Kaari on yhtä suuri kuin keskikulma. Kirjattu kulma, teoria ja ongelmat

Kulma ABC on sisäänkirjoitettu kulma. Se lepää kaarella AC, joka on suljettu sen sivujen väliin (kuva 330).

Lause. Sisäänkirjoitettu kulma mitataan sillä kaaren puolikkaalla, johon se painuu.

Tämä on ymmärrettävä näin: sisäänkirjoitettu kulma sisältää yhtä monta kulma-astetta, minuuttia ja sekuntia kuin on kaaren asteita, minuutteja ja sekunteja, jotka sisältyvät siihen kaaren puolikkaaseen, jolla se lepää.

Tätä lausetta todistettaessa on otettava huomioon kolme tapausta.

Ensimmäinen tapaus. Ympyrän keskipiste on piirretyn kulman sivulla (kuva 331).

Olkoon ∠ABC sisäänkirjoitettu kulma ja ympyrän O keskipiste on sivulla BC. On todistettava, että se mitataan puolella kaarella AC.

Yhdistetään piste A ympyrän keskipisteeseen. Saamme tasakylkinen \(\Delta\)AOB, jossa AO = OB, saman ympyrän säteinä. Siksi ∠A = ∠B.

∠AOC on kolmion AOB ulkopuolinen, joten ∠AOC = ∠A + ∠B, ja koska kulmat A ja B ovat yhtä suuret, ∠B on 1/2 ∠AOC.

Mutta ∠AOC mitataan kaarella AC, joten ∠B mitataan puolella kaaresta AC.

Jos esimerkiksi \(\breve(AC)\) sisältää 60°18', ∠B sisältää 30°9'.

Toinen tapaus. Ympyrän keskipiste on sisäänkirjoitetun kulman sivujen välissä (kuva 332).

Olkoon ∠ABD sisäänkirjoitettu kulma. Ympyrän O keskipiste on sen sivujen välissä. Meidän on todistettava, että ∠ABD mitataan puolella kaaresta AD.

Tämän todistamiseksi piirretään halkaisija BC. Kulma ABD on jaettu kahteen kulmaan: ∠1 ja ∠2.

∠1 mitataan puolella kaarella AC ja ∠2 mitataan puolella kaarella CD, joten koko ∠ABD mitataan 1 / 2 \(\breve(AC)\) + 1 / 2 \(\breve (CD)\), eli puolikaari AD.

Jos esimerkiksi \(\breve(AD)\) sisältää 124°, niin ∠B sisältää 62°.

Kolmas tapaus. Ympyrän keskipiste on piirretyn kulman ulkopuolella (kuva 333).

Olkoon ∠MAD sisäänkirjoitettu kulma. Ympyrän O keskipiste on kulman ulkopuolella. Meidän on todistettava, että ∠MAD mitataan puolella kaaresta MD.

Tämän todistamiseksi piirretään halkaisija AB. ∠MAD = ∠MAB - ∠DAB. Mutta ∠MAB mittaa 1/2 \(\breve(MB)\) ja ∠DAB mittaa 1/2 \(\breve(DB)\).

Siksi ∠MAD mittaa 1/2 (\(\breve(MB) - \breve(DB))\), eli 1/2 \(\breve(MD)\).

Jos esimerkiksi \(\breve(MD)\) sisältää 48° 38", ∠MAD sisältää 24° 19' 8".

Seuraukset
1. Kaikki saman kaaren piirretyt kulmat ovat keskenään yhtä suuret, koska ne mitataan puolella samasta kaaresta (Kuva 334, a).

2. Sisäänkirjoitettu kulma halkaisijalla on suora kulma, koska se sulkee puoliympyrän. Puolet ympyrästä sisältää 180 kaariastetta, mikä tarkoittaa, että halkaisijaan perustuva kulma sisältää 90 kaariastetta (kuva 334, b).

Sisäänkirjoitetun ja keskikulman käsite

Otetaan ensin käyttöön keskuskulman käsite.

Huomautus 1

Ota huomioon, että keskikulman astemitta on yhtä suuri kuin kaaren astemitta, jolla se lepää.

Otetaan nyt käyttöön piirretyn kulman käsite.

Määritelmä 2

Kulmaa, jonka kärki on ympyrällä ja jonka sivut leikkaavat saman ympyrän, kutsutaan sisäänkirjoitetuksi kulmaksi (kuva 2).

Kuva 2. Merkitty kulma

Sisäänkirjoitetun kulman lause

Lause 1

Sisäänkirjoitetun kulman astemitta on yhtä suuri kuin puolet sen kaaren astemittasta, jolla se lepää.

Todiste.

Annetaan ympyrä, jonka keskipiste on pisteessä $O$. Merkitään sisäänkirjoitettua kulmaa $ACB$ (kuva 2). Seuraavat kolme tapausta ovat mahdollisia:

• Säde $CO$ osuu yhteen kulman minkä tahansa puolen kanssa. Olkoon tämä sivu $CB$ (kuva 3).

Kuva 3.

Tässä tapauksessa kaari $AB$ on pienempi kuin $(180)^(()^\circ )$, joten keskikulma $AOB$ on yhtä suuri kuin kaari $AB$. Koska $AO=OC=r$, niin kolmio $AOC$ on tasakylkinen. Tämä tarkoittaa, että kantakulmat $CAO$ ja $ACO$ ovat keskenään yhtä suuret. Kolmion ulkokulman lauseen mukaan meillä on:

• Säde $CO$ jakaa sisäkulman kahteen kulmaan. Leikkaa se ympyrän pisteessä $D$ (kuva 4).

Kuva 4.

Saamme

• Säde $CO$ ei jaa sisäkulmaa kahteen kulmaan eikä se ole yhdenmukainen sen sivujen kanssa (kuva 5).

Kuva 5.

Tarkastellaan kulmia $ACD$ ja $DCB$ erikseen. Kohdassa 1 todistetun mukaan saamme

Saamme

Lause on todistettu.

Annetaan seuraukset tästä lauseesta.

Seuraus 1: Samalla kaarella lepäävät piirretyt kulmat ovat keskenään yhtä suuret.

Seuraus 2: Sisäänkirjoitettu kulma, joka pienentää halkaisijaa, on suora kulma.

Keskikulma on kulma, jonka kärki on ympyrän keskellä.
Kirjattu kulma- kulma, jonka kärki on ympyrällä ja jonka sivut leikkaavat sen.

Kuvassa näkyvät keski- ja sisäänkirjoitetut kulmat sekä niiden tärkeimmät ominaisuudet.

Niin, keskikulman suuruus on yhtä suuri kuin sen kaaren kulman suuruus, jolla se lepää. Tämä tarkoittaa, että 90 asteen keskikulma lepää kaarella, joka on 90°, eli ympyrässä. Keskikulma, joka on 60°, lepää 60 asteen kaaressa, eli ympyrän kuudennessa osassa.

Sisäänkirjoitetun kulman suuruus on kaksi kertaa pienempi kuin samaan kaareen perustuva keskikulma.

Lisäksi ongelmien ratkaisemiseksi tarvitsemme käsitteen "sointu".

Samat keskikulmat muodostavat yhtäläiset jänteet.

1. Mikä on piirretty kulma ympyrän halkaisijalla? Kerro vastauksesi asteina.

Sisäänkirjoitettu kulma halkaisijalla on suora kulma.

2. Keskikulma on 36° suurempi kuin terävä piirretty kulma, jota rajoittaa sama ympyräkaare. Etsi merkitty kulma. Kerro vastauksesi asteina.

Olkoon keskikulma yhtä suuri kuin x, ja samalla kaarella merkitty kulma yhtä suuri kuin y.

Tiedämme, että x = 2y.
Näin ollen 2v = 36 + y,
y = 36.

3. Ympyrän säde on yhtä suuri kuin 1. Etsi jänteen alistaman tylpän kulman arvo, joka on yhtä suuri kuin . Kerro vastauksesi asteina.

Olkoon sointu AB yhtä suuri kuin . Tähän jänteeseen perustuva tylppä sisäänkirjoitettu kulma merkitään α:lla.
Kolmiossa AOB sivut AO ja OB ovat yhtä suuret kuin 1, sivu AB on yhtä suuri kuin . Olemme jo kohdanneet tällaisia ​​kolmioita. Ilmeisesti kolmio AOB on suorakulmainen ja tasakylkinen, eli kulma AOB on 90°.
Silloin kaari ACB on yhtä suuri kuin 90° ja kaari AKB on yhtä suuri kuin 360° - 90° = 270°.
Sisäänkirjoitettu kulma α lepää kaarella AKB ja on yhtä suuri kuin puolet tämän kaaren kulma-arvosta, eli 135°.

Vastaus: 135.

4. Jäne AB jakaa ympyrän kahteen osaan, joiden astearvot ovat suhteessa 5:7. Missä kulmassa tämä jänne näkyy pisteestä C, joka kuuluu ympyrän pienempään kaareen? Kerro vastauksesi asteina.

Tärkeintä tässä tehtävässä on oikea piirustus ja olosuhteiden ymmärtäminen. Miten ymmärrät kysymyksen: "Missä kulmassa jänne näkyy pisteestä C?"
Kuvittele, että istut pisteessä C ja sinun täytyy nähdä kaikki, mitä soinnolla AB tapahtuu. On kuin sointu AB olisi valkokangas elokuvateatterissa :-)
On selvää, että sinun on löydettävä kulma ACB.
Niiden kahden kaaren summa, joihin jänne AB jakaa ympyrän, on 360°, eli
5x + 7x = 360°
Siten x = 30°, ja sitten sisäänkirjoitettu kulma ACB lepää kaarella, joka on yhtä suuri kuin 210°.
Sisäänkirjoitetun kulman suuruus on yhtä suuri kuin puolet sen kaaren kulman suuruudesta, jolla se lepää, mikä tarkoittaa, että kulma ACB on 105°.

Useimmiten matematiikan yhtenäiseen valtionkokeeseen valmistautuminen alkaa toistamalla perusmääritelmiä, kaavoja ja lauseita, mukaan lukien aiheesta "Keski- ja piirretyt kulmat ympyrässä". Yleensä tätä planimetrian osaa tutkitaan lukio. Ei ole yllättävää, että monet opiskelijat kohtaavat tarpeen tarkastella peruskäsitteitä ja -lauseita aiheesta "Ympyrän keskikulma". Ymmärtettyään tällaisten ongelmien ratkaisemisen algoritmin koululaiset voivat luottaa saavansa kilpailupisteitä yhtenäisen valtionkokeen läpäisyn tulosten perusteella.

Kuinka valmistautua sertifiointitestin läpäisemiseen helposti ja tehokkaasti?

Opiskelu ennen singlen suorittamista valtion tentti, monet lukiolaiset kohtaavat löytämisongelman tarvittavat tiedot aiheesta "Ympyrän keskikulmat ja piirretyt kulmat". Ei aina koulun oppikirja saatavilla käsillä. Ja kaavojen etsiminen Internetistä vie joskus paljon aikaa.

Tiimimme auttaa sinua "pumppaamaan" taitojasi ja parantamaan tietämystäsi niin vaikeassa geometrian osassa kuin planimetria koulutusportaali. "Shkolkovo" tarjoaa lukiolaisille ja heidän opettajilleen uuden tavan rakentaa yhtenäiseen valtionkokeeseen valmistautumisprosessia. Asiantuntijamme esittävät kaiken perusmateriaalin mahdollisimman helposti saatavilla olevassa muodossa. Luettuaan "Teoreettinen tausta" -osiossa olevat tiedot oppivat, mitä ominaisuuksia ympyrän keskikulmalla on, miten sen arvo saadaan selville jne.

Sitten, vahvistaaksesi hankitut tiedot ja harjoitella taidot, suosittelemme suorittamaan asianmukaisia ​​harjoituksia. Luettelo-osiossa on esitetty laaja valikoima tehtäviä ympyrään piirretyn kulman koon ja muiden parametrien löytämiseksi. Asiantuntijamme kirjoittivat jokaiselle harjoitukselle yksityiskohtaisen ratkaisun ja osoittivat oikean vastauksen. Sivuston tehtävälistaa täydennetään ja päivitetään jatkuvasti.

Lukiolaiset voivat valmistautua yhtenäiseen valtionkokeeseen harjoittelemalla esimerkiksi keskikulman suuruuden ja ympyrän kaaren pituuden selvittämistä verkossa miltä tahansa Venäjän alueelta.

Tarvittaessa valmis tehtävä voidaan tallentaa "Suosikit" -osioon, jotta voit palata siihen myöhemmin ja analysoida uudelleen sen ratkaisun periaatetta.