Πώς να υπολογίσετε την περίμετρο ενός πολυγώνου από δεδομένες συντεταγμένες. Τι είναι περίμετρος

Σπίτι Στα παρακάτωδοκιμαστικές εργασίες

πρέπει να βρείτε την περίμετρο του σχήματος που φαίνεται στο σχήμα. Μπορείτε να βρείτε την περίμετρο ενός σχήματοςμε διαφορετικούς τρόπους

. Μπορείτε να μετατρέψετε το αρχικό σχήμα έτσι ώστε η περίμετρος του νέου σχήματος να μπορεί να υπολογιστεί εύκολα (για παράδειγμα, αλλαγή σε ορθογώνιο).

Μια άλλη λύση είναι να αναζητήσετε απευθείας την περίμετρο του σχήματος (ως το άθροισμα των μηκών όλων των πλευρών του). Αλλά σε αυτήν την περίπτωση, δεν μπορείτε να βασιστείτε μόνο στο σχέδιο, αλλά να βρείτε τα μήκη των τμημάτων με βάση τα δεδομένα του προβλήματος.

Θα ήθελα να σας προειδοποιήσω: σε μία από τις εργασίες, μεταξύ των προτεινόμενων επιλογών απάντησης, δεν βρήκα αυτή που λειτούργησε για μένα. .

ΝΤΟ)

Ας μετακινήσουμε τις πλευρές των μικρών ορθογωνίων από την εσωτερική περιοχή στην εξωτερική. Ως αποτέλεσμα, το μεγάλο ορθογώνιο είναι κλειστό. Τύπος για την εύρεση της περιμέτρου ενός ορθογωνίου Στην περίπτωση αυτή, a=9a, b=3a+a=4a. Έτσι, P=2(9a+4a)=26a. Στην περίμετρο του μεγάλου ορθογωνίου προσθέτουμε το άθροισμα των μηκών τεσσάρων τμημάτων, καθένα από τα οποία είναι ίσο με 3α. Ως αποτέλεσμα, P=26a+4∙3a= .

Θα ήθελα να σας προειδοποιήσω: σε μία από τις εργασίες, μεταξύ των προτεινόμενων επιλογών απάντησης, δεν βρήκα αυτή που λειτούργησε για μένα. .

38α

Αφού μεταφέρουμε τις εσωτερικές πλευρές των μικρών ορθογωνίων στην εξωτερική περιοχή, παίρνουμε ένα μεγάλο παραλληλόγραμμο του οποίου η περίμετρος είναι P=2(10x+6x)=32x, και τέσσερα τμήματα, δύο μήκους x, δύο 2x. Σύνολο, P=32x+2∙2x+2∙x= .

?) .

38x Ας μετακινήσουμε 6 οριζόντια «βήματα» από μέσα προς τα έξω. Η περίμετρος του μεγάλου ορθογωνίου που προκύπτει είναι P=2(6y+8y)=28y. Μένει να βρούμε το άθροισμα των μηκών των τμημάτων μέσα στο ορθογώνιο 4y+6∙y=10y. Έτσι, η περίμετρος του σχήματος είναι P=28y+10y= .

38 ετών .

ΡΕ)

Ας μετακινήσουμε τα κατακόρυφα τμήματα από την εσωτερική περιοχή του σχήματος προς τα αριστερά, στην εξωτερική περιοχή. Για να αποκτήσετε ένα μεγάλο ορθογώνιο, μετακινήστε ένα από τα τμήματα μήκους 4x στην κάτω αριστερή γωνία. Βρίσκουμε την περίμετρο του αρχικού σχήματος ως το άθροισμα της περιμέτρου αυτού του μεγάλου ορθογωνίου και τα μήκη των τριών τμημάτων που απομένουν μέσα P=2(10x+8x)+6x+4x+2x= .

48x .

ΜΙ) Έχοντας μεταφέρειεσωτερικές πλευρές μικρά ορθογώνια προς την εξωτερική περιοχή, παίρνουμε ένα μεγάλο τετράγωνο. Η περίμετρός του είναι P=4∙10x=40x. Για να λάβετε την περίμετρο του αρχικού σχήματος, πρέπει να προσθέσετε το άθροισμα των μηκών οκτώ τμημάτων, το καθένα 3x μήκος, στην περίμετρο του τετραγώνου. Σύνολο, P=40x+8∙3x= .

64x .

Ας μετακινήσουμε όλα τα οριζόντια "βήματα" και τα κατακόρυφα ανώτερα τμήματα στην εξωτερική περιοχή. Η περίμετρος του παραλληλογράμμου που προκύπτει είναι P=2(7y+4y)=22y. Για να βρείτε την περίμετρο του αρχικού σχήματος, πρέπει να προσθέσετε στην περίμετρο του ορθογωνίου το άθροισμα των μηκών τεσσάρων τμημάτων, το καθένα μήκους y: P=22y+4∙y= 26 ετών .

38 ετών .

Ας μετακινήσουμε όλες τις οριζόντιες γραμμές από την εσωτερική περιοχή στην εξωτερική και ας μετακινήσουμε τις δύο κάθετες εξωτερικές γραμμές στην αριστερή και δεξιά γωνία, αντίστοιχα, z προς τα αριστερά και προς τα δεξιά. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε ένα μεγάλο ορθογώνιο του οποίου η περίμετρος είναι P=2(11z+3z)=28z.

Περίμετρος του αρχικού σχήματος ίσο με το άθροισμαπερίμετρος μεγάλου ορθογωνίου και μήκη έξι τμημάτων κατά μήκος z: P=28z+6∙z= 34z .

64x .

Η λύση είναι εντελώς παρόμοια με τη λύση του προηγούμενου παραδείγματος. Αφού μεταμορφώσουμε το σχήμα, βρίσκουμε την περίμετρο του μεγάλου ορθογωνίου:

P=2(5z+3z)=16z. Στην περίμετρο του παραλληλογράμμου προσθέτουμε το άθροισμα των μηκών των υπόλοιπων έξι τμημάτων, καθένα από τα οποία είναι ίσο με z: P=16z+6∙z= 22z .

Ένα ορθογώνιο έχει πολλά χαρακτηριστικά γνωρίσματα, βάσει των οποίων έχουν αναπτυχθεί κανόνες για τον υπολογισμό των διαφόρων αριθμητικών χαρακτηριστικών του. Λοιπόν, ένα ορθογώνιο:

Επίπεδη γεωμετρική φιγούρα;
Τετράπλευρο;
Ένα σχήμα στο οποίο οι απέναντι πλευρές είναι ίσες και παράλληλες, όλες οι γωνίες είναι ορθές.

Η περίμετρος είναι το συνολικό μήκος όλων των πλευρών του σχήματος.

Ο υπολογισμός της περιμέτρου ενός ορθογωνίου είναι μια αρκετά απλή εργασία.

Το μόνο που χρειάζεται να γνωρίζετε είναι το πλάτος και το μήκος του ορθογωνίου. Αφού ένα ορθογώνιο έχει δύο ίσα μήκηκαι δύο ίσα πλάτη, μετριέται μόνο η μία πλευρά.

Η περίμετρος ενός ορθογωνίου είναι ίση με το διπλάσιο του αθροίσματος των δύο πλευρών του, μήκους και πλάτους.

P = (a + b) 2, όπου a είναι το μήκος του ορθογωνίου, b είναι το πλάτος του ορθογωνίου.

Η περίμετρος ενός ορθογωνίου μπορεί επίσης να βρεθεί χρησιμοποιώντας το άθροισμα όλων των πλευρών.

P= a+a+b+b, όπου a είναι το μήκος του ορθογωνίου, b το πλάτος του ορθογωνίου.

Η περίμετρος ενός τετραγώνου είναι το μήκος της πλευράς του τετραγώνου πολλαπλασιαζόμενο επί 4.

P = a 4, όπου a είναι το μήκος της πλευράς του τετραγώνου.

Πρόσθεση: Εύρεση του εμβαδού και της περιμέτρου των ορθογωνίων

Το πρόγραμμα σπουδών για την 3η τάξη περιλαμβάνει τη μελέτη των πολυγώνων και των χαρακτηριστικών τους. Για να καταλάβουμε πώς να βρούμε την περίμετρο ενός ορθογωνίου και ενός εμβαδού, ας καταλάβουμε τι εννοείται με αυτές τις έννοιες.

Βασικές Έννοιες

Η εύρεση περιμέτρου και εμβαδού απαιτεί γνώση κάποιων όρων. Αυτά περιλαμβάνουν:

1. Ορθή γωνία. Σχηματίζεται από 2 ακτίνες που έχουν κοινή προέλευση με τη μορφή σημείου. Όταν μαθαίνετε για τα σχήματα (βαθμός 3), προσδιορίζεται μια ορθή γωνία χρησιμοποιώντας ένα τετράγωνο.
2. Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Αυτό είναι ένα τετράπλευρο του οποίου οι γωνίες είναι όλες σωστές. Οι πλευρές του ονομάζονται μήκος και πλάτος. Όπως γνωρίζετε, οι απέναντι πλευρές αυτού του αριθμού είναι ίσες.
3. Πλατεία. Είναι τετράπλευρο με όλες τις πλευρές ίσες.

Όταν εξοικειωθείτε με τα πολύγωνα, οι κορυφές τους μπορεί να ονομάζονται ABCD. Στα μαθηματικά, συνηθίζεται να ονομάζουμε σημεία στα σχέδια με γράμματα. Λατινικό αλφάβητο. Το όνομα του πολυγώνου παραθέτει όλες τις κορυφές χωρίς κενά, για παράδειγμα, τρίγωνο ABC.

Υπολογισμός περιμέτρου

Η περίμετρος ενός πολυγώνου είναι το άθροισμα των μηκών όλων των πλευρών του. Αυτή η τιμή υποδηλώνεται με το λατινικό γράμμα P. Το επίπεδο γνώσεων για τα προτεινόμενα παραδείγματα είναι 3η τάξη.

Πρόβλημα #1: «Σχεδιάστε ένα ορθογώνιο πλάτους 3 cm και μήκους 4 cm με κορυφές ABCD. Βρείτε την περίμετρο του ορθογωνίου ABCD."

Ο τύπος θα μοιάζει με αυτό: P=AB+BC+CD+AD ή P=AB×2+BC×2.

Απάντηση: P=3+4+3+4=14 (cm) ή P=3×2 + 4×2=14 (cm).

Πρόβλημα Νο. 2: «Πώς να βρείτε την περίμετρο ενός ορθογώνιου τριγώνου ABC εάν οι πλευρές είναι 5, 4 και 3 cm;»

Απάντηση: Ρ=5+4+3=12 (εκ.).

Πρόβλημα Νο. 3: «Βρείτε την περίμετρο ενός ορθογωνίου, του οποίου η μία πλευρά είναι 7 cm και η άλλη 2 cm μεγαλύτερη».

Απάντηση: Ρ=7+9+7+9=32 (εκ.).

Πρόβλημα Νο. 4: «Ο αγώνας κολύμβησης έγινε σε πισίνα της οποίας η περίμετρος είναι 120 μέτρα Πόσα μέτρα κολύμπησε ο αγωνιζόμενος αν το πλάτος της πισίνας είναι 10 μέτρα;»

Σε αυτό το πρόβλημα το ερώτημα είναι πώς να βρείτε το μήκος της πισίνας. Για να λύσετε, βρείτε τα μήκη των πλευρών του ορθογωνίου. Το πλάτος είναι γνωστό. Το άθροισμα των μηκών των δύο άγνωστων πλευρών πρέπει να είναι 120-10×2=100. Για να μάθετε την απόσταση που έχει διανύσει ο κολυμβητής, πρέπει να διαιρέσετε το αποτέλεσμα με το 2. 100:2=50.

Απάντηση: 50 (μ).

Υπολογισμός επιφάνειας

Μια πιο σύνθετη ποσότητα είναι η περιοχή του σχήματος. Για τη μέτρησή του χρησιμοποιούνται μετρήσεις. Το πρότυπο μεταξύ των μετρήσεων είναι τα τετράγωνα.

Το εμβαδόν ενός τετραγώνου με πλευρά 1 cm είναι 1 cm². Ένα τετράγωνο δεκατόμετρο συμβολίζεται ως dm² και ένα τετραγωνικό μέτρο συμβολίζεται ως m².

Οι τομείς εφαρμογής των μονάδων μέτρησης μπορεί να είναι:

1. Μικρά αντικείμενα όπως φωτογραφίες, εξώφυλλα σχολικών βιβλίων και φύλλα χαρτιού μετρώνται σε cm².
2. Σε dm² μπορεί να μετρηθεί γεωγραφικός χάρτης, τζάμι, ζωγραφική.
3. Για μέτρηση ορόφων, διαμερισμάτων, οικόπεδοχρησιμοποιήστε m².

Εάν σχεδιάσετε ένα ορθογώνιο μήκους 3 cm και πλάτους 1 cm και το χωρίσετε σε τετράγωνα με πλευρά 1 cm, τότε θα χωρέσει 3 τετράγωνα, που σημαίνει ότι η περιοχή του θα είναι 3 cm². Αν το παραλληλόγραμμο χωριστεί σε τετράγωνα, μπορούμε να βρούμε και την περίμετρο του ορθογωνίου χωρίς δυσκολία. Σε αυτή την περίπτωση είναι 8 cm.

Ένας άλλος τρόπος για να μετρήσετε τον αριθμό των τετραγώνων που ταιριάζουν σε ένα σχήμα είναι να χρησιμοποιήσετε μια παλέτα. Ας σχεδιάσουμε ένα τετράγωνο σε χαρτί παρακολούθησης με εμβαδόν 1 dm², που είναι 100 cm². Τοποθετήστε το χαρτί παρακολούθησης στο σχήμα και μετρήστε τον αριθμό των τετραγωνικών εκατοστών σε μια σειρά. Μετά από αυτό, βρίσκουμε τον αριθμό των σειρών και, στη συνέχεια, πολλαπλασιάζουμε τις τιμές. Αυτό σημαίνει ότι το εμβαδόν ενός ορθογωνίου είναι το γινόμενο του μήκους και του πλάτους του.

Τρόποι σύγκρισης περιοχών:

1. Με το μάτι. Μερικές φορές αρκεί απλώς να κοιτάξουμε αντικείμενα, αφού σε ορισμένες περιπτώσεις είναι ξεκάθαρο με γυμνό μάτι ότι μια φιγούρα καταλαμβάνει περισσότερο χώρο, όπως ένα σχολικό βιβλίο που βρίσκεται στο τραπέζι δίπλα στη μολυβοθήκη.
2. Επικάλυμμα. Εάν τα σχήματα συμπίπτουν κατά την υπέρθεση, το εμβαδόν τους είναι ίσο. Αν ένα από αυτά χωράει εντελώς μέσα στο δεύτερο, τότε το εμβαδόν του είναι μικρότερο. Οι χώροι που καταλαμβάνονται από ένα φύλλο σημειωματάριου και μια σελίδα από ένα σχολικό βιβλίο μπορούν να συγκριθούν τοποθετώντας τα το ένα πάνω στο άλλο.
3. Με τον αριθμό των μετρήσεων. Όταν υπερτίθενται, οι αριθμοί μπορεί να μην συμπίπτουν, αλλά να έχουν την ίδια περιοχή. Σε αυτήν την περίπτωση, μπορείτε να συγκρίνετε μετρώντας τον αριθμό των τετραγώνων στα οποία χωρίζεται το σχήμα.
4. Αριθμοί. Συγκρίνονται αριθμητικές τιμές που μετρώνται με το ίδιο πρότυπο, για παράδειγμα, σε m².

Παράδειγμα Νο 1: «Μια μοδίστρα έραψε μια βρεφική κουβέρτα από τετράγωνα πολύχρωμα υπολείμματα. Ένα κομμάτι μήκους 1 dm, 5 κομμάτια στη σειρά. Πόσα δεκατόμετρα ταινίας θα χρειαστεί μια μοδίστρα για να επεξεργαστεί τις άκρες μιας κουβέρτας αν η επιφάνεια είναι 50 dm²;»

Για να λύσετε το πρόβλημα, πρέπει να απαντήσετε στην ερώτηση πώς να βρείτε το μήκος ενός ορθογωνίου. Στη συνέχεια, βρείτε την περίμετρο ενός ορθογωνίου που αποτελείται από τετράγωνα. Από το πρόβλημα είναι ξεκάθαρο ότι το πλάτος της κουβέρτας είναι 5 dm υπολογίζουμε το μήκος διαιρώντας το 50 με το 5 και παίρνουμε 10 dm. Βρείτε τώρα την περίμετρο ενός παραλληλογράμμου με πλευρές 5 και 10. P=5+5+10+10=30.

Απάντηση: 30 (μ).

Παράδειγμα Νο 2: «Κατά τις ανασκαφές ανακαλύφθηκε μια περιοχή όπου μπορεί να βρίσκονται αρχαίοι θησαυροί. Πόση περιοχή θα πρέπει να εξερευνήσουν οι επιστήμονες εάν η περίμετρος είναι 18 m και το πλάτος του ορθογωνίου είναι 3 m;

Ας προσδιορίσουμε το μήκος του τμήματος εκτελώντας 2 βήματα. 18-3×2=12. 12:2=6. Η απαιτούμενη επιφάνεια θα είναι επίσης ίση με 18 m² (6×3=18).

Απάντηση: 18 (m²).

Έτσι, η γνώση των τύπων, ο υπολογισμός του εμβαδού και της περιμέτρου δεν θα είναι δύσκολος και τα παραπάνω παραδείγματα θα σας βοηθήσουν να εξασκηθείτε στην επίλυση μαθηματικών προβλημάτων.

Ένα ορθογώνιο (ή παραλληλόγραμμο) ABCD, τότε έχει τις ακόλουθες ιδιότητες: παράλληλες πλευρέςκατά ζεύγη ίσο (βλ.). AB = SD και AC = VD. Γνωρίζοντας την αναλογία των πλευρών σε αυτό το σχήμα, μπορούμε να συμπεράνουμε ορθογώνιο παραλληλόγραμμο(και παραλληλόγραμμο): P = AB + SD + AC + VD. Έστω μερικές πλευρές ίσες με τον αριθμό a, άλλες με τον αριθμό b, τότε P = a + a + b + b = 2*a = 2* b = 2*(a + b). Παράδειγμα 1. Στο ABCD, οι πλευρές είναι ίσες με AB = CD = 7 cm και AC = WD = 3 cm Βρείτε την περίμετρο ενός τέτοιου ορθογωνίου. Λύση: P = 2*(a + b). P = 2*(7 +3) = 20 cm.

Όταν επιλύετε προβλήματα που αφορούν το άθροισμα των μηκών των πλευρών με ένα σχήμα που ονομάζεται τετράγωνο ή ρόμβος, θα πρέπει να χρησιμοποιείτε έναν ελαφρώς τροποποιημένο τύπο περιμέτρου. Ένα τετράγωνο και ένας ρόμβος είναι σχήματα που έχουν τις ίδιες τέσσερις πλευρές. Με βάση τον ορισμό της περιμέτρου, P = AB + SD + AC + VD και υποθέτοντας μήκη με το γράμμα a, τότε P = a + a + a + a = 4*a. Παράδειγμα 2. Ρόμβος με πλευρές 2 cm Βρείτε την περίμετρό του. Λύση: 4*2 cm = 8 cm.

Εάν αυτό το τετράπλευρο είναι τραπεζοειδές, τότε σε αυτήν την περίπτωση χρειάζεται απλώς να προσθέσετε τα μήκη των τεσσάρων πλευρών του. P = AB + SD + AC + VD. Παράδειγμα 3. Βρείτε το ABCD αν οι πλευρές του είναι ίσες: AB = 1 cm, CD = 3 cm, AC = 4 cm, VD = 2 cm Λύση: P = AB + CD + AC + VD = 1 cm + 3 cm + 4 cm + 2 cm = 10 cm Μπορεί να συμβεί ότι είναι ισοσκελές (οι δύο πλευρικές πλευρές του είναι ίσες), τότε η περίμετρός του μπορεί να μειωθεί στον τύπο: P = AB + CD + AC + VD = a + b +. a + c = 2*a + b + c. Παράδειγμα 4. Να βρείτε την περίμετρο ενός ισοσκελούς αν οι πλευρικές του όψεις είναι 4 cm, και οι βάσεις του είναι 2 cm και 6 cm Λύση: P = 2*a + b + c = 2 *4cm + 2 cm + 6 cm = 16. εκ.

Βίντεο σχετικά με το θέμα

Χρήσιμες συμβουλές

Κανείς δεν σας ενοχλεί να βρείτε την περίμετρο ενός τετράπλευρου (και οποιουδήποτε άλλου σχήματος) ως το άθροισμα των μηκών των πλευρών, χωρίς να χρησιμοποιήσετε τους παραγόμενους τύπους. Δίνονται για ευκολία και για απλοποίηση των υπολογισμών. Η μέθοδος επίλυσης δεν είναι λάθος η σωστή απάντηση και η γνώση της μαθηματικής ορολογίας είναι σημαντική.

Πηγές:

• πώς να βρείτε την περίμετρο ενός ορθογωνίου

Κάποια στιγμή στο σχολείο, όλοι αρχίζουμε να μελετάμε την περίμετρο ενός ορθογωνίου. Ας θυμηθούμε λοιπόν πώς να το υπολογίσουμε και τι είναι η περίμετρος γενικά;

Η λέξη «περίμετρος» προέρχεται από δύο Ελληνικές λέξεις: «περί» που σημαίνει «γύρω», «κοντά» και «μέτρον» που σημαίνει «μετρώ», «μετρώ». Εκείνοι. περίμετρος, μεταφρασμένο από τα ελληνικά, σημαίνει «μέτρηση γύρω».

Προφανώς, το όριο οποιουδήποτε κύκλου είναι ένας κύκλος. Επομένως, η έννοια της περιμέτρου ενός κύκλου συμπίπτει με την έννοια της περιφέρειας. Επομένως, ας θυμηθούμε πρώτα τι είναι ένας κύκλος και ποιες έννοιες συνδέονται με αυτόν.

Έννοια του κύκλου

Ορισμός 1

Κύκλο θα ονομάσουμε ένα γεωμετρικό σχήμα που αποτελείται από όλα αυτά τα σημεία που βρίσκονται στην ίδια απόσταση από ένα δεδομένο σημείο.

Ορισμός 2

Θα ονομάσουμε κέντρο του κύκλου το σημείο που καθορίζεται στον Ορισμό 1.

Ορισμός 3

Η ακτίνα ενός κύκλου θα είναι η απόσταση από το κέντρο αυτού του κύκλου σε οποιοδήποτε από τα σημεία του (Εικ. 1).

Στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων $xOy$ μπορούμε επίσης να εισαγάγουμε την εξίσωση οποιουδήποτε κύκλου. Ας υποδηλώσουμε το κέντρο του κύκλου με το σημείο $X$, το οποίο θα έχει συντεταγμένες $(x_0,y_0)$. Έστω η ακτίνα αυτού του κύκλου ίση με $τ$. Ας πάρουμε ένα αυθαίρετο σημείο $Y$, του οποίου τις συντεταγμένες συμβολίζουμε με $(x,y)$ (Εικ. 2).

Χρησιμοποιώντας τον τύπο για την απόσταση μεταξύ δύο σημείων στο δεδομένο μας σύστημα συντεταγμένων, παίρνουμε:

$|XY|=\sqrt((x-x_0)^2+(y-y_0)^2)$

Από την άλλη πλευρά, το $|XY|$ είναι η απόσταση από οποιοδήποτε σημείο του κύκλου μέχρι το επιλεγμένο μας κέντρο. Δηλαδή, με τον ορισμό 3, λαμβάνουμε ότι $|XY|=τ$, επομένως

$\sqrt((x-x_0)^2+(y-y_0)^2)=τ$

$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=τ^2$ (1)

Έτσι, παίρνουμε ότι η εξίσωση (1) είναι η εξίσωση ενός κύκλου στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων.

Περιφέρεια (περίμετρος κύκλου)

Θα εξαγάγουμε το μήκος ενός αυθαίρετου κύκλου $C$ χρησιμοποιώντας την ακτίνα του ίση με $τ$.

Θα εξετάσουμε δύο αυθαίρετους κύκλους. Ας υποδηλώσουμε τα μήκη τους με $C$ και $C"$, των οποίων οι ακτίνες είναι ίσες με $τ$ και $τ"$. Θα εγγράψουμε κανονικά $n$-gons σε αυτούς τους κύκλους, οι περίμετροι των οποίων είναι ίσες με $ρ$ και $ρ"$, τα μήκη των πλευρών είναι ίσα με $α$ και $α"$, αντίστοιχα. Όπως γνωρίζουμε, η πλευρά ενός κανονικού $n$-gon εγγεγραμμένου σε κύκλο ισούται με

$α=2τsin\frac(180^0)(n)$

Τότε, θα το πάρουμε

$ρ=nα=2nτ\frac(sin180^0)(n)$

$ρ"=nα"=2nτ"\frac(sin180^0)(n)$

$\frac(ρ)(ρ")=\frac(2nτsin\frac(180^0)(n))(2nτ"\frac(sin180^0)(n))=\frac(2τ)(2τ") $

Διαπιστώνουμε ότι η σχέση $\frac(ρ)(ρ")=\frac(2τ)(2τ")$ θα είναι αληθής ανεξάρτητα από την τιμή του αριθμού των πλευρών των εγγεγραμμένων κανονικών πολυγώνων. Ήτοι

$\lim_(n\to\infty)(\frac(ρ)(ρ"))=\frac(2τ)(2τ")$

Από την άλλη, αν αυξήσουμε άπειρα τον αριθμό των εγγεγραμμένων πλευρών κανονικά πολύγωνα(δηλαδή $n→∞$), παίρνουμε την ισότητα:

$lim_(n\to\infty)(\frac(ρ)(ρ"))=\frac(C)(C")$

Από τις δύο τελευταίες ισότητες παίρνουμε ότι

$\frac(C)(C")=\frac(2τ)(2τ")$

$\frac(C)(2τ)=\frac(C")(2τ")$

Βλέπουμε ότι ο λόγος της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διπλή ακτίνα του είναι πάντα ο ίδιος αριθμός, ανεξάρτητα από την επιλογή του κύκλου και των παραμέτρων του, δηλαδή

$\frac(C)(2τ)=const$

Αυτή η σταθερά θα πρέπει να ονομάζεται αριθμός "pi" και να συμβολίζεται $π$. Κατά προσέγγιση, αυτός ο αριθμός θα είναι ίσος με $3,14 $ ( ακριβής τιμήαυτός ο αριθμός δεν υπάρχει, αφού είναι ένας παράλογος αριθμός). Ετσι

$\frac(C)(2τ)=π$

Τέλος, διαπιστώνουμε ότι η περιφέρεια (περίμετρος κύκλου) καθορίζεται από τον τύπο

Δείγματα εργασιών

Παράδειγμα 1

Βρείτε την περίμετρο ενός κύκλου που είναι εγγεγραμμένος σε τετράγωνο με πλευρά ίση με $α$.

Ας μας δοθεί ένα τετράγωνο $ABCD$ στο οποίο είναι εγγεγραμμένος ένας κύκλος με κέντρο $O$. Ας σχεδιάσουμε μια εικόνα σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος (Εικ. 3).

Προφανώς, το κέντρο του κύκλου θα συμπίπτει με το κέντρο του τετραγώνου στο οποίο είναι εγγεγραμμένος. Εφόσον το τετράγωνο είναι περιγεγραμμένο γύρω από έναν κύκλο, οι πλευρές του θα είναι εφαπτόμενες σε αυτό, δηλαδή, η ακτίνα που σχεδιάζεται, για παράδειγμα, στην πλευρά $AB$ θα είναι κάθετη σε αυτό. Αυτό σημαίνει ότι η διάμετρος του κύκλου είναι ίση με την πλευρά του τετραγώνου. Ήτοι

$τ=\frac(α)(2)$

Χρησιμοποιώντας τον τύπο για την περίμετρο ενός κύκλου, το παίρνουμε

$C=2π\cdot \frac(α)(2)=πα$

Απάντηση: $πα$.

Παράδειγμα 2

Βρείτε την περίμετρο του κύκλου που περιγράφεται από ένα ορθογώνιο τρίγωνο με σκέλη ίσα με $α$ και $β$.

Ας μας δοθεί ένα τρίγωνο $ABC$ με ορθή γωνία $C$, το οποίο έχει έναν περιγεγραμμένο κύκλο με κέντρο $O$. Όπως γνωρίζουμε, η διάμετρος ενός τέτοιου κύκλου είναι η υποτείνουσα ενός τέτοιου τριγώνου. Δηλαδή, $|AO|=|OB|=|OC|=τ$ (Εικ. 4).

Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα, η υποτείνουσα ισούται με

$|AB|=\sqrt(α^2+β^2)$

$|AO|=τ=\frac(\sqrt(α^2+β^2))(2)$

Η περίμετρος ενός κύκλου, σύμφωνα με τον τύπο, είναι ίση με

$C=2π\cdot \frac(\sqrt(α^2+β^2))(2)=π\sqrt(α^2+β^2)$

Απάντηση: $π\sqrt(α^2+β^2)$.

Ορθογώνιο - P = 2*a + 2*b = 2*3 + 2*6 = 6 + 12 = 18. Σε αυτό το πρόβλημα, η περίμετρος συμπίπτει σε τιμή με την περιοχή του σχήματος.

ΤετράγωνοΠρόβλημα: βρείτε την περίμετρο ενός τετραγώνου αν το εμβαδόν του είναι 9. Λύση: χρησιμοποιώντας τον τύπο για το εμβαδόν ενός τετραγώνου S = a^2, από εδώ βρείτε το μήκος της πλευράς a = 3. Η περίμετρος είναι ίση με το άθροισμα των μηκών όλων των πλευρών, επομένως, P = 4*a = 4*3 = 12.

Τρίγωνο Πρόβλημα: δίνεται ένα αυθαίρετο ΑΒΓ του οποίου το εμβαδόν είναι 14. Να βρείτε την περίμετρο του τριγώνου εάν μια ευθεία που σύρεται από την κορυφή Β διαιρεί τη βάση του τριγώνου σε τμήματα μήκους 3 και 4 cm Λύση: σύμφωνα με τον τύπο, το εμβαδόν του το τρίγωνο είναι το μισό του γινόμενου της βάσης κατά , δηλ. S = ½*AC*BE. Η περίμετρος είναι ίση με το άθροισμα των μηκών όλων των πλευρών. Βρείτε το μήκος της πλευράς AC προσθέτοντας τα μήκη AE και EC, AC = 3 + 4 = 7. Βρείτε το ύψος του τριγώνου BE = S*2/AC = 14*2/7 = 4. Θεωρήστε ορθογώνιο τρίγωνο ABE. Γνωρίζοντας τα AE και BE, μπορείτε να βρείτε την υποτείνουσα χρησιμοποιώντας τον πυθαγόρειο τύπο AB^2 = AE^2 + BE^2, AB = √(3^2 + 4^2) = √25 = 5. Θεωρήστε το ορθογώνιο τρίγωνο BEC. Σύμφωνα με τον Πυθαγόρειο τύπο BC^2 = BE^2 + EC^2, BC = √(4^2 + 4^2) = 4*√2 Τώρα τα μήκη όλων των πλευρών του τριγώνου. Να βρείτε την περίμετρο από το άθροισμά τους P = AB + BC + AC = 5 + 4*√2 + 7 = 12 + 4*√2 = 4*(3+√2).

Πρόβλημα Κύκλου: είναι γνωστό ότι το εμβαδόν ενός κύκλου είναι 16*π, βρείτε την περίμετρό του Λύση: γράψτε τον τύπο για το εμβαδόν ενός κύκλου S = π*r^2. Βρείτε την ακτίνα του κύκλου r = √(S/π) = √16 = 4. Σύμφωνα με τον τύπο, περίμετρος P = 2*π*r = 2*π*4 = 8*π. Αν δεχτούμε ότι π = 3,14, τότε P = 8*3,14 = 25,12.

Πηγές:

• εμβαδόν ισούται με την περίμετρο

Κάποια στιγμή στο σχολείο, όλοι αρχίζουμε να μελετάμε την περίμετρο ενός ορθογωνίου. Ας θυμηθούμε λοιπόν πώς να το υπολογίσουμε και τι είναι η περίμετρος γενικά;

Η λέξη «περίμετρος» προέρχεται από δύο ελληνικές λέξεις: «περί», που σημαίνει «γύρω», «περίπου» και «μέτρον», που σημαίνει «μετρώ», «μετρώ». Εκείνοι. περίμετρος, μεταφρασμένο από τα ελληνικά, σημαίνει «μέτρηση γύρω».

Οδηγίες

Ο δεύτερος ορισμός θα ακούγεται ως εξής: η περίμετρος ενός ορθογωνίου είναι διπλάσιο από το άθροισμα του μήκους και του πλάτους του.

Βίντεο σχετικά με το θέμα

Χρήσιμες συμβουλές

Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου είναι το γινόμενο του μήκους του επί το πλάτος του. Το πέμετρο είναι το άθροισμα όλων των πλευρών.

Πηγές:

Ο κύκλος είναι ένα γεωμετρικό σχήμα που σχηματίζεται από πολλά σημεία που απέχουν από το κέντρο κύκλοςσε ίση απόσταση. Με βάση τα γνωστά κύκλοςδεδομένα, υπάρχουν 2 τύποι για τον προσδιορισμό του εμβαδού του που ακολουθούν ο ένας από τον άλλο.

θα χρειαστείτε

• Η τιμή της σταθεράς π (ίση με 3,14).
• Μέγεθος διαμέτρου/ακτίνας κύκλου.

Οδηγίες

Βίντεο σχετικά με το θέμα

Ένα τετράγωνο είναι ένα όμορφο και απλό, επίπεδο γεωμετρικό σχήμα. Αυτό είναι ένα ορθογώνιο με ίσες πλευρές. Πώς να βρείτε περίμετρος πλατεία, αν είναι γνωστό το μήκος της πλευράς του;

Οδηγίες

Πρώτα απ 'όλα, να το θυμάστε αυτό περίμετροςδεν είναι τίποτα άλλο από το άθροισμα ενός γεωμετρικού σχήματος. Εξετάζουμε τέσσερις πλευρές. Επιπλέον, σύμφωνα με , όλες αυτές οι πλευρές είναι ίσες μεταξύ .
Από αυτές τις εγκαταστάσεις είναι εύκολο να βρεθεί περίμετροςΕΝΑ πλατεία – περίμετρος πλατείαμήκος πλευράς πλατεία, πολλαπλασιαζόμενο επί τέσσερα:
P = 4a, όπου a είναι το μήκος της πλευράς πλατεία.

Βίντεο σχετικά με το θέμα

Συμβουλή 6: Πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός τριγώνου και ενός ορθογωνίου

Το τρίγωνο και το ορθογώνιο είναι τα δύο πιο απλά επίπεδα επίπεδα γεωμετρικά σχήματαστην Ευκλείδεια γεωμετρία. Μέσα στις περιμέτρους που σχηματίζονται από τις πλευρές αυτών των πολυγώνων, υπάρχει ένα συγκεκριμένο τμήμα του επιπέδου, το εμβαδόν του οποίου μπορεί να προσδιοριστεί με πολλούς τρόπους. Η επιλογή της μεθόδου σε κάθε συγκεκριμένη περίπτωση θα εξαρτηθεί από τις γνωστές παραμέτρους των σχημάτων.

Οδηγίες

Χρησιμοποιήστε έναν από τους τύπους χρησιμοποιώντας τριγωνομετρικούς τύπους για να βρείτε το εμβαδόν ενός τριγώνου εάν είναι γνωστές οι τιμές μιας ή περισσότερων γωνιών. Για παράδειγμα, με μια γνωστή γωνία (α) και τα μήκη των πλευρών που την αποτελούν (Β και Γ), το εμβαδόν (S) μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο S=B*C*sin(α)/2. Και με τις τιμές όλων των γωνιών (α, β και γ) και το μήκος μιας πλευράς επιπλέον (A), μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον τύπο S=A²*sin(β)*sin(γ)/(2* αμαρτία(α)). Εάν, εκτός από όλες τις γωνίες, είναι γνωστό και το (R) του κυκλικού κύκλου, τότε χρησιμοποιήστε τον τύπο S=2*R²*sin(α)*sin(β)*sin(γ).

Εάν οι γωνίες δεν είναι γνωστές, τότε μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τριγωνομετρικές συναρτήσεις για να βρείτε την περιοχή του τριγώνου. Για παράδειγμα, εάν το (Η) σχεδιάζεται από μια πλευρά που επίσης γνωρίζει (Α), τότε χρησιμοποιήστε τον τύπο S=A*H/2. Και αν δίνονται τα μήκη κάθε πλευράς (Α, Β και Γ), τότε πρώτα βρείτε την ημιπερίμετρο p=(A+B+C)/2 και στη συνέχεια υπολογίστε το εμβαδόν του τριγώνου χρησιμοποιώντας τον τύπο S =√(p*(p-A)* (p-B)*(p-C)). Εάν, εκτός από τα (Α, Β και Γ), είναι γνωστή η ακτίνα (R) του περιγεγραμμένου κύκλου, τότε χρησιμοποιήστε τον τύπο S=A*B*C/(4*R).

Για να βρείτε το εμβαδόν ενός ορθογωνίου μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε τριγωνομετρικές συναρτήσεις- για παράδειγμα, αν είναι γνωστά το μήκος της διαγωνίου του (C) και το μέγεθος της γωνίας που κάνει σε μια από τις πλευρές (α). Σε αυτήν την περίπτωση, χρησιμοποιήστε τον τύπο S=С²*sin(α)*cos(α). Και αν τα μήκη των διαγωνίων (C) και το μέγεθος της γωνίας που σχηματίζουν (α) είναι γνωστά, τότε χρησιμοποιήστε τον τύπο S=C²*sin(α)/2.