Αρνητική κλίση. Εξίσωση εφαπτομένης στη γραφική παράσταση συνάρτησης. The Comprehensive Guide (2019)

Σπίτι Στο προηγούμενο κεφάλαιο δείχθηκε ότι επιλέγοντας ένα συγκεκριμένο σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο, μπορούμεγεωμετρικές ιδιότητες

, που χαρακτηρίζει τα σημεία της ευθείας που εξετάζουμε, εκφράζεται αναλυτικά με μια εξίσωση μεταξύ των τρεχουσών συντεταγμένων. Έτσι παίρνουμε την εξίσωση της ευθείας. Αυτό το κεφάλαιο θα εξετάσει τις ευθείες εξισώσεις.

Για να δημιουργήσετε μια εξίσωση για μια ευθεία γραμμή σε καρτεσιανές συντεταγμένες, πρέπει να ορίσετε με κάποιο τρόπο τις συνθήκες που καθορίζουν τη θέση της σε σχέση με τους άξονες συντεταγμένων.

Αρχικά, θα εισαγάγουμε την έννοια του γωνιακού συντελεστή μιας ευθείας, που είναι ένα από τα μεγέθη που χαρακτηρίζουν τη θέση μιας ευθείας σε ένα επίπεδο.

Ας ονομάσουμε γωνία κλίσης της ευθείας προς τον άξονα Ox τη γωνία με την οποία πρέπει να περιστραφεί ο άξονας Ox έτσι ώστε να συμπίπτει με τη δεδομένη ευθεία (ή να αποδειχθεί παράλληλη με αυτήν). Ως συνήθως, θα εξετάσουμε τη γωνία λαμβάνοντας υπόψη το πρόσημο (το πρόσημο καθορίζεται από την κατεύθυνση περιστροφής: αριστερόστροφα ή δεξιόστροφα). Δεδομένου ότι μια πρόσθετη περιστροφή του άξονα Ox μέσω γωνίας 180° θα τον ευθυγραμμίσει και πάλι με την ευθεία γραμμή, η γωνία κλίσης της ευθείας προς τον άξονα δεν μπορεί να επιλεγεί με σαφήνεια (σε έναν όρο, πολλαπλάσιο του ).

Η εφαπτομένη αυτής της γωνίας καθορίζεται μοναδικά (αφού η αλλαγή της γωνίας δεν αλλάζει την εφαπτομένη της).

Η εφαπτομένη της γωνίας κλίσης της ευθείας στον άξονα Ox ονομάζεται γωνιακός συντελεστής της ευθείας. Ο γωνιακός συντελεστής χαρακτηρίζει την κατεύθυνση της ευθείας γραμμής (δεν διακρίνουμε εδώ δύο αμοιβαία αντίθετες κατευθύνσεις της ευθείας). Ανκλίση γραμμή είναι ίση με μηδέν, τότε η ευθεία είναι παράλληλη στον άξονα x. Με θετικό γωνιακό συντελεστή, η γωνία κλίσης της ευθείας προς τον άξονα Ox θα είναι οξεία (θεωρούμε εδώ τη μικρότερηθετική αξία

γωνία κλίσης) (Εικ. 39). Επιπλέον, όσο μεγαλύτερος είναι ο γωνιακός συντελεστής, τόσο μεγαλύτερη είναι η γωνία κλίσης του προς τον άξονα Ox. Εάν ο γωνιακός συντελεστής είναι αρνητικός, τότε η γωνία κλίσης της ευθείας προς τον άξονα Ox θα είναι αμβλεία (Εικ. 40). Σημειώστε ότι μια ευθεία κάθετη στον άξονα Ox δεν έχει γωνιακό συντελεστή (η εφαπτομένη της γωνίας δεν υπάρχει).

Συλλογή και χρήση προσωπικών πληροφοριών

Οι προσωπικές πληροφορίες αναφέρονται σε δεδομένα που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την αναγνώριση ή επικοινωνία με ένα συγκεκριμένο άτομο.

Ενδέχεται να σας ζητηθεί να δώσετε τα προσωπικά σας στοιχεία ανά πάσα στιγμή όταν επικοινωνήσετε μαζί μας.

Ακολουθούν ορισμένα παραδείγματα των τύπων προσωπικών πληροφοριών που ενδέχεται να συλλέγουμε και πώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτές τις πληροφορίες.

Ποιες προσωπικές πληροφορίες συλλέγουμε:

• Όταν υποβάλλετε μια αίτηση στον ιστότοπο, ενδέχεται να συλλέξουμε διάφορες πληροφορίες, όπως το όνομά σας, τον αριθμό τηλεφώνου, τη διεύθυνσή σας e-mailκαι τα λοιπά.

Πώς χρησιμοποιούμε τα προσωπικά σας στοιχεία:

• Συλλέγεται από εμάς προσωπικές πληροφορίεςμας επιτρέπει να επικοινωνήσουμε μαζί σας και να σας ενημερώσουμε σχετικά μοναδικές προσφορές, προωθητικές ενέργειες και άλλες εκδηλώσεις και επερχόμενες εκδηλώσεις.
• Από καιρό σε καιρό, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τα προσωπικά σας στοιχεία για να στείλουμε σημαντικές ειδοποιήσεις και επικοινωνίες.
• Ενδέχεται επίσης να χρησιμοποιήσουμε προσωπικές πληροφορίες για εσωτερικούς σκοπούς, όπως έλεγχος, ανάλυση δεδομένων και διάφορες μελέτεςπροκειμένου να βελτιώσουμε τις υπηρεσίες που παρέχουμε και να σας παρέχουμε συστάσεις σχετικά με τις υπηρεσίες μας.
• Εάν συμμετέχετε σε κλήρωση, διαγωνισμό ή παρόμοια προσφορά, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τις πληροφορίες που παρέχετε για τη διαχείριση τέτοιων προγραμμάτων.

Αποκάλυψη πληροφοριών σε τρίτους

Δεν αποκαλύπτουμε τις πληροφορίες που λαμβάνουμε από εσάς σε τρίτους.

Εξαιρέσεις:

• Εάν είναι απαραίτητο - σύμφωνα με το νόμο, τη δικαστική διαδικασία, τις νομικές διαδικασίες ή/και με βάση δημόσια αιτήματα ή αιτήματα από κρατικούς φορείςστο έδαφος της Ρωσικής Ομοσπονδίας - αποκαλύψτε τα προσωπικά σας στοιχεία. Ενδέχεται επίσης να αποκαλύψουμε πληροφορίες σχετικά με εσάς εάν κρίνουμε ότι αυτή η αποκάλυψη είναι απαραίτητη ή κατάλληλη για λόγους ασφάλειας, επιβολής του νόμου ή άλλους σκοπούς δημόσιας σημασίας.
• Σε περίπτωση αναδιοργάνωσης, συγχώνευσης ή πώλησης, ενδέχεται να μεταφέρουμε τις προσωπικές πληροφορίες που συλλέγουμε στον κατάλληλο διάδοχο τρίτο.

Προστασία προσωπικών πληροφοριών

Λαμβάνουμε προφυλάξεις - συμπεριλαμβανομένων διοικητικών, τεχνικών και φυσικών - για την προστασία των προσωπικών σας δεδομένων από απώλεια, κλοπή και κακή χρήση, καθώς και από μη εξουσιοδοτημένη πρόσβαση, αποκάλυψη, τροποποίηση και καταστροφή.

Σεβασμός του απορρήτου σας σε εταιρικό επίπεδο

Για να διασφαλίσουμε ότι τα προσωπικά σας στοιχεία είναι ασφαλή, κοινοποιούμε τα πρότυπα απορρήτου και ασφάλειας στους υπαλλήλους μας και εφαρμόζουμε αυστηρά τις πρακτικές απορρήτου.

Η ευθεία y=f(x) θα είναι εφαπτομένη στη γραφική παράσταση που φαίνεται στο σχήμα στο σημείο x0 αν διέρχεται από το σημείο με συντεταγμένες (x0; f(x0)) και έχει γωνιακό συντελεστή f"(x0). ένας τέτοιος συντελεστής, Γνωρίζοντας τα χαρακτηριστικά μιας εφαπτομένης, δεν είναι δύσκολο.

θα χρειαστείτε

• - μαθηματικό βιβλίο αναφοράς.
• - ένα απλό μολύβι
• - σημειωματάριο
• - μοιρογνωμόνιο
• - πυξίδα
• - στυλό.

Οδηγίες

Εάν η τιμή f‘(x0) δεν υπάρχει, τότε είτε δεν υπάρχει εφαπτομένη, είτε τρέχει κατακόρυφα. Εν όψει αυτού, η παρουσία παραγώγου της συνάρτησης στο σημείο x0 οφείλεται στην ύπαρξη μιας μη κατακόρυφης εφαπτομένης στη γραφική παράσταση της συνάρτησης στο σημείο (x0, f(x0)). Στην περίπτωση αυτή, ο γωνιακός συντελεστής της εφαπτομένης θα είναι ίσος με f "(x0). Έτσι, γίνεται σαφές γεωμετρική σημασίαπαράγωγος – υπολογισμός της κλίσης της εφαπτομένης.

Σχεδιάστε πρόσθετες εφαπτομένες που θα ήταν σε επαφή με τη γραφική παράσταση της συνάρτησης στα σημεία x1, x2 και x3 και επίσης σημειώστε τις γωνίες που σχηματίζονται από αυτές τις εφαπτομένες με τον άξονα x (αυτή η γωνία μετράται στη θετική κατεύθυνση από τον άξονα προς τον εφαπτομένη). Για παράδειγμα, η γωνία, δηλαδή η α1, θα είναι οξεία, η δεύτερη (α2) θα είναι αμβλεία και η τρίτη (α3) θα είναι μηδέν, αφού η εφαπτομένη είναι παράλληλη στον άξονα ΟΧ. Σε αυτή την περίπτωση, η εφαπτομένη μιας αμβλείας γωνίας είναι αρνητική, η εφαπτομένη μιας οξείας γωνίας είναι θετική και στο tg0 το αποτέλεσμα είναι μηδέν.

Παρακαλώ σημειώστε

Προσδιορίστε σωστά τη γωνία που σχηματίζει η εφαπτομένη. Για να το κάνετε αυτό, χρησιμοποιήστε ένα μοιρογνωμόνιο.

Χρήσιμες συμβουλές

Δύο κεκλιμένες ευθείες θα είναι παράλληλες εάν οι γωνιακοί συντελεστές τους είναι ίσοι μεταξύ τους. κάθετο αν το γινόμενο των γωνιακών συντελεστών αυτών των εφαπτομένων είναι ίσο με -1.

Πηγές:

• Εφαπτομένη στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης

Το συνημίτονο, όπως και το ημίτονο, ταξινομείται ως «άμεση» τριγωνομετρική συνάρτηση. Η εφαπτομένη (μαζί με την συνεφαπτομένη) ταξινομείται ως ένα άλλο ζεύγος που ονομάζεται «παράγωγα». Υπάρχουν διάφοροι ορισμοί αυτών των συναρτήσεων που καθιστούν δυνατή την εύρεση της εφαπτομένης που δίνεται από γνωστή αξίασυνημίτονο της ίδιας τιμής.

Οδηγίες

Αφαιρέστε το πηλίκο του ενός από το συνημίτονο που σηκώθηκε δεδομένη γωνία, και εξάγουμε την τετραγωνική ρίζα από το αποτέλεσμα - αυτή θα είναι η εφαπτομένη της γωνίας, εκφρασμένη με το συνημίτονο της: tan(α)=√(1-1/(cos(α))²). Σημειώστε ότι στον τύπο το συνημίτονο είναι στον παρονομαστή του κλάσματος. Η αδυναμία διαίρεσης με το μηδέν αποκλείει τη χρήση αυτής της έκφρασης για γωνίες ίσες με 90°, καθώς και εκείνες που διαφέρουν από αυτήν την τιμή με αριθμούς που είναι πολλαπλάσιοι των 180° (270°, 450°, -90° κ.λπ.).

Υπάρχει ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισμού της εφαπτομένης από μια γνωστή τιμή συνημιτόνου. Μπορεί να χρησιμοποιηθεί εάν δεν υπάρχει περιορισμός στη χρήση άλλων. Για να εφαρμόσετε αυτήν τη μέθοδο, προσδιορίστε πρώτα την τιμή της γωνίας από μια γνωστή τιμή συνημιτόνου - αυτό μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση συνημιτόνου τόξου. Στη συνέχεια απλά υπολογίστε την εφαπτομένη για τη γωνία της τιμής που προκύπτει. ΣΕ γενική άποψηαυτός ο αλγόριθμος μπορεί να γραφτεί ως εξής: tg(α)=tg(arccos(cos(α))).

Υπάρχει επίσης μια εξωτική επιλογή χρησιμοποιώντας τον ορισμό του συνημιτόνου και της εφαπτομένης μέσω των οξειών γωνιών ενός ορθογωνίου τριγώνου. Σε αυτόν τον ορισμό, το συνημίτονο αντιστοιχεί στον λόγο του μήκους του σκέλους που βρίσκεται δίπλα στην υπό εξέταση γωνία προς το μήκος της υποτείνουσας. Γνωρίζοντας την τιμή του συνημιτόνου, μπορείτε να επιλέξετε τα αντίστοιχα μήκη αυτών των δύο πλευρών. Για παράδειγμα, εάν cos(α) = 0,5, τότε το διπλανό μπορεί να ληφθεί ίσο με 10 cm και η υποτείνουσα - 20 cm. Οι συγκεκριμένοι αριθμοί δεν έχουν σημασία εδώ - θα λάβετε τους ίδιους και σωστούς αριθμούς με οποιεσδήποτε τιμές έχουν τις ίδιες. Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα, προσδιορίστε το μήκος της πλευράς που λείπει - το αντίθετο σκέλος. Θα είναι ίσο τετραγωνική ρίζααπό τη διαφορά μεταξύ των μηκών της τετραγωνισμένης υποτείνουσας και του γνωστού σκέλους: √(20²-10²)=√300. Εξ ορισμού, η εφαπτομένη αντιστοιχεί στον λόγο των μηκών των απέναντι και των παρακείμενων σκελών (√300/10) - υπολογίστε την και λάβετε την τιμή της εφαπτομένης που βρέθηκε χρησιμοποιώντας κλασικός ορισμόςσυνημίτονο.

Πηγές:

• συνημίτονο μέσω του τύπου εφαπτομένης

Ένα από τα τριγωνομετρικές συναρτήσεις, που τις περισσότερες φορές δηλώνεται με τα γράμματα tg, αν και συναντώνται και οι ονομασίες tan. Ο ευκολότερος τρόπος να αναπαραστήσουμε την εφαπτομένη είναι ως ημιτονοειδής λόγος γωνίαστο συνημίτονό του. Είναι περίεργο περιοδικό και όχι συνεχής λειτουργία, κάθε κύκλος του οποίου είναι ίσος με τον αριθμό Pi και το σημείο θραύσης αντιστοιχεί στο μισό αυτού του αριθμού.

Η παράγωγος μιας συνάρτησης είναι ένα από τα δύσκολα θέματα σχολικό πρόγραμμα σπουδών. Δεν θα απαντήσει κάθε πτυχιούχος στην ερώτηση τι είναι παράγωγο.

Αυτό το άρθρο εξηγεί με απλό και σαφή τρόπο τι είναι ένα παράγωγο και γιατί χρειάζεται.. Δεν θα προσπαθήσουμε τώρα για μαθηματική αυστηρότητα στην παρουσίαση. Το πιο σημαντικό είναι να κατανοήσουμε το νόημα.

Ας θυμηθούμε τον ορισμό:

Η παράγωγος είναι ο ρυθμός μεταβολής μιας συνάρτησης.

Το σχήμα δείχνει γραφήματα τριών συναρτήσεων. Ποιο πιστεύετε ότι μεγαλώνει πιο γρήγορα;

Η απάντηση είναι προφανής - η τρίτη. Έχει τον υψηλότερο ρυθμό μεταβολής, δηλαδή τη μεγαλύτερη παράγωγο.

Εδώ είναι ένα άλλο παράδειγμα.

Ο Kostya, ο Grisha και ο Matvey έπιασαν δουλειά ταυτόχρονα. Ας δούμε πώς άλλαξαν τα εισοδήματά τους κατά τη διάρκεια του έτους:

Το γράφημα δείχνει τα πάντα ταυτόχρονα, έτσι δεν είναι; Το εισόδημα του Kostya υπερδιπλασιάστηκε σε έξι μήνες. Και το εισόδημα του Grisha αυξήθηκε επίσης, αλλά λίγο. Και το εισόδημα του Matvey μειώθηκε στο μηδέν. Οι συνθήκες εκκίνησης είναι ίδιες, αλλά ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης, δηλαδή παραγωγό, - διαφορετικό. Όσο για τον Matvey, το παράγωγο εισοδήματός του είναι γενικά αρνητικό.

Διαισθητικά, υπολογίζουμε εύκολα τον ρυθμό μεταβολής μιας συνάρτησης. Πώς όμως το κάνουμε αυτό;

Αυτό που πραγματικά εξετάζουμε είναι πόσο απότομα ανεβαίνει (ή κάτω) το γράφημα μιας συνάρτησης. Με άλλα λόγια, πόσο γρήγορα αλλάζει το y καθώς αλλάζει το x; Προφανώς, η ίδια λειτουργία σε διαφορετικά σημεία μπορεί να έχει διαφορετική σημασίαπαράγωγο - δηλαδή, μπορεί να αλλάξει πιο γρήγορα ή πιο αργά.

Η παράγωγος μιας συνάρτησης συμβολίζεται .

Θα σας δείξουμε πώς να το βρείτε χρησιμοποιώντας ένα γράφημα.

Σχεδιάστηκε ένα γράφημα κάποιας συνάρτησης. Ας πάρουμε ένα σημείο με μια τετμημένη πάνω του. Ας σχεδιάσουμε μια εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης σε αυτό το σημείο. Θέλουμε να εκτιμήσουμε πόσο απότομα ανεβαίνει το γράφημα μιας συνάρτησης. Μια βολική τιμή για αυτό είναι εφαπτομένη της εφαπτομένης γωνίας.

Η παράγωγος μιας συνάρτησης σε ένα σημείο είναι ίση με την εφαπτομένη της εφαπτομένης γωνίας που σχεδιάζεται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης σε αυτό το σημείο.

Σημειώστε ότι ως γωνία κλίσης της εφαπτομένης παίρνουμε τη γωνία μεταξύ της εφαπτομένης και της θετικής κατεύθυνσης του άξονα.

Μερικές φορές οι μαθητές ρωτούν τι είναι η εφαπτομένη στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης. Αυτή είναι μια ευθεία γραμμή που έχει ένα μόνο κοινό σημείο με το γράφημα αυτής της ενότητας, και όπως φαίνεται στο σχήμα μας. Μοιάζει με εφαπτομένη σε κύκλο.

Ας το βρούμε. Θυμόμαστε ότι η εφαπτομένη μιας οξείας γωνίας σε ορθογώνιο τρίγωνοίση με την αναλογία της απέναντι πλευράς προς τη διπλανή πλευρά. Από το τρίγωνο:

Βρήκαμε την παράγωγο χρησιμοποιώντας ένα γράφημα χωρίς καν να γνωρίζουμε τον τύπο της συνάρτησης. Τέτοια προβλήματα συναντώνται συχνά στην Ενιαία Κρατική Εξέταση στα μαθηματικά κάτω από τον αριθμό.

Υπάρχει μια άλλη σημαντική σχέση. Θυμηθείτε ότι η ευθεία δίνεται από την εξίσωση

Η ποσότητα σε αυτή την εξίσωση ονομάζεται κλίση ευθείας γραμμής. Είναι ίση με την εφαπτομένη της γωνίας κλίσης της ευθείας προς τον άξονα.

.

Το καταλαβαίνουμε

Ας θυμηθούμε αυτόν τον τύπο. Εκφράζει τη γεωμετρική σημασία της παραγώγου.

Η παράγωγος μιας συνάρτησης σε ένα σημείο είναι ίση με την κλίση της εφαπτομένης που σχεδιάζεται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης σε αυτό το σημείο.

Με άλλα λόγια, η παράγωγος είναι ίση με την εφαπτομένη της εφαπτομένης γωνίας.

Είπαμε ήδη ότι η ίδια συνάρτηση μπορεί να έχει διαφορετικές παραγώγους σε διαφορετικά σημεία. Ας δούμε πώς σχετίζεται η παράγωγος με τη συμπεριφορά της συνάρτησης.

Ας σχεδιάσουμε ένα γράφημα κάποιας συνάρτησης. Αφήστε αυτή τη συνάρτηση να αυξηθεί σε ορισμένες περιοχές και να μειωθεί σε άλλες, και με διαφορετικούς ρυθμούς. Και αφήστε αυτή τη συνάρτηση να έχει μέγιστους και ελάχιστους πόντους.

Σε ένα σημείο η συνάρτηση αυξάνεται. Σχηματίζεται η εφαπτομένη στη γραφική παράσταση που σχεδιάζεται στο σημείο οξεία γωνία; με κατεύθυνση θετικού άξονα. Αυτό σημαίνει ότι η παράγωγος στο σημείο είναι θετική.

Στο σημείο η λειτουργία μας μειώνεται. Η εφαπτομένη σε αυτό το σημείο σχηματίζει αμβλεία γωνία. με κατεύθυνση θετικού άξονα. Εφόσον η εφαπτομένη μιας αμβλείας γωνίας είναι αρνητική, η παράγωγος στο σημείο είναι αρνητική.

Να τι συμβαίνει:

Εάν μια συνάρτηση αυξάνεται, η παράγωγός της είναι θετική.

Αν μειωθεί, η παράγωγός του είναι αρνητική.

Τι θα γίνει στα μέγιστα και ελάχιστα σημεία; Βλέπουμε ότι στα σημεία (μέγιστο σημείο) και (ελάχιστο σημείο) η εφαπτομένη είναι οριζόντια. Επομένως, η εφαπτομένη της εφαπτομένης σε αυτά τα σημεία είναι μηδέν και η παράγωγος είναι επίσης μηδέν.

Σημείο - μέγιστο σημείο. Σε αυτό το σημείο, η αύξηση της συνάρτησης αντικαθίσταται από μείωση. Κατά συνέπεια, το πρόσημο της παραγώγου αλλάζει στο σημείο από «συν» σε «πλην».

Στο σημείο - το ελάχιστο σημείο - η παράγωγος είναι επίσης μηδέν, αλλά το πρόσημά της αλλάζει από "μείον" σε "συν".

Συμπέρασμα: χρησιμοποιώντας την παράγωγο, μπορούμε να μάθουμε όλα όσα μας ενδιαφέρουν για τη συμπεριφορά μιας συνάρτησης.

Εάν η παράγωγος είναι θετική, τότε η συνάρτηση αυξάνεται.

Εάν η παράγωγος είναι αρνητική, τότε η συνάρτηση μειώνεται.

Στο μέγιστο σημείο, η παράγωγος είναι μηδέν και αλλάζει πρόσημο από «συν» σε «μείον».

Στο ελάχιστο σημείο, η παράγωγος είναι επίσης μηδέν και αλλάζει πρόσημο από μείον σε συν.

Ας γράψουμε αυτά τα συμπεράσματα με τη μορφή πίνακα:

Ας κάνουμε δύο μικρές διευκρινίσεις. Θα χρειαστείτε ένα από αυτά κατά την επίλυση του προβλήματος. Άλλο - τον πρώτο χρόνο, με πιο σοβαρή μελέτη συναρτήσεων και παραγώγων.

Είναι πιθανό η παράγωγος μιας συνάρτησης σε κάποιο σημείο να είναι ίση με μηδέν, αλλά η συνάρτηση δεν έχει ούτε μέγιστο ούτε ελάχιστο σε αυτό το σημείο. Αυτό είναι το λεγόμενο :

Σε ένα σημείο, η εφαπτομένη στη γραφική παράσταση είναι οριζόντια και η παράγωγος είναι μηδέν. Ωστόσο, πριν από το σημείο η συνάρτηση αυξήθηκε - και μετά το σημείο συνεχίζει να αυξάνεται. Το πρόσημο του παραγώγου δεν αλλάζει - παραμένει θετικό όπως ήταν.

Συμβαίνει επίσης στο σημείο μέγιστου ή ελάχιστου να μην υπάρχει η παράγωγος. Στο γράφημα, αυτό αντιστοιχεί σε μια απότομη διακοπή, όταν είναι αδύνατο να σχεδιάσετε μια εφαπτομένη σε ένα δεδομένο σημείο.

Πώς να βρείτε την παράγωγο εάν η συνάρτηση δεν δίνεται από ένα γράφημα, αλλά από έναν τύπο; Σε αυτή την περίπτωση ισχύει

Η κλίση είναι ευθεία. Σε αυτό το άρθρο θα εξετάσουμε προβλήματα που σχετίζονται με το επίπεδο συντεταγμένων που περιλαμβάνεται στην Ενιαία Κρατική Εξέταση στα μαθηματικά. Αυτές είναι εργασίες για:

— προσδιορισμός του γωνιακού συντελεστή μιας ευθείας όταν είναι γνωστά δύο σημεία από τα οποία διέρχεται.
— προσδιορισμός της τετμημένης ή της τεταγμένης του σημείου τομής δύο ευθειών σε ένα επίπεδο.

Τι είναι η τετμημένη και η τεταγμένη ενός σημείου περιγράφηκε σε αυτή την ενότητα. Σε αυτό έχουμε ήδη εξετάσει αρκετά προβλήματα που σχετίζονται με το επίπεδο συντεταγμένων. Τι πρέπει να κατανοήσετε για τον τύπο του προβλήματος που εξετάζεται; Λίγη θεωρία.

Εξίσωση μιας γραμμής επάνω επίπεδο συντεταγμένωνέχει τη μορφή:

Οπου κ – αυτή είναι η κλίση της γραμμής.

Την επόμενη στιγμή! Η κλίση μιας ευθείας είναι ίση με την εφαπτομένη της γωνίας κλίσης της ευθείας. Αυτή είναι η γωνία μεταξύ μιας δεδομένης γραμμής και του άξοναΩ.

Κυμαίνεται από 0 έως 180 μοίρες.

Αν δηλαδή ανάγουμε την εξίσωση μιας ευθείας στη μορφή y = kx + σι, τότε μπορούμε πάντα να προσδιορίσουμε τον συντελεστή k (συντελεστής κλίσης).

Επίσης, αν με βάση την συνθήκη μπορούμε να προσδιορίσουμε την εφαπτομένη της γωνίας κλίσης της ευθείας, τότε θα βρούμε έτσι τον γωνιακό συντελεστή της.

Επόμενο θεωρητικό σημείο!Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από δύο δεδομένα σημεία.Ο τύπος μοιάζει με:

Ας εξετάσουμε προβλήματα (παρόμοια με προβλήματα από ανοιχτή τράπεζακαθήκοντα):

Να βρείτε την κλίση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία με συντεταγμένες (–6;0) και (0;6).

Σε αυτό το πρόβλημα, ο πιο ορθολογικός τρόπος επίλυσης είναι να βρεθεί η εφαπτομένη της γωνίας μεταξύ του άξονα x και της δεδομένης ευθείας. Είναι γνωστό ότι ισούται με την κλίση. Θεωρήστε ένα ορθογώνιο τρίγωνο που σχηματίζεται από μια ευθεία γραμμή και τους άξονες x και oy:

Η εφαπτομένη μιας γωνίας σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο είναι ο λόγος της απέναντι πλευράς προς τη διπλανή πλευρά:

*Και τα δύο πόδια είναι ίσα με έξι (αυτά είναι τα μήκη τους).

Φυσικά, αυτό το πρόβλημα μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο για την εύρεση της εξίσωσης μιας ευθείας που διέρχεται από δύο δεδομένα σημεία. Αλλά αυτή θα είναι μια μακρύτερη λύση.

Απάντηση: 1

Να βρείτε την κλίση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία με συντεταγμένες (5;0) και (0;5).

Τα σημεία μας έχουν συντεταγμένες (5;0) και (0;5). Μέσα,

Ας βάλουμε τον τύπο στη φόρμα y = kx + σι

Βρήκαμε ότι η κλίση κ = – 1.

Απάντηση: -1

Ευθεία έναδιέρχεται από σημεία με συντεταγμένες (0;6) και (8;0). Ευθεία σιδιέρχεται από το σημείο με συντεταγμένες (0;10) και είναι παράλληλη προς την ευθεία ένα σιμε άξονα ω.

Σε αυτό το πρόβλημα μπορείτε να βρείτε την εξίσωση της γραμμής ένα, καθορίστε την κλίση για αυτό. Στην ευθεία σιη κλίση θα είναι ίδια αφού είναι παράλληλες. Στη συνέχεια μπορείτε να βρείτε την εξίσωση της γραμμής σι. Και μετά, αντικαθιστώντας την τιμή y = 0 σε αυτό, βρείτε την τετμημένη. ΑΛΛΑ!

Σε αυτή την περίπτωση, είναι ευκολότερο να χρησιμοποιήσετε την ιδιότητα της ομοιότητας των τριγώνων.

Τα ορθογώνια τρίγωνα που σχηματίζονται από αυτές τις (παράλληλες) ευθείες και άξονες συντεταγμένων είναι παρόμοια, πράγμα που σημαίνει ότι οι λόγοι των αντίστοιχων πλευρών τους είναι ίσοι.

Η απαιτούμενη τετμημένη είναι 40/3.

Απάντηση: 40/3

Ευθεία έναδιέρχεται από σημεία με συντεταγμένες (0;8) και (–12;0). Ευθεία σιδιέρχεται από το σημείο με συντεταγμένες (0; –12) και είναι παράλληλη προς την ευθεία ένα. Να βρείτε την τετμημένη του σημείου τομής της ευθείας σιμε άξονα ω.

Για αυτό το πρόβλημα, ο πιο ορθολογικός τρόπος επίλυσής του είναι η χρήση της ιδιότητας της ομοιότητας των τριγώνων. Θα το λύσουμε όμως με διαφορετικό τρόπο.

Γνωρίζουμε τα σημεία από τα οποία διέρχεται η ευθεία ΕΝΑ. Μπορούμε να γράψουμε μια εξίσωση για μια ευθεία γραμμή. Ο τύπος για την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από δύο δεδομένα σημεία έχει τη μορφή:

Κατά συνθήκη, τα σημεία έχουν συντεταγμένες (0;8) και (–12;0). Μέσα,

Ας το φέρουμε στο μυαλό μας y = kx + σι:

Πήρα αυτή τη γωνία κ = 2/3.

*Ο γωνιακός συντελεστής μπορούσε να βρεθεί μέσω της εφαπτομένης της γωνίας σε ορθογώνιο τρίγωνο με σκέλη 8 και 12.

Είναι γνωστό ότι οι παράλληλες ευθείες έχουν ίσους συντελεστές γωνίας. Αυτό σημαίνει ότι η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο (0;-12) έχει τη μορφή:

Βρείτε την τιμή σιμπορούμε να αντικαταστήσουμε την τετμημένη και να την τεταγμένη στην εξίσωση:

Έτσι, η ευθεία γραμμή μοιάζει με:

Τώρα, για να βρείτε την επιθυμητή τετμημένη του σημείου τομής της ευθείας με τον άξονα x, πρέπει να αντικαταστήσετε το y = 0:

Απάντηση: 18

Να βρείτε την τεταγμένη του σημείου τομής του άξονα ωκαι ευθεία που διέρχεται από το σημείο Β(10;12) και παράλληλη προς ευθεία που διέρχεται από την αρχή και το σημείο Α(10;24).

Ας βρούμε την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από σημεία με συντεταγμένες (0;0) και (10;24).

Ο τύπος για την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από δύο δεδομένα σημεία έχει τη μορφή:

Τα σημεία μας έχουν συντεταγμένες (0;0) και (10;24). Μέσα,

Ας το φέρουμε στο μυαλό μας y = kx + σι

Οι συντελεστές γωνίας των παράλληλων ευθειών είναι ίσοι. Αυτό σημαίνει ότι η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Β(10;12) έχει τη μορφή:

Εννοια σιΑς βρούμε αντικαθιστώντας τις συντεταγμένες του σημείου Β(10;12) σε αυτήν την εξίσωση:

Πήραμε την εξίσωση της ευθείας:

Να βρεθεί η τεταγμένη του σημείου τομής αυτής της ευθείας με τον άξονα ωπρέπει να αντικατασταθεί στην εξίσωση που βρέθηκε Χ= 0:

*Η πιο απλή λύση. Χρησιμοποιώντας παράλληλη μετάφραση, μετατοπίζουμε αυτή τη γραμμή προς τα κάτω κατά μήκος του άξονα ωστο σημείο (10;12). Η μετατόπιση γίνεται κατά 12 μονάδες, δηλαδή το σημείο Α(10;24) «μετακινήθηκε» στο σημείο Β(10;12) και το σημείο Ο(0;0) «μετακινήθηκε» στο σημείο (0;–12). Αυτό σημαίνει ότι η προκύπτουσα ευθεία θα τέμνει τον άξονα ωστο σημείο (0;–12).

Η απαιτούμενη τεταγμένη είναι –12.

Απάντηση: –12

Να βρείτε την τεταγμένη του σημείου τομής της ευθείας που δίνεται από την εξίσωση

3x + 2υ = 6, με άξονα Oy.

Συντεταγμένη του σημείου τομής μιας δεδομένης ευθείας με έναν άξονα ωέχει τη μορφή (0; στο). Ας αντικαταστήσουμε την τετμημένη στην εξίσωση Χ= 0 και βρείτε την τεταγμένη:

Η τεταγμένη του σημείου τομής της ευθείας με τον άξονα ωισούται με 3.

*Το σύστημα έχει λυθεί:

Απάντηση: 3

Να βρείτε την τεταγμένη του σημείου τομής των ευθειών που δίνονται από τις εξισώσεις

3x + 2y = 6Και y = – x.

Όταν δίνονται δύο ευθείες και το ερώτημα αφορά την εύρεση των συντεταγμένων του σημείου τομής αυτών των ευθειών, λύνεται ένα σύστημα από αυτές τις εξισώσεις:

Στην πρώτη εξίσωση αντικαθιστούμε - Χαντί για στο:

Η τεταγμένη ισούται με μείον έξι.

Απάντηση: – 6

Να βρείτε την κλίση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία με συντεταγμένες (–2;0) και (0;2).

Να βρείτε την κλίση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία με συντεταγμένες (2;0) και (0;2).

Η ευθεία α διέρχεται από σημεία με συντεταγμένες (0;4) και (6;0). Η ευθεία β διέρχεται από το σημείο με συντεταγμένες (0;8) και είναι παράλληλη με την ευθεία α. Να βρείτε την τετμημένη του σημείου τομής της ευθείας b με τον άξονα Ox.

Να βρείτε την τεταγμένη του σημείου τομής του άξονα oy και της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Β (6;4) και είναι παράλληλη προς την ευθεία που διέρχεται από την αρχή και το σημείο Α (6;8).

1. Είναι απαραίτητο να κατανοήσουμε ξεκάθαρα ότι ο γωνιακός συντελεστής μιας ευθείας είναι ίσος με την εφαπτομένη της γωνίας κλίσης της ευθείας. Αυτό θα σας βοηθήσει στην επίλυση πολλών προβλημάτων αυτού του τύπου.

2. Πρέπει να γίνει κατανοητός ο τύπος για την εύρεση μιας ευθείας που διέρχεται από δύο δεδομένα σημεία. Με τη βοήθειά του, θα βρίσκετε πάντα την εξίσωση μιας ευθείας αν δίνονται οι συντεταγμένες των δύο σημείων της.

3. Να θυμάστε ότι οι κλίσεις των παράλληλων ευθειών είναι ίσες.

4. Όπως καταλαβαίνετε, σε ορισμένα προβλήματα είναι βολικό να χρησιμοποιήσετε το τεστ ομοιότητας τριγώνου. Τα προβλήματα λύνονται πρακτικά προφορικά.

5. Προβλήματα στα οποία δίνονται δύο ευθείες και απαιτείται να βρεθεί η τετμημένη ή η τεταγμένη του σημείου τομής τους μπορούν να λυθούν γραφικά. Δηλαδή, χτίστε τα σε ένα επίπεδο συντεταγμένων (σε ένα φύλλο χαρτιού σε ένα τετράγωνο) και προσδιορίστε το σημείο τομής οπτικά. *Αλλά αυτή η μέθοδος δεν είναι πάντα εφαρμόσιμη.

6. Και τέλος. Εάν δίνεται μια ευθεία γραμμή και οι συντεταγμένες των σημείων τομής της με τους άξονες συντεταγμένων, τότε σε τέτοια προβλήματα είναι βολικό να βρεθεί ο γωνιακός συντελεστής βρίσκοντας την εφαπτομένη της γωνίας στο σχηματισμένο ορθογώνιο τρίγωνο. Πώς να «δείτε» αυτό το τρίγωνο με διαφορετικές θέσεις ευθειών στο επίπεδο φαίνεται σχηματικά παρακάτω:

>> Ευθεία γωνία από 0 έως 90 μοίρες<<

>> Ευθεία γωνία από 90 έως 180 μοίρες<<

Αυτό είναι όλο. Καλή σου τύχη!

Με εκτίμηση, Αλέξανδρε.

P.S: Θα σας ήμουν ευγνώμων αν μου πείτε για τον ιστότοπο στα κοινωνικά δίκτυα.