Numero 2 binäärilukujärjestelmässä. Binäärilukujärjestelmä. Mahdollisten vaihtoehtojen kaava

Binääriluvut

Binäärilukujärjestelmä on paikkalukujärjestelmä, jonka kantaluku on 2. Tässä lukujärjestelmässä luonnolliset luvut kirjoitetaan käyttämällä vain kahta symbolia (yleensä numeroita 0 ja 1).

Binäärijärjestelmää käytetään digitaalisissa laitteissa, koska se on yksinkertaisin ja täyttää vaatimukset:

• Mitä vähemmän arvoja järjestelmässä on, sitä helpompi on valmistaa yksittäisiä elementtejä, jotka toimivat näillä arvoilla. Erityisesti binäärilukujärjestelmän kaksi numeroa voidaan helposti esittää monilla fysikaalisilla ilmiöillä: on virtaa - ei ole virtaa, magneettikentän induktio on suurempi kuin kynnysarvo vai ei jne.
• Mitä vähemmän tiloja elementillä on, sitä korkeampi on kohinansieto ja sitä nopeammin se voi toimia. Jos esimerkiksi haluat koodata kolme tilaa magneettikentän induktion suuruuden kautta, sinun on syötettävä kaksi kynnysarvoa, jotka eivät vaikuta kohinansietokykyyn ja tietojen tallennuksen luotettavuuteen.
• Binääriaritmetiikka on melko yksinkertaista. Yksinkertaisia ​​ovat yhteen- ja kertolaskutaulukot - perustoiminnot numeroiden kanssa.
• Loogisen algebran laitteistolla on mahdollista suorittaa bittikohtaisia ​​operaatioita luvuille.

Linkit

• Online-laskin lukujen muuntamiseen numerojärjestelmästä toiseen

Wikimedia Foundation. 2010.

Nega-sijaintilukujärjestelmä Symmetrinen lukujärjestelmä Sekanumerojärjestelmät Fibonaccin lukujärjestelmä Ei-sijaintinumerojärjestelmät Yksikkölukujärjestelmä Luettelo numerojärjestelmistä

Binäärilukujärjestelmä- paikkanumerojärjestelmä, jossa on kanta 2.

Binäärinumerot

Tässä numerojärjestelmässä numerot kirjoitetaan kahdella symbolilla (0 ja 1).

Tarina

• 8 trigrammin ja 64 heksagrammin täydellinen sarja, joka vastaa 3- ja 6-bittisiä numeroita, tunnettiin muinaisessa Kiinassa Muutosten kirjan klassisissa teksteissä. Heksagrammien järjestys sisään muutosten kirja, jotka on järjestetty vastaavien binäärilukujen arvojen mukaisesti (0 - 63), ja menetelmän niiden saamiseksi kehitti kiinalainen tiedemies ja filosofi Shao Yong 1000-luvulla. Kuitenkaan ei ole todisteita siitä, että Shao Yun olisi ymmärtänyt binääriaritmeettiset säännöt järjestämällä kaksimerkkisiä lukuja leksikografiseen järjestykseen.

• Afrikkalaiset käyttivät sarjoja, jotka ovat binäärilukujen yhdistelmiä perinteisessä ennustamisessa (kuten Ifa) keskiaikaisen geomantian ohella.

• Vuonna 1854 englantilainen matemaatikko George Boole julkaisi maamerkkipaperin, jossa kuvattiin algebrallisia järjestelmiä sovellettuina logiikkaan, joka tunnetaan nykyään Boolen algebrana tai logiikan algebrana. Hänen loogisella laskullaan oli tarkoitus olla tärkeä rooli nykyaikaisten digitaalisten elektronisten piirien kehittämisessä.

• Vuonna 1937 Claude Shannon jätti väitöskirjansa puolustavaksi. Rele- ja kytkentäpiirien symbolinen analyysi MIT:ssä, jossa Boolen algebraa ja binaariaritmetiikkaa sovellettiin elektronisiin releisiin ja kytkimiin. Kaikki nykyaikainen digitaalitekniikka perustuu pohjimmiltaan Shannonin väitöskirjaan.

• Marraskuussa 1937 George Stibitz, joka työskenteli myöhemmin Bell Labsissa, loi "Model K" -tietokoneen, joka perustuu releisiin. K itchen", keittiö, jossa kokoonpano suoritettiin), joka suoritti binaarilisäyksen. Vuoden 1938 lopulla Bell Labs käynnisti Stiebitzin johtaman tutkimusohjelman. Hänen johdollaan luotu tietokone, joka valmistui 8. tammikuuta 1940, pystyi suorittamaan operaatioita kompleksiluvuilla. Demonstraatiossa American Mathematical Societyn konferenssissa Dartmouth Collegessa 11. syyskuuta 1940 Stibitz osoitti kykynsä lähettää komentoja etäkompleksilukulaskuriin puhelinlinjan kautta teletype-koneella. Tämä oli ensimmäinen yritys käyttää etätietokonetta puhelinlinjan kautta. Konferenssin osallistujia, jotka todistavat mielenosoitusta, olivat John von Neumann, John Mauchly ja Norbert Wiener, jotka myöhemmin kirjoittivat siitä muistelmissaan.

Binäärilukujen kirjoittaminen

Binäärilukujärjestelmä on yhdistelmä binäärikoodausjärjestelmästä ja eksponentiaalisesta painotusfunktiosta, jonka kantaluku on 2. Positiiviset (etumerkittömät) kokonaisluvut kirjoitetaan seuraavasti:

Tallennettujen koodien (numeroiden) määrä riippuu koodausjärjestelmän perusteella - c, määritetään kombinatoriikassa ja on yhtä suuri kuin toistojen sijoittelujen lukumäärä:

kirjoitettujen koodien (numeroiden) lukumäärä eksponentiaalisen funktion perustasta - b ei riipu.
Eksponenttifunktion kanta on b määrittää esitettyjen lukujen alueen x 2.b lukuakselilla esitettyjen lukujen suuruudet ja harvalukuisuus.

Kokonaisluvut ovat potenssisarjan osittaisia ​​summia:

jossa kertoimet a n otettu monilta R=a(0,1), X = 2, n=k, ja yksityisten määrien yläraja on rajoitettu - - n-1.

Merkilliset kokonaisluvut kirjoitetaan seuraavasti:

Murtoluvut kirjoitetaan seuraavasti:

On huomattava, että numero voidaan kirjoittaa binäärikoodilla, ja numerojärjestelmä ei välttämättä ole binääri, vaan jolla on eri kanta. Esimerkki: BCD-koodaus, jossa desimaaliluvut kirjoitetaan binäärimuodossa ja numerojärjestelmä on desimaali.

Binäärilukujen yhteenlasku, vähentäminen ja kertominen

Lisäystaulukko

Vähennystaulukko

Esimerkki sarakkeen kertolaskusta (14 × 5 = 70):

Alkaen luvusta 1, kaikki luvut kerrotaan kahdella. Pistettä, joka tulee ykkösen jälkeen, kutsutaan binääripisteeksi.

Binäärilukujen muuntaminen desimaalilukuiksi

Oletetaan, että sinulle annetaan binääriluku 110001. Muuntaaksesi desimaaliksi, kirjoita se oikealta vasemmalle summana numeroilla seuraavasti:

.

Voit kirjoittaa tämän taulukkomuotoon seuraavasti:

512	256	128	64	32	16	8	4	2	1
				1	1	0	0	0	1
				+32	+16				+1

Samoin binääripisteestä alkaen siirry oikealta vasemmalle. Kirjoita kunkin binääriyksikön alle sen vastine alla olevalle riville. Lisää tuloksena saadut desimaaliluvut.
Siten binääriluku 110001 vastaa desimaalilukua 49.

Hornerin muutos

Jotta voit muuntaa luvut binääriluvuista desimaaliksi tällä menetelmällä, sinun on summattava luvut vasemmalta oikealle kertomalla aiemmin saatu tulos järjestelmän perustalla (tässä tapauksessa 2). Esimerkiksi binääriluku 1011011 muunnetaan desimaalijärjestelmäksi seuraavasti: 0*2+ 1 =1 >> 1*2+0 =2 >> 2*2+1 =5 >> 5*2+1 =11 >> 11*2+0 =22 >> 22*2+1 =45 >> 45*2+1 =91 Eli desimaalijärjestelmässä tämä luku kirjoitetaan muodossa 91. Tai luku 101111 muunnetaan desimaalijärjestelmäksi seuraavasti: 0*2+ 1 =1 >> 1*2+0 =2 >> 2*2+1 =5 >> 5*2+1 =11 >> 11*2+1 =23 >> 23*2+1 =47 Eli desimaalijärjestelmässä tämä luku kirjoitetaan muodossa 47. Murtolukujen käännös Hornerin menetelmällä 1) 0.1101 2 =0.X 10 (lukuja tarkastellaan käänteisessä järjestyksessä)
1:2=0,5
0,5+0=0,5
0,5:2=0,25
0,25+1=1,25
1,25:2=0,625
0,625+1=1,625
1,625:2=0,8125
Vastaus: 0,1101 2 = 0,8125 10
2) 0,356 8 = 0,X 10 (tarkastele numeroita käänteisessä järjestyksessä)
6:8=0,75
0,75+5=5,75
5,75:8=0,71875
0,71875+3=3,71875
3,71875:8=0,46484375
Vastaus: 0,356 8 =0,46484375 10
3) 0.A6E 16 =0.X 10 (tarkista numerot käänteisessä järjestyksessä)
14:16=0,875
0,875+6=6,875
6,875:16=0,4296875
0,4296875+10=10,4296875
10,4296875:16=0,65185546875
Vastaus: 0.A6E 16 =0,65185546875 10

Desimaalilukujen muuntaminen binäärilukuiksi

Oletetaan, että meidän täytyy muuntaa luku 19 binääriksi. Voit käyttää seuraavaa menettelyä:

19 /2 = 9 ja loput 1 9 /2 = 4 ja loput 1 4 /2 = 2 ilman loppuosaa 0 2 /2 = 1 ilman jäännöstä 0 1 /2 = 0 ja loput 1

Joten jaamme jokaisen osamäärän 2:lla ja kirjoitamme jäännöksen binäärimerkinnän loppuun. Jatkamme jakamista, kunnes osamäärä on 0. Kirjoitetaan tulos oikealta vasemmalle. Eli alin numero on vasemmanpuoleisin jne. Tämän seurauksena saamme luvun 19 binäärimuodossa: 10011.

Murto-osien binäärilukujen muuntaminen desimaalilukuiksi

Numero on muutettava 1011010,101 desimaalijärjestelmään. Kirjoitetaan tämä numero seuraavasti:

Tai taulukon mukaan:

64	32	16	8	4	2	1	0.5	0.25	0.125
1	0	1	1	0	1	0.	.1	0	1
+64		+16	+8		+2		+0.5		+0.125

Murto-osien desimaalilukujen muuntaminen binäärilukuiksi

Murtoluku muunnetaan desimaalilukujärjestelmästä binäärijärjestelmään käyttämällä seuraavaa algoritmia:

• Ensin koko desimaalimurto-osa muunnetaan binäärilukujärjestelmäksi;
• Desimaaliluvun murto-osa kerrotaan sitten binäärikannassa;
• Tuloksena olevasta tulosta eristetään kokonaislukuosa, joka otetaan binäärilukujärjestelmän luvun ensimmäisen desimaalin arvoksi;
• Algoritmi päättyy, jos tuloksena olevan tuotteen murto-osa on yhtä suuri kuin nolla tai jos vaadittu laskentatarkkuus saavutetaan. Muussa tapauksessa laskelmat jatkuvat edellisestä vaiheesta.

Esimerkki: Sinun on muunnettava desimaaliluku 206,116 binäärilukuun murto-osa.

Koko osan käännös antaa 206 10 =11001110 2 aiemmin kuvattujen algoritmien mukaisesti; Kerromme murto-osan emäksellä 2 syöttämällä tuotteen kokonaislukuosat halutun murto-binääriluvun desimaaleihin:
0,116 2 = 0,232
0,232 2 = 0,464
0,464 2 = 0,928
0,928 2 = 1,856
0,856 2 = 1,712
0,712 2 = 1,424
0,424 2 = 0,848
0,848 2 = 1,696
0,696 2 = 1,392
0,392 2 = 0,784
jne.
Saamme: 206.116 10 =11001110.0001110110 2

Sovellukset

Digitaalisissa laitteissa

Binäärijärjestelmää käytetään digitaalisissa laitteissa, koska se on yksinkertaisin ja täyttää vaatimukset:

Digitaalisessa elektroniikassa yksi binäärilukujärjestelmässä oleva binäärinumero vastaa (ilmeisesti) binäärirekisterin yhtä binäärinumeroa, eli binäärikiikkua, jossa on kaksi tilaa (0,1).

Englannin mittausjärjestelmässä

Lineaarisia mittoja tuumina ilmaistaessa käytetään perinteisesti binäärimurtolukuja desimaalien sijaan, esimerkiksi: 5¾″, 7 15/16″, 3 11/32″ jne.

• Novosibirskin akateemisessa kaupungissa sijaitsevan rakennuksen (entinen Neuvostoliiton tiedeakatemian Siperian sivukonttorin laskentakeskus) päädyssä on binaarinumero 1000110 (70 10), joka vastaa rakennuksen rakennusaikaa (vuosi). ).

Katso myös

• Binäärinen koodaus

Esimerkkejä kahden voimasta

Tutkinto	Merkitys
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13	8192
14	16384
15	32768
16
17	131072
18	262144
19	524288
20	1048576
21	2097152
22	4194304
23	8388608
24
25	33554432
26	67108864
27	134217728
28	268435456
29	536870912
30	1073741824
31	2147483648
32	4294967296
33	8589934592
34	17179869184
35	34359738368
36	68719476736
37	137438953472
38	274877906944
39	549755813888
40	1099511627776
41	2199023255552
42	4398046511104
43	8796093022208
44	17592186044416
45	35184372088832
46	70368744177664
47	140737488355328
48	281474976710656
49	562949953421312
50	1125899906842624
51	2251799813685248

Huomautuksia

1. Sanchez, Julio & Canton, Maria P. (2007), "Mikro-ohjaimen ohjelmointi: mikrosirun PIC", Boca Raton, Florida: CRC Press, s. 37, ISBN 0-8493-7189-9
2. W.S. Anglin ja J. Lambek, Thalesin perintö, Springer, 1995,

Merkintä- tapa esittää numeroita tiettyyn numeroon perustuen P numeroiksi kutsuttuja merkkejä. Numero, joka vastaa merkkien määrää P, käytetään osoittamaan kunkin numeron yksiköiden lukumäärää kutsutaan perusta numerojärjestelmät.

Yleisimmän desimaalijärjestelmän alkuperä liittyy sormien laskemiseen. Muinaisessa Babylonissa olemassa ollut seksagesimaalijärjestelmä pysyi tuntien ja kulma-asteiden jaossa 60 minuuttiin ja minuuttien 60 sekuntiin. Venäjällä 1700-luvulle asti. oli desimaalilukujärjestelmä, joka perustui aakkosten a, b, g... kirjaimiin, jossa pylväs kirjaimen päällä (kreikkalaisista kirjaimista: alfa, beta, gamma).

Nykyaikainen desimaalijärjestelmä perustuu kymmeneen numeroon, joiden tyyli 0, 1, 2, ..., 9 muodostui Intiassa 500-luvulla. ILMOITUS ja saapui Eurooppaan arabialaisilla käsikirjoituksilla ("arabialaiset numerot"). Binäärijärjestelmässä käytetään kahta numeroa: 0 ja 1. Heksadesimaalijärjestelmässä on 16 merkkiä: 0, 1, 2, ..., 29, A B C D E F. Näitä numerojärjestelmiä kutsutaan paikallinen, koska luvun jokaisen numeron arvon määrää sen paikka (sijainti, arvo) numerosarjassa, joka muodostaa annetun luvun. Sijainti lasketaan oikealta vasemmalle; Joten desimaalijärjestelmässä: nollanumero on yksikkönumero, ensimmäinen numero on kymmenien numero, toinen numero on satojen numero, sitten tuhansia jne.

SISÄÄN ei-asentoinen Numerojärjestelmissä luvut eivät muuta kvantitatiivista arvoaan, kun niiden sijainti numerossa muuttuu.

Esimerkiksi 1 – I, 2 – II, 5 – IIIIII.

Roomalainen numerojärjestelmä (I, II, III, IV, V) on sekoitettu, koska kunkin numeron merkitys riippuu osittain sen paikasta (paikasta) numerossa. Esimerkiksi IV on 4 = 5-1 ja VI on 6 = 5 + 1.

SISÄÄN desimaali Järjestelmässä jokainen numero voi näyttää yhden 10 arvosta (numero 0, 1, 2, ..., 9). Jos haluat kirjoittaa yhdeksän jälkeisen luvun desimaalijärjestelmään, lisää uusi numero vasemmalle ja laita numero 1 sen paikkaan, jonka jälkeen nolla ja saat 10, ts. kymmenen. Desimaalijärjestelmän kahdella numerolla voit kirjoittaa sata numeroa: 0 - 99, sitten sinun on lisättävä uusi numero numerolle 100.

Desimaaliluvun numerot määrittävät luvun numerojärjestelmän perustan ja numeroiden numeroinnin perusteella esimerkiksi seuraavalla kaavalla: 256 = 2 102 + 5 101 + 6 100, jossa luvun arvo kerrotaan 10:llä "numeron numeron" potenssiin. Luvussa 256 numero 2 on toisessa numerossa ja tarkoittaa kahta sataa, joten se kerrotaan 102:lla; luku 5 on ensimmäisessä numerossa, tarkoittaa 5 kymmeniä ja kerrotaan 101:llä; luku 6 on nollassa ja kerrotaan 1:llä, ts. 100 mennessä.

Binäärilukujärjestelmä

Binäärijärjestelmässä yhdelle numerolle voidaan kirjoittaa vain kaksi arvoa: 0 tai 1, ja se on siinä – numeron mahdollisuudet ovat ohi. Binääriluvun kahdella numerolla voit kirjoittaa neljä eri numeroa ja kolmella numerolla kahdeksan numeroa. Numeroiden bittisyvyyden lisääminen numeroon N numeroita, voidaan kuvata binäärijärjestelmässä 2 x eri numerot, laske 2 x objektia.

Päästä sisään lukujärjestelmä pohjan kanssa R kirjoitetaan nelinumeroinen luku X, joiden numerot on merkitty merkeillä, joiden alla on indeksi α 3α 2α 1α 0. Täällä A 0 – merkki (numero) nollanumerolle, a 1 – ensimmäinen numero jne.

Numero voidaan esittää lausekkeella

x = a 3R 3 + a 2R 2 + a 1R 1 + a 0R 0.

Verrataan desimaaliluvun 1946 = 1 103 + 9 102 + 4 101 + 6 100 ja binääriluvun 1010 = 1 23 + 0 22 + 1 21 + 0 20 merkintää. Eksponentti, johon kanta on nostettava R alkuperäinen numerojärjestelmä on sama kuin vastaavan paikan numero.

Koska tietokone käyttää binäärilukujärjestelmää, 2:n potenssiina toimivilla luvuilla on tärkeä rooli ja ne mainitaan usein, esimerkiksi: 8 (23), 64 (26), 128 (27), 256 (28). Suurin 8-bittinen luku, jossa on kahdeksan binäärilukua 11111111 = 1 27 + 1 26 + 1 25 + 1 24 + 1 23 + 1 22 + 1 21 + 1 20 on yhtä suuri kuin desimaaliluku 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 255. Yhdessä nollan kanssa saamme täsmälleen 256 kokonaislukua, mikä on yhtä kuin 28.

Heksadesimaali järjestelmä - 16 perusnumerojärjestelmä, jossa käytetään numeroita 0-9 ja latinalaisten aakkosten isoja tai pieniä kirjaimia A(vastaa desimaalilukua 10) to F(vastaa desimaalilukua 15). Eli heksadesimaalilukujärjestelmässä numerot ovat 0, 1, 2, 9, A B C D E F. Binäärijärjestelmässä luku on jaettu neljän binäärinumeron ryhmiin. Yksi ryhmä antaa 24 = 16 yhdistelmää. Desimaaliluku 396 kirjoitetaan binäärimuodossa 110001100 ja heksadesimaaliluku 18C. Desimaali-, binääri- ja heksadesimaalilukujen vastaavuus on esitetty taulukossa. 1.1.

Heksadesimaalilukujärjestelmää käytetään osoittamaan tietokoneen RAM-solujen osoitteita, värisävyjä, eikä se tuota niin pitkiä numerorivejä,

Taulukko 1.1

Numeroiden täsmäytys: desimaali, binääri, heksadesimaali

Desimaaliluku	Binääri	Heksadesimaaliluku	Desimaaliluku	Binääri	Heksadesimaaliluku

kuten binäärijärjestelmä antaisi. Joskus heksadesimaaliluvun perään kirjoitetaan kirjain h(heksamaalinen). Esimerkiksi 321 /g vastaa desimaalilukua 801 = 3 162 + 2 161 + 1 160, a FCh on desimaaliluku 252 = 15 161 + 12 160.

Paikkanumerojärjestelmä ilmestyi ensimmäisen kerran muinaisessa Babylonissa. Intiassa järjestelmä toimii kuten

paikallinen desimaalinumerointi nollalla, intialaisilla on tämä numerojärjestelmä

arabikansa lainasi, ja eurooppalaiset puolestaan ​​ottivat heiltä. Euroopassa tämä järjestelmä tuli

kutsukaa sitä arabiaksi.

Paikkajärjestelmä - kaikkien numeroiden merkitys riippuu tietyn numeron paikasta (numerosta) numerossa.

Esimerkiksi tavallinen 10. numerojärjestelmä on paikkajärjestelmä. Oletetaan, että numero 453 on annettu.

Numero 4 tarkoittaa satoja ja vastaa numeroa 400, 5 - kymmenien lukumäärää ja vastaa arvoa 50,

ja 3 - yksiköt ja arvo 3. On helppo huomata, että numeron kasvaessa arvo kasvaa.

Näin ollen kirjoitetaan annettu luku summana 400+50+3=453.

Binäärilukujärjestelmä.

Tässä on vain 2 numeroa - 0 ja 1. Binäärijärjestelmän perusta- numero 2.

Oikealla reunassa oleva numero osoittaa yksiköiden lukumäärän, toinen numero osoittaa

Kaikissa numeroissa vain yksi numero on mahdollinen - joko nolla tai yksi.

Binäärilukujärjestelmän avulla on mahdollista koodata mikä tahansa luonnollinen luku edustamalla

Tämä luku on nollien ja ykkösten sarja.

Esimerkki: 10112 = 1*2 3 + 0*2*2+1*2 1 +1*2 0 =1*8 + 1*2+1=1110

Binäärilukujärjestelmää, kuten desimaalilukujärjestelmää, käytetään usein laskennassa

teknologiaa. Tietokone tallentaa tekstiä ja numeroita muistiinsa binäärikoodina ja muuntaa ne ohjelmallisesti

näytöllä näkyvään kuvaan.

Binäärilukujen yhteenlasku, vähentäminen ja kertominen.

Lisäystaulukko binäärilukujärjestelmässä:

		10 (siirto osoitteeseen vanhempi arvo)

Vähennyslaskutaulukko binäärilukujärjestelmässä:

	(laina seniorilta luokka) 1

Esimerkki sarakkeen lisäyksestä (14 10 + 5 10 = 19 10 tai 1110 2 + 101 2 = 10011 2):

+		1	1	1	0
			1	0	1
	1	0	0	1	1

Kertotaulukko binäärilukujärjestelmässä:

Esimerkki sarakkeen kertolaskusta (14 10 * 5 10 = 70 10 tai 1110 2 * 101 2 = 1000110 2):

*				1	1	1	0
					1	0	1
+				1	1	1	0
			1	1	1	0
=	1	0	0	0	1	1	0

Numeron muuntaminen binäärilukujärjestelmässä.

Muuntaaksesi binääriarvosta desimaaliksi käytä seuraavaa eksponenttitaulukkoa

perusteet 2:

Alkaen numerosta yksi, jokainen numero kerrotaan kahdella. Piste 1:n jälkeen kutsutaan binääripiste.

Muunna binääriluvut desimaalilukuiksi.

Olkoon binääriluku 110001 2. Muuntaaksesi desimaaliksi kirjoitamme sen summana by

sijoittuu seuraavasti:

1 * 2 5 + 1 * 2 4 + 0 * 2 3 + 0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 49

Vähän erilaista:

1 * 32 + 1 * 16 + 0 * 8 + 0 * 4 + 0 * 2 + 1 * 1 = 49

Laskelma on myös hyvä kirjoittaa taulukkona:

Siirrymme oikealta vasemmalle. Kaikkien binääriyksiköiden alle kirjoitamme sen vastineen alla olevalle riville.

Muunna murto-osan binääriluvut desimaaliluvuiksi.

Harjoittele: Muunna luku 1011010, 101 2 desimaalijärjestelmäksi.

Kirjoitamme annetun numeron tähän muotoon:

1*2 6 +0*2 5 +1*2 4 +1*2 3 +0 *2 2 + 1 * 2 1 + 0 * 2 0 + 1 * 2 -1 + 0 * 2 -2 + 1 * 2 -3 = 90,625

Toinen tallennusvaihtoehto:

1*64+0*32+1*16+1*8+0*4+1*2+0*1+1*0,5+0*0,25+1*0,125 = 90,625

Tai taulukkomuodossa:

								0.25	0.125
									0.125

Muunna desimaaliluvut binäärilukuiksi.

Oletetaan, että sinun on muutettava luku 19 binääriksi. Voimme tehdä sen näin:

19 /2 = 9 loppuosan kanssa 1

9 /2 = 4 loppuosan kanssa 1

4 /2 = 2 jälkeä jättämättä 0

2 /2 = 1 jälkeä jättämättä 0

1 /2 = 0 loppuosan kanssa 1

Eli jokainen osamäärä jaetaan kahdella ja jäännös kirjoitetaan binäärimerkinnän loppuun. Division

jatkuu, kunnes osamäärässä ei ole nollaa. Kirjoitamme tuloksen oikealta vasemmalle. Nuo. alempi

numero (1) on vasemmanpuoleisin ja niin edelleen. Joten meillä on numero 19 binäärimuodossa: 10011.

Murto-osien desimaalilukujen muuntaminen binäärilukuiksi.

Kun annettu luku sisältää kokonaislukuosan, se muunnetaan erillään murto-osasta. Käännös

murtoluvun muuntaminen desimaalilukujärjestelmästä binäärijärjestelmään tapahtuu seuraavasti:

• Murtoluku kerrotaan binäärilukujärjestelmän (2) kantaluvulla;

• Tuloksena olevasta tuotteesta eristetään kokonainen osa, jota pidetään johtavana.

luvun numero binäärilukujärjestelmässä;

• Algoritmi päättyy, jos tuloksena olevan tuotteen murto-osa on nolla tai jos

vaadittu laskentatarkkuus on saavutettu. Muuten laskelmat jatkuvat

tuotteen murto-osa.

Esimerkki: Sinun on muutettava murto-desimaaliluku 206.116 murto-binääriluvuksi.

Kääntämällä koko osan saadaan 206 10 =11001110 2. 0,116:n murto-osa kerrotaan emäksellä 2,

Laitamme tuotteen kokonaiset osat desimaaleihin:

0,116 . 2 = 0,232

0,232 . 2 = 0,464

0,464 . 2 = 0,928

0,928 . 2 = 1,856

0,856 . 2 = 1,712

0,712 . 2 = 1,424

0,424 . 2 = 0,848

0,848 . 2 = 1,696

0,696 . 2 = 1,392

0,392 . 2 = 0,784

Tulos: 206,116 10 ≈ 11001110,0001110110 2

Algoritmi lukujen muuntamiseksi numerojärjestelmästä toiseen.

1. Desimaalilukujärjestelmästä:

• jaa luku käännetyn numerojärjestelmän pohjalla;

• etsi jäännös, kun jaetaan luvun kokonaislukuosa;

• kirjoita muistiin kaikki jaon jäännökset käänteisessä järjestyksessä;

2. Binäärilukujärjestelmästä:

• muuntaaksemme desimaalilukujärjestelmään, löydämme kantaluvun 2 tulojen summan

asianmukainen tyhjennysaste;

Binäärilukujärjestelmä Nykyään sitä käytetään lähes kaikissa digitaalisissa laitteissa. Tietokoneet, ohjaimet ja muut laskentalaitteet suorittavat laskelmia binäärijärjestelmässä. Digitaaliset laitteet äänen, valokuvien ja videoiden tallentamiseen ja toistoon tallentavat ja käsittelevät signaaleja binäärilukujärjestelmässä. Myös tiedonsiirrossa digitaalisia viestintäkanavia pitkin käytetään binäärilukujärjestelmän mallia.

Järjestelmällä on tämä nimi, koska järjestelmän kanta on numero kaksi ( 2 ) tai binäärimuodossa 10 2 - tämä tarkoittaa, että vain kahta numeroa "0" ja "1" käytetään esittämään numeroita. Numeron oikeaan alakulmaan kirjoitetut kaksi osoittavat tässä ja edelleen numerojärjestelmän perustaa. Desimaalijärjestelmässä kantaa ei yleensä ilmoiteta.

Nolla - 0 ;
Yksi - 1 ;

Mitä tehdä seuraavaksi? Kaikki numerot ovat poissa. Kuinka kuvata numero kaksi? Desimaalijärjestelmässä samassa tilanteessa (kun numerot loppuivat) otimme käyttöön kymmenen käsitteen, mutta tässä meidän on pakko ottaa käyttöön käsite "kaksi" ja sanoa, että kaksi on yksi kaksi ja nolla ykköstä. Ja tämä voidaan jo kirjoittaa nimellä "10 2".

Niin, Kaksi - 10 2 (yksi kaksi, nolla ykköstä)
Kolme - 11 2 (yksi kaksi, yksi)

Neljä - 100 2 (yksi neljä, nolla kakkosta, nolla ykköstä)
Viisi - 101 2 (yksi neljä, nolla kakkosta, yksi)
Kuusi - 110 2 (yksi neljä, yksi kaksi, nolla ykköstä)
Seitsemän - 111 2 (yksi neljä, yksi kaksi, yksi)

Kolmen numeron mahdollisuudet on käytetty loppuun, otamme käyttöön suuremman laskentayksikön - kahdeksan (olemme hallitsemassa uutta numeroa).

Kahdeksan - 1000 2 (yksi kahdeksas, nolla neljä, nolla kakkosta, nolla ykköstä)
Yhdeksän - 1001 2 (yksi kahdeksas, nolla neloa, nolla kakkosta, yksi yksi)
Kymmenen - 1010 2 (yksi kahdeksan, nolla neljää, yksi kaksi, nolla ykköstä)
...
ja niin edelleen...
...

Aina kun mukana olevien numeroiden kapasiteetti näyttää seuraavaa numeroa loppuu, otamme käyttöön suurempia laskentayksiköitä, ts. käytetään seuraavaa luokkaa.

Harkitse numeroa 1011 2 kirjoitettu binäärilukujärjestelmässä. Voimme sanoa siitä, että se sisältää: yhden kahdeksan, nolla neljää, yhden kaksi ja yhden yhden. Ja saat sen arvon siihen sisältyvien numeroiden kautta seuraavasti.

1011 2 = 1 *8+0 *4+1 *2+1 *1, tässä ja alla * (tähti) -merkki tarkoittaa kertolaskua.

Mutta lukujen sarja 8, 4, 2, 1 ei ole muuta kuin luvun kaksi (lukujärjestelmän kanta) kokonaislukupotenssia, ja siksi se voidaan kirjoittaa:

1011 2 = 1 *2 3 +0 *2 2 +2 *2 1 +2 *2 0

Samoin esimerkiksi binäärimurtoluvulle (murtoluku): 0.101 2 (viisi kahdeksasosaa), voimme sanoa siitä, että se sisältää: yhden sekunnin, nolla neljäsosaa ja yhden kahdeksasosan. Ja sen arvo voidaan laskea seuraavasti:

0.101 2 = 1 *(1/2) + 0 *(1/4) + 1 *(1/8)

Ja tässä on sarja numeroita 1/2; 1/4 ja 1/8 eivät ole mitään muuta kuin kahden kokonaislukupotenssit ja voimme myös kirjoittaa:

0.101 2 = 1 *2 -1 + 0 *2 -2 + 1 *2 -3

Sekanumerolle 110.101 voimme kirjoittaa samalla tavalla:

110.101 = 1 *2 2 +1 *2 1 +0 *2 0 +1 *2 -1 +0 *2 -2 +1 *2 -3

Numeroidaan binääriluvun kokonaislukuosan numerot oikealta vasemmalle 0,1,2...n (numerointi alkaa nollasta!). Ja murto-osan numerot vasemmalta oikealle ovat kuin -1, -2, -3... -m. Sitten jonkin binääriluvun arvo voidaan laskea kaavalla:

N = d n 2 n + d n-1 2 n-1 +…+d 1 2 1 + d 0 2 0 + d -1 2 -1 + d -2 2 -2 +…+d -(m-1) 2-(m-1) +d-m2-m

Missä: n- numeroiden lukumäärä luvun kokonaislukuosassa miinus yksi;
m- numeroiden lukumäärä luvun murto-osassa
d i- numero seisoo i- sijalla

Tätä kaavaa kutsutaan laajennuskaava binääriluku, ts. binäärilukujärjestelmään kirjoitetut numerot. Mutta jos tässä kaavassa numero kaksi korvataan jollain abstraktilla q, niin saamme kirjoitetun luvun laajennuskaavan qth numerojärjestelmä:

N = d n q n + d n-1 q n-1 +…+d 1 q 1 + d 0 q 0 +d -1 q -1 +d -2 q -2 +…+d -(m-1) q - (m-1) +d-m q-m

Tämän kaavan avulla voit aina laskea binääriluvun lisäksi myös missä tahansa muussa paikkalukujärjestelmässä kirjoitetun luvun arvon. Suosittelemme lukemaan seuraavat artikkelit muista numerojärjestelmistä.