Όταν μια τετραγωνική εξίσωση έχει δύο αρνητικές ρίζες. Γράφημα και εξίσωση παραβολής. Μέθοδοι επίλυσης πλήρων τετραγωνικών εξισώσεων

Σπίτι

Τετραγωνικές εξισώσεις. Διακριτικός. Λύση, παραδείγματα.
Προσοχή!
Υπάρχουν επιπλέον
υλικά στο Ειδικό Τμήμα 555.
Για όσους είναι πολύ "όχι πολύ..."

Και για όσους «πολύ…»)

Τύποι τετραγωνικών εξισώσεων Τι είναι μια τετραγωνική εξίσωση; Πώς μοιάζει; Σε θητείατετραγωνική εξίσωση η λέξη κλειδί είναι"πλατεία". Αυτό σημαίνει ότι στην εξίσωσηΑναγκαίως πρέπει να υπάρχει ένα x τετράγωνο. Επιπλέον, η εξίσωση μπορεί (ή μπορεί και όχι!) να περιέχει μόνο Χ (στην πρώτη δύναμη) και μόνο έναν αριθμό(ελεύθερο μέλος).

Και δεν πρέπει να υπάρχουν Χ σε ισχύ μεγαλύτερη από δύο.

Σε μαθηματικούς όρους, μια τετραγωνική εξίσωση είναι μια εξίσωση της μορφής: Εδώα, β και γ - κάποιοι αριθμοί.β και γ - απολύτως οποιαδήποτε, αλλάΕΝΑ

Σε μαθηματικούς όρους, μια τετραγωνική εξίσωση είναι μια εξίσωση της μορφής: - απολύτως οποιαδήποτε, αλλά =1; – οτιδήποτε άλλο εκτός από το μηδέν. Για παράδειγμα: = 3; σι = -4

Σε μαθηματικούς όρους, μια τετραγωνική εξίσωση είναι μια εξίσωση της μορφής: - απολύτως οποιαδήποτε, αλλά =2; – οτιδήποτε άλλο εκτός από το μηδέν. Για παράδειγμα: = -0,5; σι = 2,2

Σε μαθηματικούς όρους, μια τετραγωνική εξίσωση είναι μια εξίσωση της μορφής: - απολύτως οποιαδήποτε, αλλά =-3; – οτιδήποτε άλλο εκτός από το μηδέν. Για παράδειγμα: = 6; σι = -18

ντο

Λοιπόν, καταλαβαίνεις... Σε αυτές τις τετραγωνικές εξισώσεις στα αριστερά υπάρχειπλήρες σετ μέλη. X σε τετράγωνο με συντελεστήΕΝΑ, – οτιδήποτε άλλο εκτός από το μηδέν. Για παράδειγμα: x στην πρώτη δύναμη με συντελεστή Και

ελεύθερο μέλος s. Τέτοιες τετραγωνικές εξισώσεις ονομάζονται

γεμάτος. – οτιδήποτε άλλο εκτός από το μηδέν. Για παράδειγμα:Τι κι αν = 0, τι παίρνουμε; έχουμεΤο Χ θα χαθεί στην πρώτη δύναμη.

Αυτό συμβαίνει όταν πολλαπλασιάζεται με το μηδέν.) Αποδεικνύεται, για παράδειγμα:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0 – οτιδήποτε άλλο εκτός από το μηδέν. Για παράδειγμα: x στην πρώτη δύναμη με συντελεστή σιΚαι τα λοιπά. Και αν και οι δύο συντελεστές

είναι ίσα με μηδέν, τότε είναι ακόμα πιο απλό:

2x 2 =0,

-0,3x 2 =0 Τέτοιες εξισώσεις όπου κάτι λείπει ονομάζονταιημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις.

Κάτι που είναι αρκετά λογικό.) Σημειώστε ότι το x τετράγωνο υπάρχει σε όλες τις εξισώσεις. - απολύτως οποιαδήποτε, αλλάΜε την ευκαιρία, γιατί - απολύτως οποιαδήποτε, αλλάδεν μπορεί να είναι ίσο με μηδέν; Και αντικαθιστάς

μηδέν.) Το τετράγωνο του Χ θα εξαφανιστεί! Η εξίσωση θα γίνει γραμμική. Και η λύση είναι τελείως διαφορετική...

Αυτοί είναι όλοι οι κύριοι τύποι τετραγωνικών εξισώσεων. Πλήρης και ελλιπής.

Επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων.

Επίλυση πλήρων τετραγωνικών εξισώσεων. Οι τετραγωνικές εξισώσεις είναι εύκολο να λυθούν. Σύμφωνα με τύπους και σαφείς, απλούς κανόνες. Στο πρώτο στάδιο πρέπειδεδομένη εξίσωση

οδηγούν σε μια τυπική μορφή, δηλ. στη φόρμα: - απολύτως οποιαδήποτε, αλλά, – οτιδήποτε άλλο εκτός από το μηδέν. Για παράδειγμα: x στην πρώτη δύναμη με συντελεστή σι.

Εάν η εξίσωση σας έχει ήδη δοθεί σε αυτήν τη μορφή, δεν χρειάζεται να κάνετε το πρώτο στάδιο.) Το κύριο πράγμα είναι να προσδιορίσετε σωστά όλους τους συντελεστές,

Ο τύπος για την εύρεση των ριζών μιας τετραγωνικής εξίσωσης μοιάζει με αυτό: Η έκφραση κάτω από το σύμβολο της ρίζας ονομάζεταιδιακριτική . Περισσότερα για αυτόν όμως παρακάτω. Όπως μπορείτε να δείτε, για να βρούμε το X, χρησιμοποιούμε. Εκείνοι. συντελεστές από μια τετραγωνική εξίσωση. Απλώς αντικαταστήστε προσεκτικά τις τιμές ΕδώΥπολογίζουμε σε αυτόν τον τύπο. Ας αντικαταστήσουμε με τα δικά σου σημάδια! Για παράδειγμα, στην εξίσωση:

- απολύτως οποιαδήποτε, αλλά =1; – οτιδήποτε άλλο εκτός από το μηδέν. Για παράδειγμα: = 3; σι= -4. Εδώ το γράφουμε:

Το παράδειγμα έχει σχεδόν λυθεί:

Αυτή είναι η απάντηση.

Είναι πολύ απλό. Και τι, πιστεύεις ότι είναι αδύνατο να κάνεις λάθος; Λοιπόν, ναι, πώς…

Τα πιο συνηθισμένα λάθη είναι η σύγχυση με τις τιμές πρόσημου Εδώ. Ή μάλλον, όχι με τα σημάδια τους (πού να μπερδευτείτε;), αλλά με την αντικατάσταση αρνητικών τιμών στον τύπο υπολογισμού των ριζών. Αυτό που βοηθά εδώ είναι μια λεπτομερής καταγραφή του τύπου με συγκεκριμένους αριθμούς. Εάν υπάρχουν προβλήματα με τους υπολογισμούς, κάνε αυτό!

Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να λύσουμε το ακόλουθο παράδειγμα:

Σε μαθηματικούς όρους, μια τετραγωνική εξίσωση είναι μια εξίσωση της μορφής: ένα = -6; – οτιδήποτε άλλο εκτός από το μηδέν. Για παράδειγμα: = -5; σι = -1

Ας πούμε ότι γνωρίζετε ότι σπάνια λαμβάνετε απαντήσεις την πρώτη φορά.

Λοιπόν, μην είσαι τεμπέλης. Θα χρειαστούν περίπου 30 δευτερόλεπτα για να γράψετε μια επιπλέον γραμμή και τον αριθμό των σφαλμάτων θα μειωθεί απότομα. Γράφουμε λοιπόν αναλυτικά, με όλες τις αγκύλες και τα σημάδια:

Φαίνεται απίστευτα δύσκολο να γράψεις τόσο προσεκτικά. Αλλά μόνο έτσι φαίνεται. Δίνω μιά προσπάθεια. Λοιπόν, ή επιλέξτε. Τι καλύτερο, γρήγορο ή σωστό;

Άλλωστε θα σε κάνω χαρούμενο. Μετά από λίγο, δεν θα χρειαστεί να γράψετε τα πάντα τόσο προσεκτικά. Θα λειτουργήσει σωστά από μόνο του. Ειδικά αν χρησιμοποιείτε πρακτικές τεχνικές που περιγράφονται παρακάτω. Αυτό το κακό παράδειγμα με ένα σωρό μειονεκτήματα μπορεί να λυθεί εύκολα και χωρίς λάθη!

Αλλά, συχνά, οι τετραγωνικές εξισώσεις φαίνονται ελαφρώς διαφορετικές. Για παράδειγμα, όπως αυτό: Το αναγνωρίσατε;) Ναι! Αυτό.

ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις

Επίλυση ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων. Εδώ.

Μπορούν επίσης να λυθούν χρησιμοποιώντας έναν γενικό τύπο. Απλά πρέπει να καταλάβετε σωστά τι ισούνται εδώ. Το έχεις καταλάβει; Στο πρώτο παράδειγμα a = 1; b = -4; σιΕΝΑ ? Δεν είναι καθόλου εκεί! Λοιπόν ναι, έτσι είναι. Στα μαθηματικά αυτό σημαίνει ότι c = 0 ! Αυτό είναι όλο. Αντικαταστήστε το μηδέν στον τύποντο, και θα τα καταφέρουμε. Το ίδιο με το δεύτερο παράδειγμα. Μόνο που δεν έχουμε μηδέν εδώΜε – οτιδήποτε άλλο εκτός από το μηδέν. Για παράδειγμα: !

, Α Αλλά οι ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις μπορούν να λυθούν πολύ πιο απλά. Χωρίς καμία φόρμουλα. Ας εξετάσουμε το πρώτοπλήρης εξίσωση

. Τι μπορείτε να κάνετε στην αριστερή πλευρά; Μπορείτε να βγάλετε το Χ από αγκύλες! Ας το βγάλουμε.
Τι από αυτό λοιπόν; Και το γεγονός ότι το γινόμενο ισούται με μηδέν αν και μόνο αν κάποιος από τους παράγοντες ισούται με μηδέν! Δεν με πιστεύεις; Εντάξει, τότε καταλήξτε σε δύο μη μηδενικούς αριθμούς που, όταν πολλαπλασιαστούν, θα δίνουν μηδέν!
Δεν λειτουργεί; Αυτό είναι... Επομένως, μπορούμε να γράψουμε με σιγουριά:, x 1 = 0.

Ολοι. Αυτές θα είναι οι ρίζες της εξίσωσής μας. Και τα δύο είναι κατάλληλα. Όταν αντικαθιστούμε οποιοδήποτε από αυτά στην αρχική εξίσωση, παίρνουμε τη σωστή ταυτότητα 0 = 0. Όπως μπορείτε να δείτε, η λύση είναι πολύ πιο απλή από τη χρήση του γενικού τύπου. Επιτρέψτε μου να σημειώσω, παρεμπιπτόντως, ποιο Χ θα είναι το πρώτο και ποιο το δεύτερο - απολύτως αδιάφορο. Είναι βολικό να γράφεις με τη σειρά, x 1- τι είναι μικρότερο και x 2- αυτό που είναι μεγαλύτερο.

Η δεύτερη εξίσωση μπορεί επίσης να λυθεί απλά. Μετακινήστε το 9 στη δεξιά πλευρά. Παίρνουμε:

Το μόνο που μένει είναι να εξαγάγετε τη ρίζα από το 9, και αυτό είναι. Θα αποδειχθεί:

Επίσης δύο ρίζες . x 1 = -3, x 2 = 3.

Έτσι λύνονται όλες οι ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις. Είτε τοποθετώντας το Χ εκτός αγκύλων, είτε απλώς μετακινώντας τον αριθμό προς τα δεξιά και στη συνέχεια εξάγοντας τη ρίζα.
Είναι εξαιρετικά δύσκολο να συγχέουμε αυτές τις τεχνικές. Απλά γιατί στην πρώτη περίπτωση θα πρέπει να εξαγάγετε τη ρίζα του Χ, η οποία είναι κάπως ακατανόητη, και στη δεύτερη περίπτωση δεν υπάρχει τίποτα να βγάλετε από αγκύλες...

Διακριτικός. Διακριτική φόρμουλα.

Μαγική λέξη Η έκφραση κάτω από το σύμβολο της ρίζας ονομάζεται ! Σπάνια μαθητής Λυκείου δεν έχει ακούσει αυτή τη λέξη! Η φράση «λύνουμε μέσω ενός διακριτικού» εμπνέει εμπιστοσύνη και σιγουριά. Γιατί δεν χρειάζεται να περιμένεις κόλπα από τον διακρίνοντα! Είναι απλό και χωρίς προβλήματα στη χρήση.) Σας υπενθυμίζω τον πιο γενικό τύπο επίλυσης κάθετετραγωνικές εξισώσεις:

Η έκφραση κάτω από το σύμβολο της ρίζας ονομάζεται διάκριση. Συνήθως η διάκριση υποδηλώνεται με το γράμμα ρε. Διακριτικός τύπος:

D = b 2 - 4ac

Και τι είναι τόσο αξιοσημείωτο σε αυτή την έκφραση; Γιατί το άξιζε ειδικό όνομα? Τι η έννοια του διακρινόμενου;Παρά όλα αυτά -σι,ή 2ασε αυτόν τον τύπο δεν το αποκαλούν συγκεκριμένα τίποτα... Γράμματα και γράμματα.

Εδώ είναι το θέμα. Κατά την επίλυση μιας τετραγωνικής εξίσωσης χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο, είναι δυνατό μόνο τρεις περιπτώσεις.

1. Η διάκριση είναι θετική.Αυτό σημαίνει ότι η ρίζα μπορεί να εξαχθεί από αυτό. Το αν η ρίζα εξάγεται καλά ή κακώς είναι ένα άλλο ερώτημα. Σημασία έχει τι εξάγεται καταρχήν. Τότε η δευτεροβάθμια εξίσωσή σας έχει δύο ρίζες. Δύο διαφορετικές λύσεις.

2. Η διάκριση είναι μηδέν.Τότε θα έχετε μία λύση. Αφού η πρόσθεση ή η αφαίρεση του μηδενός στον αριθμητή δεν αλλάζει τίποτα. Αυστηρά μιλώντας, αυτό δεν είναι μια ρίζα, αλλά δύο πανομοιότυπα. Αλλά, σε μια απλοποιημένη έκδοση, συνηθίζεται να μιλάμε μια λύση.

3. Η διάκριση είναι αρνητική.Η τετραγωνική ρίζα ενός αρνητικού αριθμού δεν μπορεί να ληφθεί. Ω, καλά. Αυτό σημαίνει ότι δεν υπάρχουν λύσεις.

Ειλικρινά μιλώντας, όταν απλή λύσητετραγωνικές εξισώσεις, η έννοια του διαχωριστή δεν απαιτείται ιδιαίτερα. Αντικαθιστούμε τις τιμές των συντελεστών στον τύπο και μετράμε. Όλα γίνονται εκεί από μόνα τους, δύο ρίζες, μία και καμία. Ωστόσο, κατά την επίλυση περισσότερων δύσκολα καθήκοντα, χωρίς γνώση νόημα και τύπος της διάκρισηςδεν μπορώ να τα βγάλω πέρα. Ειδικά σε εξισώσεις με παραμέτρους. Τέτοιες εξισώσεις είναι ακροβατικές για την Κρατική Εξέταση και την Ενιαία Κρατική Εξέταση!)

Ετσι, πώς να λύσετε τετραγωνικές εξισώσειςμέσα από τη διάκριση που θυμήθηκες. Ή έμαθες, που επίσης δεν είναι κακό.) Ξέρεις πώς να προσδιορίζεις σωστά Εδώ. Ξέρετε πώς; προσεχτικάαντικαταστήστε τα στον τύπο της ρίζας και προσεχτικάμετρήστε το αποτέλεσμα. Το κατάλαβες αυτό λέξη-κλειδίΕδώ - προσεχτικά;

Τώρα σημειώστε τις πρακτικές τεχνικές που μειώνουν δραματικά τον αριθμό των σφαλμάτων. Τα ίδια που οφείλονται στην απροσεξία... Για τα οποία αργότερα γίνεται επώδυνο και προσβλητικό...

Πρώτο ραντεβού . Μην είστε τεμπέλης πριν λύσετε μια εξίσωση του δευτεροβάθμιου βαθμού και φέρτε την σε τυπική μορφή. Τι σημαίνει αυτό;
Ας πούμε ότι μετά από όλους τους μετασχηματισμούς παίρνετε την ακόλουθη εξίσωση:

Μην βιαστείτε να γράψετε τον τύπο root! Σχεδόν σίγουρα θα μπερδέψετε τις πιθανότητες α, β και γ.Κατασκευάστε σωστά το παράδειγμα. Πρώτα, X τετράγωνο, μετά χωρίς τετράγωνο, μετά ο ελεύθερος όρος. Τοιουτοτροπώς:

Και πάλι, μην βιάζεστε! Ένα μείον μπροστά από ένα Χ στο τετράγωνο μπορεί πραγματικά να σας αναστατώσει. Ξεχνιέται εύκολα... Ξεφορτωθείτε το μείον. Πως; Ναι, όπως διδάχτηκε στο προηγούμενο θέμα! Πρέπει να πολλαπλασιάσουμε ολόκληρη την εξίσωση με -1. Παίρνουμε:

Αλλά τώρα μπορείτε να γράψετε με ασφάλεια τον τύπο για τις ρίζες, να υπολογίσετε τη διάκριση και να ολοκληρώσετε την επίλυση του παραδείγματος. Αποφασίστε μόνοι σας.

Θα πρέπει τώρα να έχετε τις ρίζες 2 και -1. Υποδοχή δεύτερη. Ελέγξτε τις ρίζες! Σύμφωνα με το θεώρημα του Vieta. Μη φοβάσαι, θα σου τα εξηγήσω όλα! Ελεγχοςτελευταίος εξίσωση. Εκείνοι. αυτόν που χρησιμοποιήσαμε για να σημειώσουμε τον τύπο της ρίζας. Αν (όπως σε αυτό το παράδειγμα) ο συντελεστήςα = 1 , ο έλεγχος των ριζών είναι εύκολος. Αρκεί να τα πολλαπλασιάσουμε. Το αποτέλεσμα θα πρέπει να είναι ένα ελεύθερο μέλος, δηλ. στην περίπτωσή μας -2. Παρακαλώ σημειώστε, όχι 2, αλλά -2! Δωρεάν μέλος με το ζώδιο σου

. Εάν δεν τα καταφέρετε, σημαίνει ότι έχετε ήδη μπλέξει κάπου. Ψάξτε για το σφάλμα. – οτιδήποτε άλλο εκτός από το μηδέν. Για παράδειγμα:Εάν λειτουργεί, πρέπει να προσθέσετε τις ρίζες. Τελευταίος και τελευταίος έλεγχος. Ο συντελεστής πρέπει να είναι Με απέναντι – οτιδήποτε άλλο εκτός από το μηδέν. Για παράδειγμα:οικείος. Στην περίπτωσή μας -1+2 = +1. Ένας συντελεστής
, που είναι πριν από το Χ, ισούται με -1. Λοιπόν, όλα είναι σωστά! Είναι κρίμα που αυτό είναι τόσο απλό μόνο για παραδείγματα όπου το x τετράγωνο είναι καθαρό, με συντελεστήα = 1.

Αλλά τουλάχιστον ελέγξτε σε τέτοιες εξισώσεις! Θα υπάρχουν όλο και λιγότερα λάθη. Τρίτη υποδοχή

. Εάν η εξίσωσή σας έχει κλασματικούς συντελεστές, απαλλαγείτε από τα κλάσματα! Πολλαπλασιάστε την εξίσωση με έναν κοινό παρονομαστή όπως περιγράφεται στο μάθημα "Πώς να λύσετε εξισώσεις; Μετασχηματισμοί ταυτότητας". Όταν εργάζεστε με κλάσματα, τα σφάλματα συνεχίζουν να εισχωρούν για κάποιο λόγο...

Για να μην μπερδευτούμε με τα πλην, πολλαπλασιάζουμε την εξίσωση με -1. Παίρνουμε:

Αυτό είναι όλο! Η επίλυση είναι απόλαυση!

Λοιπόν, ας συνοψίσουμε το θέμα.

Πρακτικές συμβουλές:

1. Πριν λύσουμε, φέρνουμε την τετραγωνική εξίσωση σε τυπική μορφή και την κατασκευάζουμε Δικαίωμα.

2. Αν υπάρχει τετράγωνο Χ μπροστά από αρνητικός συντελεστής, το εξαλείφουμε πολλαπλασιάζοντας ολόκληρη την εξίσωση με -1.

3. Αν οι συντελεστές είναι κλασματικοί, εξαλείφουμε τα κλάσματα πολλαπλασιάζοντας ολόκληρη την εξίσωση με τον αντίστοιχο παράγοντα.

4. Εάν το x τετράγωνο είναι καθαρό, ο συντελεστής του είναι ίσος με ένα, η λύση μπορεί εύκολα να επαληθευτεί χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta. Κάντο!

Τώρα μπορούμε να αποφασίσουμε.)

Λύστε εξισώσεις:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Απαντήσεις (σε αταξία):

Επομένως, μπορούμε να γράψουμε με σιγουριά:
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 = -0,5

x - οποιοσδήποτε αριθμός

x 1 = -3
x 2 = 3

χωρίς λύσεις

x 1 = 0,25
x 2 = 0,5

Ταιριάζουν όλα; Μεγάλος! Οι τετραγωνικές εξισώσεις δεν είναι το θέμα σου πονοκέφαλο. Τα τρία πρώτα λειτούργησαν, αλλά τα υπόλοιπα όχι; Τότε το πρόβλημα δεν είναι με τις δευτεροβάθμιες εξισώσεις. Το πρόβλημα είναι στους πανομοιότυπους μετασχηματισμούς των εξισώσεων. Ρίξτε μια ματιά στο σύνδεσμο, είναι χρήσιμο.

Δεν δουλεύει αρκετά; Ή δεν βγαίνει καθόλου; Στη συνέχεια, η Ενότητα 555 θα σας βοηθήσει. Όλα αυτά τα παραδείγματα αναλύονται εκεί. Εμφανίζεται κύριοςλάθη στη λύση. Φυσικά, μιλάμε και για τη χρήση πανομοιότυπων μετασχηματισμών στην επίλυση διαφόρων εξισώσεων. Βοηθάει πολύ!

Αν σας αρέσει αυτό το site...

Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)

Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Ας μάθουμε - με ενδιαφέρον!)

Μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.

Αυτό το θέμα μπορεί να φαίνεται περίπλοκο στην αρχή λόγω των πολλών όχι και τόσο απλών τύπων. Όχι μόνο οι ίδιες οι τετραγωνικές εξισώσεις έχουν μακριές σημειώσεις, αλλά οι ρίζες βρίσκονται επίσης μέσω της διάκρισης. Συνολικά, λαμβάνονται τρεις νέοι τύποι. Δεν είναι πολύ εύκολο να θυμάστε. Αυτό είναι δυνατό μόνο μετά την επίλυση τέτοιων εξισώσεων συχνά. Τότε όλοι οι τύποι θα θυμούνται από μόνες τους.

Γενική άποψη τετραγωνικής εξίσωσης

Εδώ προτείνουμε τη ρητή καταγραφή τους, όταν πρώτα γράφεται ο μεγαλύτερος βαθμός και μετά με φθίνουσα σειρά. Υπάρχουν συχνά περιπτώσεις όπου οι όροι είναι ασυνεπείς. Τότε είναι καλύτερο να ξαναγράψουμε την εξίσωση με φθίνουσα σειρά του βαθμού της μεταβλητής.

Ας εισάγουμε κάποια σημειογραφία. Παρουσιάζονται στον παρακάτω πίνακα.

Εάν δεχθούμε αυτούς τους συμβολισμούς, όλες οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις ανάγονται στον ακόλουθο συμβολισμό.

Επιπλέον, ο συντελεστής a ≠ 0. Ας οριστεί αυτός ο τύπος ως νούμερο ένα.

Όταν δίνεται μια εξίσωση, δεν είναι σαφές πόσες ρίζες θα υπάρχουν στην απάντηση. Επειδή μία από τις τρεις επιλογές είναι πάντα δυνατή:

• η λύση θα έχει δύο ρίζες.
• η απάντηση θα είναι ένας αριθμός.
• η εξίσωση δεν θα έχει καθόλου ρίζες.

Και μέχρι να οριστικοποιηθεί η απόφαση, είναι δύσκολο να καταλάβουμε ποια επιλογή θα εμφανιστεί σε μια συγκεκριμένη περίπτωση.

Είδη καταγραφών τετραγωνικών εξισώσεων

Μπορεί να υπάρχουν διαφορετικές καταχωρήσεις στις εργασίες. Δεν θα μοιάζουν πάντα με τον γενικό τύπο της τετραγωνικής εξίσωσης. Μερικές φορές θα λείπουν κάποιοι όροι. Αυτό που γράφτηκε παραπάνω είναι η πλήρης εξίσωση. Εάν αφαιρέσετε τον δεύτερο ή τον τρίτο όρο σε αυτό, θα λάβετε κάτι άλλο. Αυτές οι εγγραφές ονομάζονται επίσης τετραγωνικές εξισώσεις, μόνο ελλιπείς.

Επιπλέον, μόνο όροι με συντελεστές "b" και "c" μπορούν να εξαφανιστούν. Ο αριθμός "α" δεν μπορεί σε καμία περίπτωση να είναι ίσος με μηδέν. Γιατί σε αυτή την περίπτωση ο τύπος γίνεται γραμμική εξίσωση. Οι τύποι για την ημιτελή μορφή εξισώσεων θα είναι οι εξής:

Έτσι, υπάρχουν μόνο δύο τύποι, εκτός από τους πλήρεις, υπάρχουν και ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις. Αφήστε τον πρώτο τύπο να είναι ο αριθμός δύο και ο δεύτερος - τρία.

Διάκριση και εξάρτηση του αριθμού των ριζών από την αξία του

Πρέπει να γνωρίζετε αυτόν τον αριθμό για να υπολογίσετε τις ρίζες της εξίσωσης. Μπορεί πάντα να υπολογιστεί, ανεξάρτητα από τον τύπο της τετραγωνικής εξίσωσης. Για να υπολογίσετε τη διάκριση, πρέπει να χρησιμοποιήσετε την ισότητα που γράφεται παρακάτω, η οποία θα έχει τον αριθμό τέσσερα.

Αφού αντικαταστήσετε τις τιμές των συντελεστών σε αυτόν τον τύπο, μπορείτε να λάβετε αριθμούς με διαφορετικά σημάδια. Εάν η απάντηση είναι ναι, τότε η απάντηση στην εξίσωση θα είναι δύο διαφορετικές ρίζες. Εάν ο αριθμός είναι αρνητικός, δεν θα υπάρχουν ρίζες της τετραγωνικής εξίσωσης. Αν είναι ίσο με μηδέν, θα υπάρχει μόνο μία απάντηση.

Πώς να λύσετε μια πλήρη τετραγωνική εξίσωση;

Μάλιστα, η εξέταση αυτού του θέματος έχει ήδη ξεκινήσει. Γιατί πρώτα πρέπει να βρεις έναν διακριτικό. Αφού διαπιστωθεί ότι υπάρχουν ρίζες της τετραγωνικής εξίσωσης και είναι γνωστός ο αριθμός τους, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τύπους για τις μεταβλητές. Εάν υπάρχουν δύο ρίζες, τότε πρέπει να εφαρμόσετε τον ακόλουθο τύπο.

Δεδομένου ότι περιέχει ένα σύμβολο "±", θα υπάρχουν δύο έννοιες. Η έκφραση κάτω από το σύμβολο της τετραγωνικής ρίζας είναι η διάκριση. Επομένως, ο τύπος μπορεί να ξαναγραφτεί διαφορετικά.

Φόρμουλα νούμερο πέντε. Από την ίδια εγγραφή είναι ξεκάθαρο ότι αν η διάκριση είναι ίση με μηδέν, τότε και οι δύο ρίζες θα λάβουν τις ίδιες τιμές.

Εάν η επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων δεν έχει ακόμη επεξεργαστεί, τότε είναι καλύτερο να γράψετε τις τιμές όλων των συντελεστών πριν εφαρμόσετε τους τύπους διάκρισης και μεταβλητής. Αργότερα αυτή η στιγμή δεν θα προκαλέσει δυσκολίες. Αλλά στην αρχή υπάρχει σύγχυση.

Πώς να λύσετε μια ημιτελή τετραγωνική εξίσωση;

Όλα είναι πολύ πιο απλά εδώ. Δεν υπάρχει καν ανάγκη για πρόσθετους τύπους. Και αυτά που έχουν ήδη γραφτεί για τον διακρίνοντα και τον άγνωστο δεν θα χρειαστούν.

Αρχικά, ας δούμε την ημιτελή εξίσωση νούμερο δύο. Σε αυτή την ισότητα, είναι απαραίτητο να βγάλουμε την άγνωστη ποσότητα από αγκύλες και να λύσουμε τη γραμμική εξίσωση, η οποία θα παραμείνει σε αγκύλες. Η απάντηση θα έχει δύο ρίζες. Το πρώτο είναι απαραίτητα ίσο με μηδέν, γιατί υπάρχει ένας πολλαπλασιαστής που αποτελείται από την ίδια τη μεταβλητή. Το δεύτερο θα ληφθεί λύνοντας μια γραμμική εξίσωση.

Η ημιτελής εξίσωση αριθμός τρία λύνεται μετακινώντας τον αριθμό από την αριστερή πλευρά της ισότητας προς τα δεξιά. Στη συνέχεια, πρέπει να διαιρέσετε με τον συντελεστή που βλέπει το άγνωστο. Το μόνο που μένει είναι να εξαγάγετε την τετραγωνική ρίζα και να θυμάστε να τη γράψετε δύο φορές με αντίθετα σημάδια.

Παρακάτω είναι μερικές ενέργειες που θα σας βοηθήσουν να μάθετε πώς να λύνετε κάθε είδους ισότητες που μετατρέπονται σε εξισώσεις δευτεροβάθμιας. Θα βοηθήσουν τον μαθητή να αποφύγει λάθη που οφείλονται σε απροσεξία. Αυτές οι ελλείψεις μπορούν να προκαλέσουν χαμηλούς βαθμούς κατά τη μελέτη του εκτενούς θέματος «Τετραγωνικές Εξισώσεις (Βαθμός 8).» Στη συνέχεια, αυτές οι ενέργειες δεν θα χρειάζεται να εκτελούνται συνεχώς. Γιατί θα εμφανιστεί μια σταθερή δεξιότητα.

• Πρώτα πρέπει να γράψετε την εξίσωση σε τυπική μορφή. Δηλαδή, πρώτα ο όρος με τον μεγαλύτερο βαθμό της μεταβλητής και μετά - χωρίς βαθμό, και τελευταίος - μόνο ένας αριθμός.

• Εάν εμφανιστεί ένα μείον πριν από τον συντελεστή "a", μπορεί να περιπλέξει τη δουλειά για έναν αρχάριο που μελετά τις δευτεροβάθμιες εξισώσεις. Είναι καλύτερα να το ξεφορτωθείς. Για το σκοπό αυτό, όλη η ισότητα πρέπει να πολλαπλασιαστεί με "-1". Αυτό σημαίνει ότι όλοι οι όροι θα αλλάξουν πρόσημο στο αντίθετο.

• Συνιστάται να απαλλαγείτε από τα κλάσματα με τον ίδιο τρόπο. Απλώς πολλαπλασιάστε την εξίσωση με τον κατάλληλο παράγοντα έτσι ώστε οι παρονομαστές να ακυρωθούν.

Παραδείγματα

Απαιτείται η επίλυση των ακόλουθων τετραγωνικών εξισώσεων:

x 2 − 7x = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2).

Η πρώτη εξίσωση: x 2 − 7x = 0. Είναι ελλιπής, επομένως λύνεται όπως περιγράφεται για τον τύπο δύο.

Αφού το βγάλετε από αγκύλες, προκύπτει: x (x - 7) = 0.

Η πρώτη ρίζα παίρνει την τιμή: x 1 = 0. Η δεύτερη θα βρεθεί από τη γραμμική εξίσωση: x - 7 = 0. Είναι εύκολο να δούμε ότι x 2 = 7.

Δεύτερη εξίσωση: 5x 2 + 30 = 0. Και πάλι ελλιπής. Μόνο που λύνεται όπως περιγράφεται για τον τρίτο τύπο.

Αφού μετακινήσετε το 30 στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης: 5x 2 = 30. Τώρα πρέπει να διαιρέσετε με το 5. Αποδεικνύεται: x 2 = 6. Οι απαντήσεις θα είναι οι αριθμοί: x 1 = √6, x 2 = - √6.

Η τρίτη εξίσωση: 15 − 2х − x 2 = 0. Εδώ και περαιτέρω, η επίλυση των δευτεροβάθμιων εξισώσεων θα ξεκινήσει με την επανεγγραφή τους σε τυπική όψη: − x 2 − 2x + 15 = 0. Τώρα ήρθε η ώρα να χρησιμοποιήσετε το δεύτερο χρήσιμες συμβουλέςκαι πολλαπλασιάζουμε τα πάντα με μείον ένα. Αποδεικνύεται x 2 + 2x - 15 = 0. Χρησιμοποιώντας τον τέταρτο τύπο, πρέπει να υπολογίσετε τη διάκριση: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Είναι θετικός αριθμός. Από όσα ειπώθηκαν παραπάνω, προκύπτει ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες. Πρέπει να υπολογιστούν χρησιμοποιώντας τον πέμπτο τύπο. Αποδεικνύεται ότι x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Τότε x 1 = 3, x 2 = - 5.

Η τέταρτη εξίσωση x 2 + 8 + 3x = 0 μετατρέπεται σε αυτή: x 2 + 3x + 8 = 0. Η διάκρισή της είναι ίση με αυτήν την τιμή: -23. Δεδομένου ότι αυτός ο αριθμός είναι αρνητικός, η απάντηση σε αυτήν την εργασία θα είναι η ακόλουθη καταχώρηση: "Δεν υπάρχουν ρίζες".

Η πέμπτη εξίσωση 12x + x 2 + 36 = 0 θα πρέπει να ξαναγραφτεί ως εξής: x 2 + 12x + 36 = 0. Μετά την εφαρμογή του τύπου για τη διάκριση, προκύπτει ο αριθμός μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι θα έχει μία ρίζα, δηλαδή: x = -12/ (2 * 1) = -6.

Η έκτη εξίσωση (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) απαιτεί μετασχηματισμούς, οι οποίοι συνίστανται στο γεγονός ότι πρέπει να φέρετε παρόμοιους όρους, ανοίγοντας πρώτα τις αγκύλες. Στη θέση της πρώτης θα υπάρχει η ακόλουθη έκφραση: x 2 + 2x + 1. Μετά την ισότητα, θα εμφανιστεί αυτή η καταχώρηση: x 2 + 3x + 2. Αφού μετρηθούν παρόμοιοι όροι, η εξίσωση θα πάρει τη μορφή: x 2 - x = 0. Έχει γίνει ημιτελής . Κάτι παρόμοιο έχει ήδη συζητηθεί λίγο πιο πάνω. Οι ρίζες αυτού θα είναι οι αριθμοί 0 και 1.

Τα προβλήματα τετραγωνικών εξισώσεων μελετώνται επίσης σε σχολικό πρόγραμμα σπουδώνκαι στα πανεπιστήμια. Σημαίνουν εξισώσεις της μορφής a*x^2 + b*x + c = 0, όπου x-μεταβλητή, a, b, c – σταθερές. ένα<>0 . Το καθήκον είναι να βρούμε τις ρίζες της εξίσωσης.

Γεωμετρική έννοια τετραγωνικής εξίσωσης

Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης που παριστάνεται με μια τετραγωνική εξίσωση είναι παραβολή. Οι λύσεις (ρίζες) μιας τετραγωνικής εξίσωσης είναι τα σημεία τομής της παραβολής με τον άξονα της τετμημένης (x). Από αυτό προκύπτει ότι υπάρχουν τρεις πιθανές περιπτώσεις:
1) η παραβολή δεν έχει σημεία τομής με τον άξονα της τετμημένης. Αυτό σημαίνει ότι βρίσκεται στο πάνω επίπεδο με κλαδιά προς τα πάνω ή στο κάτω μέρος με κλαδιά προς τα κάτω. Σε τέτοιες περιπτώσεις, η τετραγωνική εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες (έχει δύο μιγαδικές ρίζες).

2) η παραβολή έχει ένα σημείο τομής με τον άξονα Ox. Ένα τέτοιο σημείο ονομάζεται κορυφή της παραβολής και η τετραγωνική εξίσωση σε αυτήν αποκτά την ελάχιστη ή τη μέγιστη τιμή της. Στην περίπτωση αυτή, η τετραγωνική εξίσωση έχει μία πραγματική ρίζα (ή δύο ίδιες ρίζες).

3) Η τελευταία περίπτωση είναι πιο ενδιαφέρουσα στην πράξη - υπάρχουν δύο σημεία τομής της παραβολής με τον άξονα της τετμημένης. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν δύο πραγματικές ρίζες της εξίσωσης.

Με βάση την ανάλυση των συντελεστών των δυνάμεων των μεταβλητών, μπορούν να εξαχθούν ενδιαφέροντα συμπεράσματα για την τοποθέτηση της παραβολής.

1) Αν ο συντελεστής α είναι μεγαλύτερος από μηδέν, τότε οι κλάδοι της παραβολής κατευθύνονται προς τα πάνω, αν είναι αρνητικός, οι κλάδοι της παραβολής κατευθύνονται προς τα κάτω.

2) Αν ο συντελεστής b είναι μεγαλύτερος από το μηδέν, τότε η κορυφή της παραβολής βρίσκεται στο αριστερό ημιεπίπεδο, αν παίρνει αρνητική τιμή, τότε στο δεξί.

Παραγωγή του τύπου επίλυσης δευτεροβάθμιας εξίσωσης

Ας μεταφέρουμε τη σταθερά από την τετραγωνική εξίσωση

για το πρόσημο ίσου, παίρνουμε την έκφραση

Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές με 4α

Για να πάρετε ένα πλήρες τετράγωνο στα αριστερά, προσθέστε b^2 και στις δύο πλευρές και πραγματοποιήστε τον μετασχηματισμό

Από εδώ βρίσκουμε

Τύπος για τη διάκριση και τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης

Η διάκριση είναι η τιμή της ριζικής έκφρασης Αν είναι θετική, τότε η εξίσωση έχει δύο πραγματικές ρίζες, που υπολογίζονται με τον τύπο Όταν η διάκριση είναι μηδέν, η τετραγωνική εξίσωση έχει μία λύση (δύο συμπίπτουσες ρίζες), η οποία μπορεί να ληφθεί εύκολα από τον παραπάνω τύπο για το D=0, η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες. Ωστόσο, οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης βρίσκονται στο μιγαδικό επίπεδο και η τιμή τους υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο

Το θεώρημα του Βιέτα

Ας εξετάσουμε δύο ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης και ας κατασκευάσουμε μια τετραγωνική εξίσωση με βάση τους το θεώρημα του Βιέτα εύκολα προκύπτει από τη σημειογραφία: αν έχουμε μια τετραγωνική εξίσωση της μορφής. τότε το άθροισμα των ριζών του είναι ίσο με τον συντελεστή p που λαμβάνεται με το αντίθετο πρόσημο, και το γινόμενο των ριζών της εξίσωσης είναι ίσο με τον ελεύθερο όρο q. Η τυπική αναπαράσταση των παραπάνω θα μοιάζει με αυτό.

Πρόγραμμα τετραγωνικών εξισώσεων Factoring

Αφήστε την εργασία να οριστεί: παράγετε μια τετραγωνική εξίσωση. Για να γίνει αυτό, λύνουμε πρώτα την εξίσωση (βρίσκουμε τις ρίζες). Στη συνέχεια, αντικαθιστούμε τις ρίζες που βρέθηκαν στον τύπο επέκτασης για την τετραγωνική εξίσωση Αυτό θα λύσει το πρόβλημα.

Προβλήματα τετραγωνικών εξισώσεων

Εργασία 1. Βρείτε τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης

x^2-26x+120=0 .

Λύση: Γράψτε τους συντελεστές και αντικαταστήστε τους στον τύπο διάκρισης

Ρίζα του δεδομένη αξίαείναι ίσο με 14, είναι εύκολο να το βρείτε με μια αριθμομηχανή ή να το θυμηθείτε με συχνή χρήση, ωστόσο, για ευκολία, στο τέλος του άρθρου θα σας δώσω μια λίστα με τετράγωνα αριθμών που συχνά συναντώνται σε τέτοια προβλήματα.
Αντικαθιστούμε την τιμή που βρέθηκε στον τύπο ρίζας

και παίρνουμε

Εργασία 2. Λύστε την εξίσωση

2x 2 +x-3=0.

Λύση: Έχουμε μια πλήρη τετραγωνική εξίσωση, γράφουμε τους συντελεστές και βρίσκουμε τη διάκριση


Χρησιμοποιώντας γνωστούς τύπους βρίσκουμε τις ρίζες της τετραγωνικής εξίσωσης

Εργασία 3. Λύστε την εξίσωση

9x 2 -12x+4=0.

Λύση: Έχουμε μια πλήρη τετραγωνική εξίσωση. Προσδιορισμός της διάκρισης

Έχουμε μια περίπτωση όπου οι ρίζες συμπίπτουν. Βρείτε τις τιμές των ριζών χρησιμοποιώντας τον τύπο

Εργασία 4. Λύστε την εξίσωση

x^2+x-6=0 .

Λύση: Σε περιπτώσεις όπου υπάρχουν μικροί συντελεστές για το x, είναι σκόπιμο να εφαρμοστεί το θεώρημα του Vieta. Από την κατάστασή του παίρνουμε δύο εξισώσεις

Από τη δεύτερη συνθήκη βρίσκουμε ότι το γινόμενο πρέπει να είναι ίσο με -6. Αυτό σημαίνει ότι μία από τις ρίζες είναι αρνητική. Έχουμε το παρακάτω πιθανό ζεύγος λύσεων (-3;2), (3;-2) . Λαμβάνοντας υπόψη την πρώτη συνθήκη, απορρίπτουμε το δεύτερο ζεύγος λύσεων.
Οι ρίζες της εξίσωσης είναι ίσες

Πρόβλημα 5. Να βρείτε τα μήκη των πλευρών ενός παραλληλογράμμου αν η περίμετρός του είναι 18 cm και το εμβαδόν του είναι 77 cm 2.

Λύση: Η μισή περίμετρος ενός ορθογωνίου είναι ίση με το άθροισμα γειτονικά κόμματα. Ας συμβολίσουμε το x ως τη μεγαλύτερη πλευρά, τότε το 18-x είναι η μικρότερη πλευρά του. Το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι ίσο με το γινόμενο αυτών των μηκών:
x(18-x)=77;
ή
x 2 -18x+77=0.
Ας βρούμε τη διάκριση της εξίσωσης

Υπολογισμός των ριζών της εξίσωσης

Αν x=11,Οτι 18 = 7,ισχύει και το αντίθετο (αν x=7, τότε 21's=9).

Πρόβλημα 6. Παράγοντες την τετραγωνική εξίσωση 10x 2 -11x+3=0.

Λύση: Ας υπολογίσουμε τις ρίζες της εξίσωσης, για να το κάνουμε αυτό βρίσκουμε το διαχωριστικό

Αντικαθιστούμε την τιμή που βρέθηκε στον τύπο ρίζας και υπολογίζουμε

Εφαρμόζουμε τον τύπο για την αποσύνθεση μιας τετραγωνικής εξίσωσης κατά ρίζες

Ανοίγοντας τις αγκύλες παίρνουμε μια ταυτότητα.

Τετραγωνική εξίσωση με παράμετρο

Παράδειγμα 1. Σε ποιες τιμές παραμέτρων Α ,η εξίσωση (a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0 έχει μία ρίζα;

Λύση: Με άμεση αντικατάσταση της τιμής a=3 βλέπουμε ότι δεν έχει λύση. Στη συνέχεια, θα χρησιμοποιήσουμε το γεγονός ότι με μηδενική διάκριση η εξίσωση έχει μία ρίζα πολλαπλότητας 2. Ας γράψουμε τη διάκριση

Ας το απλοποιήσουμε και ας το εξισώσουμε με το μηδέν

Έχουμε λάβει μια τετραγωνική εξίσωση ως προς την παράμετρο a, η λύση της οποίας μπορεί να ληφθεί εύκολα χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta. Το άθροισμα των ριζών είναι 7 και το γινόμενο τους είναι 12. Με απλή αναζήτηση διαπιστώνουμε ότι οι αριθμοί 3,4 θα είναι οι ρίζες της εξίσωσης. Εφόσον έχουμε ήδη απορρίψει τη λύση a=3 στην αρχή των υπολογισμών, η μόνη σωστή θα είναι - a=4.Έτσι, για a=4 η εξίσωση έχει μία ρίζα.

Παράδειγμα 2. Σε ποιες τιμές παραμέτρων Α ,εξίσωση a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0έχει περισσότερες από μία ρίζες;

Λύση: Ας εξετάσουμε πρώτα τα μοναδικά σημεία, θα είναι οι τιμές a=0 και a=-3. Όταν a=0, η εξίσωση θα απλοποιηθεί στη μορφή 6x-9=0. x=3/2 και θα υπάρχει μία ρίζα. Για a= -3 λαμβάνουμε την ταυτότητα 0=0.
Ας υπολογίσουμε τη διάκριση

και να βρείτε την τιμή του a στην οποία είναι θετική

Από την πρώτη συνθήκη παίρνουμε a>3. Για το δεύτερο, βρίσκουμε τη διάκριση και τις ρίζες της εξίσωσης


Ας ορίσουμε τα διαστήματα που παίρνει η συνάρτηση θετικές αξίες. Αντικαθιστώντας το σημείο a=0 παίρνουμε 3>0 . Έτσι, εκτός του διαστήματος (-3;1/3) η συνάρτηση είναι αρνητική. Μην ξεχνάτε την ουσία a=0,το οποίο θα πρέπει να εξαιρεθεί επειδή η αρχική εξίσωση έχει μία ρίζα σε αυτήν.
Ως αποτέλεσμα, λαμβάνουμε δύο διαστήματα που ικανοποιούν τις συνθήκες του προβλήματος

Θα υπάρχουν πολλές παρόμοιες εργασίες στην πράξη, προσπαθήστε να καταλάβετε μόνοι σας τις εργασίες και μην ξεχάσετε να λάβετε υπόψη τις συνθήκες που αλληλοαποκλείονται. Μελετήστε καλά τους τύπους για την επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων που χρειάζονται συχνά σε υπολογισμούς σε διάφορα προβλήματα και επιστήμες.

ΣΕ σύγχρονη κοινωνίαη ικανότητα εκτέλεσης πράξεων με εξισώσεις που περιέχουν μια μεταβλητή στο τετράγωνο μπορεί να είναι χρήσιμη σε πολλούς τομείς δραστηριότητας και χρησιμοποιείται ευρέως στην πράξη στην επιστημονική και τεχνικές εξελίξεις. Απόδειξη αυτού μπορούν να βρεθούν στον σχεδιασμό θαλάσσιων και ποταμών πλοίων, αεροσκαφών και πυραύλων. Χρησιμοποιώντας τέτοιους υπολογισμούς, προσδιορίζονται οι τροχιές κίνησης μιας μεγάλης ποικιλίας σωμάτων, συμπεριλαμβανομένων των διαστημικών αντικειμένων. Παραδείγματα με τη λύση τετραγωνικών εξισώσεων χρησιμοποιούνται όχι μόνο στην οικονομική πρόβλεψη, στο σχεδιασμό και την κατασκευή κτιρίων, αλλά και στις πιο συνηθισμένες καθημερινές συνθήκες. Μπορεί να χρειαστούν σε εκδρομές πεζοπορίας, σε αθλητικές εκδηλώσεις, σε καταστήματα κατά την πραγματοποίηση αγορών και σε άλλες πολύ συνηθισμένες καταστάσεις.

Ας χωρίσουμε την έκφραση στους συντελεστές της

Ο βαθμός μιας εξίσωσης καθορίζεται από τη μέγιστη τιμή του βαθμού της μεταβλητής που περιέχει η παράσταση. Αν είναι ίση με 2, τότε μια τέτοια εξίσωση ονομάζεται τετραγωνική.

Εάν μιλάμε στη γλώσσα των τύπων, τότε οι υποδεικνυόμενες εκφράσεις, ανεξάρτητα από το πώς φαίνονται, μπορούν πάντα να φέρουν τη μορφή όταν η αριστερή πλευρά της έκφρασης αποτελείται από τρεις όρους. Μεταξύ αυτών: ax 2 (δηλαδή, μια μεταβλητή στο τετράγωνο με τον συντελεστή της), bx (μια άγνωστη χωρίς τετράγωνο με τον συντελεστή της) και c (ένα ελεύθερο συστατικό, δηλαδή ένας συνηθισμένος αριθμός). Όλα αυτά στη δεξιά πλευρά είναι ίσα με 0. Στην περίπτωση που ένα τέτοιο πολυώνυμο στερείται ενός από τα συστατικά στοιχεία του, με εξαίρεση τον άξονα 2, ονομάζεται ημιτελής τετραγωνική εξίσωση. Παραδείγματα με την επίλυση τέτοιων προβλημάτων, οι τιμές των μεταβλητών στις οποίες είναι εύκολο να βρεθούν, θα πρέπει πρώτα να ληφθούν υπόψη.

Εάν η παράσταση μοιάζει να έχει δύο όρους στη δεξιά πλευρά, πιο συγκεκριμένα ax 2 και bx, ο ευκολότερος τρόπος να βρείτε το x είναι βάζοντας τη μεταβλητή εκτός αγκύλων. Τώρα η εξίσωσή μας θα μοιάζει με αυτό: x(ax+b). Στη συνέχεια, γίνεται προφανές ότι είτε x=0 είτε το πρόβλημα καταλήγει στην εύρεση μιας μεταβλητής από την ακόλουθη παράσταση: ax+b=0. Αυτό υπαγορεύεται από μια από τις ιδιότητες του πολλαπλασιασμού. Ο κανόνας λέει ότι το γινόμενο δύο παραγόντων έχει ως αποτέλεσμα 0 μόνο εάν ένας από αυτούς είναι μηδέν.

Παράδειγμα

x=0 ή 8x - 3 = 0

Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε δύο ρίζες της εξίσωσης: 0 και 0,375.

Εξισώσεις αυτού του είδους μπορούν να περιγράψουν την κίνηση των σωμάτων υπό την επίδραση της βαρύτητας, τα οποία άρχισαν να κινούνται από ένα ορισμένο σημείο που λαμβάνεται ως η αρχή των συντεταγμένων. Εδώ ο μαθηματικός συμβολισμός παίρνει την ακόλουθη μορφή: y = v 0 t + gt 2 /2. Αντικαθιστώντας τις απαραίτητες τιμές, εξισώνοντας τη δεξιά πλευρά με 0 και βρίσκοντας πιθανούς αγνώστους, μπορείτε να μάθετε το χρόνο που περνά από τη στιγμή που το σώμα ανεβαίνει μέχρι τη στιγμή που πέφτει, καθώς και πολλές άλλες ποσότητες. Αλλά θα μιλήσουμε για αυτό αργότερα.

Παραγοντοποίηση μιας έκφρασης

Ο κανόνας που περιγράφεται παραπάνω καθιστά δυνατή την επίλυση αυτών των προβλημάτων σε περισσότερα δύσκολες περιπτώσεις. Ας δούμε παραδείγματα επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων αυτού του τύπου.

X 2 - 33x + 200 = 0

Αυτό το τετραγωνικό τριώνυμο είναι πλήρες. Αρχικά, ας μεταμορφώσουμε την έκφραση και ας την παραμετροποιήσουμε. Υπάρχουν δύο από αυτά: (x-8) και (x-25) = 0. Ως αποτέλεσμα, έχουμε δύο ρίζες 8 και 25.

Παραδείγματα με επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων στον βαθμό 9 επιτρέπουν σε αυτή τη μέθοδο να βρει μια μεταβλητή σε εκφράσεις όχι μόνο της δεύτερης, αλλά ακόμη και της τρίτης και τέταρτης τάξης.

Για παράδειγμα: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Κατά την παραγοντοποίηση της δεξιάς πλευράς σε παράγοντες με μεταβλητή, υπάρχουν τρεις από αυτούς, δηλαδή (x+1), (x-3) και (x+ 3).

Ως αποτέλεσμα, γίνεται προφανές ότι αυτή η εξίσωση έχει τρεις ρίζες: -3; -1; 3.

Τετραγωνική ρίζα

Μια άλλη περίπτωση ημιτελούς εξίσωσης δεύτερης τάξης είναι μια έκφραση που αναπαρίσταται στη γλώσσα των γραμμάτων με τέτοιο τρόπο ώστε η δεξιά πλευρά να είναι κατασκευασμένη από τα στοιχεία ax 2 και c. Εδώ, για να ληφθεί η τιμή της μεταβλητής, ο ελεύθερος όρος μεταφέρεται σε δεξιά πλευρά, και μετά από αυτό και από τις δύο πλευρές της ισότητας εξάγουμε τετραγωνική ρίζα. Πρέπει να σημειωθεί ότι σε αυτή την περίπτωση υπάρχουν συνήθως δύο ρίζες της εξίσωσης. Οι μόνες εξαιρέσεις μπορεί να είναι ισότητες που δεν περιέχουν όρο με καθόλου, όπου η μεταβλητή είναι ίση με μηδέν, καθώς και παραλλαγές παραστάσεων όταν η δεξιά πλευρά είναι αρνητική. Στην τελευταία περίπτωση, δεν υπάρχουν καθόλου λύσεις, αφού οι παραπάνω ενέργειες δεν μπορούν να γίνουν με ρίζες. Θα πρέπει να ληφθούν υπόψη παραδείγματα λύσεων σε τετραγωνικές εξισώσεις αυτού του τύπου.

Σε αυτή την περίπτωση, οι ρίζες της εξίσωσης θα είναι οι αριθμοί -4 και 4.

Υπολογισμός επιφάνειας γης

Η ανάγκη για αυτού του είδους τους υπολογισμούς εμφανίστηκε στην αρχαιότητα, επειδή η ανάπτυξη των μαθηματικών ήταν σε μεγάλο βαθμό σε εκείνους μακρινές εποχέςοφειλόταν στην ανάγκη προσδιορισμού με τη μεγαλύτερη ακρίβεια των επιφανειών και των περιμέτρων των οικοπέδων.

Θα πρέπει επίσης να εξετάσουμε παραδείγματα επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων που βασίζονται σε προβλήματα αυτού του είδους.

Ας πούμε λοιπόν ότι υπάρχει ένα ορθογώνιο οικόπεδο, το μήκος του οποίου είναι 16 μέτρα μεγαλύτερο από το πλάτος. Θα πρέπει να βρείτε το μήκος, το πλάτος και την περίμετρο της τοποθεσίας εάν γνωρίζετε ότι η έκτασή της είναι 612 m 2.

Για να ξεκινήσουμε, ας δημιουργήσουμε πρώτα την απαραίτητη εξίσωση. Ας συμβολίσουμε με x το πλάτος της περιοχής, τότε το μήκος της θα είναι (x+16). Από τα γραφόμενα προκύπτει ότι το εμβαδόν καθορίζεται από την παράσταση x(x+16), η οποία, σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματός μας, είναι 612. Αυτό σημαίνει ότι x(x+16) = 612.

Η επίλυση πλήρων τετραγωνικών εξισώσεων, και αυτή η έκφραση είναι ακριβώς αυτή, δεν μπορεί να γίνει με τον ίδιο τρόπο. Γιατί; Αν και η αριστερή πλευρά εξακολουθεί να περιέχει δύο παράγοντες, το γινόμενο τους δεν ισούται καθόλου με 0, επομένως χρησιμοποιούνται διαφορετικές μέθοδοι εδώ.

Διακριτικός

Πρώτα από όλα, ας κάνουμε τους απαραίτητους μετασχηματισμούς, λοιπόν εμφάνισηαυτής της παράστασης θα μοιάζει με αυτό: x 2 + 16x - 612 = 0. Αυτό σημαίνει ότι έχουμε λάβει μια έκφραση σε μορφή που αντιστοιχεί στο προκαθορισμένο πρότυπο, όπου a=1, b=16, c=-612.

Αυτό θα μπορούσε να είναι ένα παράδειγμα επίλυσης δευτεροβάθμιων εξισώσεων χρησιμοποιώντας ένα διαχωριστικό. Εδώ απαραίτητους υπολογισμούςπαράγονται σύμφωνα με το σχήμα: D = b 2 - 4ac. Αυτή η βοηθητική ποσότητα όχι μόνο καθιστά δυνατή την εύρεση των απαιτούμενων ποσοτήτων σε μια εξίσωση δεύτερης τάξης, αλλά καθορίζει τον αριθμό των πιθανών επιλογών. Αν D>0, υπάρχουν δύο από αυτά. για D=0 υπάρχει μία ρίζα. Στην περίπτωση Δ<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Σχετικά με τις ρίζες και τη φόρμουλα τους

Στην περίπτωσή μας, η διάκριση ισούται με: 256 - 4(-612) = 2704. Αυτό υποδηλώνει ότι το πρόβλημά μας έχει απάντηση. Εάν γνωρίζετε k, η λύση των δευτεροβάθμιων εξισώσεων πρέπει να συνεχιστεί χρησιμοποιώντας τον παρακάτω τύπο. Σας επιτρέπει να υπολογίσετε τις ρίζες.

Αυτό σημαίνει ότι στην προκειμένη περίπτωση: x 1 =18, x 2 =-34. Η δεύτερη επιλογή σε αυτό το δίλημμα δεν μπορεί να είναι λύση, γιατί οι διαστάσεις του οικοπέδου δεν μπορούν να μετρηθούν σε αρνητικές ποσότητες, που σημαίνει ότι το x (δηλαδή το πλάτος του οικοπέδου) είναι 18 m. Από εδώ υπολογίζουμε το μήκος: 18 +16=34, και η περίμετρος 2(34+ 18)=104(m2).

Παραδείγματα και προβλήματα

Συνεχίζουμε τη μελέτη των τετραγωνικών εξισώσεων. Παραδείγματα και λεπτομερείς λύσεις αρκετών από αυτά θα δοθούν παρακάτω.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

Ας μετακινήσουμε τα πάντα στην αριστερή πλευρά της ισότητας, ας κάνουμε έναν μετασχηματισμό, δηλαδή, θα πάρουμε τον τύπο της εξίσωσης που συνήθως ονομάζεται τυπική και θα την εξισώσουμε με το μηδέν.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Προσθέτοντας παρόμοια, προσδιορίζουμε τη διάκριση: D = 49 - 48 = 1. Αυτό σημαίνει ότι η εξίσωσή μας θα έχει δύο ρίζες. Ας τα υπολογίσουμε σύμφωνα με τον παραπάνω τύπο, που σημαίνει ότι το πρώτο από αυτά θα είναι ίσο με 4/3 και το δεύτερο με 1.

2) Τώρα ας λύσουμε μυστήρια διαφορετικού είδους.

Ας μάθουμε αν υπάρχουν ρίζες εδώ x 2 - 4x + 5 = 1; Για να λάβουμε μια ολοκληρωμένη απάντηση, ας μειώσουμε το πολυώνυμο στην αντίστοιχη συνήθη μορφή και ας υπολογίσουμε τη διάκριση. Στο παραπάνω παράδειγμα, δεν είναι απαραίτητο να λυθεί η δευτεροβάθμια εξίσωση, γιατί αυτή δεν είναι καθόλου η ουσία του προβλήματος. Σε αυτή την περίπτωση, D = 16 - 20 = -4, που σημαίνει ότι πραγματικά δεν υπάρχουν ρίζες.

Το θεώρημα του Βιέτα

Είναι βολικό να λύνουμε τετραγωνικές εξισώσεις χρησιμοποιώντας τους παραπάνω τύπους και το διαχωριστικό, όταν η τετραγωνική ρίζα λαμβάνεται από την τιμή του τελευταίου. Αυτό όμως δεν συμβαίνει πάντα. Ωστόσο, υπάρχουν πολλοί τρόποι για να λάβετε τις τιμές των μεταβλητών σε αυτήν την περίπτωση. Παράδειγμα: επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta. Πήρε το όνομά της από εκείνον που έζησε τον 16ο αιώνα στη Γαλλία και έκανε μια λαμπρή καριέρα χάρη στο μαθηματικό του ταλέντο και τις διασυνδέσεις του στο δικαστήριο. Το πορτρέτο του φαίνεται στο άρθρο.

Το μοτίβο που παρατήρησε ο διάσημος Γάλλος ήταν το εξής. Απέδειξε ότι οι ρίζες της εξίσωσης αθροίζονται αριθμητικά σε -p=b/a, και το γινόμενο τους αντιστοιχεί σε q=c/a.

Τώρα ας δούμε συγκεκριμένες εργασίες.

3x 2 + 21x - 54 = 0

Για απλότητα, ας μετατρέψουμε την έκφραση:

x 2 + 7x - 18 = 0

Ας χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα του Vieta, αυτό θα μας δώσει τα εξής: το άθροισμα των ριζών είναι -7 και το γινόμενο τους είναι -18. Από εδώ παίρνουμε ότι οι ρίζες της εξίσωσης είναι οι αριθμοί -9 και 2. Αφού ελέγξουμε, θα βεβαιωθούμε ότι αυτές οι μεταβλητές τιμές ταιριάζουν πραγματικά στην έκφραση.

Γράφημα παραβολής και εξίσωση

Οι έννοιες της τετραγωνικής συνάρτησης και των τετραγωνικών εξισώσεων συνδέονται στενά. Παραδείγματα αυτού έχουν ήδη δοθεί νωρίτερα. Τώρα ας δούμε μερικούς μαθηματικούς γρίφους λίγο πιο αναλυτικά. Οποιαδήποτε εξίσωση του περιγραφόμενου τύπου μπορεί να αναπαρασταθεί οπτικά. Μια τέτοια σχέση, σχεδιασμένη ως γράφημα, ονομάζεται παραβολή. Οι διάφοροι τύποι του παρουσιάζονται στο παρακάτω σχήμα.

Οποιαδήποτε παραβολή έχει μια κορυφή, δηλαδή ένα σημείο από το οποίο αναδύονται οι κλάδοι της. Αν a>0, πάνε ψηλά στο άπειρο, και όταν α<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Οι οπτικές αναπαραστάσεις συναρτήσεων βοηθούν στην επίλυση οποιωνδήποτε εξισώσεων, συμπεριλαμβανομένων και των τετραγωνικών. Αυτή η μέθοδος ονομάζεται γραφική. Και η τιμή της μεταβλητής x είναι η συντεταγμένη της τετμημένης στα σημεία όπου η γραμμή του γραφήματος τέμνεται με το 0x. Οι συντεταγμένες της κορυφής μπορούν να βρεθούν χρησιμοποιώντας τον τύπο που μόλις δόθηκε x 0 = -b/2a. Και αντικαθιστώντας την τιμή που προκύπτει στην αρχική εξίσωση της συνάρτησης, μπορείτε να βρείτε y 0, δηλαδή τη δεύτερη συντεταγμένη της κορυφής της παραβολής, η οποία ανήκει στον άξονα τεταγμένων.

Η τομή των κλάδων μιας παραβολής με τον άξονα της τετμημένης

Υπάρχουν πολλά παραδείγματα επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων, αλλά υπάρχουν και γενικά μοτίβα. Ας τους δούμε. Είναι σαφές ότι η τομή του γραφήματος με τον άξονα 0x για a>0 είναι δυνατή μόνο εάν το y 0 παίρνει αρνητικές τιμές. Και για ένα<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Διαφορετικά Δ<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Από το γράφημα της παραβολής μπορείτε να προσδιορίσετε και τις ρίζες. Το αντίθετο ισχύει επίσης. Δηλαδή, εάν δεν είναι εύκολο να αποκτήσετε μια οπτική αναπαράσταση μιας τετραγωνικής συνάρτησης, μπορείτε να εξισώσετε τη δεξιά πλευρά της παράστασης με 0 και να λύσετε την εξίσωση που προκύπτει. Και γνωρίζοντας τα σημεία τομής με τον άξονα 0x, είναι ευκολότερο να κατασκευάσετε ένα γράφημα.

Από την ιστορία

Χρησιμοποιώντας εξισώσεις που περιείχαν μια τετράγωνη μεταβλητή, τα παλιά χρόνια δεν έκαναν μόνο μαθηματικούς υπολογισμούς και καθόριζαν τα εμβαδά των γεωμετρικών σχημάτων. Οι αρχαίοι χρειάζονταν τέτοιους υπολογισμούς για μεγάλες ανακαλύψεις στους τομείς της φυσικής και της αστρονομίας, καθώς και για την πραγματοποίηση αστρολογικών προβλέψεων.

Όπως προτείνουν οι σύγχρονοι επιστήμονες, οι κάτοικοι της Βαβυλώνας ήταν από τους πρώτους που έλυσαν τετραγωνικές εξισώσεις. Αυτό συνέβη τέσσερις αιώνες πριν από την εποχή μας. Φυσικά, οι υπολογισμοί τους ήταν ριζικά διαφορετικοί από αυτούς που γίνονται αποδεκτοί σήμερα και αποδείχθηκαν πολύ πιο πρωτόγονοι. Για παράδειγμα, οι μαθηματικοί της Μεσοποταμίας δεν είχαν ιδέα για την ύπαρξη αρνητικών αριθμών. Δεν ήταν εξοικειωμένοι με άλλες λεπτότητες που γνωρίζει κάθε σύγχρονος μαθητής.

Ίσως ακόμη νωρίτερα από τους επιστήμονες της Βαβυλώνας, ο σοφός από την Ινδία Baudhayama άρχισε να λύνει τετραγωνικές εξισώσεις. Αυτό συνέβη περίπου οκτώ αιώνες πριν από την εποχή του Χριστού. Είναι αλήθεια ότι οι εξισώσεις δεύτερης τάξης, οι μέθοδοι επίλυσης που έδωσε, ήταν οι απλούστερες. Εκτός από αυτόν, οι Κινέζοι μαθηματικοί ενδιαφερόντουσαν επίσης για παρόμοιες ερωτήσεις τα παλιά χρόνια. Στην Ευρώπη, οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις άρχισαν να λύνονται μόνο στις αρχές του 13ου αιώνα, αλλά αργότερα χρησιμοποιήθηκαν στα έργα τους από σπουδαίους επιστήμονες όπως ο Newton, ο Descartes και πολλοί άλλοι.

Συνεχίζοντας το θέμα «Επίλυση εξισώσεων», το υλικό σε αυτό το άρθρο θα σας εισάγει στις δευτεροβάθμιες εξισώσεις.

Ας δούμε τα πάντα λεπτομερώς: την ουσία και τη σημειογραφία μιας τετραγωνικής εξίσωσης, ορίστε τους συνοδευτικούς όρους, αναλύστε το σχήμα για την επίλυση ημιτελών και πλήρων εξισώσεων, εξοικειωθείτε με τον τύπο των ριζών και τη διάκριση, δημιουργήστε συνδέσεις μεταξύ των ριζών και των συντελεστών, και φυσικά θα δώσουμε οπτική λύση σε πρακτικά παραδείγματα.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Τετραγωνική εξίσωση, τα είδη της

Ορισμός 1

Τετραγωνική εξίσωσηείναι μια εξίσωση που γράφεται ως a x 2 + b x + c = 0, Πού x– μεταβλητή, a , b και ντο– κάποιοι αριθμοί, ενώ έναδεν είναι μηδέν.

Συχνά, οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις ονομάζονται και εξισώσεις δεύτερου βαθμού, αφού στην ουσία μια τετραγωνική εξίσωση είναι μια αλγεβρική εξίσωση δεύτερου βαθμού.

Ας δώσουμε ένα παράδειγμα για να επεξηγήσουμε τον ορισμό: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0, κ.λπ. Αυτές είναι τετραγωνικές εξισώσεις.

Ορισμός 2

Αριθμοί α, β και ντοείναι οι συντελεστές της δευτεροβάθμιας εξίσωσης a x 2 + b x + c = 0, ενώ ο συν έναονομάζεται πρώτος, ή ανώτερος, ή συντελεστής στο x 2, b - ο δεύτερος συντελεστής, ή συντελεστής στο xΜε ντοονομάζεται ελεύθερο μέλος.

Για παράδειγμα, στην τετραγωνική εξίσωση 6 x 2 − 2 x − 11 = 0ο κύριος συντελεστής είναι 6, ο δεύτερος συντελεστής είναι − 2 , και ο ελεύθερος όρος ισούται με − 11 . Ας δώσουμε προσοχή στο γεγονός ότι όταν οι συντελεστές σικαι/ή τα c είναι αρνητικά, τότε χρησιμοποιείται μια σύντομη μορφή της φόρμας 6 x 2 − 2 x − 11 = 0, όχι 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Ας διευκρινίσουμε επίσης αυτή την πτυχή: αν οι συντελεστές ένακαι/ή σιίσος 1 ή − 1 , τότε ενδέχεται να μην λάβουν ρητό μέρος στη σύνταξη της δευτεροβάθμιας εξίσωσης, κάτι που εξηγείται από τις ιδιαιτερότητες γραφής των αναγραφόμενων αριθμητικών συντελεστών. Για παράδειγμα, στην τετραγωνική εξίσωση y 2 − y + 7 = 0ο κύριος συντελεστής είναι 1 και ο δεύτερος συντελεστής είναι − 1 .

Ανηγμένες και μη αναγωγικές τετραγωνικές εξισώσεις

Με βάση την τιμή του πρώτου συντελεστή, οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις χωρίζονται σε μειωμένες και μη αναγωγικές.

Ορισμός 3

Μειωμένη τετραγωνική εξίσωσηείναι μια τετραγωνική εξίσωση όπου ο κύριος συντελεστής είναι 1. Για άλλες τιμές του κύριου συντελεστή, η τετραγωνική εξίσωση δεν είναι μειωμένη.

Ας δώσουμε παραδείγματα: οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0 μειώνονται, σε καθεμία από τις οποίες ο κύριος συντελεστής είναι 1.

9 x 2 − x − 2 = 0- μη ανηγμένη τετραγωνική εξίσωση, όπου ο πρώτος συντελεστής είναι διαφορετικός από 1 .

Οποιαδήποτε μη ανηγμένη τετραγωνική εξίσωση μπορεί να μετατραπεί σε ανηγμένη εξίσωση διαιρώντας και τις δύο πλευρές με τον πρώτο συντελεστή (ισοδύναμος μετασχηματισμός). Η μετασχηματισμένη εξίσωση θα έχει τις ίδιες ρίζες με τη δεδομένη μη ανηγμένη εξίσωση ή επίσης δεν θα έχει καθόλου ρίζες.

Η εξέταση ενός συγκεκριμένου παραδείγματος θα μας επιτρέψει να δείξουμε ξεκάθαρα τη μετάβαση από μια μη ανηγμένη τετραγωνική εξίσωση σε μια ανηγμένη.

Παράδειγμα 1

Δίνεται η εξίσωση 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Είναι απαραίτητο να μετατραπεί η αρχική εξίσωση στη μειωμένη μορφή.

Διάλυμα

Σύμφωνα με το παραπάνω σχήμα, διαιρούμε και τις δύο πλευρές της αρχικής εξίσωσης με τον κύριο συντελεστή 6. Τότε παίρνουμε: (6 x 2 + 18 x − 7) : 3 = 0: 3, και αυτό είναι το ίδιο με: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0και περαιτέρω: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0.Από εδώ: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Έτσι, προκύπτει μια εξίσωση ισοδύναμη με τη δεδομένη.

Απάντηση: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Πλήρεις και ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις

Ας στραφούμε στον ορισμό της τετραγωνικής εξίσωσης. Σε αυτό διευκρινίσαμε ότι a ≠ 0. Μια παρόμοια συνθήκη είναι απαραίτητη για την εξίσωση a x 2 + b x + c = 0ήταν ακριβώς τετράγωνο, αφού στο a = 0ουσιαστικά μετατρέπεται σε γραμμική εξίσωση b x + c = 0.

Στην περίπτωση που οι συντελεστές σι x στην πρώτη δύναμη με συντελεστή ντοισούνται με μηδέν (κάτι που είναι δυνατό, μεμονωμένα και από κοινού), η τετραγωνική εξίσωση ονομάζεται ελλιπής.

Ορισμός 4

Ημιτελής τετραγωνική εξίσωση- μια τέτοια τετραγωνική εξίσωση a x 2 + b x + c = 0,όπου τουλάχιστον ένας από τους συντελεστές σιΚαι ντο(ή και τα δύο) είναι μηδέν.

Πλήρης τετραγωνική εξίσωση– μια τετραγωνική εξίσωση στην οποία όλοι οι αριθμητικοί συντελεστές δεν είναι ίσοι με μηδέν.

Ας συζητήσουμε γιατί δίνονται ακριβώς αυτά τα ονόματα στους τύπους των τετραγωνικών εξισώσεων.

Όταν b = 0, η τετραγωνική εξίσωση παίρνει τη μορφή a x 2 + 0 x + c = 0, που είναι το ίδιο με a x 2 + c = 0. Στο c = 0τετραγωνική εξίσωση γραμμένη ως a x 2 + b x + 0 = 0, που είναι ισοδύναμο a x 2 + b x = 0. Στο b = 0 x στην πρώτη δύναμη με συντελεστή c = 0η εξίσωση θα πάρει τη μορφή a x 2 = 0. Οι εξισώσεις που λάβαμε διαφέρουν από την πλήρη τετραγωνική εξίσωση στο ότι οι αριστερές τους πλευρές δεν περιέχουν ούτε όρο με τη μεταβλητή x ούτε έναν ελεύθερο όρο ή και τα δύο. Στην πραγματικότητα, αυτό το γεγονός έδωσε το όνομα σε αυτόν τον τύπο εξίσωσης - ελλιπής.

Για παράδειγμα, x 2 + 3 x + 4 = 0 και − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 είναι πλήρεις τετραγωνικές εξισώσεις. x 2 = 0, − 5 x 2 = 0; 11 · x 2 + 2 = 0 , − x 2 − 6 · x = 0 – ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις.

Επίλυση ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων

Ο ορισμός που δίνεται παραπάνω καθιστά δυνατή τη διάκριση των ακόλουθων τύπων ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων:

• a x 2 = 0, αυτή η εξίσωση αντιστοιχεί στους συντελεστές b = 0και c = 0 ;
• a · x 2 + c = 0 στο b = 0 ;
• a · x 2 + b · x = 0 στο c = 0.

Ας εξετάσουμε διαδοχικά τη λύση κάθε τύπου ημιτελούς δευτεροβάθμιας εξίσωσης.

Λύση της εξίσωσης a x 2 =0

Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, αυτή η εξίσωση αντιστοιχεί στους συντελεστές σι x στην πρώτη δύναμη με συντελεστή ντο, ίσο με μηδέν. Εξίσωση a x 2 = 0μπορεί να μετατραπεί σε ισοδύναμη εξίσωση x 2 = 0, το οποίο λαμβάνουμε διαιρώντας και τις δύο πλευρές της αρχικής εξίσωσης με τον αριθμό ένα, όχι ίσο με μηδέν. Το προφανές γεγονός είναι ότι η ρίζα της εξίσωσης x 2 = 0αυτό είναι μηδέν γιατί 0 2 = 0 . Αυτή η εξίσωση δεν έχει άλλες ρίζες, κάτι που μπορεί να εξηγηθεί από τις ιδιότητες του βαθμού: για οποιονδήποτε αριθμό p,δεν ισούται με μηδέν, η ανισότητα είναι αληθής p 2 > 0, από το οποίο προκύπτει ότι όταν p ≠ 0ισότητα p 2 = 0δεν θα επιτευχθεί ποτέ.

Ορισμός 5

Έτσι, για την ημιτελή τετραγωνική εξίσωση a x 2 = 0 υπάρχει μια μοναδική ρίζα x = 0.

Παράδειγμα 2

Για παράδειγμα, ας λύσουμε μια ημιτελή τετραγωνική εξίσωση − 3 x 2 = 0. Είναι ισοδύναμο με την εξίσωση x 2 = 0, η μόνη ρίζα του είναι x = 0, τότε η αρχική εξίσωση έχει μία μόνο ρίζα - μηδέν.

Συνοπτικά, η λύση γράφεται ως εξής:

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.

Επίλυση της εξίσωσης a x 2 + c = 0

Επόμενη στη σειρά είναι η λύση των ημιτελών δευτεροβάθμιων εξισώσεων, όπου b = 0, c ≠ 0, δηλαδή εξισώσεις της μορφής a x 2 + c = 0. Ας μετατρέψουμε αυτήν την εξίσωση μετακινώντας έναν όρο από τη μια πλευρά της εξίσωσης στην άλλη, αλλάζοντας το πρόσημο στην αντίθετη και διαιρώντας και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με έναν αριθμό που δεν είναι ίσος με μηδέν:

• μεταφορά ντοστη δεξιά πλευρά, που δίνει την εξίσωση a x 2 = − γ;
• διαιρέστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με ένα, καταλήγουμε σε x = - c a .

Οι μετασχηματισμοί μας είναι κατά συνέπεια ισοδύναμοι, η εξίσωση που προκύπτει είναι επίσης ισοδύναμη με την αρχική, και αυτό το γεγονός καθιστά δυνατή την εξαγωγή συμπερασμάτων σχετικά με τις ρίζες της εξίσωσης. Από ποιες είναι οι αξίες ένα x στην πρώτη δύναμη με συντελεστή ντοη τιμή της έκφρασης - c a εξαρτάται: μπορεί να έχει πρόσημο μείον (για παράδειγμα, αν α = 1 x στην πρώτη δύναμη με συντελεστή c = 2, τότε - c a = - 2 1 = - 2) ή ένα σύμβολο συν (για παράδειγμα, αν a = − 2 x στην πρώτη δύναμη με συντελεστή c = 6, τότε - c a = - 6 - 2 = 3); δεν είναι μηδέν γιατί c ≠ 0. Ας σταθούμε αναλυτικότερα σε καταστάσεις όταν - γ α< 0 и - c a > 0 .

Στην περίπτωση που - γ α< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа σελη ισότητα p 2 = - c a δεν μπορεί να είναι αληθής.

Όλα είναι διαφορετικά όταν - c a > 0: θυμηθείτε την τετραγωνική ρίζα και θα γίνει προφανές ότι η ρίζα της εξίσωσης x 2 = - c a θα είναι ο αριθμός - c a, αφού - c a 2 = - c a. Δεν είναι δύσκολο να καταλάβουμε ότι ο αριθμός - - c a είναι και η ρίζα της εξίσωσης x 2 = - c a: πράγματι, - - c a 2 = - c a.

Η εξίσωση δεν θα έχει άλλες ρίζες. Μπορούμε να το αποδείξουμε χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της αντίφασης. Αρχικά, ας ορίσουμε τους συμβολισμούς για τις ρίζες που βρέθηκαν παραπάνω ως x 1 x στην πρώτη δύναμη με συντελεστή − x 1. Ας υποθέσουμε ότι η εξίσωση x 2 = - c a έχει επίσης ρίζα x 2, που διαφέρει από τις ρίζες x 1 x στην πρώτη δύναμη με συντελεστή − x 1. Το γνωρίζουμε αντικαθιστώντας στην εξίσωση xστις ρίζες της, μετατρέπουμε την εξίσωση σε μια δίκαιη αριθμητική ισότητα.

Για x 1 x στην πρώτη δύναμη με συντελεστή − x 1γράφουμε: x 1 2 = - c a , και για x 2- x 2 2 = - c a . Με βάση τις ιδιότητες των αριθμητικών ισοτήτων, αφαιρούμε έναν ορθό όρο ισότητας ανά όρο από έναν άλλο, που θα μας δώσει: x 1 2 − x 2 2 = 0. Χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες των πράξεων με αριθμούς για να ξαναγράψουμε την τελευταία ισότητα ως (x 1 − x 2) · (x 1 + x 2) = 0. Είναι γνωστό ότι το γινόμενο δύο αριθμών είναι μηδέν αν και μόνο αν τουλάχιστον ένας από τους αριθμούς είναι μηδέν. Από τα παραπάνω προκύπτει ότι x 1 − x 2 = 0και/ή x 1 + x 2 = 0, που είναι το ίδιο x 2 = x 1και/ή x 2 = − x 1. Προέκυψε μια προφανής αντίφαση, γιατί στην αρχή συμφωνήθηκε ότι η ρίζα της εξίσωσης x 2διαφορετικό από x 1 x στην πρώτη δύναμη με συντελεστή − x 1. Άρα, αποδείξαμε ότι η εξίσωση δεν έχει άλλες ρίζες εκτός από x = - c a και x = - - c a.

Ας συνοψίσουμε όλα τα επιχειρήματα παραπάνω.

Ορισμός 6

Ημιτελής τετραγωνική εξίσωση a x 2 + c = 0είναι ισοδύναμη με την εξίσωση x 2 = - c a, η οποία:

• δεν θα έχει ρίζες στο - γ α< 0 ;
• θα έχει δύο ρίζες x = - c a και x = - - c a for - c a > 0.

Ας δώσουμε παραδείγματα επίλυσης των εξισώσεων a x 2 + c = 0.

Παράδειγμα 3

Δίνεται μια τετραγωνική εξίσωση 9 x 2 + 7 = 0.Είναι απαραίτητο να βρεθεί μια λύση.

Διάλυμα

Ας μετακινήσουμε τον ελεύθερο όρο στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης, τότε η εξίσωση θα πάρει τη μορφή 9 x 2 = − 7.
Ας διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης που προκύπτει με 9 , φτάνουμε στο x 2 = - 7 9 . Στη δεξιά πλευρά βλέπουμε έναν αριθμό με αρνητικό πρόσημο, που σημαίνει: y δεδομένη εξίσωσηχωρίς ρίζες. Τότε η αρχική ημιτελής τετραγωνική εξίσωση 9 x 2 + 7 = 0δεν θα έχει ρίζες.

Απάντηση:εξίσωση 9 x 2 + 7 = 0δεν έχει ρίζες.

Παράδειγμα 4

Η εξίσωση πρέπει να λυθεί − x 2 + 36 = 0.

Διάλυμα

Ας μετακινήσουμε το 36 στη δεξιά πλευρά: − x 2 = − 36.
Ας χωρίσουμε και τα δύο μέρη κατά − 1 , παίρνουμε x 2 = 36. Στη δεξιά πλευρά υπάρχει ένας θετικός αριθμός, από τον οποίο μπορούμε να συμπεράνουμε ότι x = 36 ή x = - 36 .
Ας εξαγάγουμε τη ρίζα και ας γράψουμε το τελικό αποτέλεσμα: ημιτελής τετραγωνική εξίσωση − x 2 + 36 = 0έχει δύο ρίζες x=6ή x = − 6.

Απάντηση: x=6ή x = − 6.

Λύση της εξίσωσης a x 2 +b x=0

Ας αναλύσουμε τον τρίτο τύπο ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων, όταν c = 0. Να βρεθεί λύση σε μια ημιτελή τετραγωνική εξίσωση a x 2 + b x = 0, θα χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο παραγοντοποίησης. Ας παραγοντοποιήσουμε το πολυώνυμο που βρίσκεται στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης, βγάζοντας τον κοινό παράγοντα εκτός αγκύλων x. Αυτό το βήμα θα επιτρέψει τη μετατροπή της αρχικής ημιτελούς τετραγωνικής εξίσωσης σε ισοδύναμη x (a x + b) = 0. Και αυτή η εξίσωση, με τη σειρά της, είναι ισοδύναμη με ένα σύνολο εξισώσεων x = 0 x στην πρώτη δύναμη με συντελεστή a x + b = 0. Εξίσωση a x + b = 0γραμμικό και η ρίζα του: x = − b α.

Ορισμός 7

Έτσι, η ημιτελής τετραγωνική εξίσωση a x 2 + b x = 0θα έχει δύο ρίζες x = 0 x στην πρώτη δύναμη με συντελεστή x = − b α.

Ας ενισχύσουμε το υλικό με ένα παράδειγμα.

Παράδειγμα 5

Είναι απαραίτητο να βρεθεί μια λύση στην εξίσωση 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0.

Διάλυμα

Θα το βγάλουμε xέξω από τις αγκύλες παίρνουμε την εξίσωση x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Αυτή η εξίσωση είναι ισοδύναμη με τις εξισώσεις x = 0και 2 3 x - 2 2 7 = 0. Τώρα πρέπει να λύσετε τη γραμμική εξίσωση που προκύπτει: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.

Γράψτε εν συντομία τη λύση της εξίσωσης ως εξής:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 ή 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 ή x = 3 3 7

Απάντηση: x = 0, x = 3 3 7.

Διάκριση, τύπος για τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης

Για να βρούμε λύσεις σε τετραγωνικές εξισώσεις, υπάρχει ένας τύπος ρίζας:

Ορισμός 8

x = - b ± D 2 · a, όπου D = b 2 − 4 a γ– το λεγόμενο διαχωριστικό μιας τετραγωνικής εξίσωσης.

Γράψιμο x = - b ± D 2 · a ουσιαστικά σημαίνει ότι x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.

Θα ήταν χρήσιμο να κατανοήσουμε πώς προέκυψε αυτός ο τύπος και πώς να τον εφαρμόσετε.

Παραγωγή του τύπου για τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης

Ας βρεθούμε αντιμέτωποι με το έργο της επίλυσης μιας εξίσωσης δευτεροβάθμιας a x 2 + b x + c = 0. Ας πραγματοποιήσουμε έναν αριθμό ισοδύναμων μετασχηματισμών:

• διαιρέστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με έναν αριθμό ένα, διαφορετικό από το μηδέν, λαμβάνουμε την ακόλουθη τετραγωνική εξίσωση: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
• Ας επιλέξουμε το πλήρες τετράγωνο στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης που προκύπτει:
  x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + γ α
  Μετά από αυτό, η εξίσωση θα πάρει τη μορφή: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
• Τώρα είναι δυνατό να μεταφέρουμε τους δύο τελευταίους όρους στη δεξιά πλευρά, αλλάζοντας το πρόσημο στο αντίθετο, μετά από το οποίο παίρνουμε: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• Τέλος, μετασχηματίζουμε την έκφραση που είναι γραμμένη στη δεξιά πλευρά της τελευταίας ισότητας:
  b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 .

Έτσι, καταλήγουμε στην εξίσωση x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , ισοδύναμη με την αρχική εξίσωση a x 2 + b x + c = 0.

Εξετάσαμε τη λύση τέτοιων εξισώσεων στις προηγούμενες παραγράφους (επίλυση ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων). Η εμπειρία που έχει ήδη αποκτηθεί καθιστά δυνατό να εξαχθεί ένα συμπέρασμα σχετικά με τις ρίζες της εξίσωσης x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2:

• με b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• όταν b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0 η εξίσωση είναι x + b 2 · a 2 = 0, τότε x + b 2 · a = 0.

Από εδώ η μόνη ρίζα x = - b 2 · a είναι προφανής.

• για b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0, θα ισχύει το εξής: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 ή x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , που είναι ίδιο με το x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 ή x = - b 2 · a - b 2 - 4 · α · γ 4 · α 2 , δηλ. η εξίσωση έχει δύο ρίζες.

Είναι δυνατόν να συμπεράνουμε ότι η παρουσία ή η απουσία ριζών της εξίσωσης x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (και επομένως η αρχική εξίσωση) εξαρτάται από το πρόσημο της έκφρασης b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 γραμμένο στη δεξιά πλευρά. Και το πρόσημο αυτής της έκφρασης δίνεται από το πρόσημο του αριθμητή, (παρονομαστής 4 α 2θα είναι πάντα θετικό), δηλαδή το πρόσημο της έκφρασης β 2 − 4 α γ. Αυτή η έκφραση β 2 − 4 α γδίνεται το όνομα - η διάκριση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης και το γράμμα D ορίζεται ως ο χαρακτηρισμός της. Εδώ μπορείτε να γράψετε την ουσία της διάκρισης - με βάση την τιμή και το πρόσημο της, μπορούν να συμπεράνουν εάν η τετραγωνική εξίσωση θα έχει πραγματικές ρίζες και, αν ναι, ποιος είναι ο αριθμός των ριζών - μία ή δύο.

Ας επιστρέψουμε στην εξίσωση x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 . Ας το ξαναγράψουμε χρησιμοποιώντας διακριτικό συμβολισμό: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Ας διατυπώσουμε ξανά τα συμπεράσματά μας:

Ορισμός 9

• στο ρε< 0 η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες.
• στο D=0η εξίσωση έχει μία ρίζα x = - b 2 · a ;
• στο Δ > 0η εξίσωση έχει δύο ρίζες: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 ή x = - b 2 · a - D 4 · a 2. Με βάση τις ιδιότητες των ριζών, αυτές οι ρίζες μπορούν να γραφτούν με τη μορφή: x = - b 2 · a + D 2 · a or - b 2 · a - D 2 · a. Και, όταν ανοίγουμε τις μονάδες και φέρουμε τα κλάσματα σε κοινό παρονομαστή, παίρνουμε: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.

Έτσι, το αποτέλεσμα του συλλογισμού μας ήταν η παραγωγή του τύπου για τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης:

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, διακρίνουσα ρευπολογίζεται με τον τύπο D = b 2 − 4 a γ.

Αυτοί οι τύποι καθιστούν δυνατό τον προσδιορισμό και των δύο πραγματικών ριζών όταν η διάκριση είναι μεγαλύτερη από το μηδέν. Όταν η διάκριση είναι μηδέν, η εφαρμογή και των δύο τύπων θα δώσει την ίδια ρίζα ως μοναδική λύση στην τετραγωνική εξίσωση. Στην περίπτωση που η διάκριση είναι αρνητική, αν προσπαθήσουμε να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο της τετραγωνικής ρίζας, θα βρεθούμε αντιμέτωποι με την ανάγκη να πάρουμε την τετραγωνική ρίζα ενός αρνητικού αριθμού, κάτι που θα μας οδηγήσει πέρα ​​από πραγματικούς αριθμούς. Με μια αρνητική διάκριση, η τετραγωνική εξίσωση δεν θα έχει πραγματικές ρίζες, αλλά είναι δυνατό ένα ζεύγος σύνθετων συζυγών ριζών, που προσδιορίζονται από τους ίδιους τύπους ρίζας που λάβαμε.

Αλγόριθμος επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων με χρήση ριζικών τύπων

Είναι δυνατό να λυθεί μια τετραγωνική εξίσωση χρησιμοποιώντας αμέσως τον τύπο ρίζας, αλλά αυτό γίνεται γενικά όταν είναι απαραίτητο να βρεθούν σύνθετες ρίζες.

Στην πλειονότητα των περιπτώσεων, συνήθως σημαίνει αναζήτηση όχι για σύνθετες, αλλά για πραγματικές ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης. Στη συνέχεια, είναι βέλτιστο, πριν χρησιμοποιήσετε τους τύπους για τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης, να προσδιορίσετε πρώτα τη διάκριση και να βεβαιωθείτε ότι δεν είναι αρνητική (διαφορετικά θα συμπεράνουμε ότι η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες) και στη συνέχεια να προχωρήσουμε στον υπολογισμό της αξία των ριζών.

Ο παραπάνω συλλογισμός καθιστά δυνατή τη διατύπωση ενός αλγορίθμου για την επίλυση μιας εξίσωσης τετραγωνικής.

Ορισμός 10

Για να λύσετε μια δευτεροβάθμια εξίσωση a x 2 + b x + c = 0, απαραίτητο:

• σύμφωνα με τον τύπο D = b 2 − 4 a γβρείτε τη διακριτική τιμή.
• στο Δ< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• για D = 0, βρείτε τη μοναδική ρίζα της εξίσωσης χρησιμοποιώντας τον τύπο x = - b 2 · a;
• για D > 0, προσδιορίστε δύο πραγματικές ρίζες της τετραγωνικής εξίσωσης χρησιμοποιώντας τον τύπο x = - b ± D 2 · a.

Σημειώστε ότι όταν η διάκριση είναι μηδέν, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον τύπο x = - b ± D 2 · a, θα δώσει το ίδιο αποτέλεσμα με τον τύπο x = - b 2 · a.

Ας δούμε παραδείγματα.

Παραδείγματα επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων

Ας δώσουμε μια λύση στα παραδείγματα για διαφορετικές έννοιεςδιακριτική.

Παράδειγμα 6

Πρέπει να βρούμε τις ρίζες της εξίσωσης x 2 + 2 x − 6 = 0.

Διάλυμα

Ας γράψουμε τους αριθμητικούς συντελεστές της δευτεροβάθμιας εξίσωσης: a = 1, b = 2 και c = − 6. Στη συνέχεια προχωράμε σύμφωνα με τον αλγόριθμο, δηλ. Ας αρχίσουμε να υπολογίζουμε το διακριτικό, για το οποίο θα αντικαταστήσουμε τους συντελεστές a, b Και ντοστον τύπο διάκρισης: D = b 2 − 4 · a · c = 2 2 − 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Έτσι παίρνουμε D > 0, που σημαίνει ότι η αρχική εξίσωση θα έχει δύο πραγματικές ρίζες.
Για να τα βρούμε, χρησιμοποιούμε τον ριζικό τύπο x = - b ± D 2 · a και, αντικαθιστώντας τις αντίστοιχες τιμές, παίρνουμε: x = - 2 ± 28 2 · 1. Ας απλοποιήσουμε την έκφραση που προκύπτει αφαιρώντας τον παράγοντα από το σύμβολο της ρίζας και στη συνέχεια μειώνοντας το κλάσμα:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 ή x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 ή x = - 1 - 7

Απάντηση: x = - 1 + 7​​, x = - 1 - 7.

Παράδειγμα 7

Ανάγκη επίλυσης τετραγωνικής εξίσωσης − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Διάλυμα

Ας ορίσουμε τη διάκριση: D = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. Με αυτήν την τιμή του διαχωριστή, η αρχική εξίσωση θα έχει μόνο μία ρίζα, που καθορίζεται από τον τύπο x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3,5

Απάντηση: x = 3,5.

Παράδειγμα 8

Η εξίσωση πρέπει να λυθεί 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

Διάλυμα

Οι αριθμητικοί συντελεστές αυτής της εξίσωσης θα είναι: a = 5, b = 6 και c = 2. Χρησιμοποιούμε αυτές τις τιμές για να βρούμε τη διάκριση: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Η υπολογιζόμενη διάκριση είναι αρνητική, επομένως η αρχική τετραγωνική εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες.

Στην περίπτωση που η εργασία είναι να υποδείξουμε σύνθετες ρίζες, εφαρμόζουμε τον τύπο ρίζας, εκτελώντας ενέργειες με μιγαδικούς αριθμούς:

x = - 6 ± - 4 2 5,

x = - 6 + 2 i 10 ή x = - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 · i ή x = - 3 5 - 1 5 · i.

Απάντηση:δεν υπάρχουν πραγματικές ρίζες. οι μιγαδικές ρίζες είναι οι εξής: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

Στο σχολικό πρόγραμμα σπουδών, δεν υπάρχει τυπική απαίτηση για αναζήτηση σύνθετων ριζών, επομένως, εάν κατά τη διάρκεια της λύσης η διάκριση κριθεί αρνητική, η απάντηση καταγράφεται αμέσως ότι δεν υπάρχουν πραγματικές ρίζες.

Τύπος ρίζας για ακόμη και δεύτερους συντελεστές

Ο ριζικός τύπος x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) καθιστά δυνατή την απόκτηση ενός άλλου τύπου, πιο συμπαγούς, που επιτρέπει σε κάποιον να βρει λύσεις σε τετραγωνικές εξισώσεις με άρτιο συντελεστή για x ( ή με συντελεστή της μορφής 2 · n, για παράδειγμα, 2 3 ή 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Ας δείξουμε πώς προκύπτει αυτός ο τύπος.

Ας βρεθούμε αντιμέτωποι με το καθήκον να βρούμε μια λύση στην τετραγωνική εξίσωση a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 . Προχωράμε σύμφωνα με τον αλγόριθμο: προσδιορίζουμε τη διάκριση D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) και στη συνέχεια χρησιμοποιούμε τον ριζικό τύπο:

x = - 2 n ± D 2 a, x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a .

Έστω η παράσταση n 2 − a · c συμβολίζεται ως D 1 (μερικές φορές συμβολίζεται με D "). Τότε ο τύπος για τις ρίζες της εξίσωσης δευτεροβάθμιας εξίσωσης με τον δεύτερο συντελεστή 2 · n θα έχει τη μορφή:

x = - n ± D 1 a, όπου D 1 = n 2 − a · c.

Είναι εύκολο να δούμε ότι D = 4 · D 1, ή D 1 = D 4. Με άλλα λόγια, το D 1 είναι το ένα τέταρτο της διάκρισης. Προφανώς, το πρόσημο του D 1 είναι το ίδιο με το πρόσημο του D, που σημαίνει ότι το πρόσημο του D 1 μπορεί επίσης να χρησιμεύσει ως δείκτης της παρουσίας ή απουσίας ριζών μιας τετραγωνικής εξίσωσης.

Ορισμός 11

Έτσι, για να βρεθεί μια λύση σε μια τετραγωνική εξίσωση με δεύτερο συντελεστή 2 n, είναι απαραίτητο:

• βρείτε D 1 = n 2 − a · c ;
• στο Δ 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• όταν D 1 = 0, προσδιορίστε τη μοναδική ρίζα της εξίσωσης χρησιμοποιώντας τον τύπο x = - n a.
• για D 1 > 0, προσδιορίστε δύο πραγματικές ρίζες χρησιμοποιώντας τον τύπο x = - n ± D 1 a.

Παράδειγμα 9

Είναι απαραίτητο να λυθεί η δευτεροβάθμια εξίσωση 5 x 2 − 6 x − 32 = 0.

Διάλυμα

Μπορούμε να αναπαραστήσουμε τον δεύτερο συντελεστή της δεδομένης εξίσωσης ως 2 · (− 3) . Στη συνέχεια ξαναγράφουμε τη δεδομένη τετραγωνική εξίσωση ως 5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0, όπου a = 5, n = − 3 και c = − 32.

Ας υπολογίσουμε το τέταρτο μέρος της διάκρισης: D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169. Η τιμή που προκύπτει είναι θετική, πράγμα που σημαίνει ότι η εξίσωση έχει δύο πραγματικές ρίζες. Ας τα προσδιορίσουμε χρησιμοποιώντας τον αντίστοιχο τύπο ρίζας:

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 ή x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 ή x = - 2

Θα ήταν δυνατό να πραγματοποιηθούν υπολογισμοί χρησιμοποιώντας τον συνήθη τύπο για τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης, αλλά σε αυτή την περίπτωση η λύση θα ήταν πιο δύσκολη.

Απάντηση: x = 3 1 5 ή x = - 2 .

Απλοποίηση της μορφής των τετραγωνικών εξισώσεων

Μερικές φορές είναι δυνατό να βελτιστοποιηθεί η μορφή της αρχικής εξίσωσης, η οποία θα απλοποιήσει τη διαδικασία υπολογισμού των ριζών.

Για παράδειγμα, η τετραγωνική εξίσωση 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 είναι σαφώς πιο βολική για επίλυση από 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0.

Συχνότερα, η απλοποίηση της μορφής μιας τετραγωνικής εξίσωσης πραγματοποιείται πολλαπλασιάζοντας ή διαιρώντας και τις δύο πλευρές της με έναν ορισμένο αριθμό. Για παράδειγμα, παραπάνω δείξαμε μια απλοποιημένη αναπαράσταση της εξίσωσης 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0, που προκύπτει διαιρώντας και τις δύο πλευρές με το 100.

Ένας τέτοιος μετασχηματισμός είναι δυνατός όταν οι συντελεστές της τετραγωνικής εξίσωσης δεν είναι αμοιβαίοι πρώτους αριθμούς. Τότε συνήθως διαιρούμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη των απόλυτων τιμών των συντελεστών της.

Ως παράδειγμα, χρησιμοποιούμε την τετραγωνική εξίσωση 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Ας προσδιορίσουμε το GCD των απόλυτων τιμών των συντελεστών του: GCD (12, 42, 48) = GCD (GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6. Ας διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές της αρχικής τετραγωνικής εξίσωσης με το 6 και πάρουμε την ισοδύναμη τετραγωνική εξίσωση 2 x 2 − 7 x + 8 = 0.

Πολλαπλασιάζοντας και τις δύο πλευρές μιας τετραγωνικής εξίσωσης, συνήθως απαλλαγείτε από τους κλασματικούς συντελεστές. Στην περίπτωση αυτή, πολλαπλασιάζονται με το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των παρονομαστών των συντελεστών του. Για παράδειγμα, εάν κάθε μέρος της τετραγωνικής εξίσωσης 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 πολλαπλασιαστεί με LCM (6, 3, 1) = 6, τότε θα γραφτεί σε περισσότερα σε απλή μορφή x 2 + 4 x − 18 = 0 .

Τέλος, σημειώνουμε ότι σχεδόν πάντα απαλλαγούμε από το μείον στον πρώτο συντελεστή μιας τετραγωνικής εξίσωσης αλλάζοντας τα πρόσημα κάθε όρου της εξίσωσης, το οποίο επιτυγχάνεται πολλαπλασιάζοντας (ή διαιρώντας) και τις δύο πλευρές με − 1. Για παράδειγμα, από την τετραγωνική εξίσωση − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0, μπορείτε να μεταβείτε στην απλοποιημένη έκδοσή της 2 x 2 + 3 x − 7 = 0.

Σχέση μεταξύ ριζών και συντελεστών

Ο τύπος για τις ρίζες των τετραγωνικών εξισώσεων, ήδη γνωστός σε εμάς, x = - b ± D 2 · a, εκφράζει τις ρίζες της εξίσωσης μέσω των αριθμητικών συντελεστών της. Με βάση αυτόν τον τύπο, έχουμε την ευκαιρία να καθορίσουμε άλλες εξαρτήσεις μεταξύ των ριζών και των συντελεστών.

Οι πιο διάσημοι και εφαρμόσιμοι τύποι είναι το θεώρημα του Vieta:

x 1 + x 2 = - b a και x 2 = c a.

Συγκεκριμένα, για τη δεδομένη τετραγωνική εξίσωση, το άθροισμα των ριζών είναι ο δεύτερος συντελεστής με το αντίθετο πρόσημο και το γινόμενο των ριζών είναι ίσο με τον ελεύθερο όρο. Για παράδειγμα, κοιτάζοντας τη μορφή της δευτεροβάθμιας εξίσωσης 3 x 2 − 7 x + 22 = 0, είναι δυνατό να προσδιοριστεί αμέσως ότι το άθροισμα των ριζών της είναι 7 3 και το γινόμενο των ριζών είναι 22 3.

Μπορείτε επίσης να βρείτε μια σειρά από άλλες συνδέσεις μεταξύ των ριζών και των συντελεστών μιας τετραγωνικής εξίσωσης. Για παράδειγμα, το άθροισμα των τετραγώνων των ριζών μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης μπορεί να εκφραστεί με όρους συντελεστών:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Εάν παρατηρήσετε κάποιο σφάλμα στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter