Το άθροισμα του ημιτόνου και του συνημιτόνου διαφορετικών ορισμάτων. Βασικοί τύποι τριγωνομετρίας

Σπίτι

Συνημίτονο του αθροίσματος και της διαφοράς δύο γωνιών

Σε αυτή την ενότητα θα αποδειχθούν οι ακόλουθοι δύο τύποι:

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β, (1)

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β. (2)

Το συνημίτονο του αθροίσματος (διαφορά) δύο γωνιών είναι ίσο με το γινόμενο των συνημιτόνων αυτών των γωνιών μείον (συν) το γινόμενο των ημιτόνων αυτών των γωνιών. α Θα είναι πιο βολικό για εμάς να ξεκινήσουμε με την απόδειξη του τύπου (2). Για απλότητα παρουσίασης, ας υποθέσουμε πρώτα ότι οι γωνίες β Και ικανοποιώ:

παρακάτω συνθήκες 1) καθεμία από αυτές τις γωνίες είναι μη αρνητική και μικρότερη:

0 < α <2π< β < 2π;

2) α > β .

2π, 0 α Θα είναι πιο βολικό για εμάς να ξεκινήσουμε με την απόδειξη του τύπου (2). Για απλότητα παρουσίασης, ας υποθέσουμε πρώτα ότι οι γωνίες β .

Έστω το θετικό τμήμα του άξονα 0x η κοινή αρχική πλευρά των γωνιών α - β Σημειώνουμε τις ακραίες πλευρές αυτών των γωνιών με 0Α και 0Β, αντίστοιχα. Προφανώς η γωνία

μπορεί να θεωρηθεί ως η γωνία κατά την οποία η δέσμη 0Β πρέπει να περιστραφεί γύρω από το σημείο 0 αριστερόστροφα έτσι ώστε η διεύθυνσή της να συμπίπτει με την κατεύθυνση της δέσμης 0Α.

Στις ακτίνες 0Α και 0Β σημειώνουμε τα σημεία M και N, που βρίσκονται σε απόσταση 1 από την αρχή των συντεταγμένων 0, έτσι ώστε 0M = 0N = 1. Στο σύστημα συντεταγμένων x0y, το σημείο M έχει συντεταγμένες ( cos α, sin α ), και το σημείο N είναι οι συντεταγμένες ( cos β, αμαρτία β

). Επομένως, το τετράγωνο της απόστασης μεταξύ τους είναι:

d 1 2 = (cos α - cos β) 2 + (sin α - sin β) 2 = cos 2 α - 2 cos α cos β + = .

+ cos 2 β + sin 2 α - 2sin α sin β + sin 2 β

Στους υπολογισμούς μας χρησιμοποιήσαμε την ταυτότητα.

sin 2 φ + cos 2 φ = 1 β .

Τώρα εξετάστε ένα άλλο σύστημα συντεταγμένων B0C, το οποίο προκύπτει περιστρέφοντας τους άξονες 0x και 0y γύρω από το σημείο 0 αριστερόστροφα κατά γωνία α - β Σε αυτό το σύστημα συντεταγμένων, το σημείο Μ έχει συντεταγμένες (cos ( α - β ), αμαρτία (

)), και το σημείο N είναι συντεταγμένες (1,0). Επομένως, το τετράγωνο της απόστασης μεταξύ τους είναι:

d 2 2 = 2 + 2 = cos 2 (α - β) - 2 cos (α - β) + 1 +

+ αμαρτία 2 (α - β) = 2 .

Αλλά η απόσταση μεταξύ των σημείων Μ και Ν δεν εξαρτάται από το σύστημα συντεταγμένων με το οποίο εξετάζουμε αυτά τα σημεία σε σχέση. Γι' αυτό = δ 1 2

δ 2 2 = 2 .

2 (1 - cos α cos β - sin α sin β)

Εδώ ακολουθεί ο τύπος (2). α Τώρα πρέπει να θυμηθούμε αυτούς τους δύο περιορισμούς που επιβάλαμε για απλότητα παρουσίασης στις γωνίες β .

Και α Τώρα πρέπει να θυμηθούμε αυτούς τους δύο περιορισμούς που επιβάλαμε για απλότητα παρουσίασης στις γωνίες β Η απαίτηση ότι κάθε μία από τις γωνίες 1) καθεμία από αυτές τις γωνίες είναι μη αρνητική και μικρότερηήταν μη αρνητικό, όχι πραγματικά σημαντικό. Εξάλλου, σε οποιαδήποτε από αυτές τις γωνίες μπορείτε να προσθέσετε μια γωνία που είναι πολλαπλάσιο του 2, κάτι που δεν θα επηρεάσει την εγκυρότητα του τύπου (2). Με τον ίδιο τρόπο, από καθεμία από αυτές τις γωνίες μπορείτε να αφαιρέσετε μια γωνία που είναι πολλαπλάσιο του 0 < α < 1) καθεμία από αυτές τις γωνίες είναι μη αρνητική και μικρότερη, 0 < β < 1) καθεμία από αυτές τις γωνίες είναι μη αρνητική και μικρότερη.

. Επομένως μπορούμε να υποθέσουμε ότι α > β . Πράγματι, αν α < β , Αυτό β >α ; επομένως, δεδομένης της ισοτιμίας της συνάρτησης συν Χ , παίρνουμε:

cos (α - β) = cos (β - α) = cos β cos α + αμαρτία β sin α,

που ουσιαστικά συμπίπτει με τον τύπο (2). Ο τύπος λοιπόν

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

ισχύει για όλες τις γωνίες α Θα είναι πιο βολικό για εμάς να ξεκινήσουμε με την απόδειξη του τύπου (2). Για απλότητα παρουσίασης, ας υποθέσουμε πρώτα ότι οι γωνίες β . Συγκεκριμένα, αντικαθιστώντας σε αυτό β σε - β και δεδομένου ότι η συνάρτηση συνΧ είναι άρτιο και η συνάρτηση αμαρτίαΧ περίεργο, παίρνουμε:

cos (α + β) = cos [α - (- β)] = cos α cos (-β) + αμαρτία α αμαρτία (-β) =

= cos α cos β - sin α sin β,

που αποδεικνύει τον τύπο (1).

Έτσι, οι τύποι (1) και (2) αποδεικνύονται.

Παραδείγματα.

1) cos 75° = cos (30° + 45°) = cos 30° cos 45°-sin 30°-sin 45° =

2) cos 15° = cos (45° - 30°) = cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30° =

Γυμνάσια

1 . Υπολογίστε χωρίς χρήση τριγωνομετρικοί πίνακες:

α) cos 17° cos 43° - sin 17° sin 43°;

β) αμαρτία 3° αμαρτία 42° - συν 39° συν 42°;

γ) cos 29° cos 74° + sin 29° sin 74°;

δ) αμαρτία 97° αμαρτία 37° + συν 37° συν 97°;

ε) cos 3π / 8 cos π / 8 + sin 3π / 8 sin π / 8 ;

ε) αμαρτία 3π / 5 αμαρτία 7π / 5 - συν 3π / 5 συν 7π / 5 .

2.Απλοποιήστε τις εκφράσεις:

ένα). cos( α + π/3 ) + cos(π/3 - α ) .

σι). cos (36° + α ) cos (24° - α ) + αμαρτία (36° + α ) αμαρτία ( α - 24°).

V). sin(π/4 - α ) αμαρτία (π / 4 + α ) - cos (π / 4 + α ) cos (π / 4 - α )

δ) συν 2 α + tg α αμαρτία 2 α .

3 . Υπολογίζω :

ένα) cos(α - β), Αν

cos α = - 2 / 5 , αμαρτία β = - 5 / 13 ;

90°< α < 180°, 180° < β < 270°;

β) ως ( α + π / 6), εάν συν α = 0,6;

3π/2< α < 2π.

4 . Εύρημα cos(α + β)και συν (α - β) ,αν είναι γνωστό ότι η αμαρτία α = 7 / 25, συν β = - 5 / 13 και οι δύο γωνίες ( α Και β ) λήγει στο ίδιο τρίμηνο.

5 .Υπολογίζω:

ΕΝΑ). cos [ arcsin 1 / 3 + arccos 2 / 3 ]

σι). cos [ arcsin 1 / 3 - arccos (- 2 / 3)] .

V). cos [ arctan 1 / 2 + arccos (- 2) ]

– σίγουρα θα υπάρξουν εργασίες για την τριγωνομετρία. Η τριγωνομετρία είναι συχνά αντιπαθής επειδή απαιτεί στριμώξεις τεράστιο ποσόδύσκολες φόρμουλες, γεμάτες ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτόμενες και συνεφαπτομένες. Ο ιστότοπος έδωσε ήδη μια φορά συμβουλές για το πώς να θυμάστε μια ξεχασμένη φόρμουλα, χρησιμοποιώντας το παράδειγμα των τύπων Euler και Peel.

Και σε αυτό το άρθρο θα προσπαθήσουμε να δείξουμε ότι αρκεί να γνωρίζουμε σταθερά μόνο πέντε απλούς τριγωνομετρικούς τύπους και να γνωρίζουμε για τους υπόλοιπους γενική ιδέακαι βγάλτε τα έξω καθώς πηγαίνετε. Είναι όπως με το DNA: το μόριο δεν αποθηκεύει τα πλήρη σχέδια ενός τελειωμένου ζωντανού πλάσματος. Αντίθετα, περιέχει οδηγίες για τη συναρμολόγησή του από διαθέσιμα αμινοξέα. Έτσι στην τριγωνομετρία, γνωρίζοντας μερικά γενικές αρχές, θα πάρουμε όλες τις απαραίτητες φόρμουλες από ένα μικρό σύνολο από αυτές που πρέπει να έχετε υπόψη σας.

Θα βασιστούμε στους παρακάτω τύπους:

Από τους τύπους για αθροίσματα ημιτονοειδούς και συνημιτόνου, γνωρίζοντας την ισοτιμία της συνάρτησης συνημίτονου και την περιττότητα της συνάρτησης ημιτόνου, αντικαθιστώντας το -b αντί του b, λαμβάνουμε τύπους για διαφορές:

1. Η ίδια η διαφορά: αμαρτία(α-β) = αμαρτίαένασυν(-σι)+συνένααμαρτία(-σι) = αμαρτίαένασυνσι-συνένααμαρτίασι
2. Συνημίτονο της διαφοράς: συν(α-β) = συνένασυν(-σι)-αμαρτίαένααμαρτία(-σι) = συνένασυνσι+αμαρτίαένααμαρτίασι

Βάζοντας a = b στους ίδιους τύπους, λαμβάνουμε τους τύπους για ημίτονο και συνημίτονο διπλών γωνιών:

1. Ημίτονο διπλής γωνίας: αμαρτία2α = αμαρτία(α+α) = αμαρτίαένασυνένα+συνένααμαρτίαένα = 2αμαρτίαένασυνένα
2. Συνημίτονο διπλής γωνίας: συν2α = συν(α+α) = συνένασυνένα-αμαρτίαένααμαρτίαένα = συν2 α-αμαρτία2 α

Οι τύποι για άλλες πολλαπλές γωνίες λαμβάνονται με παρόμοιο τρόπο:

1. Ημίτονο τριπλής γωνίας: αμαρτία3α = αμαρτία(2α+α) = αμαρτία2ασυνένα+συν2ααμαρτίαένα = (2αμαρτίαένασυνένα)συνένα+(συν2 α-αμαρτία2 α)αμαρτίαένα = 2αμαρτίαένασυν2 α+αμαρτίαένασυν2 α-αμαρτία 3 α = 3 αμαρτίαένασυν2 α-αμαρτία 3 α = 3 αμαρτίαένα(1-αμαρτία2 α)-αμαρτία 3 α = 3 αμαρτίαένα-4αμαρτία 3α
2. Συνημίτονο τριπλής γωνίας: συν3α = συν(2α+α) = συν2ασυνένα-αμαρτία2ααμαρτίαένα = (συν2 α-αμαρτία2 α)συνένα-(2αμαρτίαένασυνένα)αμαρτίαένα = συν 3 α- αμαρτία2 ασυνένα-2αμαρτία2 ασυνένα = συν 3 α-3 αμαρτία2 ασυνένα = συν 3 a-3(1- συν2 α)συνένα = 4συν 3 α-3 συνένα

Πριν προχωρήσουμε, ας δούμε ένα πρόβλημα.
Δίνεται: η γωνία είναι οξεία.
Βρείτε το συνημίτονό του αν
Λύση που δόθηκε από έναν μαθητή:
Επειδή , Αυτό αμαρτίαένα= 3,α συνένα = 4.
(Από μαθηματικό χιούμορ)

Έτσι, ο ορισμός της εφαπτομένης συσχετίζει αυτή τη συνάρτηση τόσο με το ημίτονο όσο και με το συνημίτονο. Αλλά μπορείτε να πάρετε έναν τύπο που να συσχετίζει την εφαπτομένη μόνο με το συνημίτονο. Για να το συμπεράνουμε, ας πάρουμε το κύριο τριγωνομετρική ταυτότητα: αμαρτία 2 ένα+συν 2 ένα= 1 και διαιρέστε το με συν 2 ένα. Παίρνουμε:

Η λύση λοιπόν σε αυτό το πρόβλημα θα ήταν:

(Δεδομένου ότι η γωνία είναι οξεία, κατά την εξαγωγή της ρίζας, λαμβάνεται το σύμβολο +)

Ο τύπος για την εφαπτομένη ενός αθροίσματος είναι ένας άλλος τύπος που είναι δύσκολο να θυμηθεί κανείς. Ας το βγάλουμε ως εξής:

Εμφανίζεται αμέσως και

Από τον τύπο συνημιτόνου για διπλή γωνία, μπορείτε να λάβετε τους τύπους ημιτόνου και συνημιτόνου για μισές γωνίες. Για να το κάνετε αυτό, στην αριστερή πλευρά του τύπου συνημιτόνου διπλής γωνίας:
συν2 ένα = συν 2 ένα-αμαρτία 2 ένα
προσθέτουμε ένα, και στα δεξιά - μια τριγωνομετρική μονάδα, δηλ. το άθροισμα των τετραγώνων του ημιτόνου και του συνημιτόνου.
συν2α+1 = συν2 α-αμαρτία2 α+συν2 α+αμαρτία2 α
2συν 2 ένα = συν2 ένα+1
εκφράζοντας συνέναδιά μέσου συν2 ένακαι πραγματοποιώντας μια αλλαγή μεταβλητών, παίρνουμε:

Το σήμα λαμβάνεται ανάλογα με το τεταρτημόριο.

Ομοίως, αφαιρώντας ένα από την αριστερή πλευρά της ισότητας και το άθροισμα των τετραγώνων του ημιτόνου και του συνημιτόνου από τη δεξιά, παίρνουμε:
συν2α-1 = συν2 α-αμαρτία2 α-συν2 α-αμαρτία2 α
2αμαρτία 2 ένα = 1-συν2 ένα

Και τέλος, να μετατρέψουμε το ποσό τριγωνομετρικές συναρτήσειςστην εργασία, χρησιμοποιούμε την ακόλουθη τεχνική. Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να αναπαραστήσουμε το άθροισμα των ημιτόνων ως γινόμενο αμαρτίαένα+αμαρτίασι. Ας εισάγουμε τις μεταβλητές x και y έτσι ώστε a = x+y, b+x-y. Τότε
αμαρτίαένα+αμαρτίασι = αμαρτία(x+y)+ αμαρτία(χ-υ) = αμαρτία x συν y+ συν x αμαρτία y+ αμαρτία x συν y- συν x αμαρτία y=2 αμαρτία x συν y. Ας εκφράσουμε τώρα τα x και y ως προς τα a και b.

Αφού a = x+y, b = x-y, τότε . Γι' αυτό

Μπορείτε να αποσύρετε αμέσως

1. Φόρμουλα για διαχωρισμό προϊόντα ημιτονοειδούς και συνημιτόνου V ποσό: αμαρτίαένασυνσι = 0.5(αμαρτία(α+β)+αμαρτία(α-β))

Σας συνιστούμε να εξασκείτε και να εξάγετε τύπους μόνοι σας για τη μετατροπή της διαφοράς των ημιτόνων και του αθροίσματος και της διαφοράς των συνημιτόνων στο γινόμενο, καθώς και για τη διαίρεση των γινομένων των ημιτόνων και των συνημιτονίων στο άθροισμα. Έχοντας ολοκληρώσει αυτές τις ασκήσεις, θα κατακτήσετε πλήρως την ικανότητα εξαγωγής τριγωνομετρικών τύπων και δεν θα χαθείτε ακόμη και στο πιο δύσκολο τεστ, ολυμπιάδα ή τεστ.

Θα ξεκινήσουμε τη μελέτη μας για την τριγωνομετρία με το ορθογώνιο τρίγωνο. Ας ορίσουμε τι είναι το ημίτονο και το συνημίτονο, καθώς και τι είναι η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη οξεία γωνία. Αυτά είναι τα βασικά της τριγωνομετρίας.

Να σας το υπενθυμίσουμε ορθή γωνίαείναι γωνία ίση με 90 μοίρες. Με άλλα λόγια, μισή στροφή γωνία.

Οξεία γωνία- λιγότερο από 90 μοίρες.

Αμβλεία γωνία- μεγαλύτερη από 90 μοίρες. Όταν εφαρμόζεται σε μια τέτοια γωνία, το "αμβλύ" δεν είναι προσβολή, αλλά μαθηματικός όρος :-)

Ας ζωγραφίσουμε ορθογώνιο τρίγωνο. Μια ορθή γωνία συνήθως συμβολίζεται με . Λάβετε υπόψη ότι η πλευρά απέναντι από τη γωνία υποδεικνύεται με το ίδιο γράμμα, μόνο μικρό. Έτσι, η απέναντι πλευρά γωνία Α ορίζεται .

Η γωνία συμβολίζεται με το αντίστοιχο ελληνικό γράμμα.

Υποτείνουσαενός ορθογωνίου τριγώνου είναι η πλευρά απέναντι από τη σωστή γωνία.

Πόδια- πλευρές που βρίσκονται απέναντι από οξείες γωνίες.

Το πόδι που βρίσκεται απέναντι από τη γωνία ονομάζεται απέναντι(σε σχέση με τη γωνία). Το άλλο σκέλος, που βρίσκεται σε μία από τις πλευρές της γωνίας, ονομάζεται γειτονικός.

ΚόλποςΗ οξεία γωνία σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο είναι ο λόγος της απέναντι πλευράς προς την υποτείνουσα:

Συνημίτονοοξεία γωνία σε ορθογώνιο τρίγωνο - η αναλογία του διπλανού σκέλους προς την υποτείνουσα:

Εφαπτομένη γραμμήοξεία γωνία σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο - ο λόγος της απέναντι πλευράς προς τη διπλανή πλευρά:

Ένας άλλος (ισοδύναμος) ορισμός: η εφαπτομένη μιας οξείας γωνίας είναι ο λόγος του ημιτόνου της γωνίας προς το συνημίτονό της:

Συνεφαπτομένηοξεία γωνία σε ορθογώνιο τρίγωνο - η αναλογία της γειτονικής πλευράς προς την αντίθετη (ή, που είναι η ίδια, η αναλογία συνημιτόνου προς ημίτονο):

Σημειώστε τις βασικές σχέσεις για ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη παρακάτω. Θα μας είναι χρήσιμοι όταν λύνουμε προβλήματα.

Ας αποδείξουμε μερικά από αυτά.

Εντάξει, δώσαμε ορισμούς και γράψαμε τύπους. Αλλά γιατί χρειαζόμαστε ακόμα ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη;

Το ξέρουμε αυτό το άθροισμα των γωνιών οποιουδήποτε τριγώνου είναι ίσο με.

Γνωρίζουμε τη σχέση μεταξύ κόμματαορθογώνιο τρίγωνο. Αυτό είναι το Πυθαγόρειο θεώρημα: .

Αποδεικνύεται ότι γνωρίζοντας δύο γωνίες σε ένα τρίγωνο, μπορείτε να βρείτε την τρίτη. Γνωρίζοντας τις δύο πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου, μπορείτε να βρείτε την τρίτη. Αυτό σημαίνει ότι οι γωνίες έχουν τη δική τους αναλογία και οι πλευρές έχουν τη δική τους. Αλλά τι πρέπει να κάνετε εάν σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο γνωρίζετε μια γωνία (εκτός από τη σωστή γωνία) και μια πλευρά, αλλά πρέπει να βρείτε τις άλλες πλευρές;

Αυτό αντιμετώπισαν οι άνθρωποι στο παρελθόν όταν έφτιαχναν χάρτες της περιοχής και του έναστρου ουρανού. Εξάλλου, δεν είναι πάντα δυνατό να μετρηθούν απευθείας όλες οι πλευρές ενός τριγώνου.

Ημίτονο, συνημίτονο και εφαπτομένη - ονομάζονται επίσης συναρτήσεις τριγωνομετρικής γωνίας- δίνουν σχέσεις μεταξύ κόμματαΘα είναι πιο βολικό για εμάς να ξεκινήσουμε με την απόδειξη του τύπου (2). Για απλότητα παρουσίασης, ας υποθέσουμε πρώτα ότι οι γωνίες γωνίεςτρίγωνο. Γνωρίζοντας τη γωνία, μπορείτε να βρείτε όλες τις τριγωνομετρικές της συναρτήσεις χρησιμοποιώντας ειδικούς πίνακες. Και γνωρίζοντας τα ημίτονο, τα συνημίτονα και τις εφαπτομένες των γωνιών ενός τριγώνου και μιας από τις πλευρές του, μπορείτε να βρείτε τα υπόλοιπα.

Θα σχεδιάσουμε επίσης έναν πίνακα με τις τιμές του ημιτόνου, του συνημιτόνου, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης για «καλές» γωνίες από έως.

Σημειώστε τις δύο κόκκινες παύλες στον πίνακα. Σε κατάλληλες τιμές γωνίας, η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη δεν υπάρχουν.

Ας δούμε πολλά προβλήματα τριγωνομετρίας από την Τράπεζα Εργασιών FIPI.

1. Σε ένα τρίγωνο, η γωνία είναι , . Βρείτε .

Το πρόβλημα λύνεται σε τέσσερα δευτερόλεπτα.

Από , .

2. Σε ένα τρίγωνο, η γωνία είναι , , . Βρείτε .

Ας το βρούμε χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα.

Το πρόβλημα έχει λυθεί.

Συχνά στα προβλήματα υπάρχουν τρίγωνα με γωνίες και ή με γωνίες και. Θυμηθείτε τις βασικές αναλογίες για αυτούς από καρδιάς!

Για ένα τρίγωνο με γωνίες και το σκέλος απέναντι από τη γωνία στο είναι ίσο με το ήμισυ της υποτείνουσας.

Ένα τρίγωνο με γωνίες και είναι ισοσκελές. Σε αυτό, η υποτείνουσα είναι φορές μεγαλύτερη από το πόδι.

Εξετάσαμε προβλήματα που λύνουν ορθογώνια τρίγωνα - δηλαδή βρίσκοντας άγνωστες πλευρές ή γωνίες. Αλλά δεν είναι μόνο αυτό! ΣΕ Επιλογές Ενιαίας Κρατικής Εξέτασηςστα μαθηματικά υπάρχουν πολλά προβλήματα που αφορούν το ημίτονο, το συνημίτονο, την εφαπτομένη ή την συνεφαπτομένη της εξωτερικής γωνίας ενός τριγώνου. Περισσότερα για αυτό στο επόμενο άρθρο.

Οι έννοιες του ημιτόνου (), του συνημιτόνου (), της εφαπτομένης (), της συνεφαπτομένης () είναι άρρηκτα συνδεδεμένες με την έννοια της γωνίας. Για να κατανοήσουμε καλά αυτές τις, με την πρώτη ματιά, πολύπλοκες έννοιες (που προκαλούν μια κατάσταση φρίκης σε πολλούς μαθητές) και για να βεβαιωθούμε ότι «ο διάβολος δεν είναι τόσο τρομερός όσο είναι ζωγραφισμένος», ας ξεκινήσουμε από το από την αρχή και να κατανοήσουν την έννοια της γωνίας.

Έννοια γωνίας: ακτίνιο, βαθμός

Ας δούμε την εικόνα. Το διάνυσμα έχει «γυρίσει» σε σχέση με το σημείο κατά ένα ορισμένο ποσό. Άρα το μέτρο αυτής της περιστροφής σε σχέση με την αρχική θέση θα είναι γωνία.

Τι άλλο πρέπει να γνωρίζετε για την έννοια της γωνίας; Λοιπόν, φυσικά, μονάδες γωνίας!

Η γωνία, τόσο στη γεωμετρία όσο και στην τριγωνομετρία, μπορεί να μετρηθεί σε μοίρες και ακτίνια.

Μια γωνία (μίας μοίρας) λέγεται επίκεντρη γωνίασε κύκλο, με βάση ένα κυκλικό τόξο ίσο με μέρος του κύκλου. Έτσι, ολόκληρος ο κύκλος αποτελείται από «κομμάτια» κυκλικών τόξων ή η γωνία που περιγράφεται από τον κύκλο είναι ίση.

Δηλαδή, το παραπάνω σχήμα δείχνει μια γωνία ίση με, δηλαδή, αυτή η γωνία στηρίζεται σε ένα κυκλικό τόξο στο μέγεθος της περιφέρειας.

Γωνία σε ακτίνια είναι η κεντρική γωνία ενός κύκλου που υποβάλλεται από ένα κυκλικό τόξο του οποίου το μήκος είναι ίσο με την ακτίνα του κύκλου. Λοιπόν, το κατάλαβες; Αν όχι, τότε ας το καταλάβουμε από το σχέδιο.

Έτσι, το σχήμα δείχνει μια γωνία ίση με ένα ακτίνιο, δηλαδή, αυτή η γωνία στηρίζεται σε ένα κυκλικό τόξο, το μήκος του οποίου είναι ίσο με την ακτίνα του κύκλου (το μήκος είναι ίσο με το μήκος ή την ακτίνα ίσο με μήκοςτόξα). Έτσι, το μήκος του τόξου υπολογίζεται από τον τύπο:

Πού είναι η κεντρική γωνία σε ακτίνια.

Λοιπόν, γνωρίζοντας αυτό, μπορείτε να απαντήσετε πόσα ακτίνια περιέχονται στη γωνία που περιγράφει ο κύκλος; Ναι, για αυτό πρέπει να θυμάστε τον τύπο για την περιφέρεια. Εδώ είναι:

Λοιπόν, τώρα ας συσχετίσουμε αυτούς τους δύο τύπους και ας βρούμε ότι η γωνία που περιγράφεται από τον κύκλο είναι ίση. Δηλαδή, συσχετίζοντας την τιμή σε μοίρες και ακτίνια, παίρνουμε αυτό. Αντίστοιχα, . Όπως μπορείτε να δείτε, σε αντίθεση με τους "βαθμούς", η λέξη "ακτίνιο" παραλείπεται, καθώς η μονάδα μέτρησης είναι συνήθως καθαρή από τα συμφραζόμενα.

Πόσα ακτίνια υπάρχουν; Αυτό είναι σωστό!

Κατάλαβες; Στη συνέχεια, προχωρήστε και διορθώστε το:

Έχετε δυσκολίες; Τότε κοίτα απαντήσεις:

Ορθογώνιο τρίγωνο: ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη, συνεφαπτομένη γωνίας

Έτσι, καταλάβαμε την έννοια της γωνίας. Τι είναι όμως το ημίτονο, το συνημίτονο, η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη μιας γωνίας; Ας το καταλάβουμε. Για να το κάνουμε αυτό, θα μας βοηθήσει ένα ορθογώνιο τρίγωνο.

Πώς ονομάζονται οι πλευρές ενός ορθογώνιου τριγώνου; Αυτό είναι σωστό, υποτείνουσα και πόδια: η υποτείνουσα είναι η πλευρά που βρίσκεται απέναντι από τη σωστή γωνία (στο παράδειγμά μας αυτή είναι η πλευρά). πόδια είναι οι δύο εναπομείνασες πλευρές και (αυτές που γειτνιάζουν με ορθή γωνία), και, αν θεωρήσουμε τα πόδια σε σχέση με τη γωνία, τότε το πόδι είναι το διπλανό πόδι και το πόδι είναι το αντίθετο. Λοιπόν, ας απαντήσουμε τώρα στην ερώτηση: τι είναι το ημίτονο, το συνημίτονο, η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη μιας γωνίας;

Ημίτονο γωνίας- αυτή είναι η αναλογία του αντίθετου (μακρινού) ποδιού προς την υποτείνουσα.

Στο τρίγωνο μας.

Συνημίτονο γωνίας- αυτή είναι η αναλογία του διπλανού (κοντού) σκέλους προς την υπόταση.

Στο τρίγωνο μας.

Εφαπτομένη της γωνίας- αυτή είναι η αναλογία της αντίθετης (μακρινής) πλευράς προς τη γειτονική (κοντινή).

Στο τρίγωνο μας.

Συμεφαπτομένη γωνίας- αυτή είναι η αναλογία του διπλανού (κοντού) ποδιού προς το αντίθετο (μακριά).

Στο τρίγωνο μας.

Αυτοί οι ορισμοί είναι απαραίτητοι θυμάμαι! Για να είναι πιο εύκολο να θυμάστε ποιο πόδι να χωρίσετε σε τι, πρέπει να το καταλάβετε ξεκάθαρα εφαπτομένη γραμμήΘα είναι πιο βολικό για εμάς να ξεκινήσουμε με την απόδειξη του τύπου (2). Για απλότητα παρουσίασης, ας υποθέσουμε πρώτα ότι οι γωνίες συνεφαπτομένημόνο τα πόδια κάθονται και η υποτείνουσα εμφανίζεται μόνο στο κόλποςΘα είναι πιο βολικό για εμάς να ξεκινήσουμε με την απόδειξη του τύπου (2). Για απλότητα παρουσίασης, ας υποθέσουμε πρώτα ότι οι γωνίες συνημίτονο. Και τότε μπορείτε να καταλήξετε σε μια αλυσίδα ενώσεων. Για παράδειγμα, αυτό:

Συνημίτονο→ αφή→ αφή→ παρακείμενο;

Συνεφαπτομένη→αφή→αφή→παρακείμενο.

Πρώτα απ 'όλα, πρέπει να θυμάστε ότι το ημίτονο, το συνημίτονο, η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη καθώς οι λόγοι των πλευρών ενός τριγώνου δεν εξαρτώνται από τα μήκη αυτών των πλευρών (στην ίδια γωνία). Δεν με πιστεύεις; Στη συνέχεια, βεβαιωθείτε κοιτάζοντας την εικόνα:

Σκεφτείτε, για παράδειγμα, το συνημίτονο μιας γωνίας. Εξ ορισμού, από ένα τρίγωνο: , αλλά μπορούμε να υπολογίσουμε το συνημίτονο μιας γωνίας από ένα τρίγωνο: . Βλέπετε, τα μήκη των πλευρών είναι διαφορετικά, αλλά η τιμή του συνημιτόνου μιας γωνίας είναι η ίδια. Έτσι, οι τιμές του ημιτόνου, του συνημίτονος, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης εξαρτώνται αποκλειστικά από το μέγεθος της γωνίας.

Εάν κατανοείτε τους ορισμούς, τότε προχωρήστε και εμπεδώστε τους!

Για το τρίγωνο που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, βρίσκουμε.

Λοιπόν, το κατάλαβες; Στη συνέχεια, δοκιμάστε το μόνοι σας: υπολογίστε το ίδιο για τη γωνία.

Μοναδικός (τριγωνομετρικός) κύκλος

Κατανοώντας τις έννοιες του βαθμού και του ακτινίου, θεωρήσαμε έναν κύκλο με ακτίνα ίση με. Ένας τέτοιος κύκλος ονομάζεται μονόκλινο. Θα είναι πολύ χρήσιμο όταν μελετάτε τριγωνομετρία. Επομένως, ας το δούμε λίγο πιο αναλυτικά.

Όπως μπορείτε να δείτε, αυτός ο κύκλος κατασκευάζεται στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων. Η ακτίνα του κύκλου είναι ίση με ένα, ενώ το κέντρο του κύκλου βρίσκεται στην αρχή των συντεταγμένων, η αρχική θέση του διανύσματος ακτίνας είναι σταθερή κατά μήκος της θετικής κατεύθυνσης του άξονα (στο παράδειγμά μας, αυτή είναι η ακτίνα).

Κάθε σημείο του κύκλου αντιστοιχεί σε δύο αριθμούς: τη συντεταγμένη του άξονα και τη συντεταγμένη άξονα. Ποιοι είναι αυτοί οι αριθμοί συντεταγμένων; Και γενικά τι σχέση έχουν με το επίμαχο θέμα; Για να γίνει αυτό, πρέπει να θυμόμαστε το εξεταζόμενο ορθογώνιο τρίγωνο. Στο παραπάνω σχήμα, μπορείτε να δείτε δύο ολόκληρα ορθογώνια τρίγωνα. Θεωρήστε ένα τρίγωνο. Είναι ορθογώνιο γιατί είναι κάθετο στον άξονα.

Με τι ισούται το τρίγωνο; Αυτό είναι σωστό. Επιπλέον, γνωρίζουμε ότι είναι η ακτίνα του μοναδιαίου κύκλου, που σημαίνει . Ας αντικαταστήσουμε αυτήν την τιμή στον τύπο μας για το συνημίτονο. Να τι συμβαίνει:

Με τι ισούται το τρίγωνο; Λοιπόν φυσικά! Αντικαταστήστε την τιμή της ακτίνας σε αυτόν τον τύπο και λάβετε:

Λοιπόν, μπορείτε να πείτε ποιες συντεταγμένες έχει ένα σημείο που ανήκει σε έναν κύκλο; Λοιπόν, δεν υπάρχει περίπτωση; Κι αν το συνειδητοποιήσετε και είστε απλώς αριθμοί; Σε ποια συντεταγμένη αντιστοιχεί; Λοιπόν, φυσικά, οι συντεταγμένες! Και σε ποια συντεταγμένη αντιστοιχεί; Σωστά, συντεταγμένες! Έτσι, περίοδος.

Τότε τι είναι και ίσο με; Σωστά, ας χρησιμοποιήσουμε τους αντίστοιχους ορισμούς της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης και ας πάρουμε ότι, α.

Τι γίνεται αν η γωνία είναι μεγαλύτερη; Για παράδειγμα, όπως σε αυτή την εικόνα:

Τι έχει αλλάξει σε αυτό το παράδειγμα; Ας το καταλάβουμε. Για να το κάνουμε αυτό, ας γυρίσουμε ξανά σε ορθογώνιο τρίγωνο. Θεωρήστε ένα ορθογώνιο τρίγωνο: γωνία (όπως δίπλα σε μια γωνία). Ποιες είναι οι τιμές του ημιτόνου, του συνημίτονος, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης για μια γωνία; Σωστά, τηρούμε τους αντίστοιχους ορισμούς των τριγωνομετρικών συναρτήσεων:

Λοιπόν, όπως μπορείτε να δείτε, η τιμή του ημιτόνου της γωνίας εξακολουθεί να αντιστοιχεί στη συντεταγμένη. η τιμή του συνημιτόνου της γωνίας - η συντεταγμένη. και τις τιμές της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης στις αντίστοιχες αναλογίες. Έτσι, αυτές οι σχέσεις ισχύουν για οποιαδήποτε περιστροφή του διανύσματος ακτίνας.

Έχει ήδη αναφερθεί ότι η αρχική θέση του διανύσματος ακτίνας είναι κατά μήκος της θετικής κατεύθυνσης του άξονα. Μέχρι στιγμής έχουμε περιστρέψει αυτό το διάνυσμα αριστερόστροφα, αλλά τι συμβαίνει αν το περιστρέψουμε δεξιόστροφα; Τίποτα το εξαιρετικό, θα πάρετε επίσης μια γωνία ορισμένης τιμής, αλλά μόνο αυτή θα είναι αρνητική. Έτσι, όταν περιστρέφουμε το διάνυσμα ακτίνας αριστερόστροφα, παίρνουμε θετικές γωνίεςκαι όταν περιστρέφεται δεξιόστροφα - αρνητικός.

Έτσι, γνωρίζουμε ότι μια ολόκληρη περιστροφή του διανύσματος ακτίνας γύρω από έναν κύκλο είναι ή. Είναι δυνατή η περιστροφή του διανύσματος ακτίνας προς ή προς; Λοιπόν, φυσικά και μπορείς! Στην πρώτη περίπτωση, επομένως, το διάνυσμα ακτίνας θα κάνει μια πλήρη περιστροφή και θα σταματήσει στη θέση ή.

Στη δεύτερη περίπτωση, δηλαδή, το διάνυσμα ακτίνας θα κάνει τρεις πλήρεις στροφές και θα σταματήσει στη θέση ή.

Έτσι, από τα παραπάνω παραδείγματα μπορούμε να συμπεράνουμε ότι οι γωνίες που διαφέρουν κατά ή (όπου είναι οποιοσδήποτε ακέραιος αριθμός) αντιστοιχούν στην ίδια θέση του διανύσματος ακτίνας.

Το παρακάτω σχήμα δείχνει μια γωνία. Η ίδια εικόνα αντιστοιχεί στη γωνία κ.λπ. Αυτή η λίστα μπορεί να συνεχιστεί επ' αόριστον. Όλες αυτές οι γωνίες μπορούν να γραφτούν με τον γενικό τύπο ή (όπου είναι οποιοσδήποτε ακέραιος αριθμός)

Τώρα, γνωρίζοντας τους ορισμούς των βασικών τριγωνομετρικών συναρτήσεων και χρησιμοποιώντας τον κύκλο μονάδας, προσπαθήστε να απαντήσετε ποιες είναι οι τιμές:

Ακολουθεί ένας κύκλος μονάδας για να σας βοηθήσει:

Έχετε δυσκολίες; Τότε ας το καταλάβουμε. Ξέρουμε λοιπόν ότι:

Από εδώ, προσδιορίζουμε τις συντεταγμένες των σημείων που αντιστοιχούν σε ορισμένα μέτρα γωνίας. Λοιπόν, ας ξεκινήσουμε με τη σειρά: η γωνία στο αντιστοιχεί σε ένα σημείο με συντεταγμένες, επομένως:

Δεν υπάρχει?

Περαιτέρω, ακολουθώντας την ίδια λογική, διαπιστώνουμε ότι οι γωνίες στο αντιστοιχούν σε σημεία με συντεταγμένες, αντίστοιχα. Γνωρίζοντας αυτό, είναι εύκολο να προσδιοριστούν οι τιμές των τριγωνομετρικών συναρτήσεων στα αντίστοιχα σημεία. Δοκιμάστε το πρώτα μόνοι σας και μετά ελέγξτε τις απαντήσεις.

Απαντήσεις:

Δεν υπάρχει

Δεν υπάρχει

Δεν υπάρχει

Δεν υπάρχει

Έτσι, μπορούμε να φτιάξουμε τον παρακάτω πίνακα:

Δεν χρειάζεται να θυμάστε όλες αυτές τις αξίες. Αρκεί να θυμάστε την αντιστοιχία μεταξύ των συντεταγμένων των σημείων στον κύκλο μονάδας και των τιμών των τριγωνομετρικών συναρτήσεων:

Αλλά οι τιμές των τριγωνομετρικών συναρτήσεων των γωνιών σε και, που δίνονται στον παρακάτω πίνακα, πρέπει να θυμόμαστε:

Μην φοβάστε, τώρα θα σας δείξουμε ένα παράδειγμα πολύ απλό να θυμάστε τις αντίστοιχες τιμές:

Για να χρησιμοποιήσετε αυτήν τη μέθοδο, είναι ζωτικής σημασίας να θυμάστε τις τιμές του ημιτόνου και για τα τρία μέτρα γωνίας (), καθώς και την τιμή της εφαπτομένης της γωνίας. Γνωρίζοντας αυτές τις τιμές, είναι πολύ απλό να επαναφέρετε ολόκληρο τον πίνακα - οι τιμές συνημίτονου μεταφέρονται σύμφωνα με τα βέλη, δηλαδή:

Γνωρίζοντας αυτό, μπορείτε να επαναφέρετε τις τιμές για. Ο αριθμητής " " θα ταιριάζει και ο παρονομαστής " " θα ταιριάζει. Οι τιμές συνεφαπτομένης μεταφέρονται σύμφωνα με τα βέλη που υποδεικνύονται στο σχήμα. Εάν το καταλαβαίνετε και θυμάστε το διάγραμμα με τα βέλη, τότε θα αρκεί να θυμάστε όλες τις τιμές από τον πίνακα.

Συντεταγμένες ενός σημείου σε κύκλο

Είναι δυνατόν να βρούμε ένα σημείο (τις συντεταγμένες του) σε έναν κύκλο, γνωρίζοντας τις συντεταγμένες του κέντρου του κύκλου, την ακτίνα και τη γωνία περιστροφής του?

Λοιπόν, φυσικά και μπορείτε! Ας το βγάλουμε γενικός τύπος για την εύρεση των συντεταγμένων ενός σημείου.

Για παράδειγμα, εδώ είναι ένας κύκλος μπροστά μας:

Μας δίνεται ότι το σημείο είναι το κέντρο του κύκλου. Η ακτίνα του κύκλου είναι ίση. Είναι απαραίτητο να βρούμε τις συντεταγμένες ενός σημείου που λαμβάνεται περιστρέφοντας το σημείο κατά μοίρες.

Όπως φαίνεται από το σχήμα, η συντεταγμένη του σημείου αντιστοιχεί στο μήκος του τμήματος. Το μήκος του τμήματος αντιστοιχεί στη συντεταγμένη του κέντρου του κύκλου, δηλαδή είναι ίσο. Το μήκος ενός τμήματος μπορεί να εκφραστεί χρησιμοποιώντας τον ορισμό του συνημιτόνου:

Τότε το έχουμε για τη συντεταγμένη του σημείου.

Χρησιμοποιώντας την ίδια λογική, βρίσκουμε την τιμή της συντεταγμένης y για το σημείο. Ετσι,

Έτσι, μέσα γενική άποψηΟι συντεταγμένες των σημείων καθορίζονται από τους τύπους:

Συντεταγμένες του κέντρου του κύκλου,

ακτίνα κύκλου,

Η γωνία περιστροφής της διανυσματικής ακτίνας.

Όπως μπορείτε να δείτε, για τον μοναδιαίο κύκλο που εξετάζουμε, αυτοί οι τύποι μειώνονται σημαντικά, αφού οι συντεταγμένες του κέντρου είναι ίσες με μηδέν και η ακτίνα είναι ίση με ένα:

Λοιπόν, ας δοκιμάσουμε αυτούς τους τύπους εξασκώντας την εύρεση σημείων σε έναν κύκλο;

1. Βρείτε τις συντεταγμένες ενός σημείου στον μοναδιαίο κύκλο που προκύπτει περιστρέφοντας το σημείο επάνω.

2. Βρείτε τις συντεταγμένες ενός σημείου στον μοναδιαίο κύκλο που προκύπτει περιστρέφοντας το σημείο επάνω.

3. Βρείτε τις συντεταγμένες ενός σημείου στον μοναδιαίο κύκλο που προκύπτει περιστρέφοντας το σημείο επάνω.

4. Το σημείο είναι το κέντρο του κύκλου. Η ακτίνα του κύκλου είναι ίση. Είναι απαραίτητο να βρεθούν οι συντεταγμένες του σημείου που λαμβάνεται περιστρέφοντας το διάνυσμα της αρχικής ακτίνας κατά.

5. Το σημείο είναι το κέντρο του κύκλου. Η ακτίνα του κύκλου είναι ίση. Είναι απαραίτητο να βρεθούν οι συντεταγμένες του σημείου που λαμβάνεται περιστρέφοντας το διάνυσμα της αρχικής ακτίνας κατά.

Δυσκολεύεστε να βρείτε τις συντεταγμένες ενός σημείου σε έναν κύκλο;

Λύστε αυτά τα πέντε παραδείγματα (ή γίνετε καλοί στην επίλυσή τους) και θα μάθετε να τα βρίσκετε!

1.

Μπορείτε να το παρατηρήσετε. Ξέρουμε όμως τι αντιστοιχεί σε μια πλήρη επανάσταση του σημείου εκκίνησης. Έτσι, το επιθυμητό σημείο θα βρίσκεται στην ίδια θέση όπως όταν στρίβετε. Γνωρίζοντας αυτό, βρίσκουμε τις απαιτούμενες συντεταγμένες του σημείου:

2. Ο κύκλος μονάδας είναι κεντραρισμένος σε ένα σημείο, πράγμα που σημαίνει ότι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε απλοποιημένους τύπους:

Μπορείτε να το παρατηρήσετε. Γνωρίζουμε τι αντιστοιχεί σε δύο πλήρεις περιστροφές του σημείου εκκίνησης. Έτσι, το επιθυμητό σημείο θα βρίσκεται στην ίδια θέση όπως όταν στρίβετε. Γνωρίζοντας αυτό, βρίσκουμε τις απαιτούμενες συντεταγμένες του σημείου:

Το ημίτονο και το συνημίτονο είναι τιμές πίνακα. Θυμόμαστε τις έννοιές τους και παίρνουμε:

Έτσι, το επιθυμητό σημείο έχει συντεταγμένες.

3. Ο κύκλος μονάδας είναι κεντραρισμένος σε ένα σημείο, πράγμα που σημαίνει ότι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε απλοποιημένους τύπους:

Μπορείτε να το παρατηρήσετε. Ας απεικονίσουμε το εν λόγω παράδειγμα στο σχήμα:

Η ακτίνα κάνει γωνίες ίσες με και με τον άξονα. Γνωρίζοντας ότι οι τιμές του πίνακα συνημίτονου και ημιτόνου είναι ίσες και έχοντας καθορίσει ότι το συνημίτονο εδώ παίρνει αρνητική τιμή, και το ημίτονο είναι θετικό, έχουμε:

Τέτοια παραδείγματα συζητούνται με περισσότερες λεπτομέρειες κατά τη μελέτη των τύπων για τη μείωση των τριγωνομετρικών συναρτήσεων στο θέμα.

Έτσι, το επιθυμητό σημείο έχει συντεταγμένες.

4.

Γωνία περιστροφής της ακτίνας του διανύσματος (κατά συνθήκη)

Για να προσδιορίσουμε τα αντίστοιχα πρόσημα ημιτονοειδούς και συνημιτόνου, κατασκευάζουμε έναν κύκλο και μια γωνία:

Όπως μπορείτε να δείτε, η τιμή, δηλαδή, είναι θετική και η τιμή, δηλαδή, είναι αρνητική. Γνωρίζοντας τις πινακοποιημένες τιμές των αντίστοιχων τριγωνομετρικών συναρτήσεων, παίρνουμε ότι:

Ας αντικαταστήσουμε τις λαμβανόμενες τιμές στον τύπο μας και ας βρούμε τις συντεταγμένες:

Έτσι, το επιθυμητό σημείο έχει συντεταγμένες.

5. Για να λύσουμε αυτό το πρόβλημα, χρησιμοποιούμε τύπους σε γενική μορφή, όπου

Συντεταγμένες του κέντρου του κύκλου (στο παράδειγμά μας,

Ακτίνα κύκλου (ανά συνθήκη)

Γωνία περιστροφής της ακτίνας του διανύσματος (κατά συνθήκη).

Ας αντικαταστήσουμε όλες τις τιμές στον τύπο και πάρουμε:

και - τιμές πίνακα. Ας τα θυμηθούμε και ας τα αντικαταστήσουμε στον τύπο:

Έτσι, το επιθυμητό σημείο έχει συντεταγμένες.

ΣΥΝΟΨΗ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΥΠΟΛΟΙ

Το ημίτονο μιας γωνίας είναι ο λόγος του απέναντι (μακρυνού) σκέλους προς την υποτείνουσα.

Το συνημίτονο μιας γωνίας είναι ο λόγος του διπλανού (κοντού) σκέλους προς την υποτείνουσα.

Η εφαπτομένη μιας γωνίας είναι ο λόγος της απέναντι (μακρινής) πλευράς προς τη διπλανή (κοντινή) πλευρά.

Η συνεφαπτομένη μιας γωνίας είναι ο λόγος της γειτονικής (κοντής) πλευράς προς την αντίθετη (μακριά) πλευρά.

Συχνές Ερωτήσεις

Είναι δυνατόν να γίνει σφραγίδα σε ένα έγγραφο σύμφωνα με το δείγμα που παρέχεται; Απάντηση Ναι, είναι δυνατόν. Στείλτε στο δικό μας διεύθυνση ηλεκτρονικού ταχυδρομείουσαρωμένο αντίγραφο ή φωτογραφία καλής ποιότητας, και θα κάνουμε το απαραίτητο αντίγραφο.

Τι είδους πληρωμές δέχεστε; Απάντηση Μπορείτε να πληρώσετε για το έγγραφο κατά την παραλαβή από τον ταχυμεταφορέα, αφού ελέγξετε την ορθότητα ολοκλήρωσης και την ποιότητα εκτέλεσης του διπλώματος. Αυτό μπορεί επίσης να γίνει στα γραφεία ταχυδρομικών εταιρειών που προσφέρουν υπηρεσίες αντικαταβολής.
Όλοι οι όροι παράδοσης και πληρωμής για έγγραφα περιγράφονται στην ενότητα «Πληρωμή και Παράδοση». Είμαστε επίσης έτοιμοι να ακούσουμε τις προτάσεις σας σχετικά με τους όρους παράδοσης και πληρωμής του παραστατικού.

Μπορώ να είμαι σίγουρος ότι μετά την υποβολή μιας παραγγελίας δεν θα εξαφανιστείτε με τα χρήματά μου; Απάντηση Έχουμε αρκετά μεγάλη εμπειρία στον τομέα της παραγωγής διπλωμάτων. Έχουμε αρκετές ιστοσελίδες που ενημερώνονται συνεχώς. Οι ειδικοί μας εργάζονται σε διάφορα μέρη της χώρας, παράγοντας πάνω από 10 έγγραφα την ημέρα. Με τα χρόνια, τα έγγραφά μας έχουν βοηθήσει πολλούς ανθρώπους να λύσουν προβλήματα απασχόλησης ή να μετακινηθούν σε περισσότερα υψηλά αμειβόμενη εργασία. Έχουμε κερδίσει την εμπιστοσύνη και την αναγνώριση μεταξύ των πελατών, επομένως δεν υπάρχει κανένας απολύτως λόγος να το κάνουμε αυτό. Επιπλέον, αυτό είναι απλά αδύνατο να γίνει φυσικά: πληρώνετε την παραγγελία σας όταν την παραλάβετε στα χέρια σας, δεν υπάρχει προπληρωμή.

Μπορώ να παραγγείλω δίπλωμα από οποιοδήποτε πανεπιστήμιο; Απάντηση Σε γενικές γραμμές, ναι. Δουλεύουμε σε αυτόν τον τομέα σχεδόν 12 χρόνια. Σε αυτό το διάστημα έχει διαμορφωθεί μια σχεδόν πλήρης βάση δεδομένων με έγγραφα που εκδίδονται από όλα σχεδόν τα πανεπιστήμια της χώρας και όχι μόνο. διαφορετικά χρόνιαέκδοση. Το μόνο που χρειάζεται είναι να επιλέξετε πανεπιστήμιο, ειδικότητα, έγγραφο και να συμπληρώσετε τη φόρμα παραγγελίας.

Τι να κάνετε εάν εντοπίσετε τυπογραφικά λάθη και λάθη σε ένα έγγραφο; Απάντηση Όταν λαμβάνετε ένα έγγραφο από την εταιρεία ταχυμεταφορών ή την ταχυδρομική εταιρεία μας, σας συνιστούμε να ελέγχετε προσεκτικά όλες τις λεπτομέρειες. Εάν διαπιστωθεί τυπογραφικό λάθος, λάθος ή ανακρίβεια, έχετε το δικαίωμα να μην παραλάβετε το δίπλωμα, αλλά πρέπει να δηλώσετε τα ελαττώματα που εντοπίστηκαν προσωπικά στον ταχυμεταφορέα ή γραπτώς στέλνοντας επιστολή στο e-mail.
ΣΕ το συντομότερο δυνατόΘα διορθώσουμε το έγγραφο και θα το στείλουμε ξανά στην καθορισμένη διεύθυνση. Φυσικά τα μεταφορικά θα βαρύνουν την εταιρεία μας.
Προς αποφυγή τέτοιων παρεξηγήσεων, πριν από τη συμπλήρωση της αρχικής φόρμας, στέλνουμε μια μακέτα του μελλοντικού εγγράφου μέσω email στον πελάτη για έλεγχο και έγκριση της τελικής έκδοσης. Πριν από την αποστολή του εγγράφου με courier ή ταχυδρομείο, λαμβάνουμε επίσης πρόσθετες φωτογραφίες και βίντεο (συμπεριλαμβανομένου του υπεριώδους φωτός) ώστε να έχετε οπτική αναπαράστασηγια το τι θα πάρεις στο τέλος.

Τι πρέπει να κάνω για να παραγγείλω δίπλωμα από την εταιρεία σας; Απάντηση Για να παραγγείλετε ένα έγγραφο (πιστοποιητικό, δίπλωμα, ακαδημαϊκό πιστοποιητικό κ.λπ.), πρέπει να συμπληρώσετε την ηλεκτρονική φόρμα παραγγελίας στον ιστότοπό μας ή να δώσετε το email σας ώστε να σας στείλουμε μια αίτηση, την οποία πρέπει να συμπληρώσετε και να στείλετε πίσω σε μας.
Εάν δεν ξέρετε τι να υποδείξετε σε οποιοδήποτε πεδίο της φόρμας παραγγελίας/ερωτηματολογίου, αφήστε τα κενά. Επομένως, θα διευκρινίσουμε όλες τις πληροφορίες που λείπουν τηλεφωνικά.

Τελευταίες κριτικές

Alexey:

Χρειαζόμουν να αποκτήσω δίπλωμα για να βρω δουλειά ως διευθυντής. Και το πιο σημαντικό είναι ότι έχω και εμπειρία και δεξιότητες, αλλά δεν μπορώ να βρω δουλειά χωρίς έγγραφο. Μόλις συνάντησα τον ιστότοπό σας, τελικά αποφάσισα να αγοράσω ένα δίπλωμα. Το δίπλωμα ολοκληρώθηκε σε 2 μέρες!! Τώρα έχω μια δουλειά που δεν είχα ονειρευτεί ποτέ πριν!! Σας ευχαριστώ!