Samankaltaisten kolmioiden kaavojen ominaisuudet. Merkkejä kolmioiden samankaltaisuudesta ja tasa-arvosta. Samankaltaisten kolmioiden ominaisuudet

Tässä artikkelissa tarkastellaan samankaltaisten kolmioiden käsitettä ja muita tähän määritelmään liittyviä käsitteitä ja lauseita.

Samankaltaisten kolmioiden määritelmä

Tarkastellaan seuraavia kahta kolmiota (kuva 1).

Kuva 1. Samanlaiset kolmiot

Määritelmä 1

Kahta kolmiota kutsutaan samanlaisiksi, jos yhden kolmion kaikkien kulmien kulmat ovat vastaavasti yhtä suuret kuin toisen ja kolmion kulmat ja näiden kolmioiden kaikki samankaltaiset sivut ovat verrannollisia, eli

\[\angle A=\angle A_1,\ \angle B=\angle B_1,\ \angle C=\angle C_1,\] \[\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(BC)((B_1C) _1)=\frac(AC)(A_1C_1)\]

Nimitys: $ABC\sim A_1B_1C_1$

Määritelmä 2

Lukua $k$, joka on yhtä suuri kuin samankaltaisten lukujen samankaltaisten puolien suhde, kutsutaan näiden lukujen samankaltaisuuskertoimeksi.

Samankaltaisten kolmioiden pinta-alojen suhde

Seuraava lause samankaltaisten kolmioiden alueiden välisestä suhteesta liittyy tähän käsitteeseen. Ajatellaanpa sitä ilman todisteita.

Lause 1

Kahden samanlaisen kolmion pinta-alojen suhde on yhtä suuri kuin samankaltaisuuskertoimen neliö, eli

\[\frac(S_(ABC))(S_(A_1B_1C_1))=k^2\]

Merkkejä kolmioiden samankaltaisuudesta

Esitetään kolme kolmioiden samankaltaisuuden kriteeriä.

Lause 2

: Jos yhden kolmion kaksi kulmaa ovat vastaavasti yhtä suuria kuin toisen kolmion kaksi kulmaa, niin tällaiset kolmiot ovat samanlaisia.

Eli jos $\angle A=\angle A_1,\ \angle B=\angle B_1$, niin kolmiot $ABC$ ja $A_1B_1C_1$ ovat samanlaisia ​​(kuva 2).

Kuva 2. Kolmioiden ensimmäinen samankaltaisuuden merkki

Lause 3

Kolmioiden tasa-arvon toinen merkki: Jos yhden kolmion kaksi sivua ovat verrannollisia toisen kolmion vastaaviin sivuihin ja näiden sivujen väliset kulmat ovat yhtä suuret, nämä kolmiot ovat samanlaisia.

Eli jos $\angle A=\angle A_1$ ja $\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(AC)(A_1C_1)$, niin kolmiot $ABC$ ja $A_1B_1C_1$ ovat samanlaisia ​​(kuva 3). ).

Kuva 3. Kolmion samankaltaisuuden toinen merkki

Lause 4

Kolmas merkki kolmioiden samankaltaisuudesta: Jos yhden kolmion kolme sivua ovat verrannollisia toisen kolmion kolmeen vastaavaan sivuun, kolmiot ovat samanlaisia.

Eli jos $\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(BC)((B_1C)_1)=\frac(AC)(A_1C_1)$, kolmiot $ABC$ ja $A_1B_1C_1$ ovat samanlaisia.

Esimerkkejä kolmioiden samankaltaisuuden käsitteen ongelmista

Esimerkki 1

Ovatko tasakylkiset kolmiot samanlaisia, jos ne ovat

Samaa terävää kulmaa pitkin;

Samassa tylpässä kulmassa;

Tasaisessa suorassa kulmassa.

Ratkaisu.

Olkoon tasakylkiset kolmiot $ABC$ ja $A_1B_1C_1$, joissa $\angle A=\angle A_1.$

Olkoon $\angle A=\angle A_1$ -- terävät kulmat kolmiot. Sitten on kaksi mahdollista tapausta:

a) $\angle A=\angle A_1$ - näiden kolmioiden kärkikulmat. Sitten, koska kolmio $ABC$ on tasakylkinen, niin

\[\angle B=\angle C=\frac(180-\angle A)(2)\]

Koska kolmio $A_1B_1C_1$ on tasakylkinen, niin

\[\angle B_1=\angle C_1=\frac(180-A_1)(2)=\frac(180-\angle A)(2)=\angle B=\angle C\]

Eli $\angle B=\angle B_1,\ \ \angle C=\angle C_1$. Ensimmäisen samankaltaisuuskriteerin perusteella näemme, että kolmiot $ABC$ ja $A_1B_1C_1$ ovat samanlaisia.

b) $\angle A=\angle A_1$ - kulmat näiden kolmioiden pohjassa. Koska kolmiot ovat samanlaisia, niiden kulmat pohjassa ovat yhtä suuret. Mutta sitten yhden kolmion kaksi vastaavaa kulmaa ovat yhtä suuria kuin toisen kolmion kaksi vastaavaa kulmaa. Tämä tarkoittaa, että kolmioiden ensimmäisen samankaltaisuuskriteerin mukaan kolmiot ovat samanlaisia.

Koska kulma on tylppä, se sijaitsee näiden kolmioiden pohjalla. Kuten kohta 1,a), huomaamme, että ne ovat samanlaisia.

Koska kulma on oikea, se sijaitsee näiden kolmioiden pohjalla. Kuten kohta 1,a), huomaamme, että ne ovat samanlaisia.

Esimerkki 2

Ovatko kolmiot $ABC$ ja $A_1B_1C_1$ samanlaisia, jos $AB=17,\ BC=30,\ \ AC=42,\ (\ A)_1B_1=34,\ (\ B)_1C_1=60,\ \ A_1C_1= 84 $ ?

Ratkaisu.

Etsitään kolmioiden kunkin sivuparin samankaltaisuuskerroin:

\[\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(17)(34)=\frac(1)(2)\] \[\frac(BC)((B_1C)_1)=\frac(30)( 60)=\frac(1)(2)\] \[\frac(AC)(A_1C_1)=\frac(42)(84)=\frac(1)(2)\]

Saamme

\[\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(BC)((B_1C)_1)=\frac(AC)(A_1C_1)=\frac(1)(2)\]

Näin ollen kolmioiden samankaltaisuuden kolmannen kriteerin mukaan havaitsemme, että nämä kolmiot ovat samanlaisia.

Yleensä kahta kolmiota pidetään samanlaisina, jos niillä on sama muoto, vaikka ne olisivat erikokoisia, kierrettyjä tai jopa ylösalaisin.

Kuvassa esitetty kahden samanlaisen kolmion A 1 B 1 C 1 ja A 2 B 2 C 2 matemaattinen esitys on kirjoitettu seuraavasti:

ΔA 1 B 1 C 1 ~ ΔA 2 B 2 C 2

Kaksi kolmiota ovat samanlaisia, jos:

1. Kolmion jokainen kulma on yhtä suuri kuin toisen kolmion vastaava kulma:
∠A 1 = ∠A 2, ∠B 1 = ∠B 2 Ja ∠C 1 = ∠C 2

2. Yhden kolmion sivujen suhteet toisen kolmion vastaaviin sivuihin ovat keskenään yhtä suuret:
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$

3. Suhteet kaksi puolta yksi kolmio toisen kolmion vastaaville sivuille ovat keskenään yhtä suuret ja samaan aikaan
näiden sivujen väliset kulmat ovat yhtä suuret:
$\frac(B_1A_1)(B_2A_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)$ ja $\angle A_1 = \angle A_2$
tai
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$ ja $\angle B_1 = \angle B_2$
tai
$\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=\frac(C_1A_1)(C_2A_2)$ ja $\angle C_1 = \angle C_2$

Älä sekoita samanlaisia ​​kolmioita samanlaisiin kolmioihin. Tasaisilla kolmioilla on samat vastaavat sivujen pituudet. Siksi yhtenevät kolmiot:

$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=1$

Tästä seuraa, että kaikki yhtä suuret kolmiot ovat samankaltaisia. Kaikki samanlaiset kolmiot eivät kuitenkaan ole samanarvoisia.

Vaikka yllä oleva merkintä osoittaa, että saadaksemme selville, ovatko kaksi kolmiota samanlaisia ​​vai eivät, meidän on tiedettävä kunkin kolmion kolmen kulman arvot tai kolmen sivun pituudet, jotta samankaltaisten kolmioiden kanssa tehtävät ongelmat voidaan ratkaista. mitkä tahansa kolme edellä mainituista arvoista kullekin kolmiolle. Nämä määrät voivat olla eri yhdistelmissä:

1) kunkin kolmion kolme kulmaa (sinun ei tarvitse tietää kolmioiden sivujen pituuksia).

Tai vähintään yhden kolmion 2 kulman on oltava yhtä suuri kuin toisen kolmion 2 kulmaa.
Koska jos 2 kulmaa ovat yhtä suuret, myös kolmas kulma on yhtä suuri (kolmannen kulman arvo on 180 - kulma1 - kulma2)

2) kunkin kolmion sivujen pituudet (kulmia ei tarvitse tietää);

3) molempien sivujen pituudet ja niiden välinen kulma.

Seuraavaksi tarkastellaan joidenkin ongelmien ratkaisemista samanlaisilla kolmioilla. Ensin tarkastellaan ongelmia, jotka voidaan ratkaista suoraan käyttämällä yllä olevia sääntöjä, ja sitten keskustellaan käytännön ongelmista, jotka voidaan ratkaista käyttämällä samanlaista kolmiomenetelmää.

Harjoittele ongelmia samanlaisten kolmioiden kanssa

Esimerkki 1: Osoita, että alla olevan kuvan kaksi kolmiota ovat samanlaisia.

Ratkaisu:
Koska molempien kolmioiden sivujen pituudet tunnetaan, voidaan tässä soveltaa toista sääntöä:

$\frac(PQ)(AB)=\frac(6)(2)=3$ $\frac(QR)(CB)=\frac(12)(4)=3$ $\frac(PR)(AC )=\frac(15)(5)=3$

Esimerkki 2: Osoita, että kaksi annettua kolmiota ovat samanlaisia ​​ja määritä sivujen pituudet PQ Ja PR.

Ratkaisu:
∠A = ∠P Ja ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R(koska ∠C = 180 - ∠A - ∠B ja ∠R = 180 - ∠P - ∠Q)

Tästä seuraa, että kolmiot ΔABC ja ΔPQR ovat samanlaisia. Siten:
$\frac(AB)(PQ)=\frac(BC)(QR)=\frac(AC)(PR)$

$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AB)(PQ)=\frac(4)(PQ) \Rightarrow PQ=\frac(4\times12)(6) = 8$ ja
$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AC)(PR)=\frac(7)(PR) \Rightarrow PR=\frac(7\times12)(6) = 14 dollaria

Esimerkki #3: Määritä pituus AB tässä kolmiossa.

Ratkaisu:

∠ABC = ∠ADE, ∠ACB = ∠AED Ja ∠A yleinen => kolmiot ΔABC Ja ΔADE ovat samankaltaisia.

$\frac(BC)(DE) = \frac(3)(6) = \frac(AB)(AD) = \frac(AB)(AB + BD) = \frac(AB)(AB + 4) = \frac(1)(2) \oikea nuoli 2\ kertaa AB = AB + 4 \oikea nuoli AB = 4 $

Esimerkki #4: Määritä pituus AD (x) geometrinen kuvio kuvan päällä.

Kolmiot ΔABC ja ΔCDE ovat samanlaisia, koska AB || DE ja niillä on yhteinen yläkulma C.
Näemme, että yksi kolmio on skaalattu versio toisesta. Tämä on kuitenkin todistettava matemaattisesti.

AB || DE, CD || AC ja BC || E.C.
∠BAC = ∠EDC ja ∠ABC = ∠DEC

Edellä olevan perusteella ja ottaen huomioon yhteisen kulman olemassaolo C, voimme väittää, että kolmiot ΔABC ja ΔCDE ovat samanlaisia.

Siten:
$\frac(DE)(AB) = \frac(7)(11) = \frac(CD)(CA) = \frac(15)(CA) \Rightarrow CA = \frac(15 \ kertaa 11)(7 ) = 23,57 dollaria
x = AC - DC = 23,57 - 15 = 8,57

Käytännön esimerkkejä

Esimerkki #5: Tehdas käyttää kaltevaa kuljetushihnaa tuotteiden kuljettamiseen tasolta 1 tasolle 2, joka on 3 metriä korkeampi kuin taso 1, kuten kuvassa näkyy. Kalteva kuljetin huolletaan toisesta päästä tasolle 1 ja toisesta päästä 8 metrin etäisyydellä tason 1 toimintapisteestä sijaitsevalle työpaikalle.

Tehdas haluaa päivittää kuljettimen päästäkseen uudelle tasolle, joka on 9 metriä tason 1 yläpuolella, säilyttäen samalla kuljettimen kaltevuuskulman.

Määritä etäisyys, jolle uusi työpiste on asennettava varmistaaksesi, että kuljetin toimii uudessa päässään tasolla 2. Laske myös lisämatka, jonka tuote kulkee siirtyessään uudelle tasolle.

Ratkaisu:

Merkitään ensin jokainen risteyspiste tietyllä kirjaimella, kuten kuvassa näkyy.

Edellä aiemmissa esimerkeissä esitetyn päättelyn perusteella voimme päätellä, että kolmiot ΔABC ja ΔADE ovat samanlaisia. Siten,

$\frac(DE)(BC) = \frac(3)(9) = \frac(AD)(AB) = \frac(8)(AB) \Rightarrow AB = \frac(8 \ kertaa 9)(3 ) = 24 m$
x = AB - 8 = 24 - 8 = 16 m

Uusi piste on siis asennettava 16 metrin etäisyydelle olemassa olevasta pisteestä.

Ja koska rakenne koostuu suorakulmaisista kolmioista, voimme laskea tuotteen liikeetäisyyden seuraavasti:

$AE = \sqrt(AD^2 + DE^2) = \sqrt(8^2 + 3^2) = 8,54 m$

Vastaavasti $AC = \sqrt(AB^2 + BC^2) = \sqrt(24^2 + 9^2) = 25,63 m$
mikä on matka, jonka tuote kulkee Tämä hetki saavuttaessaan nykyisen tason.

y = AC - AE = 25,63 - 8,54 = 17,09 m
tämä on lisämatka, joka tuotteen on kuljettava saavuttaakseen uuden tason.

Esimerkki #6: Steve haluaa käydä ystävänsä luona, joka muutti äskettäin uusi talo. Tiekartta ohjeet Steven ja hänen ystävänsä taloon sekä Steven tuntemat etäisyydet näkyvät kuvassa. Auta Steveä pääsemään ystävänsä kotiin mahdollisimman nopeasti.

Ratkaisu:

Tiekartta voidaan esittää geometrisesti seuraavalla lomakkeella, kuten kuvassa näkyy.

Näemme, että kolmiot ΔABC ja ΔCDE ovat samanlaisia, joten:
$\frac(AB)(DE) = \frac(BC)(CD) = \frac(AC)(CE)$

Ongelmalausunnossa sanotaan, että:

AB = 15 km, AC = 13,13 km, CD = 4,41 km ja DE = 5 km

Näiden tietojen avulla voimme laskea seuraavat etäisyydet:

$BC = \frac(AB \times CD)(DE) = \frac(15 \times 4,41)(5) = 13,23 km$
$CE = \frac(AC \kertaa CD)(BC) = \frac(13,13 \kertaa 4,41) (13,23) = 4,38 km$

Steve pääsee ystävänsä kotiin seuraavia reittejä pitkin:

A -> B -> C -> E -> G, kokonaismatka on 7,5+13,23+4,38+2,5=27,61 km

F -> B -> C -> D -> G, kokonaismatka on 7,5+13,23+4,41+2,5=27,64 km

F -> A -> C -> E -> G, kokonaismatka on 7,5+13,13+4,38+2,5=27,51 km

F -> A -> C -> D -> G, kokonaismatka on 7,5+13,13+4,41+2,5=27,54 km

Siksi reitti nro 3 on lyhin ja sitä voidaan tarjota Stevelle.

Esimerkki 7:
Trisha haluaa mitata talon korkeuden, mutta hänellä ei ole oikeita työkaluja. Hän huomasi talon edessä kasvavan puun ja päätti käyttää kekseliäisyyttään ja koulussa hankkimiaan geometriatietojaan rakennuksen korkeuden määrittämiseen. Hän mittasi etäisyyden puusta taloon, tulos oli 30 m. Sitten hän seisoi puun edessä ja alkoi liikkua taaksepäin, kunnes rakennuksen yläreuna tuli näkyviin puun latvan yläpuolelle. Trisha merkitsi tämän paikan ja mittasi etäisyyden siitä puuhun. Tämä etäisyys oli 5 m.

Puun korkeus on 2,8 m ja Trishan silmien korkeus on 1,6 m Auta Trishaa määrittämään rakennuksen korkeus.

Ratkaisu:

Ongelman geometrinen esitys on esitetty kuvassa.

Ensin käytämme kolmioiden ΔABC ja ΔADE samankaltaisuutta.

$\frac(BC)(DE) = \frac(1.6)(2.8) = \frac(AC)(AE) = \frac(AC)(5 + AC) \Oikeanuoli 2.8 \kertaa AC = 1.6 \kertaa (5) + AC) = 8 + 1,6 \ kertaa AC$

$(2,8 - 1,6) \ kertaa AC = 8 \Oikea nuoli AC = \frac(8) (1,2) = 6,67 $

Voimme sitten käyttää kolmioiden ΔACB ja ΔAFG tai ΔADE ja ΔAFG samankaltaisuutta. Valitaan ensimmäinen vaihtoehto.

$\frac(BC)(FG) = \frac(1.6)(H) = \frac(AC)(AG) = \frac(6.67)(6.67 + 5 + 30) = 0.16 \nuoli oikealle H = \frac(1.6 )(0,16) = 10 m$

Kolmioiden samankaltaisuus Kahta kolmiota kutsutaan samanlaisiksi, jos toisen kulmat ovat vastaavasti yhtä suuret kuin toisen kulmat ja vastaavat sivut ovat verrannollisia. Suhteellisuuskerrointa kutsutaan samankaltaisuuskertoimeksi. Siten kolmio ABC on samanlainen kuin kolmio A 1 B 1 C 1, jos A = A 1, B = B 1, C = C 1 ja missä k on samankaltaisuuskerroin.

Ensimmäinen samankaltaisuuden merkki Lause. (Ensimmäinen samankaltaisuuden merkki.) Jos yhden kolmion kaksi kulmaa ovat yhtä suuret kuin toisen kolmion kaksi kulmaa, niin tällaiset kolmiot ovat samanlaisia. Todiste. Olkoon kolmioissa ABC ja A 1 B 1 C 1 A = A 1, B= B 1. Sitten C= C 1. Todistetaan tämä. Asetetaan säteelle A 1 B 1 jana A 1 B ", joka on yhtä suuri kuin AB, ja piirretään suora B "C" yhdensuuntaisesti B 1 C 1:n kanssa. Kolmiot A 1 B "C" ja ABC ovat yhtä suuret ( Kolmioiden tasa-arvon toisen kriteerin mukaan yhtäläisyys pätee.

Kysymys 1 Mitä kolmioita kutsutaan samanlaisiksi? Vastaus: Kahta kolmiota kutsutaan samanlaisiksi, jos toisen kulmat ovat vastaavasti yhtä suuret kuin toisen kulmat ja vastaavat sivut ovat verrannollisia.

Kysymys 2 Muotoile kolmiot. Ensimmäinen samankaltaisuuden merkki Vastaus: Jos yhden kolmion kaksi kulmaa ovat yhtä suuria kuin toisen kolmion kaksi kulmaa, niin tällaiset kolmiot ovat samanlaisia.

Kysymys 3 Onko kaksi samanlaista: a) tasasivuinen kolmio; b) tasakylkiset kolmiot; c) tasakylkiset suorakulmaiset kolmiot? Vastaus: a) Kyllä; b) ei; c) kyllä.

Harjoitus 4 Piirrä samanlainen kolmio A’B’C’ tämä kolmio ABC, samankaltaisuuskertoimella 0,5 Vastaus:

Harjoitus 5 Kolmion sivut ovat 5 cm, 8 cm ja 10 cm. Etsi samankaltaisen kolmion sivut, jos samankaltaisuuskerroin on: a) 0,5; b) 2. Vastaus: a) 2,5 cm, 4 cm ja 5 cm; b) 10 cm, 16 cm ja 20 cm.

Harjoitus 6 Ovatko suorakulmaiset kolmiot samanlaisia, jos toisen kulma on 40° ja toisen 50°? Vastaus: Kyllä.

Harjoitus 7 Kaksi kolmiota ovat samanlaisia. Yhden kolmion kaksi kulmaa ovat 55° ja 80°. Etsi toisen kolmion pienin kulma. Vastaus: 45 o.

Harjoitus 8 Etsi samanlaisista kolmioista ABC ja A 1 B 1 C 1 AB = 8 cm, BC = 10 cm, A 1 B 1 = 5,6 cm, A 1 C 1 = 10,5 cm. Vastaus: AC = 15 cm, B 1 C 1 = 7 cm.

Harjoitus 9 Kolmiot ABC ja A 1 B 1 C 1 A = A 1, B = B 1, AB = 5 m, BC = 7 m, A 1 B 1 = 10 m, A 1 C 1 = 8 m. Etsi loput kolmioiden sivut. Vastaus: AC = 4 m, B 1 C 1 = 14 m.

Harjoitus 10 Kolmion sivut ovat suhteessa 5:3:7. Etsi samankaltaisen kolmion sivut, jonka: a) ympärysmitta on 45 cm; b) lyhyempi sivu on 5 cm; c) suurempi sivu on 7 cm; d) suuremman ja pienemmän sivun välinen ero on 2 cm. Vastaus: a) 15 cm, 9 cm, 21 cm; b) 8 cm, 5 cm, 11 cm; c) 5 cm, 3 cm, 7 cm; d) 2,5 cm, 1,5 cm, 3,5 cm.

Harjoitus 11 Merkitse kuvassa kaikki samanlaiset kolmiot. Vastaus: a) ABC, FEC, DBE; b) ABC, GFC, AGD, FBE; c) ABC, CDA, AEB, BEC; d) AOB, COD; e) ABC ja FGC; ADC ja FEC; DBC ja EGC.

Harjoitus 12 Kahden tasakylkisen kolmion sivuilla on samat kulmat. Yhden kolmion sivu on 17 cm ja kanta 10 cm, toisen kanta on 8 cm. Etsi sen sivu. Vastaus: 13,6 cm.

Harjoitus 13 Neliö on piirretty kolmioon, jonka sivu a ja korkeus h on laskettu sen päälle siten, että sen kaksi kärkeä on kolmion tällä puolella ja kaksi muuta kolmion kahdella muulla sivulla. Etsi neliön sivu. Vastaus:.

Harjoitus 14 Kolmioon ABC kirjoitetaan rombi ADEF siten, että kulma A on niille yhteinen ja kärki E on sivulla BC. Etsi rombin sivu, jos AB = c ja AC = b. Vastaus:.

Harjoitus 15 Onko mahdollista leikata kolmiota suoralla, joka ei ole yhdensuuntainen kannan kanssa, leikkaamaan siitä pois samanlainen kolmio? Missä tapauksessa tämä on mahdotonta? Vastaus: Kyllä, jos kolmio ei ole tasasivuinen.

Harjoitus 16 Olkoot AC ja BD ympyrän jänteitä, jotka leikkaavat pisteessä E. Osoita, että kolmiot ABE ja CDE ovat samanlaisia. Todistus: Kolmion ABE kulma A yhtä suuri kuin kulma Kolmion CDE D sisäänkirjoitettuina kulmina, jotka perustuvat yhteen ympyrän kaareen. Samoin kulma B on yhtä suuri kuin kulma C. Siksi kolmiot ABE ja CDE ovat samanlaisia ​​ensimmäisessä suhteessa.

Harjoitus 17 Kuvassa AE = 3, BE = 6, CE = 2. Etsi DE. Vastaus: 4.

Harjoitus 18 Kuvassa AB = 8, BE = 6, DE = 4. Etsi CD. Vastaus:.

Harjoitus 19 Kuvassa CE = 2, DE = 5, AE = 4. Etsi BE. Vastaus: 10.

Harjoitus 20 Kuvassa CE = 4, CD = 10, AE = 6. Etsi AB. Vastaus: 15.

Harjoitus 21 Kuvassa DL on ympyrään piirretyn kolmion DEF puolittaja. DL leikkaa ympyrän pisteessä K, joka on janoilla yhdistetty kolmion pisteisiin E ja F. Etsi samanlaisia ​​kolmioita. Vastaus: DEK ja DLF, DEK ja ELK, DLF ja ELK, DFK ja DLE, DFK ja FLK, DLE ja FLK.

Harjoitus 22 Terävä kolmio ABC on piirretty ympyrään, AH on sen korkeus, AD on ympyrän halkaisija, joka leikkaa sivun BC pisteessä M. Piste D on kytketty kolmion pisteisiin B ja C. Etsi samanlaisia ​​kolmioita. Vastaus: ABH ja ADC, ACH ja ADB, ABM ja CDM, BMD ja AMC.

Harjoitus 23 Osoita, että minkä tahansa ympyrän sisäpisteen läpi vedetyn jänteen segmenttien tulo on yhtä suuri kuin halkaisijaltaan saman pisteen läpi vedettyjen segmenttien tulo. Ratkaisu. Otetaan ympyrä, jonka keskipiste on pisteessä O, jänne AB ja halkaisija CD leikkaavat pisteessä E. Osoitetaan, että kolmiot ACE ja DBE ovat samanlaisia. Siksi se tarkoittaa

Harjoitus 24 Ympyrän ulkoisen pisteen E läpi vedetään kaksi suoraa, jotka leikkaavat ympyrän pisteissä A, C ja B, D. Osoita, että kolmiot ADE ja BCE ovat samanlaisia. Todistus: Kolmion ADE kulma D on yhtä suuri kuin kolmion BCE kulma C, samoin kuin piirretyt kulmat, joita rajoittaa sama ympyrän kaari. Näiden kolmioiden kulma E on yhteinen. Siksi kolmiot ADE ja BCE ovat samanlaisia ​​ensimmäisessä suhteessa.

Harjoitus 25 Ympyrän ulkoisen pisteen E läpi piirretään kaksi suoraa, jotka leikkaavat ympyrän pisteissä A, C ja B, D. Todista, että AE·CE = BE·DE. Todiste: Kolmiot ADE ja BCE ovat samanlaisia. Joten AE: DE = BE: CE. Siksi AE·CE = BE·DE.

Harjoitus 26 Kuvassa AE = 9, BE = 8, CE = 24. Etsi DE. Vastaus: 27.

Harjoitus 27 Ympyrän ulkopisteen E läpi piirretään suora, joka leikkaa ympyrän pisteissä A ja B, ja tangentti EC (C on tangenttipiste). Todista, että kolmiot EAC ja ECB ovat samanlaisia. Todiste. Kolmiot EAC ja ECB jakavat kulman E. Kulmat ACE ja CBE ovat yhtä suuret, samoin kuin kulmat, jotka ovat saman jänteen alaisia. Siksi kolmiot EAC ja ECB ovat samanlaisia.

Harjoitus 28 Ympyrän ulkopisteen E läpi piirretään suora, joka leikkaa ympyrän pisteissä A ja B, ja tangentti EC (C on tangenttipiste). Osoita, että sekanttien AE ja BE tulo on yhtä suuri kuin tangenttisegmentin CE neliö. Todiste. Kolmiot EAC ja EKP ovat samanlaisia. Siksi AE: CE = CE: BE, mikä tarkoittaa AE BE = CE 2.

Harjoitus 30 Kolmiossa ABC piirretään korkeudet AA 1 ja BB 1. Osoita, että kolmiot A 1 AC ja B 1 BC ovat samanlaisia. Todiste. Kolmiot A 1 AC ja B 1 BC ovat suorakulmaisia ​​kolmioita ja niillä on yhteinen kulma C. Siksi ne ovat samanlaisia ​​kahdessa kulmassa.

Harjoitus 31 Todista se suorakulmainen kolmio kohtisuorassa pudonnut oikea kulma hypotenuusalle, on jalkojen hypotenuusan ulokkeiden geometrinen keskiarvo. (Kahden positiivisen luvun a ja b geometrinen keskiarvo on positiivinen luku c, jonka neliö on yhtä suuri kuin ab, eli c =). Ratkaisu: Kolmiot ADC ja CDB ovat samanlaisia. Siksi joko CD 2 = AD BD, eli CD on AD:n ja BD:n geometrinen keskiarvo.

Harjoitus 32 Kolmiossa ABC piste H on korkeuksien leikkauspiste, piste O on rajatun ympyrän keskipiste. Osoita, että janan CH pituus on kaksi kertaa etäisyys pisteestä O suoraan AB. Ratkaisu: Olkoot B 1, C 1 kolmion ABC sivujen AC ja AB keskipisteet. Kolmiot HBC ja OB 1 C 1 ovat samanlaisia, BC = 2 B 1 C 1. Siksi CH = 2 OC 1.

Lause 1. Ensimmäinen merkki kolmioiden samankaltaisuudesta. Jos yhden kolmion kaksi kulmaa ovat vastaavasti yhtä suuria kuin toisen kolmion kaksi kulmaa, niin tällaiset kolmiot ovat samanlaisia.

Todiste. Olkoot ABC ja $A_1B_1C_1$ kolmioita, joissa $\angle A = \angle A_1 ; \angle B = \angle B_1$ , ja siksi $\angle C = \angle C_1$ . Todistetaan, että $\kolmio ABC \sim \kolmio A_1B_1C_1$ (kuva 1).

Piirretään pisteelle BA pisteestä B jana $BA_2$, joka on yhtä suuri kuin jana $A_1B_1$, ja pisteen $A_2$ kautta piirretään suoran AC kanssa yhdensuuntainen viiva. Tämä suora leikkaa BC:n jossain pisteessä $C_2$. Kolmiot $A_1B_1C_1\text( ja )A_2BC_2$ ovat yhtä suuret: $A_1B_1 = A_2B$ rakenteen mukaan, $\angle B = \angle B_1$ ehdon mukaan ja $\angle A_1 = \angle A_2$ , koska $\kulma A_1 = \ kulma A$ ehdon mukaan ja $\angle A = \angle A_2$ vastaavina kulmina. Tekijä: Lemma 1 samankaltaisista kolmioista meillä on: $\triangle A_2BC_2 \sim \triangle ABC$ , ja siksi $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$ . Lause on todistettu.

Lauseet 2 ja 3 on laadittu käyttämällä samanlaista kaavaa.

Lause 2. Kolmioiden toinen samankaltaisuuden merkki. Jos yhden kolmion kaksi sivua ovat verrannollisia toisen kolmion kahteen sivuun ja näiden sivujen väliset kulmat ovat yhtä suuret, kolmiot ovat samanlaisia.

Lause 3. Kolmas merkki kolmioiden samankaltaisuudesta. Jos yhden kolmion kolme sivua ovat verrannollisia toisen kolmion kolmeen sivuun, kolmiot ovat samanlaisia.

Lauseesta 1 seuraa seuraavaa.

Johtopäätös 1. Samankaltaisissa kolmioissa samanlaiset sivut ovat verrannollisia samanlaisiin korkeuksiin, eli niihin korkeuksiin, jotka on laskettu samanlaisille sivuille.

Esimerkki 1. Ovatko kaksi tasasivuista kolmiota samanlaisia?

Ratkaisu. Koska tasasivuisessa kolmiossa jokainen sisäkulma on 60° ( seuraus 3), silloin kaksi tasasivuista kolmiota ovat samanlaisia ​​ensimmäisellä tavalla.

Esimerkki 2. Kolmioissa ABC ja $A_1B_1C_1$ tiedetään, että $\angle A = \angle A_1 ; \kulma B = \kulma B_1 ; AB = 5 m, BC = 7 m, A_1B_1 = 10 m, A_1C_1 = 8 m.$ Etsi kolmioiden tuntemattomat sivut.

Ratkaisu. Tehtävän ehdon määrittelemät kolmiot ovat samankaltaisia ​​ensimmäisen samankaltaisuuden merkin mukaan. Kolmioiden samankaltaisuudesta seuraa: $$ \frac(AB)(A_1B_1) = \frac(BC)(B_1C_1) = \frac(AC)(A_1C_1) \,\,\, (1) $$ Korvaaminen tasa-arvoon (1) data ongelmaehdoista, saamme: $$ \frac(5)(10) = \frac(7)(B_1C_1) = \frac(AC)(8) \,\,\, (2) $ $ Tehdään yhtälöstä (2 ) kaksi mittasuhdetta $$ \frac(5)(10) = \frac(7)(B_1C_1) \\ \frac(5)(10) = \frac(AC)(8) \\ \text( mistä )B_1C_1 = 14 (m), AC = 4 (m). $$

Esimerkki 3. Kolmioiden ABC ja $A_1B_1C_1$ kulmat B ja $B_1$ ovat yhtä suuret. Kolmion ABC sivut AB ja BC ovat 2,5 kertaa suuremmat kuin kolmion $A_1B_1C_1$ sivut $A_1B_1$ ja $B_1C_1$. Etsi AC ja $A_1C_1$, jos niiden summa on 4,2 m.

Ratkaisu. Täyttää kuvan 2 tehtävän ehdot.

Tehtävälauseesta: $$ 1) \angle B = \angle B_1 ; \\ 2) \frac(AB)(A_1B_1) = \frac(BC)(B_1C_1) = 2,5 \\ 3) AC + A_1C_1 = 4,2 m $$ Siksi $\kolmio ABC \sim \kolmio A_1B_1C_1$. Näiden kolmioiden samankaltaisuudesta seuraa $$ \frac(AC)(A_1C_1) = 2.5\text( tai )AC = 2.5\bullet A_1C_1 $$ Koska AC = 2.5 A 1 C 1, sitten AC + A 1 C 1 = 2,5 A1C1 + A1C1 = 4,2, josta A1C1 = 1,2 (m), AC = 3 (m).

Esimerkki 4. Ovatko kolmiot ABC ja A 1 B 1 C 1 samanlaisia, jos AB = 3 cm, BC = 5 cm, AC = 7 cm, A 1 B 1 = 4,5 cm, B 1 C 1 = 7,5 cm, A 1 C 1 = 10,5 cm ?

Ratkaisu. Meillä on: $$ \frac(AB)(A_1B_1) = \frac(3)(4.5) = \frac(1)(1.5) \\ \frac(BC)(B_1C_1) = \frac(5) (7.5) = \frac(1)(1.5) \\ \frac(AC)(A_1C_1) = \frac(7)(10.5) = \frac(1)(1.5) $$ Siksi kolmiot ovat samanlaisia ​​kolmannen kriteerin mukaan .

Esimerkki 5. Todista, että kolmion mediaanit leikkaavat yhdessä pisteessä, joka jakaa jokaisen mediaanin suhteessa 2:1, laskettuna kärjestä.

Ratkaisu. Tarkastellaan mielivaltaista kolmiota ABC. Merkitään O-kirjaimella sen mediaanien $AA_1\text( ja )BB_1$ leikkauspiste ja piirretään keskiviiva$A_1B_1$ tästä kolmiosta (kuva 3).

Jana $A_1B_1$ on yhdensuuntainen sivun AB kanssa, joten $\angle 1 = \angle2 \text( and ) \angle 3 = \angle 4 $. Näin ollen kolmiot AOB ja $A_1OB_1$ ovat samanlaisia ​​kahdessa kulmassa, ja siksi niiden sivut ovat verrannollisia: $$ \frac(AO)(A_1O) = \frac(BO)(B_1O) = \frac(AB)(A_1B_1 ) $ $

Mutta $AB = 2A_1B_1$ , joten $AO = 2A_1O$ ja $BO = 2B_1O$ .

Samoin on todistettu, että mediaanien $BB_1\text( ja )CC_1) leikkauspiste jakaa ne kukin suhteessa 2:1, laskettuna kärjestä, ja siten osuu yhteen pisteen O kanssa.

Joten kaikki kolme kolmion ABC mediaania leikkaavat pisteessä O ja jakavat sen suhteessa 2:1, laskettuna kärjestä.

Kommentti. Aiemmin todettiin, että kolmion puolittajat leikkaavat yhdessä pisteessä ja kolmion sivuille kohtisuorassa olevat puolittajat leikkaavat yhdessä pisteessä. Viimeisen lauseen perusteella todetaan, että kolmion korkeudet (tai niiden jatkeet) leikkaavat yhdessä pisteessä. Näitä kolmea pistettä ja mediaanien leikkauspistettä kutsutaan kolmion merkittäviksi pisteiksi.

Esimerkki 6. Projektori valaisee täysin 90 cm korkean valkokankaan, joka sijaitsee 240 cm:n etäisyydellä Millä minimietäisyydellä projektorista 150 cm korkea valkokangas B tulisi sijoittaa niin, että se on täysin valaistu, jos projektorin asetukset säilyvät. muuttumattomana.

Video ratkaisu.