Mikä on moduuli x 1. Kuinka ratkaista yhtälöitä moduulilla: perussäännöt. Epäyhtälöt muodossa "Moduuli on suurempi kuin funktio"

Moduuli on yksi niistä asioista, joista kaikki näyttävät kuulleet, mutta todellisuudessa kukaan ei ymmärrä. Siksi tänään on suuri oppitunti, joka on omistettu yhtälöiden ratkaisemiseen moduulien avulla.

Sanon heti: oppitunti ei ole vaikea. Ja yleisesti ottaen moduulit ovat suhteellisen yksinkertainen aihe. "Kyllä, tietenkään, se ei ole monimutkaista! Se räjäyttää mieleni!" - monet opiskelijat sanovat, mutta kaikki nämä aivokatkot johtuvat siitä, että useimpien ihmisten päässä ei ole tietoa, vaan jonkinlaista paskaa. Ja tämän oppitunnin tavoitteena on muuttaa paska tiedoksi :)

Vähän teoriaa

Mennään siis. Aloitetaan tärkeimmästä: mikä on moduuli? Haluan muistuttaa, että luvun moduuli on yksinkertaisesti sama luku, mutta otettu ilman miinusmerkkiä. Se on esimerkiksi $\left| -5 \oikea|=5$. Tai $\left| -129,5 \oikea|=129,5 dollaria.

Onko se niin yksinkertaista? Kyllä, yksinkertainen. Mikä sitten on positiivisen luvun itseisarvo? Se on vielä yksinkertaisempaa: positiivisen luvun moduuli on yhtä suuri kuin tämä luku itse: $\left| 5 \right|=5$; $\left| 129,5 \right|=129,5 dollaria jne.

Osoittautuu omituinen asia: eri numeroilla voi olla sama moduuli. Esimerkiksi: $\left| -5 \oikea|=\vasen| 5 \right|=5$; $\left| -129,5 \oikea|=\vasen| 129,5\oikea|=129,5 dollaria. On helppo nähdä, millaisia ​​lukuja nämä ovat, joiden moduulit ovat samat: nämä luvut ovat vastakkaisia. Näin ollen huomaamme itse, että vastakkaisten lukujen moduulit ovat yhtä suuret:

\[\left| -a \oikea|=\vasen| a\right|\]

Toinen tärkeä tosiasia: moduuli ei ole koskaan negatiivinen. Minkä tahansa luvun otammekin - oli se sitten positiivinen tai negatiivinen - sen moduuli osoittautuu aina positiiviseksi (tai äärimmäisissä tapauksissa nollaksi). Tästä syystä moduulia kutsutaan usein luvun itseisarvoksi.

Lisäksi, jos yhdistämme moduulin määritelmän positiiviselle ja negatiiviselle luvulle, saamme globaalin moduulin määritelmän kaikille luvuille. Nimittäin: luvun moduuli on yhtä suuri kuin itse luku, jos luku on positiivinen (tai nolla), tai yhtä suuri kuin vastakkainen luku, jos luku on negatiivinen. Voit kirjoittaa tämän kaavana:

On myös nollamoduuli, mutta se on aina yhtä suuri kuin nolla. Lisäksi nolla yksikkö, jolla ei ole vastakohtaa.

Jos siis tarkastellaan funktiota $y=\left| x \right|$ ja yritä piirtää sen kaavio, saat jotain tällaista:

Moduulikaavio ja esimerkki yhtälön ratkaisusta

Tästä kuvasta käy heti selväksi, että $\left| -m \oikea|=\vasen| m \right|$, ja moduulikaavio ei koskaan putoa x-akselin alapuolelle. Mutta siinä ei vielä kaikki: punainen viiva merkitsee suoraa $y=a$, joka positiiviselle $a$ antaa meille kaksi juuria kerralla: $((x)_(1))$ ja $((x) _(2)) $, mutta puhumme siitä myöhemmin :)

Puhtaasti algebrallisen määritelmän lisäksi on olemassa geometrinen määritelmä. Oletetaan, että lukurivillä on kaksi pistettä: $((x)_(1))$ ja $((x)_(2))$. Tässä tapauksessa lauseke $\left| ((x)_(1))-((x)_(2)) \right|$ on yksinkertaisesti määritettyjen pisteiden välinen etäisyys. Tai, jos haluat, nämä pisteet yhdistävän segmentin pituus:

Modulus on numeroviivan pisteiden välinen etäisyys

Tämä määritelmä viittaa myös siihen, että moduuli on aina ei-negatiivinen. Mutta tarpeeksi määritelmiä ja teoriaa - siirrytään todellisiin yhtälöihin :)

Peruskaava

Okei, olemme selvittäneet määritelmän. Mutta se ei tehnyt siitä yhtään helpompaa. Kuinka ratkaista yhtälöt, jotka sisältävät juuri tämän moduulin?

Rauhallinen, vain rauhallinen. Aloitetaan yksinkertaisimmista asioista. Harkitse jotain tällaista:

\[\left| x\oikea|=3\]

Joten $x$:n moduuli on 3. Mitä $x$ voisi olla yhtä suuri? No, määritelmän perusteella olemme melko tyytyväisiä arvoon $x=3$. Todella:

\[\left| 3\oikea|=3\]

Onko muita numeroita? Cap näyttää vihjaavan, että on olemassa. Esimerkiksi $x=-3$ on myös $\left| -3 \oikea|=3$, ts. vaadittu tasa-arvo täyttyy.

Joten ehkä jos etsimme ja ajattelemme, löydämme lisää numeroita? Mutta katkaise se: lisää numeroita Ei. Yhtälö $\left| x \right|=3$ on vain kaksi juuria: $x=3$ ja $x=-3$.

Monimutkaistaan ​​nyt tehtävää hieman. Anna funktion $f\left(x \right)$ roikkua moduulimerkin alla muuttujan $x$ sijaan ja laita mielivaltainen luku $a$ oikeanpuoleisen kolmion tilalle. Saamme yhtälön:

\[\left| f\left(x \right) \right|=a\]

Joten kuinka voimme ratkaista tämän? Haluan muistuttaa: $f\left(x \right)$ on mielivaltainen funktio, $a$ on mikä tahansa luku. Nuo. Ihan mitä tahansa! Esimerkiksi:

\[\left| 2x+1 \right|=5\]

\[\left| 10x-5 \oikea|=-65\]

Kiinnitetään huomiota toiseen yhtälöön. Voit heti sanoa hänestä: hänellä ei ole juuria. Miksi? Kaikki on oikein: koska se edellyttää, että moduuli on yhtä suuri kuin negatiivinen luku, mitä ei koskaan tapahdu, koska tiedämme jo, että moduuli on aina positiivinen luku tai äärimmäisissä tapauksissa nolla.

Mutta ensimmäisellä yhtälöllä kaikki on hauskempaa. Vaihtoehtoja on kaksi: joko moduulimerkin alla on positiivinen lauseke ja sitten $\left| 2x+1 \right|=2x+1$, tai tämä lauseke on edelleen negatiivinen, ja sitten $\left| 2x+1 \oikea|=-\vasen(2x+1 \oikea)=-2x-1$. Ensimmäisessä tapauksessa yhtälömme kirjoitetaan uudelleen seuraavasti:

\[\left| 2x+1 \right|=5\Rightarrow 2x+1=5\]

Ja yhtäkkiä käy ilmi, että alimodulaarinen lauseke $2x+1$ on todella positiivinen - se on yhtä suuri kuin luku 5. voimme turvallisesti ratkaista tämän yhtälön - tuloksena oleva juuri on osa vastausta:

Erityisen epäluuloiset voivat yrittää korvata löydetyn juuren alkuperäiseen yhtälöön ja varmistaa, että moduulin alla on todella positiivinen luku.

Katsotaan nyt negatiivisen alimodulaarisen lausekkeen tapausta:

\[\left\( \begin(align)& \left| 2x+1 \right|=5 \\& 2x+1 \lt 0 \\\end(align) \right.\Rightarrow -2x-1=5 \Nuoli oikealle 2x+1=-5\]

Oho! Jälleen kaikki on selvää: oletimme, että $2x+1 \lt 0$, ja tuloksena saimme, että $2x+1=-5$ - todellakin tämä lauseke on pienempi kuin nolla. Ratkaisemme tuloksena olevan yhtälön tietäen jo varmaksi, että löydetty juuri sopii meille:

Yhteensä saimme jälleen kaksi vastausta: $x=2$ ja $x=3$. Kyllä, laskelmien määrä osoittautui hieman suuremmiksi kuin hyvin yksinkertaisessa yhtälössä $\left| x \right|=3$, mutta mikään ei ole olennaisesti muuttunut. Joten ehkä on olemassa jokin universaali algoritmi?

Kyllä, tällainen algoritmi on olemassa. Ja nyt analysoimme sen.

Moduulimerkin eroon pääseminen

Olkoon meille yhtälö $\left| f\left(x \right) \right|=a$ ja $a\ge 0$ (muuten, kuten jo tiedämme, juuria ei ole). Sitten voit päästä eroon moduulimerkistä seuraavalla säännöllä:

\[\left| f\left(x \right) \right|=a\Rightarrow f\left(x \right)=\pm a\]

Siten yhtälömme moduulilla jakautuu kahteen osaan, mutta ilman moduulia. Siinä kaikki tekniikka on! Yritetään ratkaista pari yhtälöä. Aloitetaan tästä

\[\left| 5x+4 \right|=10\Rightarrow 5x+4=\pm 10\]

Tarkastellaan erikseen, milloin oikealla on kymmenen plussaa, ja erikseen, milloin on miinus. Meillä on:

\[\begin(align)& 5x+4=10\Rightarrow 5x=6\Rightarrow x=\frac(6)(5)=1,2; \\& 5x+4=-10\Rightarrow 5x=-14\Rightarrow x=-\frac(14)(5)=-2.8. \\\end(tasaa)\]

Siinä kaikki! Meillä on kaksi juuria: $x=1.2$ ja $x=-2.8$. Koko ratkaisu kesti kirjaimellisesti kaksi riviä.

Ok, ei epäilystäkään, katsotaanpa jotain hieman vakavampaa:

\[\left| 7-5x\oikea|=13\]

Avaamme jälleen moduulin plus- ja miinusmerkillä:

\[\begin(align)& 7-5x=13\Rightarrow -5x=6\Rightarrow x=-\frac(6)(5)=-1,2; \\& 7-5x=-13\Rightarrow -5x=-20\Rightarrow x=4. \\\end(tasaa)\]

Pari riviä taas - ja vastaus on valmis! Kuten sanoin, moduuleissa ei ole mitään monimutkaista. Sinun tarvitsee vain muistaa muutama sääntö. Siksi siirrymme eteenpäin ja aloitamme todella monimutkaisemmista tehtävistä.

Oikeanpuoleisen muuttujan tapaus

Mieti nyt tätä yhtälöä:

\[\left| 3x-2 \right|=2x\]

Tämä yhtälö on pohjimmiltaan erilainen kuin kaikki aiemmat. Miten? Ja se, että yhtäläisyysmerkin oikealla puolella on lauseke $2x$ - emmekä voi tietää etukäteen, onko se positiivinen vai negatiivinen.

Mitä tehdä tässä tapauksessa? Ensinnäkin meidän on ymmärrettävä se kerta kaikkiaan jos yhtälön oikea puoli osoittautuu negatiiviseksi, yhtälöllä ei ole juuria- Tiedämme jo, että moduuli ei voi olla yhtä suuri kuin negatiivinen luku.

Ja toiseksi, jos oikea osa on edelleen positiivinen (tai yhtä suuri kuin nolla), voit toimia täsmälleen samalla tavalla kuin ennen: yksinkertaisesti avaa moduuli erikseen plusmerkillä ja erikseen miinusmerkillä.

Näin ollen muotoilemme säännön mielivaltaisille funktioille $f\left(x \right)$ ja $g\left(x \right)$ :

\[\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\Rightarrow \left\( \begin(align)& f\left(x \right)=\pm g\left(x \right) ), \\& g\left(x \right)\ge 0. \\\end(tasaa) \oikea.\]

Suhteessa yhtälöimme saamme:

\[\left| 3x-2 \right|=2x\Rightarrow \left\( \begin(align)& 3x-2=\pm 2x, \\& 2x\ge 0. \\\end(align) \right.\]

No, jotenkin selviämme vaatimuksesta $2x\ge 0$. Lopulta voimme typerästi korvata ensimmäisestä yhtälöstä saamamme juuret ja tarkistaa, päteekö epäyhtälö vai ei.

Ratkaistaan ​​siis itse yhtälö:

\[\begin(align)& 3x-2=2\Rightarrow 3x=4\Rightarrow x=\frac(4)(3); \\& 3x-2=-2\Rightarrow 3x=0\Rightarrow x=0. \\\end(tasaa)\]

No, mikä näistä kahdesta juurista täyttää vaatimuksen $2x\ge 0$? Kyllä molemmat! Siksi vastaus on kaksi numeroa: $x=(4)/(3)\;$ ja $x=0$. Siinä se ratkaisu :)

Epäilen, että osa opiskelijoista alkaa jo kyllästyä? No, katsotaanpa vielä monimutkaisempaa yhtälöä:

\[\left| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \oikea|=x-((x)^(3))\]

Vaikka se näyttää pahalta, itse asiassa se on silti sama yhtälö muodossa "moduuli on yhtä suuri funktio":

\[\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\]

Ja se ratkaistaan ​​täsmälleen samalla tavalla:

\[\left| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \oikea|=x-((x)^(3))\Oikeanuoli \vasen\( \begin(align)& ( (x)^(3))-3((x)^(2))+x=\pm \vasen(x-((x)^(3)) \oikea), \\& x-((x) )^(3))\ge 0. \\\end(tasaa) \oikea.\]

Käsittelemme eriarvoisuutta myöhemmin - se on jotenkin liian paha (itse asiassa se on yksinkertainen, mutta emme ratkaise sitä). Toistaiseksi on parempi käsitellä tuloksena olevia yhtälöitä. Tarkastellaan ensimmäistä tapausta - tämä on, kun moduulia laajennetaan plusmerkillä:

\[((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3))\]

No, se on turhaa, että sinun täytyy kerätä kaikki vasemmalta, tuoda samanlaiset ja katsoa mitä tapahtuu. Ja näin tapahtuu:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3)); \\& 2((x)^(3))-3((x)^(2))=0; \\\end(tasaa)\]

Otamme yhteisen tekijän $((x)^(2))$ suluista ja saamme hyvin yksinkertaisen yhtälön:

\[((x)^(2))\left(2x-3 \right)=0\Rightarrow \left[ \begin(align)& ((x)^(2))=0 \\& 2x-3 =0 \\\end(tasaa) \oikea.\]

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(3)(2)=1,5.\]

Tässä hyödynnettiin tuotteen tärkeä ominaisuus, jonka vuoksi laskettiin alkuperäinen polynomi: tulo on yhtä suuri kuin nolla, kun vähintään yksi tekijöistä on nolla.

Käsitellään nyt toista yhtälöä täsmälleen samalla tavalla, joka saadaan laajentamalla moduulia miinusmerkillä:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-\left(x-((x)^(3)) \oikea); \\& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-x+((x)^(3)); \\& -3((x)^(2))+2x=0; \\& x\left(-3x+2 \right)=0. \\\end(tasaa)\]

Jälleen sama asia: tulo on yhtä suuri kuin nolla, kun ainakin yksi tekijöistä on yhtä suuri kuin nolla. Meillä on:

\[\left[ \begin(align)& x=0 \\& -3x+2=0 \\\end(tasaa) \right.\]

No, meillä on kolme juuria: $x=0$, $x=1.5$ ja $x=(2)/(3)\;$. No, mikä näistä joukosta menee lopulliseen vastaukseen? Tätä varten muista, että meillä on lisärajoitus epätasa-arvon muodossa:

Miten tämä vaatimus otetaan huomioon? Korvataan vain löydetyt juuret ja tarkistetaan, päteekö epäyhtälö näihin $x$-arvoihin vai ei. Meillä on:

\[\begin(align)& x=0\Oikeanuoli x-((x)^(3))=0-0=0\ge 0; \\& x=1.5\nuoli oikealle x-((x)^(3))=1.5-((1.5)^(3)) \lt 0; \\& x=\frac(2)(3)\Rightarrow x-((x)^(3))=\frac(2)(3)-\frac(8)(27)=\frac(10) (27)\ge 0; \\\end(tasaa)\]

Siksi juuri $x=1.5$ ei sovi meille. Ja vastauksena on vain kaksi juurta:

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(2)(3).\]

Kuten näette, tässäkään tapauksessa ei ollut mitään monimutkaista - moduulien yhtälöt ratkaistaan ​​aina algoritmin avulla. Sinun tarvitsee vain ymmärtää polynomit ja epäyhtälöt hyvin. Siksi siirrymme monimutkaisempiin tehtäviin - moduulia ei ole jo yksi, vaan kaksi.

Yhtälöt kahdella moduulilla

Tähän asti olemme tutkineet vain yksinkertaisimpia yhtälöitä - siellä oli yksi moduuli ja jotain muuta. Lähetimme tämän "jotain muuta" epäyhtälön toiseen osaan, pois moduulista, jotta lopulta kaikki pelkistyisi yhtälöön muotoa $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$ tai jopa yksinkertaisempi $\left| f\left(x \right) \right|=a$.

Mutta päiväkoti päättyi - on aika harkita jotain vakavampaa. Aloitetaan kaltaisilla yhtälöillä:

\[\left| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\]

Tämä on yhtälö muotoa "moduuli on yhtä suuri kuin moduuli". Pohjimmiltaan tärkeä pointti on muiden termien ja tekijöiden puuttuminen: vain yksi moduuli vasemmalla, yksi moduuli oikealla - eikä mitään muuta.

Joku ajattelee nyt, että tällaisia ​​yhtälöitä on vaikeampi ratkaista kuin mitä olemme tähän mennessä tutkineet. Mutta ei: nämä yhtälöt on vielä helpompi ratkaista. Tässä on kaava:

\[\left| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\Rightarrow f\left(x \right)=\pm g\left(x \right)\]

Kaikki! Me yksinkertaisesti rinnastamme alimodulaariset lausekkeet asettamalla plus- tai miinusmerkin yhden niistä eteen. Ja sitten ratkaisemme tuloksena olevat kaksi yhtälöä - ja juuret ovat valmiita! Ei ylimääräisiä rajoituksia, ei eriarvoisuutta jne. Kaikki on hyvin yksinkertaista.

Yritetään ratkaista tämä ongelma:

\[\left| 2x+3 \oikea|=\vasen| 2x-7 \oikea|\]

Alkeis Watson! Moduulien laajentaminen:

\[\left| 2x+3 \oikea|=\vasen| 2x-7 \oikea|\Nuoli oikealle 2x+3=\pm \vasen(2x-7 \oikea)\]

Tarkastellaan jokaista tapausta erikseen:

\[\begin(align)& 2x+3=2x-7\Rightarrow 3=-7\Rightarrow \emptyset ; \\& 2x+3=-\vasen(2x-7 \oikea)\Nuoli oikealle 2x+3=-2x+7. \\\end(tasaa)\]

Ensimmäisellä yhtälöllä ei ole juuria. Koska milloin on $ 3 = - 7 $? Millä arvoilla $x$? "Mikä helvetti on $x$? Oletko kivitetty? Siellä ei ole $x$ ollenkaan", sanot. Ja olet oikeassa. Olemme saaneet yhtälön, joka ei riipu muuttujasta $x$, ja samalla itse yhtälö on virheellinen. Siksi ei ole juuria :)

Toisella yhtälöllä kaikki on hieman mielenkiintoisempaa, mutta myös hyvin, hyvin yksinkertaista:

Kuten näette, kaikki ratkesi kirjaimellisesti parilla rivillä - emme odottaneet mitään muuta lineaarisesta yhtälöstä :)

Tämän seurauksena lopullinen vastaus on: $x=1$.

Niin miten? Vaikea? Ei tietenkään. Kokeillaan jotain muuta:

\[\left| x-1 \oikea|=\vasen| ((x)^(2))-3x+2 \oikea|\]

Jälleen meillä on yhtälö muodossa $\left| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|$. Siksi kirjoitamme sen välittömästi uudelleen paljastaen moduulimerkin:

\[((x)^(2))-3x+2=\pm \left(x-1 \right)\]

Ehkä joku kysyy nyt: "Hei, mitä hölynpölyä? Miksi "plus-miinus" näkyy oikeanpuoleisessa ilmaisussa eikä vasemmassa?" Rauhoitu, selitän nyt kaiken. Todellakin, hyvällä tavalla meidän olisi pitänyt kirjoittaa yhtälömme uudelleen seuraavasti:

Sitten sinun on avattava sulut, siirrettävä kaikki termit yhtäläisyysmerkin yhdelle puolelle (koska yhtälö on ilmeisesti molemmissa tapauksissa neliö) ja etsi sitten juuret. Mutta sinun on myönnettävä: kun "plus-miinus" esiintyy ennen kolmea termiä (varsinkin kun yksi näistä termeistä on neliöllinen lauseke), se näyttää jotenkin monimutkaisemmalta kuin tilanne, jossa "plus-miinus" esiintyy ennen vain kahta termiä.

Mutta mikään ei estä meitä kirjoittamasta alkuperäistä yhtälöä uudelleen seuraavasti:

\[\left| x-1 \oikea|=\vasen| ((x)^(2))-3x+2 \oikea|\Oikeanuoli \vasen| ((x)^(2))-3x+2 \oikea|=\vasen| x-1 \oikea|\]

Mitä tapahtui? Ei mitään erikoista: he vain vaihtoivat vasenta ja oikeaa puolta. Pieni asia, joka lopulta helpottaa elämäämme :)

Yleensä ratkaisemme tämän yhtälön harkiten vaihtoehtoja plus- ja miinusmerkillä:

\[\begin(align)& ((x)^(2))-3x+2=x-1\nuoli oikealle ((x)^(2))-4x+3=0; \\& ((x)^(2))-3x+2=-\vasen(x-1 \oikea)\nuoli oikealle ((x)^(2))-2x+1=0. \\\end(tasaa)\]

Ensimmäisellä yhtälöllä on juuret $x=3$ ja $x=1$. Toinen on yleensä tarkka neliö:

\[((x)^(2))-2x+1=((\vasen(x-1 \oikea))^(2))\]

Siksi sillä on vain yksi juuri: $x=1$. Mutta olemme saaneet tämän juuren jo aiemmin. Siten vain kaksi numeroa menee lopulliseen vastaukseen:

\[((x)_(1))=3;\quad ((x)_(2))=1.\]

Tehtävä suoritettu! Voit ottaa piirakan hyllystä ja syödä sen. Niitä on 2, sinun on keskimmäinen :)

Tärkeä muistiinpano. Läsnäolo identtiset juuret erilaisia ​​vaihtoehtoja Moduulin laajennus tarkoittaa, että alkuperäiset polynomit on jaettu tekijöihin, ja näiden tekijöiden joukossa on varmasti yhteinen. Todella:

\[\begin(align)& \left| x-1 \oikea|=\vasen| ((x)^(2))-3x+2 \oikea|; \\& \left| x-1 \oikea|=\vasen| \left(x-1 \right)\left(x-2 \right) \right|. \\\end(tasaa)\]

Yksi moduulin ominaisuuksista: $\left| a\cdot b \right|=\left| a \right|\cdot \left| b \right|$ (eli tulon moduuli on yhtä suuri kuin moduulin tulo), joten alkuperäinen yhtälö voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti:

\[\left| x-1 \oikea|=\vasen| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \oikea|\]

Kuten näette, meillä on todella yhteinen tekijä. Nyt, jos keräät kaikki moduulit yhdelle puolelle, voit ottaa tämän tekijän pois suluista:

\[\begin(align)& \left| x-1 \oikea|=\vasen| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \oikea|; \\& \left| x-1 \oikea|-\vasen| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \oikea|=0; \\& \left| x-1 \oikea|\cdot \left(1-\left| x-2 \right| \right)=0. \\\end(tasaa)\]

Muista nyt, että tulo on yhtä suuri kuin nolla, kun vähintään yksi tekijöistä on nolla:

\[\left[ \begin(align)& \left| x-1 \right|=0, \\& \left| x-2 \oikea|=1. \\\end(tasaa) \oikea.\]

Siten alkuperäinen kahdella moduulilla varustettu yhtälö on pelkistetty kahdeksi yksinkertaisimmaksi yhtälöksi, joista puhuimme aivan oppitunnin alussa. Sellaiset yhtälöt voidaan ratkaista kirjaimellisesti parilla rivillä :)

Tämä huomautus saattaa tuntua tarpeettoman monimutkaiselta ja käytännössä soveltumattomalta. Todellisuudessa saatat kuitenkin kohdata paljon monimutkaisempia ongelmia kuin ne, joita tarkastelemme tänään. Niissä moduuleja voidaan yhdistää polynomeihin, aritmeettisiin juuriin, logaritmiin jne. Ja tällaisissa tilanteissa kyky alentaa yhtälön kokonaisastetta ottamalla jotain pois suluista voi olla erittäin hyödyllistä :)

Nyt haluaisin tarkastella toista yhtälöä, joka voi ensi silmäyksellä tuntua hullulta. Monet opiskelijat jäävät siihen kiinni, jopa ne, jotka luulevat ymmärtävänsä moduulit hyvin.

Tämä yhtälö on kuitenkin vielä helpompi ratkaista kuin mitä tarkastelimme aiemmin. Ja jos ymmärrät miksi, saat toisen tempun yhtälöiden nopeaan ratkaisemiseen moduulien avulla.

Joten yhtälö on:

\[\left| x-((x)^(3)) \right|+\left| ((x)^(2))+x-2 \oikea|=0\]

Ei, tämä ei ole kirjoitusvirhe: se on plussa moduulien välillä. Ja meidän on löydettävä missä $x$ kahden moduulin summa on nolla :)

Mikä muuten on ongelmana? Mutta ongelmana on, että jokainen moduuli on positiivinen luku tai äärimmäisissä tapauksissa nolla. Mitä tapahtuu, jos lisäät kaksi positiivista lukua? Ilmeisesti taas positiivinen luku:

\[\begin(align)& 5+7=12 \gt 0; \\& 0,004+0,0001=0,0041 \gt 0; \\& 5+0=5 \gt 0. \\\end(tasaa)\]

Viimeinen rivi saattaa antaa sinulle käsityksen: moduulien summa on vain nolla, jos jokainen moduuli on nolla:

\[\left| x-((x)^(3)) \right|+\left| ((x)^(2))+x-2 \oikea|=0\Oikeanuoli \vasen\( \begin(align)& \left| x-((x)^(3)) \right|=0, \\& \left| ((x)^(2))+x-2 \right|=0.

Ja milloin moduuli on nolla? Vain yhdessä tapauksessa - kun alimodulaarinen lauseke on yhtä suuri kuin nolla:

' x=-2 \\& x=1 \\\end(tasaa) \oikea.\]

Näin ollen meillä on kolme pistettä, joissa ensimmäinen moduuli nollataan: 0, 1 ja −1; sekä kaksi pistettä, joissa toinen moduuli nollataan: −2 ja 1. Meidän on kuitenkin nollattava molemmat moduulit samanaikaisesti, joten löydetyistä numeroista on valittava ne, jotka sisältyvät molemmat setit. On selvää, että tällaisia ​​lukuja on vain yksi: $x=1$ - tämä on lopullinen vastaus.

Katkaisumenetelmä

No, olemme jo käsitelleet joukon ongelmia ja oppineet paljon tekniikoita. Luuletko, että siinä on kaikki? Mutta ei! Nyt tarkastellaan lopullista tekniikkaa - ja samalla tärkeintä. Puhumme yhtälöiden jakamisesta moduulilla. Mistä me edes puhumme? Palataanpa hieman taaksepäin ja katsotaan jotain yksinkertaista yhtälöä. Esimerkiksi tämä:

\[\left| 3x-5 \oikea|=5-3x\]

Periaatteessa tiedämme jo kuinka ratkaista tällainen yhtälö, koska se on standardikonstruktio muotoa $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$. Mutta yritetään katsoa tätä yhtälöä hieman eri näkökulmasta. Tarkemmin sanottuna, harkitse moduulimerkin alla olevaa lauseketta. Haluan muistuttaa, että minkä tahansa luvun moduuli voi olla yhtä suuri kuin itse luku tai se voi olla tämän luvun vastainen:

\[\left| a \right|=\left\( \begin(align)& a,\quad a\ge 0, \\& -a,\quad a \lt 0. \\\end(align) \right.\]

Itse asiassa tämä epäselvyys on koko ongelma: koska moduulin alla oleva luku muuttuu (se riippuu muuttujasta), meille ei ole selvää, onko se positiivinen vai negatiivinen.

Mutta entä jos haluat aluksi, että tämä luku on positiivinen? Vaadimme esimerkiksi, että $3x-5 \gt 0$ - tässä tapauksessa saamme taatusti positiivisen luvun moduulimerkin alle, ja voimme päästä eroon tästä juuri moduulista:

Siten yhtälöstämme tulee lineaarinen, joka voidaan helposti ratkaista:

Totta, kaikki nämä ajatukset ovat järkeviä vain ehdolla $3x-5 \gt 0$ - otimme itse käyttöön tämän vaatimuksen paljastaaksemme moduulin yksiselitteisesti. Korvataan siis löydetty $x=\frac(5)(3)$ tähän ehtoon ja tarkistetaan:

Osoittautuu, että määritetylle arvolle $x$ vaatimus ei täyty, koska lauseke osoittautui yhtä suureksi kuin nolla, ja sen on oltava ehdottomasti suurempi kuin nolla. Surullista :(

Mutta se on okei! Onhan olemassa toinenkin vaihtoehto $3x-5 \lt 0$. Lisäksi: on myös tapaus $3x-5=0$ - tämäkin on otettava huomioon, muuten ratkaisu jää kesken. Joten harkitse tapausta $3x-5 \lt 0$:

Ilmeisesti moduuli avautuu miinusmerkillä. Mutta sitten syntyy outo tilanne: sekä vasemmalla että oikealla alkuperäisessä yhtälössä sama lauseke jää esiin:

Mietin, missä $x$ lauseke $5-3x$ on yhtä suuri kuin lauseke $5-3x$? Jopa Captain Obviousness tukehtuisi sylkeensä sellaisista yhtälöistä, mutta tiedämme: tämä yhtälö on identiteetti, ts. se pätee mille tahansa muuttujan arvolle!

Tämä tarkoittaa, että mikä tahansa $x$ sopii meille. Meillä on kuitenkin rajoitus:

Toisin sanoen vastaus ei ole yksittäinen numero, vaan koko väli:

Lopuksi on vielä yksi tapaus harkittavaksi: $3x-5=0$. Täällä kaikki on yksinkertaista: moduulin alla on nolla, ja nollamoduuli on myös nolla (tämä seuraa suoraan määritelmästä):

Mutta sitten alkuperäinen yhtälö $\left| 3x-5 \right|=5-3x$ kirjoitetaan uudelleen seuraavasti:

Saimme tämän juuren jo yllä, kun tarkastelimme tapausta $3x-5 \gt 0$. Lisäksi tämä juuri on ratkaisu yhtälöön $3x-5=0$ - tämä on rajoitus, jonka otimme itse käyttöön moduulin nollaamiseksi.

Siten välin lisäksi olemme tyytyväisiä myös tämän välin lopussa olevaan numeroon:

Juurien yhdistäminen moduloyhtälöissä

Lopullinen vastaus yhteensä: $x\in \left(-\infty ;\frac(5)(3) \right]$ Ei ole kovin yleistä nähdä tällaista paskaa vastauksessa melko yksinkertaiseen (olennaisesti lineaariseen) yhtälöön moduulilla , todellakin, tottuuko siihen: moduulin vaikeus on, että vastaukset sellaisiin yhtälöihin voivat olla täysin arvaamattomia.

Jokin muu on paljon tärkeämpää: olemme juuri analysoineet universaalin algoritmin yhtälön ratkaisemiseksi moduulilla! Ja tämä algoritmi koostuu seuraavista vaiheista:

1. Yhdistä jokainen yhtälön moduuli nollaan. Saamme useita yhtälöitä;
2. Ratkaise kaikki nämä yhtälöt ja merkitse juuret numeroviivalle. Tämän seurauksena suora viiva jaetaan useisiin aikaväleihin, joista jokaisella kaikki moduulit paljastetaan yksilöllisesti;
3. Ratkaise kunkin intervallin alkuperäinen yhtälö ja yhdistä vastauksesi.

Siinä kaikki! Jäljelle jää vain yksi kysymys: mitä tehdä vaiheessa 1 saaduille juurille? Oletetaan, että meillä on kaksi juuria: $x=1$ ja $x=5$. He jakavat numerorivin kolmeen osaan:

Lukuviivan jakaminen intervalleiksi pisteiden avulla

Joten mitkä ovat välit? On selvää, että niitä on kolme:

1. Vasemmanpuoleisin: $x \lt 1$ — itse yksikkö ei sisälly väliin;
2. Keski: $1\le x \lt 5$ - tässä yksi sisältyy väliin, mutta viisi ei sisälly;
3. Oikeanpuoleisin: $x\ge 5$ - viisi sisältyy vain tähän!

Luulen, että ymmärrät jo mallin. Jokainen intervalli sisältää vasemman pään, mutta ei sisällä oikeaa.

Ensi silmäyksellä tällainen merkintä voi tuntua epämukavalta, epäloogiselta ja yleensä jonkinasteiselta hullulta. Mutta usko minua: pienen harjoituksen jälkeen huomaat, että tämä lähestymistapa on luotettavin eikä häiritse moduulien yksiselitteistä avaamista. On parempi käyttää tällaista kaaviota kuin ajatella joka kerta: antaa vasen/oikea pää nykyiselle välille tai "heittää" se seuraavaan.

Tämä päättää oppitunnin. Lataa tehtäviä varten itsenäinen päätös, harjoittele, vertaa vastauksia - ja nähdään seuraavalla oppitunnilla, joka on omistettu eriarvoisuuksille moduulien kanssa :)

Numeromoduuli a on etäisyys origosta pisteeseen A(a) .

Tämän määritelmän ymmärtämiseksi korvataan muuttuja a mikä tahansa numero, esimerkiksi 3, ja lue se uudelleen:

Numeron 3 moduuli on etäisyys origosta pisteeseen A(3 ).

Eli moduuli ei ole muuta kuin tavallinen etäisyys. Yritetään nähdä etäisyys origosta pisteeseen A(3)

Etäisyys lähtöpisteestä pisteeseen A(3) on 3 (kolme yksikköä tai kolme askelta).

Numeron moduuli osoitetaan kahdella pystysuoralla viivalla, esimerkiksi:

Numeron 3 moduuli on merkitty seuraavasti: |3|

Numeron 4 moduuli on merkitty seuraavasti: |4|

Numeron 5 moduuli on merkitty seuraavasti: |5|

Etsimme luvun 3 moduulia ja huomasimme, että se on yhtä suuri kuin 3. Joten kirjoitamme sen ylös:

|3| = 3

Lukee kuin "Numeron kolme moduuli on kolme"

Yritetään nyt löytää luvun −3 moduuli. Taas palataan määritelmään ja korvataan luku −3. Vain pisteen sijaan A käytä uutta pistettä B. Täysi pysähdys A käytimme jo ensimmäisessä esimerkissä.

Luvun −3 moduuli on etäisyys origosta pisteeseen B(−3 ).

Etäisyys pisteestä toiseen ei voi olla negatiivinen. Moduuli on myös etäisyys, joten se ei myöskään voi olla negatiivinen.

Luvun −3 moduuli on 3. Etäisyys lähtöpisteestä pisteeseen B(−3) on kolme yksikköä:

|−3| = 3

Lukee kuin "Miinus kolmen moduuli on kolme."

Numeron 0 moduuli on yhtä suuri kuin 0, koska piste, jonka koordinaatti on 0, osuu origoon. Eli etäisyys origosta pisteeseen O(0) on nolla:

|0| = 0

"Nollan moduuli on nolla"

Tehdään johtopäätökset:

• Luvun moduuli ei voi olla negatiivinen;
• Positiiviselle luvulle ja nollalle moduuli on yhtä suuri kuin itse luku ja negatiiviselle luvulle vastakkainen luku;
• Vastakkaisilla luvuilla on samat moduulit.

Vastakkaiset numerot

Numeroita, jotka eroavat vain merkeissä, kutsutaan vastapäätä.

Esimerkiksi luvut −2 ja 2 ovat vastakohtia. Ne eroavat toisistaan ​​vain merkeissä. Numerossa −2 on miinusmerkki ja numerossa 2 plusmerkki, mutta emme näe sitä, koska plussaa, kuten aiemmin mainittiin, ei kirjoiteta ylös.

Lisää esimerkkejä vastakkaisista luvuista:

-1 ja 1

-3 ja 3

-5 ja 5

-9 ja 9

Vastakkaisilla luvuilla on yhtä suuret moduulit. Etsitään esimerkiksi lukujen −3 ja 3 moduulit

|−3| ja |3|

3 = 3

Kuvassa näkyy etäisyys origosta pisteisiin A(-3) ja B(3) on yhtä suuri kuin kaksi askelta.

Piditkö oppitunnista?
Liity joukkoomme uusi ryhmä VKontakte ja ala vastaanottaa ilmoituksia uusista oppitunneista

Yksi opiskelijoiden vaikeimmista aiheista on moduulimerkin alla muuttujan sisältävien yhtälöiden ratkaiseminen. Selvitetään ensin, mihin tämä liittyy? Miksi esimerkiksi useimmat lapset murtavat toisen asteen yhtälöitä kuin pähkinöitä, mutta heillä on niin paljon ongelmia niin kaukana monimutkaisen käsitteen kuin moduulin kanssa?

Mielestäni kaikki nämä vaikeudet liittyvät selkeästi muotoiltujen sääntöjen puuttumiseen yhtälöiden ratkaisemiseksi moduulilla. Joten, päättää toisen asteen yhtälö, opiskelija tietää varmasti, että hänen täytyy ensin soveltaa erottelukaavaa ja sitten kaavat toisen asteen yhtälön juurille. Mitä tehdä, jos yhtälöstä löytyy moduuli? Yritämme kuvata selkeästi tarvittava suunnitelma toimenpiteet siinä tapauksessa, että yhtälö sisältää tuntemattoman moduulimerkin alla. Annamme useita esimerkkejä jokaisesta tapauksesta.

Mutta ensin muistetaan moduulin määritelmä. Moduloi siis numero a itse tätä numeroa kutsutaan jos a ei-negatiivinen ja -a, jos numero a alle nolla. Voit kirjoittaa sen näin:

|a| = a jos a ≥ 0 ja |a| = -a jos a< 0

Puhua geometrisesti moduulissa, on muistettava, että jokainen reaaliluku vastaa tiettyä pistettä numeroakselilla - sen on koordinoida. Joten luvun moduuli tai itseisarvo on etäisyys tästä pisteestä numeerisen akselin alkupisteeseen. Etäisyys määritetään aina positiivisena lukuna. Siten minkä tahansa negatiivisen luvun moduuli on positiivinen luku. Muuten, jo tässä vaiheessa monet opiskelijat alkavat hämmentyä. Moduuli voi sisältää minkä tahansa luvun, mutta moduulin käytön tulos on aina positiivinen luku.

Siirrytään nyt suoraan yhtälöiden ratkaisemiseen.

1. Tarkastellaan yhtälöä muotoa |x| = c, missä c on reaaliluku. Tämä yhtälö voidaan ratkaista käyttämällä moduulimäärittelyä.

Jaamme kaikki reaaliluvut kolmeen ryhmään: nollaa suuremmat, nollaa pienemmät ja kolmas ryhmä on luku 0. Kirjoitamme ratkaisun kaavion muotoon:

(±c, jos c > 0

Jos |x| = c, niin x = (0, jos c = 0

(ei juuria, jos kanssa< 0

1) |x| = 5, koska 5 > 0, niin x = ±5;

2) |x| = -5, koska -5< 0, то уравнение не имеет корней;

3) |x| = 0, sitten x = 0.

2. Yhtälö muotoa |f(x)| = b, missä b > 0. Tämän yhtälön ratkaisemiseksi on tarpeen päästä eroon moduulista. Teemme sen näin: f(x) = b tai f(x) = -b. Nyt sinun on ratkaistava jokainen tuloksena oleva yhtälö erikseen. Jos alkuperäisessä yhtälössä b< 0, решений не будет.

1) |x + 2| = 4, koska 4 > 0 siis

x + 2 = 4 tai x + 2 = -4

2) |x 2 – 5| = 11, koska 11 > 0 siis

x 2 – 5 = 11 tai x 2 – 5 = -11

x 2 = 16 x 2 = -6

x = ± 4 ei juuria

3) |x 2 – 5x| = -8, koska -8< 0, то уравнение не имеет корней.

3. Yhtälö muotoa |f(x)| = g(x). Moduulin merkityksen mukaan tällaisella yhtälöllä on ratkaisuja, jos sen oikea puoli on suurempi tai yhtä suuri kuin nolla, ts. g(x) ≥ 0. Silloin meillä on:

f(x) = g(x) tai f(x) = -g(x).

1) |2x – 1| = 5x – 10. Tällä yhtälöllä on juuret, jos 5x – 10 ≥ 0. Tästä tällaisten yhtälöiden ratkaisu alkaa.

1. O.D.Z. 5x – 10 ≥ 0

2. Ratkaisu:

2x - 1 = 5x - 10 tai 2x - 1 = -(5x - 10)

3. Yhdistämme O.D.Z. ja ratkaisu, saamme:

Juuri x = 11/7 ei sovi O.D.Z.:iin, se on pienempi kuin 2, mutta x = 3 täyttää tämän ehdon.

Vastaus: x = 3

2) |x – 1| = 1 – x 2.

1. O.D.Z. 1 – x 2 ≥ 0. Ratkaistaan ​​tämä epäyhtälö intervallimenetelmällä:

(1 – x)(1 + x) ≥ 0

2. Ratkaisu:

x – 1 = 1 – x 2 tai x – 1 = -(1 – x 2)

x 2 + x – 2 = 0 x 2 – x = 0

x = -2 tai x = 1 x = 0 tai x = 1

3. Yhdistämme ratkaisun ja O.D.Z.:n:

Vain juuret x = 1 ja x = 0 ovat sopivia.

Vastaus: x = 0, x = 1.

4. Yhtälö muotoa |f(x)| = |g(x)|. Tällainen yhtälö vastaa kahta seuraavaa yhtälöä f(x) = g(x) tai f(x) = -g(x).

1) |x 2 – 5x + 7| = |2x – 5|. Tämä yhtälö vastaa kahta seuraavaa:

x 2 - 5x + 7 = 2x - 5 tai x 2 - 5x +7 = -2x + 5

x 2 - 7x + 12 = 0 x 2 - 3x + 2 = 0

x = 3 tai x = 4 x = 2 tai x = 1

Vastaus: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.

5. Korvausmenetelmällä (muuttujan korvaaminen) ratkaistut yhtälöt. Tämä ratkaisutapa on helpoin selittää tietyllä esimerkillä. Joten annetaan meille toisen asteen yhtälö, jolla on moduuli:

x 2 – 6|x| + 5 = 0. Moduuliominaisuudella x 2 = |x| 2, joten yhtälö voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti:

|x| 2 – 6|x| + 5 = 0. Tehdään korvaus |x| = t ≥ 0, niin meillä on:

t 2 – 6t + 5 = 0. Ratkaisu annettu yhtälö, saamme, että t = 1 tai t = 5. Palataan korvaukseen:

|x| = 1 tai |x| = 5

x = ±1 x = ±5

Vastaus: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.

Katsotaanpa toista esimerkkiä:

x 2 + |x| – 2 = 0. Moduuliominaisuudella x 2 = |x| 2 siis

|x| 2 + |x| – 2 = 0. Tehdään korvaus |x| = t ≥ 0, sitten:

t 2 + t – 2 = 0. Ratkaisemalla tämän yhtälön saamme t = -2 tai t = 1. Palataan korvaukseen:

|x| = -2 tai |x| = 1

Ei juuria x = ± 1

Vastaus: x = -1, x = 1.

6. Toinen yhtälötyyppi on yhtälöt, joilla on "monimutkainen" moduuli. Tällaiset yhtälöt sisältävät yhtälöt, joissa on "moduulit moduulissa". Tämän tyyppiset yhtälöt voidaan ratkaista käyttämällä moduulin ominaisuuksia.

1) |3 – |x|| = 4. Toimimme samalla tavalla kuin toisen tyypin yhtälöissä. Koska 4 > 0, niin saadaan kaksi yhtälöä:

3 – |x| = 4 tai 3 – |x| = -4.

Esitetään nyt kunkin yhtälön moduuli x, sitten |x| = -1 tai |x| = 7.

Ratkaisemme jokaisen tuloksena olevan yhtälön. Ensimmäisessä yhtälössä ei ole juuria, koska -1< 0, а во втором x = ±7.

Vastaus x = -7, x = 7.

2) |3 + |x + 1|| = 5. Ratkaisemme tämän yhtälön samalla tavalla:

3 + |x + 1| = 5 tai 3 + |x + 1| = -5

|x + 1| = 2 |x + 1| = -8

x + 1 = 2 tai x + 1 = -2. Ei juuria.

Vastaus: x = -3, x = 1.

On olemassa myös yleinen menetelmä yhtälöiden ratkaisemiseksi moduulilla. Tämä on intervallimenetelmä. Mutta katsotaan sitä myöhemmin.

verkkosivuilla, kopioitaessa materiaalia kokonaan tai osittain, linkki lähteeseen vaaditaan.

Joukossa esimerkkejä per moduuli Usein on yhtälöitä, joista sinun täytyy löytää moduulin juuret moduulissa, eli muodon yhtälö
||a*x-b|-c|=k*x+m .
Jos k=0, eli oikea puoli on yhtä suuri kuin vakio (m), niin on helpompi etsiä ratkaisua yhtälöt moduuleilla graafisesti. Alla on menetelmä kaksoismoduulien avaaminen Käytännössä yleisiä esimerkkejä. Ymmärrä yhtälöiden laskenta-algoritmi moduulien avulla, jotta sinulla ei ole ongelmia tietokilpailuissa, testeissä ja vain tiedossa.

Esimerkki 1. Ratkaise yhtälö modulo |3|x|-5|=-2x-2.
Ratkaisu: Aloita yhtälöiden avaaminen aina sisäisestä moduulista
|x|=0 <->x=0.
Pisteessä x=0 jaetaan yhtälö moduulilla kahdella.
Klo x< 0 подмодульная функция отрицательная, поэтому при раскрытии знак меняем на противоположный
|-3x-5|=-2x-2.
Jos x>0 tai yhtä suuri, laajennamme moduulia, jonka saamme
|3x-5|=-2x-2 .
Ratkaistaan ​​yhtälö negatiivisille muuttujille (x< 0) . Оно разлагается на две системы уравнений. Первое уравнение получаем из условия, что функция после знака равенства неотрицательна. Второе - раскрывая модуль в одной системе принимаем, что подмодульная функция положительная, в иной отрицательная - меняем знак правой или левой части (зависит от методики преподавания).

Ensimmäisestä yhtälöstä saadaan, että ratkaisu ei saa ylittää (-1), ts.

Tämä rajoitus kuuluu täysin sille alueelle, jota ratkaisemme. Siirretään muuttujia ja vakioita tasa-arvon vastakkaisille puolille ensimmäisessä ja toisessa järjestelmässä

ja löydämme ratkaisun


Molemmat arvot kuuluvat tarkasteltavaan väliin, eli ne ovat juuria.
Tarkastellaan yhtälöä positiivisten muuttujien moduuleilla
|3x-5|=-2x-2.
Laajentamalla moduulia saadaan kaksi yhtälöjärjestelmää

Ensimmäisestä yhtälöstä, joka on yhteinen kahdelle järjestelmälle, saadaan tuttu ehto

joka leikkauksessa sen joukon kanssa, josta etsimme ratkaisua, antaa tyhjän joukon (leikkauspisteitä ei ole). Joten moduulin, jossa on moduuli, ainoat juuret ovat arvot
x = -3; x = -1,4.

Esimerkki 2. Ratkaise yhtälö moduulilla ||x-1|-2|=3x-4.
Ratkaisu: Aloitetaan avaamalla sisäinen moduuli
|x-1|=0 <=>x=1.
Submodulaarinen funktio vaihtaa etumerkkiä yhdellä. Pienemmille arvoille se on negatiivinen, suuremmille arvoille positiivinen. Tämän mukaisesti sisäistä moduulia laajennettaessa saadaan kaksi yhtälöä moduulin kanssa
x |-(x-1)-2|=3x-4;
x>=1 -> |x-1-2|=3x-4.
Muista tarkistaa moduuliyhtälön oikea puoli, sen on oltava suurempi kuin nolla.
3x-4>=0 -> x>=4/3.
Tämä tarkoittaa, että ensimmäistä yhtälöä ei tarvitse ratkaista, koska se kirjoitettiin x:lle< 1, что не соответствует найденному условию. Раскроем модуль во втором уравнении
|x-3|=3x-4 ->
x-3 = 3x-4 tai x-3 = 4-3x;
4-3=3x-x tai x+3x=4+3;
2x = 1 tai 4x = 7;
x=1/2 tai x=7/4.
Saimme kaksi arvoa, joista ensimmäinen hylätään, koska se ei kuulu vaadittuun väliin. Lopuksi yhtälöllä on yksi ratkaisu x=7/4.

Esimerkki 3. Ratkaise yhtälö moduulilla ||2x-5|-1|=x+3.
Ratkaisu: Avataan sisäinen moduuli
|2x-5|=0 <=>x = 5/2 = 2,5.
Piste x = 2,5 jakaa numeroakseli kahdelle välille. Vastaavasti, submodulaarinen toiminto muuttaa merkkiä kulkiessaan 2.5. Kirjataan ylös ratkaisun ehto kanssa oikea puoli yhtälöt moduulilla.
x+3>=0 -> x>=-3.
Joten ratkaisu voi olla arvoja, jotka eivät ole pienempiä kuin (-3) . Laajennamme moduulia varten negatiivinen arvo sisämoduuli
|-(2x-5)-1|=x+3;
|-2x+4|=x+3.
Tämä moduuli antaa myös 2 yhtälöä laajennettaessa
-2x+4=x+3 tai 2x-4=x+3;
2x+x=4-3 tai 2x-x=3+4;
3x = 1; x=1/3 tai x=7 .
Hylkäämme arvon x=7, koska etsimme ratkaisua väliltä [-3;2.5]. Nyt avataan sisäinen moduuli x>2.5:lle. Saamme yhtälön yhdellä moduulilla
|2x-5-1|=x+3;
|2x-6|=x+3.
Laajennettaessa moduulia saamme seuraavan lineaariset yhtälöt
-2x+6=x+3 tai 2x-6=x+3;
2x+x=6-3 tai 2x-x=3+6;
3x = 3; x=1 tai x=9.
Ensimmäinen arvo x=1 ei täytä ehtoa x>2.5. Tällä intervallilla meillä on siis yksi juuri yhtälöstä, jonka moduuli on x=9, ja niitä on yhteensä kaksi (x=1/3).
Vastaus: x=1/3; x=9.

Esimerkki 4. Etsi ratkaisuja kaksoismoduuliin ||3x-1|-5|=2x-3.
Ratkaisu: Laajennataan yhtälön sisäistä moduulia
|3x-1|=0 <=>x = 1/3.
Piste x=2,5 jakaa lukujonon kahteen väliin ja annettu yhtälö kahteen tapaukseen. Kirjoitamme ratkaisun ehdon oikeanpuoleisen yhtälön muodon perusteella
2x-3>=0 -> x>=3/2=1,5.
Tästä seuraa, että olemme kiinnostuneita arvoista>=1,5. Täten modulaarinen yhtälö harkita kahdella aikavälillä
,
|-(3x-1)-5|=2x-3;
|-3x-4|=2x-3.
Tuloksena oleva moduuli, kun se laajennetaan, jaetaan 2 yhtälöön
-3x-4=2x-3 tai 3x+4=2x-3;
2x+3x=-4+3 tai 3x-2x=-3-4;
5x = -1; x = -1/5 tai x = -7 .
Molemmat arvot eivät kuulu väliin, eli ne eivät ole ratkaisuja yhtälöön moduuleilla. Seuraavaksi laajennamme moduulia x>2.5. Saamme seuraavan yhtälön
|3x-1-5|=2x-3;
|3x-6|=2x-3.
Moduulia laajentamalla saadaan 2 lineaarista yhtälöä
3x-6=2x-3 tai –(3x-6)=2x-3;
3x-2x=-3+6 tai 2x+3x=6+3;
x = 3 tai 5x = 9; x = 9/5 = 1,8.
Toinen löydetty arvo ei vastaa ehtoa x>2.5, hylkäämme sen.
Lopuksi saamme yhtälön juuren, jonka moduuli on x=3.
Tarkistuksen suorittaminen
||3*3-1|-5|=2*3-3 3=3 .
Yhtälön juuri ja moduuli laskettiin oikein.
Vastaus: x=1/3; x=9.