relative pot varia.

(Este posibil să fi observat că rapoartele sinus și cosinus sunt întotdeauna cele mai mici, deoarece sunt conținute în dom).

Pentru a rezuma: ce trebuie să ne amintim?

Pentru majoritatea dintre noi, aș spune că va fi suficient:

• trigonometria explică anatomia obiecte matematice, cum ar fi cercuri și intervale repetate
• Analogia cupolă/perete/acoperiș arată relația dintre diferitele funcții trigonometrice
• Funcțiile trigonometrice rezultă în procente, pe care le aplicăm scriptului nostru.

Nu trebuie să memorați formule precum 1 2 + cot 2 = csc 2 . Sunt potrivite doar pentru teste stupide în care cunoașterea unui fapt este pretinsă drept înțelegere. Luați un minut pentru a desena un semicerc sub formă de cupolă, un perete și un acoperiș, etichetați elementele și toate formulele vă vor veni pe hârtie.

Aplicație: Funcții inverse

Orice funcție trigonometrică ia un unghi ca parametru de intrare și returnează rezultatul ca procent. sin(30) = 0,5. Aceasta înseamnă că un unghi de 30 de grade ocupă 50% din înălțimea maximă.

Funcția trigonometrică inversă este scrisă ca sin -1 sau arcsin. Asin este, de asemenea, adesea scris în diferite limbaje de programare.

Dacă înălțimea noastră este de 25% din înălțimea domului, care este unghiul nostru?

În tabelul nostru de proporții puteți găsi un raport în care secanta este împărțită la 1. De exemplu, secanta cu 1 (ipotenuza față de orizontală) va fi egală cu 1 împărțit la cosinus:

Să presupunem că secanta noastră este 3,5, adică. 350% din raza unui cerc unitar. Cu ce ​​unghi de înclinare față de perete corespunde această valoare?

Anexă: Câteva exemple

Exemplu: Aflați sinusul unghiului x.

O sarcină plictisitoare. Să complicăm banalul „găsește sinusul” la „Care este înălțimea ca procent din maxim (ipotenuză)?”

În primul rând, observați că triunghiul este rotit. Nu e nimic în neregulă cu asta. Triunghiul are și înălțime, este indicat cu verde în figură.

Cu ce ​​este egala ipotenuza? Conform teoremei lui Pitagora, știm că:

3 2 + 4 2 = ipotenuză 2 25 = ipotenuză 2 5 = ipotenuză

Amenda! Sinusul este procentul de înălțime de la cea mai lungă latură a triunghiului sau ipotenuză. În exemplul nostru, sinusul este 3/5 sau 0,60.

Desigur, putem merge pe mai multe căi. Acum știm că sinusul este 0,60, putem găsi pur și simplu arcsinusul:

Asin(0,6)=36,9

Iată o altă abordare. Rețineți că triunghiul este „cu fața la perete”, așa că putem folosi tangenta în loc de sinus. Înălțimea este 3, distanța până la perete este 4, deci tangenta este ¾ sau 75%. Putem folosi arctangenta pentru a trece de la o valoare procentuală înapoi la un unghi:

Tan = 3/4 = 0,75 atan(0,75) = 36,9 Exemplu: Vei înota până la țărm?

Ești într-o barcă și ai suficient combustibil pentru a parcurge 2 km. Acum sunteți la 0,25 km de coastă. În ce unghi maxim față de țărm poți înota până la el, astfel încât să ai suficient combustibil? Adăugare la afirmația problemei: avem doar un tabel cu valorile arc-cosinus.

Ce avem? Linia de coastă poate fi reprezentată ca un „zid” în faimosul nostru triunghi, iar „lungimea scării” atașată de perete este distanța maximă posibilă de parcurs cu barca până la țărm (2 km). Apare o secanta.

În primul rând, trebuie să mergeți la procente. Avem 2 / 0,25 = 8, adică putem înota o distanță care este de 8 ori distanța dreaptă până la țărm (sau până la perete).

Apare întrebarea: „Care este secanta lui 8?” Dar nu putem răspunde, deoarece avem doar arc cosinus.

Folosim dependențele noastre derivate anterior pentru a lega secanta la cosinus: „sec/1 = 1/cos”

Secanta lui 8 este egală cu cosinusul lui ⅛. Un unghi al cărui cosinus este ⅛ este egal cu acos(1/8) = 82,8. Și acesta este cel mai mare unghi pe care ni-l putem permite pe o barcă cu cantitatea specificată de combustibil.

Nu-i rău, nu? Fără analogia dom-perete-tavan, m-aș fi pierdut într-o grămadă de formule și calcule. Vizualizarea problemei simplifică foarte mult căutarea unei soluții și este, de asemenea, interesant să vedem ce funcție trigonometrică va ajuta în cele din urmă.

Pentru fiecare problemă, gândiți-vă astfel: Mă interesează domul (sin/cos), perete (tan/sec) sau tavan (cot/csc)?

Și trigonometria va deveni mult mai plăcută. Calcule usoare pentru tine!