Ποιος είναι ο τύπος για την υποτείνουσα ενός ορθογωνίου τριγώνου; Πώς να βρείτε την υποτείνουσα, γνωρίζοντας το πόδι και τη γωνία
Σπίτι Υπάρχουν πολλά είδη τριγώνων: θετικά, ισοσκελές, οξέα και ούτω καθεξής. Όλα έχουν ιδιότητες που είναι κλασικές μόνο για αυτούς και το καθένα έχει τους δικούς του κανόνες για την εύρεση ποσοτήτων, είτε πρόκειται για πλευρά είτε γωνία στη βάση. Αλλά από κάθε ποικιλία αυτώνγεωμετρικά σχήματα Vξεχωριστή ομάδα
Μπορείτε να επιλέξετε ένα τρίγωνο με ορθή γωνία.
- θα χρειαστείτε
Κενό φύλλο, μολύβι και χάρακας για σχηματική αναπαράσταση τριγώνου.
2. . Εάν τα σκέλη δεν είναι ίσα, τότε το τρίγωνο είναι αυθαίρετο και υπακούει στον βασικό νόμο: όσο μεγαλύτερη είναι η γωνία, τόσο μεγαλύτερο κυλάει αυτό που βρίσκεται απέναντι του.
3. Υπάρχουν διάφορες μέθοδοι για την εύρεση της υποτείνουσας με βάση το πόδι και τη γωνία. Αλλά πριν χρησιμοποιήσετε ένα από αυτά, θα πρέπει να προσδιορίσετε ποιο πόδι και ποια γωνία είναι γνωστά. Εάν δίνεται μια γωνία και ένα σκέλος δίπλα σε αυτήν, τότε η υποτείνουσα είναι ευκολότερο να εντοπιστεί κοιτάζοντας το συνημίτονο της γωνίας. Το συνημίτονο μιας οξείας γωνίας (cos a) σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο είναι ο λόγος του διπλανού σκέλους προς την υποτείνουσα. Από αυτό προκύπτει ότι η υποτείνουσα (c) θα είναι ίση με τον λόγο του διπλανού σκέλους (b) προς το συνημίτονο της γωνίας a (cos a). Αυτό μπορεί να γραφτεί ως εξής: cos a=b/c => c=b/cos a.
4. Μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε μια τριγωνομετρική συνάρτηση όπως η εφαπτομένη. Αλλά η εύρεση της επιθυμητής τιμής θα γίνει ελαφρώς πιο δύσκολη. Η εφαπτομένη μιας οξείας γωνίας (tg a) σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο είναι ο λόγος του απέναντι σκέλους (a) προς το διπλανό σκέλος (b). Έχοντας βρει και τις δύο πλευρές, εφαρμόστε το Πυθαγόρειο θεώρημα (τετράγωνο της υποτείνουσας ίσο με το άθροισματετράγωνα των ποδιών) και θα αποκαλυφθεί η τεράστια πλευρά του τριγώνου.
Η υποτείνουσα είναι η πλευρά σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο που είναι απέναντι από τη γωνία των 90 μοιρών. Για να υπολογίσουμε το μήκος του, αρκεί να γνωρίζουμε το μήκος ενός από τα σκέλη και το μέγεθος μιας από τις οξείες γωνίες του τριγώνου.
Κενό φύλλο, μολύβι και χάρακας για σχηματική αναπαράσταση τριγώνου.
1. Με προπορευόμενο πόδι και οξεία γωνία ορθογώνιο τρίγωνο, τότε το μέγεθος της υποτείνουσας μπορεί να είναι ίσο με τον λόγο του σκέλους προς το συνημίτονο/ημίτονο αυτής της γωνίας, αν αυτή η γωνία είναι αντίθετη/γειτονική με αυτήν: h = C1 (ή C2)/sin; ή C2)/cos; Έστω ένα ορθογώνιο τρίγωνο με υποτείνουσα AB και ορθή γωνία C. Έστω η γωνία B 60 μοίρες και η γωνία A 30 μοίρες της υποτείνουσας ΑΒ. Για να το κάνετε αυτό, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε οποιαδήποτε από τις μεθόδους που προτείνονται παραπάνω: AB = BC/cos60 = 8 cm AB = BC/sin30 = 8 cm.
λέξη" πόδι"προέρχεται από τις ελληνικές λέξεις "κάθετο" ή "βαρίδι" - αυτό εξηγεί γιατί και οι δύο πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου, που αποτελούν τη γωνία ενενήντα μοιρών του, ονομάστηκαν έτσι. Βρείτε το μήκος του καθενός πόδιΔεν είναι δύσκολο αν γνωρίζετε την τιμή της γωνίας δίπλα σε αυτήν και κάποια άλλη παράμετρο, γιατί σε αυτήν την περίπτωση οι τιμές και των 3 γωνιών θα γίνουν πραγματικά γνωστές.
Κενό φύλλο, μολύβι και χάρακας για σχηματική αναπαράσταση τριγώνου.
1. Αν εκτός από την τιμή της διπλανής γωνίας (β), το μήκος της δεύτερης πόδια (β), μετά το μήκος πόδικαι (α) μπορεί να οριστεί ως το πηλίκο του μήκους του διάσημου πόδικαι για την εφαπτομένη της επιθυμητής γωνίας: a=b/tg(β). Αυτό προκύπτει από τον ορισμό αυτής της τριγωνομετρικής συνάρτησης. Μπορείτε να κάνετε χωρίς την εφαπτομένη αν χρησιμοποιήσετε το θεώρημα των ημιτόνων. Από αυτό προκύπτει ότι η αναλογία του μήκους της επιθυμητής πλευράς προς το ημίτονο της αντίθετης γωνίας είναι ίση με την αναλογία του μήκους της επιθυμητής πόδικαι στο ημίτονο της περίφημης γωνίας. Αντίθετο με το επιθυμητό πόδι y η οξεία γωνία μπορεί να εκφραστεί μέσω της περίφημης γωνίας ως 180°-90°-β = 90°-β, επειδή το άθροισμα όλων των γωνιών οποιουδήποτε τριγώνου πρέπει να είναι 180°, και με τον ορισμό ενός ορθογωνίου τριγώνου, μία από τις οι γωνίες είναι 90°. Αυτό σημαίνει το επιθυμητό μήκος πόδικαι μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο a=sin(90°-β)∗b/sin(β).
2. Αν είναι γνωστή η τιμή της διπλανής γωνίας (β) και του μήκους της υποτείνουσας (c), τότε το μήκος πόδικαι (α) μπορεί να υπολογιστεί ως το γινόμενο του μήκους της υποτείνουσας και του συνημιτόνου της περίφημης γωνίας: a=c∗cos(β). Αυτό προκύπτει από τον ορισμό του συνημιτόνου ως τριγωνομετρικής συνάρτησης. Αλλά μπορείτε να χρησιμοποιήσετε, όπως στο προηγούμενο βήμα, το θεώρημα των ημιτόνων και στη συνέχεια το μήκος του επιθυμητού πόδια θα είναι ίσο με το γινόμενο του ημιτόνου της διαφοράς μεταξύ 90° και της γωνίας αναφοράς και το λόγο του μήκους της υποτείνουσας προς το ημίτονο της ορθής γωνίας. Και επειδή το ημίτονο των 90° είναι ίσο με ένα, ο τύπος μπορεί να γραφτεί ως εξής: a=sin(90°-β)∗c.
3. Οι πραγματικοί υπολογισμοί μπορούν να γίνουν, ας πούμε, χρησιμοποιώντας το λειτουργικό σύστημα που περιλαμβάνεται Λογισμικό Windowsαριθμομηχανή. Για να το εκκινήσετε, μπορείτε να επιλέξετε το στοιχείο "Εκτέλεση" στο κύριο μενού στο κουμπί "Έναρξη", πληκτρολογήστε την εντολή calc και κάντε κλικ στο κουμπί "OK". Στην απλούστερη έκδοση της διεπαφής αυτού του προγράμματος που ανοίγει από προεπιλογή, δεν παρέχονται τριγωνομετρικές λειτουργίες, επομένως, μετά την εκκίνηση, πρέπει να κάνετε κλικ στην ενότητα "Προβολή" στο μενού και να επιλέξετε τη γραμμή "Επιστήμονας" ή "Μηχανικός". (ανάλογα με την έκδοση του λειτουργικού συστήματος που χρησιμοποιείται).
Βίντεο σχετικά με το θέμα
Η λέξη "kathet" ήρθε στα ρωσικά από τα ελληνικά. Σε ακριβή μετάφραση, σημαίνει βαρίδι, δηλαδή κάθετο στην επιφάνεια της γης. Στα μαθηματικά, σκέλη είναι οι πλευρές που σχηματίζουν μια ορθή γωνία ενός ορθογωνίου τριγώνου. Η πλευρά απέναντι από αυτή τη γωνία ονομάζεται υποτείνουσα. Ο όρος «πόδι» χρησιμοποιείται επίσης στην αρχιτεκτονική και την ειδική τεχνολογία συγκόλλησης.
Σχεδιάστε ένα ορθογώνιο τρίγωνο DIA. Επισημάνετε τα πόδια του ως a και b και την υποτείνησή του ως c. Όλες οι πλευρές και οι γωνίες ενός ορθογωνίου τριγώνου σχετίζονται μεταξύ τους με ορισμένες σχέσεις. Η αναλογία του σκέλους που βρίσκεται απέναντι από μία από τις οξείες γωνίες προς την υποτείνουσα ονομάζεται ημίτονο αυτής της γωνίας. Σε αυτό το τρίγωνο sinCAB=a/c. Συνημίτονο είναι η αναλογία προς την υποτείνουσα του διπλανού σκέλους, δηλαδή cosCAB=b/c. Οι αντίστροφες σχέσεις ονομάζονται τέμνουσα και συνέκταση Η τομή μιας δεδομένης γωνίας προκύπτει με διαίρεση της υποτείνουσας με το διπλανό σκέλος, δηλαδή, secCAB = c/b. Το αποτέλεσμα είναι το αντίστροφο του συνημιτόνου, δηλαδή μπορεί να εκφραστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο secCAB=1/cosSAB. Η συνέκταση ισούται με το πηλίκο της υποτείνουσας διαιρούμενο με την αντίθετη πλευρά και είναι το αντίστροφο του ημιτόνου. Μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο cosecCAB = 1/sinCAB Και τα δύο σκέλη σχετίζονται μεταξύ τους κατά εφαπτομένη και συνεφαπτομένη. Σε αυτή την περίπτωση, η εφαπτομένη θα είναι ο λόγος της πλευράς a προς την πλευρά b, δηλαδή η αντίθετη πλευρά προς τη διπλανή πλευρά. Αυτή η σχέση μπορεί να εκφραστεί με τον τύπο tgCAB=a/b. Κατά συνέπεια, η αντίστροφη αναλογία θα είναι η συνεφαπτομένη: ctgCAB=b/a. Η σχέση μεταξύ των μεγεθών της υποτείνουσας και των δύο ποδιών καθορίστηκε από τον αρχαίο Έλληνα μαθηματικό Πυθαγόρα. Το θεώρημα που πήρε το όνομά του εξακολουθεί να χρησιμοποιείται από τους ανθρώπους μέχρι σήμερα. Λέει ότι το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των ποδιών, δηλαδή c2 = a2 + b2. Αντίστοιχα, κάθε σκέλος θα είναι ίσο με την τετραγωνική ρίζα της διαφοράς μεταξύ των τετραγώνων της υποτείνουσας και του άλλου σκέλους. Αυτός ο τύπος μπορεί να γραφτεί ως b=?(c2-a2). Το μήκος του ποδιού μπορεί να εκφραστεί και μέσα από τις γνωστές σχέσεις. Σύμφωνα με τα θεωρήματα των ημιτόνων και των συνημιτόνων, ένα σκέλος ισούται με το γινόμενο της υποτείνουσας και μιας από αυτές τις συναρτήσεις. Μπορεί επίσης να εκφραστεί μέσω εφαπτομένης ή συνεφαπτομένης. Το σκέλος a μπορεί να βρεθεί, ας πούμε, χρησιμοποιώντας τον τύπο a = b*tan CAB. Με τον ίδιο τρόπο, ανάλογα με τη δεδομένη εφαπτομένη ή συνεφαπτομένη, προσδιορίζεται το 2ο σκέλος Στην αρχιτεκτονική, χρησιμοποιείται και ο όρος «πόδι». Χρησιμοποιείται σε σχέση με ένα ιωνικό κιονόκρανο και υποδηλώνει ένα βαρέλι στο μέσο της ράχης του. Δηλαδή, σε αυτή την περίπτωση, αυτός ο όρος υποδηλώνει μια κάθετη σε μια δεδομένη ευθεία. Στην ειδική τεχνολογία συγκόλλησης υπάρχει η έννοια του «πόδι συγκόλλησης φιλέτου». Όπως και σε άλλες περιπτώσεις, αυτή είναι η μικρότερη απόσταση. Εδώ μιλάμε γιαπερίπου το διάστημα μεταξύ ενός από τα συγκολλημένα μέρη στο όριο της ραφής που βρίσκεται στην επιφάνεια ενός άλλου τμήματος.
Βίντεο σχετικά με το θέμα
Δίνω προσοχή!
Όταν εργάζεστε με το Πυθαγόρειο θεώρημα, να θυμάστε ότι έχετε να κάνετε με ένα πτυχίο. Έχοντας ανακαλύψει το άθροισμα των τετραγώνων των ποδιών, για να λάβετε το τελικό αποτέλεσμα, θα πρέπει να εξαγάγετε τετραγωνική ρίζα.
Η υποτείνουσα είναι η μεγαλύτερη πλευρά ενός ορθογωνίου τριγώνου. Βρίσκεται απέναντι από τη γωνία των ενενήντα μοιρών και υπολογίζεται, ως συνήθως, σύμφωνα με το θεώρημα του αρχαίου Έλληνα επιστήμονα Πυθαγόρα, γνωστό από την έβδομη δημοτικού. Ακούγεται κάπως έτσι: «τετράγωνο υποτείνουσα, ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των ποδιών." Φαίνεται απειλητικό, αλλά λύνεται με πρωτόγονο τρόπο. Υπάρχουν άλλοι τρόποι για να βρείτε το μήκος μιας δεδομένης πλευράς ενός τριγώνου.
Μπορείτε να επιλέξετε ένα τρίγωνο με ορθή γωνία.
- Τραπέζι Bradis, αριθμομηχανή.
Κενό φύλλο, μολύβι και χάρακας για σχηματική αναπαράσταση τριγώνου.
1. Εάν πρέπει να υπολογίσετε την υποτείνουσα χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα, χρησιμοποιήστε τον ακόλουθο αλγόριθμο: - Προσδιορίστε στο τρίγωνο ποιες πλευρές είναι τα σκέλη και ποιες η υποτείνουσα. Οι δύο πλευρές που σχηματίζουν γωνία ενενήντα μοιρών είναι τα σκέλη, η τρίτη πλευρά του τριγώνου που απομένει είναι η υποτείνουσα. (δείτε εικόνα) - Σηκώστε ολόκληρο το πόδι στη δεύτερη δύναμη δεδομένο τρίγωνο, δηλαδή πολλαπλασιάστε μόνοι σας την αξία τους. Παράδειγμα 1. Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να υπολογίσετε την υποτείνουσα εάν το ένα πόδι σε ένα τρίγωνο είναι 12 cm και το άλλο είναι 5 cm Αρχικά, τα τετράγωνα των ποδιών είναι ίσα: 12*12=144 cm και 5*5 = 25 cm. - Στη συνέχεια, προσδιορίστε το άθροισμα των τετραγώνων ποδιών. Ένας ορισμένος αριθμός είναι ένα τετράγωνο υποτείνουσα, που σημαίνει ότι είναι απαραίτητο να απαλλαγούμε από τη 2η δύναμη του αριθμού για να ανακαλύψουμε μήκοςαυτή την πλευρά του τριγώνου. Για να το κάνετε αυτό, εξάγετε την τιμή του αθροίσματος των τετραγώνων των ποδιών από την τετραγωνική ρίζα. Παράδειγμα 1. 144+25=169. Η τετραγωνική ρίζα του 169 είναι 13. Κατά συνέπεια, το μήκος αυτού υποτείνουσαίσο με 13 cm.
2. Μια άλλη μέθοδος για τον υπολογισμό του μήκους υποτείνουσαέγκειται στην ορολογία του ημιτόνου και του συνημιτίου των γωνιών σε ένα τρίγωνο. Εξ ορισμού: το ημίτονο της γωνίας άλφα είναι ο λόγος της απέναντι πλευράς προς την υποτείνουσα. Δηλαδή, κοιτάζοντας το σχήμα, sin a = CB / AB. Ως εκ τούτου, η υποτείνουσα AB = CB / sin a Παράδειγμα 2. Έστω η γωνία a είναι 30 μοίρες και η αντίθετη πλευρά είναι 4 cm. Λύση: AB = 4 cm / αμαρτία 30 = 4 cm / 0,5 = 8 cm Αποτέλεσμα: μήκος υποτείνουσαίσο με 8 cm.
3. Μια παρόμοια μέθοδος εύρεσης υποτείνουσααπό τον ορισμό του συνημιτόνου μιας γωνίας. Το συνημίτονο μιας γωνίας είναι ο λόγος της πλευράς που γειτνιάζει με αυτήν και υποτείνουσα. Δηλαδή, cos a = AC/AB, επομένως AB = AC/cos a. Παράδειγμα 3. Στο τρίγωνο ABC, η γωνία BAC είναι 60 μοίρες, το πόδι AC είναι 2 cm μήκος.
Συμβουλή 2: Πώς να βρείτε το μήκος της υποτείνουσας σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο
Η υποτείνουσα είναι η μεγαλύτερη πλευρά σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, επομένως δεν είναι περίεργο αυτό Ελληνική γλώσσααυτή η λέξη μεταφράζεται ως «σφιχτό». Αυτή η πλευρά βρίσκεται πάντα απέναντι από τη γωνία 90° και οι πλευρές που σχηματίζουν αυτή τη γωνία ονομάζονται σκέλη. Γνωρίζοντας τα μήκη αυτών των πλευρών και τις τιμές των οξειών γωνιών σε διάφορους συνδυασμούς αυτών των τιμών, είναι δυνατός ο υπολογισμός του μήκους της υποτείνουσας.
Κενό φύλλο, μολύβι και χάρακας για σχηματική αναπαράσταση τριγώνου.
1. Εάν τα μήκη και των δύο σκελών του τριγώνου (Α και Β) είναι γνωστά, χρησιμοποιήστε, πιθανώς, το πιο γνωστό μαθηματικό αξίωμα στον πλανήτη μας - το Πυθαγόρειο θεώρημα - για να βρείτε το μήκος της υποτείνουσας (C). Δηλώνει ότι το τετράγωνο του μήκους της υποτείνουσας είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των μηκών των ποδιών, από το οποίο προκύπτει ότι πρέπει να υπολογίσετε την τετραγωνική ρίζα του αθροίσματος των τετραγωνικών μηκών των 2 διάσημων πλευρών: C =? (A? + B?). Ας πούμε, εάν το μήκος του ενός ποδιού είναι 15 εκατοστά και του άλλου είναι 10 εκατοστά, τότε το μήκος της υποτείνουσας θα είναι περίπου 18,0277564 εκατοστά, γιατί;(15?+10?)=?(225+100)=? 325?18.0277564.
2. Εάν είναι γνωστό το μήκος μόνο ενός από τα σκέλη (Α) σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, καθώς και το μέγεθος της γωνίας που βρίσκεται απέναντι του (?), τότε το μήκος της υποτείνουσας (C) μπορεί να προσδιοριστεί χρησιμοποιώντας ένα από τα τριγωνομετρικές συναρτήσεις– κόλπων. Για να γίνει αυτό, διαιρέστε το μήκος της οδηγούμενης πλευράς με το ημίτονο της κινητήριας γωνίας: C=A/sin(?). Ας πούμε, εάν το μήκος ενός από τα σκέλη είναι 15 εκατοστά και η γωνία στην αντίθετη κορυφή του τριγώνου είναι 30°, τότε το μήκος της υποτείνουσας θα είναι ίσο με 30 εκατοστά, επειδή 15/sin(30°) =15/0,5=30.
3. Εάν σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο είναι γνωστό το μέγεθος μιας από τις οξείες γωνίες (?) και το μήκος του διπλανού σκέλους (Β), τότε για τον υπολογισμό του μήκους της υποτείνουσας (C) είναι δυνατό να χρησιμοποιηθεί μια άλλη τριγωνομετρική συνάρτηση - συνημίτονος . Θα πρέπει να διαιρέσετε το μήκος του προπορευόμενου σκέλους με το συνημίτονο της περίφημης γωνίας: C=B/ cos(?). Ας πούμε, εάν το μήκος αυτού του σκέλους είναι 15 εκατοστά και η οξεία γωνία που βρίσκεται δίπλα του είναι 30°, τότε το μήκος της υποτείνουσας θα είναι περίπου 17,3205081 εκατοστά, επειδή 15/cos(30°)=15/(0,5* ?3)=30/?3?17.3205081.
Το μήκος χρησιμοποιείται συνήθως για να δηλώσει την απόσταση μεταξύ δύο σημείων σε ένα τμήμα. Μπορεί να είναι μια ευθεία, σπασμένη ή κλειστή γραμμή. Μπορείτε να υπολογίσετε το μήκος πολύ απλά αν γνωρίζετε κάποιους άλλους δείκτες του τμήματος.
Κενό φύλλο, μολύβι και χάρακας για σχηματική αναπαράσταση τριγώνου.
1. Εάν πρέπει να βρείτε το μήκος της πλευράς ενός τετραγώνου, τότε αυτό δεν θα είναι δύσκολο αν γνωρίζετε το εμβαδόν του S. Λόγω του γεγονότος ότι όλες οι πλευρές του τετραγώνου έχουν ίδια μήκη, μπορείτε να υπολογίσετε την τιμή μιας από αυτές χρησιμοποιώντας τον τύπο: a = ?S.
2. Εάν πρέπει να υπολογίσετε το μήκος μιας πλευράς ενός ορθογωνίου, χρησιμοποιήστε τις τιμές του εμβαδού του s και του μήκους της άλλης πλευράς b. Από τον τύπο a=S/b θα λάβετε την επιθυμητή τιμή.
3. Για να προσδιορίσετε το μήκος ενός κύκλου, δηλαδή μιας κλειστής γραμμής που σχηματίζει κύκλο, χρησιμοποιήστε τις τιμές: r - η ακτίνα του και D - η διάμετρός του. Η διάμετρος μπορεί να υπολογιστεί πολλαπλασιάζοντας την ακτίνα του κύκλου επί 2. Αντικαταστήστε τις τιμές που γνωρίζετε στον τύπο για τον προσδιορισμό της περιφέρειας: C=2?r=?D, όπου;=3,14.
4. Για να υπολογίσετε το μήκος ενός συνηθισμένου τμήματος, χρησιμοποιήστε την πειραματική μέθοδο. Δηλαδή πάρε χάρακα και μέτρο.
5. Για να υπολογίσετε το μήκος της πλευράς ενός σχήματος όπως ένα τρίγωνο, θα χρειαστείτε τις διαστάσεις των άλλων 2 πλευρών, καθώς και τις γωνίες. Αν έχετε να κάνετε με ένα ορθογώνιο τρίγωνο και μια από τις γωνίες του είναι ίση με 60 μοίρες, τότε η τιμή της πλευράς του μπορεί να προσδιοριστεί από τον τύπο a=c*cos?, όπου c είναι η υποτείνουσα του τριγώνου, ε; – η γωνία μεταξύ της υποτείνουσας και του σκέλους.
6. Επιπλέον, εάν έχετε τόσο γνωστές ποσότητες όπως το ύψος b και το εμβαδόν S ενός τριγώνου, τότε το μήκος της πλευράς που είναι η βάση μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο a = 2?S/??b.
7. Όσον αφορά ένα θετικό πολύγωνο, το μήκος της πλευράς του μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο an=2R*sin(?/2)=2r*tg(?/2), όπου R είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου, r είναι το ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου, n είναι οι αριθμητικές γωνίες
8. Εάν θέλετε να υπολογίσετε το μήκος ενός ισόπλευρου σχήματος γύρω από το οποίο περιγράφεται ένας κύκλος, τότε μπορείτε να το κάνετε χρησιμοποιώντας τον τύπο an=R?3, όπου R είναι η ακτίνα του κύκλου, n είναι ο αριθμός των γωνιών του σχήματος .
Βίντεο σχετικά με το θέμα
Χρήσιμες συμβουλές
Όταν βρίσκετε την τιμή του ημιτόνου ή του συνημιτόνου μιας γωνίας, χρησιμοποιήστε είτε τον πίνακα ημιτόνων και συνημιτόνων είτε τον πίνακα Bradis.
Η γεωμετρία δεν είναι μια απλή επιστήμη. Απαιτεί από τον εαυτό της ιδιαίτερη προσοχήκαι γνώση ακριβών τύπων. Αυτός ο τύπος μαθηματικών ήρθε σε μας από Αρχαία Ελλάδακαι ακόμη και μετά από αρκετές χιλιάδες χρόνια δεν χάνει τη συνάφειά του. Μην νομίζετε μάταια ότι πρόκειται για ένα άχρηστο θέμα που ενοχλεί τα κεφάλια των μαθητών και των μαθητών. Στην πραγματικότητα, η γεωμετρία είναι εφαρμόσιμη σε πολλούς τομείς της ζωής. Χωρίς αυτό, δεν μπορεί να οικοδομηθεί γνώση της γεωμετρίας αρχιτεκτονική δομή, τα αυτοκίνητα δεν δημιουργούνται, διαστημόπλοιακαι αεροπλάνα. Πολύπλοκοι και όχι πολύ περίπλοκοι οδικοί κόμβοι και αυλακώσεις - όλα αυτά απαιτούν γεωμετρικούς υπολογισμούς. Ναι, ακόμη και μερικές φορές δεν μπορείτε να κάνετε επισκευές στο δωμάτιό σας χωρίς να γνωρίζετε βασικούς τύπους. Μην υποτιμάτε λοιπόν τη σημασία αυτού του θέματος. Μελετάμε τους πιο συνηθισμένους τύπους που πρέπει να χρησιμοποιούμε σε πολλές λύσεις στο σχολείο. Ένα από αυτά είναι η εύρεση της υποτείνουσας σε ορθογώνιο τρίγωνο. Για να το καταλάβετε αυτό, διαβάστε παρακάτω.
Πριν ξεκινήσουμε την εξάσκηση, ας ξεκινήσουμε με τα βασικά και ας ορίσουμε τι είναι η υποτείνουσα σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο.
Η υποτείνουσα είναι μία από τις πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου που βρίσκεται απέναντι από τη γωνία των 90 μοιρών (ορθή γωνία) και είναι πάντα η μεγαλύτερη.
Υπάρχουν διάφοροι τρόποι για να βρείτε το μήκος της επιθυμητής υποτείνουσας σε ένα δεδομένο ορθογώνιο τρίγωνο.
Στην περίπτωση που τα σκέλη μας είναι ήδη γνωστά, χρησιμοποιούμε το Πυθαγόρειο θεώρημα, όπου προσθέτουμε το άθροισμα των τετραγώνων δύο σκελών, που θα είναι ίσο με το τετράγωνο της υποτείνουσας.
α και β είναι πόδια, γ είναι η υποτείνουσα.
Στην περίπτωσή μας, για ένα ορθογώνιο τρίγωνο, αντίστοιχα, ο τύπος θα είναι ο εξής:
Αν αντικαταστήσουμε γνωστούς αριθμούςσκέλη a και b, έστω a=3 και b=4, μετά c=√32+42, τότε παίρνουμε c=√25, c=5
Όταν γνωρίζουμε το μήκος μόνο ενός ποδιού, ο τύπος μπορεί να μεταμορφωθεί για να βρεθεί το μήκος του δεύτερου. Μοιάζει με αυτό:
Στην περίπτωση που, σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος, γνωρίζουμε το σκέλος Α και την υποτείνουσα Γ, τότε μπορούμε να υπολογίσουμε τη ορθή γωνία του τριγώνου, ας την ονομάσουμε α.
Για να το κάνουμε αυτό χρησιμοποιούμε τον τύπο:
Έστω β η δεύτερη γωνία που πρέπει να υπολογίσουμε. Λαμβάνοντας υπόψη ότι γνωρίζουμε το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου, το οποίο είναι 180°, τότε: β= 180°-90°-α
Στην περίπτωση που γνωρίζουμε τις τιμές των ποδιών, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για να βρούμε την τιμή της οξείας γωνίας του τριγώνου:
Ανάλογα με τις γνωστές γενικά αποδεκτές τιμές, οι πλευρές ενός ορθογωνίου μπορούν να βρεθούν από μια ποικιλία διαφορετικούς τύπους. Εδώ είναι μερικά από αυτά:
Κατά την επίλυση προβλημάτων με την εύρεση αγνώστων σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, είναι πολύ σημαντικό να εστιάσετε στις τιμές που ήδη γνωρίζετε και, με βάση αυτό, να τις αντικαταστήσετε στον επιθυμητό τύπο. Θα είναι δύσκολο να τα θυμηθείτε αμέσως, γι' αυτό σας συμβουλεύουμε να κάνετε μια μικρή χειρόγραφη υπόδειξη και να την επικολλήσετε στο σημειωματάριό σας.
Όπως μπορείτε να δείτε, εάν εμβαθύνετε σε όλες τις περιπλοκές αυτής της φόρμουλας, μπορείτε εύκολα να το καταλάβετε. Συνιστούμε να προσπαθήσετε να λύσετε πολλά προβλήματα με βάση αυτόν τον τύπο. Αφού δείτε το αποτέλεσμά σας, θα σας ξεκαθαρίσει αν καταλάβατε αυτό το θέμα ή όχι. Προσπαθήστε να μην απομνημονεύσετε, αλλά να εμβαθύνετε στο υλικό, θα είναι πολύ πιο χρήσιμο. Το απομνημονευμένο υλικό ξεχνιέται μετά την πρώτη δοκιμή και θα συναντήσετε αυτόν τον τύπο αρκετά συχνά, επομένως πρώτα κατανοήστε τον και μετά απομνημονεύστε τον. Εάν αυτές οι συστάσεις δεν έχουν θετικό αποτέλεσμα, τότε είναι λογικό να παρακολουθήσετε επιπλέον μαθήματα σε αυτό το θέμα. Και να θυμάστε: η διδασκαλία είναι φως, όχι η διδασκαλία είναι σκοτάδι!
Όπως γνωρίζετε, η γεωμετρία είναι μια δύσκολη επιστήμη που απαιτεί ιδιαίτερη προσοχή και ακρίβεια στην επίλυση προβλημάτων. Πολλές εκφράσεις και τύποι που χρησιμοποιούμε στη συνέχεια σε πιο σύνθετους υπολογισμούς παρατίθενται σε σχολικά βιβλία για τα μαθηματικά για τις τάξεις 6-7. Για να κάνουμε τη διαδικασία εκμάθησης τριγωνομετρικών συναρτήσεων ευκολότερη και πιο ευχάριστη, σε αυτό το άρθρο θα δούμε μερικούς σύντομους τρόπους υπολογισμού της υποτείνουσας ενός ορθογώνιου τριγώνου.
Πώς να βρείτε την υποτείνουσα με τα πόδια;
Ας θυμηθούμε μια μικρή θεωρία: ένα ορθογώνιο τρίγωνο είναι ένα επίπεδο σχήμα που έχει τρεις γωνίες. Ένα από αυτά έχει μέγεθος 90º και οι πλευρές ονομάζονται πόδια και υποτείνουσα. Η πλευρά που είναι απέναντι ορθή γωνία, και υπάρχει μια υποτείνουσα, και τα άλλα δύο είναι διπλανά πόδια. Κύριο παιχνίδιπλευρές εκδηλώνεται στο Πυθαγόρειο θεώρημα, σύμφωνα με το οποίο η υποτείνουσα είναι ίση με το άθροισμα των τετραγώνων των ποδιών. Ωστόσο, αυτό φαίνεται μόνο μπερδεμένο, γιατί στην πραγματικότητα όλα είναι πολύ πιο απλά.
Ιδιότητες γεωμετρικού σχήματος
Πριν βρείτε την υποτείνουσα ενός τριγώνου, πρέπει να καταλάβετε ποια χαρακτηριστικά έχει αυτό το σχήμα. Ας εξετάσουμε τα κυριότερα:
- Σε ορθογώνιο τρίγωνο και τα δύο οξείες γωνίεςτο σύνολο θα είναι ίσο με 90º.
- Ένα σκέλος που βρίσκεται απέναντι από μια γωνία 30º θα είναι ίσο με το ½ του μεγέθους της υποτείνουσας.
- Εάν το σκέλος είναι ίσο με το ½ της υποτείνουσας, τότε η δεύτερη γωνία θα έχει την ίδια τιμή - 30º.
Υπάρχουν διάφοροι τρόποι για να βρείτε την υποτείνουσα σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Τα περισσότερα απλή λύσηείναι ένας υπολογισμός μέσω των ποδιών. Ας υποθέσουμε ότι γνωρίζετε τις τιμές των σκελών των πλευρών Α και Β. Στη συνέχεια, το Πυθαγόρειο θεώρημα έρχεται στη διάσωση, λέγοντάς μας ότι αν τετραγωνίσουμε κάθε τιμή του σκέλους και αθροίσουμε τα δεδομένα που προκύπτουν, θα μάθουμε τι υποτείνουσα ισούται με. Επομένως, πρέπει απλώς να εξαγάγουμε την τιμή της τετραγωνικής ρίζας:
Για παράδειγμα, εάν πόδι A = 3 cm και πόδι B = 4 cm, τότε ο υπολογισμός θα έχει επόμενη προβολή:
Πώς να βρείτε την υποτείνουσα μέσω μιας γωνίας;
Ένας άλλος τρόπος για να μάθετε τι είναι η υποτείνουσα σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο είναι να υπολογίσετε μέσω μιας δεδομένης γωνίας. Για να γίνει αυτό, πρέπει να εξαγάγουμε την τιμή μέσω του ημιτονοειδούς τύπου. Ας πούμε ότι γνωρίζουμε το μέγεθος του σκέλους (Α) και την τιμή της αντίθετης γωνίας (α). Τότε ολόκληρο το διάλυμα περιέχεται σε έναν τύπο: C=A/sin(α).
Για παράδειγμα, εάν το μήκος του ποδιού είναι 40 cm και η γωνία είναι 45°, τότε το μήκος της υποτείνουσας μπορεί να εξαχθεί ως εξής:
40/αμαρτία(45°) = 40/0,71 = 56,33.
Μπορείτε επίσης να προσδιορίσετε την επιθυμητή τιμή μέσω του συνημιτόνου δεδομένη γωνία. Ας πούμε ότι γνωρίζουμε την τιμή ενός σκέλους (Β) και μιας οξείας γειτονικής γωνίας (α). Στη συνέχεια, για να λύσετε το πρόβλημα θα χρειαστείτε έναν τύπο: C=B/ cos(α).
Για παράδειγμα, εάν το μήκος του ποδιού είναι 50 cm και η γωνία είναι 45 °, τότε η υπόταση μπορεί να υπολογιστεί ως εξής:
50/cos(45°) = 50/0,71 = 80,42.
Έτσι, εξετάσαμε τους κύριους τρόπους για να βρούμε την υποτείνουσα σε ένα τρίγωνο. Κατά την επίλυση ενός προβλήματος, είναι σημαντικό να επικεντρωθείτε στα διαθέσιμα δεδομένα, τότε η εύρεση της άγνωστης ποσότητας θα είναι αρκετά απλή. Χρειάζεται μόνο να γνωρίζετε μερικούς τύπους και η διαδικασία επίλυσης προβλημάτων θα γίνει απλή και ευχάριστη.
Στην αρχή, ας θυμηθούμε ότι ένα τρίγωνο είναι ένα πολύεδρο που έχει 3 γωνίες. Πώς να βρείτε την υποτείνουσα ενός ορθογώνιου τριγώνου εάν είναι γνωστές άλλες διαστάσεις του τριγώνου;
Κενό φύλλο, μολύβι και χάρακας για σχηματική αναπαράσταση τριγώνου.
- Τα μήκη των ποδιών είναι γνωστά. Σε αυτή την περίπτωση, η υποτείνουσα μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα. Αυτό το θεώρημα έχει ως εξής: το άθροισμα των τετραγώνων των ποδιών είναι ίσο με το τετράγωνο της υποτείνουσας. Από αυτό προκύπτει ότι για να υπολογιστεί το μήκος της υποτείνουσας, είναι απαραίτητο να τετραγωνιστεί το μέγεθος κάθε σκέλους με τη σειρά. Στη συνέχεια, προσθέστε τους αριθμούς που προκύπτουν και από συνολικό αποτέλεσμαεξαγάγετε ήδη την τετραγωνική ρίζα.
- Πώς να βρείτε την υποτείνουσα στο τρίγωνο KFB εάν το σκέλος (BC) και η γωνία που γειτνιάζει με αυτό είναι γνωστά; Σημειώνουμε τη γνωστή γωνία ως α. Μία από τις ιδιότητες ενός ορθογωνίου τριγώνου λέει το εξής: ο λόγος του μήκους ενός σκέλους ενός ορθογωνίου τριγώνου προς το μήκος της υποτείνουσας είναι ίσος με το συνημίτονο της γωνίας που βρίσκεται μεταξύ της υποτείνουσας και αυτού του σκέλους. Αυτό μπορεί να γραφτεί ως εξής: FB=BK*cos(α).
- Ένα άλλο σκέλος (KF) και η ίδια γωνία α είναι γνωστά. Η υποτείνουσα μπορεί επίσης να βρεθεί εφαρμόζοντας τις ίδιες ιδιότητες ενός ορθογωνίου τριγώνου. Εδώ παίρνουμε ότι ο λόγος του μήκους του σκέλους ενός ορθογωνίου τριγώνου προς το μήκος της υποτείνυσής του είναι ίσος με το ημίτονο της γωνίας απέναντι από το σκέλος. Γράφουμε: FB=KF*sin(α).
- Πώς να βρείτε την υποτείνουσα ενός τριγώνου, εάν ένας κύκλος είναι περιγεγραμμένος γύρω του και η ακτίνα του είναι γνωστή. Από τις ιδιότητες ενός κύκλου που περιβάλλεται γύρω από ένα ορθογώνιο τρίγωνο, είναι γνωστό ότι το κέντρο ενός τέτοιου κύκλου συμπίπτει με το σημείο της υποτείνουσας, που τον χωρίζει στο μισό. Με άλλα λόγια, η ακτίνα είναι ίση με τη μισή υποτείνουσα. Αυτό σημαίνει ότι δύο ακτίνες αποτελούν την υποτείνουσα: FB=2*R.
Γνωρίζοντας τις ιδιότητες ενός ορθογωνίου τριγώνου και το Πυθαγόρειο θεώρημα, είναι πολύ εύκολο να υπολογίσουμε το μήκος της υποτείνουσας. Εάν εξακολουθείτε να είναι δύσκολο για εσάς να θυμάστε όλες τις ιδιότητες, τότε απλώς μάθετε έτοιμες φόρμουλες στις οποίες είναι πολύ εύκολο να αντικαταστήσετε γνωστές αξίεςγια να υπολογίσετε το μήκος της υποτείνουσας.