Κόψτε το δεδομένο ορθογώνιο ABCD στα υποδεικνυόμενα σχήματα. Μαθηματικές Ολυμπιάδες και προβλήματα Ολυμπιάδας
ΣπίτιΕργασία 1:
(Ένα ορθογώνιο, οι πλευρές του οποίου εκφράζονται ως ακέραιοι, μπορεί να κοπεί σε σχήματα της μορφής (η πλευρά του κελιού στο σχήμα είναι ίση με ένα). Αποδείξτε ότι μπορεί να κοπεί σε ορθογώνια 1 × 5.)
D.~KarpovΔιάλυμα: Η περιοχή αυτού του ορθογωνίου διαιρείται ομοιόμορφα με την περιοχή του υποδεικνυόμενου σχήματος, δηλαδή με το 5. Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου είναι ίσο με το γινόμενο των μηκών των πλευρών. Δεδομένου ότι τα μήκη των πλευρών είναι ακέραιοι και το 5 είναι πρώτος αριθμός, το μήκος μιας από τις πλευρές πρέπει να διαιρείται με το 5. Ας χωρίσουμε αυτή την πλευρά και την απέναντι πλευρά σε τμήματα μήκους 5 και τις άλλες δύο πλευρές σε τμήματα μήκους 1, μετά από τα οποία συνδέουμε τα αντίστοιχα σημεία στις απέναντι πλευρές με ευθείες γραμμές.Εργασία 2:(Να λύσετε το σύστημα των εξισώσεων σε πραγματικούς αριθμούς)
D.~KarpovΑ.~ΧράμπροφΑπάντηση: το σύστημα έχει μοναδική λύση: a = b = c = d = 0. Προσθέτοντας τις δύο εξισώσεις του συστήματος, προκύπτει η εξίσωση 8a² + 9b² + 7c² + 4d² = 16ab + 8cd Από τις ανισώσεις 2ab ≤ a² + b² και 2cd ≤ c² + d² προκύπτει, ότι η δεξιά πλευρά αυτής της εξίσωσης δεν είναι μεγαλύτερη από την αριστερή και η ισότητα μπορεί να επιτευχθεί μόνο εάν b = 0, c = 0, a = b και c = d. Αυτό σημαίνει ότι η μόνη δυνατή λύση σε αυτό το σύστημα είναι a = b = c = d = 0.
Η δεύτερη επιλογή λύνεται με παρόμοιο τρόπο.Εργασία 3:
Απαντήσεις: στην πρώτη επιλογή - 60, στη δεύτερη - 120.
(Να λύσετε το σύστημα των εξισώσεων σε πραγματικούς αριθμούς)
D.~KarpovΑφήστε την ομάδα Α να κερδίσει την ομάδα Β σε έναν αγώνα με αυτούς τους κανόνες (ίσως εξασφαλίζοντας μια πρόωρη νίκη). Αυτό σημαίνει ότι για οποιαδήποτε πιθανή έκβαση των υπόλοιπων πέναλτι, το σκορ της Ομάδας Α θα ήταν υψηλότερο από αυτό της Ομάδας Β Ας φανταστούμε ότι οι ομάδες συνέχισαν να εκτελούν πέναλτι μετά το τέλος του αγώνα και εκτέλεσαν όλα τα υπόλοιπα πέναλτι, χωρίς η ομάδα Α να σκοράρει. περισσότερα γκολ και η ομάδα Β δεν αστόχησε ποτέ ξανά. Σε αυτήν την περίπτωση, ο συνολικός αριθμός των γκολ που σημείωσε ο Α θα εξακολουθεί να είναι μεγαλύτερος από εκείνον που σημείωσε ο Β (αυτό σημαίνουν οι λέξεις «πρόωρη νίκη»). Πόσο περισσότερο μπορεί να είναι; Μόνο με 1 ή 2. Πράγματι, αν η διαφορά ήταν πάνω από δύο, τότε η νίκη της ομάδας Α θα ήταν αναπόφευκτη και νωρίτερα, πριν το τελευταίο ζευγάρι των πέναλτι.Περαιτέρω, σημειώνουμε ότι στη συνέχεια του αγώνα που εξετάζουμε, ακριβώς τα μισά σουτ πέτυχαν στο τέρμα. Έτσι, από τα 129 ζεύγη βολών, ακριβώς τα μισά πέτυχαν στο τέρμα, δηλαδή ακριβώς τα 129. Αυτά τα 129 γκολ μοιράζονται μεταξύ Α και Β έτσι ώστε ο Α να έχει 1 ή 2 περισσότερα. Αυτό καθορίζει ξεκάθαρα τον αριθμό των γκολ που σημείωσε η ομάδα Α - 65.
Εργασία 5:Λύστε την εξίσωση σε φυσικούς αριθμούς:(Ένα ορθογώνιο, οι πλευρές του οποίου εκφράζονται ως ακέραιοι, μπορεί να κοπεί σε σχήματα της μορφής (η πλευρά του κελιού στο σχήμα είναι ίση με ένα). Αποδείξτε ότι μπορεί να κοπεί σε ορθογώνια 1 × 5.)
D.~Karpov U δεδομένη εξίσωσηυπάρχει μια μοναδική λύση: x = 2, y = 1, z = 2 (και στις δύο εκδόσεις). Το ότι είναι λύση προκύπτει από τη γενική ταυτότητα a² + (2a + 1) = (a + 1)²\, που εφαρμόζεται στην πρώτη έκδοση στο a = 105 και στη δεύτερη στο a = 201.Δεν υπάρχουν άλλες λύσεις, αφού αν z > 2, τότε η δεξιά πλευρά της εξίσωσης διαιρείται με το 8, αλλά η αριστερή δεν διαιρείται, αφού το 105 x μπορεί να δώσει υπόλοιπο 1 μόνο όταν διαιρείται με το 8, και 211 y - μόνο τα υπόλοιπα 1 και 3. Απομένει να σημειωθεί ότι για z = 1 επίσης δεν υπάρχουν λύσεις, και για z = 2 οι τιμές y = 1 και x = 2 καθορίζονται μοναδικά.
Για την προσοχή των δασκάλων μαθηματικών και των καθηγητών διαφόρων μαθημάτων επιλογής και συλλόγων, προσφέρεται μια επιλογή ψυχαγωγικών και εκπαιδευτικών προβλημάτων γεωμετρικής κοπής. Ο στόχος ενός καθηγητή που χρησιμοποιεί τέτοια προβλήματα στις τάξεις του δεν είναι μόνο να ενδιαφέρει τον μαθητή για ενδιαφέροντες και αποτελεσματικούς συνδυασμούς κελιών και μορφών, αλλά και να αναπτύξει την αίσθηση των γραμμών, των γωνιών και των σχημάτων. Το σύνολο των προβλημάτων απευθύνεται κυρίως σε παιδιά 4-6 τάξεων, αν και είναι δυνατή η χρήση του ακόμη και με μαθητές γυμνασίου. Οι ασκήσεις απαιτούν από τους μαθητές να έχουν υψηλή και διαρκή συγκέντρωση προσοχής και είναι ιδανικές για την ανάπτυξη και την εκπαίδευση της οπτικής μνήμης. Συνιστάται για καθηγητές μαθηματικών που προετοιμάζουν τους μαθητές για εισαγωγικές εξετάσειςσε μαθηματικές σχολές και τάξεις που θέτουν ιδιαίτερες απαιτήσεις στο επίπεδο της ανεξάρτητης σκέψης και των δημιουργικών ικανοτήτων του παιδιού. Το επίπεδο των εργασιών αντιστοιχεί στο επίπεδο των ολυμπιάδων εισόδου στο λύκειο "δεύτερο σχολείο" (δεύτερο μαθηματικό σχολείο), στη μικρή Σχολή Μηχανικής και Μαθηματικών του Κρατικού Πανεπιστημίου της Μόσχας, στο σχολείο Kurchatov κ.λπ.
Σημείωση Καθηγητή Μαθηματικών:
Σε ορισμένες λύσεις προβλημάτων, τις οποίες μπορείτε να δείτε κάνοντας κλικ στον αντίστοιχο δείκτη, υποδεικνύεται μόνο ένα από τα πιθανά παραδείγματα κοπής. Παραδέχομαι πλήρως ότι μπορεί να καταλήξετε με κάποιον άλλο σωστό συνδυασμό - δεν χρειάζεται να το φοβάστε. Ελέγξτε προσεκτικά τη λύση του μικρού σας και εάν ικανοποιεί τις προϋποθέσεις, τότε μη διστάσετε να αναλάβετε την επόμενη εργασία.
1) Δοκιμάστε να κόψετε τη φιγούρα που φαίνεται στην εικόνα σε 3 ίσα μέρη:
: Τα μικρά σχήματα μοιάζουν πολύ με το γράμμα Τ
2) Τώρα κόψτε αυτό το σχήμα σε 4 ίσα μέρη:
Συμβουλή καθηγητή μαθηματικών: Είναι εύκολο να μαντέψει κανείς ότι οι μικρές φιγούρες θα αποτελούνται από 3 κελιά, αλλά δεν υπάρχουν πολλές φιγούρες με τρία κελιά. Υπάρχουν μόνο δύο τύποι αυτών: μια γωνία και ένα ορθογώνιο 1×3.
3) Κόψτε αυτή τη φιγούρα σε 5 κομμάτια ίσου σχήματος:
Βρείτε τον αριθμό των κελιών που απαρτίζουν κάθε τέτοιο σχήμα. Αυτά τα στοιχεία μοιάζουν με το γράμμα G.
4) Τώρα πρέπει να κόψετε μια φιγούρα δέκα κελιών σε 4 άνισοςορθογώνιο (ή τετράγωνο) μεταξύ τους.
Οδηγίες καθηγητή μαθηματικών: Επιλέξτε ένα ορθογώνιο και, στη συνέχεια, προσπαθήστε να χωρέσετε άλλα τρία στα υπόλοιπα κελιά. Εάν δεν λειτουργεί, αλλάξτε το πρώτο ορθογώνιο και δοκιμάστε ξανά.
5) Η εργασία γίνεται πιο περίπλοκη: πρέπει να κόψετε το σχήμα σε 4 διαφορετικό σχήμαφιγούρες (όχι απαραίτητα ορθογώνια).
Συμβουλή καθηγητή μαθηματικών: πρώτα σχεδιάστε ξεχωριστά όλους τους τύπους φιγούρων διαφορετικών σχημάτων (θα είναι περισσότερα από τέσσερα) και επαναλάβετε τη μέθοδο απαρίθμησης επιλογών όπως στην προηγούμενη εργασία.
:
6) Κόψτε αυτή τη φιγούρα σε 5 φιγούρες από τέσσερα κελιά διαφορετικών σχημάτων έτσι ώστε να ζωγραφιστεί μόνο ένα πράσινο κελί σε καθένα από αυτά.
Συμβουλή καθηγητή μαθηματικών:Δοκιμάστε να ξεκινήσετε το κόψιμο από την επάνω άκρη αυτής της φιγούρας και θα καταλάβετε αμέσως πώς να προχωρήσετε.
:
7) Με βάση την προηγούμενη εργασία. Βρείτε πόσες φιγούρες υπάρχουν συνολικά διάφορα σχήματα, που αποτελείται από ακριβώς τέσσερα κελιά; Οι φιγούρες μπορούν να στρίψουν και να γυρίσουν, αλλά δεν μπορείτε να σηκώσετε το τραπέζι (από την επιφάνειά του) στο οποίο βρίσκεται. Δηλαδή, τα δύο δεδομένα δεν θα θεωρηθούν ίσα, αφού δεν μπορούν να ληφθούν μεταξύ τους με περιστροφή.
Συμβουλή καθηγητή μαθηματικών:Μελετήστε τη λύση στο προηγούμενο πρόβλημα και προσπαθήστε να φανταστείτε διάφορες διατάξειςαυτά τα στοιχεία κατά τη στροφή. Δεν είναι δύσκολο να μαντέψουμε ότι η απάντηση στο πρόβλημά μας θα είναι ο αριθμός 5 ή περισσότερο. (Μάλιστα, ακόμη και πάνω από έξι). Περιγράφονται 7 τύποι σχημάτων.
8) Κόψτε ένα τετράγωνο 16 κελιών σε 4 ίσα κομμάτια έτσι ώστε κάθε ένα από τα τέσσερα κομμάτια να έχει ακριβώς ένα πράσινο κελί.
Συμβουλή καθηγητή μαθηματικών: Η εμφάνιση των μικρών μορφών δεν είναι ένα τετράγωνο ή ένα ορθογώνιο, ούτε καν μια γωνία τεσσάρων κελιών. Σε ποια σχήματα πρέπει να προσπαθήσετε να κόψετε;
9) Κόψτε την εικονιζόμενη φιγούρα σε δύο μέρη, έτσι ώστε τα μέρη που προκύπτουν να διπλωθούν σε τετράγωνο.
Υπόδειξη δασκάλου μαθηματικών: Υπάρχουν 16 κελιά συνολικά, που σημαίνει ότι το τετράγωνο θα έχει μέγεθος 4x4. Και κάπως πρέπει να γεμίσεις το παράθυρο στη μέση. Πώς να το κάνετε αυτό; Θα μπορούσε να υπάρξει κάποιου είδους μετατόπιση; Στη συνέχεια, δεδομένου ότι το μήκος του ορθογωνίου είναι ίσο με περιττό αριθμό κελιών, η κοπή πρέπει να γίνει όχι με κάθετη τομή, αλλά κατά μήκος μιας διακεκομμένης γραμμής. Έτσι ώστε το πάνω μέρος να κόβεται από τη μία πλευρά του μεσαίου κελιού και το κάτω μέρος από την άλλη.
10) Κόψτε ένα ορθογώνιο 4x9 σε δύο κομμάτια έτσι ώστε τα κομμάτια που προκύπτουν να διπλωθούν σε τετράγωνο.
Συμβουλή καθηγητή μαθηματικών: Υπάρχουν 36 κελιά συνολικά στο ορθογώνιο. Επομένως, το τετράγωνο θα έχει μέγεθος 6x6. Δεδομένου ότι η μακριά πλευρά αποτελείται από εννέα κελιά, τρία από αυτά πρέπει να αποκοπούν. Πώς θα προχωρήσει αυτή η περικοπή;
11) Ο σταυρός των πέντε κελιών που φαίνεται στο σχήμα πρέπει να κοπεί (μπορείτε να κόψετε τα ίδια τα κελιά) σε κομμάτια από τα οποία θα μπορούσε να διπλωθεί ένα τετράγωνο.
Συμβουλή καθηγητή μαθηματικών: Είναι σαφές ότι ανεξάρτητα από το πώς κόβουμε κατά μήκος των γραμμών των κελιών, δεν θα έχουμε τετράγωνο, αφού υπάρχουν μόνο 5 κελιά Αυτή είναι η μόνη εργασία στην οποία επιτρέπεται η κοπή όχι από κύτταρα. Ωστόσο, καλό θα ήταν να τα αφήσετε για οδηγό. για παράδειγμα, αξίζει να σημειωθεί ότι με κάποιο τρόπο πρέπει να αφαιρέσουμε τις εσοχές που έχουμε - δηλαδή, στις εσωτερικές γωνίες του σταυρού μας. Πώς να το κάνετε αυτό; Για παράδειγμα, κόψτε μερικά τρίγωνα που προεξέχουν από τις εξωτερικές γωνίες του σταυρού...
α) Κόψτε ένα τυχαίο τρίγωνο σε πολλά κομμάτια ώστε να μπορείτε να τα διπλώσετε σε ένα ορθογώνιο.
β) Κόψτε ένα τυχαίο παραλληλόγραμμο σε πολλά κομμάτια ώστε να τα διπλώσετε σε τετράγωνο.
γ) Κόψτε δύο αυθαίρετα τετράγωνα σε πολλά κομμάτια ώστε να διπλωθούν σε ένα μεγάλο τετράγωνο.
Υπόδειξη 1
β) Αρχικά, από ένα αυθαίρετο παραλληλόγραμμο, φτιάξτε ένα παραλληλόγραμμο τέτοιο ώστε η αναλογία της μεγαλύτερης προς τη μικρότερη πλευρά του να μην υπερβαίνει το τέσσερα.
γ) Χρησιμοποιήστε το Πυθαγόρειο θεώρημα.
Υπόδειξη 2
α) Σχεδιάστε το ύψος ή μέση γραμμή.
β) Τοποθετήστε το παραλληλόγραμμο στο τετράγωνο που πρέπει να αποκτήσετε και σχεδιάστε μια «διαγώνιο».
γ) Συνδέστε τα τετράγωνα μεταξύ τους, μετρήστε ένα τμήμα στην πλευρά του μεγαλύτερου τετραγώνου, ίσο με μήκοςμικρότερο τετράγωνο, στη συνέχεια συνδέστε το με τις «απέναντι» κορυφές καθενός από τα τετράγωνα (βλ. Εικ. 1).
Διάλυμα
α) Έστω ένα αυθαίρετο τρίγωνο αλφάβητο. Ας τραβήξουμε μια μέση γραμμή MNπαράλληλα στο πλάι ΑΒ, και στο τρίγωνο που προκύπτει CMNχαμηλώστε το ύψος CD. Επιπλέον, ας το χαμηλώσουμε στην ευθεία γραμμή MNκάθετες Ο Α.Κ.Και B.L.. Τότε είναι εύκολο να δούμε ότι το Δ ΑΚΜ = ∆CDMκαι ∆ BLN = ∆CDNΠως ορθογώνια τρίγωνα, για το οποίο το αντίστοιχο ζεύγος πλευρών και ζεύγους γωνιών είναι ίσα.
Από εδώ προέρχεται η μέθοδος κοπής. δεδομένο τρίγωνοκαι μετά αναδιάταξη των κομματιών. Δηλαδή, ας κάνουμε τομές κατά μήκος τμημάτων MNΚαι CD. Μετά από αυτό θα αναδιατάξουμε τα τρίγωνα CDMΚαι CDNστη θέση των τριγώνων ΑΚΜΚαι BLNαναλόγως, όπως φαίνεται στο Σχ. 2. Πήραμε ένα ορθογώνιο AKLB, όπως απαιτείται στο πρόβλημα.
Σημειώστε ότι αυτή η μέθοδος δεν θα λειτουργήσει εάν μία από τις γωνίες ΤΑΞΙή C.B.A.- αμβλύ. Αυτό συμβαίνει γιατί σε αυτή την περίπτωση το ύψος CDδεν βρίσκεται μέσα στο τρίγωνο CMN. Αλλά αυτό δεν είναι πολύ τρομακτικό: αν σχεδιάσουμε τη μεσαία γραμμή παράλληλα με τη μεγαλύτερη πλευρά του αρχικού τριγώνου, τότε στο κομμένο τρίγωνο θα χαμηλώσουμε το ύψος από την αμβλεία γωνία και σίγουρα θα βρίσκεται μέσα στο τρίγωνο.
β) Έστω ένα παραλληλόγραμμο ABCD, των οποίων οι πλευρές ΔΙΑΦΗΜΙΣΗΚαι ΑΒίσος έναΚαι σιαναλόγως, και ένα > σι. Τότε το εμβαδόν του τετραγώνου που θέλουμε να πάρουμε στο τέλος θα πρέπει να είναι ίσο με αβ. Επομένως, το μήκος της πλευράς του τετραγώνου είναι √ αβ, που είναι λιγότερο από ΔΙΑΦΗΜΙΣΗ, αλλά περισσότερο από ΑΒ.
Ας φτιάξουμε ένα τετράγωνο APQR, ίσο με το απαιτούμενο, ώστε το σημείο σιξάπλωσε στο τέντωμα AP, και σημείο R- στο τμήμα ΔΙΑΦΗΜΙΣΗ. Αφήνω Π.Δ.τέμνει τα τμήματα π.Χ.Και QRσε σημεία ΜΚαι Ναντίστοιχα. Τότε είναι εύκολο να δούμε ότι τα τρίγωνα P.B.M., ΜΠΛΟΚΚαι NRDείναι παρόμοια, και επιπλέον, B.P. = (√αβ – σι) Και R.D. = (ένα – √αβ). Μέσα,
Επομένως, Δ P.B.M. = ∆NRDσε δύο πλευρές και τη γωνία μεταξύ τους. Είναι επίσης εύκολο να αντληθούν οι ισότητες από εδώ PQ = M.C.Και NQ = CD, που σημαίνει Δ PQN = ∆MCDεπίσης και στις δύο πλευρές και τη γωνία μεταξύ τους.
Από όλα τα παραπάνω, ακολουθεί η μέθοδος κοπής. Ακριβώς, πρώτα αφήνουμε στην άκρη τα πλαϊνά ΔΙΑΦΗΜΙΣΗΚαι π.Χ.τμήματα ARΚαι C.M., των οποίων τα μήκη είναι ίσα με √ αβ(σχετικά με τον τρόπο κατασκευής τμημάτων της φόρμας √ αβ, δείτε το πρόβλημα «Τανικά πολύγωνα» - πλαϊνή γραμμή στην ενότητα «Λύση»). Στη συνέχεια, επαναφέρουμε την κάθετο στο τμήμα ΔΙΑΦΗΜΙΣΗστο σημείο R. Τώρα το μόνο που μένει είναι να κόψουμε τα τρίγωνα MCDΚαι NRDκαι τακτοποιήστε τα όπως φαίνεται στο Σχ. 3.
Σημειώστε ότι για να χρησιμοποιηθεί αυτή η μέθοδος απαιτείται το σημείο Μβρέθηκε μέσα στο τμήμα B.K.(αλλιώς όχι ολόκληρο το τρίγωνο NRDπου περιέχεται μέσα σε ένα ορθογώνιο ABCD). Είναι απαραίτητο δηλαδή
Εάν δεν πληρούται αυτή η προϋπόθεση, τότε πρέπει πρώτα να κάνετε αυτό το ορθογώνιο ευρύτερο και μικρότερο. Για να το κάνετε αυτό, απλώς κόψτε το στη μέση και τακτοποιήστε τα κομμάτια όπως φαίνεται στο Σχ. 4. Είναι σαφές ότι μετά από μια τέτοια λειτουργία η αναλογία της μεγαλύτερης πλευράς προς τη μικρότερη πλευρά θα μειωθεί κατά τέσσερις φορές. Που σημαίνει, να το κάνεις αρκετά μεγάλο αριθμόφορές, στο τέλος θα πάρουμε ένα ορθογώνιο στο οποίο η κοπή στο Σχ. 3.
γ) Θεωρήστε δύο δεδομένα τετράγωνα ABCDΚαι DPQR, τοποθετώντας τα το ένα δίπλα στο άλλο ώστε να τέμνονται στο πλάι CDμικρότερο τετράγωνο και είχε κοινή κορυφή ρε. Θα το υποθέσουμε Π.Δ. = έναΚαι ΑΒ = σικαι, όπως έχουμε ήδη σημειώσει, ένα > σι. Μετά στο πλάι D.R.μεγαλύτερο τετράγωνο μπορούμε να θεωρήσουμε ένα τέτοιο σημείο Μ, Τι M.R. = ΑΒ. Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα.
Αφήστε τις γραμμές που διέρχονται από τα σημεία σιΚαι Qπαράλληλες σε ευθείες γραμμές MQΚαι Β.Μ.αντίστοιχα, τέμνονται στο σημείο Ν. Μετά το τετράπλευρο BMQNείναι παραλληλόγραμμο και αφού όλες οι πλευρές του είναι ίσες, είναι ρόμβος. Όμως Δ ΜΠΑΜ = ∆MRQστις τρεις πλευρές, από όπου ακολουθεί (λαμβάνοντας υπόψη ότι οι γωνίες ΜΠΑΜΚαι MRQευθεία) ότι . Ετσι, BMQN- τετράγωνο. Και επειδή η περιοχή του είναι ( ένα 2 + σι 2), τότε αυτό είναι ακριβώς το τετράγωνο που πρέπει να πάρουμε.
Για να προχωρήσουμε στην κοπή, μένει να σημειώσουμε ότι Δ ΜΠΑΜ = ∆MRQ = ∆BCN = ∆NPQ. Μετά από αυτό, αυτό που πρέπει να γίνει γίνεται προφανές: πρέπει να κόψετε τα τρίγωνα ΜΠΑΜΚαι MRQκαι τακτοποιήστε τα όπως φαίνεται στο Σχ. 5.
Επίλογος
Έχοντας λύσει τα προτεινόμενα προβλήματα, ο αναγνώστης μπορεί κάλλιστα να σκεφτεί το εξής ερώτημα: πότε είναι ακόμη δυνατό να κόψουμε ένα δεδομένο πολύγωνο με ευθείες γραμμές σε έναν πεπερασμένο αριθμό τεμαχίων από τα οποία αποτελείται ένα άλλο δεδομένο πολύγωνο; Έχοντας σκεφτεί λίγο, θα καταλάβει ότι τουλάχιστον είναι απαραίτητο τα εμβαδά αυτών των πολυγώνων να είναι ίσα. Έτσι, το αρχικό ερώτημα μετατρέπεται στο εξής: είναι αλήθεια ότι αν δύο πολύγωνα έχουν το ίδιο εμβαδόν, τότε το ένα από αυτά μπορεί να κοπεί σε κομμάτια από τα οποία προστίθεται το δεύτερο (αυτή η ιδιότητα δύο πολυγώνων ονομάζεται ισοτιμία); Αποδεικνύεται ότι αυτό είναι πράγματι έτσι, και αυτό μας λέει το θεώρημα Bolyai-Gerwin, που αποδείχθηκε στη δεκαετία του '30 του 19ου αιώνα. Πιο συγκεκριμένα, η διατύπωσή του έχει ως εξής.
Θεώρημα Bolyai-Gerwin.Δύο πολύγωνα είναι ίσα σε μέγεθος αν και μόνο αν είναι ίσα σε μέγεθος.
Η ιδέα πίσω από την απόδειξη αυτού του αξιοσημείωτου αποτελέσματος είναι η εξής. Πρώτον, δεν θα αποδείξουμε τη δήλωση του ίδιου του θεωρήματος, αλλά το γεγονός ότι καθένα από αυτά τα δύο ίσου μεγέθους πολύγωνα μπορεί να κοπεί σε κομμάτια, από τα οποία σχηματίζεται ένα τετράγωνο της ίδιας περιοχής. Για να γίνει αυτό, πρώτα διαιρούμε κάθε ένα από τα πολύγωνα σε τρίγωνα (αυτή η διαίρεση ονομάζεται τριγωνισμός). Και μετά θα μετατρέψουμε κάθε τρίγωνο σε τετράγωνο (για παράδειγμα, χρησιμοποιώντας τη μέθοδο που περιγράφεται στα σημεία α) και β) αυτού του προβλήματος). Μένει να προσθέσουμε από μεγάλη ποσότηταμικρά τετράγωνα ένα μεγάλο - μπορούμε να το κάνουμε αυτό χάρη στο σημείο γ).
Μια παρόμοια ερώτηση για τους πολύτοπους αποτελεί ένα από τα διάσημα προβλήματα του David Hilbert (το τρίτο), που παρουσιάστηκε από αυτόν σε μια ομιλία στο II Διεθνές Συνέδριομαθηματικοί στο Παρίσι το 1900. Είναι χαρακτηριστικό ότι η απάντηση σε αυτό ήταν αρνητική. Ήδη η εξέταση δύο από τα απλούστερα πολύεδρα, όπως ένας κύβος και ένα κανονικό τετράεδρο, δείχνει ότι κανένα από αυτά δεν μπορεί να κοπεί σε πεπερασμένο αριθμό μερών έτσι ώστε να σχηματιστεί ένα άλλο από αυτά. Και αυτό δεν είναι τυχαίο - μια τέτοια περικοπή απλά δεν υπάρχει.
Η λύση στο τρίτο πρόβλημα του Χίλμπερτ ελήφθη από έναν από τους μαθητές του, τον Μαξ Ντεν, ήδη το 1901. Ο Dehn ανακάλυψε μια αμετάβλητη ποσότητα που δεν άλλαξε όταν τα πολύεδρα κόπηκαν σε κομμάτια και διπλώθηκαν σε νέα σχήματα. Ωστόσο, αυτή η τιμή αποδείχθηκε διαφορετική για ορισμένα πολύεδρα (ιδιαίτερα, τον κύβο και το κανονικό τετράεδρο). Η τελευταία περίσταση δείχνει ξεκάθαρα το γεγονός ότι αυτά τα πολύεδρα δεν είναι ισοδύναμα.
Εισαγωγή δασκάλου:
Μικρό ιστορικό υπόβαθρο: Πολλοί επιστήμονες ενδιαφέρονται για την κοπή προβλημάτων από την αρχαιότητα. Αποφάσεις πολλών απλές εργασίεςγια κοπή βρέθηκαν από τους αρχαίους Έλληνες και τους Κινέζους, αλλά η πρώτη συστηματική πραγματεία σχετικά με αυτό το θέμα ανήκει στην πένα του Abul-Vef. Οι γεωμέτροι άρχισαν να λύνουν σοβαρά προβλήματα κοπής μορφών στο μικρότερο αριθμό τμημάτων και στη συνέχεια να κατασκευάζουν μια άλλη φιγούρα στις αρχές του 20ου αιώνα. Ένας από τους ιδρυτές αυτού του τμήματος ήταν ο διάσημος ιδρυτής του παζλ Henry E. Dudeney.
Σήμερα, οι λάτρεις του παζλ είναι πρόθυμοι να λύνουν προβλήματα, επειδή δεν υπάρχει καθολική μέθοδος για την επίλυση τέτοιων προβλημάτων και όλοι όσοι αναλαμβάνουν να τα λύσουν μπορούν να επιδείξουν πλήρως την εφευρετικότητα, τη διαίσθησή τους και την ικανότητά τους για δημιουργική σκέψη. (Κατά τη διάρκεια του μαθήματος, θα αναφέρουμε μόνο ένα από τα πιθανά παραδείγματα κοπής. Μπορεί να υποτεθεί ότι οι μαθητές μπορεί να καταλήξουν σε κάποιον άλλο σωστό συνδυασμό - δεν χρειάζεται να το φοβούνται).
Αυτό το μάθημα υποτίθεται ότι θα διεξαχθεί με τη μορφή πρακτικό μάθημα. Χωρίστε τους συμμετέχοντες του κύκλου σε ομάδες των 2-3 ατόμων. Δώστε σε κάθε ομάδα φιγούρες που έχουν προετοιμαστεί εκ των προτέρων από τον δάσκαλο. Οι μαθητές έχουν έναν χάρακα (με χωρίσματα), ένα μολύβι και ένα ψαλίδι. Επιτρέπεται να κάνετε μόνο ευθείες τομές χρησιμοποιώντας ψαλίδι. Έχοντας κόψει μια φιγούρα σε κομμάτια, πρέπει να φτιάξετε μια άλλη φιγούρα από τα ίδια μέρη.
Εργασίες κοπής:
1). Δοκιμάστε να κόψετε το σχήμα που φαίνεται στην εικόνα σε 3 ίσα μέρη:
Συμβουλή: Τα μικρά σχήματα μοιάζουν πολύ με το γράμμα Τ.
2). Τώρα κόψτε αυτό το σχήμα σε 4 ίσα μέρη:
Συμβουλή: Είναι εύκολο να μαντέψει κανείς ότι οι μικρές φιγούρες θα αποτελούνται από 3 κελιά, αλλά δεν υπάρχουν πολλές φιγούρες με τρία κελιά. Υπάρχουν μόνο δύο τύποι: γωνία και ορθογώνιο.
3). Χωρίστε τη φιγούρα σε δύο ίσα μέρη και χρησιμοποιήστε τα μέρη που προκύπτουν για να σχηματίσετε μια σκακιέρα.
Συμβουλή: Προτείνετε να ξεκινήσετε την εργασία από το δεύτερο μέρος, σαν να παίρνετε μια σκακιέρα. Θυμηθείτε τι σχήμα έχει μια σκακιέρα (τετράγωνο). Μετρήστε τον διαθέσιμο αριθμό κελιών σε μήκος και πλάτος. (Θυμηθείτε ότι πρέπει να υπάρχουν 8 κελιά).
4). Δοκιμάστε να κόψετε το τυρί σε οκτώ ίσα κομμάτια με τρεις κινήσεις του μαχαιριού.
Συμβουλή: δοκιμάστε να κόψετε το τυρί κατά μήκος.
Εργασίες για ανεξάρτητη λύση:
1). Κόψτε ένα τετράγωνο χαρτί και κάντε τα εξής:
· κόψτε σε 4 κομμάτια που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να φτιάξετε δύο ίσα μικρότερα τετράγωνα.
· κόβουμε σε πέντε μέρη - τέσσερα ισοσκελές τρίγωνοκαι ένα τετράγωνο - και διπλώστε τα έτσι ώστε να έχετε τρία τετράγωνα.