Kuinka ratkaista yhtälön logaritmit. Logaritmiset yhtälöt. Kuinka ratkaista logaritmiset yhtälöt? Yksinkertaisten logaritmien yhtälöiden ratkaiseminen

Tällä oppitunnilla käymme läpi logaritmien teoreettiset perusasiat ja harkitsemme yksinkertaisimpien logaritmien yhtälöiden ratkaisemista.

Muistakaamme keskeinen määritelmä - logaritmin määritelmä. Se liittyy päätökseen eksponentiaalinen yhtälö. Tämä yhtälö sillä on yksi juuri, sitä kutsutaan logaritmiksi b:stä kantaan a:

Määritelmä:

B:n logaritmi kantaan a on eksponentti, johon kanta a on nostettava, jotta saadaan b.

Muistutetaan logaritminen perusidentiteetti.

Lauseke (lauseke 1) on yhtälön (lauseke 2) juuri. Korvaa lausekkeen 1 arvo x lausekkeen 1 sijasta lausekkeeseen 2 ja saat päälogaritmisen identiteetin:

Joten näemme, että jokainen arvo liittyy arvoon. Merkitsemme b:tä x(), c:tä y:llä, ja näin saadaan logaritminen funktio:

Esimerkiksi:

Muistakaamme logaritmisen funktion perusominaisuudet.

Kiinnitämme vielä kerran huomiota tähän, koska logaritmin alla voi olla tiukasti positiivinen lauseke logaritmin perustana.

Riisi. 1. Kuvaaja logaritmisesta funktiosta eri kannassa

Funktion at kaavio näytetään mustalla. Riisi. 1. Jos argumentti kasvaa nollasta äärettömään, funktio kasvaa miinuksesta plus äärettömään.

Funktion at kaavio näkyy punaisella. Riisi. 1.

Tämän toiminnon ominaisuudet:

Verkkotunnus: ;

Arvoalue: ;

Funktio on monotoninen koko määritelmänsä ajan. Kun monotonisesti (tiukasti) kasvaa, korkeampi arvo argumentti vastaa funktion suurempaa arvoa. Kun monotonisesti (tiukasti) pienenee, suurempi argumentin arvo vastaa pienempää funktion arvoa.

Logaritmisen funktion ominaisuudet ovat avain useiden logaritmisen yhtälöiden ratkaisemiseen.

Tarkastellaan yksinkertaisinta logaritmista yhtälöä, yleensä kaikki muut logaritmiset yhtälöt pelkistetään tähän muotoon.

Koska logaritmien kantakannat ja itse logaritmit ovat yhtä suuret, myös logaritmin alla olevat funktiot ovat yhtä suuret, mutta määritelmäaluetta ei saa jättää väliin. Vain positiivinen luku voi esiintyä logaritmin alla, meillä on:

Huomasimme, että funktiot f ja g ovat yhtä suuret, joten ODZ:n noudattamiseksi riittää, että valitaan mikä tahansa epäyhtälö.

Siten meillä on sekajärjestelmä, jossa on yhtälö ja epäyhtälö:

Epäyhtälöä ei pääsääntöisesti tarvitse ratkaista, riittää, että yhtälö ratkaistaan ​​ja löydetyt juuret korvataan epäyhtälöllä, jolloin suoritetaan tarkistus.

Muotoilkaamme menetelmä yksinkertaisimpien logaritmien yhtälöiden ratkaisemiseksi:

Tasaa logaritmien kanta;

Yhdistä sublogaritmiset funktiot;

Suorita tarkistus.

Katsotaanpa konkreettisia esimerkkejä.

Esimerkki 1 - ratkaise yhtälö:

Logaritmien perusteet ovat alun perin samat, meillä on oikeus rinnastaa sublogaritmiset lausekkeet, älä unohda ODZ: tä, valitsemme ensimmäisen logaritmin epäyhtälön muodostamiseksi:

Esimerkki 2 - ratkaise yhtälö:

Tämä yhtälö eroaa edellisestä siinä, että logaritmien kantaluvut ovat pienempiä kuin yksi, mutta tämä ei vaikuta ratkaisuun millään tavalla:

Etsitään juuri ja korvataan se epäyhtälöllä:

Saimme virheellisen epäyhtälön, mikä tarkoittaa, että löydetty juuri ei täytä ODZ:tä.

Esimerkki 3 - ratkaise yhtälö:

Logaritmien perusteet ovat alun perin samat, meillä on oikeus rinnastaa sublogaritmiset lausekkeet, älä unohda ODZ: tä, valitsemme toisen logaritmin epäyhtälön muodostamiseksi:

Etsitään juuri ja korvataan se epäyhtälöllä:

Ilmeisesti vain ensimmäinen juuri täyttää ODZ:n.

Esimerkkejä:

\(\log_(2)(⁡x) = 32\)
\(\log_3⁡x=\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡((x^2-3))=\log_3⁡((2x))\)
\(\log_(x+1)((x^2+3x-7))=2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10=11 \lg⁡((x+1))\)

Kuinka ratkaista logaritmiset yhtälöt:

Kun ratkaiset logaritmisen yhtälön, sinun tulee pyrkiä muuttamaan se muotoon \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) ja sitten muuttamaan muotoon \(f(x) )=g(x) \).

\(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) \(⇒\) \(f(x)=g(x)\).

Esimerkki:\(\log_2⁡(x-2)=3\)

Ratkaisu: \(\log_2⁡(x-2)=\log_2⁡8\) \(x-2=8\) \(x=10\) Tutkimus:\(10>2\) - sopii DL:lle Vastaus:\(x=10\)

ODZ: \(x-2>0\) \(x>2\)

Hyvin tärkeä! Tämä siirto voidaan tehdä vain, jos:

Olet kirjoittanut alkuperäiselle yhtälölle, ja lopuksi tarkistat, ovatko löydetyt sisällytetty DL:ään. Jos tätä ei tehdä, ylimääräisiä juuria voi ilmestyä, mikä tarkoittaa väärää päätöstä.

Numero (tai lauseke) vasemmalla ja oikealla on sama;

Vasemmalla ja oikealla olevat logaritmit ovat "puhtaita", eli kertoja, jakolastoja jne. – vain yksittäiset logaritmit yhtäläisyysmerkin kummallakin puolella.

Esimerkiksi:

Huomaa, että yhtälöt 3 ja 4 voidaan ratkaista helposti käyttämällä logaritmien tarvittavia ominaisuuksia.

Esimerkki . Ratkaise yhtälö \(2\log_8⁡x=\log_8⁡2.5+\log_8⁡10\)

Ratkaisu :

		Kirjoitetaan ODZ: \(x>0\).
\(2\log_8⁡x=\log_8⁡2.5+\log_8⁡10\) ODZ: \(x>0\)		Vasemmalla logaritmin edessä on kerroin, oikealla on logaritmien summa. Tämä häiritsee meitä. Siirretään nämä kaksi eksponenttiin \(x\) ominaisuuden mukaan: \(n \log_b(⁡a)=\log_b⁡(a^n)\). Esitetään logaritmien summa yhtenä logaritmina ominaisuuden mukaan: \(\log_a⁡b+\log_a⁡c=\log_a(⁡bc)\)
\(\log_8⁡(x^2)=\log_8⁡25\)		Pelkisimme yhtälön muotoon \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) ja kirjoitimme muistiin ODZ:n, mikä tarkoittaa, että voimme siirtyä muotoon \(f(x) =g(x)\ ).
		Tapahtui. Ratkaisemme sen ja saamme juuret.
\(x_1=5\) \(x_2=-5\)		Tarkistamme, ovatko juuret sopivia ODZ: lle. Tätä varten \(x>0\) korvataan \(x\) sijasta \(5\) ja \(-5\). Tämä toimenpide voidaan suorittaa suullisesti.
\(5>0\), \(-5>0\)		Ensimmäinen epätasa-arvo on totta, toinen ei. Tämä tarkoittaa, että \(5\) on yhtälön juuri, mutta \(-5\) ei ole. Kirjoitamme vastauksen muistiin.

Vastaus : \(5\)

Esimerkki : Ratkaise yhtälö \(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\)

Ratkaisu :

		Kirjoitetaan ODZ: \(x>0\).
\(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\) ODZ: \(x>0\)		Tyypillinen yhtälö, joka ratkaistaan ​​käyttämällä . Korvaa \(\log_2⁡x\) kirjaimella \(t\).
\(t=\log_2⁡x\)
		Saimme tavallisen. Etsimme sen juuria.
\(t_1=2\) \(t_2=1\)		Käänteisen vaihdon tekeminen
\(\log_2(⁡x)=2\) \(\log_2(⁡x)=1\)		Muunnamme oikeat puolet esittämällä ne logaritmeina: \(2=2 \cdot 1=2 \log_2⁡2=\log_2⁡4\) ja \(1=\log_2⁡2\)
\(\log_2(⁡x)=\log_2⁡4\) \(\log_2(⁡x)=\log_2⁡2 \)		Nyt yhtälömme ovat \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\), ja voimme siirtyä muotoon \(f(x)=g(x)\).
\(x_1=4\) \(x_2=2\)		Tarkistamme ODZ:n juurien vastaavuuden. Voit tehdä tämän korvaamalla \(4\) ja \(2\) epäyhtälöön \(x>0\) \(x\) sijaan.
\(4>0\) \(2>0\)		Molemmat eriarvoisuudet ovat totta. Tämä tarkoittaa, että sekä \(4\) että \(2\) ovat yhtälön juuria.

Vastaus : \(4\); \(2\).

Logaritmiset yhtälöt. Yksinkertaisesta monimutkaiseen.

Huomio!
On olemassa ylimääräisiä
materiaalit erityisosastossa 555.
Niille, jotka ovat erittäin "ei kovin..."
Ja niille, jotka "erittäin...")

Mikä on logaritminen yhtälö?

Tämä on yhtälö logaritmeilla. Olen yllättynyt, eikö?) Sitten selvennän. Tämä on yhtälö, josta löytyy tuntemattomat (x:t) ja niiden kanssa lausekkeet logaritmien sisällä. Ja vain siellä! On tärkeää.

Tässä muutamia esimerkkejä logaritmiset yhtälöt:

log 3 x = log 3 9

log 3 (x 2 - 3) = log 3 (2x)

log x+1 (x 2 +3x-7) = 2

lg 2 (x+1)+10 = 11 lg(x+1)

No ymmärrät... )

Huomautus! Monimuotoisimmat lausekkeet X:llä sijaitsevat vain logaritmien sisällä. Jos yhtäkkiä jossain yhtälössä ilmestyy X ulkopuolella, Esimerkiksi:

log 2 x = 3+x,

tämä on jo sekatyyppinen yhtälö. Tällaisilla yhtälöillä ei ole selkeitä sääntöjä niiden ratkaisemiseksi. Emme ota niitä toistaiseksi huomioon. Muuten, logaritmien sisällä on yhtälöitä vain numeroita. Esimerkiksi:

Mitä voin sanoa? Olet onnekas, jos törmäät tähän! Logaritmi numeroiden kanssa on joku numero. Siinä kaikki. Sellaisen yhtälön ratkaisemiseksi riittää, että tietää logaritmien ominaisuudet. Erikoissääntöjen, erityisesti ratkaisuun soveltuvien tekniikoiden tuntemus logaritmiset yhtälöt, ei vaadita täällä.

Niin, mikä on logaritminen yhtälö- Selvitimme sen.

Kuinka ratkaista logaritmiset yhtälöt?

Ratkaisu logaritmiset yhtälöt- Asia ei itse asiassa ole kovin yksinkertainen. Osastomme on siis neljä... Tarvitaan kunnollinen määrä tietoa kaikista asiaan liittyvistä aiheista. Lisäksi näissä yhtälöissä on erityispiirre. Ja tämä ominaisuus on niin tärkeä, että sitä voidaan turvallisesti kutsua pääongelmaksi logaritmien yhtälöiden ratkaisemisessa. Käsittelemme tätä ongelmaa yksityiskohtaisesti seuraavassa oppitunnissa.

Toistaiseksi älä huoli. Menemme oikeaan suuntaan yksinkertaisesta monimutkaiseen. Käytä erityisiä esimerkkejä. Tärkeintä on syventyä yksinkertaisiin asioihin, äläkä ole laiska seuraamaan linkkejä, laitoin ne sinne syystä... Ja kaikki järjestyy puolestasi. Välttämättä.

Aloitetaan alkeellisimmista, yksinkertaisimmista yhtälöistä. Niiden ratkaisemiseksi on suositeltavaa saada käsitys logaritmista, mutta ei enempää. Ei vain aavistustakaan logaritmi, tehdä päätös logaritminen yhtälöt - jotenkin jopa kiusallinen... Erittäin rohkea, sanoisin).

Yksinkertaisimmat logaritmiset yhtälöt.

Nämä ovat yhtälöitä muodossa:

1. log 3 x = log 3 9

2. log 7 (2x-3) = log 7 x

3. log 7 (50x-1) = 2

Ratkaisuprosessi mikä tahansa logaritminen yhtälö koostuu siirtymisestä yhtälöstä, jossa on logaritmeja, yhtälöön ilman niitä. Yksinkertaisimmissa yhtälöissä tämä siirtyminen suoritetaan yhdessä vaiheessa. Siksi ne ovat yksinkertaisimpia.)

Ja tällaiset logaritmiset yhtälöt ovat yllättävän helppoja ratkaista. Katso itse.

Ratkaistaan ​​ensimmäinen esimerkki:

log 3 x = log 3 9

Tämän esimerkin ratkaisemiseksi sinun ei tarvitse tietää melkein mitään, kyllä... Puhtaasti intuitiota!) Mitä tarvitsemme erityisesti et pidä tästä esimerkistä? Mitä-mitä... En pidä logaritmeista! Oikein. Joten päästään niistä eroon. Katsomme esimerkkiä tarkasti, ja meissä herää luonnollinen halu... Suorastaan ​​vastustamaton! Ota ja heitä logaritmit kokonaan pois. Ja mikä on hyvää, se on Voi tehdä! Matematiikka sallii. Logaritmit katoavat vastaus on:

Hienoa, eikö? Tämä voidaan (ja pitää) tehdä aina. Logaritmien eliminointi tällä tavalla on yksi tärkeimmistä tavoista ratkaista logaritmiset yhtälöt ja epäyhtälöt. Matematiikassa tätä operaatiota kutsutaan tehostaminen. Tietysti tällaiselle selvitystilaan on olemassa sääntöjä, mutta niitä on vähän. Muistaa:

Voit poistaa logaritmit ilman pelkoa, jos niillä on:

a) samat numerokannat

c) logaritmit vasemmalta oikealle ovat puhtaita (ilman kertoimia) ja ovat loistavasti erillään.

Anna minun selittää viimeinen kohta. Sanotaan yhtälössä

log 3 x = 2 log 3 (3 x 1)

Logaritmeja ei voi poistaa. Oikeanpuoleiset kaksi eivät salli sitä. Kerroin, tiedäthän... Esimerkissä

log 3 x+log 3 (x+1) = log 3 (3+x)

Yhtälöä on myös mahdotonta vahvistaa. Vasemmalla puolella ei ole yksittäistä logaritmia. Niitä on kaksi.

Lyhyesti sanottuna voit poistaa logaritmit, jos yhtälö näyttää tältä ja vain tältä:

log a (.....) = log a (.....)

Suluissa, missä on ellipsi, voi olla mitään ilmaisuja. Yksinkertaista, erittäin monimutkaista, kaikenlaista. Aivan sama. Tärkeintä on, että logaritmien eliminoinnin jälkeen jäämme jäljelle yksinkertaisempi yhtälö. Oletetaan tietysti, että osaat jo ratkaista lineaariset, toisen asteen, murto-, eksponentiaali- ja muut yhtälöt ilman logaritmeja.)

Nyt voit helposti ratkaista toisen esimerkin:

log 7 (2x-3) = log 7 x

Itse asiassa se on päätetty mielessä. Vahvistamme, saamme:

No, onko se kovin vaikeaa?) Kuten näet, logaritminen osa yhtälön ratkaisua on vain logaritmien eliminoinnissa... Ja sitten tulee jäljellä olevan yhtälön ratkaisu ilman niitä. Triviaali asia.

Ratkaistaan ​​kolmas esimerkki:

log 7 (50x-1) = 2

Näemme, että vasemmalla on logaritmi:

Muistakaamme, että tämä logaritmi on jokin luku, johon kantaa on nostettava (eli seitsemän), jotta saadaan sublogaritminen lauseke, ts. (50x-1).

Mutta tämä luku on kaksi! Eq. Tuo on:

Siinä on periaatteessa kaikki. Logaritmi kadonnut, Jäljelle jää harmiton yhtälö:

Ratkaisimme tämän logaritmisen yhtälön perustuen vain logaritmin merkitykseen. Onko logaritmien poistaminen edelleen helpompaa?) Olen samaa mieltä. Muuten, jos teet logaritmin kahdesta, voit ratkaista tämän esimerkin eliminoimalla. Mikä tahansa luku voidaan tehdä logaritmiksi. Lisäksi tapa, jolla sitä tarvitsemme. Erittäin hyödyllinen tekniikka logaritmisen yhtälöiden ja (etenkin!) epäyhtälöiden ratkaisemisessa.

Etkö osaa tehdä logaritmia luvusta!? Se on okei. Kohdassa 555 kuvataan tämä tekniikka yksityiskohtaisesti. Voit hallita sen ja käyttää sitä täysillä! Se vähentää huomattavasti virheiden määrää.

Neljäs yhtälö ratkaistaan ​​täysin samalla tavalla (määritelmän mukaan):

Se siitä.

Tehdään yhteenveto tästä oppitunnista. Tarkastelimme yksinkertaisimpien logaritmien yhtälöiden ratkaisua esimerkkien avulla. Se on erittäin tärkeää. Eikä vain siksi, että tällaisia ​​yhtälöitä esiintyy testeissä ja kokeissa. Tosiasia on, että jopa kaikkein pahimmat ja monimutkaisimmat yhtälöt pelkistetään yksinkertaisimmiksi!

Itse asiassa yksinkertaisimmat yhtälöt ovat ratkaisun viimeinen osa minkä tahansa yhtälöt. Ja tämä viimeinen osa on ymmärrettävä tiukasti! Ja kauemmas. Muista lukea tämä sivu loppuun. Siellä on yllätys...)

Nyt päätämme itse. Parannetaan niin sanotusti...)

Etsi yhtälöiden juuri (tai juurien summa, jos niitä on useita):

ln(7x+2) = ln(5x+20)

log 2 (x 2 +32) = log 2 (12x)

log 16 (0,5 x 1,5) = 0,25

log 0,2 (3x-1) = -3

ln(e 2 +2x-3) = 2

log 2 (14x) = log 2 7 + 2

Vastaukset (tietysti sekavana): 42; 12; 9; 25; 7; 1,5; 2; 16.

Mitä, eikö kaikki suju? Tapahtuu. Älä huoli! Pykälässä 555 selitetään kaikkien näiden esimerkkien ratkaisu selkeästi ja yksityiskohtaisesti. Siellä saat varmasti selville. Opit myös hyödyllisiä käytännön tekniikoita.

Kaikki sujui!? Kaikki esimerkit sanasta "yksi jäljellä"?) Onnittelut!

On aika paljastaa sinulle katkera totuus. Näiden esimerkkien onnistunut ratkaiseminen ei takaa onnistumista kaikkien muiden logaritmien yhtälöiden ratkaisemisessa. Jopa yksinkertaisimmat, kuten nämä. Valitettavasti.

Tosiasia on, että minkä tahansa logaritmisen yhtälön (jopa alkeisimman!) ratkaisu koostuu kaksi yhtä suurta osaa. Yhtälön ratkaiseminen ja työskentely ODZ:n kanssa. Olemme hallinneet yhden osan - itse yhtälön ratkaisemisen. Se ei ole niin vaikeaa oikein?

Tätä oppituntia varten valitsin erityisesti esimerkkejä, joissa DL ei vaikuta vastaukseen millään tavalla. Mutta kaikki eivät ole yhtä ystävällisiä kuin minä, eihän?...)

Siksi on välttämätöntä hallita toinen osa. ODZ. Tämä on suurin ongelma logaritmisen yhtälöiden ratkaisemisessa. Eikä siksi, että se on vaikeaa - tämä osa on jopa helpompi kuin ensimmäinen. Mutta koska ihmiset yksinkertaisesti unohtavat ODZ:n. Tai sitten he eivät tiedä. Tai molemmat). Ja ne putoavat taivaasta...

Seuraavalla oppitunnilla käsittelemme tätä ongelmaa. Sitten voit itse päättää minkä tahansa yksinkertaisia ​​logaritmisia yhtälöitä ja lähestyy varsin kiinteitä tehtäviä.

Jos pidät tästä sivustosta...

Muuten, minulla on sinulle pari mielenkiintoista sivustoa.)

Voit harjoitella esimerkkien ratkaisemista ja selvittää tasosi. Testaus välittömällä vahvistuksella. Opitaan - mielenkiinnolla!)

Voit tutustua funktioihin ja johdannaisiin.

Tämä artikkeli sisältää systemaattisen esityksen menetelmistä logaritmien yhtälöiden ratkaisemiseksi yhdessä muuttujassa. Tämä auttaa opettajaa ensisijaisesti didaktisessa mielessä: harjoitusten valinnan avulla voit luoda yksilöllisiä tehtäviä opiskelijoille heidän kykynsä huomioon ottaen. Näitä harjoituksia voidaan käyttää yleistysoppitunnilla ja valmistautua yhtenäiseen valtionkokeeseen.
Lyhyen teoreettisen tiedon ja ongelmien ratkaisujen avulla opiskelijat voivat itsenäisesti kehittää logaritmien yhtälöiden ratkaisutaitoja.

Logaritmisen yhtälön ratkaiseminen.

Logaritmiset yhtälöt - yhtälöt, jotka sisältävät tuntemattoman merkin alla logaritmi Logaritmisia yhtälöitä ratkaistaessa käytetään usein teoreettista tietoa:

Tyypillisesti logaritmien yhtälöiden ratkaiseminen alkaa ODZ:n määrittämisellä. Logaritmisissa yhtälöissä on suositeltavaa muuttaa kaikki logaritmit niin, että niiden kanta ovat yhtä suuret. Sitten yhtälöt joko ilmaistaan ​​yhdellä logaritmilla, jota merkitään uudella muuttujalla, tai yhtälö muunnetaan potentioimiseen sopivaan muotoon.
Logaritmien lausekkeiden muunnokset eivät saa johtaa OD:n kaventumiseen, mutta jos käytetty ratkaisumenetelmä kaventaa OD:ta jättäen yksittäiset luvut huomiotta, niin nämä tehtävän lopussa olevat luvut on tarkistettava korvaamalla alkuperäiseen yhtälöön, koska Kun ODZ kapenee, juurien menetys on mahdollista.

1. Muodon yhtälöt– lauseke, joka sisältää tuntemattoman luvun ja luvun .

1) käytä logaritmin määritelmää: ;
2) tarkista tai etsi hyväksyttävien arvojen alue tuntemattomalle numerolle ja valitse vastaavat juuret (ratkaisut).
Jos) .

2. Ensimmäisen asteen yhtälöt suhteessa logaritmiin, joiden ratkaisussa käytetään logaritmien ominaisuuksia.

Tällaisten yhtälöiden ratkaisemiseksi tarvitset:

1) muunna yhtälö logaritmien ominaisuuksien avulla;
2) ratkaise tuloksena oleva yhtälö;
3) tarkista tai etsi hyväksyttävien arvojen alue tuntemattomalle numerolle ja valitse vastaavat juuret (ratkaisut).
).

3. Toisen ja korkeamman asteen yhtälö suhteessa logaritmiin.

Tällaisten yhtälöiden ratkaisemiseksi tarvitset:

1. tee muuttuva vaihto;
2. ratkaise tuloksena oleva yhtälö;
3. tee käänteinen vaihto;
4. ratkaise tuloksena oleva yhtälö;
5. tarkista tai etsi hyväksyttävien arvojen alue tuntemattomalle numerolle ja valitse vastaavat juuret (ratkaisut).

4. Yhtälöt, jotka sisältävät tuntemattoman kanta- ja eksponenttiosassa.

Tällaisten yhtälöiden ratkaisemiseksi tarvitset:

1. ota yhtälön logaritmi;
2. ratkaise tuloksena oleva yhtälö;
3. tee tarkistus tai etsi hyväksyttävien arvojen alue tuntemattomalle numerolle ja valitse vastaavat
   juuret (ratkaisut).

5. Yhtälöt, joilla ei ole ratkaisua.

1. Tällaisten yhtälöiden ratkaisemiseksi on löydettävä ODZ-yhtälöt.
2. Analysoi yhtälön vasen ja oikea puoli.
3. Tee asianmukaiset johtopäätökset.

Alkuperäinen yhtälö vastaa järjestelmää:

Todista, että yhtälöllä ei ole ratkaisua.

Yhtälön ODZ määräytyy epäyhtälöllä x ≥ 0. ODZ:llä meillä on

Positiivisen luvun ja ei-negatiivisen luvun summa ei ole nolla, joten alkuperäisellä yhtälöllä ei ole ratkaisuja.

Vastaus: ratkaisuja ei ole.

Vain yksi juuri x = 0 kuuluu ODZ:ään. Vastaus: 0.

Teemme käänteisen vaihdon.

Löydetyt juuret kuuluvat ODZ:lle.

ODZ-yhtälö on kaikkien positiivisten lukujen joukko.

Koska

Nämä yhtälöt ratkaistaan ​​samalla tavalla:

Tehtävät itsenäiseen ratkaisuun:

Käytetyt kirjat.

1. Beschetnov V.M. Matematiikka. Moskovan demiurgi 1994
2. Borodulya I.T. Eksponentiaaliset ja logaritmiset funktiot. (tehtävät ja harjoitukset). Moskovan "Enlightenment" 1984
3. Vavilov V.V., Melnikov I.I., Olehnik S.N., Pasichenko P.I. Matemaattiset ongelmat. Yhtälöt ja epäyhtälöt. Moskovan "Science" 1987
4. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebrallinen simulaattori. Moskova "Ilexa" 2007
5. Saakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V.. Algebran ongelmat ja analyysin periaatteet. Moskovan "Enlightenment" 2003

Logaritminen yhtälö on yhtälö, jossa tuntematon (x) ja sen kanssa olevat lausekkeet ovat logaritmisen funktion merkin alla. Logaritmisen yhtälöiden ratkaiseminen olettaa, että olet jo perehtynyt ja .
Kuinka ratkaista logaritmiset yhtälöt?

Yksinkertaisin yhtälö on log a x = b, jossa a ja b ovat joitain lukuja, x on tuntematon.
Logaritmisen yhtälön ratkaiseminen on x = a b edellyttäen: a > 0, a 1.

On huomioitava, että jos x on jossain logaritmin ulkopuolella, esimerkiksi log 2 x = x-2, niin tällaista yhtälöä kutsutaan jo sekoitetuksi ja sen ratkaisemiseen tarvitaan erityinen lähestymistapa.

Ihanteellinen tapaus on, kun törmäät yhtälöön, jossa logaritmimerkin alla ovat vain luvut, esimerkiksi x+2 = log 2 2. Tässä riittää logaritmien ominaisuuksien tunteminen sen ratkaisemiseksi. Mutta tällaista onnea ei tapahdu usein, joten valmistaudu vaikeampiin asioihin.

Mutta ensin, aloitetaan yksinkertaiset yhtälöt. Niiden ratkaisemiseksi on toivottavaa saada eniten yleinen idea logaritmista.

Yksinkertaisten logaritmien yhtälöiden ratkaiseminen

Näitä ovat yhtälöt tyyppiä log 2 x = log 2 16. Paljaalla silmällä näkee, että jättämällä pois logaritmin etumerkki saadaan x = 16.

Monimutkaisemman logaritmisen yhtälön ratkaisemiseksi se yleensä pelkistetään tavallisen ratkaisemiseen algebrallinen yhtälö tai yksinkertaisimman logaritmisen yhtälön ratkaisuun log a x = b. Yksinkertaisimmissa yhtälöissä tämä tapahtuu yhdessä liikkeessä, minkä vuoksi niitä kutsutaan yksinkertaisimmiksi.

Yllä oleva logaritmien pudotusmenetelmä on yksi tärkeimmistä tavoista ratkaista logaritmiset yhtälöt ja epäyhtälöt. Matematiikassa tätä operaatiota kutsutaan potentioimiseksi. Tämän tyyppiselle toiminnalle on tiettyjä sääntöjä tai rajoituksia:

• logaritmeilla on samat numerokannat
• Yhtälön molemmilla puolilla olevat logaritmit ovat vapaita, ts. ilman kertoimia tai muita erilaisia ​​lausekkeita.

Oletetaan, että yhtälössä log 2 x = 2log 2 (1 - x) potentiaatio ei ole pätevä - oikealla oleva kerroin 2 ei salli sitä. Seuraavassa esimerkissä log 2 x+log 2 (1 - x) = log 2 (1+x) ei myöskään täytä yhtä rajoituksista - vasemmalla on kaksi logaritmia. Jos niitä olisi vain yksi, se olisi täysin eri asia!

Yleensä voit poistaa logaritmit vain, jos yhtälön muoto on:

log a (...) = log a (...)

Täysin kaikki lausekkeet voidaan laittaa suluihin, tällä ei ole minkäänlaista vaikutusta potentioimiseen. Ja logaritmien poistamisen jälkeen jää jäljelle yksinkertaisempi yhtälö - lineaarinen, neliöllinen, eksponentiaalinen jne., jonka toivon, että tiedät jo kuinka ratkaista.

Otetaan toinen esimerkki:

log 3 (2x-5) = log 3 x

Käytämme tehostusta, saamme:

log 3 (2x-1) = 2

Perustuu logaritmin määritelmään, eli että logaritmi on luku, johon kanta on nostettava, jotta saadaan lauseke, joka on logaritmin merkin alla, ts. (4x-1), saamme:

Saimme jälleen kauniin vastauksen. Tässä teimme ilman logaritmien eliminoimista, mutta potentiointia voidaan käyttää myös tässä, koska logaritmi voidaan tehdä mistä tahansa luvusta, ja juuri siitä, mitä tarvitsemme. Tämä menetelmä on erittäin hyödyllinen logaritmisen yhtälöiden ja erityisesti epäyhtälöiden ratkaisemisessa.

Ratkaistaan ​​logaritminen yhtälömme log 3 (2x-1) = 2 potentioinnilla:

Kuvitellaanpa luku 2 logaritmina, esimerkiksi tämä log 3 9, koska 3 2 =9.

Sitten log 3 (2x-1) = log 3 9 ja taas saadaan sama yhtälö 2x-1 = 9. Toivottavasti kaikki on selvää.

Joten tarkastelimme kuinka ratkaista yksinkertaisimmat logaritmiset yhtälöt, jotka ovat itse asiassa erittäin tärkeitä, koska logaritmisen yhtälöiden ratkaiseminen, jopa kaikkein kauheimmat ja kieroutuneimmat, loppujen lopuksi aina yksinkertaisimpien yhtälöiden ratkaiseminen.

Kaikessa, mitä teimme edellä, missasimme yhden kovasti tärkeä pointti, jolla on ratkaiseva rooli tulevaisuudessa. Tosiasia on, että minkä tahansa logaritmisen yhtälön ratkaisu, jopa alkeellisimman, koostuu kahdesta yhtä suuresta osasta. Ensimmäinen on itse yhtälön ratkaisu, toinen on työskentely sallittujen arvojen (APV) kanssa. Tämä on juuri ensimmäinen osa, jonka olemme hallinneet. Yllä olevissa esimerkeissä ODZ ei vaikuta vastaukseen millään tavalla, joten emme ottaneet sitä huomioon.

Otetaan toinen esimerkki:

log 3 (x 2 - 3) = log 3 (2x)

Ulkoisesti tämä yhtälö ei eroa alkeellisesta yhtälöstä, joka voidaan ratkaista erittäin onnistuneesti. Mutta näin ei ole. Ei, tietysti ratkaisemme sen, mutta todennäköisesti väärin, koska se sisältää pienen väijyksen, johon joutuvat välittömästi sekä C-luokan opiskelijat että erinomaiset opiskelijat. Katsotaanpa tarkemmin.

Oletetaan, että sinun on löydettävä yhtälön juuri tai juurien summa, jos niitä on useita:

log 3 (x 2 - 3) = log 3 (2x)

Käytämme potentiaatiota, se on täällä hyväksyttävää. Tuloksena saamme tavallisen toisen asteen yhtälön.

Yhtälön juurten löytäminen:

Siitä tuli kaksi juurta.

Vastaus: 3 ja -1

Ensi silmäyksellä kaikki on oikein. Mutta tarkistetaan tulos ja korvataan se alkuperäiseen yhtälöön.

Aloitetaan x 1 = 3:

log 3 6 = log 3 6

Tarkistus onnistui, nyt jono on x 2 = -1:

log 3 (-2) = log 3 (-2)

Okei, lopeta! Ulkopuolelta kaikki on täydellistä. Yksi asia - negatiivisista luvuista ei ole logaritmeja! Tämä tarkoittaa, että juuri x = -1 ei sovellu yhtälömme ratkaisemiseen. Ja siksi oikea vastaus on 3, ei 2, kuten kirjoitimme.

Tässä ODZ esitti kohtalokkaan roolinsa, jonka olimme unohtaneet.

Haluan muistuttaa, että hyväksyttävien arvojen alue sisältää ne x:n arvot, jotka ovat sallittuja tai järkeviä alkuperäisessä esimerkissä.

Ilman ODZ:tä mikä tahansa yhtälön ratkaisu, jopa ehdottoman oikea, muuttuu arpajaiseksi - 50/50.

Kuinka voisimme jäädä kiinni päättäessään, miltä näytti alkeellinen esimerkki? Mutta juuri tehostuksen hetkellä. Logaritmit katosivat ja niiden mukana kaikki rajoitukset.

Mitä tehdä tässä tapauksessa? Kieltäydytkö poistamasta logaritmeja? Ja kieltäydytkö täysin ratkaisemasta tätä yhtälöä?

Ei, me vain, kuten todelliset sankarit yhdestä kuuluisasta kappaleesta, teemme kiertotien!

Ennen kuin aloitamme logaritmisen yhtälön ratkaisemisen, kirjoitamme muistiin ODZ:n. Mutta sen jälkeen voit tehdä yhtälöllämme mitä sydämesi haluaa. Saatuamme vastauksen yksinkertaisesti heitämme pois ne juuret, jotka eivät sisälly ODZ:imme, ja kirjoitamme lopullisen version.

Nyt päätetään kuinka tallentaa ODZ. Tätä varten tutkimme huolellisesti alkuperäisen yhtälön ja etsimme siitä epäilyttäviä paikkoja, kuten jako x:llä, parillinen juuri jne. Ennen kuin olemme ratkaisseet yhtälön, emme tiedä mitä x on yhtä suuri, mutta tiedämme varmasti, että on olemassa x, joka substituoituna antaa jaon nollalla tai erottamisen neliöjuuri negatiivisesta luvusta eivät selvästikään sovellu vastaukseksi. Siksi sellaisia ​​x-arvoja ei voida hyväksyä, kun taas loput muodostavat ODZ:n.

Käytetään samaa yhtälöä uudelleen:

log 3 (x 2 - 3) = log 3 (2x)

log 3 (x 2 - 3) = log 3 (2x)

Kuten näet, ei ole jakoa nollalla, ei myöskään ole neliöjuuria, mutta logaritmin rungossa on lausekkeita, joissa on x. Muistetaan heti, että logaritmin sisällä olevan lausekkeen tulee aina olla >0. Kirjoitamme tämän ehdon ODZ-muodossa:

Nuo. Emme ole vielä ratkaisseet mitään, mutta olemme jo kirjoittaneet pakollisen ehdon koko sulogaritmiselle lausekkeelle. Kihara aaltosulke tarkoittaa, että näiden ehtojen on oltava tosia samanaikaisesti.

ODZ on kirjoitettu ylös, mutta on myös tarpeen ratkaista tuloksena oleva epätasa-arvojärjestelmä, minkä me teemme. Saamme vastauksen x > v3. Nyt tiedämme varmasti, mikä x ei sovi meille. Ja sitten alamme ratkaista itse logaritmisen yhtälön, minkä teimme yllä.

Saatuamme vastaukset x 1 = 3 ja x 2 = -1, on helppo nähdä, että vain x1 = 3 sopii meille, ja kirjoitamme sen lopulliseksi vastaukseksi.

Tulevaisuuden kannalta on erittäin tärkeää muistaa seuraava: ratkaisemme minkä tahansa logaritmisen yhtälön kahdessa vaiheessa. Ensimmäinen on ratkaista itse yhtälö, toinen on ratkaista ODZ-ehto. Molemmat vaiheet suoritetaan toisistaan ​​riippumatta ja niitä verrataan vasta vastausta kirjoitettaessa, ts. hylkää kaikki tarpeeton ja kirjoita oikea vastaus ylös.

Materiaalin vahvistamiseksi suosittelemme katsomaan videon:

Video näyttää muita esimerkkejä lokin ratkaisemisesta. yhtälöt ja intervallimenetelmän työstäminen käytännössä.

Tähän kysymykseen, kuinka ratkaista logaritmiset yhtälöt Tässä kaikki tältä erää. Jos loki päättää jotain. yhtälöt jäävät epäselviksi tai käsittämättömiksi, kirjoita kysymyksesi kommentteihin.

Huomaa: Academy of Social Education (ASE) on valmis ottamaan vastaan ​​uusia opiskelijoita.