Равнобедренный треугольник - это треугольник , в котором две стороны равны между собой по длине. Равные стороны называются боковыми, а последняя - основанием. По определению, правильный треугольник также является равнобедренным, но обратное утверждение неверно.
Пусть a - длина двух равных сторон равнобедренного треугольника, b - длина третьей стороны, α и β - соответствующие углы, R - радиус описанной окружности , r - радиус вписанной .
Стороны могут быть найдены следующим образом:
Углы могут быть выражены следующими способами:
Периметр равнобедренного треугольника может быть вычислен любым из следующих способов:
Площадь треугольника может быть вычислена одним из следующих способов:
(формула Герона).Wikimedia Foundation . 2010 .
РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК - РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК, ТРЕУГОЛЬНИК, имеющий две равные по длине стороны; углы при этих сторонах также равны … Научно-технический энциклопедический словарь
ТРЕУГОЛЬНИК - и (прост.) трёхугольник, треугольника, муж. 1. Геометрическая фигура, ограниченная тремя взаимно пересекающимися прямыми, образующими три внутренних угла (мат.). Тупоугольный треугольник. Остроугольный треугольник. Прямоугольный треугольник.… … Толковый словарь Ушакова
РАВНОБЕДРЕННЫЙ - РАВНОБЕДРЕННЫЙ, ая, ое: равнобедренный треугольник имеющий две равные стороны. | сущ. равнобедренность, и, жен. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова
треугольник - ▲ многоугольник имеющий, три, угол треугольник простейший многоугольник; задается 3 точками, не лежащими на одной прямой. треугольный. остроугольник. остроугольный. прямоугольный треугольник: катет. гипотенуза. равнобедренный треугольник. ▼… … Идеографический словарь русского языка
треугольник - ТРЕУГОЛЬНИК1, а, м чего или с опр. Предмет, имеющий форму геометрической фигуры, ограниченной тремя пересекающимися прямыми, образующими три внутренних угла. Она перебирала письма мужа пожелтевшие фронтовые треугольники. ТРЕУГОЛЬНИК2, а, м… … Толковый словарь русских существительных
Треугольник - У этого термина существуют и другие значения, см. Треугольник (значения). Треугольник (в евклидовом пространстве) это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три не лежащие на одной прямой точки. Три точки,… … Википедия
Треугольник (многоугольник) - Треугольники: 1 остроугольный, прямоугольный и тупоугольный; 2 правильный (равносторонний) и равнобедренный; 3 биссектрисы; 4 медианы и центр тяжести; 5 высоты; 6 ортоцентр; 7 средняя линия. ТРЕУГОЛЬНИК, многоугольник с 3 сторонами. Иногда под… … Иллюстрированный энциклопедический словарь
треугольник Энциклопедический словарь
треугольник - а; м. 1) а) Геометрическая фигура, ограниченная тремя пересекающимися прямыми, образующими три внутренних угла. Прямоугольный, равнобедренный треуго/льник. Вычислить площадь треугольника. б) отт. чего или с опр. Фигура или предмет такой формы.… … Словарь многих выражений
Треугольник - а; м. 1. Геометрическая фигура, ограниченная тремя пересекающимися прямыми, образующими три внутренних угла. Прямоугольный, равнобедренный т. Вычислить площадь треугольника. // чего или с опр. Фигура или предмет такой формы. Т. крыши. Т.… … Энциклопедический словарь
В котором две стороны равны между собой по длине. Боковыми называются равные стороны, а последняя неравная им сторона - основанием. По определению, правильный треугольник также является равнобедренным, но обратное утверждение неверно.
Если треугольник имеет две равные стороны, то эти стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона - основанием. Угол, образованный боковыми сторонами, называется вершинным углом , а углы, одной из сторон которых является основание, называются углами при основании .
Пусть a - длина двух равных сторон равнобедренного треугольника, b - длина третьей стороны, h - высота равнобедренного треугольника
Радиус вписанной окружности может быть выражен шестью способами в зависимости от того, какие два параметра равнобедренного треугольника известны:
Углы могут быть выражены следующими способами:
Периметр равнобедренного треугольника находится следующими способами:
Площадь треугольника находится следующими способами:
Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми , а третья сторона - основанием .
АВ = ВС - боковые стороны
АС - основание
Свойства равнобедренного треугольника выражаются через 5 теорем :
Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Доказательство теоремы:
Рассмотрим равнобедренный Δ ABC с основанием АС .
Боковые стороны равны АВ = ВС ,
Следовательно углы при основании ∠ BАC = ∠ BСA .
Доказательство теоремы:
Вывод:
Запомни! При решении таких задач опусти высоту на основание равнобедренного треугольника. Чтобы разделить его на два равных прямоугольных треугольника.
Доказательство теоремы:
Дано два Δ ABC и Δ A 1 B 1 C 1 . Стороны AB = A 1 B 1 ; BC = B 1 C 1 ; AC = A 1 C 1 .
Доказательство от противного.
Формулы длины стороны (основания - b ):
Формулы длины равных сторон - (а):
Формулы высоты, биссектрисы и медианы, через сторону и угол, (L ):
Формула высоты, биссектрисы и медианы, через стороны, (L ):
Формула площади треугольника через высоту h и основание b, (S ):
S=\frac { 1 } { 2 } *bh
Равнобедренный треугольник - это треугольник , в котором две стороны равны между собой по длине. Равные стороны называются боковыми, а последняя - основанием. По определению, правильный треугольник также является равнобедренным, но обратное утверждение неверно.
Пусть a - длина двух равных сторон равнобедренного треугольника, b - длина третьей стороны, α и β - соответствующие углы, R - радиус описанной окружности , r - радиус вписанной .
Стороны могут быть найдены следующим образом:
Углы могут быть выражены следующими способами:
Периметр равнобедренного треугольника может быть вычислен любым из следующих способов:
Площадь треугольника может быть вычислена одним из следующих способов:
(формула Герона).Wikimedia Foundation . 2010 .
РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК, ТРЕУГОЛЬНИК, имеющий две равные по длине стороны; углы при этих сторонах также равны … Научно-технический энциклопедический словарь
И (прост.) трёхугольник, треугольника, муж. 1. Геометрическая фигура, ограниченная тремя взаимно пересекающимися прямыми, образующими три внутренних угла (мат.). Тупоугольный треугольник. Остроугольный треугольник. Прямоугольный треугольник.… … Толковый словарь Ушакова
РАВНОБЕДРЕННЫЙ, ая, ое: равнобедренный треугольник имеющий две равные стороны. | сущ. равнобедренность, и, жен. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова
треугольник - ▲ многоугольник имеющий, три, угол треугольник простейший многоугольник; задается 3 точками, не лежащими на одной прямой. треугольный. остроугольник. остроугольный. прямоугольный треугольник: катет. гипотенуза. равнобедренный треугольник. ▼… … Идеографический словарь русского языка
треугольник - ТРЕУГОЛЬНИК1, а, м чего или с опр. Предмет, имеющий форму геометрической фигуры, ограниченной тремя пересекающимися прямыми, образующими три внутренних угла. Она перебирала письма мужа пожелтевшие фронтовые треугольники. ТРЕУГОЛЬНИК2, а, м… … Толковый словарь русских существительных
У этого термина существуют и другие значения, см. Треугольник (значения). Треугольник (в евклидовом пространстве) это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три не лежащие на одной прямой точки. Три точки,… … Википедия
Треугольник (многоугольник) - Треугольники: 1 остроугольный, прямоугольный и тупоугольный; 2 правильный (равносторонний) и равнобедренный; 3 биссектрисы; 4 медианы и центр тяжести; 5 высоты; 6 ортоцентр; 7 средняя линия. ТРЕУГОЛЬНИК, многоугольник с 3 сторонами. Иногда под… … Иллюстрированный энциклопедический словарь
Энциклопедический словарь
треугольник - а; м. 1) а) Геометрическая фигура, ограниченная тремя пересекающимися прямыми, образующими три внутренних угла. Прямоугольный, равнобедренный треуго/льник. Вычислить площадь треугольника. б) отт. чего или с опр. Фигура или предмет такой формы.… … Словарь многих выражений
А; м. 1. Геометрическая фигура, ограниченная тремя пересекающимися прямыми, образующими три внутренних угла. Прямоугольный, равнобедренный т. Вычислить площадь треугольника. // чего или с опр. Фигура или предмет такой формы. Т. крыши. Т.… … Энциклопедический словарь
На данном уроке будет рассмотрена тема «Равнобедренный треугольник и его свойства». Вы узнаете, как выглядят и чем характеризуются равнобедренный и равносторонний треугольники. Докажете теорему о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника. Рассмотрите также теорему о биссектрисе (медиане и высоте), проведенной к основанию равнобедренного треугольника. В конце урока вы разберете две задачи с использованием определения и свойств равнобедренного треугольника.
Определение: Равнобедренным называется треугольник, у которого равны две стороны.
Рис. 1. Равнобедренный треугольник
АВ = АС - боковые стороны. ВС - основание.
Площадь равнобедренного треугольника равна половине произведения его основания на высоту.
Определение: Равносторонним называется треугольник, у которого все три стороны равны.
Рис. 2. Равносторонний треугольник
АВ = ВС = СА.
Теорема 1: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Дано: АВ = АС.
Доказать: ∠В =∠С.
Рис. 3. Чертеж к теореме
Доказательство: треугольник АВС = треугольнику АСВ по первому признаку (по двум равным сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует равенство всех соответствующих элементов. Значит, ∠В = ∠С, что и требовалось доказать.
Теорема 2: В равнобедренном треугольнике биссектриса , проведенная к основанию, является медианой и высотой .
Дано: АВ = АС, ∠1 = ∠2.
Доказать: ВD = DC, AD перпендикулярно BC.
Рис. 4. Чертеж к теореме 2
Доказательство: треугольник ADB = треугольнику ADC по первому признаку (AD - общая, АВ = АС по условию, ∠BAD = ∠DAC). Из равенства треугольников следует равенство всех соответствующих элементов. BD = DC, так как они лежат против равных углов. Значит, AD является медианой. Также ∠3 = ∠4, поскольку они лежат против равных сторон. Но, к тому же, они в сумме равняются . Следовательно, ∠3 = ∠4 = . Значит, AD является высотой треугольника, что и требовалось доказать.
В единственном случае a = b = . В этом случае прямые АС и ВD называются перпендикулярными.
Поскольку биссектрисой, высотой и медианой является один и тот же отрезок, то справедливы и следующие утверждения:
Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.
Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.
Пример 1: В равнобедренном треугольнике основание в два раза меньше боковой стороны, а периметр равен 50 см. Найдите стороны треугольника.
Дано: АВ = АС, ВС = AC. Р = 50 см.
Найти: ВС, АС, АВ.
Решение:
Рис. 5. Чертеж к примеру 1
Обозначим основание ВС как а, тогда АВ = АС = 2а.
2а + 2а + а = 50.
5а = 50, а = 10.
Ответ: ВС = 10 см, АС = АВ = 20 см.
Пример 2: Докажите, что в равностороннем треугольнике все углы равны.
Дано: АВ = ВС = СА.
Доказать: ∠А = ∠В = ∠С.
Доказательство:
Рис. 6. Чертеж к примеру
∠В = ∠С, так как АВ=АС, а ∠А = ∠В, так как АС = ВС.
Следовательно, ∠А = ∠В = ∠С, что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.
На сегодняшнем уроке мы рассмотрели равнобедренный треугольник, изучили его основные свойства. На следующем уроке мы порешаем задачи по теме равнобедренного треугольника, на вычисление площадт равнобедренного и равностороннего треугольника.
1. № 29. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А. - М.: Просвещение, 2010.
2. Периметр равнобедренного треугольника равен 35 см, а основа втрое меньше боковой стороны. Найдите стороны треугольника.
3. Дано: АВ = ВС. Докажите, что ∠1 = ∠2.
4. Периметр равнобедренного треугольника равен 20 см, одна из его сторон в два раза больше другой. Найдите стороны треугольника. Сколько решений имеет задача?
rf-gk.ru - Портал для мам. Воспитание. Законы. Здоровье. Развитие. Семья. Беременность