Dezvoltare

Ceea ce se numește marginea laterală a unei prisme. Prismă

Acasă
Definiție 1. Suprafață prismatică
Teorema 1. Pe secțiuni paralele ale unei suprafețe prismatice
Definiție 2. Secțiune perpendiculară a unei suprafețe prismatice
Definiție 3. Prismă
Definiție 4. Înălțimea prismei
Definiție 5. Prismă dreaptă

Teorema 2. Aria suprafeței laterale a prismei
Paralelipiped:
Definiție 6. Paralelepiped
Teorema 3. La intersecția diagonalelor unui paralelipiped
Definiție 7. Paralepiped drept
Definiție 8. Paralepiped dreptunghiular
Definiție 9. Măsurătorile unui paralelipiped
Definiție 10. Cub
Definiție 11. Romboedru
Teorema 4. Pe diagonalele unui paralelipiped dreptunghic
Teorema 5. Volumul unei prisme
Teorema 6. Volumul unei prisme drepte

Teorema 7. Volumul unui paralelipiped dreptunghiular Prismă
este un poliedru ale cărui două fețe (baze) se află în planuri paralele, iar muchiile care nu se află în aceste fețe sunt paralele între ele. Se numesc fețe altele decât bazele.
lateral Laturile fețelor laterale și ale bazelor se numesc nervuri prisme , se numesc capetele marginilor vârfurile prismei. Coastele laterale marginile care nu apartin bazelor se numesc. Unirea fețelor laterale se numește suprafata laterala a prismei , iar unirea tuturor fețelor se numeșteîntreaga suprafață a prismei. Înălțimea prismei numită perpendiculară căzută din punctul bazei superioare până în planul bazei inferioare sau lungimea acestei perpendiculare. Prismă directă numită prismă ale cărei nervuri laterale sunt perpendiculare pe planurile bazelor. Corecta

numită prismă dreaptă (fig. 3), la baza căreia se află un poligon regulat.
Denumiri:
l - coastă laterală;
P - perimetrul bazei;
S o - zona de bază;
H - înălțime;
P^ - perimetrul secțiunii perpendiculare;
S b - suprafata laterala;
V - volum; S p - zona suprafata intreaga

prisme.
V=SH
S p = S b + 2S o

S b = P ^ l Definiția 1 . O suprafață prismatică este o figură formată din părți din mai multe plane paralele cu o dreaptă, limitată de acele drepte de-a lungul cărora aceste plane se intersectează succesiv*; aceste drepte sunt paralele între ele și se numesc.
*marginile suprafeţei prismatice

Se presupune că fiecare două plane succesive se intersectează și că ultimul plan îl intersectează pe primul . Secțiunile unei suprafețe prismatice prin plane paralele între ele (dar nu paralele cu marginile acesteia) sunt poligoane egale.
Fie ABCDE și A"B"C"D"E" secțiuni ale unei suprafețe prismatice pe două plane paralele. Pentru a ne asigura că aceste două poligoane sunt egale, este suficient să arătăm că triunghiurile ABC și A"B"C" sunt egale și au același sens de rotație și că același sens este valabil și pentru triunghiurile ABD și A"B"D", ABE și A"B"E". Dar laturile corespunzătoare ale acestor triunghiuri sunt paralele (de exemplu, AC este paralelă cu AC) ca și linia de intersecție a unui anumit plan cu două plane paralele; rezultă că aceste laturi sunt egale (de exemplu, AC este egal cu A"C"), ca laturile opuse ale unui paralelogram, și că unghiurile formate de aceste laturi sunt egale și au aceeași direcție.

Definiția 2 . O secțiune perpendiculară a unei suprafețe prismatice este o secțiune a acestei suprafețe printr-un plan perpendicular pe marginile sale. Pe baza teoremei anterioare, toate secțiunile perpendiculare ale aceleiași suprafețe prismatice vor fi poligoane egale.

Definiția 3 . O prismă este un poliedru delimitat de o suprafață prismatică și două plane paralele între ele (dar nu paralele cu marginile suprafeței prismatice)
Se numesc chipurile situate în aceste ultime planuri baze de prisme; fețe aparținând suprafeței prismatice - fetele laterale; marginile suprafeței prismatice - nervurile laterale ale prismei. În virtutea teoremei anterioare, baza prismei este poligoane egale. Toate fețele laterale ale prismei - paralelograme; toate coastele laterale sunt egale între ele.
Evident, dacă sunt date baza prismei ABCDE și una dintre muchiile AA" ca dimensiune și direcție, atunci este posibil să se construiască o prismă desenând muchiile BB", CC", ... egale și paralele cu muchia AA" .

Definiția 4 . Înălțimea unei prisme este distanța dintre planele bazelor sale (HH").

Definiția 5 . O prismă se numește dreptă dacă bazele ei sunt secțiuni perpendiculare ale suprafeței prismatice. În acest caz, înălțimea prismei este, desigur, ea coastă laterală; marginile laterale vor fi dreptunghiuri.
Prismele pot fi clasificate în funcție de numărul de fețe laterale egal cu numărul de laturi ale poligonului care îi servește drept bază. Astfel, prismele pot fi triunghiulare, patrulatere, pentagonale etc.

Teorema 2 . Aria suprafeței laterale a prismei este egală cu produsul marginii laterale și perimetrul secțiunii perpendiculare.
Fie ABCDEA"B"C"D"E" o prismă dată și abcde secțiunea ei perpendiculară, astfel încât segmentele ab, bc, .. să fie perpendiculare pe marginile sale laterale. Fața ABA"B" este un paralelogram; aria sa este egal cu produsul bazei AA „ cu o înălțime care coincide cu ab; aria feței ВСВ "С" este egală cu produsul bazei ВВ" cu înălțimea bc etc. În consecință, suprafata laterala(adică, suma suprafețelor fețelor laterale) este egală cu produsul muchiei laterale, cu alte cuvinte, lungimea totală a segmentelor AA", BB", .., cu suma ab+bc+cd +de+ea.

Poliedre

Obiectul principal de studiu al stereometriei îl reprezintă corpurile spațiale. Corp reprezintă o parte din spațiu limitată de o anumită suprafață.

Poliedru este un corp a cărui suprafață este formată dintr-un număr finit de poligoane plate. Un poliedru se numește convex dacă este situat pe o parte a planului fiecărui poligon plan de pe suprafața sa. Partea generala un astfel de plan și suprafața unui poliedru se numește margine. Fețele unui poliedru convex sunt poligoane convexe plate. Laturile fețelor se numesc marginile poliedrului, iar vârfurile sunt vârfurile poliedrului.

De exemplu, un cub este format din șase pătrate, care sunt fețele sale. Conține 12 margini (laturile pătratelor) și 8 vârfuri (vârfurile pătratelor).

Cele mai simple poliedre sunt prismele și piramidele, pe care le vom studia în continuare.

Prismă

Definiția și proprietățile unei prisme

Teorema 7. Volumul unui paralelipiped dreptunghiular este un poliedru format din două poligoane plate situate în planuri paralele combinate prin translație paralelă și toate segmentele care leagă punctele corespunzătoare ale acestor poligoane. Se numesc poligoane baze de prisme, iar segmentele care leagă vârfurile corespunzătoare ale poligoanelor sunt marginile laterale ale prismei.

Înălțimea prismei se numește distanța dintre planele bazelor sale (). Se numește un segment care leagă două vârfuri ale unei prisme care nu aparțin aceleiași fețe diagonala prismei(). Prisma se numește n-carbon, dacă baza sa conține un n-gon.

Orice prismă are următoarele proprietăți, rezultate din faptul că bazele prismei sunt combinate prin translație paralelă:

1. Bazele prismei sunt egale.

2. Marginile laterale ale prismei sunt paralele și egale.

Suprafața prismei este formată din baze și suprafata laterala. Suprafața laterală a prismei este formată din paralelograme (acest lucru rezultă din proprietățile prismei). Aria suprafeței laterale a unei prisme este suma suprafețelor fețelor laterale.

Prismă dreaptă

Prisma se numește direct, dacă marginile sale laterale sunt perpendiculare pe baze. Altfel se numește prisma înclinat.

Fețele unei prisme dreptunghiuri sunt dreptunghiuri. Înălțimea unei prisme drepte este egală cu fețele sale laterale.

Suprafata prisma intreaga se numește suma suprafeței laterale și a ariilor bazelor.

Cu prisma dreapta numită prismă dreaptă cu poligon regulat la baza.

Teorema 13.1. Aria suprafeței laterale a unei prisme drepte este egală cu produsul perimetrului și înălțimea prismei (sau, care este același, cu marginea laterală).

Dovada. Fețele laterale ale unei prisme dreptunghiuri sunt dreptunghiuri, ale căror baze sunt laturile poligoanelor de la bazele prismei, iar înălțimile sunt marginile laterale ale prismei. Atunci, prin definiție, aria suprafeței laterale este:

unde este perimetrul bazei unei prisme drepte.

Paralelipiped

Dacă paralelogramele se află la bazele unei prisme, atunci se numește paralelipiped. Toate fețele unui paralelipiped sunt paralelograme. În acest caz, fețele opuse ale paralelipipedului sunt paralele și egale.

Teorema 13.2. Diagonalele unui paralelipiped se intersectează într-un punct și sunt împărțite la jumătate la punctul de intersecție.

Dovada. Luați în considerare două diagonale arbitrare, de exemplu, și . Deoarece fețele unui paralelipiped sunt paralelograme, apoi și , ceea ce înseamnă conform To există două drepte paralele cu a treia. În plus, aceasta înseamnă că linii drepte și se află în același plan (plan). Acest plan intersectează plane paralele și de-a lungul liniilor paralele și . Astfel, un patrulater este un paralelogram, iar prin proprietatea unui paralelogram, diagonalele sale se intersectează și sunt împărțite la jumătate la punctul de intersecție, care era ceea ce trebuia demonstrat.

Un paralelipiped drept a cărui bază este un dreptunghi se numește paralelipiped dreptunghiular. Toate fețele unui paralelipiped dreptunghiular sunt dreptunghiuri. Lungimile muchiilor neparalele ale unui paralelipiped dreptunghiular se numesc sa dimensiuni liniare(măsurători). Există trei astfel de dimensiuni (lățime, înălțime, lungime).

Teorema 13.3. Într-un paralelipiped dreptunghiular, pătratul oricărei diagonale egal cu suma pătrate din cele trei dimensiuni ale sale (demonstrat prin aplicarea de două ori a lui Pitagora).

Se numește paralelipiped dreptunghic cu toate muchiile egale cub.

Sarcini

13.1 Câte diagonale are? n-prismă de carbon

13.2 Într-o prismă triunghiulară înclinată, distanțele dintre muchiile laterale sunt 37, 13 și 40. Aflați distanța dintre muchia laterală mai mare și muchia laterală opusă.

13.3 Un plan este trasat prin latura bazei inferioare a unei prisme triunghiulare regulate, intersectând fețele laterale de-a lungul segmentelor cu un unghi între ele. Aflați unghiul de înclinare al acestui plan față de baza prismei.

Definiţie. Prismă este un poliedru, ale cărui vârfuri sunt situate în două plane paralele, iar în aceleași două plane se află două fețe ale prismei, care sunt poligoane egale cu, respectiv laturi paralele, iar toate muchiile care nu se află în aceste planuri sunt paralele.

Se numesc două fețe egale baze de prisme(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Toate celelalte fețe ale prismei sunt numite fetele laterale(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Toate fețele laterale se formează suprafata laterala a prismei .

Toate fețele laterale ale prismei sunt paralelograme .

Marginile care nu se află la baze se numesc marginile laterale ale prismei ( AA 1, BB 1, CC 1, DD 1, EE 1).

Diagonala prismei este un segment ale cărui capete sunt două vârfuri ale unei prisme care nu se află pe aceeași față (AD 1).

Se numește lungimea segmentului care leagă bazele prismei și perpendicular pe ambele baze în același timp înălțimea prismei .

Desemnare:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Mai întâi, în ordinea parcurgerii, sunt indicate vârfurile unei baze, iar apoi, în aceeași ordine, vârfurile alteia; capetele fiecărei margini laterale sunt desemnate prin aceleași litere, doar vârfurile aflate într-o singură bază. sunt desemnate prin litere fără index, iar în celălalt - cu index)

Numele prismei este asociat cu numărul de unghiuri din figura aflată la baza acesteia, de exemplu, în figura 1 există un pentagon la bază, deci prisma se numește prismă pentagonală. Dar pentru că o astfel de prismă are 7 fețe, apoi ea heptaedru(2 fețe - bazele prismei, 5 fețe - paralelograme, - fețele sale laterale)

Dintre prismele drepte, se remarcă un anumit tip: prismele regulate.

O prismă dreaptă se numește corecta, dacă bazele sale sunt poligoane regulate.

O prismă regulată are toate fețele laterale dreptunghiuri egale. Un caz special al unei prisme este un paralelipiped.

Paralelipiped

Paralelipiped este o prismă patruunghiulară, la baza căreia se află un paralelogram (un paralelipiped înclinat). Paralepipedul drept- un paralelipiped ale cărui margini laterale sunt perpendiculare pe planurile bazei.

Paralepiped dreptunghiular- un paralelipiped drept a cărui bază este un dreptunghi.

Proprietăți și teoreme:

Unele proprietăți ale unui paralelipiped sunt similare cu proprietățile cunoscute ale unui paralelogram. Se numește paralelipiped dreptunghiular cu dimensiuni egale cub .Toate fețele unui cub sunt pătrate egale Pătratul diagonalei este egal cu suma pătratelor celor trei dimensiuni ale sale

unde d este diagonala pătratului;
a este latura pătratului.

O idee a unei prisme este dată de:

diverse structuri arhitecturale;
jucării pentru copii;
cutii de ambalare;
articole de designer etc.

Aria suprafeței totale și laterale a prismei

Suprafața totală a prismei este suma ariilor tuturor fețelor sale Suprafata laterala se numește suma ariilor fețelor sale laterale. Bazele prismei sunt poligoane egale, apoi ariile lor sunt egale. De aceea

S plin = S lateral + 2S principal,

Unde S plin- suprafata totala, partea S- suprafata laterala, S baza- suprafata de baza

Suprafața laterală a unei prisme drepte este egală cu produsul dintre perimetrul bazei și înălțimea prismei.

partea S= P de bază * h,

Unde partea S-aria suprafeței laterale a unei prisme drepte,

P principal - perimetrul bazei unei prisme drepte,

h este înălțimea prismei drepte, egală cu marginea laterală.

Volumul prismei

Volumul unei prisme este egal cu produsul dintre suprafața bazei și înălțimea.

Ramură a matematicii care se ocupă de studiul proprietăților diverse figuri(puncte, linii, unghiuri, obiecte bidimensionale și tridimensionale), dimensiunile acestora și poziție relativă. Pentru ușurința predării, geometria este împărțită în planimetrie și stereometrie. ÎN… … Enciclopedia lui Collier

Geometria spațiilor de dimensiuni mai mari de trei; termenul se aplică acelor spații a căror geometrie a fost dezvoltată inițial pentru cazul celor trei dimensiuni și abia apoi generalizată la numărul de dimensiuni n>3, în primul rând spațiu euclidian, ... ... Enciclopedie matematică

Generalizarea geometriei euclidiene N-dimensionale a geometriei euclidiene în spațiu Mai mult măsurători. Deși spațiul fizic este tridimensional, iar simțurile umane sunt concepute pentru a percepe trei dimensiuni, N este dimensional... ... Wikipedia

Acest termen are alte semnificații, vezi Pyramidatsu (sensuri). Fiabilitatea acestei secțiuni a articolului a fost pusă la îndoială. Trebuie să verificați exactitatea faptelor menționate în această secțiune. S-ar putea să fie explicații pe pagina de discuții... Wikipedia

- Tehnologia (Constructive Solid Geometry, CSG) utilizată în modelare solide. Geometria blocului constructiv este adesea, dar nu întotdeauna, modalitatea de modelare în grafică 3D și CAD. Vă permite să creați o scenă complexă sau... Wikipedia

Geometria solidă constructivă (CSG) este o tehnologie utilizată în modelarea solidelor. Geometria blocului constructiv este adesea, dar nu întotdeauna, modalitatea de modelare în grafică 3D și CAD. Ea... ... Wikipedia

Acest termen are alte semnificații, vezi Volum (sensuri). Volumul este o funcție aditivă a unei mulțimi (măsuri), care caracterizează capacitatea zonei de spațiu pe care o ocupă. Inițial a apărut și a fost aplicat fără stricte... ... Wikipedia

Tip de cub Poliedru regulat Față pătrat Varfurile Muchii Fețe ... Wikipedia

Volumul este o funcție aditivă a unei mulțimi (măsuri), care caracterizează capacitatea zonei de spațiu pe care o ocupă. Inițial a apărut și a fost aplicat fără o definiție strictă în raport cu corpurile tridimensionale ale spațiului euclidian tridimensional.... ... Wikipedia

O porțiune de spațiu delimitată de o colecție de un număr finit de poligoane plane (vezi GEOMETRIE) conectate în așa fel încât fiecare latură a oricărui poligon să fie o latură a unui alt poligon (numit... ... Enciclopedia lui Collier

Cărți

Set de mese. Geometrie. clasa a X-a. 14 tabele + metodologie, . Tabelele sunt imprimate pe carton gros tipărit de 680 x 980 mm. Setul include o broșură cu recomandări metodologice

pentru profesor. Album educativ de 14 coli...ÎN programa școlară curs de stereometrie

cifrele volumetrice

începe de obicei cu un corp geometric simplu - un poliedru prismă. Rolul bazelor sale este îndeplinit de 2 poligoane egale situate în planuri paralele. Un caz special este o prismă patruunghiulară obișnuită. Bazele sale sunt 2 patrulatere regulate identice, față de care laturile sunt perpendiculare, având formă de paralelograme (sau dreptunghiuri, dacă prisma nu este înclinată). Cum arată o prismă? O prismă patruunghiulară obișnuită este un hexagon, ale cărui baze sunt 2 pătrate, iar fețele laterale sunt reprezentate prin dreptunghiuri. Un alt nume pentru asta

figură geometrică

- paralelipiped drept. Mai jos este prezentat un desen care prezintă o prismă pătrangulară. Se vede si in poza cele mai importante elemente care alcătuiesc

Uneori, în problemele de geometrie, puteți întâlni conceptul de secțiune. Definiția va suna astfel: o secțiune reprezintă toate punctele unui corp volumetric aparținând unui plan de tăiere. Secțiunea poate fi perpendiculară (intersectează marginile figurii la un unghi de 90 de grade). Pentru o prismă dreptunghiulară, se consideră și o secțiune diagonală ( cantitate maxima secțiuni care pot fi construite - 2), trecând prin 2 margini și diagonale ale bazei.

Dacă secțiunea este desenată în așa fel încât planul de tăiere să nu fie paralel nici cu bazele, nici cu fețele laterale, rezultatul este o prismă trunchiată.

Pentru a găsi elementele prismatice date, se folosesc diverse relații și formule. Unele dintre ele sunt cunoscute din cursul planimetriei (de exemplu, pentru a găsi aria bazei unei prisme, este suficient să ne amintim formula pentru aria unui pătrat).

Suprafața și volumul

Pentru a determina volumul unei prisme folosind formula, trebuie să cunoașteți aria bazei și înălțimea acesteia:

V = Sbas h

Deoarece baza unei prisme tetraedrice obișnuite este un pătrat cu latura o, Puteți scrie formula într-o formă mai detaliată:

V = a²·h

Dacă vorbim despre un cub - o prismă obișnuită cu lungime egală, lățime și înălțime, volumul se calculează după cum urmează:

Pentru a înțelege cum să găsiți suprafața laterală a unei prisme, trebuie să vă imaginați dezvoltarea acesteia.

Din desen se poate observa ca suprafata laterala este formata din 4 dreptunghiuri egale. Aria sa este calculată ca produsul dintre perimetrul bazei și înălțimea figurii:

Sside = Posn h

Ținând cont că perimetrul pătratului este egal cu P = 4a, formula ia forma:

Sside = 4a h

Pentru cub:

Sside = 4a²

Pentru a calcula suprafața totală a prismei, trebuie să adăugați 2 zone de bază în zona laterală:

Full = Sside + 2Smain

În raport cu o prismă regulată patruunghiulară, formula arată astfel:

Stotal = 4a h + 2a²

Pentru suprafața unui cub:

Plin = 6a²

Cunoscând volumul sau suprafața, puteți calcula elementele individuale ale unui corp geometric.

Găsirea elementelor prisme

Adesea apar probleme in care se da volumul sau se cunoaste valoarea suprafetei laterale, unde este necesar sa se determine lungimea laturii bazei sau inaltimea. În astfel de cazuri, formulele pot fi derivate:

lungimea laturii de baza: a = Sside / 4h = √(V / h);
înălțimea sau lungimea coastei laterale: h = Latura / 4a = V / a²;
suprafata de baza: Sbas = V/h;
zona feței laterale: Latura gr = Sside / 4.

Pentru a determina câtă zonă are secțiunea diagonală, trebuie să cunoașteți lungimea diagonalei și înălțimea figurii. Pentru un pătrat d = a√2. Din aceasta rezultă:

Sdiag = ah√2

Pentru a calcula diagonala unei prisme, utilizați formula:

dprize = √(2a² + h²)

Pentru a înțelege cum să aplicați relațiile date, puteți exersa și rezolva mai multe sarcini simple.

Exemple de probleme cu soluții

Iată câteva sarcini găsite la examenele finale de stat la matematică.

Sarcina 1.

Nisipul este turnat într-o cutie în formă de prismă patruunghiulară obișnuită. Înălțimea nivelului său este de 10 cm Care va fi nivelul nisipului dacă îl mutați într-un recipient de aceeași formă, dar cu o bază de două ori mai lungă?

Ar trebui motivat după cum urmează. Cantitatea de nisip din primul și al doilea recipient nu s-a schimbat, adică volumul său în ele este același. Puteți nota lungimea bazei cu o. În acest caz, pentru prima casetă volumul substanței va fi:

V₁ = ha² = 10a²

Pentru a doua cutie, lungimea bazei este 2a, dar înălțimea nivelului nisipului este necunoscută:

V₂ = h (2a)² = 4ha²

Deoarece V₁ = V2, putem echivala expresiile:

10a² = 4ha²

După reducerea ambelor părți ale ecuației cu a², obținem:

Ca urmare nou nivel nisipul va fi h = 10 / 4 = 2,5 cm.

Sarcina 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ este o prismă corectă. Se știe că BD = AB₁ = 6√2. Găsiți suprafața totală a corpului.

Pentru a înțelege mai ușor ce elemente sunt cunoscute, puteți desena o figură.

Întrucât vorbim despre o prismă regulată, putem concluziona că la bază există un pătrat cu diagonala de 6√2. Diagonala feței laterale are aceeași dimensiune, prin urmare, fața laterală are și forma unui pătrat, egal cu baza. Se dovedește că toate cele trei dimensiuni - lungime, lățime și înălțime - sunt egale. Putem concluziona că ABCDA₁B₁C₁D₁ este un cub.

Lungimea oricărei muchii este determinată printr-o diagonală cunoscută:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Suprafața totală este găsită folosind formula pentru un cub:

Sfull = 6a² = 6 6² = 216

Sarcina 3.

Camera este in renovare. Se știe că podeaua are forma unui pătrat cu o suprafață de 9 m². Înălțimea camerei este de 2,5 m Care este cel mai mic cost al tapetării unei camere dacă 1 m² costă 50 de ruble?

Deoarece podeaua și tavanul sunt pătrate, adică patrulatere regulate, iar pereții săi sunt perpendiculari pe suprafețele orizontale, putem concluziona că este o prismă regulată. Este necesar să se determine aria suprafeței sale laterale.

Lungimea camerei este a = √9 = 3 m.

Zona va fi acoperită cu tapet Latura = 4 3 2,5 = 30 m².

Cel mai mic cost al tapetului pentru această cameră va fi 50·30 = 1500 ruble

Astfel, pentru a rezolva probleme care implică o prismă dreptunghiulară, este suficient să poți calcula aria și perimetrul unui pătrat și dreptunghi, precum și să cunoști formulele de aflare a volumului și a suprafeței.