Kaava katkaistun pyramidin tilavuudelle. Pyramidi. Katkaistu pyramidi

• 09.10.2014

  Kuvassa näkyvä esivahvistin on suunniteltu käytettäväksi 4 eri äänilähteen kanssa, esim. mikrofoni, CD-soitin, radio jne. Tässä tapauksessa esivahvistimessa on yksi tulo, joka voi muuttaa herkkyyttä 50 mV:sta 500:aan. mV. vahvistimen lähtöjännite 1000mV. Yhdistämällä eri signaalilähteitä kytkintä SA1 vaihdettaessa saamme aina...

• 20.09.2014

  Virtalähde on suunniteltu 15…20 W kuormitukselle. Lähde on valmistettu yksitpiirin mukaan. Transistoria käytetään 20…40 kHz:n taajuudella toimivan itseoskillaattorin kokoamiseen. Taajuutta säädetään kapasitanssilla C5. Elementit VD5, VD6 ja C6 muodostavat automaattisen generaattorin käynnistyspiirin. Siltatasasuuntaajan jälkeisessä toisiopiirissä on tavanomainen lineaarinen stabilisaattori mikropiirissä, jonka avulla voit ...

• 28.09.2014

  Kuvassa on K174XA11-mikropiiriin perustuva generaattori, jonka taajuutta ohjataan jännitteellä. Muuttamalla kapasitanssia C1 560:sta 4700 pF:iin voidaan saada laaja taajuusalue, kun taas taajuutta säädetään muuttamalla vastusta R4. Esimerkiksi kirjoittaja sai selville, että kun C1 = 560pF, generaattorin taajuutta voidaan muuttaa R4:llä 600 Hz:stä 200 kHz:iin, ...

• 03.10.2014

  Yksikkö on suunniteltu antamaan virtaa tehokkaalle ULF:lle, se on suunniteltu ±27V:n lähtöjännitteelle ja jopa 3A:n kuormitukselle kummallekin varrelle. Virtalähde on kaksinapainen, valmistettu täydellisillä komposiittitransistoreilla KT825-KT827. Stabilisaattorin molemmat varret on tehty saman piirin mukaan, mutta toisessa varressa (ei näy) kondensaattoreiden napaisuutta muutetaan ja käytetään eri tyyppisiä transistoreita...

Pyramidi. Katkaistu pyramidi

Pyramidi on monitahoinen, jonka yksi pinoista on monikulmio ( pohja ), ja kaikki muut pinnat ovat kolmioita, joilla on yhteinen kärki ( sivupinnat ) (Kuva 15). Pyramidi on ns oikea , jos sen kanta on säännöllinen monikulmio ja pyramidin huippu on projisoitu pohjan keskelle (kuva 16). Kutsutaan kolmiomaista pyramidia, jonka kaikki reunat ovat yhtä suuret tetraedri .

Lateraalinen kylkiluu pyramidin sivupinnan se puoli, joka ei kuulu pohjaan Korkeus pyramidi on etäisyys sen huipulta pohjan tasoon. Säännöllisen pyramidin kaikki sivureunat ovat keskenään yhtä suuret, kaikki sivupinnat ovat yhtä suuret tasakylkiset kolmiot. Huippupisteestä vedetyn säännöllisen pyramidin sivupinnan korkeutta kutsutaan apoteemi . Diagonaalinen leikkaus kutsutaan pyramidin poikkileikkaukseksi, jonka taso kulkee kahden sivureunan läpi, jotka eivät kuulu samaan pintaan.

Sivuttaispinta-ala pyramidi on kaikkien sivupintojen pinta-alojen summa. Alue koko pinta kutsutaan kaikkien sivupintojen ja pohjan pinta-alojen summaksi.

Lauseet

1. Jos pyramidissa kaikki sivureunat ovat yhtä vinossa pohjan tasoon nähden, niin pyramidin huippu heijastuu pohjan lähellä olevan ympyrän keskelle.

2. Jos pyramidissa kaikilla sivureunoilla on yhtä pitkiä, sitten pyramidin huippu heijastuu ympyrän keskelle, joka on rajattu lähellä kantaa.

3. Jos pyramidin kaikki pinnat ovat yhtä kallistettuja pohjan tasoon nähden, niin pyramidin huippu projisoidaan pohjaan piirretyn ympyrän keskelle.

Mielivaltaisen pyramidin tilavuuden laskemiseksi oikea kaava on:

Missä V- tilavuus;

S pohja– peruspinta-ala;

H– pyramidin korkeus.

Normaalille pyramidille seuraavat kaavat ovat oikein:

Missä s– pohjakehä;

h a- apoteemi;

H- korkeus;

S täynnä

S puoli

S pohja– peruspinta-ala;

V– säännöllisen pyramidin tilavuus.

Katkaistu pyramidi kutsutaan pyramidin osaksi, joka on suljettu pohjan ja pyramidin pohjan kanssa yhdensuuntaisen leikkaustason väliin (kuva 17). Tavallinen katkaistu pyramidi kutsutaan säännöllisen pyramidin osaksi, joka on suljettu pohjan ja pyramidin pohjan kanssa yhdensuuntaisen leikkaustason väliin.

Perusteet katkaistu pyramidi - samanlaisia ​​polygoneja. Sivukasvot - puolisuunnikkaat. Korkeus Katkaistun pyramidin etäisyys on sen kantojen välinen etäisyys. Diagonaalinen katkaistu pyramidi on segmentti, joka yhdistää sen kärjet, jotka eivät ole samalla pinnalla. Diagonaalinen leikkaus on katkaistun pyramidin poikkileikkaus tasosta, joka kulkee kahden sivureunan läpi, jotka eivät kuulu samaan pintaan.

Katkaistulle pyramidille ovat voimassa seuraavat kaavat:

(4)

Missä S 1 , S 2 – ylä- ja alapohjan alueet;

S täynnä– kokonaispinta-ala;

S puoli– sivuttainen pinta-ala;

H- korkeus;

V– katkaistun pyramidin tilavuus.

Normaalille katkaistulle pyramidille kaava on oikea:

Missä s 1 , s 2 – pohjan kehät;

h a– säännöllisen katkaistun pyramidin apoteemi.

Esimerkki 1. Säännöllisen kolmion muotoisen pyramidin kaksitahoinen kulma on 60º. Etsi kaltevuuskulman tangentti lateraalinen kylkiluu perustasolle.

Ratkaisu. Tehdään piirustus (kuva 18).

Pyramidi on säännöllinen, mikä tarkoittaa, että pohjassa on tasasivuinen kolmio ja kaikki sivupinnat ovat yhtäläisiä tasakylkisiä kolmioita. Dihedraalinen kulma pohjassa on pyramidin sivupinnan kaltevuuskulma pohjan tasoon nähden. Lineaarinen kulma on kulma a kahden kohtisuoran välissä: jne. Pyramidin huippu projisoidaan kolmion keskelle (ympyrän keskipiste ja kolmion piirretty ympyrä ABC). Sivureunan kaltevuuskulma (esim S.B.) on itse reunan ja sen pohjan tasoon projektion välinen kulma. Kylkiluulle S.B. tämä kulma on kulma SBD. Tangentin löytämiseksi sinun on tunnettava jalat NIIN Ja O.B.. Olkoon segmentin pituus BD on yhtä kuin 3 A. Piste NOIN Jana BD on jaettu osiin: ja Mistä löydämme NIIN: Meiltä löydät:

Vastaus:

Esimerkki 2. Etsi oikean katkaisun tilavuus nelikulmainen pyramidi, jos sen kantavien diagonaalit ovat yhtä suuria kuin cm ja cm ja sen korkeus on 4 cm.

Ratkaisu. Katkaistun pyramidin tilavuuden selvittämiseksi käytämme kaavaa (4). Pohjien alueen löytämiseksi sinun on löydettävä perusneliöiden sivut, kun tiedät niiden lävistäjät. Pohjien sivut ovat vastaavasti 2 cm ja 8 cm. Tämä tarkoittaa pohjan pinta-alaa ja korvaamalla kaikki tiedot kaavaan laskemme katkaistun pyramidin tilavuuden:

Vastaus: 112 cm 3.

Esimerkki 3. Etsi säännöllisen kolmion muotoisen katkaistun pyramidin sivupinnan pinta-ala, jonka pohjien sivut ovat 10 cm ja 4 cm ja pyramidin korkeus on 2 cm.

Ratkaisu. Tehdään piirustus (kuva 19).

Tämän pyramidin sivupinta on tasakylkinen puolisuunnikkaan muotoinen. Puolisuunnikkaan alueen laskemiseksi sinun on tiedettävä pohja ja korkeus. Pohjat on annettu kunnon mukaan, vain korkeus jää tuntemattomaksi. Löydämme hänet mistä A 1 E kohtisuorassa pisteestä A 1 alemman alustan tasossa, A 1 D– kohtisuoraan alkaen A 1 per AC. A 1 E= 2 cm, koska tämä on pyramidin korkeus. Löytää DE Tehdään lisäpiirros, joka näyttää ylhäältä katsottuna (kuva 20). Piste NOIN– ylemmän ja alemman alustan keskipisteiden projektio. koska (katso kuva 20) ja Toisaalta OK– ympyrään merkitty säde ja OM– ympyrään merkitty säde:

MK = DE.

Pythagoraan lauseen mukaan alkaen

Kasvojen sivualue:

Vastaus:

Esimerkki 4. Pyramidin pohjassa on tasakylkinen puolisuunnikkaan muotoinen puolisuunnikas, jonka kantat A Ja b (a> b). Jokainen sivupinta muodostaa kulman, joka on yhtä suuri kuin pyramidin pohjan taso j. Etsi pyramidin kokonaispinta-ala.

Ratkaisu. Tehdään piirustus (kuva 21). Pyramidin kokonaispinta-ala SABCD yhtä suuri kuin pintojen summa ja puolisuunnikkaan pinta-ala ABCD.

Käytetään väitettä, että jos pyramidin kaikki pinnat ovat yhtä kallistettuja kannan tasoon nähden, niin kärki projisoidaan kantaan piirretyn ympyrän keskelle. Piste NOIN– kärkiprojektio S pyramidin juurella. Kolmio SOD on kolmion ortogonaalinen projektio CSD pohjan tasoon. Käyttämällä lausetta tasokuvan ortogonaalisen projektion alueella saamme:

Samoin se tarkoittaa Siten ongelma rajoittui puolisuunnikkaan alueen löytämiseen ABCD. Piirretään puolisuunnikkaan muotoinen ABCD erikseen (kuva 22). Piste NOIN– puolisuunnikkaan piirretyn ympyrän keskipiste.

Koska ympyrä voidaan kirjoittaa puolisuunnikkaan, niin tai Pythagoraan lauseesta meillä on

Taito laskea tilakuvien tilavuus on tärkeää, kun ratkaistaan ​​useita käytännön geometrian ongelmia. Yksi yleisimmistä hahmoista on pyramidi. Tässä artikkelissa tarkastellaan sekä täydellisiä että katkaistuja pyramideja.

Pyramidi kolmiulotteisena hahmona

Kaikki tietävät Egyptin pyramideista, joten heillä on hyvä käsitys siitä, millaisesta hahmosta puhumme. Egyptiläiset kivirakenteet ovat kuitenkin vain erikoistapaus valtavasta pyramidien luokasta.

Tarkastelun kohteena oleva geometrinen objekti on yleisessä tapauksessa monikulmio kanta, jonka kukin kärkipiste on kytketty tiettyyn avaruuden pisteeseen, joka ei kuulu pohjan tasoon. Tämä määritelmä tuloksena on kuvio, joka koostuu yhdestä n-kulmiosta ja n kolmiosta.

Mikä tahansa pyramidi koostuu n+1 pinnasta, 2*n reunasta ja n+1 pisteestä. Koska kyseessä oleva kuvio on täydellinen monitahoinen, merkittyjen elementtien lukumäärät noudattavat Eulerin yhtäläisyyttä:

2*n = (n+1) + (n+1) - 2.

Pohjassa oleva monikulmio antaa pyramidin nimen, esimerkiksi kolmion muotoinen, viisikulmainen ja niin edelleen. Sarja pyramideja eri syistä näkyy alla olevassa kuvassa.

Pistettä, jossa kuvion n kolmiota kohtaavat, kutsutaan pyramidin kärjeksi. Jos kohtisuora lasketaan siitä pohjalle ja se leikkaa sen geometrisessa keskipisteessä, niin tällaista kuvaa kutsutaan suoraksi. Jos tämä ehto ei täyty, syntyy kalteva pyramidi.

Suorakulmaista kuviota, jonka kanta muodostuu tasasivuisesta (tasakulmaisesta) n-kulmiosta, kutsutaan säännölliseksi.

Pyramidin tilavuuskaava

Pyramidin tilavuuden laskemiseksi käytämme integraalilaskua. Tätä varten jaamme kuvan leikkaamalla pohjan suuntaisia ​​tasoja äärettömään määrään ohuita kerroksia. Alla olevassa kuvassa on nelikulmainen pyramidi, jonka korkeus on h ja sivupituus L, jossa nelikulmio merkitsee leikkauksen ohutta kerrosta.

Kunkin tällaisen kerroksen pinta-ala voidaan laskea kaavalla:

A(z) = A0*(h-z)2/h2.

Tässä A 0 on kannan pinta-ala, z on pystykoordinaatin arvo. Voidaan nähdä, että jos z = 0, niin kaava antaa arvon A 0 .

Pyramidin tilavuuden kaavan saamiseksi sinun tulee laskea integraali koko kuvan korkeudelta, eli:

V = ∫ h 0 (A(z)*dz).

Korvaamalla riippuvuuden A(z) ja laskemalla antiderivaata saadaan lauseke:

V = -A0*(h-z)3/(3*h2)| h 0 = 1/3 * A 0 * h.

Olemme saaneet pyramidin tilavuuden kaavan. Löytääksesi V:n arvon, kerro vain kuvan korkeus pohjan pinta-alalla ja jaa sitten tulos kolmella.

Huomaa, että tuloksena oleva lauseke pätee minkä tahansa tyyppisen pyramidin tilavuuden laskemiseen. Toisin sanoen se voi olla vinossa ja sen kanta voi olla mielivaltainen n-kulmio.

ja sen tilavuus

Yllä olevassa kappaleessa saatua tilavuuden yleiskaavaa voidaan tarkentaa pyramidin tapauksessa oikea syy. Tällaisen pohjan pinta-ala lasketaan seuraavalla kaavalla:

A 0 = n/4*L 2*ctg(pi/n).

Tässä L on sivun pituus säännöllinen monikulmio n pisteellä. Symboli pi on luku pi.

Korvaamalla lausekkeen A 0 yleiseen kaavaan, saadaan säännöllisen pyramidin tilavuus:

Vn = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n).

Esimerkiksi varten kolmion muotoinen pyramidi tämä kaava johtaa seuraavaan lausekkeeseen:

V 3 = 3/12*L 2 *h*ctg(60 o) = √3/12*L 2 *h.

Tavallisen nelikulmaisen pyramidin tilavuuskaava on seuraavanlainen:

V 4 = 4/12*L 2 *h*ctg(45o) = 1/3*L 2 *h.

Tilavuuksien määrittäminen tavallisia pyramideja vaatii tietoa niiden pohjan sivusta ja hahmon korkeudesta.

Katkaistu pyramidi

Oletetaan, että otimme mielivaltaisen pyramidin ja katkaisimme osan sen sivupinnasta, joka sisältää kärjen. Jäljellä olevaa hahmoa kutsutaan katkaistuksi pyramidiksi. Se koostuu jo kahdesta n-kulmaisesta kannasta ja n:stä puolisuunnikkaasta, jotka yhdistävät ne. Jos leikkaustaso oli yhdensuuntainen kuvion pohjan kanssa, muodostetaan katkaistu pyramidi, jolla on samanlaiset yhdensuuntaiset kantat. Toisin sanoen toisen sivujen pituudet saadaan kertomalla toisen sivun pituudet tietyllä kertoimella k.

Yllä oleva kuva esittää katkaistua säännöllistä. On nähtävissä, että sen yläpohja, kuten alemmankin, muodostuu säännöllisestä kuusikulmiosta.

Kaava, joka voidaan johtaa käyttämällä samanlaista integraalilaskua kuin edellä on:

V = 1/3*h*(A 0 + A 1 + √(A 0 * A 1)).

Missä A 0 ja A 1 ovat alemman (suuri) ja ylemmän (pienen) emäksen alueita, vastaavasti. Muuttuja h tarkoittaa katkaistun pyramidin korkeutta.

Cheopsin pyramidin tilavuus

On mielenkiintoista ratkaista ongelma sen tilavuuden määrittämisestä, jonka Egyptin suurin pyramidi sisältää sisällään.

Vuonna 1984 brittiläiset egyptiologit Mark Lehner ja Jon Goodman määrittelivät Cheops-pyramidin tarkat mitat. Sen alkuperäinen korkeus oli 146,50 metriä (tällä hetkellä noin 137 metriä). Keskipituus kukin rakenteen neljästä sivusta oli 230 363 metriä. Pyramidin pohja on suurella tarkkuudella neliömäinen.

Määritämme tämän kivijättiläisen tilavuuden annettujen lukujen avulla. Koska pyramidi on säännöllinen nelikulmainen, kaava pätee siihen:

Kun numerot korvataan, saadaan:

V 4 = 1/3*(230,363) 2 *146,5 ≈ 2591444 m 3.

Cheops-pyramidin tilavuus on lähes 2,6 miljoonaa m3. Vertailun vuoksi huomaamme, että olympiauima-altaan tilavuus on 2,5 tuhatta m 3. Eli koko Cheops-pyramidin täyttämiseen tarvitset yli 1000 tällaista allasta!