Η τιμή παραγώγου είναι αρνητική. Παράγωγος συνάρτησης. Γεωμετρική σημασία της παραγώγου
Σπίτι
- Το πρόβλημα Β9 δίνει ένα γράφημα μιας συνάρτησης ή μιας παραγώγου από την οποία πρέπει να προσδιορίσετε μία από τις ακόλουθες ποσότητες:
- Η τιμή της παραγώγου σε κάποιο σημείο x 0,
- Μέγιστα ή ελάχιστα σημεία (ακραία σημεία),
Διαστήματα αύξουσας και φθίνουσας συνάρτησης (διαστήματα μονοτονίας).
Οι συναρτήσεις και οι παράγωγοι που παρουσιάζονται σε αυτό το πρόβλημα είναι πάντα συνεχείς, κάνοντας τη λύση πολύ πιο εύκολη. Παρά το γεγονός ότι η εργασία ανήκει στο τμήμα της μαθηματικής ανάλυσης, ακόμη και οι πιο αδύναμοι μαθητές μπορούν να το κάνουν, αφού εδώ δεν απαιτούνται βαθιές θεωρητικές γνώσεις.
Για να βρείτε την τιμή της παραγώγου, των ακραίων σημείων και των διαστημάτων μονοτονίας, υπάρχουν απλοί και καθολικοί αλγόριθμοι - όλοι θα συζητηθούν παρακάτω. Διαβάστε προσεκτικά τις συνθήκες του προβλήματος Β9 για να αποφύγετε να κάνετε ανόητα λάθη: μερικές φορές συναντάτε αρκετά μακροσκελή κείμενα, αλλάσημαντικές προϋποθέσεις
, που επηρεάζουν την πορεία της απόφασης, είναι λίγα.
Υπολογισμός της παραγώγου τιμής. Μέθοδος δύο σημείων
- Αν στο πρόβλημα δοθεί μια γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f(x), που εφάπτεται σε αυτό το γράφημα σε κάποιο σημείο x 0, και απαιτείται να βρεθεί η τιμή της παραγώγου σε αυτό το σημείο, εφαρμόζεται ο ακόλουθος αλγόριθμος:
- Βρείτε δύο «επαρκή» σημεία στο γράφημα της εφαπτομένης: οι συντεταγμένες τους πρέπει να είναι ακέραιες. Ας συμβολίσουμε αυτά τα σημεία ως A (x 1 , y 1) και B (x 2 , y 2). Γράψτε σωστά τις συντεταγμένες - αυτό είναι ένα βασικό σημείο στη λύση και οποιοδήποτε λάθος εδώ θα οδηγήσει σε λανθασμένη απάντηση.
- Γνωρίζοντας τις συντεταγμένες, είναι εύκολο να υπολογίσουμε την αύξηση του ορίσματος Δx = x 2 − x 1 και την αύξηση της συνάρτησης Δy = y 2 − y 1 .
Τέλος, βρίσκουμε την τιμή της παραγώγου D = Δy/Δx. Με άλλα λόγια, πρέπει να διαιρέσετε την αύξηση της συνάρτησης με την αύξηση του ορίσματος - και αυτή θα είναι η απάντηση.
Ας σημειώσουμε για άλλη μια φορά: τα σημεία Α και Β πρέπει να αναζητηθούν ακριβώς στην εφαπτομένη και όχι στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x), όπως συμβαίνει συχνά. Η εφαπτομένη θα περιέχει απαραίτητα τουλάχιστον δύο τέτοια σημεία - διαφορετικά το πρόβλημα δεν θα διατυπωθεί σωστά.
Θεωρήστε τα σημεία A (−3; 2) και B (−1; 6) και βρείτε τις προσαυξήσεις:
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.
Ας βρούμε την τιμή της παραγώγου: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.
Εργο. Το σχήμα δείχνει μια γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f(x) και μια εφαπτομένη σε αυτήν στο σημείο με την τετμημένη x 0. Να βρείτε την τιμή της παραγώγου της συνάρτησης f(x) στο σημείο x 0 .
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.
Τώρα βρίσκουμε την τιμή της παραγώγου: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.
Ας βρούμε την τιμή της παραγώγου: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.
Θεωρήστε τα σημεία A (0; 2) και B (5; 2) και βρείτε τις προσαυξήσεις:
Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.
Μένει να βρούμε την τιμή της παραγώγου: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.
Από το τελευταίο παράδειγμα, μπορούμε να διατυπώσουμε έναν κανόνα: εάν η εφαπτομένη είναι παράλληλη στον άξονα OX, η παράγωγος της συνάρτησης στο σημείο της εφαπτομένης είναι μηδέν. Σε αυτήν την περίπτωση, δεν χρειάζεται καν να μετρήσετε τίποτα - απλώς κοιτάξτε το γράφημα.
Υπολογισμός μέγιστων και ελάχιστων πόντων
Μερικές φορές, αντί για μια γραφική παράσταση μιας συνάρτησης, το πρόβλημα Β9 δίνει μια γραφική παράσταση της παραγώγου και απαιτεί την εύρεση του μέγιστου ή του ελάχιστου σημείου της συνάρτησης. Σε αυτήν την περίπτωση, η μέθοδος των δύο σημείων είναι άχρηστη, αλλά υπάρχει ένας άλλος, ακόμη πιο απλός αλγόριθμος. Αρχικά, ας ορίσουμε την ορολογία:
- Το σημείο x 0 ονομάζεται μέγιστο σημείο της συνάρτησης f(x) αν σε κάποια γειτονιά αυτού του σημείου ισχύει η ακόλουθη ανισότητα: f(x 0) ≥ f(x).
- Το σημείο x 0 ονομάζεται ελάχιστο σημείο της συνάρτησης f(x) αν σε κάποια γειτονιά αυτού του σημείου ισχύει η ακόλουθη ανισότητα: f(x 0) ≤ f(x).
Για να βρείτε τα μέγιστα και ελάχιστα σημεία στο παράγωγο γράφημα, απλώς ακολουθήστε τα εξής βήματα:
- Σχεδιάστε ξανά το γράφημα της παραγώγου, αφαιρώντας όλες τις περιττές πληροφορίες. Όπως δείχνει η πρακτική, τα περιττά δεδομένα παρεμβαίνουν μόνο στην απόφαση. Επομένως, σημειώνουμε τα μηδενικά της παραγώγου στον άξονα συντεταγμένων - και αυτό είναι.
- Βρείτε τα σημάδια της παραγώγου στα διαστήματα μεταξύ μηδενικών. Αν για κάποιο σημείο x 0 είναι γνωστό ότι f'(x 0) ≠ 0, τότε μόνο δύο επιλογές είναι δυνατές: f'(x 0) ≥ 0 ή f'(x 0) ≤ 0. Το πρόσημο της παραγώγου είναι εύκολο να προσδιοριστεί από το αρχικό σχέδιο: αν το γράφημα της παραγώγου βρίσκεται πάνω από τον άξονα OX, τότε f'(x) ≥ 0. Και αντίστροφα, εάν το γράφημα της παραγώγου βρίσκεται κάτω από τον άξονα OX, τότε f'(x) ≤ 0.
- Ελέγχουμε ξανά τα μηδενικά και τα πρόσημα της παραγώγου. Όπου το πρόσημο αλλάζει από μείον σε συν είναι το ελάχιστο σημείο. Αντίστροφα, αν το πρόσημο της παραγώγου αλλάξει από συν σε πλην, αυτό είναι το μέγιστο σημείο. Η καταμέτρηση γίνεται πάντα από αριστερά προς τα δεξιά.
Αυτό το σχήμα λειτουργεί μόνο για συνεχείς συναρτήσεις - δεν υπάρχουν άλλες στο πρόβλημα Β9.
Εργο. Το σχήμα δείχνει μια γραφική παράσταση της παραγώγου της συνάρτησης f(x) που ορίζεται στο διάστημα [−5; 5]. Βρείτε το ελάχιστο σημείο της συνάρτησης f(x) σε αυτό το τμήμα.
Ας απαλλαγούμε από περιττές πληροφορίες και ας αφήσουμε μόνο τα όρια [−5; 5] και μηδενικά της παραγώγου x = −3 και x = 2,5. Σημειώνουμε επίσης τα σημάδια:
Προφανώς, στο σημείο x = −3 το πρόσημο της παραγώγου αλλάζει από μείον σε συν. Αυτό είναι το ελάχιστο σημείο.
Εργο. Το σχήμα δείχνει μια γραφική παράσταση της παραγώγου της συνάρτησης f(x) που ορίζεται στο διάστημα [−3; 7]. Βρείτε το μέγιστο σημείο της συνάρτησης f(x) σε αυτό το τμήμα.
Ας ξανασχεδιάσουμε το γράφημα, αφήνοντας μόνο τα όρια [−3; 7] και μηδενικά της παραγώγου x = −1,7 και x = 5. Ας σημειώσουμε τα πρόσημα της παραγώγου στο γράφημα που προκύπτει. Έχουμε:
Προφανώς, στο σημείο x = 5 το πρόσημο της παραγώγου αλλάζει από συν σε πλην - αυτό είναι το μέγιστο σημείο.
Εργο. Το σχήμα δείχνει ένα γράφημα της παραγώγου της συνάρτησης f(x) που ορίζεται στο διάστημα [−6; 4]. Να βρείτε τον αριθμό των μέγιστων σημείων της συνάρτησης f(x), που ανήκουν στο τμήμα [−4; 3].
Από τις συνθήκες του προβλήματος προκύπτει ότι αρκεί να εξετάσουμε μόνο το τμήμα του γραφήματος που περιορίζεται από το τμήμα [−4; 3]. Επομένως, χτίζουμε ένα νέο γράφημα στο οποίο σημειώνουμε μόνο τα όρια [−4; 3] και μηδενικά της παραγώγου μέσα σε αυτό. Δηλαδή, σημεία x = −3,5 και x = 2. Παίρνουμε:
Σε αυτό το γράφημα υπάρχει μόνο ένα μέγιστο σημείο x = 2. Σε αυτό το σημείο το πρόσημο της παραγώγου αλλάζει από συν σε πλην.
Μια μικρή σημείωση για σημεία με μη ακέραιες συντεταγμένες. Για παράδειγμα, στο τελευταίο πρόβλημα εξετάστηκε το σημείο x = −3,5, αλλά με την ίδια επιτυχία μπορούμε να πάρουμε x = −3,4. Εάν το πρόβλημα έχει συνταχθεί σωστά, τέτοιες αλλαγές δεν θα πρέπει να επηρεάζουν την απάντηση, καθώς τα σημεία "χωρίς σταθερό τόπο διαμονής" δεν συμμετέχουν άμεσα στην επίλυση του προβλήματος. Φυσικά, αυτό το κόλπο δεν θα λειτουργήσει με ακέραιους πόντους.
Εύρεση διαστημάτων αύξουσας και φθίνουσας συνάρτησης
Σε ένα τέτοιο πρόβλημα, όπως τα μέγιστα και ελάχιστα σημεία, προτείνεται η χρήση του παραγώγου γραφήματος για την εύρεση περιοχών στις οποίες η ίδια η συνάρτηση αυξάνεται ή μειώνεται. Αρχικά, ας ορίσουμε τι είναι η αύξηση και η μείωση:
- Μια συνάρτηση f(x) λέγεται ότι αυξάνεται σε ένα τμήμα εάν για οποιαδήποτε δύο σημεία x 1 και x 2 από αυτό το τμήμα ισχύει η ακόλουθη πρόταση: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . Με άλλα λόγια, όσο μεγαλύτερη είναι η τιμή του ορίσματος, τόσο μεγαλύτερη είναι η τιμή της συνάρτησης.
- Μια συνάρτηση f(x) ονομάζεται φθίνουσα σε ένα τμήμα εάν για οποιαδήποτε δύο σημεία x 1 και x 2 από αυτό το τμήμα ισχύει η ακόλουθη πρόταση: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Εκείνοι. υψηλότερη τιμήΤο όρισμα αντιστοιχεί στη μικρότερη τιμή της συνάρτησης.
Ας διαμορφώσουμε επαρκείς συνθήκες για αύξηση και μείωση:
- Για να συνεχής λειτουργίαΗ f(x) αυξήθηκε στο τμήμα , αρκεί η παράγωγός της μέσα στο τμήμα να ήταν θετική, δηλ. f'(x) ≥ 0.
- Για να μειωθεί μια συνεχής συνάρτηση f(x) στο τμήμα αρκεί η παράγωγός της μέσα στο τμήμα να είναι αρνητική, δηλ. f'(x) ≤ 0.
Ας δεχτούμε αυτές τις δηλώσεις χωρίς στοιχεία. Έτσι, λαμβάνουμε ένα σχήμα για την εύρεση διαστημάτων αύξησης και μείωσης, το οποίο είναι από πολλές απόψεις παρόμοιο με τον αλγόριθμο για τον υπολογισμό των ακραίων σημείων:
- Αφαιρέστε όλες τις περιττές πληροφορίες. Στο αρχικό γράφημα της παραγώγου, μας ενδιαφέρουν πρωτίστως τα μηδενικά της συνάρτησης, οπότε θα αφήσουμε μόνο αυτά.
- Σημειώστε τα πρόσημα της παραγώγου στα διαστήματα μεταξύ των μηδενικών. Όπου f'(x) ≥ 0, η συνάρτηση αυξάνεται και όπου f'(x) ≤ 0, μειώνεται. Εάν το πρόβλημα θέτει περιορισμούς στη μεταβλητή x, τους επισημαίνουμε επιπλέον σε ένα νέο γράφημα.
- Τώρα που γνωρίζουμε τη συμπεριφορά της συνάρτησης και τους περιορισμούς, μένει να υπολογίσουμε την ποσότητα που απαιτείται στο πρόβλημα.
Εργο. Το σχήμα δείχνει μια γραφική παράσταση της παραγώγου της συνάρτησης f(x) που ορίζεται στο διάστημα [−3; 7.5]. Να βρείτε τα διαστήματα μείωσης της συνάρτησης f(x). Στην απάντησή σας, αναφέρετε το άθροισμα των ακεραίων που περιλαμβάνονται σε αυτά τα διαστήματα.
Ως συνήθως, ας σχεδιάσουμε ξανά το γράφημα και ας σημειώσουμε τα όρια [−3; 7.5], καθώς και μηδενικά της παραγώγου x = −1.5 και x = 5.3. Στη συνέχεια σημειώνουμε τα σημάδια της παραγώγου. Έχουμε:
Εφόσον η παράγωγος είναι αρνητική στο διάστημα (− 1,5), αυτό είναι το διάστημα της φθίνουσας συνάρτησης. Απομένει να αθροίσουμε όλους τους ακέραιους αριθμούς που βρίσκονται μέσα σε αυτό το διάστημα:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.
Εργο. Το σχήμα δείχνει ένα γράφημα της παραγώγου της συνάρτησης f(x), που ορίζεται στο διάστημα [−10; 4]. Να βρείτε τα διαστήματα αύξησης της συνάρτησης f(x). Στην απάντησή σας, αναφέρετε το μήκος του μεγαλύτερου από αυτά.
Ας απαλλαγούμε από περιττές πληροφορίες. Ας αφήσουμε μόνο τα όρια [−10; 4] και μηδενικά της παραγώγου, από τα οποία ήταν τέσσερα αυτή τη φορά: x = −8, x = −6, x = −3 και x = 2. Ας σημειώσουμε τα πρόσημα της παραγώγου και πάρουμε την παρακάτω εικόνα:
Μας ενδιαφέρουν τα διαστήματα αύξησης της συνάρτησης, δηλ. τέτοια όπου f’(x) ≥ 0. Υπάρχουν δύο τέτοια διαστήματα στη γραφική παράσταση: (−8; −6) και (−3; 2). Ας υπολογίσουμε το μήκος τους:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.
Εφόσον πρέπει να βρούμε το μήκος του μεγαλύτερου από τα διαστήματα, γράφουμε ως απάντηση την τιμή l 2 = 5.
(Εικ.1)
Εικόνα 1. Παράγωγο γράφημα
Ιδιότητες παραγώγων γραφήματος
- Σε αυξανόμενα διαστήματα, η παράγωγος είναι θετική. Εάν η παράγωγος σε ένα ορισμένο σημείο από ένα συγκεκριμένο διάστημα έχει θετική τιμή, τότε η γραφική παράσταση της συνάρτησης σε αυτό το διάστημα αυξάνεται.
- Σε φθίνοντα διαστήματα, η παράγωγος είναι αρνητική (με πρόσημο μείον). Αν η παράγωγος σε ορισμένο σημείο από ορισμένο διάστημα έχει αρνητική τιμή, τότε το γράφημα της συνάρτησης μειώνεται σε αυτό το διάστημα.
- Η παράγωγος στο σημείο x είναι ίση με κλίσηεφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης στο ίδιο σημείο.
- Στα μέγιστα και ελάχιστα σημεία της συνάρτησης, η παράγωγος είναι ίση με μηδέν. Η εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης σε αυτό το σημείο είναι παράλληλη προς τον άξονα OX.
Παράδειγμα 1
Χρησιμοποιώντας το γράφημα (Εικ. 2) της παραγώγου, προσδιορίστε σε ποιο σημείο του τμήματος [-3; 5] η λειτουργία είναι μέγιστη.
Εικόνα 2. Παράγωγο γράφημα
Λύση: Σε αυτό το τμήμα, η παράγωγος είναι αρνητική, που σημαίνει ότι η συνάρτηση μειώνεται από αριστερά προς τα δεξιά και υψηλότερη τιμήβρίσκεται στην αριστερή πλευρά στο σημείο -3.
Παράδειγμα 2
Χρησιμοποιώντας το γράφημα (Εικ. 3) της παραγώγου, προσδιορίστε τον αριθμό των μέγιστων σημείων στο τμήμα [-11; 3].
Εικόνα 3. Παράγωγο γράφημα
Λύση: Τα μέγιστα σημεία αντιστοιχούν στα σημεία όπου το πρόσημο της παραγώγου αλλάζει από θετικό σε αρνητικό. Σε αυτό το διάστημα, η συνάρτηση αλλάζει πρόσημο από συν σε μείον δύο φορές - στο σημείο -10 και στο σημείο -1. Αυτό σημαίνει ότι ο μέγιστος αριθμός πόντων είναι δύο.
Παράδειγμα 3
Χρησιμοποιώντας το γράφημα (Εικ. 3) της παραγώγου, προσδιορίστε τον αριθμό των ελάχιστων σημείων στο τμήμα [-11; -1].
Λύση: Τα ελάχιστα σημεία αντιστοιχούν στα σημεία όπου το πρόσημο της παραγώγου αλλάζει από αρνητικό σε θετικό. Σε αυτό το τμήμα, ένα τέτοιο σημείο είναι μόνο -7. Αυτό σημαίνει ότι ο αριθμός των ελάχιστων πόντων σε ένα δεδομένο τμήμα είναι ένας.
Παράδειγμα 4
Χρησιμοποιώντας το γράφημα (Εικ. 3) της παραγώγου, προσδιορίστε τον αριθμό των ακραίων σημείων.
Λύση: Τα ακραία σημεία είναι τόσο τα ελάχιστα όσο και τα μέγιστα σημεία. Ας βρούμε τον αριθμό των σημείων στα οποία η παράγωγος αλλάζει πρόσημο.
Πρώτη παράγωγος Εάν η παράγωγος μιας συνάρτησης είναι θετική (αρνητική) σε ένα ορισμένο διάστημα, τότε η συνάρτηση σε αυτό το διάστημα αυξάνεται μονοτονικά (μονότονα μειώνεται). Εάν η παράγωγος μιας συνάρτησης είναι θετική (αρνητική) σε ένα ορισμένο διάστημα, τότε η συνάρτηση αυξάνεται μονότονα (μονότονα μειώνεται) σε αυτό το διάστημα. Επόμενος
Ορισμός Μια καμπύλη ονομάζεται κυρτή σε ένα σημείο αν σε κάποια γειτονιά αυτού του σημείου βρίσκεται κάτω από την εφαπτομένη της σε ένα σημείο Μια καμπύλη ονομάζεται κυρτή σε ένα σημείο αν σε κάποια γειτονιά αυτού του σημείου βρίσκεται κάτω από την εφαπτομένη της σε ένα σημείο. Μια καμπύλη ονομάζεται κοίλη σε ένα σημείο αν σε κάποια γειτονιά αυτού του σημείου βρίσκεται πάνω από την εφαπτομένη της σε ένα σημείο Μια καμπύλη ονομάζεται κοίλη σε ένα σημείο αν σε κάποια γειτονιά αυτού του σημείου βρίσκεται πάνω από την εφαπτομένη της σε ένα σημείο Επόμενο.
Πρόσημο κοιλότητας και κυρτότητας Εάν η δεύτερη παράγωγος μιας συνάρτησης σε ένα δεδομένο διάστημα είναι θετική, τότε η καμπύλη είναι κοίλη σε αυτό το διάστημα και εάν είναι αρνητική, είναι κυρτή σε αυτό το διάστημα. Εάν η δεύτερη παράγωγος μιας συνάρτησης σε ένα δεδομένο διάστημα είναι θετική, τότε η καμπύλη είναι κοίλη σε αυτό το διάστημα και αν είναι αρνητική, είναι κυρτή σε αυτό το διάστημα. Ορισμός
Σχέδιο για τη μελέτη μιας συνάρτησης και την κατασκευή της γραφικής παράστασης 1. Βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης και προσδιορίστε τα σημεία ασυνέχειας, εάν υπάρχουν Εξετάστε εάν η συνάρτηση είναι άρτια ή περιττή. Ελέγξτε την περιοδικότητά της 2. Βρείτε αν η συνάρτηση είναι άρτια ή περιττή. ελέγξτε την περιοδικότητά της 3. Προσδιορίστε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης με τους άξονες συντεταγμένων 3. Προσδιορίστε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης με τους άξονες συντεταγμένων 4. Βρείτε κρίσιμα σημεία του 1ου είδους 4. Βρείτε κρίσιμα σημεία του 1ου είδους 5. Προσδιορίστε τα διαστήματα μονοτονίας και άκρα της συνάρτησης 5. Προσδιορίστε διαστήματα μονοτονίας και άκρα της συνάρτησης 6. Προσδιορίστε τα διαστήματα κυρτότητας και κοιλότητας και βρείτε σημεία καμπής 6. Προσδιορίστε τα διαστήματα κυρτότητας και κοιλότητας και βρείτε σημεία καμπής 7. Χρησιμοποιώντας τα αποτελέσματα της έρευνας, συνδέστε τα ληφθέντα σημεία με μια ομαλή καμπύλη 7. Χρησιμοποιώντας τα αποτελέσματα της έρευνας, συνδέστε τα ληφθέντα σημεία με μια ομαλή καμπύλη Έξοδος
επίπεδο εισόδου
Παράγωγος συνάρτησης. Περιεκτικός Οδηγός (2019)
Ας φανταστούμε έναν ευθύ δρόμο που περνά μέσα από μια λοφώδη περιοχή. Δηλαδή ανεβοκατεβαίνει, αλλά δεν στρίβει δεξιά ή αριστερά. Εάν ο άξονας κατευθύνεται οριζόντια κατά μήκος του δρόμου και κατακόρυφα, τότε η γραμμή του δρόμου θα μοιάζει πολύ με το γράφημα κάποιας συνεχούς συνάρτησης:
Ο άξονας είναι ένα ορισμένο επίπεδο μηδενικού υψομέτρου στη ζωή χρησιμοποιούμε το επίπεδο της θάλασσας ως αυτό.
Καθώς προχωράμε μπροστά σε έναν τέτοιο δρόμο, ανεβαίνουμε ή κατεβαίνουμε επίσης. Μπορούμε επίσης να πούμε: όταν αλλάζει το όρισμα (κίνηση κατά μήκος του άξονα της τετμημένης), αλλάζει η τιμή της συνάρτησης (κίνηση κατά μήκος του άξονα τεταγμένης). Τώρα ας σκεφτούμε πώς να προσδιορίσουμε την «απότομη» του δρόμου μας; Τι είδους αξία μπορεί να είναι αυτό; Είναι πολύ απλό: πόσο θα αλλάξει το ύψος όταν κινείστε μπροστά σε μια συγκεκριμένη απόσταση. Πράγματι, σε διαφορετικά τμήματα του δρόμου, προχωρώντας (κατά μήκος του άξονα x) κατά ένα χιλιόμετρο, θα ανεβαίνουμε ή θα πέφτουμε κατά διαφορετικό αριθμό μέτρων σε σχέση με την επιφάνεια της θάλασσας (κατά μήκος του άξονα y).
Ας υποδηλώσουμε την πρόοδο (διαβάστε "δέλτα x").
Το ελληνικό γράμμα (δέλτα) χρησιμοποιείται συνήθως στα μαθηματικά ως πρόθεμα που σημαίνει "αλλαγή". Δηλαδή - αυτή είναι μια αλλαγή στην ποσότητα, - μια αλλαγή. τότε τι είναι; Αυτό είναι σωστό, μια αλλαγή στο μέγεθος.
Σημαντικό: μια έκφραση είναι ένα ενιαίο σύνολο, μία μεταβλητή. Ποτέ μην διαχωρίζετε το «δέλτα» από το «x» ή οποιοδήποτε άλλο γράμμα!
Έτσι, προχωρήσαμε, οριζόντια, κατά. Αν συγκρίνουμε τη γραμμή του δρόμου με τη γραφική παράσταση της συνάρτησης, τότε πώς συμβολίζουμε την άνοδο; Σίγουρα,. Δηλαδή όσο προχωράμε, ανεβαίνουμε ψηλότερα.
Η τιμή είναι εύκολο να υπολογιστεί: αν στην αρχή βρισκόμασταν σε ύψος, και αφού μετακινηθήκαμε βρεθήκαμε σε ύψος, τότε. Αν τελικό σημείοαποδείχθηκε χαμηλότερο από το αρχικό, θα είναι αρνητικό - αυτό σημαίνει ότι δεν ανεβαίνουμε, αλλά κατεβαίνουμε.
Ας επιστρέψουμε στην "απότομη": αυτή είναι μια τιμή που δείχνει πόσο (απότομα) αυξάνεται το ύψος όταν κινείται προς τα εμπρός μία μονάδα απόστασης:
Ας υποθέσουμε ότι σε κάποιο τμήμα του δρόμου, όταν προχωράμε προς τα εμπρός κατά ένα χιλιόμετρο, ο δρόμος ανεβαίνει κατά ένα χιλιόμετρο. Τότε η κλίση σε αυτό το μέρος είναι ίση. Και αν ο δρόμος, ενώ προχωρούσε κατά m, έπεσε κατά km; Τότε η κλίση είναι ίση.
Τώρα ας δούμε την κορυφή ενός λόφου. Εάν πάρετε την αρχή του τμήματος μισό χιλιόμετρο πριν την κορυφή και το τέλος μισό χιλιόμετρο μετά από αυτήν, μπορείτε να δείτε ότι το ύψος είναι σχεδόν το ίδιο.
Δηλαδή, σύμφωνα με τη λογική μας, αποδεικνύεται ότι η κλίση εδώ είναι σχεδόν ίση με το μηδέν, κάτι που σαφώς δεν ισχύει. Λίγο σε απόσταση χιλιομέτρων πολλά μπορούν να αλλάξουν. Είναι απαραίτητο να ληφθούν υπόψη μικρότερες περιοχές για μια πιο επαρκή και ακριβή εκτίμηση της κλίσης. Για παράδειγμα, αν μετρήσετε την αλλαγή ύψους καθώς μετακινείστε ένα μέτρο, το αποτέλεσμα θα είναι πολύ πιο ακριβές. Αλλά ακόμη και αυτή η ακρίβεια μπορεί να μην μας αρκεί - άλλωστε, αν υπάρχει κοντάρι στη μέση του δρόμου, μπορούμε απλά να το προσπεράσουμε. Τι απόσταση να επιλέξουμε τότε; Εκατοστόμετρο; Χιλιοστόμετρο; Less is more!
ΣΕ πραγματική ζωήΗ μέτρηση αποστάσεων στο πλησιέστερο χιλιοστό είναι υπεραρκετή. Αλλά οι μαθηματικοί προσπαθούν πάντα για την τελειότητα. Ως εκ τούτου, η έννοια επινοήθηκε απειροελάχιστος, δηλαδή η απόλυτη τιμή είναι μικρότερη από κάθε αριθμό που μπορούμε να ονομάσουμε. Για παράδειγμα, λέτε: ένα τρισεκατομμύριο! Πόσο λιγότερο; Και διαιρείτε αυτόν τον αριθμό με - και θα είναι ακόμη λιγότερος. Και ούτω καθεξής. Αν θέλουμε να γράψουμε ότι μια ποσότητα είναι απειροελάχιστη, γράφουμε ως εξής: (διαβάζουμε «το x τείνει στο μηδέν»). Είναι πολύ σημαντικό να καταλάβουμε ότι αυτός ο αριθμός δεν είναι μηδέν!Αλλά πολύ κοντά σε αυτό. Αυτό σημαίνει ότι μπορείτε να διαιρέσετε με αυτό.
Η έννοια απέναντι από το απειροελάχιστο είναι απείρως μεγάλο (). Πιθανότατα το έχετε ήδη συναντήσει όταν εργαζόσασταν για τις ανισότητες: αυτός ο αριθμός είναι modulo μεγαλύτερος από οποιονδήποτε αριθμό μπορείτε να σκεφτείτε. Εάν καταλήξετε στον μεγαλύτερο δυνατό αριθμό, απλώς πολλαπλασιάστε τον επί δύο και θα πάρετε έναν ακόμη μεγαλύτερο αριθμό. Και το άπειρο ακόμα εξάλλουτι θα γίνει. Στην πραγματικότητα, το απείρως μεγάλο και το απείρως μικρό είναι το αντίστροφο του άλλου, δηλαδή στο, και αντίστροφα: στο.
Τώρα ας επιστρέψουμε στον δρόμο μας. Η ιδανικά υπολογισμένη κλίση είναι η κλίση που υπολογίζεται για ένα απειροελάχιστο τμήμα της διαδρομής, δηλαδή:
Σημειώνω ότι με απειροελάχιστη μετατόπιση, απειροελάχιστη θα είναι και η αλλαγή ύψους. Να θυμίσω όμως ότι το απειροελάχιστο δεν σημαίνει ίσο με το μηδέν. Εάν διαιρέσετε απειροελάχιστους αριθμούς μεταξύ τους, μπορείτε να πάρετε έναν εντελώς συνηθισμένο αριθμό, για παράδειγμα, . Δηλαδή, μια μικρή τιμή μπορεί να είναι ακριβώς φορές μεγαλύτερη από μια άλλη.
Προς τι όλα αυτά; Ο δρόμος, η ανηφόρα... Δεν πάμε σε ράλι αυτοκινήτου, αλλά διδάσκουμε μαθηματικά. Και στα μαθηματικά όλα είναι ακριβώς τα ίδια, ονομάζονται μόνο διαφορετικά.
Έννοια του παραγώγου
Η παράγωγος μιας συνάρτησης είναι ο λόγος της αύξησης της συνάρτησης προς την αύξηση του ορίσματος για μια απειροελάχιστη αύξηση του ορίσματος.
Σταδιακάστα μαθηματικά ονομάζουν αλλαγή. Ο βαθμός στον οποίο το όρισμα () αλλάζει καθώς κινείται κατά μήκος του άξονα ονομάζεται προσαύξηση επιχειρήματοςκαι ορίζεται πόσο έχει αλλάξει η συνάρτηση (ύψος) όταν κινείται προς τα εμπρός κατά μήκος του άξονα κατά μια απόσταση αύξηση συνάρτησηςκαι ορίζεται.
Άρα, η παράγωγος μιας συνάρτησης είναι ο λόγος προς το πότε. Συμβολίζουμε την παράγωγο με το ίδιο γράμμα με τη συνάρτηση, μόνο με πρώτο πάνω δεξιά: ή απλά. Λοιπόν, ας γράψουμε τον τύπο της παραγώγου χρησιμοποιώντας αυτούς τους συμβολισμούς:
Όπως και στην αναλογία με το δρόμο, εδώ όταν αυξάνεται η συνάρτηση, η παράγωγος είναι θετική και όταν μειώνεται είναι αρνητική.
Μπορεί η παράγωγος να είναι ίση με μηδέν; Σίγουρα. Για παράδειγμα, αν οδηγούμε σε επίπεδο οριζόντιο δρόμο, η απότομη κλίση είναι μηδενική. Και είναι αλήθεια, το ύψος δεν αλλάζει καθόλου. Έτσι είναι και με την παράγωγο: η παράγωγος μιας σταθερής συνάρτησης (σταθερά) είναι ίση με μηδέν:
αφού η αύξηση μιας τέτοιας συνάρτησης είναι ίση με μηδέν για οποιαδήποτε.
Ας θυμηθούμε το παράδειγμα στην κορυφή του λόφου. Αποδείχθηκε ότι ήταν δυνατό να τακτοποιηθούν τα άκρα του τμήματος σε αντίθετες πλευρές της κορυφής με τέτοιο τρόπο ώστε το ύψος στα άκρα να είναι το ίδιο, δηλαδή το τμήμα να είναι παράλληλο με τον άξονα:
Αλλά τα μεγάλα τμήματα είναι σημάδι ανακριβούς μέτρησης. Θα ανεβάσουμε το τμήμα μας παράλληλα με τον εαυτό του, τότε το μήκος του θα μειωθεί.
Τελικά, όταν είμαστε απείρως κοντά στην κορυφή, το μήκος του τμήματος θα γίνει απειροελάχιστο. Ταυτόχρονα όμως παρέμεινε παράλληλος με τον άξονα, δηλαδή η υψομετρική διαφορά στα άκρα του είναι ίση με μηδέν (δεν τείνει, αλλά ισούται με). Άρα το παράγωγο
Αυτό μπορεί να γίνει κατανοητό ως εξής: όταν στεκόμαστε στην κορυφή, μια μικρή μετατόπιση προς τα αριστερά ή προς τα δεξιά αλλάζει αμελητέα το ύψος μας.
Υπάρχει επίσης μια καθαρά αλγεβρική εξήγηση: στα αριστερά της κορυφής η συνάρτηση αυξάνεται και στα δεξιά μειώνεται. Όπως ανακαλύψαμε νωρίτερα, όταν μια συνάρτηση αυξάνεται, η παράγωγος είναι θετική και όταν μειώνεται είναι αρνητική. Αλλάζει όμως ομαλά, χωρίς άλματα (αφού ο δρόμος δεν αλλάζει απότομα πουθενά την κλίση του). Επομένως, μεταξύ αρνητικών και θετικές αξίεςπρέπει οπωσδήποτε να υπάρχει. Θα είναι όπου η συνάρτηση ούτε αυξάνεται ούτε μειώνεται - στο σημείο κορυφής.
Το ίδιο ισχύει και για την κοιλότητα (η περιοχή όπου η συνάρτηση στα αριστερά μειώνεται και στα δεξιά αυξάνεται):
Λίγα περισσότερα για τις αυξήσεις.
Αλλάζουμε λοιπόν το όρισμα σε μέγεθος. Αλλάζουμε από ποια τιμή; Τι έχει γίνει (το επιχείρημα) τώρα; Μπορούμε να επιλέξουμε οποιοδήποτε σημείο, και τώρα θα χορέψουμε από αυτό.
Θεωρήστε ένα σημείο με συντεταγμένη. Η τιμή της συνάρτησης σε αυτό είναι ίση. Στη συνέχεια κάνουμε την ίδια αύξηση: αυξάνουμε τη συντεταγμένη κατά. Ποιο είναι το επιχείρημα τώρα; Πολύ εύκολο: . Ποια είναι η τιμή της συνάρτησης τώρα; Όπου πηγαίνει το όρισμα, ισχύει και η συνάρτηση: . Τι γίνεται με την αύξηση συνάρτησης; Τίποτα νέο: αυτό είναι ακόμα το ποσό κατά το οποίο έχει αλλάξει η συνάρτηση:
Εξασκηθείτε στην εύρεση προσαυξήσεων:
- Να βρείτε την αύξηση της συνάρτησης σε σημείο που η αύξηση του ορίσματος είναι ίση με.
- Το ίδιο ισχύει και για τη συνάρτηση σε ένα σημείο.
Λύσεις:
Σε διαφορετικά σημεία με την ίδια αύξηση ορίσματος, η αύξηση της συνάρτησης θα είναι διαφορετική. Αυτό σημαίνει ότι η παράγωγος σε κάθε σημείο είναι διαφορετική (το συζητήσαμε στην αρχή - η κλίση του δρόμου είναι διαφορετική σε διαφορετικά σημεία). Επομένως, όταν γράφουμε μια παράγωγο, πρέπει να αναφέρουμε σε ποιο σημείο:
Λειτουργία ισχύος.
Μια συνάρτηση ισχύος είναι μια συνάρτηση όπου το όρισμα είναι σε κάποιο βαθμό (λογικό, σωστά;).
Επιπλέον - σε οποιοδήποτε βαθμό: .
Η απλούστερη περίπτωση είναι όταν ο εκθέτης είναι:
Ας βρούμε την παράγωγή του σε ένα σημείο. Ας θυμηθούμε τον ορισμό της παραγώγου:
Έτσι το επιχείρημα αλλάζει από σε. Ποια είναι η αύξηση της συνάρτησης;
Η προσαύξηση είναι αυτή. Αλλά μια συνάρτηση σε οποιοδήποτε σημείο είναι ίση με το όρισμά της. Γι' αυτό:
Η παράγωγος ισούται με:
Η παράγωγος του είναι ίση με:
β) Σκεφτείτε τώρα τετραγωνική συνάρτηση (): .
Τώρα ας το θυμηθούμε. Αυτό σημαίνει ότι η τιμή της προσαύξησης μπορεί να αγνοηθεί, καθώς είναι απειροελάχιστη και επομένως ασήμαντη στο πλαίσιο του άλλου όρου:
Έτσι, καταλήξαμε σε έναν άλλο κανόνα:
γ) Συνεχίζουμε τη λογική σειρά: .
Αυτή η έκφραση μπορεί να απλοποιηθεί με διάφορους τρόπους: ανοίξτε την πρώτη αγκύλη χρησιμοποιώντας τον τύπο για συντομευμένο πολλαπλασιασμό του κύβου του αθροίσματος ή παραγοντοποιήστε ολόκληρη την παράσταση χρησιμοποιώντας τον τύπο διαφοράς κύβων. Προσπαθήστε να το κάνετε μόνοι σας χρησιμοποιώντας οποιαδήποτε από τις προτεινόμενες μεθόδους.
Λοιπόν, πήρα τα εξής:
Και πάλι ας το θυμόμαστε. Αυτό σημαίνει ότι μπορούμε να παραβλέψουμε όλους τους όρους που περιέχουν:
Παίρνουμε: .
δ) Παρόμοιοι κανόνες μπορούν να ληφθούν για μεγάλες δυνάμεις:
ε) Αποδεικνύεται ότι αυτός ο κανόνας μπορεί να γενικευτεί για μια συνάρτηση ισχύος με αυθαίρετο εκθέτη, ούτε καν ακέραιο:
| (2) |
Ο κανόνας μπορεί να διατυπωθεί με τις λέξεις: "ο βαθμός εμφανίζεται ως συντελεστής και στη συνέχεια μειώνεται κατά ."
Αυτόν τον κανόνα θα τον αποδείξουμε αργότερα (σχεδόν στο τέλος). Τώρα ας δούμε μερικά παραδείγματα. Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων:
- (με δύο τρόπους: με τύπο και χρησιμοποιώντας τον ορισμό της παραγώγου - με τον υπολογισμό της αύξησης της συνάρτησης).
- . Είτε το πιστεύετε είτε όχι, αυτή είναι μια λειτουργία ισχύος. Εάν έχετε ερωτήσεις όπως «Πώς είναι αυτό; Πού είναι το πτυχίο;», θυμηθείτε το θέμα «»!
Ναι, ναι, η ρίζα είναι και μια μοίρα, μόνο κλασματική: .
Το δικό μας λοιπόν τετραγωνική ρίζα- αυτό είναι απλώς ένας βαθμός με δείκτη:
.
Αναζητούμε την παράγωγο χρησιμοποιώντας τον τύπο που μάθαμε πρόσφατα:Εάν σε αυτό το σημείο γίνει ξανά ασαφές, επαναλάβετε το θέμα ""!!! (περίπου ένα βαθμό με αρνητικό εκθέτη)
- . Τώρα ο εκθέτης:
Και τώρα μέσα από τον ορισμό (το έχετε ξεχάσει ακόμα;):
;
.
Τώρα, ως συνήθως, παραμελούμε τον όρο που περιέχει:
. - . Συνδυασμός προηγούμενων περιπτώσεων: .
Τριγωνομετρικές συναρτήσεις.
Εδώ θα χρησιμοποιήσουμε ένα γεγονός από ανώτερα μαθηματικά:
Με έκφραση.
Θα μάθετε τα αποδεικτικά στοιχεία στο πρώτο έτος του ινστιτούτου (και για να φτάσετε εκεί, πρέπει να περάσετε καλά την Ενιαία Κρατική Εξέταση). Τώρα θα το δείξω μόνο γραφικά:
Βλέπουμε ότι όταν η συνάρτηση δεν υπάρχει - το σημείο στο γράφημα κόβεται. Όμως, όσο πιο κοντά στην τιμή, τόσο πιο κοντά βρίσκεται η συνάρτηση σε αυτό το "στόχο".
Επιπλέον, μπορείτε να ελέγξετε αυτόν τον κανόνα χρησιμοποιώντας μια αριθμομηχανή. Ναι, ναι, μην ντρέπεστε, πάρτε μια αριθμομηχανή, δεν είμαστε ακόμα στις εξετάσεις του Unified State.
Λοιπόν, ας προσπαθήσουμε: ;
Μην ξεχάσετε να αλλάξετε την αριθμομηχανή σας σε λειτουργία Radians!
και τα λοιπά. Βλέπουμε ότι όσο μικρότερη, τόσο πιο κοντά είναι η τιμή του λόγου.
α) Εξετάστε τη συνάρτηση. Ως συνήθως, ας βρούμε την προσαύξησή του:
Ας μετατρέψουμε τη διαφορά των ημιτόνων σε προϊόν. Για να το κάνουμε αυτό, χρησιμοποιούμε τον τύπο (θυμηθείτε το θέμα ""): .
Τώρα η παράγωγος:
Ας κάνουμε μια αντικατάσταση: . Τότε για απειροελάχιστο είναι και απειροελάχιστο: . Η έκφραση για παίρνει τη μορφή:
Και τώρα το θυμόμαστε με την έκφραση. Και επίσης, τι γίνεται αν μια απειροελάχιστη ποσότητα μπορεί να αγνοηθεί στο άθροισμα (δηλαδή στο).
Έτσι, παίρνουμε τον ακόλουθο κανόνα: η παράγωγος του ημιτόνου ισούται με το συνημίτονο:
Αυτά είναι βασικά ("πίνακα") παράγωγα. Εδώ είναι σε μια λίστα:
Αργότερα θα προσθέσουμε μερικά ακόμα σε αυτά, αλλά αυτά είναι τα πιο σημαντικά, αφού χρησιμοποιούνται συχνότερα.
Πρακτική:
- Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης σε ένα σημείο.
- Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης.
Λύσεις:
- Αρχικά, ας βρούμε την παράγωγο σε γενική άποψηκαι μετά αντικαταστήστε την τιμή του:
;
. - Εδώ έχουμε κάτι παρόμοιο λειτουργία ισχύος. Ας προσπαθήσουμε να τη φέρουμε
κανονική θέα:
.
Τέλεια, τώρα μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον τύπο:
.
. - . Εεεεεε.....Τι είναι αυτό;;;;
Εντάξει, έχεις δίκιο, δεν ξέρουμε ακόμα πώς να βρούμε τέτοια παράγωγα. Εδώ έχουμε έναν συνδυασμό πολλών τύπων συναρτήσεων. Για να εργαστείτε μαζί τους, πρέπει να μάθετε μερικούς ακόμη κανόνες:
Εκθέτης και φυσικός λογάριθμος.
Υπάρχει μια συνάρτηση στα μαθηματικά της οποίας η παράγωγος για οποιαδήποτε τιμή είναι ίση με την τιμή της ίδιας της συνάρτησης ταυτόχρονα. Ονομάζεται «εκθέτης» και είναι εκθετική συνάρτηση
Η βάση αυτής της συνάρτησης είναι μια σταθερά - είναι άπειρη δεκαδικός, δηλαδή ένας άρρητος αριθμός (όπως π.χ.). Ονομάζεται «αριθμός Euler», γι' αυτό και συμβολίζεται με ένα γράμμα.
Ο κανόνας λοιπόν:
Πολύ εύκολο να θυμάστε.
Λοιπόν, ας μην πάμε μακριά, ας εξετάσουμε αμέσως την αντίστροφη συνάρτηση. Ποια συνάρτηση είναι το αντίστροφο της εκθετικής συνάρτησης; Λογάριθμος:
Στην περίπτωσή μας, η βάση είναι ο αριθμός:
Ένας τέτοιος λογάριθμος (δηλαδή ένας λογάριθμος με βάση) ονομάζεται "φυσικός" και χρησιμοποιούμε μια ειδική σημείωση γι 'αυτό: γράφουμε αντ 'αυτού.
Με τι ισούται; Φυσικά.
Η παράγωγος του φυσικού λογάριθμου είναι επίσης πολύ απλή:
Παραδείγματα:
- Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης.
- Ποια είναι η παράγωγος της συνάρτησης;
Απαντήσεις: Ο εκθετικός και ο φυσικός λογάριθμος είναι μοναδικά απλές συναρτήσεις από την προοπτική της παραγώγου. Οι εκθετικές και οι λογαριθμικές συναρτήσεις με οποιαδήποτε άλλη βάση θα έχουν διαφορετική παράγωγο, την οποία θα αναλύσουμε αργότερα, αφού περάσουμε από τους κανόνες διαφοροποίησης.
Κανόνες διαφοροποίησης
Κανόνες τι; Πάλι νέος όροςπάλι;!...
Διάκρισηείναι η διαδικασία εύρεσης του παραγώγου.
Αυτό είναι όλο. Πώς αλλιώς μπορείτε να ονομάσετε αυτή τη διαδικασία με μια λέξη; Όχι παράγωγος... Οι μαθηματικοί ονομάζουν το διαφορικό την ίδια αύξηση μιας συνάρτησης στο. Ο όρος αυτός προέρχεται από το λατινικό differentia - διαφορά. Εδώ.
Κατά την εξαγωγή όλων αυτών των κανόνων, θα χρησιμοποιήσουμε δύο συναρτήσεις, για παράδειγμα, και. Θα χρειαστούμε επίσης τύπους για τις προσαυξήσεις τους:
Υπάρχουν 5 κανόνες συνολικά.
Η σταθερά αφαιρείται από το παράγωγο πρόσημο.
Αν - κάποιος σταθερός αριθμός (σταθερός), τότε.
Προφανώς, αυτός ο κανόνας λειτουργεί και για τη διαφορά: .
Ας το αποδείξουμε. Ας είναι, ή πιο απλό.
Παραδείγματα.
Βρείτε τις παραγώγους των συναρτήσεων:
- σε ένα σημείο?
- σε ένα σημείο?
- σε ένα σημείο?
- στο σημείο.
Λύσεις:
- (η παράγωγος είναι η ίδια σε όλα τα σημεία, αφού είναι γραμμική συνάρτηση, θυμάστε;);
Παράγωγο του προϊόντος
Όλα είναι παρόμοια εδώ: ας εισαγάγουμε μια νέα συνάρτηση και ας βρούμε την προσαύξησή της:
Παραγωγό:
Παραδείγματα:
- Να βρείτε τις παραγώγους των συναρτήσεων και?
- Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης σε ένα σημείο.
Λύσεις:
Παράγωγος εκθετικής συνάρτησης
Τώρα οι γνώσεις σας είναι αρκετές για να μάθετε πώς να βρίσκετε την παράγωγο οποιασδήποτε εκθετικής συνάρτησης, και όχι μόνο τους εκθέτες (έχετε ξεχάσει τι είναι αυτό;).
Λοιπόν, πού είναι κάποιος αριθμός.
Γνωρίζουμε ήδη την παράγωγο της συνάρτησης, οπότε ας προσπαθήσουμε να μειώσουμε τη συνάρτησή μας σε μια νέα βάση:
Για αυτό θα χρησιμοποιήσουμε απλός κανόνας: . Τότε:
Λοιπόν, λειτούργησε. Τώρα προσπαθήστε να βρείτε την παράγωγο και μην ξεχνάτε ότι αυτή η συνάρτηση είναι σύνθετη.
Δούλεψε;
Εδώ, ελέγξτε τον εαυτό σας:
Ο τύπος αποδείχθηκε ότι ήταν πολύ παρόμοιος με την παράγωγο ενός εκθέτη: όπως ήταν, παραμένει ο ίδιος, εμφανίστηκε μόνο ένας παράγοντας, ο οποίος είναι απλώς ένας αριθμός, αλλά όχι μια μεταβλητή.
Παραδείγματα:
Βρείτε τις παραγώγους των συναρτήσεων:
Απαντήσεις:
Αυτός είναι απλώς ένας αριθμός που δεν μπορεί να υπολογιστεί χωρίς αριθμομηχανή, δηλαδή δεν μπορεί να γραφτεί πλέον σε απλή μορφή. Επομένως, το αφήνουμε σε αυτή τη μορφή στην απάντηση.
Παράγωγος λογαριθμικής συνάρτησης
Είναι παρόμοιο εδώ: γνωρίζετε ήδη την παράγωγο του φυσικού λογάριθμου:
Επομένως, για να βρείτε έναν αυθαίρετο λογάριθμο με διαφορετική βάση, για παράδειγμα:
Πρέπει να μειώσουμε αυτόν τον λογάριθμο στη βάση. Πώς αλλάζετε τη βάση ενός λογάριθμου; Ελπίζω να θυμάστε αυτόν τον τύπο:
Μόνο τώρα θα γράψουμε αντ' αυτού:
Ο παρονομαστής είναι απλώς μια σταθερά (ένας σταθερός αριθμός, χωρίς μεταβλητή). Η παράγωγος λαμβάνεται πολύ απλά:
Οι παράγωγοι εκθετικών και λογαριθμικών συναρτήσεων δεν βρίσκονται σχεδόν ποτέ στην Εξέταση του Ενιαίου Κράτους, αλλά δεν θα είναι περιττό να τις γνωρίζουμε.
Παράγωγος μιγαδικής συνάρτησης.
τι έγινε" σύνθετη λειτουργία"; Όχι, δεν πρόκειται για λογάριθμο, ούτε για τόξο. Αυτές οι συναρτήσεις μπορεί να είναι δύσκολο να κατανοηθούν (αν και αν σας φαίνεται δύσκολος ο λογάριθμος, διαβάστε το θέμα "Λογάριθμοι" και θα είστε εντάξει), αλλά από μαθηματική άποψη, η λέξη "σύνθετη" δεν σημαίνει "δύσκολο".
Φανταστείτε έναν μικρό μεταφορικό ιμάντα: δύο άτομα κάθονται και κάνουν κάποιες ενέργειες με κάποια αντικείμενα. Για παράδειγμα, η πρώτη τυλίγει μια σοκολάτα σε ένα περιτύλιγμα και η δεύτερη τη δένει με μια κορδέλα. Το αποτέλεσμα είναι ένα σύνθετο αντικείμενο: μια σοκολάτα τυλιγμένη και δεμένη με κορδέλα. Για να φάτε σοκολάτα, πρέπει να κάνετε αντίστροφες ενέργειεςμε αντίστροφη σειρά.
Ας δημιουργήσουμε έναν παρόμοιο μαθηματικό αγωγό: πρώτα θα βρούμε το συνημίτονο ενός αριθμού και μετά θα τετραγωνίσουμε τον αριθμό που προκύπτει. Λοιπόν, μας δίνεται ένας αριθμός (σοκολάτα), βρίσκω το συνημίτονό του (περιτύλιγμα) και μετά τετραγωνίζεις αυτό που πήρα (το δένεις με μια κορδέλα). Τι συνέβη; Λειτουργία. Αυτό είναι ένα παράδειγμα σύνθετης συνάρτησης: όταν, για να βρούμε την τιμή της, εκτελούμε την πρώτη ενέργεια απευθείας με τη μεταβλητή και μετά μια δεύτερη ενέργεια με αυτό που προέκυψε από την πρώτη.
Μπορούμε εύκολα να κάνουμε τα ίδια βήματα με αντίστροφη σειρά: πρώτα το τετραγωνίζετε και μετά αναζητώ το συνημίτονο του αριθμού που προκύπτει: . Είναι εύκολο να μαντέψει κανείς ότι το αποτέλεσμα θα είναι σχεδόν πάντα διαφορετικό. Σημαντικό χαρακτηριστικόσύνθετες συναρτήσεις: όταν αλλάζει η σειρά των ενεργειών, αλλάζει και η συνάρτηση.
Με άλλα λόγια, μια σύνθετη συνάρτηση είναι μια συνάρτηση της οποίας το όρισμα είναι μια άλλη συνάρτηση: .
Για το πρώτο παράδειγμα, .
Δεύτερο παράδειγμα: (το ίδιο πράγμα). .
Η ενέργεια που κάνουμε τελευταία θα ονομάζεται "εξωτερική" λειτουργία, και η ενέργεια εκτελέστηκε πρώτα - αναλόγως "εσωτερική" λειτουργία(αυτά είναι άτυπα ονόματα, τα χρησιμοποιώ μόνο για να εξηγήσω το υλικό σε απλή γλώσσα).
Προσπαθήστε να προσδιορίσετε μόνοι σας ποια λειτουργία είναι εξωτερική και ποια εσωτερική:
Απαντήσεις:Ο διαχωρισμός εσωτερικών και εξωτερικών συναρτήσεων μοιάζει πολύ με την αλλαγή μεταβλητών: για παράδειγμα, σε μια συνάρτηση
- Ποια ενέργεια θα κάνουμε πρώτα; Πρώτα, ας υπολογίσουμε το ημίτονο και μόνο μετά το κύβο. Αυτό σημαίνει ότι είναι μια εσωτερική λειτουργία, αλλά μια εξωτερική.
Και η αρχική λειτουργία είναι η σύνθεσή τους: . - Εσωτερικό: ; εξωτερικό: .
Εξέταση: . - Εσωτερικό: ; εξωτερικό: .
Εξέταση: . - Εσωτερικό: ; εξωτερικό: .
Εξέταση: . - Εσωτερικό: ; εξωτερικό: .
Εξέταση: .
Αλλάζουμε μεταβλητές και παίρνουμε μια συνάρτηση.
Λοιπόν, τώρα θα βγάλουμε τη σοκολάτα μας και θα αναζητήσουμε το παράγωγο. Η διαδικασία είναι πάντα αντίστροφη: πρώτα αναζητούμε την παράγωγο της εξωτερικής συνάρτησης, μετά πολλαπλασιάζουμε το αποτέλεσμα με την παράγωγο της εσωτερικής συνάρτησης. Σε σχέση με το αρχικό παράδειγμα, μοιάζει με αυτό:
Άλλο παράδειγμα:
Λοιπόν, ας διατυπώσουμε επιτέλους τον επίσημο κανόνα:
Αλγόριθμος για την εύρεση της παραγώγου μιας μιγαδικής συνάρτησης:
Φαίνεται απλό, σωστά;
Ας ελέγξουμε με παραδείγματα:
Λύσεις:
1) Εσωτερικό: ;
Εξωτερικό: ;
2) Εσωτερικό: ;
(απλώς μην προσπαθήσετε να το κόψετε μέχρι τώρα! Δεν βγαίνει τίποτα από το συνημίτονο, θυμάστε;)
3) Εσωτερική: ;
Εξωτερικό: ;
Είναι αμέσως σαφές ότι πρόκειται για μια σύνθετη συνάρτηση τριών επιπέδων: τελικά, αυτή είναι ήδη μια σύνθετη συνάρτηση από μόνη της και εξάγουμε επίσης τη ρίζα από αυτήν, δηλαδή εκτελούμε την τρίτη ενέργεια (βάζουμε τη σοκολάτα σε ένα περιτύλιγμα και με κορδέλα στον χαρτοφύλακα). Αλλά δεν υπάρχει λόγος να φοβόμαστε: θα συνεχίσουμε να "ξεπακετάρουμε" αυτή τη λειτουργία με την ίδια σειρά όπως συνήθως: από το τέλος.
Δηλαδή, πρώτα διαφοροποιούμε τη ρίζα, μετά το συνημίτονο και μόνο μετά την έκφραση σε αγκύλες. Και μετά τα πολλαπλασιάζουμε όλα.
Σε τέτοιες περιπτώσεις, είναι βολικό να αριθμήσετε τις ενέργειες. Δηλαδή ας φανταστούμε τι ξέρουμε. Με ποια σειρά θα εκτελέσουμε ενέργειες για να υπολογίσουμε την τιμή αυτής της έκφρασης; Ας δούμε ένα παράδειγμα:
Όσο αργότερα εκτελείται η ενέργεια, τόσο πιο «εξωτερική» θα είναι η αντίστοιχη λειτουργία. Η σειρά των ενεργειών είναι η ίδια όπως πριν:
Εδώ η φωλιά είναι γενικά 4 επιπέδων. Ας καθορίσουμε τη σειρά δράσης.
1. Ριζοσπαστική έκφραση. .
2. Ρίζα. .
3. Ημιτόνου. .
4. Τετράγωνο. .
5. Συνδυάζοντας τα όλα μαζί:
ΠΑΡΑΓΩΓΟ. ΣΥΝΤΟΜΗ ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΑ ΚΥΡΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΑ
Παράγωγος συνάρτησης- ο λόγος της αύξησης της συνάρτησης προς την αύξηση του ορίσματος για μια απειροελάχιστη αύξηση του ορίσματος:
Βασικά παράγωγα:
Κανόνες διαφοροποίησης:
Η σταθερά αφαιρείται από το παράγωγο πρόσημο:
Παράγωγο του αθροίσματος:
Παράγωγο του προϊόντος:
Παράγωγος του πηλίκου:
Παράγωγος μιγαδικής συνάρτησης:
Αλγόριθμος για την εύρεση της παραγώγου μιας μιγαδικής συνάρτησης:
- Ορίζουμε την «εσωτερική» συνάρτηση και βρίσκουμε την παράγωγό της.
- Ορίζουμε την «εξωτερική» συνάρτηση και βρίσκουμε την παράγωγό της.
- Πολλαπλασιάζουμε τα αποτελέσματα του πρώτου και του δεύτερου σημείου.
Μελέτη μιας συνάρτησης χρησιμοποιώντας την παράγωγό της. Σε αυτό το άρθρο θα αναλύσουμε ορισμένες εργασίες που σχετίζονται με τη μελέτη του γραφήματος μιας συνάρτησης. Σε τέτοια προβλήματα, δίνεται μια γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f (x) και τίθενται ερωτήματα που σχετίζονται με τον προσδιορισμό του αριθμού των σημείων στα οποία η παράγωγος της συνάρτησης είναι θετική (ή αρνητική), καθώς και άλλα. Ταξινομούνται ως εργασίες για την εφαρμογή παραγώγων στη μελέτη συναρτήσεων.
Η επίλυση τέτοιων προβλημάτων και γενικά προβλημάτων που σχετίζονται με την έρευνα είναι δυνατή μόνο με την πλήρη κατανόηση των ιδιοτήτων της παραγώγου για τη μελέτη των γραφημάτων των συναρτήσεων και της παραγώγου. Επομένως, σας συνιστώ ανεπιφύλακτα να μελετήσετε τη σχετική θεωρία. Μπορείτε να μελετήσετε και επίσης να παρακολουθήσετε (αλλά περιέχει μια σύντομη περίληψη).
Θα εξετάσουμε επίσης προβλήματα στα οποία δίνεται το γράφημα της παραγώγου σε μελλοντικά άρθρα, μην το χάσετε! Λοιπόν, οι εργασίες:
Το σχήμα δείχνει ένα γράφημα της συνάρτησης y = f (x), που ορίζεται στο διάστημα (−6; 8). Καθορίζω:
1. Ο αριθμός των ακεραίων σημείων στα οποία η παράγωγος της συνάρτησης είναι αρνητική.
2. Ο αριθμός των σημείων στα οποία η εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι παράλληλη στην ευθεία y = 2;
1. Η παράγωγος μιας συνάρτησης είναι αρνητική στα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση μειώνεται, δηλαδή στα διαστήματα (−6; –3), (0; 4.2), (6.9; 8). Περιέχουν τα ακέραια σημεία −5, −4, 1, 2, 3, 4 και 7. Παίρνουμε 7 βαθμούς.
2. Απευθείας y= 2 παράλληλα προς τον άξοναΩy= 2 μόνο σε ακραία σημεία (σε σημεία όπου το γράφημα αλλάζει τη συμπεριφορά του από αύξουσα σε φθίνουσα ή αντίστροφα). Υπάρχουν τέσσερα τέτοια σημεία: –3; 0; 4.2; 6.9
Αποφασίστε μόνοι σας:
Προσδιορίστε τον αριθμό των ακεραίων σημείων στα οποία η παράγωγος της συνάρτησης είναι θετική.
Το σχήμα δείχνει ένα γράφημα της συνάρτησης y = f (x), που ορίζεται στο διάστημα (−5; 5). Καθορίζω:
2. Ο αριθμός των ακεραίων σημείων στα οποία η εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι παράλληλη στην ευθεία y = 3;
3. Ο αριθμός των σημείων στα οποία η παράγωγος είναι μηδέν.
1. Από τις ιδιότητες της παραγώγου μιας συνάρτησης είναι γνωστό ότι είναι θετική στα διαστήματα στα οποία αυξάνεται η συνάρτηση, δηλαδή στα διαστήματα (1.4; 2.5) και (4.4; 5). Περιέχουν μόνο ένα ακέραιο σημείο x = 2.
2. Απευθείας y= 3 παράλληλα προς τον άξοναΩ. Η εφαπτομένη θα είναι παράλληλη προς την ευθείαy= 3 μόνο σε ακραία σημεία (σε σημεία όπου το γράφημα αλλάζει τη συμπεριφορά του από αύξουσα σε πτωτική ή αντίστροφα).
Υπάρχουν τέσσερα τέτοια σημεία: –4,3; 1.4; 2.5; 4.4
3. Η παράγωγος είναι ίση με μηδέν σε τέσσερα σημεία (σε ακραία σημεία), τα έχουμε ήδη υποδείξει.
Αποφασίστε μόνοι σας:
Να προσδιορίσετε τον αριθμό των ακεραίων σημείων στα οποία η παράγωγος της συνάρτησης f(x) είναι αρνητική.
Το σχήμα δείχνει ένα γράφημα της συνάρτησης y = f (x), που ορίζεται στο διάστημα (−2; 12). Εύρημα:
1. Ο αριθμός των ακεραίων σημείων στα οποία η παράγωγος της συνάρτησης είναι θετική.
2. Ο αριθμός των ακεραίων σημείων στα οποία η παράγωγος της συνάρτησης είναι αρνητική.
3. Ο αριθμός των ακεραίων σημείων στα οποία η εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι παράλληλη στην ευθεία y = 2;
4. Ο αριθμός των σημείων στα οποία η παράγωγος είναι μηδέν.
1. Από τις ιδιότητες της παραγώγου μιας συνάρτησης είναι γνωστό ότι είναι θετική στα διαστήματα στα οποία αυξάνεται η συνάρτηση, δηλαδή στα διαστήματα (–2; 1), (2; 4), (7; 9) και ( 10· 11). Περιέχουν ακέραια σημεία: –1, 0, 3, 8. Είναι τέσσερα συνολικά.
2. Η παράγωγος μιας συνάρτησης είναι αρνητική στα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση μειώνεται, δηλαδή στα διαστήματα (1; 2), (4; 7), (9; 10), (11; 12). Περιέχουν ακέραια σημεία 5 και 6. Παίρνουμε 2 βαθμούς.
3. Απευθείας y= 2 παράλληλα προς τον άξοναΩ. Η εφαπτομένη θα είναι παράλληλη προς την ευθείαy= 2 μόνο σε ακραία σημεία (σε σημεία όπου το γράφημα αλλάζει τη συμπεριφορά του από αύξουσα σε φθίνουσα ή αντίστροφα). Υπάρχουν επτά τέτοια σημεία: 1; 2; 4; 7; 9; 10; 11.
4. Η παράγωγος είναι ίση με μηδέν σε επτά σημεία (σε ακραία σημεία), τα έχουμε ήδη υποδείξει.