Γενικός ορισμός συνάρτησης. Ζυγές και περιττές συναρτήσεις

Σπίτι

ακόμα κι αν για όλα τα \(x\) από το πεδίο ορισμού του ισχύει το εξής: \(f(-x)=f(x)\) .

Η γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης είναι συμμετρική ως προς τον άξονα \(y\):

Παράδειγμα: η συνάρτηση \(f(x)=x^2+\cos x\) είναι άρτια, γιατί \(f(-x)=(-x)^2+\cos((-x))=x^2+\cos x=f(x)\) .

\(\μαύρο τρίγωνο\) Μια συνάρτηση \(f(x)\) ονομάζεται περιττή αν για όλα τα \(x\) από το πεδίο ορισμού της ισχύει το εξής: \(f(-x)=-f(x) \) .

Η γραφική παράσταση μιας περιττής συνάρτησης είναι συμμετρική ως προς την προέλευση:

Παράδειγμα: η συνάρτηση \(f(x)=x^3+x\) είναι περιττή επειδή \(f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)\) . \(\blacktriangleright\) Οι συναρτήσεις που δεν είναι ούτε ζυγές ούτε περιττές ονομάζονται συναρτήσειςγενική άποψη

. Μια τέτοια συνάρτηση μπορεί πάντα να αναπαρασταθεί μοναδικά ως το άθροισμα μιας άρτιας και μιας περιττής συνάρτησης.

Για παράδειγμα, η συνάρτηση \(f(x)=x^2-x\) είναι το άθροισμα της άρτιας συνάρτησης \(f_1=x^2\) και της περιττής \(f_2=-x\) . \(\μαύρο τρίγωνο\)

Μερικές ιδιότητες: 1) Το γινόμενο και το πηλίκο δύο συναρτήσεων της ίδιας ισοτιμίας -.

ομοιόμορφη λειτουργία 2) Το γινόμενο και το πηλίκο δύο συναρτήσεων διαφορετικών ισοτιμιών -.

περιττή συνάρτηση

3) Άθροισμα και διαφορά άρτιων συναρτήσεων - άρτια συνάρτηση.

4) Άθροισμα και διαφορά περιττών συναρτήσεων - περιττών συναρτήσεων.

5) Εάν η \(f(x)\) είναι άρτια συνάρτηση, τότε η εξίσωση \(f(x)=c \ (c\in \mathbb(R)\) ) έχει μια μοναδική ρίζα αν και μόνο όταν \( x =0\) .

6) Εάν η \(f(x)\) είναι άρτια ή περιττή συνάρτηση και η εξίσωση \(f(x)=0\) έχει ρίζα \(x=b\), τότε αυτή η εξίσωση θα έχει αναγκαστικά μια δεύτερη ρίζα \(x =-b\) .

\(\μαύρο τρίγωνο\) Μια συνάρτηση \(f(x)\) ονομάζεται περιοδική στο \(X\) αν για κάποιο αριθμό \(T\ne 0\) ισχύει το εξής: \(f(x)=f( x+T) \) , όπου \(x, x+T\σε X\) . Το μικρότερο \(T\) για το οποίο ικανοποιείται αυτή η ισότητα ονομάζεται κύρια (κύρια) περίοδος της συνάρτησης.

Μια περιοδική συνάρτηση έχει οποιονδήποτε αριθμό της μορφής \(nT\) , όπου το \(n\in \mathbb(Z)\) θα είναι επίσης τελεία. Παράδειγμα: οποιοδήποτετριγωνομετρική συνάρτηση
είναι περιοδική?

Για να δημιουργήσετε ένα γράφημα μιας περιοδικής συνάρτησης, μπορείτε να σχεδιάσετε το γράφημά της σε οποιοδήποτε τμήμα μήκους \(T\) (κύρια περίοδος). τότε η γραφική παράσταση ολόκληρης της συνάρτησης ολοκληρώνεται μετατοπίζοντας το κατασκευασμένο τμήμα κατά έναν ακέραιο αριθμό περιόδων δεξιά και αριστερά:

\(\blacktriangleright\) Ο τομέας \(D(f)\) της συνάρτησης \(f(x)\) είναι ένα σύνολο που αποτελείται από όλες τις τιμές του ορίσματος \(x\) για το οποίο έχει νόημα η συνάρτηση (ορίζεται).

Παράδειγμα: η συνάρτηση \(f(x)=\sqrt x+1\) έχει έναν τομέα ορισμού: \(x\in

Εργασία 1 #6364

Επίπεδο εργασίας: Ίσο με την Ενιαία Κρατική Εξέταση

Σε ποιες τιμές της παραμέτρου \(a\) κάνει η εξίσωση

έχει μια ενιαία λύση;

Σημειώστε ότι επειδή οι \(x^2\) και \(\cos x\) είναι ζυγές συναρτήσεις, εάν η εξίσωση έχει ρίζα \(x_0\) , θα έχει επίσης μια ρίζα \(-x_0\) .
Πράγματι, έστω ότι \(x_0\) είναι ρίζα, δηλαδή η ισότητα \(2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a^2=0\) είναι αληθής. Αντικατάσταση \(-x_0\) : \(2 (-x_0)^2+a\mathrm(tg)\,(\cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+a\mathrm(tg)\ ,(\cos x_0)+a^2=0\) .

Έτσι, αν \(x_0\ne 0\) , τότε η εξίσωση θα έχει ήδη τουλάχιστον δύο ρίζες. Επομένως, \(x_0=0\) . Τότε:

Λάβαμε δύο τιμές για την παράμετρο \(a\) . Σημειώστε ότι χρησιμοποιήσαμε το γεγονός ότι το \(x=0\) είναι ακριβώς η ρίζα της αρχικής εξίσωσης. Αλλά ποτέ δεν χρησιμοποιήσαμε το γεγονός ότι είναι ο μόνος. Επομένως, πρέπει να αντικαταστήσετε τις προκύπτουσες τιμές της παραμέτρου \(a\) στην αρχική εξίσωση και να ελέγξετε για ποιο συγκεκριμένο \(a\) η ρίζα \(x=0\) θα είναι πραγματικά μοναδική.

1) Αν \(a=0\) , τότε η εξίσωση θα πάρει τη μορφή \(2x^2=0\) . Προφανώς, αυτή η εξίσωση έχει μόνο μία ρίζα \(x=0\) . Επομένως, η τιμή \(a=0\) μας ταιριάζει.

2) Αν \(a=-\mathrm(tg)\,1\) , τότε η εξίσωση θα πάρει τη μορφή \ Ξαναγράφουμε την εξίσωση με τη μορφή \ Αφού \(-1\leqslant \cos x\leqslant 1\) , τότε \(- \mathrm(tg)\,1\leqslant \mathrm(tg)\,(\cos x)\leqslant \mathrm(tg)\,1\) . Συνεπώς, οι τιμές της δεξιάς πλευράς της εξίσωσης (*) ανήκουν στο τμήμα \([-\mathrm(tg)^2\,1; \mathrm(tg)^2\,1]\) .

Εφόσον \(x^2\geqslant 0\) , τότε η αριστερή πλευρά της εξίσωσης (*) είναι μεγαλύτερη ή ίση με \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) .

Έτσι, η ισότητα (*) μπορεί να ικανοποιηθεί μόνο όταν και οι δύο πλευρές της εξίσωσης είναι ίσες με \(\mathrm(tg)^2\,1\) . Αυτό σημαίνει ότι \[\begin(cases) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \ mathrm( tg)\,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) x=0\\ \mathrm(tg)\, (\ cos x)=\mathrm(tg)\,1 \end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\] Επομένως, η τιμή \(a=-\mathrm(tg)\,1\) μας ταιριάζει .

Απάντηση:

\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)

Εργασία 2 #3923

Επίπεδο εργασίας: Ίσο με την Ενιαία Κρατική Εξέταση

Βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου \(a\) , για καθεμία από τις οποίες το γράφημα της συνάρτησης \

συμμετρικά ως προς την προέλευση.

Εάν η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης είναι συμμετρική ως προς την αρχή, τότε μια τέτοια συνάρτηση είναι περιττή, δηλαδή, η \(f(-x)=-f(x)\) ισχύει για οποιοδήποτε \(x\) από το πεδίο ορισμού της συνάρτησης. Έτσι, απαιτείται να βρεθούν εκείνες οι τιμές παραμέτρων για τις οποίες \(f(-x)=-f(x).\)

\[\begin(aligned) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\right)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \end(ευθυγραμμισμένο)\]

Η τελευταία εξίσωση πρέπει να ικανοποιηθεί για όλα τα \(x\) από το πεδίο ορισμού \(f(x)\) , επομένως, \(\sin(2\pi a)=0 \Δεξί βέλος a=\dfrac n2, n \in\ mathbb(Z)\) .

Απάντηση:

\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)

Εργασία 3 #3069

Επίπεδο εργασίας: Ίσο με την Ενιαία Κρατική Εξέταση

Βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου \(a\) , για καθεμία από τις οποίες η εξίσωση \ έχει 4 λύσεις, όπου \(f\) είναι μια άρτια περιοδική συνάρτηση με περίοδο \(T=\dfrac(16)3\) ορίζεται σε ολόκληρη την αριθμητική γραμμή , και \(f(x)=ax^2\) για \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)

(Εργασία από συνδρομητές)

Εφόσον η \(f(x)\) είναι άρτια συνάρτηση, η γραφική της παράσταση είναι συμμετρική ως προς τον άξονα τεταγμένων, επομένως, για \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\) \(f(x)=ax^ 2\) . Έτσι, για \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\) , και αυτό είναι ένα τμήμα μήκους \(\dfrac(16)3\), η συνάρτηση είναι \(f(x)=ax^2\ ) .

1) Έστω \(a>0\) . Τότε το γράφημα της συνάρτησης \(f(x)\) θα μοιάζει με αυτό:


Τότε, για να έχει η εξίσωση 4 λύσεις, είναι απαραίτητο η γραφική παράσταση \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\) να περάσει από το σημείο \(A\) :


Επομένως, \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &9(a+2)=32a\\ &9 (a+2)=-32a\end(στοίχιση)\end(συγκέντρωση)\δεξιά. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(aligned) \end( συλλογή)\right.\] Αφού \(a>0\) , τότε το \(a=\dfrac(18)(23)\) είναι κατάλληλο.

2) Έστω \(a0\) ). Αν το γινόμενο δύο ριζών είναι θετικό και το άθροισμά τους θετικό, τότε οι ίδιες οι ρίζες θα είναι θετικές. Επομένως, χρειάζεστε: \[\begin(cases) 12-a>0\\-(a-10)>0\end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad a