Lause terävien kulmien summasta. Kolmion kulman summalause

Se tosiasia, että "Euklidisen geometrian kolmion kulmien summa on 180 astetta" voidaan yksinkertaisesti muistaa. Jos se ei ole helppo muistaa, voit suorittaa pari koetta paremmin muistamiseksi.

Kokeile yksi

Piirrä useita mielivaltaisia ​​kolmioita paperille, esimerkiksi:

• mielivaltaisilla sivuilla;
• tasakylkinen kolmio;
• suorakulmainen kolmio.

Muista käyttää viivainta. Nyt sinun on leikattava tuloksena olevat kolmiot tekemällä se tarkasti piirrettyjä viivoja pitkin. Väritä kunkin kolmion kulmat värikynällä tai tussilla. Esimerkiksi ensimmäisessä kolmiossa kaikki kulmat ovat punaisia, toisessa - sinisiä, kolmannessa - vihreitä. http://bit.ly/2gY4Yfz

Leikkaa ensimmäisestä kolmiosta kaikki 3 kulmaa ja yhdistä ne yhdessä pisteessä kärkipisteineen niin, että kunkin kulman lähimmät sivut ovat yhteydessä toisiinsa. Kuten näet, kolmion kolme kulmaa muodostivat laajennetun kulman, joka on 180 astetta. Tee sama kahdella muulla kolmiolla - tulos on sama. http://bit.ly/2zurCrd

Kokeilu kaksi

Piirrä mielivaltainen kolmio ABC. Valitsemme minkä tahansa kärjen (esimerkiksi C) ja vedämme sen läpi suoran DE, joka on yhdensuuntainen vastakkaisen puolen (AB) kanssa. http://bit.ly/2zbYNzq

Saamme seuraavat:

1. Kulmat BAC ja ACD ovat yhtä suuret kuin sisäkulmat kohtisuorassa AC:hen nähden;
2. Kulmat ABC ja BCE ovat yhtä suuret kuin sisäkulmat kohtisuorassa BC:tä vastaan;
3. Näemme, että kulmat 1, 2 ja 3 ovat kolmion kulmia, jotka on yhdistetty yhdessä pisteessä muodostamaan kehittyneen kulman DCE, joka on 180 astetta.

Kolmion kulman summalause sanoo, että minkä tahansa kolmion kaikkien sisäkulmien summa on 180°.

Olkoon kolmion sisäkulmat a, b ja c, niin:

a + b + c = 180°.

Tästä teoriasta voimme päätellä, että minkä tahansa kolmion kaikkien ulkokulmien summa on 360°. Koska ulkoinen kulma on sisäkulman vieressä, niiden summa on 180°. Olkoon kolmion sisäkulmat a, b ja c, jolloin ulkokulmat näissä kulmissa ovat 180° - a, 180° - b ja 180° - c.

Etsitään kolmion ulkokulmien summa:

180° - a + 180° - b + 180° - c = 540° - (a + b + c) = 540° - 180° = 360°.

Vastaus: kolmion sisäkulmien summa on 180°; kolmion ulkokulmien summa on 360°.

>>Geometria: Kolmion kulmien summa. Täydelliset oppitunnit

Oppitunnin AIHE: Kolmion kulmien summa.

Oppitunnin tavoitteet:

• Opiskelijoiden tietämyksen vahvistaminen ja testaus aiheesta: "Kolmion kulmien summa";
• Kolmion kulmien ominaisuuksien todiste;
• Tämän ominaisuuden soveltaminen yksinkertaisten ongelmien ratkaisemiseen;
• Historiallisen materiaalin käyttö oppilaiden kognitiivisen toiminnan kehittämiseen;
• Tarkkuustaidon kasvattaminen piirustuksia tehtäessä.

Oppitunnin tavoitteet:

• Testaa opiskelijoiden ongelmanratkaisutaitoja.

Tuntisuunnitelma:

1. Kolmio;
2. Lause kolmion kulmien summasta;
3. Esimerkkitehtävät.

Kolmio.

Tiedosto: O.gif Kolmio- yksinkertaisin monikulmio, jossa on 3 kärkeä (kulmaa) ja 3 sivua; osa tasosta, jota rajoittaa kolme pistettä ja kolme segmenttiä, jotka yhdistävät nämä pisteet pareittain.
Kolme avaruuden pistettä, jotka eivät ole samalla suoralla, vastaavat yhtä ja vain yhtä tasoa.
Mikä tahansa monikulmio voidaan jakaa kolmioihin - tätä prosessia kutsutaan kolmio.
Matematiikassa on osa, joka on kokonaan omistettu kolmioiden lakien tutkimiselle - Trigonometria.

Lause kolmion kulmien summasta.

File:T.gif Kolmion kulmien summalause on euklidisen geometrian klassinen lause, joka väittää, että kolmion kulmien summa on 180°.

Todiste" :

Olkoon Δ ABC annettu. Piirretään pisteen B kautta (AC):n suuntainen viiva ja merkitään siihen piste D siten, että pisteet A ja D ovat suoran BC vastakkaisilla puolilla. Tällöin kulma (DBC) ja kulma (ACB) ovat yhtä suuria kuin sisäinen poikittain yhdensuuntaisten viivojen BD ja AC sekä sekantin (BC) kanssa. Tällöin kolmion pisteiden B ja C kulmien summa on yhtä suuri kuin kulma (ABD). Mutta kulma (ABD) ja kulma (BAC) kolmion ABC kärjessä A ovat sisäpuolisia yhdensuuntaisten viivojen BD ja AC sekä sekantin (AB) kanssa, ja niiden summa on 180°. Siksi kolmion kulmien summa on 180°. Lause on todistettu.

Seuraukset.

Kolmion ulkokulma on yhtä suuri kuin kolmen kolmion vierekkäisen kulman summa.

Todiste:

Olkoon Δ ABC annettu. Piste D on suoralla AC siten, että A on C:n ja D:n välissä. Tällöin BAD on kolmion kulman ulkopuolella kärjessä A ja A + BAD = 180°. Mutta A + B + C = 180°, ja siksi B + C = 180° – A. Tästä syystä BAD = B + C. Seuraus on todistettu.

Seuraukset.

Kolmion ulkokulma on suurempi kuin mikä tahansa kolmion kulma, joka ei ole sen vieressä.

Tehtävä.

Kolmion ulkokulma on kolmion minkä tahansa kulman vieressä oleva kulma. Osoita, että kolmion ulkokulma on yhtä suuri kuin kolmen kolmion vierekkäisen kulman summa.
(Kuva 1)

Ratkaisu:

Olkoon Δ ABC ∠DAС ulkoinen (kuva 1). Silloin ∠DAC = 180°-∠BAC (viereisten kulmien ominaisuudella), kolmion kulmien summan lauseella ∠B+∠C = 180°-∠BAC. Näistä yhtälöistä saadaan ∠DAС=∠В+∠С

Mielenkiintoinen fakta:

Kolmion kulmien summa" :

Lobatševskin geometriassa kolmion kulmien summa on aina pienempi kuin 180. Euklidialaisessa geometriassa se on aina 180. Riemannin geometriassa kolmion kulmien summa on aina suurempi kuin 180.

Matematiikan historiasta:

Euclid (3. vuosisata eKr.) antaa teoksessaan "Elementit" seuraavan määritelmän: "Rinnakkaiset viivat ovat samassa tasossa ja jotka ovat jatkuneet molempiin suuntiin loputtomasti, eivät kohtaa toisiaan kummallakaan puolella."
Posidonius (1. vuosisadalla eKr.) "Kaksi suoraa viivaa, jotka sijaitsevat samassa tasossa, tasavälein toisistaan"
Muinainen kreikkalainen tiedemies Pappus (III vuosisata eKr.) esitteli rinnakkaisuuden symbolin suora merkki=. Myöhemmin englantilainen taloustieteilijä Ricardo (1720-1823) käytti tätä symbolia yhtäläisyysmerkkinä.
Vasta 1700-luvulla alettiin käyttää symbolia rinnakkaisille viivoille - merkki ||.
Sukupolvien välinen elävä yhteys ei katkea hetkeksikään, joka päivä opimme esi-isiemme keräämiä kokemuksia. Muinaiset kreikkalaiset tekivät havaintojen ja käytännön kokemusten perusteella johtopäätöksiä, esittivät hypoteeseja ja sitten tutkijoiden kokouksissa - symposiumissa (kirjaimellisesti "juhla") - he yrittivät perustella ja todistaa nämä hypoteesit. Tuolloin syntyi lausunto: "Totuus syntyy kiistana."

Kysymyksiä:

1. Mikä on kolmio?
2. Mitä lause kolmion kulmien summasta sanoo?
3. Mikä on kolmion ulkokulma?

Ennakkotiedot

Katsotaanpa ensin suoraan kolmion käsitettä.

Määritelmä 1

Kutsumme sitä kolmioksi geometrinen kuvio, joka koostuu kolmesta pisteestä, jotka on yhdistetty segmenteillä (kuva 1).

Määritelmä 2

Määritelmän 1 puitteissa kutsumme pisteitä kolmion pisteiksi.

Määritelmä 3

Määritelmän 1 puitteissa segmenttejä kutsutaan kolmion sivuiksi.

On selvää, että missä tahansa kolmiossa on 3 kärkeä sekä kolme sivua.

Lause kolmion kulmien summasta

Esitetään ja todistetaan yksi kolmioon liittyvistä päälauseista, nimittäin kolmion kulmien summan lause.

Lause 1

Minkä tahansa mielivaltaisen kolmion kulmien summa on $180^\circ$.

Todiste.

Tarkastellaan kolmiota $EGF$. Osoittakaamme, että tämän kolmion kulmien summa on $180^\circ$. Tehdään lisäkonstruktio: piirretään suora $XY||EG$ (kuva 2)

Koska suorat $XY$ ja $EG$ ovat yhdensuuntaiset, $∠E=∠XFE$ ovat ristikkäin sekantissa $FE$ ja $∠G=∠YFG$ ovat ristikkäin sekantissa $FG$

Kulma $XFY$ käännetään ja on siten yhtä suuri kuin $180^\circ$.

$∠XFY=∠XFE+∠F+∠YFG=180^\circ$

Siten

$∠E+∠F+∠G=180^\circ$

Lause on todistettu.

Kolmion ulkokulman lause

Toista kolmion kulmien summaa koskevaa lausetta voidaan pitää ulkokulman lauseena. Ensin esitellään tämä käsite.

Määritelmä 4

Kutsumme kolmion ulkokulmaksi kulmaa, joka on minkä tahansa kolmion kulman vieressä (kuva 3).

Tarkastellaan nyt lausetta suoraan.

Lause 2

Kolmion ulkokulma on yhtä suuri kuin kolmen kolmion vierekkäisen kulman summa.

Todiste.

Tarkastellaan mielivaltaista kolmiota $EFG$. Olkoon sillä kolmion $FGQ$ ulkokulma (kuva 3).

Lauseen 1 mukaan meillä on $∠E+∠F+∠G=180^\circ$, joten

$∠G=180^\circ-(∠E+∠F)$

Koska kulma $FGQ$ on ulkoinen, se on siis kulman $∠G$ vieressä

$∠FGQ=180^\circ-∠G=180^\circ-180^\circ+(∠E+∠F)=∠E+∠F$

Lause on todistettu.

Esimerkkitehtävät

Esimerkki 1

Etsi kaikki kolmion kulmat, jos se on tasasivuinen.

Koska tasasivuisen kolmion kaikki sivut ovat yhtä suuret, kaikki kolmion kulmat ovat myös keskenään yhtä suuret. Merkitään heidän astemitat $α$:lla.

Sitten lauseella 1 saamme

$α+α+α=180^\circ$

Vastaus: kaikki kulmat ovat yhtä suuria kuin $60^\circ$.

Esimerkki 2

Etsi kaikki kulmat tasakylkinen kolmio, jos yksi sen kulmista on $100^\circ$.

Otetaan käyttöön seuraava merkintä tasakylkisen kolmion kulmille:

Koska meille ei ole annettu ehdossa tarkalleen, mikä kulma $100^\circ$ on yhtä suuri, kaksi tapausta on mahdollista:

Kulma, joka on yhtä suuri kuin $100^\circ$, on kulma kolmion pohjassa.

Käyttämällä lausetta kulmista tasakylkisen kolmion kantapäässä saamme

$∠2=∠3=100^\circ$

Mutta silloin vain niiden summa on suurempi kuin $180^\circ$, mikä on ristiriidassa Lauseen 1 ehtojen kanssa. Tämä tarkoittaa, että tätä tapausta ei tapahdu.

Kulma, joka on yhtä suuri kuin $100^\circ$, on yhtäläisten sivujen välinen kulma

Lause kolmion sisäkulmien summasta

Kolmion kulmien summa on 180°.

Todiste:

• Annettu kolmio ABC.
• Piirretään kärjen B kautta kantan AC suuntainen suora DK.
• \kulma CBK= \kulma C sisäisenä poikittain makaavana yhdensuuntaisena DK:n ja AC:n kanssa ja sekantti BC.
• \angle DBA = \angle Sisäinen ristikkäin makaava DK \rinnakkais AC ja sekantti AB. Kulma DBK on käänteinen ja yhtä suuri kuin
• \angle DBK = \angle DBA + \angle B + \angle CBK
• Koska taittamaton kulma on 180 ^\circ , ja \angle CBK = \angle C ja \angle DBA = \angle A , saamme 180 ^\circ = \kulma A + \kulma B + \kulma C.

Lause on todistettu

Kolmion kulmien summan lauseen seuraukset:

1. Summa terävät kulmat suorakulmainen kolmio on yhtä suuri kuin 90°.
2. Tasakylkisessä suorakulmainen kolmio jokainen terävä kulma on yhtä suuri 45°.
3. Tasasivuisessa kolmiossa jokainen kulma on yhtä suuri 60°.
4. Missä tahansa kolmiossa joko kaikki kulmat ovat teräviä tai kaksi kulmaa ovat teräviä ja kolmas on tylpä tai suora.
5. Kolmion ulkokulma on yhtä suuri kuin niiden kahden sisäkulman summa, jotka eivät ole sen vieressä.

Kolmion ulkokulman lause

Kolmion ulkokulma on yhtä suuri kuin kolmion kahden jäljellä olevan kulman summa, jotka eivät ole tämän ulkokulman vieressä

Todiste:



• Annettu kolmio ABC, jossa BCD on ulkokulma.
• \kulma BAC + \kulma ABC +\kulma BCA = 180^0
• Tasa-arvoista kulma \angle BCD + \angle BCA = 180^0
• Saamme \angle BCD = \angle BAC+\angle ABC.

Lause. Kolmion sisäkulmien summa on yhtä suuri kuin kaksi suoraa kulmaa.

Otetaan jokin kolmio ABC (kuva 208). Merkitään sen sisäkulmat numeroilla 1, 2 ja 3. Todistetaan tämä

∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°.

Piirretään jonkin kolmion kärjen, esimerkiksi B, läpi AC:n suuntainen suora MN.

Huipussa B saimme kolme kulmaa: ∠4, ∠2 ja ∠5. Niiden summa on suora kulma, joten se on 180°:

∠4 + ∠2 + ∠5 = 180°.

Mutta ∠4 = ∠1 ovat sisäisiä poikittaiskulmia yhdensuuntaisilla viivoilla MN ja AC sekä sekantilla AB.

∠5 = ∠3 - nämä ovat sisäisiä poikittaiskulmia, joissa on yhdensuuntaiset viivat MN ja AC sekä sekantti BC.

Tämä tarkoittaa, että ∠4 ja ∠5 voidaan korvata niiden yhtäläisillä ∠1 ja ∠3.

Siksi ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°. Lause on todistettu.

2. Kolmion ulkokulman ominaisuus.

Lause. Kolmion ulkokulma on yhtä suuri kuin niiden kahden sisäkulman summa, jotka eivät ole sen vieressä.




Itse asiassa kolmiossa ABC (kuva 209) ∠1 + ∠2 = 180° - ∠3, mutta myös ∠ВСD, tämän kolmion ulkokulma, joka ei ole ∠1 ja ∠2 vieressä, on myös 180° -∠3.

Täten:

∠1 + ∠2 = 180° - ∠3;

∠BCD = 180° - ∠3.

Siksi ∠1 + ∠2= ∠BCD.

Kolmion ulkokulman johdettu ominaisuus selventää aiemmin todistetun kolmion ulkokulmaa koskevan lauseen sisältöä, jossa todettiin vain, että kolmion ulkokulma on suurempi kuin kolmion jokainen sisäkulma, joka ei ole sen vieressä; nyt on todettu, että ulkoinen kulma on yhtä suuri kuin niiden sisäisten kulmien summa, jotka eivät ole sen vieressä.

3. Suorakulmaisen kolmion ominaisuus, jonka kulma on 30°.

Lause. Suorakulmaisen kolmion haara, joka sijaitsee vastapäätä 30°:n kulmaa, on yhtä suuri kuin puolet hypotenuusasta.


Olkoon kulma B suorassa kolmiossa ACB yhtä suuri kuin 30° (kuva 210). Silloin sen toinen terävä kulma on 60°.



Osoittakaamme, että jalka AC on yhtä suuri kuin puolet hypotenuusasta AB. Jatketaan jalka AC huipulle oikea kulma C ja aseta sivuun segmentti CM, joka on yhtä suuri kuin segmentti AC. Yhdistä piste M pisteeseen B. Tuloksena oleva kolmio ВСМ yhtä suuri kuin kolmio DIA Näemme, että kolmion ABM jokainen kulma on 60°, joten tämä kolmio on tasasivuinen kolmio.

Jalan AC on puolet AM, ja koska AM on yhtä suuri kuin AB, haara AC on yhtä suuri kuin puolet hypotenuusasta AB.