Исследовательский проект "Формула Кардано: история и применение". Решение кубических уравнений Формулы феррари и кардано

Содержание

См. также: Тригонометрическая формула Виета

Сведение кубического уравнения к приведенному виду

Рассмотрим кубическое уравнение:
(1) ,
где . Разделим его на :
(2) ,
где , , .
Далее считаем, что , и - есть действительные числа.

Приведем уравнение (2) к более простому виду. Для этого сделаем подстановку
.
;
;
.
Приравняем коэффициент при к нулю. Для этого положим
:
;
;
.
Получаем уравнение приведенного вида:
(3) ,
где
(4) ; .

Вывод формулы Кардано

Решаем уравнение (3). Делаем подстановку
(5) :
;
;
;
.
Чтобы это уравнение удовлетворялось, положим
(6) ;
(7) .

Из (7) имеем:
.
Подставим в (6):
;
.

Решаем квадратное уравнение.
(8) .
Возьмем верхний знак “+”:
,
где мы ввели обозначение
.
Из (6) имеем:
.

Итак, мы нашли решение приведенного уравнения в следующем виде:
(5) ;
(9) ;
(10) ;
(7) ;
(11) .
Такое решение называется формулой Кардано .

Если мы, при выборе знака квадратного корня в (8), возьмем нижний знак, то и поменяются местами и мы не получим ничего нового. Величины и равны кубическим корням, поэтому они имеют по три значения. Из всех возможных пар и нужно выбрать такие, которые удовлетворяют уравнению (7).

Итак, алгоритм решения приведенного кубического уравнения
(3)
следующий.
1) Вначале мы определяем любое значение квадратного корня .
2) Вычисляем три значения кубического корня .
3) Используя формулу (7), для каждого значения , вычисляем значение :
.
В результате получаем три пары величин и .
4) Для каждой пары величин и , по формуле (5) находим значения корней приведенного уравнения (3).
5) Рассчитываем значения корней исходного уравнения (1) по формуле
.
Таким способом мы получаем значения трех корней исходного уравнения. При два или три корня являются кратными (равными).

На шаге 3) данного алгоритма можно поступить по другому. Мы можем вычислить три значения величины по формуле (10). И далее составить три пары корней и так, чтобы для каждой пары выполнялось соотношение
(7) .

Случай Q ≥ 0

Рассмотрим случай . При этом и являются действительными числами. Введем обозначения. Пусть и обозначают действительные значения кубических корней.

Найдем остальные значения корней и . Запишем и в следующем виде:
; ,
где - есть целое число;
- мнимая единица, .
Тогда
.
Присваивая значения , получаем три корня:
, ;
, ;
, .
Точно также получаем три корня :
;
;
.

Теперь группируем и в пары, чтобы, для каждой пары выполнялось соотношение
(7) .
Поскольку , то
.
Тогда
.
Отсюда получаем первую пару: .
Далее замечаем, что
.
Поэтому
; .
Тогда и являются еще двумя парами.

Теперь получаем три корня приведенного уравнения:
;
;
.
Их также можно записать в следующем виде:
(12) ; .
Эти формулы называются формулой Кардано.

При , . Два корня являются кратными:
; .
При все три корня являются кратными:
.

Случай Q < 0

Если мы проследим вывод формулы (12), то увидим, что весь вывод сохранит силу и при отрицательном значении . То есть и могут быть комплексными. Тогда для и можно выбрать любые значения кубических корней, между которыми выполняется соотношение
.

Формула Кардано для решения кубического уравнения

Итак, мы установили, что корни приведенного кубического уравнения
являются более удобной.

Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

См. также:

Кубическим уравнением называется уравнение вида

• ax 3 + bx 2 + cx +d = 0 , (1)
• где a, b,c ,d - постоянные коэффициенты, а х - переменная.

Мы рассмотрим случай, когда коэффициенты являются веществеными числами.

Корни кубического уравнения. Нахождение корней (решение) кубического уравнения.

Число х называется корнем кубического уравнения (1), если при его подстановке уравнение (1) обращается в верное равенство.

Кубическое уравнение имеет не более трех корней (над комплексным полем всегда три корня, с учетом кратности) . И всегда имеет хотя бы 1 (вещественный) корень. Все возможные случаи состава корней легко определить с помощью знака дискриминанта кубического уравнения , т.е.:

Δ= -4b 3 d + b 2 c 2 - 4ac 3 + 18abcd - 27a 2 d 2 (Да, это дискриминант кубического уравнения)

Итак, возможны только 3 следующих случая:

• Δ > 0 - тогда уравнение имеет 3 различных корня. (Для продвинутых - три различных вещественных корня)
• Δ < 0 - уравнение имеет лишь 1 корень. (1 вещественный и пару комплексно сопряженных корней)
• Δ = 0 - хотя бы 2 корня уравнения совпадают. Т.е. мы имеем дело либо с уравнением с 2умя совпадающими корнями, и еще 1ним отличным от них, либо с уравнением с 3емя совпадающими корнями. (В любом случае все корни вещественные. И уравнение имеет 3 совпадающих корня, тогда и только тогда, когда его и его второй производной равен нулю)

Формула Кардано решения кубических уравнений (нахождения корней).

Это формула для нахождения корней канонической формы кубического уравнения. (Над полем комлексных чисел) .

Канонической формой кубического уравнения называется уравнение вида

y 3 + py + q = 0 (2)

К такому виду можно привести любое кубическое уравнение вида (1) с помощью следующей замены:

Итак, приступим к вычислению корней. Найдем следующие величины:

Дискриминант уравнения (2) в этом случае равен

Дискриминант исходного уравнения (1) будет иметь тот же знак, что и вышеуказанный дискриминант. Корни уравнения (2) выражаются следующим образом:

Соответственно, если Q>0, то уравнения (2) и (1) будут иметь лишь 1 (вещественный) корень, y 1 . Подставим его в (3) и найдем х для уравнения (1). (если вас интересуют также мнимые корни, то просто вычислите еще и y 2 , y 3 и подставьте их в (3) .

Если Q<0, то уравнение (2), как и уравнение (1) имеет три различных вещественных корня, но для их вычисления нужно уметь извлекать квадратный корень из отрицательного числа. Если вы это умеете, то проделайте расчеты, получите три корня y 1 , y 2 , y 3 и подставьте их в (3).

Если же Q =0, то все корни уравнений (1) и (2) вещественные, причем как минимум 2 корня каждого из уравнений совпадают. При этом имеем

• α = β, и
• y 1 =2α,
• y 2 = y 3 = - α.

Аналогично подставляем в (3) и получаем ответ.

Тригонометрическая формула Виета решения кубических уравнений (нахождения корней).

Эта формула находит решения приведенного кубического уравнения , то есть уравнения вида

x 3 + ax 2 + bx +c = 0 (4)

Очевидно, любое уравнение вида (1) можно привести к виду (4), просто поделив его на коэффициент а.

Итак, алгоритм применения этой формулы:

1. Вычисляем

2. Вычисляем

3. a) Если S>0, то вычисляем

φ=(arccos(R/Q 3/2))/3

И наше уравнение имеет 3 корня (вещественных) :

б) Если S<0, то заменим тригонометрические функции гиперболическими.

Вычисляем

φ=(Arch(|R|/|Q| 3/2)/3

Тогда единственный корень (вещественный) : x 1 = -2sgn(R)*|Q| 1/2 *ch(φ) - a/3

Для тех, кого интересуют также и мнимые корни:

• x 2 = sgn(R)*|Q| 1/2 *ch(φ) - a/3 +(3|Q|) 1/2 sh(φ)i
• x 3 = sgn(R)*|Q| 1/2 *ch(φ) - a/3 -(3|Q|) 1/2 sh(φ)i

ГДЕ:

• ch(x)=(e x +e -x)/2
• Arch(x) = ln(x + (x 2 -1) 1/2)
• sh(x)=(e x -e -x)/2
• sgn(x) - знак х

в) Если S=0,то уравнение имеет меньше трех различных решений:

Любое кубическое уравнение с действительными коэффициентами имеет по крайней мере один действительный корень, два других либо также действительные, либо являются комплексно сопряженной парой.

Начнем обзор с простейших случаев - двучленного и возвратного уравнений. Затем перейдем к отысканию рациональных корней (если такие имеются). Закончим примером отыскания корней кубического уравнения по формуле Кардано для общего случая.

Навигация по странице.

Решение двучленного кубического уравнения.

Двучленное кубическое уравнение имеет вид .

Это уравнение приводится к виду делением на коэффициент А , отличный от нуля. Далее применяется формула сокращенного умножения сумма кубов:

Из первой скобки находим , а квадратный трехчлен имеет лишь комплексные корни.

Пример.

Найти действительные корни кубического уравнения .

Решение.

Применяем формулу сокращенного умножения разность кубов:

Из первой скобки находим , квадратный трехчлен во второй скобке не имеет действительных корней, так как его дискриминант отрицателен.

Ответ:

Решение возвратного кубического уравнения.

Возвратное кубическое уравнение имеет вид , где А и В – коэффициенты.

Проведем группировку:

Очевидно, что х = -1 является корнем такого уравнения, а корни полученного квадратного трехчлена легко находятся через дискриминант.

Пример.

Решить кубическое уравнение .

Решение.

Это уравнение возвратное. Проведем группировку:

Очевидно, x = -1 является корнем уравнения.

Находим корни квадратного трехчлена :

Ответ:

Решение кубических уравнений с рациональными корнями.

Начнем с простейшего случая, когда х=0 является корнем кубического уравнения .

В этом случае свободный член D равен нулю, то есть уравнение имеет вид .

Если вынести х за скобки, то в скобках останется квадратный трехчлен, корни которого легко найти либо через дискриминант, либо по теореме Виета .

Пример.

Найти действительные корни уравнения .

Решение.

x=0 является корнем уравнения. Найдем корни квадратного трехчлена .

Так как его дискриминант меньше нуля, то действительных корней трехчлен не имеет.

Ответ:

х=0 .

Если коэффициенты кубического уравнения являются целыми числами, то уравнение может иметь рациональные корни.

При , домножим обе части уравнения на и проведем замену переменных y = Ax :

Пришли к приведенному кубическому уравнению. Оно может иметь целые корни, которые являются делителями свободного члена. Так что выписываем все делители и начинаем их подставлять в полученное уравнение до получения тождественного равенства. Тот делитель , при котором тождество получено, является корнем уравнения. Следовательно, корнем исходного уравнения является .

Пример.

Найти корни кубического уравнения .

Решение.

Преобразуем уравнение к приведенному: домножим на обе части и проведем замену переменной y = 2x .

Свободный член равен 36 . Запишем все его делители: .

Подставляем их по очереди в равенство до получения тождества:

Таким образом, y = -1 является корнем. Ему соответствует .

Разделим на , используя :

Получаем,

Осталось найти корни квадратного трехчлена .

Очевидно, что , то есть, его кратным корнем является х=3 .

Ответ:

.

Замечание.

По такому алгоритму можно решать возвратные уравнения. Так как -1 является корнем всякого возвратного кубического уравнения, то можно разделить левую часть исходного уравнения на х+1 и найти корни полученного квадратного трехчлена.

В случае, когда кубическое уравнение не имеет рациональных корней, применяются другие способы решения, к примеру, специфические способы .

Решение кубических уравнений по формуле Кардано.

В общем случае, корни кубического уравнения находятся по формуле Кардано.

Для кубического уравнения находятся значения . Далее находим и .

Подставляем полученные p и q в формулу Кардано:

Кубическое уравнение, содержащее коэффициенты с действительным корнем, остальные два считаются комплексно-сопряженной парой. Будут рассмотрены уравнения с двучленами и возвратные, а также с поиском рациональных корней. Вся информация будет подкреплена примерами.

Решение двучленного кубического уравнения вида A x 3 + B = 0

Кубическое уравнение, содержащее двучлен, имеет вид A x 3 + B = 0 . Его необходимо приводить к x 3 + B A = 0 с помощью деления на А, отличного от нуля. После чего можно применять формулу сокращенного умножения суммы кубов. Получаем, что

x 3 + B A = 0 x + B A 3 x 2 - B A 3 x + B A 2 3 = 0

Результат первой скобки примет вид x = - B A 3 , а квадратный трехчлен - x 2 - B A 3 x + B A 2 3 , причем только с комплексными корнями.

Пример 1

Найти корни кубического уравнения 2 x 3 - 3 = 0 .

Решение

Необходимо найти х из уравнения. Запишем:

2 x 3 - 3 = 0 x 3 - 3 2 = 0

Необходимо применить формулу сокращенного умножения. Тогда получим, что

x 3 - 3 2 = 0 x - 3 3 2 6 x 2 + 3 3 2 6 x + 9 2 3 = 0

Раскроем первую скобку и получим x = 3 3 2 6 . Вторая скобка не имеет действительных корней, потому как дискриминант меньше нуля.

Ответ: x = 3 3 2 6 .

Решение возвратного кубического уравнения вида A x 3 + B x 2 + B x + A = 0

Вид квадратного уравнения - A x 3 + B x 2 + B x + A = 0 , где значения А и В являются коэффициентами. Необходимо произвести группировку. Получим, что

A x 3 + B x 2 + B x + A = A x 3 + 1 + B x 2 + x = = A x + 1 x 2 - x + 1 + B x x + 1 = x + 1 A x 2 + x B - A + A

Корень уравнения равен х = - 1 , тогда для получения корней квадратного трехчлена A x 2 + x B - A + A необходимо задействовать через нахождение дискриминанта.

Пример 2

Решить уравнение вида 5 x 3 - 8 x 2 - 8 x + 5 = 0 .

Решение

Уравнение является возвратным. Необходимо произвести группировку. Получим, что

5 x 3 - 8 x 2 - 8 x + 5 = 5 x 3 + 1 - 8 x 2 + x = = 5 x + 1 x 2 - x + 1 - 8 x x + 1 = x + 1 5 x 2 - 5 x + 5 - 8 x = = x + 1 5 x 2 - 13 x + 5 = 0

Если х = - 1 является корнем уравнения, тогда необходимо найти корни заданного трехчлена 5 x 2 - 13 x + 5:

5 x 2 - 13 x + 5 = 0 D = (- 13) 2 - 4 · 5 · 5 = 69 x 1 = 13 + 69 2 · 5 = 13 10 + 69 10 x 2 = 13 - 69 2 · 5 = 13 10 - 69 10

Ответ:

x 1 = 13 10 + 69 10 x 2 = 13 10 - 69 10 x 3 = - 1

Решение кубических уравнений с рациональными корнями

Если х = 0 , то он является корнем уравнения вида A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 . При свободном члене D = 0 уравнение принимает вид A x 3 + B x 2 + C x = 0 . При вынесении х за скобки получим, что уравнение изменится. При решении через дискриминант или Виета оно примет вид x A x 2 + B x + C = 0 .

Пример 3

Найти корни заданного уравнения 3 x 3 + 4 x 2 + 2 x = 0 .

Решение

Упростим выражение.

3 x 3 + 4 x 2 + 2 x = 0 x 3 x 2 + 4 x + 2 = 0

Х = 0 – это корень уравнения. Следует найти корни квадратного трехчлена вида 3 x 2 + 4 x + 2 . Для этого необходимо приравнять к нулю и продолжить решение при помощи дискриминанта. Получим, что

D = 4 2 - 4 · 3 · 2 = - 8 . Так как его значение отрицательное, то корней трехчлена нет.

Ответ: х = 0 .

Когда коэффициенты уравнения A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 целые, то в ответе можно получить иррациональные корни. Если A ≠ 1 , тогда при умножении на A 2 обеих частей уравнения проводится замена переменных, то есть у = А х:

A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 A 3 · x 3 + B · A 2 · x 2 + C · A · A · x + D · A 2 = 0 y = A · x ⇒ y 3 + B · y 2 + C · A · y + D · A 2

Приходим к виду кубического уравнения. Корни могут быть целыми или рациональными. Чтобы получить тождественное равенство, необходимо произвести подстановку делителей в полученное уравнение. Тогда полученный y 1 будет являться корнем. Значит и корнем исходного уравнения вида x 1 = y 1 A . Необходимо произвести деление многочлена A x 3 + B x 2 + C x + D на x - x 1 . Тогда сможем найти корни квадратного трехчлена.

Пример 4

Решение

Необходимо произвести преобразование с помощью умножения на 2 2 обеих частей, причем с заменой переменной типа у = 2 х. Получаем, что

2 x 3 - 11 x 2 + 12 x + 9 = 0 2 3 x 3 - 11 · 2 2 x 2 + 24 · 2 x + 36 = 0 y = 2 x ⇒ y 3 - 11 y 2 + 24 y + 36 = 0

Свободный член равняется 36 , тогда необходимо зафиксировать все его делители:

± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 4 , ± 6 , ± 9 , ± 12 , ± 36

Необходимо произвести подстановку y 3 - 11 y 2 + 24 y + 36 = 0 , чтобы получить тождество вида

1 3 - 11 · 1 2 + 24 · 1 + 36 = 50 ≠ 0 (- 1) 3 - 11 · (- 1) 2 + 24 · (- 1) + 36 = 0

Отсюда видим, что у = - 1 – это корень. Значит, x = y 2 = - 1 2 .

Имеем, что

2 x 3 - 11 x 2 + 12 x + 9 = x + 1 2 2 x 2 - 12 x + 18 = = 2 x + 1 2 x 2 - 6 x + 9

После чего необходимо найти корни квадратного уравнения вида x 2 - 6 x + 9 . Имеем, что уравнение следует привести к виду x 2 - 6 x + 9 = x - 3 2 , где х = 3 будет его корнем.

Ответ: x 1 = - 1 2 , x 2 , 3 = 3 .

Замечание

Алгоритм можно применять для возвратных уравнений. Видно, что - 1 – это его корень, значит, левая часть может быть поделена на х + 1 . Только тогда можно будет найти корни квадратного трехчлена. При отсутствии рациональных корней применяются другие способы решения для разложения многочлена на множители.

Решение кубических уравнений по формуле Кардано

Нахождение кубических корней возможно при помощи формулы Кардано. При A 0 x 3 + A 1 x 2 + A 2 x + A 3 = 0 необходимо найти B 1 = A 1 A 0 , B 2 = A 2 A 0 , B 3 = A 3 A 0 .

После чего p = - B 1 2 3 + B 2 и q = 2 B 1 3 27 - B 1 B 2 3 + B 3 .

Полученные p и q в формулу Кардано. Получим, что

y = - q 2 + q 2 4 + p 3 27 3 + - q 2 - q 2 4 + p 3 27 3

Подбор кубических корней должен удовлетворять на выходе значению - p 3 . Тогда корни исходного уравнения x = y - B 1 3 . Рассмотрим решение предыдущего примера, используя формулу Кардано.

Пример 5

Найти корни заданного уравнения 2 x 3 - 11 x 2 + 12 x + 9 = 0 .

Решение

Видно, что A 0 = 2 , A 1 = - 11 , A 2 = 12 , A 3 = 9 .

Необходимо найти B 1 = A 1 A 0 = - 11 2 , B 2 = A 2 A 0 = 12 2 = 6 , B 3 = A 3 A 0 = 9 2 .

Отсюда следует, что

p = - B 1 2 3 + B 2 = - - 11 2 2 3 + 6 = - 121 12 + 6 = - 49 12 q = 2 B 1 3 27 - B 1 B 2 3 + B 3 = 2 · - 11 2 3 27 - - 11 2 · 6 3 + 9 2 = 343 108

Производим подстановку в формулу Кордано и получим

y = - q 2 + q 2 4 + p 3 27 3 + - q 2 - - q 2 4 + p 3 27 3 = = - 343 216 + 343 2 4 · 108 2 - 49 3 27 · 12 3 3 + - 343 216 - 343 2 4 · 108 2 - 49 3 27 · 12 3 3 = = - 343 216 3 + - 343 216 3

343 216 3 имеет три значения. Рассмотрим их ниже.

343 216 3 = 7 6 cos π + 2 π · k 3 + i · sin π + 2 π · k 3 , k = 0 , 1 , 2

Если k = 0 , тогда - 343 216 3 = 7 6 cos π 3 + i · sin π 3 = 7 6 1 2 + i · 3 2

Если k = 1 , тогда - 343 216 3 = 7 6 cosπ + i · sinπ = - 7 6

Если k = 2 , тогда - 343 216 3 = 7 6 cos 5 π 3 + i · sin 5 π 3 = 7 6 1 2 - i · 3 2

Необходимо произвести разбиение по парам, тогда получим - p 3 = 49 36 .

Тогда получим пары: 7 6 1 2 + i · 3 2 и 7 6 1 2 - i · 3 2 , - 7 6 и - 7 6 , 7 6 1 2 - i · 3 2 и 7 6 1 2 + i · 3 2 .

Преобразуем при помощи формулы Кордано:

y 1 = - 343 216 3 + - 343 216 3 = = 7 6 1 2 + i · 3 2 + 7 6 1 2 - i · 3 2 = 7 6 1 4 + 3 4 = 7 6 y 2 = - 343 216 3 + - 343 216 3 = - 7 6 + - 7 6 = - 14 6 y 3 = - 343 216 3 + - 343 216 3 = = 7 6 1 2 - i · 3 2 + 7 6 1 2 + i · 3 2 = 7 6 1 4 + 3 4 = 7 6

x 1 = y 1 - B 1 3 = 7 6 + 11 6 = 3 x 2 = y 2 - B 1 3 = - 14 6 + 11 6 = - 1 2 x 3 = y 3 - B 1 3 = 7 6 + 11 6 = 3

Ответ: x 1 = - 1 2 , x 2 , 3 = 3

При решении кубических уравнений можно встретить сведение к решению уравнений 4 степени методом Феррари.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Изложено, как решать кубические уравнения. Рассмотрен случай, когда известен один корень. Методы поиска целых и рациональных корней. Применение формул Кардано и Виета для решения любого кубического уравнения.

Содержание

Здесь мы рассматриваем решение кубических уравнений вида
(1) .
Далее считаем, что - это действительные числа.

(2) ,
то разделив его на , получаем уравнение вида (1) с коэффициентами
.

Уравнение (1) имеет три корня: , и . Один из корней всегда действительный. Действительный корень мы обозначаем как . Корни и могут быть либо действительными, либо комплексно сопряженными. Действительные корни могут быть кратными. Например, если , то и - это двукратные корни (или корни кратности 2), а - простой корень.

Если известен один корень

Пусть нам известен один корень кубического уравнения (1). Обозначим известный корень как . Тогда разделив уравнение (1) на , получим квадратное уравнение. Решая квадратное уравнение, найдем еще два корня и .

Для доказательства воспользуемся тем, что кубический многочлен можно представить в виде:
.
Тогда, разделив (1) на , получаем квадратное уравнение.

Примеры деления многочленов представлены на странице
“Деление и умножение многочлена на многочлен уголком и столбиком ”.
Решение квадратных уравнений рассмотрено на странице
“Корни квадратного уравнения ”.

Если один из корней - целый

Если исходное уравнение имеет вид:
(2) ,
и его коэффициенты , , , - целые числа, то можно попытаться найти целый корень. Если это уравнение имеет целый корень, то он является делителем коэффициента . Метод поиска целых корней заключается в том, что мы находим все делители числа и проверяем, выполняется ли для них уравнение (2). Если уравнение (2) выполняется, то мы нашли его корень. Обозначим его как . Далее делим уравнение (2) на . Получаем квадратное уравнение. Решая его, находим еще два корня.

Примеры определения целых корней даны на странице
Примеры разложения многочленов на множители > > > .

Поиск рациональных корней

Если в уравнении (2) , , , - целые числа, причем , и целых корней нет, то можно попытаться найти рациональные корни, то есть корни вида , где и - целые.

Для этого умножим уравнение (2) на и сделаем подстановку :
;
(3) .
Далее ищем целые корни уравнения (3) среди делителей свободного члена .

Если мы нашли целый корень уравнения (3), то, возвращаясь к переменной , получаем рациональный корень уравнения (2):
.

Формулы Кардано и Виета для решения кубического уравнения

Если нам не известен ни один корень, и целых корней нет, то найти корни кубического уравнения можно по формулам Кардано.

Рассмотрим кубическое уравнение:
(1) .
Сделаем подстановку:
.
После этого уравнение приводится к неполному или приведенному виду:
(4) ,
где
(5) ; .

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Г. Корн, Справочник по математике для научных работников и инженеров, 2012.