Το μήκος της μέσης γραμμής ενός τριγώνου παράλληλου προς την πλευρά. Πώς να βρείτε τη μέση γραμμή ενός τριγώνου; Βασικές ιδιότητες, ορισμοί και μέθοδοι. Μέση γραμμή του τριγώνου

Σπίτι Ένα τετράπλευρο στο οποίο μόνο δύο πλευρές είναι παράλληλες λέγεται.

τραπεζοειδές Οι παράλληλες πλευρές ενός τραπεζοειδούς ονομάζονται τουαιτιολογικό , και λέγονται όσες πλευρές δεν είναι παράλληλεςπλευρές

. Εάν οι πλευρές είναι ίσες, τότε ένα τέτοιο τραπέζιο είναι ισοσκελές. Η απόσταση μεταξύ των βάσεων ονομάζεται ύψος του τραπεζοειδούς.

Τραπεζοειδής μεσαία γραμμή

Η μέση γραμμή είναι ένα τμήμα που συνδέει τα μέσα των πλευρών του τραπεζοειδούς. Η μέση γραμμή του τραπεζοειδούς είναι παράλληλη με τις βάσεις του.

Θεώρημα:

Η μέση γραμμή είναι ένα τμήμα που συνδέει τα μέσα των πλευρών του τραπεζοειδούς. Η μέση γραμμή του τραπεζοειδούς είναι παράλληλη με τις βάσεις του.

Εάν η ευθεία που διασχίζει το μέσο της μιας πλευράς είναι παράλληλη με τις βάσεις του τραπεζοειδούς, τότε διχοτομεί τη δεύτερη πλευρά του τραπεζοειδούς.

Το μήκος της μεσαίας γραμμής είναι ίσο με τον αριθμητικό μέσο όρο των μηκών των βάσεων της
MN || ΑΒ || DC

AM = MD; BN=NC

MN μέση γραμμή, AB και CD - βάσεις, AD και BC - πλευρικές πλευρές

Η μέση γραμμή είναι ένα τμήμα που συνδέει τα μέσα των πλευρών του τραπεζοειδούς. Η μέση γραμμή του τραπεζοειδούς είναι παράλληλη με τις βάσεις του.

MN = (AB + DC)/2

Το μήκος της μέσης γραμμής ενός τραπεζοειδούς είναι ίσο με τον αριθμητικό μέσο όρο των μηκών των βάσεων του.Κύριο καθήκον

: Να αποδείξετε ότι η μέση γραμμή ενός τραπεζοειδούς διχοτομεί ένα τμήμα του οποίου τα άκρα βρίσκονται στη μέση των βάσεων του τραπεζοειδούς.

Μέση γραμμή του τριγώνου
Το τμήμα που συνδέει τα μέσα δύο πλευρών ενός τριγώνου ονομάζεται μέση γραμμή του τριγώνου. Είναι παράλληλη με την τρίτη πλευρά και το μήκος της είναι ίσο με το μισό μήκος της τρίτης πλευράς.Θεώρημα : Αν μια ευθεία που τέμνει το μέσο μιας πλευράς ενός τριγώνου είναι παράλληλη στην άλλη πλευράδεδομένο τρίγωνο

, μετά χωρίζει την τρίτη πλευρά στη μέση.

AM = MC και BN = NC =>

Εφαρμογή των ιδιοτήτων της μέσης γραμμής ενός τριγώνου και τραπεζοειδούς Διαίρεση ενός τμήματος με ένα ορισμένο ποσό.
ίσα μέρη
Εργασία: Διαιρέστε το τμήμα ΑΒ σε 5 ίσα μέρη.
Διάλυμα:
Έστω p μια τυχαία ακτίνα της οποίας η αρχή είναι το σημείο Α και η οποία δεν βρίσκεται στην ευθεία ΑΒ. Παραμερίζουμε διαδοχικά 5 ίσα τμήματα στο p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 ​​​A 5

Ενώ από το τραπέζιο B 3 B 1 A 1 A 3, B 3 B 2 = B 2 B 1.
Τότε από το B 2 AA 2 προκύπτει ότι B 2 B 1 = B 1 A. Συμπερασματικά παίρνουμε:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
Είναι σαφές ότι για να διαιρέσουμε το τμήμα ΑΒ σε έναν άλλο αριθμό ίσων μερών, πρέπει να προβάλλουμε τον ίδιο αριθμό ίσων τμημάτων στην ακτίνα p. Και μετά συνεχίστε με τον τρόπο που περιγράφεται παραπάνω.

1 Πρόσθετη κατασκευή που οδηγεί στο θεώρημα της μέσης γραμμής του τριγώνου, στις ιδιότητες του τραπεζίου και της ομοιότητας των τριγώνων.

Και αυτή ίσο με το ήμισυ της υποτείνουσας.
Συμπέρασμα 1.
Συμπέρασμα 2.

2 Όλα τα ορθογώνια τρίγωνα με την ίδια οξεία γωνία είναι παρόμοια. Μια ματιά στις τριγωνομετρικές συναρτήσεις.

3 Ένα παράδειγμα πρόσθετης κατασκευής είναι ένα ύψος χαμηλωμένο στην υποτείνουσα. Παραγωγή του Πυθαγόρειου θεωρήματος με βάση την ομοιότητα τριγώνων.

Από αυτό είναι σαφές ότι

1 Όλα τα ορθογώνια τρίγωνα με την ίδια οξεία γωνία είναι παρόμοια. Μια ματιά στις τριγωνομετρικές συναρτήσεις.

Τα τρίγωνα με εκκολάπτουσες και μη πλευρές είναι παρόμοια στο ότι οι δύο γωνίες τους είναι ίσες. Επομένως πού

Αυτό σημαίνει ότι οι υποδεικνυόμενες σχέσεις εξαρτώνται μόνο από την οξεία γωνία του ορθογωνίου τριγώνου και ουσιαστικά την καθορίζουν. Αυτός είναι ένας από τους λόγους της εμφάνισης τριγωνομετρικές συναρτήσεις:

Συχνά η σύνταξη τριγωνομετρικών συναρτήσεων γωνιών σε όμοια ορθογώνια τρίγωνα είναι πιο ξεκάθαρη από τη σύνταξη σχέσεων ομοιότητας!

2 Ένα παράδειγμα πρόσθετης κατασκευής είναι ένα ύψος χαμηλωμένο στην υποτείνουσα. Παραγωγή του Πυθαγόρειου θεωρήματος με βάση την ομοιότητα των τριγώνων.

Ας χαμηλώσουμε το ύψος CH στην υποτείνουσα AB. Έχουμε τρία παρόμοια τρίγωνα ABC, AHC και CHB. Ας γράψουμε παραστάσεις για τριγωνομετρικές συναρτήσεις:

Από αυτό είναι σαφές ότι . Προσθέτοντας, παίρνουμε το Πυθαγόρειο θεώρημα, αφού:

Για μια άλλη απόδειξη του Πυθαγόρειου θεωρήματος, δείτε το σχόλιο του Προβλήματος 4.
3 Σημαντικό παράδειγμα πρόσθετης κατασκευής είναι η κατασκευή γωνίας ίσης με μία από τις γωνίες ενός τριγώνου.

Εκτελούμε από την κορυφή ορθή γωνίαένα ευθύ τμήμα που κάνει μια γωνία με το σκέλος CA ίση με τη γωνία CAB ενός δεδομένου ορθογωνίου τριγώνου ABC. Ως αποτέλεσμα, λαμβάνουμε ένα ισοσκελές τρίγωνο ACM με γωνίες βάσης. Αλλά το άλλο τρίγωνο που προκύπτει από αυτήν την κατασκευή θα είναι επίσης ισοσκελές, αφού κάθε γωνία του στη βάση είναι ίση (από την ιδιότητα των γωνιών ενός ορθογωνίου τριγώνου και από την κατασκευή - η γωνία "αφαιρέθηκε" από τη σωστή γωνία). Λόγω του ότι τα τρίγωνα BMC και AMC είναι ισοσκελές με κοινή πλευρά MC, έχουμε την ισότητα MB=MA=MC, δηλ. M.C. διάμεσος που σύρεται στην υποτείνουσα ενός ορθογωνίου τριγώνουκαι αυτή ίσο με το ήμισυ της υποτείνουσας.
Συμπέρασμα 1.Το μέσο της υποτείνουσας είναι το κέντρο του κύκλου που περικλείεται γύρω από αυτό το τρίγωνο, αφού αποδεικνύεται ότι το μέσο της υποτείνουσας απέχει από τις κορυφές του ορθογωνίου τριγώνου.
Συμπέρασμα 2.Η μεσαία γραμμή ενός ορθογωνίου τριγώνου, που συνδέει το μέσο της υποτείνουσας με το μέσο του σκέλους, είναι παράλληλη με το απέναντι σκέλος και ισούται με το μισό του.

Στα ισοσκελή τρίγωνα BMC και AMC, ας χαμηλώσουμε τα ύψη MH και MG στις βάσεις. Από μέσα ισοσκελές τρίγωνο, το ύψος που χαμηλώνει στη βάση είναι επίσης η διάμεσος (και η διχοτόμος), τότε το MH και το MG είναι οι γραμμές ενός ορθογωνίου τριγώνου που συνδέει το μέσο της υποτείνουσας με τα μέσα των σκελών. Από κατασκευή, αποδεικνύεται ότι είναι παράλληλα με τα απέναντι σκέλη και ίσα με τα μισά τους, αφού τα τρίγωνα είναι ίσα MHC και MGC είναι ίσα (και το MHCG είναι ορθογώνιο). Αυτό το αποτέλεσμα είναι η βάση για την απόδειξη του θεωρήματος για τη μέση γραμμή ενός αυθαίρετου τριγώνου και, περαιτέρω, τη μέση γραμμή ενός τραπεζοειδούς και την ιδιότητα της αναλογικότητας των τμημάτων που κόβονται από παράλληλες ευθείες σε δύο ευθείες που τα τέμνουν.

Καθήκοντα
Χρήση ιδιοτήτων ομοιότητας -1
Χρήση βασικών ιδιοτήτων - 2
Χρησιμοποιώντας επιπλέον σχηματισμό 3-4

1 2 3 4

Το ύψος που πέφτει από την κορυφή μιας ορθής γωνίας ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι ίσο με την τετραγωνική ρίζα των μηκών των τμημάτων στα οποία διαιρεί την υποτείνουσα.

Η λύση φαίνεται προφανής αν γνωρίζετε την εξαγωγή του Πυθαγόρειου θεωρήματος από την ομοιότητα των τριγώνων:

\(\mathrm(tg)\beta=\frac(h)(c_1)=\frac(c_2)(h)\),
από όπου \(h^2=c_1c_2\).

Να βρείτε τον τόπο σημείων (GMT) τομής των διαμέσου όλων των πιθανών ορθογωνίων τριγώνων των οποίων η υποτείνουσα ΑΒ είναι σταθερή.

Το σημείο τομής των διαμέσων οποιουδήποτε τριγώνου αποκόπτει το ένα τρίτο από τη διάμεσο, μετρώντας από το σημείο τομής του με την αντίστοιχη πλευρά. ΣΕ ορθογώνιο τρίγωνοΗ διάμεσος που σχεδιάζεται από ορθή γωνία είναι ίση με το ήμισυ της υποτείνουσας. Επομένως, το επιθυμητό GMT είναι ένας κύκλος ακτίνας ίσος με το 1/6 του μήκους της υποτείνουσας, με ένα κέντρο στη μέση αυτής της (σταθερής) υποτείνουσας.

Το μάθημα βίντεο "Get an A" περιλαμβάνει όλα τα θέματα που χρειάζεστε επιτυχής ολοκλήρωσηΕνιαία Κρατική Εξέταση στα μαθηματικά για 60-65 μόρια. Εντελώς όλα τα προβλήματα 1-13 Προφίλ Ενιαία Κρατική Εξέτασηστα μαθηματικά. Κατάλληλο και για επιτυχία στη Βασική Ενιαία Κρατική Εξέταση στα μαθηματικά. Αν θέλετε να περάσετε τις εξετάσεις του Ενιαίου Κράτους με 90-100 μόρια, πρέπει να λύσετε το μέρος 1 σε 30 λεπτά και χωρίς λάθη!

Μάθημα προετοιμασίας για την Ενιαία Κρατική Εξέταση για τις τάξεις 10-11, καθώς και για εκπαιδευτικούς. Όλα όσα χρειάζεστε για να λύσετε το Μέρος 1 της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης στα μαθηματικά (τα πρώτα 12 προβλήματα) και το πρόβλημα 13 (τριγωνομετρία). Και αυτά είναι περισσότερα από 70 μόρια στην Ενιαία Κρατική Εξέταση και ούτε ένας μαθητής 100 βαθμών ούτε ένας φοιτητής ανθρωπιστικών επιστημών δεν μπορούν να τα κάνουν χωρίς αυτά.

Όλη η απαραίτητη θεωρία. Γρήγοροι τρόποιλύσεις, παγίδες και μυστικά της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης. Όλες οι τρέχουσες εργασίες του μέρους 1 από την τράπεζα εργασιών FIPI έχουν αναλυθεί. Το μάθημα συμμορφώνεται πλήρως με τις απαιτήσεις της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης 2018.

Το μάθημα περιέχει 5 μεγάλα θέματα, 2,5 ώρες το καθένα. Κάθε θέμα δίνεται από την αρχή, απλά και ξεκάθαρα.

Εκατοντάδες εργασίες Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης. Προβλήματα λέξεων και θεωρία πιθανοτήτων. Απλοί και εύκολοι στην απομνημόνευση αλγόριθμοι για την επίλυση προβλημάτων. Γεωμετρία. Θεωρία, υλικό αναφοράς, ανάλυση όλων των τύπων εργασιών Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης. Στερεομετρία. Δύσκολες λύσεις, χρήσιμα cheat sheets, ανάπτυξη χωρικής φαντασίας. Τριγωνομετρία από το μηδέν στο πρόβλημα 13. Κατανόηση αντί να στριμώχνω. Σαφείς εξηγήσεις περίπλοκων εννοιών. Αλγεβρα. Ρίζες, δυνάμεις και λογάριθμοι, συνάρτηση και παράγωγος. Μια βάση για την επίλυση σύνθετων προβλημάτων του Μέρους 2 της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης.

Το σχήμα 1 δείχνει δύο τρίγωνα. Το τρίγωνο ABC είναι παρόμοιο με το τρίγωνο A1B1C1. Και οι διπλανές πλευρές είναι ανάλογες, δηλαδή το AB είναι προς το A1B1 όπως το AC είναι το A1C1. Από αυτές τις δύο συνθήκες προκύπτει η ομοιότητα των τριγώνων.

Πώς να βρείτε τη μέση γραμμή ενός τριγώνου - ένα σημάδι παραλληλισμού των γραμμών

Το σχήμα 2 δείχνει τις γραμμές a και b, τομή c. Αυτό δημιουργεί 8 γωνίες. Οι γωνίες 1 και 5 είναι αντίστοιχες, αν οι ευθείες είναι παράλληλες, τότε οι αντίστοιχες γωνίες είναι ίσες και το αντίστροφο.

Πώς να βρείτε τη μέση γραμμή ενός τριγώνου

Στο σχήμα 3, το M είναι το μέσο του AB και το N είναι το μέσο του AC, το BC είναι η βάση. Το τμήμα MN ονομάζεται μέση γραμμή του τριγώνου. Το ίδιο το θεώρημα λέει: Η μέση γραμμή ενός τριγώνου είναι παράλληλη με τη βάση και ίση με το μισό της.

Για να αποδείξουμε ότι το MN είναι η μέση γραμμή ενός τριγώνου, χρειαζόμαστε το δεύτερο τεστ για την ομοιότητα των τριγώνων και το τεστ για τον παραλληλισμό των ευθειών.

Το τρίγωνο AMN είναι παρόμοιο με το τρίγωνο ABC, σύμφωνα με το δεύτερο κριτήριο. ΣΕ παρόμοια τρίγωναοι αντίστοιχες γωνίες είναι ίσες, η γωνία 1 ίσο με γωνία 2, και αυτές οι γωνίες είναι αντίστοιχες όταν δύο ευθείες τέμνονται με ένα εγκάρσιο, επομένως, οι ευθείες είναι παράλληλες, το MN είναι παράλληλο στο BC. Η γωνία Α είναι κοινή, AM/AB = AN/AC = ½

Ο συντελεστής ομοιότητας αυτών των τριγώνων είναι ½, προκύπτει ότι ½ = MN/BC, MN = ½ BC


Βρήκαμε λοιπόν τη μεσαία γραμμή του τριγώνου και αποδείξαμε το θεώρημα για τη μέση γραμμή του τριγώνου, αν ακόμα δεν καταλαβαίνετε πώς να βρείτε τη μέση γραμμή, δείτε το παρακάτω βίντεο.

Η μέση γραμμή ενός τριγώνου είναι ένα τμήμα που συνδέει τα μέσα των 2 πλευρών του. Αντίστοιχα, κάθε τρίγωνο έχει τρεις μεσαίες γραμμές. Γνωρίζοντας την ποιότητα της μέσης γραμμής, καθώς και τα μήκη των πλευρών του τριγώνου και τις γωνίες του, μπορείτε να προσδιορίσετε το μήκος της μέσης γραμμής.

θα χρειαστείτε

• Πλευρές τριγώνου, γωνίες τριγώνου

Οδηγίες

1. Έστω στο τρίγωνο ABC MN η μέση γραμμή που συνδέει τα μέσα των πλευρών AB (σημείο M) και AC (σημείο N) Κατά ιδιότητα, η μέση γραμμή ενός τριγώνου που συνδέει τα μέσα 2 πλευρών είναι παράλληλη με την τρίτη πλευρά και ίση με το μισό της. το. Αυτό σημαίνει ότι η μέση γραμμή MN θα είναι παράλληλη με την πλευρά BC και ίση με BC/2. Κατά συνέπεια, για να προσδιοριστεί το μήκος της μέσης γραμμής του τριγώνου, αρκεί να γνωρίζουμε το μήκος της πλευράς αυτής της συγκεκριμένης τρίτης πλευράς.

2. Ας είναι τώρα γνωστές οι πλευρές, τα μεσαία σημεία των οποίων συνδέονται με τη μεσαία γραμμή MN, δηλαδή AB και AC, καθώς και η μεταξύ τους γωνία BAC. Επειδή MN είναι η μεσαία γραμμή, τότε AM = AB/2, και AN = AC/2 Στη συνέχεια, σύμφωνα με το συνημιτονικό θεώρημα, αντικειμενικά: MN^2 = (AM^2)+(AN^2)-2*AM. *AN*cos (BAC) = (AB^2/4)+(AC^2/4)-AB*AC*cos(BAC)/2. Επομένως, MN = sqrt((AB^2/4)+(AC^2/4)-AB*AC*cos(BAC)/2).

3. Εάν οι πλευρές AB και AC είναι γνωστές, τότε η μεσαία γραμμή MN μπορεί να βρεθεί γνωρίζοντας τη γωνία ABC ή ACB. Ας πούμε ότι η γωνία ABC είναι διάσημη. Επειδή σύμφωνα με την ιδιότητα της μέσης γραμμής το MN είναι παράλληλο προς το BC, τότε οι γωνίες ABC και AMN είναι αντίστοιχες και, κατά συνέπεια, ABC = AMN. Στη συνέχεια, σύμφωνα με το θεώρημα συνημιτόνου: AN^2 = AC^2/4 = (AM^2)+(MN^2)-2*AM*MN*cos(AMN). Συνεπώς, η πλευρά MN μπορεί να βρεθεί από την τετραγωνική εξίσωση (MN^2)-AB*MN*cos(ABC)-(AC^2/4) = 0.

Ένα τετράγωνο τρίγωνο λέγεται ορθότερα ορθογώνιο τρίγωνο. Οι σχέσεις μεταξύ των πλευρών και των γωνιών αυτού γεωμετρικό σχήμααναλύονται αναλυτικά στον μαθηματικό κλάδο της τριγωνομετρίας.

θα χρειαστείτε

• - ένα φύλλο χαρτιού.
• - στυλό
• — τραπέζια Bradis.
• - αριθμομηχανή.

Οδηγίες

1. Ανακαλύπτω πλευράορθογώνιος τρίγωνομε την υποστήριξη του Πυθαγόρειου θεωρήματος. Σύμφωνα με αυτό το θεώρημα, το τετράγωνο της υποτείνουσας ίσο με το άθροισματετράγωνα ποδιών: c2 = a2+b2, όπου c είναι η υποτείνουσα τρίγωνο, α και β είναι τα πόδια του. Για να εφαρμόσετε αυτήν την εξίσωση, πρέπει να γνωρίζετε το μήκος οποιωνδήποτε 2 πλευρών ενός ορθογωνίου τρίγωνο .

2. Εάν οι συνθήκες καθορίζουν τις διαστάσεις των ποδιών, βρείτε το μήκος της υποτείνουσας. Για να το κάνετε αυτό, με την υποστήριξη αριθμομηχανής, εξάγετε τετραγωνική ρίζααπό το άθροισμα των σκελών, καθένα από τα οποία πρέπει να τετραγωνιστεί εκ των προτέρων.

3. Υπολογίστε το μήκος του ενός σκέλους αν γνωρίζετε τις διαστάσεις της υποτείνουσας και του άλλου σκέλους. Χρησιμοποιώντας μια αριθμομηχανή, εξάγετε την τετραγωνική ρίζα της διαφοράς μεταξύ της υποτείνουσας στο τετράγωνο και του προπορευόμενου σκέλους επίσης στο τετράγωνο.

4. Εάν το πρόβλημα καθορίζει την υποτείνουσα και μία από τις οξείες γωνίες που γειτνιάζουν με αυτήν, χρησιμοποιήστε πίνακες Bradis. Δείχνουν τις τιμές των τριγωνομετρικών συναρτήσεων για μεγάλο αριθμόγωνίες Χρησιμοποιήστε μια αριθμομηχανή με συναρτήσεις ημιτόνου και συνημιτόνου, καθώς και θεωρήματα τριγωνομετρίας που περιγράφουν τις σχέσεις μεταξύ των πλευρών και των γωνιών ενός ορθογωνίου τρίγωνο .

5. Βρείτε τα σκέλη χρησιμοποιώντας βασικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις: a = c*sin?, b = c*cos?, όπου a είναι το πόδι απέναντι από τη γωνία;, b είναι το πόδι δίπλα στη γωνία;. Υπολογίστε το μέγεθος των πλευρών με τον ίδιο τρόπο τρίγωνο, αν η υποτείνουσα και άλλα οξεία γωνία: b = c*sin?, a = c*cos?, όπου b είναι το πόδι απέναντι από τη γωνία; και είναι το πόδι δίπλα στη γωνία;.

6. Στην περίπτωση που παίρνουμε το σκέλος α και την οξεία γωνία που βρίσκεται δίπλα του;, μην ξεχνάτε ότι σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο το άθροισμα των οξειών γωνιών είναι πάντα ίσο με 90°: ? + ? = 90°. Να βρείτε την τιμή της γωνίας απέναντι από το σκέλος α: ; = 90° – ?. Ή χρησιμοποιήστε τύπους τριγωνομετρικής αναγωγής: αμαρτία; = αμαρτία (90° – ?) = cos ?; tg; = tg (90° – ?) = ctg ? = 1/tg;.

7. Αν έχουμε σκέλος α και την οξεία γωνία απέναντι από αυτό;, χρησιμοποιώντας πίνακες Bradis, αριθμομηχανή και τριγωνομετρικές συναρτήσεις, να υπολογίσετε την υποτείνουσα χρησιμοποιώντας τον τύπο: c=a*sin?, σκέλος: b=a*tg?.

Βίντεο σχετικά με το θέμα

Η έννοια της μέσης γραμμής ενός τριγώνου

Ας εισαγάγουμε την έννοια της μέσης γραμμής ενός τριγώνου.

Ορισμός 1

Αυτό είναι ένα τμήμα που συνδέει τα μέσα δύο πλευρών ενός τριγώνου (Εικ. 1).

Εικόνα 1. Μέση γραμμή του τριγώνου

Θεώρημα μέσης γραμμής τριγώνου

Θεώρημα 1

Η μεσαία γραμμή ενός τριγώνου είναι παράλληλη σε μία από τις πλευρές του και ίση με το μισό της.

Απόδειξη.

Ας μας δοθεί ένα τρίγωνο $ABC$. Το $MN$ είναι η μεσαία γραμμή (όπως στο Σχήμα 2).

Εικόνα 2. Απεικόνιση του Θεωρήματος 1

Εφόσον $\frac(AM)(AB)=\frac(BN)(BC)=\frac(1)(2)$, τότε τα τρίγωνα $ABC$ και $MBN$ είναι παρόμοια σύμφωνα με το δεύτερο κριτήριο ομοιότητας των τριγώνων . Μέσα

Επίσης, προκύπτει ότι $\angle A=\angle BMN$, που σημαίνει $MN||AC$.

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Συμπεράσματα του θεωρήματος της μέσης γραμμής του τριγώνου

Συμπέρασμα 1:Οι διάμεσοι ενός τριγώνου τέμνονται σε ένα σημείο και διαιρούνται με το σημείο τομής με την αναλογία $2:1$ ξεκινώντας από την κορυφή.

Απόδειξη.

Εξετάστε το τρίγωνο $ABC$, όπου $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ είναι οι διάμεσοί του. Επειδή οι διάμεσοι χωρίζουν τις πλευρές στη μέση. Ας εξετάσουμε τη μεσαία γραμμή $A_1B_1$ (Εικ. 3).

Εικόνα 3. Απεικόνιση συμπερασμάτων 1

Από το Θεώρημα 1, $AB||A_1B_1$ και $AB=2A_1B_1$, επομένως, $\γωνία ABB_1=\γωνία BB_1A_1,\ \γωνία BAA_1=\γωνία AA_1B_1$. Αυτό σημαίνει ότι τα τρίγωνα $ABM$ και $A_1B_1M$ είναι παρόμοια σύμφωνα με το πρώτο κριτήριο ομοιότητας των τριγώνων. Τότε

Ομοίως, αποδεικνύεται ότι

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Συμπέρασμα 2:Οι τρεις μεσαίες γραμμές του τριγώνου το χωρίζουν σε 4 τρίγωνα παρόμοια με το αρχικό τρίγωνο με συντελεστή ομοιότητας $k=\frac(1)(2)$.

Απόδειξη.

Θεωρήστε ένα τρίγωνο $ABC$ με μεσαίες γραμμές $A_1B_1,\ (\ A)_1C_1,\ B_1C_1$ (Εικ. 4)

Εικόνα 4. Απεικόνιση του συμπεράσματος 2

Θεωρήστε το τρίγωνο $A_1B_1C$. Αφού το $A_1B_1$ είναι η μεσαία γραμμή, λοιπόν

Η γωνία $C$ είναι η κοινή γωνία αυτών των τριγώνων. Συνεπώς, τα τρίγωνα $A_1B_1C$ και $ABC$ είναι παρόμοια σύμφωνα με το δεύτερο κριτήριο ομοιότητας τριγώνων με συντελεστή ομοιότητας $k=\frac(1)(2)$.

Ομοίως, αποδεικνύεται ότι τα τρίγωνα $A_1C_1B$ και $ABC$ και τα τρίγωνα $C_1B_1A$ και $ABC$ είναι παρόμοια με συντελεστή ομοιότητας $k=\frac(1)(2)$.

Θεωρήστε το τρίγωνο $A_1B_1C_1$. Εφόσον τα $A_1B_1,\ (\A)_1C_1,\ B_1C_1$ είναι οι μεσαίες γραμμές του τριγώνου, τότε

Επομένως, σύμφωνα με το τρίτο κριτήριο ομοιότητας τριγώνων, τα τρίγωνα $A_1B_1C_1$ και $ABC$ είναι παρόμοια με συντελεστή ομοιότητας $k=\frac(1)(2)$.

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Παραδείγματα προβλημάτων σχετικά με την έννοια της μέσης γραμμής ενός τριγώνου

Παράδειγμα 1

Δίνεται ένα τρίγωνο με πλευρές $16$ cm, $10$ cm και $14$ cm Βρείτε την περίμετρο του τριγώνου του οποίου οι κορυφές βρίσκονται στα μέσα των πλευρών του δεδομένου τριγώνου.

Διάλυμα.

Εφόσον οι κορυφές του επιθυμητού τριγώνου βρίσκονται στα μέσα των πλευρών του δεδομένου τριγώνου, τότε οι πλευρές του είναι οι μεσαίες γραμμές του αρχικού τριγώνου. Από το συμπέρασμα 2, βρίσκουμε ότι οι πλευρές του επιθυμητού τριγώνου είναι ίσες με $8 $ cm, $5 $ cm και $7 $ cm.

Απάντηση: 20$ βλ

Παράδειγμα 2

Δίνεται ένα τρίγωνο $ABC$. Τα σημεία $N\ και\ M$ είναι τα μέσα των πλευρών $BC$ και $AB$, αντίστοιχα (Εικ. 5).

Εικόνα 5.

Η περίμετρος του τριγώνου $BMN=14$ cm Βρείτε την περίμετρο του τριγώνου $ABC$.

Διάλυμα.

Εφόσον τα $N\ και\ M$ είναι τα μέσα των πλευρών $BC$ και $AB$, τότε το $MN$ είναι η μέση γραμμή. Μέσα

Με το Θεώρημα 1, $AC=2MN$. Παίρνουμε: