Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες, διατυπώσεις και παράγωγές τους. Ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη - όλα όσα πρέπει να γνωρίζετε για την Ενιαία Κρατική Εξέταση στα μαθηματικά (2020) Μπορεί η συνεφαπτομένη να είναι μεγαλύτερη από 1

Σπίτι

Η διατήρηση του απορρήτου σας είναι σημαντική για εμάς. Για το λόγο αυτό, έχουμε αναπτύξει μια Πολιτική Απορρήτου που περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο χρησιμοποιούμε και αποθηκεύουμε τις πληροφορίες σας. Διαβάστε τις πρακτικές απορρήτου μας και ενημερώστε μας εάν έχετε ερωτήσεις.

Συλλογή και χρήση προσωπικών πληροφοριών

Οι προσωπικές πληροφορίες αναφέρονται σε δεδομένα που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την αναγνώριση ή επικοινωνία με ένα συγκεκριμένο άτομο.

Ενδέχεται να σας ζητηθεί να δώσετε τα προσωπικά σας στοιχεία ανά πάσα στιγμή όταν επικοινωνήσετε μαζί μας.

Ακολουθούν ορισμένα παραδείγματα των τύπων προσωπικών πληροφοριών που ενδέχεται να συλλέγουμε και πώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτές τις πληροφορίες.

• Ποιες προσωπικές πληροφορίες συλλέγουμε: Όταν υποβάλλετε μια αίτηση στον ιστότοπο, ενδέχεται να συλλέξουμε διάφορες πληροφορίες, όπως το όνομά σας, τον αριθμό τηλεφώνου, τη διεύθυνσή σας e-mail

και τα λοιπά.

• Πώς χρησιμοποιούμε τα προσωπικά σας στοιχεία:
• Οι προσωπικές πληροφορίες που συλλέγουμε μας επιτρέπουν να επικοινωνήσουμε μαζί σας με μοναδικές προσφορές, προσφορές και άλλες εκδηλώσεις και επερχόμενες εκδηλώσεις.
• Από καιρό σε καιρό, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τα προσωπικά σας στοιχεία για να στείλουμε σημαντικές ειδοποιήσεις και επικοινωνίες. Ενδέχεται επίσης να χρησιμοποιήσουμε προσωπικές πληροφορίες για εσωτερικούς σκοπούς, όπως έλεγχος, ανάλυση δεδομένων καιδιάφορες μελέτες
• προκειμένου να βελτιώσουμε τις υπηρεσίες που παρέχουμε και να σας παρέχουμε συστάσεις σχετικά με τις υπηρεσίες μας.

Εάν συμμετέχετε σε κλήρωση, διαγωνισμό ή παρόμοια προσφορά, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τις πληροφορίες που παρέχετε για τη διαχείριση τέτοιων προγραμμάτων.

Αποκάλυψη πληροφοριών σε τρίτους

Δεν αποκαλύπτουμε τις πληροφορίες που λαμβάνουμε από εσάς σε τρίτους.

• Εξαιρέσεις: Εάν είναι απαραίτητο - σύμφωνα με το νόμο, τη δικαστική διαδικασία, τις νομικές διαδικασίες ή/και με βάση δημόσια αιτήματα ή αιτήματα απόστο έδαφος της Ρωσικής Ομοσπονδίας - αποκαλύψτε τα προσωπικά σας στοιχεία. Ενδέχεται επίσης να αποκαλύψουμε πληροφορίες σχετικά με εσάς εάν κρίνουμε ότι αυτή η αποκάλυψη είναι απαραίτητη ή κατάλληλη για λόγους ασφάλειας, επιβολής του νόμου ή άλλους σκοπούς δημόσιας σημασίας.
• Σε περίπτωση αναδιοργάνωσης, συγχώνευσης ή πώλησης, ενδέχεται να μεταφέρουμε τις προσωπικές πληροφορίες που συλλέγουμε στον κατάλληλο διάδοχο τρίτο.

Προστασία προσωπικών πληροφοριών

Λαμβάνουμε προφυλάξεις - συμπεριλαμβανομένων διοικητικών, τεχνικών και φυσικών - για την προστασία των προσωπικών σας δεδομένων από απώλεια, κλοπή και κακή χρήση, καθώς και από μη εξουσιοδοτημένη πρόσβαση, αποκάλυψη, τροποποίηση και καταστροφή.

Σεβασμός του απορρήτου σας σε εταιρικό επίπεδο

Για να διασφαλίσουμε ότι τα προσωπικά σας στοιχεία είναι ασφαλή, κοινοποιούμε τα πρότυπα απορρήτου και ασφάλειας στους υπαλλήλους μας και εφαρμόζουμε αυστηρά τις πρακτικές απορρήτου.

|BD|
- μήκος τόξου κύκλου με κέντρο στο σημείο Α.

α είναι η γωνία που εκφράζεται σε ακτίνια. Εφαπτομένη (ταν α
) είναι μια τριγωνομετρική συνάρτηση που εξαρτάται από τη γωνία α μεταξύ της υποτείνουσας και του σκέλους ενός ορθογωνίου τριγώνου, ίση με τον λόγο του μήκους του απέναντι σκέλους |BC| στο μήκος του διπλανού ποδιού |AB| .Συμεφαπτομένη (

ctg α

) είναι μια τριγωνομετρική συνάρτηση που εξαρτάται από τη γωνία α μεταξύ της υποτείνουσας και του σκέλους ενός ορθογωνίου τριγώνου, ίση με τον λόγο του μήκους του διπλανού σκέλους |AB| στο μήκος του απέναντι σκέλους |π.Χ.| .Εφαπτομένη γραμμή

Οπου
.
;
;
.

n

- ολόκληρο.

) είναι μια τριγωνομετρική συνάρτηση που εξαρτάται από τη γωνία α μεταξύ της υποτείνουσας και του σκέλους ενός ορθογωνίου τριγώνου, ίση με τον λόγο του μήκους του διπλανού σκέλους |AB| στο μήκος του απέναντι σκέλους |π.Χ.| .Εφαπτομένη γραμμή

Στη δυτική λογοτεχνία, η εφαπτομένη συμβολίζεται ως εξής:
.
Γράφημα της εφαπτομένης συνάρτησης, y = tan x
;
;
.

Συνεφαπτομένη

Στη δυτική βιβλιογραφία, η συνεφαπτομένη συμβολίζεται ως εξής:

Γίνονται επίσης δεκτές οι ακόλουθες σημειώσεις:

Γράφημα της συνεπαπτομένης, y = ctg x Ιδιότητες εφαπτομένης και συνεφαπτομένηςΠεριοδικότης Συναρτήσεις y = tg x

και y =

ctg x

είναι περιοδικές με περίοδο π.

Ισοτιμία στο μήκος του απέναντι σκέλους |π.Χ.| .Οι συναρτήσεις εφαπτομένης και συνεφαπτομένης είναι περιττές.

Ακρα

Μηδενικά, y =

; ;
; ;
;

Σημεία τομής με τον άξονα τεταγμένων, x =

Φόρμουλες

Εκφράσεις με χρήση ημιτονοειδούς και συνημίτονου

Τύποι για εφαπτομένη και συνεφαπτομένη από άθροισμα και διαφορά

Αυτός ο πίνακας παρουσιάζει τις τιμές των εφαπτομένων και των συνεφαπτομένων για ορισμένες τιμές του ορίσματος.

Εκφράσεις με χρήση μιγαδικών αριθμών

Εκφράσεις μέσω υπερβολικών συναρτήσεων

;
;

Παράγωγα

; .

.
Παράγωγος της νης τάξης ως προς τη μεταβλητή x της συνάρτησης:
.
Εξαγωγή τύπων για την εφαπτομένη > > > ; για συνεφαπτομένη > > >

Ολοκληρώματα

Επεκτάσεις σειράς

Για να λάβετε την επέκταση της εφαπτομένης σε δυνάμεις του x, πρέπει να λάβετε αρκετούς όρους της επέκτασης σε μια σειρά ισχύος για τις συναρτήσεις αμαρτία xΚαι cos xκαι διαιρέστε αυτά τα πολυώνυμα μεταξύ τους, .

Αυτό παράγει τους ακόλουθους τύπους.

Στο .
στο . Οπου Bn
;
;
- Αριθμοί Μπερνούλι. Καθορίζονται είτε από τη σχέση υποτροπής:
Που .

Ή σύμφωνα με τον τύπο του Laplace:

Αντίστροφες συναρτήσεις

Οι αντίστροφες συναρτήσεις της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης είναι τοξοεφαπτομένη και τοξοεφαπτομένη, αντίστοιχα.

Arctagent, arctg στο μήκος του απέναντι σκέλους |π.Χ.| .Εφαπτομένη γραμμή

, Πού

Arctagent, arctg στο μήκος του απέναντι σκέλους |π.Χ.| .Εφαπτομένη γραμμή

Arccotangent, arcctg
Χρησιμοποιημένη βιβλιογραφία:
ΣΕ. Bronstein, Κ.Α. Semendyaev, Εγχειρίδιο μαθηματικών για μηχανικούς και φοιτητές, "Lan", 2009.

Δείτε επίσης: Διάλεξη:

Ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη, συνεφαπτομένη αυθαίρετης γωνίας

Ημίτονο, συνημίτονο αυθαίρετης γωνίας Για να καταλάβεις τι είναιτριγωνομετρικές συναρτήσεις , ας στραφούμε σε κύκλο με μοναδιαία ακτίνα. Αυτός ο κύκλος έχει ένα κέντρο στην αρχή επάνωεπίπεδο συντεταγμένων . Για να προσδιορίσετεκαθορισμένες λειτουργίες θα χρησιμοποιήσουμε το διάνυσμα ακτίναςΉ , που ξεκινά από το κέντρο του κύκλου, και το σημείο R είναι ένα σημείο στον κύκλο. Αυτό το διάνυσμα ακτίνας σχηματίζει μια γωνία άλφα με τον άξονα OH . Αφού ο κύκλος έχει ακτίνα ίση με ένα, τότε.

Ή = R = 1 , που ξεκινά από το κέντρο του κύκλου, και το σημείοΑν από το σημείο είναι ένα σημείο στον κύκλο. Αυτό το διάνυσμα ακτίνας σχηματίζει μια γωνία άλφα με τον άξοναχαμηλώστε την κάθετο στον άξονα , τότε παίρνουμεορθογώνιο τρίγωνο

με υποτείνουσα ίση με ένα. Εάν το διάνυσμα ακτίνας κινείται δεξιόστροφα, τότε αυτή η κατεύθυνση ονομάζεταιαρνητικός , αν κινείται αριστερόστροφα -.

θετικός Ημίτονο της γωνίαςΉ , είναι η τεταγμένη του σημείου R

διάνυσμα σε έναν κύκλο. Δηλαδή, για να ληφθεί η τιμή του ημιτόνου μιας δεδομένης γωνίας άλφα, είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί η συντεταγμένη U

σε ένα αεροπλάνο. Πωςδεδομένη αξία

παραλήφθηκε; Εφόσον γνωρίζουμε ότι το ημίτονο μιας αυθαίρετης γωνίας σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο είναι ο λόγος της απέναντι πλευράς προς την υποτείνουσα, παίρνουμε ότι Και από τότε R=1 , Αυτό 0 .

sin(α) = y

Σε έναν κύκλο μονάδας, η τιμή τεταγμένης δεν μπορεί να είναι μικρότερη από -1 και μεγαλύτερη από 1, που σημαίνει Το Sinus δέχεταιθετική αξία

στο πρώτο και δεύτερο τέταρτο του κύκλου μονάδας, και στο τρίτο και τέταρτο - αρνητικό.δεδομένος κύκλος που σχηματίζεται από το διάνυσμα ακτίνας Ημίτονο της γωνίας, είναι η τετμημένη του σημείου , είναι η τεταγμένη του σημείου R

Δηλαδή, για να ληφθεί η τιμή συνημιτόνου μιας δεδομένης γωνίας άλφα, είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί η συντεταγμένη Χ U

Το συνημίτονο μιας αυθαίρετης γωνίας σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο είναι ο λόγος του διπλανού σκέλους προς την υποτείνουσα, παίρνουμε ότι

παραλήφθηκε; Εφόσον γνωρίζουμε ότι το ημίτονο μιας αυθαίρετης γωνίας σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο είναι ο λόγος της απέναντι πλευράς προς την υποτείνουσα, παίρνουμε ότι Και από τότε R=1 cos(α) = x 0 .

Στον μοναδιαίο κύκλο, η τιμή της τετμημένης δεν μπορεί να είναι μικρότερη από -1 και μεγαλύτερη από 1, που σημαίνει

Το συνημίτονο παίρνει θετική τιμή στο πρώτο και τέταρτο τέταρτο του μοναδιαίου κύκλου και αρνητική στο δεύτερο και τρίτο.

Εφαπτομένη γραμμήαυθαίρετη γωνίαΥπολογίζεται ο λόγος ημιτόνου προς συνημίτονο.

Αν θεωρήσουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, τότε αυτός είναι ο λόγος της απέναντι πλευράς προς τη διπλανή πλευρά. Αν μιλάμε γιαπερίπου τον κύκλο της μονάδας, τότε αυτός είναι ο λόγος της τεταγμένης προς την τετμημένη.

Κρίνοντας από αυτές τις σχέσεις, μπορεί να γίνει κατανοητό ότι η εφαπτομένη δεν μπορεί να υπάρξει εάν η τιμή της τετμημένης είναι μηδέν, δηλαδή σε γωνία 90 μοιρών. Η εφαπτομένη μπορεί να πάρει όλες τις άλλες τιμές.

Η εφαπτομένη είναι θετική στο πρώτο και τρίτο τέταρτο του μοναδιαίου κύκλου και αρνητική στο δεύτερο και τέταρτο.

Η αρχική πηγή βρίσκεται. Το Alpha σημαίνει πραγματικός αριθμός. Το πρόσημο ίσου στις παραπάνω εκφράσεις δείχνει ότι αν προσθέσετε έναν αριθμό ή άπειρο στο άπειρο, τίποτα δεν θα αλλάξει, το αποτέλεσμα θα είναι το ίδιο άπειρο. Αν πάρουμε ως παράδειγμα το άπειρο σύνολο φυσικούς αριθμούς, τότε τα εξεταζόμενα παραδείγματα μπορούν να παρουσιαστούν ως εξής:

Για να αποδείξουν ξεκάθαρα ότι είχαν δίκιο, οι μαθηματικοί βρήκαν πολλές διαφορετικές μεθόδους. Προσωπικά, βλέπω όλες αυτές τις μεθόδους ως σαμάνους που χορεύουν με ντέφια. Ουσιαστικά, όλα συνοψίζονται στο γεγονός ότι είτε κάποια από τα δωμάτια είναι ακατοίκητα και νέοι επισκέπτες μετακομίζουν μέσα, είτε ότι κάποιοι από τους επισκέπτες πετιούνται στο διάδρομο για να κάνουν χώρο για τους επισκέπτες (πολύ ανθρώπινα). Παρουσίασα την άποψή μου για τέτοιες αποφάσεις με τη μορφή μιας ιστορίας φαντασίας για την Ξανθιά. Σε τι βασίζεται το σκεπτικό μου; Η μετεγκατάσταση ενός άπειρου αριθμού επισκεπτών απαιτεί άπειρο χρόνο. Αφού αδειάσουμε το πρώτο δωμάτιο για έναν επισκέπτη, ένας από τους επισκέπτες θα περπατά πάντα κατά μήκος του διαδρόμου από το δωμάτιό του στο επόμενο μέχρι το τέλος του χρόνου. Φυσικά, ο παράγοντας χρόνος μπορεί να αγνοηθεί ανόητα, αλλά αυτό θα είναι στην κατηγορία του «κανένας νόμος δεν είναι γραμμένος για ανόητους». Όλα εξαρτώνται από το τι κάνουμε: προσαρμογή της πραγματικότητας στις μαθηματικές θεωρίες ή το αντίστροφο.

Τι είναι ένα «ατελείωτο ξενοδοχείο»; Ένα άπειρο ξενοδοχείο είναι ένα ξενοδοχείο που έχει πάντα οποιαδήποτε ποσότητα ελεύθερες θέσεις, ανεξάρτητα από το πόσα δωμάτια είναι κατειλημμένα. Αν όλα τα δωμάτια στον ατελείωτο διάδρομο «επισκέπτη» είναι κατειλημμένα, υπάρχει ένας άλλος ατελείωτος διάδρομος με δωμάτια «ξενώνες». Θα υπάρχει άπειρος αριθμός τέτοιων διαδρόμων. Επιπλέον, το «άπειρο ξενοδοχείο» έχει έναν άπειρο αριθμό ορόφων σε έναν άπειρο αριθμό κτιρίων σε έναν άπειρο αριθμό πλανητών σε έναν άπειρο αριθμό συμπάντων που δημιουργήθηκαν από έναν άπειρο αριθμό Θεών. Οι μαθηματικοί δεν μπορούν να αποστασιοποιηθούν από τα κοινά καθημερινά προβλήματα: υπάρχει πάντα μόνο ένας Θεός-Αλλάχ-Βούδας, υπάρχει μόνο ένα ξενοδοχείο, υπάρχει μόνο ένας διάδρομος. Έτσι, οι μαθηματικοί προσπαθούν να ταχυδακτυλουργήσουν τους σειριακούς αριθμούς των δωματίων του ξενοδοχείου, πείθοντάς μας ότι είναι δυνατό να «χτυπήσουμε το αδύνατο».

Θα σας δείξω τη λογική του συλλογισμού μου χρησιμοποιώντας το παράδειγμα ενός άπειρου συνόλου φυσικών αριθμών. Πρώτα πρέπει να απαντήσετε σε μια πολύ απλή ερώτηση: πόσα σύνολα φυσικών αριθμών υπάρχουν - ένα ή πολλά; Δεν υπάρχει σωστή απάντηση σε αυτή την ερώτηση, αφού οι αριθμοί δεν υπάρχουν στη Φύση. Ναι, η Φύση είναι εξαιρετική στο να μετράει, αλλά για αυτό χρησιμοποιεί άλλα μαθηματικά εργαλεία που δεν μας είναι οικεία. Θα σας πω τι σκέφτεται η Φύση μια άλλη φορά. Εφόσον εφεύραμε τους αριθμούς, εμείς οι ίδιοι θα αποφασίσουμε πόσα σύνολα φυσικών αριθμών υπάρχουν. Ας εξετάσουμε και τις δύο επιλογές, όπως αρμόζει σε πραγματικούς επιστήμονες.

Επιλογή μία. «Ας μας δοθεί» ένα ενιαίο σύνολο φυσικών αριθμών, που βρίσκεται γαλήνια στο ράφι. Παίρνουμε αυτό το σετ από το ράφι. Αυτό ήταν, δεν έχουν μείνει άλλοι φυσικοί αριθμοί στο ράφι και πουθενά να τους πάρεις. Δεν μπορούμε να προσθέσουμε ένα σε αυτό το σύνολο, αφού το έχουμε ήδη. Τι γίνεται αν το θέλεις πραγματικά; Κανένα πρόβλημα. Μπορούμε να πάρουμε ένα από το σετ που έχουμε ήδη πάρει και να το επιστρέψουμε στο ράφι. Μετά από αυτό, μπορούμε να πάρουμε ένα από το ράφι και να το προσθέσουμε σε ότι μας περισσεύει. Ως αποτέλεσμα, θα πάρουμε ξανά ένα άπειρο σύνολο φυσικών αριθμών. Μπορείτε να γράψετε όλους τους χειρισμούς μας ως εξής:

κατέγραψα τις ενέργειες στο αλγεβρικό σύστημασημειογραφία και στο σύστημα σημειογραφίας που υιοθετείται στη θεωρία συνόλων, με λεπτομερή λίστα των στοιχείων του συνόλου. Ο δείκτης υποδεικνύει ότι έχουμε ένα και μοναδικό σύνολο φυσικών αριθμών. Αποδεικνύεται ότι το σύνολο των φυσικών αριθμών θα παραμείνει αμετάβλητο μόνο εάν αφαιρεθεί ένας από αυτό και προστεθεί η ίδια μονάδα.

Επιλογή δύο. Έχουμε πολλά διαφορετικά άπειρα σύνολα φυσικών αριθμών στο ράφι μας. Τονίζω - ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΑ, παρά το γεγονός ότι πρακτικά δεν διακρίνονται. Ας πάρουμε ένα από αυτά τα σετ. Στη συνέχεια παίρνουμε έναν από ένα άλλο σύνολο φυσικών αριθμών και τον προσθέτουμε στο σύνολο που έχουμε ήδη πάρει. Μπορούμε ακόμη να προσθέσουμε δύο σύνολα φυσικών αριθμών. Αυτό είναι αυτό που παίρνουμε:

Οι δείκτες "ένα" και "δύο" υποδεικνύουν ότι αυτά τα στοιχεία ανήκαν σε διαφορετικά σύνολα. Ναι, αν προσθέσετε ένα σε ένα άπειρο σύνολο, το αποτέλεσμα θα είναι επίσης ένα άπειρο σύνολο, αλλά δεν θα είναι το ίδιο με το αρχικό σύνολο. Εάν προσθέσετε ένα άλλο άπειρο σύνολο σε ένα άπειρο σύνολο, το αποτέλεσμα είναι ένα νέο άπειρο σύνολο που αποτελείται από τα στοιχεία των δύο πρώτων συνόλων.

Το σύνολο των φυσικών αριθμών χρησιμοποιείται για μέτρηση με τον ίδιο τρόπο που χρησιμοποιείται ένας χάρακας για τη μέτρηση. Τώρα φανταστείτε ότι προσθέσατε ένα εκατοστό στον χάρακα. Αυτή θα είναι μια διαφορετική γραμμή, όχι ίση με την αρχική.

Μπορείτε να δεχτείτε ή να μην αποδεχτείτε το σκεπτικό μου - είναι δική σας υπόθεση. Αλλά αν συναντήσετε ποτέ μαθηματικά προβλήματα, σκεφτείτε εάν ακολουθείτε το μονοπάτι της ψευδούς συλλογιστικής που πατήθηκε από γενιές μαθηματικών. Εξάλλου, η μελέτη των μαθηματικών, πρώτα απ 'όλα, σχηματίζει ένα σταθερό στερεότυπο σκέψης μέσα μας και μόνο τότε προσθέτει στις νοητικές μας ικανότητες (ή, αντίθετα, μας στερεί την ελεύθερη σκέψη).

pozg.ru

Κυριακή 4 Αυγούστου 2019

Τελειώνω ένα υστερόγραφο σε ένα άρθρο σχετικά και είδα αυτό το υπέροχο κείμενο στη Wikipedia:

Διαβάζουμε: «... πλούσιος θεωρητική βάσηΤα μαθηματικά της Βαβυλώνας δεν είχαν ολιστικό χαρακτήρα και περιορίστηκαν σε ένα σύνολο ανόμοιων τεχνικών, χωρίς κοινό σύστημακαι βάση αποδεικτικών στοιχείων».

Εκπληκτική επιτυχία! Πόσο έξυπνοι είμαστε και πόσο καλά μπορούμε να δούμε τις ελλείψεις των άλλων. Είναι δύσκολο για εμάς να δούμε τα σύγχρονα μαθηματικά στο ίδιο πλαίσιο; Παραφράζοντας ελαφρώς το παραπάνω κείμενο, προσωπικά πήρα τα εξής:

Η πλούσια θεωρητική βάση των σύγχρονων μαθηματικών δεν έχει ολιστικό χαρακτήρα και περιορίζεται σε ένα σύνολο ανόμοιων τμημάτων, χωρίς κοινό σύστημα και βάση στοιχείων.

Δεν θα πάω μακριά για να επιβεβαιώσω τα λόγια μου - έχει γλώσσα και σύμβολα, διαφορετική από τη γλώσσα και τις συμβάσεις πολλών άλλων κλάδων των μαθηματικών. Τα ίδια ονόματα σε διαφορετικούς κλάδους των μαθηματικών μπορεί να έχουν διαφορετική σημασία. Θέλω να αφιερώσω μια ολόκληρη σειρά δημοσιεύσεων στα πιο προφανή λάθη των σύγχρονων μαθηματικών. Τα λέμε σύντομα.

Σάββατο 3 Αυγούστου 2019

Πώς να χωρίσετε ένα σύνολο σε υποσύνολα; Για να γίνει αυτό, πρέπει να εισαγάγετε μια νέα μονάδα μέτρησης που υπάρχει σε ορισμένα από τα στοιχεία του επιλεγμένου συνόλου. Ας δούμε ένα παράδειγμα.

Μακάρι να έχουμε πολλά ΕΝΑπου αποτελείται από τέσσερα άτομα. Αυτό το σύνολο σχηματίζεται με βάση το "άνθρωποι". ΕΝΑ, ο δείκτης με έναν αριθμό θα υποδεικνύει τον σειριακό αριθμό κάθε ατόμου σε αυτό το σετ. Ας εισαγάγουμε μια νέα μονάδα μέτρησης «φύλο» και ας τη συμβολίσουμε με το γράμμα σι. Δεδομένου ότι τα σεξουαλικά χαρακτηριστικά είναι εγγενή σε όλους τους ανθρώπους, πολλαπλασιάζουμε κάθε στοιχείο του συνόλου ΕΝΑμε βάση το φύλο σι. Παρατηρήστε ότι το σύνολο των «ανθρώπων» μας έχει πλέον γίνει ένα σύνολο «ανθρώπων με χαρακτηριστικά φύλου». Μετά από αυτό μπορούμε να χωρίσουμε τα σεξουαλικά χαρακτηριστικά σε αρσενικά bmκαι γυναικεία bwσεξουαλικά χαρακτηριστικά. Τώρα μπορούμε να εφαρμόσουμε ένα μαθηματικό φίλτρο: επιλέγουμε ένα από αυτά τα σεξουαλικά χαρακτηριστικά, ανεξάρτητα από το - αρσενικό ή θηλυκό. Αν κάποιος το έχει, τότε το πολλαπλασιάζουμε με ένα, αν δεν υπάρχει τέτοιο σημάδι, το πολλαπλασιάζουμε με το μηδέν. Και μετά χρησιμοποιούμε κανονικά σχολικά μαθηματικά. Δείτε τι έγινε.

Μετά τον πολλαπλασιασμό, τη μείωση και την αναδιάταξη, καταλήξαμε σε δύο υποσύνολα: το υποσύνολο των ανδρών Bmκαι ένα υποσύνολο γυναικών Bw. Οι μαθηματικοί συλλογίζονται περίπου με τον ίδιο τρόπο όταν εφαρμόζουν τη θεωρία συνόλων στην πράξη. Αλλά δεν μας λένε τις λεπτομέρειες, αλλά μας δίνουν το τελικό αποτέλεσμα - «πολλοί άνθρωποι αποτελούνται από ένα υποσύνολο ανδρών και ένα υποσύνολο γυναικών». Φυσικά, μπορεί να έχετε μια ερώτηση: πόσο σωστά έχουν εφαρμοστεί τα μαθηματικά στους μετασχηματισμούς που περιγράφονται παραπάνω; Τολμώ να σας διαβεβαιώσω ότι, ουσιαστικά, οι μετασχηματισμοί έγιναν σωστά, αρκεί να γνωρίζετε τη μαθηματική βάση της αριθμητικής, της άλγεβρας Boole και άλλων κλάδων των μαθηματικών. Τι είναι αυτό; Κάποια άλλη φορά θα σας πω για αυτό.

Όσον αφορά τα υπερσύνολα, μπορείτε να συνδυάσετε δύο σετ σε ένα υπερσύνολο επιλέγοντας τη μονάδα μέτρησης που υπάρχει στα στοιχεία αυτών των δύο συνόλων.

Όπως μπορείτε να δείτε, οι μονάδες μέτρησης και τα συνηθισμένα μαθηματικά κάνουν τη θεωρία συνόλων λείψανο του παρελθόντος. Ένα σημάδι ότι δεν πάνε όλα καλά με τη θεωρία συνόλων είναι ότι οι μαθηματικοί έχουν βρει τη δική τους γλώσσα και σημειογραφία για τη θεωρία συνόλων. Οι μαθηματικοί ενήργησαν όπως κάποτε οι σαμάνοι. Μόνο οι σαμάνοι ξέρουν πώς να εφαρμόζουν «σωστά» τη «γνώση» τους. Μας διδάσκουν αυτή τη «γνώση».

Εν κατακλείδι, θέλω να σας δείξω πώς χειραγωγούν οι μαθηματικοί.

Δευτέρα 7 Ιανουαρίου 2019

Τον πέμπτο αιώνα π.Χ., ο αρχαίος Έλληνας φιλόσοφος Ζήνων από την Ελαία διατύπωσε τις περίφημες απορίας του, η πιο γνωστή από τις οποίες είναι η απορία «Αχιλλέας και η Χελώνα». Να πώς ακούγεται:

Ας πούμε ότι ο Αχιλλέας τρέχει δέκα φορές πιο γρήγορα από τη χελώνα και είναι χίλια βήματα πίσω της. Κατά τη διάρκεια του χρόνου που χρειάζεται ο Αχιλλέας για να τρέξει αυτή την απόσταση, η χελώνα θα σέρνεται εκατό βήματα προς την ίδια κατεύθυνση. Όταν ο Αχιλλέας τρέχει εκατό βήματα, η χελώνα σέρνεται άλλα δέκα βήματα, και ούτω καθεξής. Η διαδικασία θα συνεχιστεί επ’ άπειρον, ο Αχιλλέας δεν θα προλάβει ποτέ τη χελώνα.

Αυτό το σκεπτικό έγινε ένα λογικό σοκ για όλες τις επόμενες γενιές. Ο Αριστοτέλης, ο Διογένης, ο Καντ, ο Χέγκελ, ο Χίλμπερτ... Όλοι τους θεωρούσαν την απορία του Ζήνωνα με τον ένα ή τον άλλο τρόπο. Το σοκ ήταν τόσο δυνατό που " ... οι συζητήσεις συνεχίζονται μέχρι σήμερα η επιστημονική κοινότητα δεν έχει καταφέρει ακόμη να καταλήξει σε κοινή γνώμη για την ουσία των παραδόξων ... μαθηματική ανάλυση, θεωρία συνόλων, νέες φυσικές και φιλοσοφικές προσεγγίσεις συμμετείχαν στη μελέτη του ζητήματος. ; κανένα από αυτά δεν έγινε μια γενικά αποδεκτή λύση στο πρόβλημα..."[Wikipedia, "Zeno's Aporia". Όλοι καταλαβαίνουν ότι τους κοροϊδεύουν, αλλά κανείς δεν καταλαβαίνει σε τι συνίσταται η εξαπάτηση.

Από μαθηματική άποψη, ο Ζήνων στην απορία του έδειξε ξεκάθαρα τη μετάβαση από την ποσότητα στο . Αυτή η μετάβαση συνεπάγεται εφαρμογή αντί για μόνιμες. Από όσο καταλαβαίνω, η μαθηματική συσκευή για τη χρήση μεταβλητών μονάδων μέτρησης είτε δεν έχει ακόμη αναπτυχθεί, είτε δεν έχει εφαρμοστεί στην απορία του Ζήνωνα. Η εφαρμογή της συνηθισμένης λογικής μας οδηγεί σε μια παγίδα. Εμείς, λόγω της αδράνειας της σκέψης, εφαρμόζουμε σταθερές μονάδες χρόνου στην αμοιβαία τιμή. Από φυσική άποψη, αυτό μοιάζει να επιβραδύνεται ο χρόνος μέχρι να σταματήσει τελείως τη στιγμή που ο Αχιλλέας προλαβαίνει τη χελώνα. Αν ο χρόνος σταματήσει, ο Αχιλλέας δεν μπορεί πλέον να ξεπεράσει τη χελώνα.

Αν γυρίσουμε τη συνηθισμένη μας λογική, όλα μπαίνουν στη θέση τους. Ο Αχιλλέας τρέχει με σταθερή ταχύτητα. Κάθε επόμενο τμήμα της διαδρομής του είναι δέκα φορές μικρότερο από το προηγούμενο. Αντίστοιχα, ο χρόνος που δαπανάται για την αντιμετώπισή του είναι δέκα φορές μικρότερος από τον προηγούμενο. Εάν εφαρμόσουμε την έννοια του «άπειρου» σε αυτήν την κατάσταση, τότε θα ήταν σωστό να πούμε «Ο Αχιλλέας θα προλάβει τη χελώνα απείρως γρήγορα».

Πώς να αποφύγετε αυτή τη λογική παγίδα; Παραμείνετε σε σταθερές μονάδες χρόνου και μην μεταβείτε σε αντίστροφες μονάδες. Στη γλώσσα του Ζήνωνα μοιάζει με αυτό:

Στον χρόνο που χρειάζεται ο Αχιλλέας για να τρέξει χίλια βήματα, η χελώνα θα σέρνεται εκατό βήματα προς την ίδια κατεύθυνση. Για το επόμενο χρονικό διάστημα, ίσο με το πρώτο, ο Αχιλλέας θα τρέξει άλλα χίλια βήματα και η χελώνα θα σέρνεται εκατό βήματα. Τώρα ο Αχιλλέας είναι οκτακόσια βήματα μπροστά από τη χελώνα.

Αυτή η προσέγγιση περιγράφει επαρκώς την πραγματικότητα χωρίς λογικά παράδοξα. Αλλά δεν είναι ολοκληρωμένη λύσηπροβλήματα. Η δήλωση του Αϊνστάιν για το ακαταμάχητο της ταχύτητας του φωτός μοιάζει πολύ με την απορία του Ζήνωνα «Ο Αχιλλέας και η Χελώνα». Πρέπει ακόμα να μελετήσουμε, να ξανασκεφτούμε και να λύσουμε αυτό το πρόβλημα. Και η λύση δεν πρέπει να αναζητείται ατελείωτα μεγάλους αριθμούς, αλλά σε μονάδες μέτρησης.

Μια άλλη ενδιαφέρουσα απορία του Ζήνωνα λέει για ένα ιπτάμενο βέλος:

Ένα ιπτάμενο βέλος είναι ακίνητο, αφού σε κάθε στιγμή του χρόνου είναι σε ηρεμία, και αφού είναι σε ηρεμία σε κάθε στιγμή του χρόνου, είναι πάντα σε ηρεμία.

Σε αυτή την απορία λογικό παράδοξομπορεί να ξεπεραστεί πολύ απλά - αρκεί να διευκρινιστεί ότι σε κάθε χρονική στιγμή ένα ιπτάμενο βέλος βρίσκεται σε ηρεμία σε διαφορετικά σημεία του χώρου, το οποίο, στην πραγματικότητα, είναι κίνηση. Εδώ πρέπει να σημειωθεί ένα άλλο σημείο. Από μια φωτογραφία ενός αυτοκινήτου στο δρόμο είναι αδύνατο να προσδιοριστεί ούτε το γεγονός της κίνησής του ούτε η απόσταση από αυτό. Για να προσδιορίσετε αν ένα αυτοκίνητο κινείται, χρειάζεστε δύο φωτογραφίες που τραβήχτηκαν από το ίδιο σημείο σε διαφορετικά χρονικά σημεία, αλλά δεν μπορείτε να προσδιορίσετε την απόσταση από αυτές. Για να προσδιορίσετε την απόσταση από ένα αυτοκίνητο, χρειάζεστε δύο φωτογραφίες που τραβήχτηκαν από διαφορετικά σημεία του χώρου σε ένα σημείο του χρόνου, αλλά από αυτές δεν μπορείτε να προσδιορίσετε το γεγονός της κίνησης (φυσικά, χρειάζεστε επιπλέον δεδομένα για υπολογισμούς, η τριγωνομετρία θα σας βοηθήσει ). Αυτό που θέλω να επισημάνω ιδιαίτερη προσοχή, είναι ότι δύο σημεία στο χρόνο και δύο σημεία στο χώρο είναι διαφορετικά πράγματα που δεν πρέπει να συγχέονται, γιατί παρέχουν διαφορετικές ευκαιρίες για έρευνα.

Τετάρτη 4 Ιουλίου 2018

Σας έχω ήδη πει ότι με τη βοήθεια του οποίου οι σαμάνοι προσπαθούν να ταξινομήσουν την "" πραγματικότητα. Πώς το κάνουν αυτό; Πώς συμβαίνει στην πραγματικότητα ο σχηματισμός ενός συνόλου;

Ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά στον ορισμό ενός συνόλου: «μια συλλογή διαφορετικών στοιχείων, που θεωρούνται ως ένα ενιαίο σύνολο». Τώρα αισθανθείτε τη διαφορά μεταξύ δύο φράσεων: "νοητό ως σύνολο" και "νοητό ως σύνολο". Η πρώτη φράση είναι το τελικό αποτέλεσμα, το σύνολο. Η δεύτερη φράση είναι μια προκαταρκτική προετοιμασία για το σχηματισμό ενός πλήθους. Σε αυτό το στάδιο, η πραγματικότητα χωρίζεται σε επιμέρους στοιχεία (το «σύνολο»), από τα οποία στη συνέχεια θα σχηματιστεί ένα πλήθος (το «ενιαίο σύνολο»). Ταυτόχρονα, ο παράγοντας που καθιστά δυνατό τον συνδυασμό του «όλου» σε ένα «ενιαίο σύνολο» παρακολουθείται προσεκτικά, διαφορετικά οι σαμάνοι δεν θα πετύχουν. Άλλωστε οι σαμάνοι ξέρουν εκ των προτέρων τι είδους σετ θέλουν να μας επιδείξουν.

Θα σας δείξω τη διαδικασία με ένα παράδειγμα. Επιλέγουμε το "κόκκινο στερεό σε ένα σπυράκι" - αυτό είναι το "σύνολο". Ταυτόχρονα, βλέπουμε ότι αυτά τα πράγματα είναι με τόξο, και υπάρχουν χωρίς τόξο. Μετά από αυτό, επιλέγουμε μέρος του "όλου" και σχηματίζουμε ένα σύνολο "με φιόγκο". Έτσι παίρνουν την τροφή τους οι σαμάνοι συνδέοντας τη θεωρία των συνόλων τους με την πραγματικότητα.

Τώρα ας κάνουμε ένα μικρό κόλπο. Ας πάρουμε το «συμπαγές με σπυράκι και φιόγκο» και συνδυάζουμε αυτά τα «ολόκληρα» ανάλογα με το χρώμα, επιλέγοντας τα κόκκινα στοιχεία. Πήραμε πολύ «κόκκινο». Τώρα το τελευταίο ερώτημα: τα σετ που προκύπτουν "με φιόγκο" και "κόκκινο" είναι το ίδιο σετ ή δύο διαφορετικά σετ; Μόνο οι σαμάνοι γνωρίζουν την απάντηση. Πιο συγκεκριμένα, οι ίδιοι δεν ξέρουν τίποτα, αλλά όπως λένε, έτσι θα είναι.

Αυτό το απλό παράδειγμα δείχνει ότι η θεωρία συνόλων είναι εντελώς άχρηστη όταν πρόκειται για την πραγματικότητα. Ποιο είναι το μυστικό; Σχηματίσαμε ένα σετ από "κόκκινο συμπαγές με σπυράκι και φιόγκο". Ο σχηματισμός έγινε σύμφωνα με τέσσερις διαφορετικές μονάδες μέτρησης: χρώμα (κόκκινο), αντοχή (συμπαγές), τραχύτητα (σπυράκι), διακόσμηση (με φιόγκο). Μόνο ένα σύνολο μονάδων μέτρησης μας επιτρέπει να περιγράψουμε επαρκώς πραγματικά αντικείμενα στη γλώσσα των μαθηματικών. Έτσι φαίνεται.

Το γράμμα "a" με διαφορετικούς δείκτες υποδηλώνει διαφορετικές μονάδες μέτρησης. Οι μονάδες μέτρησης με τις οποίες διακρίνεται το «σύνολο» στο προκαταρκτικό στάδιο επισημαίνονται σε αγκύλες. Η μονάδα μέτρησης με την οποία σχηματίζεται το σετ βγαίνει από αγκύλες. Η τελευταία γραμμή δείχνει το τελικό αποτέλεσμα - ένα στοιχείο του σετ. Όπως μπορείτε να δείτε, αν χρησιμοποιήσουμε μονάδες μέτρησης για να σχηματίσουμε ένα σύνολο, τότε το αποτέλεσμα δεν εξαρτάται από τη σειρά των ενεργειών μας. Και αυτό είναι μαθηματικά, και όχι ο χορός των σαμάνων με τα ντέφια. Οι σαμάνοι μπορούν «διαισθητικά» να καταλήξουν στο ίδιο αποτέλεσμα, υποστηρίζοντας ότι είναι «προφανές», επειδή οι μονάδες μέτρησης δεν αποτελούν μέρος του «επιστημονικού» τους οπλοστασίου.

Χρησιμοποιώντας μονάδες μέτρησης είναι πολύ εύκολο να σπάσετε μία
Σήμερα, όλα όσα δεν παίρνουμε ανήκουν σε κάποιο σύνολο (όπως μας διαβεβαιώνουν οι μαθηματικοί). Παρεμπιπτόντως, είδες στον καθρέφτη στο μέτωπό σου μια λίστα με εκείνα τα σύνολα στα οποία ανήκεις; Και δεν έχω δει τέτοια λίστα. Θα πω περισσότερα - κανένα πράγμα στην πραγματικότητα δεν έχει μια ετικέτα με μια λίστα με τα σύνολα στα οποία ανήκει αυτό το πράγμα. Τα σετ είναι όλα εφευρέσεις των σαμάνων. Πώς το κάνουν; Ας δούμε λίγο βαθύτερα την ιστορία και ας δούμε πώς έμοιαζαν τα στοιχεία του σετ προτού τα πάρουν στα σετ τους οι μαθηματικοί σαμάνοι.

Πριν από πολύ καιρό, όταν κανείς δεν είχε ακούσει ποτέ για τα μαθηματικά, και μόνο τα δέντρα και ο Κρόνος είχαν δαχτυλίδια, τεράστια κοπάδια από άγρια ​​στοιχεία συνόλων περιπλανιόταν στα φυσικά πεδία (εξάλλου, οι σαμάνοι δεν είχαν εφεύρει ακόμη μαθηματικά πεδία). Κάπως έτσι έμοιαζαν.

Ναι, μην εκπλαγείτε, από την άποψη των μαθηματικών, όλα τα στοιχεία των συνόλων μοιάζουν περισσότερο με αχινούς- από ένα σημείο, όπως οι βελόνες, οι μονάδες μέτρησης προεξέχουν προς όλες τις κατευθύνσεις. Για όσους, σας υπενθυμίζω ότι οποιαδήποτε μονάδα μέτρησης μπορεί να αναπαρασταθεί γεωμετρικά ως τμήμα αυθαίρετου μήκους και ένας αριθμός ως σημείο. Γεωμετρικά, οποιαδήποτε ποσότητα μπορεί να αναπαρασταθεί ως μια δέσμη τμημάτων που προεξέχουν σε διαφορετικές κατευθύνσεις από ένα σημείο. Αυτό το σημείο είναι το σημείο μηδέν. Δεν θα σχεδιάσω αυτό το κομμάτι γεωμετρικής τέχνης (χωρίς έμπνευση), αλλά μπορείτε εύκολα να το φανταστείτε.

Ποιες μονάδες μέτρησης αποτελούν στοιχείο ενός συνόλου; Όλα τα είδη των πραγμάτων που περιγράφουν ένα δεδομένο στοιχείο από διαφορετικές οπτικές γωνίες. Αυτές είναι αρχαίες μονάδες μέτρησης που χρησιμοποιούσαν οι πρόγονοί μας και τις οποίες όλοι έχουν ξεχάσει εδώ και καιρό. Αυτές είναι οι σύγχρονες μονάδες μέτρησης που χρησιμοποιούμε τώρα. Αυτές είναι επίσης άγνωστες σε εμάς μονάδες μέτρησης, τις οποίες θα καταλήξουν οι απόγονοί μας και τις οποίες θα χρησιμοποιήσουν για να περιγράψουν την πραγματικότητα.

Τακτοποιήσαμε τη γεωμετρία - το προτεινόμενο μοντέλο των στοιχείων του συνόλου έχει μια σαφή γεωμετρική αναπαράσταση. Τι γίνεται με τη φυσική; Οι μονάδες μέτρησης είναι η άμεση σύνδεση μεταξύ των μαθηματικών και της φυσικής. Αν οι σαμάνοι δεν αναγνωρίζουν τις μονάδες μέτρησης ως πλήρες στοιχείο μαθηματικές θεωρίες- αυτά είναι τα προβλήματά τους. Προσωπικά δεν μπορώ να φανταστώ την πραγματική επιστήμη των μαθηματικών χωρίς μονάδες μέτρησης. Αυτός είναι ο λόγος που στην αρχή της ιστορίας για τη θεωρία συνόλων μίλησα ότι βρισκόταν στη Λίθινη Εποχή.

Αλλά ας προχωρήσουμε στο πιο ενδιαφέρον πράγμα - την άλγεβρα των στοιχείων των συνόλων. Αλγεβρικά, οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου είναι γινόμενο (το αποτέλεσμα πολλαπλασιασμού) διαφορετικών μεγεθών.

Σκόπιμα δεν χρησιμοποίησα τις συμβάσεις της θεωρίας συνόλων, αφού θεωρούμε ένα στοιχείο ενός συνόλου φυσικό περιβάλλοενδιαιτήματα πριν από την εμφάνιση της θεωρίας συνόλων. Κάθε ζεύγος γραμμάτων σε παρένθεση δηλώνει μια ξεχωριστή ποσότητα, που αποτελείται από έναν αριθμό που υποδεικνύεται με το γράμμα " στο μήκος του απέναντι σκέλους |π.Χ.| ."και η μονάδα μέτρησης που υποδεικνύεται με το γράμμα" ένα". Οι δείκτες δίπλα στα γράμματα δείχνουν ότι οι αριθμοί και οι μονάδες μέτρησης είναι διαφορετικοί. Ένα στοιχείο του συνόλου μπορεί να αποτελείται από άπειρο αριθμό ποσοτήτων (όσο εμείς και οι απόγονοί μας έχουμε αρκετή φαντασία). Κάθε παρένθεση απεικονίζεται γεωμετρικά ως ξεχωριστό τμήμα Στο παράδειγμα με τον αχινό το ένα στήριγμα είναι μια βελόνα.

Πώς οι σαμάνοι σχηματίζουν σύνολα από διαφορετικά στοιχεία; Μάλιστα, με μονάδες μέτρησης ή με αριθμούς. Μη καταλαβαίνοντας τίποτα για τα μαθηματικά, παίρνουν διαφορετικούς αχινούς και τους εξετάζουν προσεκτικά αναζητώντας αυτή τη μοναδική βελόνα, κατά μήκος της οποίας σχηματίζουν ένα σύνολο. Εάν υπάρχει μια τέτοια βελόνα, τότε αυτό το στοιχείο ανήκει στο σετ εάν δεν υπάρχει τέτοια βελόνα, τότε αυτό το στοιχείο δεν είναι από αυτό το σετ. Οι σαμάνοι μας λένε μύθους για διαδικασίες σκέψηςκαι ως σύνολο.

Όπως ίσως έχετε μαντέψει, το ίδιο στοιχείο μπορεί να ανήκει σε πολύ διαφορετικά σύνολα. Στη συνέχεια θα σας δείξω πώς σχηματίζονται σύνολα, υποσύνολα και άλλες σαμανικές ανοησίες.