Ποιο είναι το μήκος της μέσης γραμμής; Η μεσαία γραμμή του τριγώνου. Πώς να βρείτε τη μέση γραμμή ενός τριγώνου

Σπίτι

Πώς να βρείτε το μέσο ενός τριγώνου: ένα πρόβλημα γεωμετρίας. Τα κύρια στοιχειώδη προβλήματα στην Ευκλείδεια γεωμετρία ήρθαν σε εμάς από την αρχαιότητα. Περιέχουν την ίδια την πρωταρχική ουσία και τις απαραίτητες βασικές γνώσεις για την ανθρώπινη αντίληψη των χωρικών μορφών. Ένα τέτοιο πρόβλημα είναι το πρόβλημα της εύρεσης του μέσου ενός τριγώνου. Σήμερα, αυτό το πρόβλημα θεωρείται ως μια εκπαιδευτική τεχνική για την ανάπτυξη των πνευματικών ικανοτήτων των μαθητών. Στον αρχαίο κόσμο, η γνώση για το πώς να βρεθεί το μέσο ενός τριγώνου χρησιμοποιήθηκε επίσης στην πράξη: στη διαχείριση γης, στην κατασκευή διαφόρων μηχανισμών κ.λπ. Ποια είναι η ουσία αυτού του γεωμετρικού rebus; Ποια είναι η διάμεσος; Πριν λύσετε το πρόβλημα, πρέπει να εξοικειωθείτε με την απλούστερη γεωμετρική ορολογία σχετικά με τα τρίγωνα. Πρώτα απ 'όλα, κάθε τρίγωνο έχει τρεις κορυφές, τρεις πλευρές και τρεις γωνίες, από όπου προέρχεται και το όνομα αυτού του τριγώνου.γεωμετρικό σχήμα

. Είναι σημαντικό να γνωρίζουμε πώς ονομάζονται οι γραμμές που συνδέουν τις κορυφές με τις αντίθετες πλευρές: ύψος, διχοτόμος και διάμεσος.

Το ύψος είναι μια ευθεία κάθετη στην πλευρά απέναντι από την κορυφή από την οποία έχει σχεδιαστεί. διχοτόμος - διαιρεί μια γωνία στο μισό. Η διάμεσος χωρίζει την πλευρά απέναντι από την εξερχόμενη κορυφή στο μισό. Για να λύσετε αυτό το πρόβλημα, πρέπει να ξέρετε πώς να βρείτε τις συντεταγμένες του μέσου ενός τμήματος, επειδή είναι το σημείο τομής των διαμέσου του τριγώνου που είναι το μέσο του.

Βρείτε τα μέσα των πλευρών του τριγώνου. Η εύρεση του μέσου ενός τμήματος είναι επίσης ένα κλασικό γεωμετρικό πρόβλημα, για την επίλυση του οποίου θα χρειαστείτε μια πυξίδα και έναν χάρακα χωρίς διαιρέσεις. Τοποθετούμε τη βελόνα της πυξίδας στο τελικό σημείο του τμήματος και σχεδιάζουμε ένα ημικύκλιο μεγαλύτερο από το μισό τμήμα στη μέση του τελευταίου. Κάνουμε το ίδιο στην άλλη πλευρά του τμήματος. Τα ημικύκλια που προκύπτουν θα τέμνονται αναγκαστικά σε δύο σημεία, επειδή οι ακτίνες τους είναι μεγαλύτερες από το μισό του αρχικού τμήματος.

Χτίζουμε το μέσο του τριγώνου. Συνδέοντας τις κορυφές του τριγώνου με τα μέσα των απέναντι πλευρών με ευθείες γραμμές, παίρνουμε τρεις διάμεσους. Αυτό μπορεί να εκπλήξει μερικούς, αλλά ένας από τους νόμους της αρμονίας αυτού του γεωμετρικού σχήματος είναι ότι και οι τρεις διάμεσοι τέμνονται πάντα σε ένα σημείο. Είναι αυτό το σημείο που θα είναι το επιθυμητό μέσο του τριγώνου, το οποίο δεν είναι τόσο δύσκολο να βρεθεί εάν ξέρετε πώς να κατασκευάσετε το μέσο του τμήματος.

Είναι επίσης ενδιαφέρον ότι το σημείο τομής των διάμεσων αντιπροσωπεύει όχι μόνο το γεωμετρικό, αλλά και το «φυσικό» μέσο του τριγώνου. Δηλαδή, αν, για παράδειγμα, κόψετε ένα τρίγωνο από κόντρα πλακέ, βρείτε τη μέση του και τοποθετήσετε αυτό το σημείο στην άκρη της βελόνας, τότε ιδανικά μια τέτοια φιγούρα θα ισορροπήσει και δεν θα πέσει. Η στοιχειώδης γεωμετρία περιέχει πολλά τέτοια συναρπαστικά «μυστικά», η γνώση των οποίων βοηθά στην κατανόηση της αρμονίας του περιβάλλοντος κόσμου και της φύσης πιο περίπλοκων πραγμάτων.

\[(\Μεγάλο(\κείμενο(Ομοιότητα τριγώνων)))\]

Ορισμοί

Δύο τρίγωνα ονομάζονται όμοια αν οι γωνίες τους είναι αντίστοιχα ίσες και οι πλευρές του ενός τριγώνου είναι ανάλογες με τις όμοιες πλευρές του άλλου
(οι πλευρές ονομάζονται όμοιες αν βρίσκονται απέναντι από ίσες γωνίες).

Ο συντελεστής ομοιότητας των (όμοιων) τριγώνων είναι ένας αριθμός ίσος με τον λόγο των όμοιων πλευρών αυτών των τριγώνων.

Ορισμός

Η περίμετρος ενός τριγώνου είναι το άθροισμα των μηκών όλων των πλευρών του.

Θεώρημα

Ο λόγος των περιμέτρων δύο όμοιων τριγώνων είναι ίσος με τον συντελεστή ομοιότητας.

Απόδειξη

Εξετάστε τα τρίγωνα \(ABC\) και \(A_1B_1C_1\) με πλευρές \(a,b,c\) και \(a_1, b_1, c_1\) αντίστοιχα (δείτε το παραπάνω σχήμα).

Τότε \(P_(ABC)=a+b+c=ka_1+kb_1+kc_1=k(a_1+b_1+c_1)=k\cdot P_(A_1B_1C_1)\)

Θεώρημα

Ο λόγος των εμβαδών δύο όμοιων τριγώνων είναι ίσος με το τετράγωνο του συντελεστή ομοιότητας.

Απόδειξη

Αφήστε τα τρίγωνα \(ABC\) και \(A_1B_1C_1\) να είναι όμοια, και \(\dfrac(AB)(A_1B_1) = \dfrac(AC)(A_1C_1) = \dfrac(BC)(B_1C_1) = k\). Ας υποδηλώσουμε με τα γράμματα \(S\) και \(S_1\) τα εμβαδά αυτών των τριγώνων, αντίστοιχα.

Αφού \(\γωνία A = \γωνία A_1\) , τότε \(\dfrac(S)(S_1) = \dfrac(AB\cdot AC)(A_1B_1\cdot A_1C_1)\)(από το θεώρημα του λόγου των εμβαδών τριγώνων που έχουν ίσες γωνίες).

Επειδή \(\dfrac(AB)(A_1B_1) = \dfrac(AC)(A_1C_1) = k\), Αυτό \(\dfrac(S)(S_1) = \dfrac(AB)(A_1B_1)\cdot\dfrac(AC)(A_1C_1) = k\cdot k = k^2\), που ήταν αυτό που έπρεπε να αποδειχθεί.

\[(\Μεγάλο(\κείμενο(Σημεία ομοιότητας τριγώνων)))\]

Θεώρημα (το πρώτο σημάδι ομοιότητας τριγώνων)

Αν δύο γωνίες ενός τριγώνου είναι αντίστοιχα ίσες με δύο γωνίες ενός άλλου τριγώνου, τότε τέτοια τρίγωνα είναι παρόμοια.

Απόδειξη

Έστω τα \(ABC\) και \(A_1B_1C_1\) τρίγωνα έτσι ώστε \(\γωνία A = \γωνία A_1\) , \(\γωνία B = \γωνία B_1\) . Στη συνέχεια, με το θεώρημα για το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου \(\γωνία C = 180^\circ - \γωνία A - \γωνία B = 180^\circ - \γωνία A_1 - \γωνία B_1 = \γωνία C_1\), δηλαδή οι γωνίες του τριγώνου \(ABC\) είναι αντίστοιχα ίσες με τις γωνίες του τριγώνου \(A_1B_1C_1\) .

Εφόσον \(\γωνία A = \γωνία A_1\) και \(\γωνία Β = \γωνία B_1\) , τότε \(\dfrac(S_(ABC))(S_(A_1B_1C_1)) = \dfrac(AB\cdot AC)(A_1B_1\cdot A_1C_1)\)Και \(\dfrac(S_(ABC))(S_(A_1B_1C_1)) = \dfrac(AB\cdot BC)(A_1B_1\cdot B_1C_1)\).

Από αυτές τις ισότητες προκύπτει ότι \(\dfrac(AC)(A_1C_1) = \dfrac(BC)(B_1C_1)\).

Ομοίως, αποδεικνύεται ότι \(\dfrac(AC)(A_1C_1) = \dfrac(AB)(A_1B_1)\)(χρησιμοποιώντας ισότητες \(\γωνία B = \γωνία B_1\) , \(\γωνία C = \γωνία C_1\) ).

Ως αποτέλεσμα, οι πλευρές του τριγώνου \(ABC\) είναι ανάλογες με τις όμοιες πλευρές του τριγώνου \(A_1B_1C_1\), κάτι που έπρεπε να αποδειχθεί.

Θεώρημα (δεύτερο κριτήριο για την ομοιότητα τριγώνων)

Εάν δύο πλευρές ενός τριγώνου είναι ανάλογες με δύο πλευρές ενός άλλου τριγώνου και οι γωνίες μεταξύ αυτών των πλευρών είναι ίσες, τότε τα τρίγωνα είναι παρόμοια.

Απόδειξη

Θεωρήστε δύο τρίγωνα \(ABC\) και \(A"B"C"\) έτσι ώστε \(\dfrac(AB)(A"B")=\dfrac(AC)(A"C")\), \(\γωνία BAC = \γωνία A"\) Ας αποδείξουμε ότι τα τρίγωνα \(ABC\) και \(A"B"C"\) είναι παρόμοια. Λαμβάνοντας υπόψη το πρώτο σημάδι ομοιότητας των τριγώνων, αρκεί να δείξουμε ότι \(\γωνία Β = \γωνία Β"\) .

Θεωρήστε ένα τρίγωνο \(ABC""\) με \(\γωνία 1 = \γωνία Α"\) , \(\γωνία 2 = \γωνία Β"\) . Τα τρίγωνα \(ABC""\) και \(A"B"C"\) είναι παρόμοια σύμφωνα με το πρώτο κριτήριο ομοιότητας των τριγώνων, τότε \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC"")(A"C")\).

Από την άλλη, κατά συνθήκη \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC)(A"C")\). Από τις δύο τελευταίες ισότητες προκύπτει ότι \(AC = AC""\) .

Τα τρίγωνα \(ABC\) και \(ABC""\) είναι ίσα σε δύο πλευρές και η μεταξύ τους γωνία, επομένως, \(\γωνία Β = \γωνία 2 = \γωνία Β"\).

Θεώρημα (τρίτο σημάδι ομοιότητας τριγώνων)

Αν τρεις πλευρές ενός τριγώνου είναι ανάλογες με τις τρεις πλευρές ενός άλλου τριγώνου, τότε τα τρίγωνα είναι παρόμοια.

Απόδειξη

Έστω ανάλογες οι πλευρές των τριγώνων \(ABC\) και \(A"B"C"\): \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC)(A"C) = \dfrac(BC)(B"C")\). Ας αποδείξουμε ότι τα τρίγωνα \(ABC\) και \(A"B"C"\) είναι παρόμοια.

Για να γίνει αυτό, λαμβάνοντας υπόψη το δεύτερο κριτήριο για την ομοιότητα των τριγώνων, αρκεί να αποδείξουμε ότι \(\γωνία BAC = \γωνία A"\) .

Θεωρήστε ένα τρίγωνο \(ABC""\) με \(\γωνία 1 = \γωνία Α"\) , \(\γωνία 2 = \γωνία Β"\) .

Τα τρίγωνα \(ABC""\) και \(A"B"C"\) είναι παρόμοια σύμφωνα με το πρώτο κριτήριο ομοιότητας των τριγώνων, επομένως, \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(BC"")(B"C) = \dfrac(C""A)(C"A")\).

Από την τελευταία αλυσίδα ισοτήτων και συνθηκών \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC)(A"C) = \dfrac(BC)(B"C")\)προκύπτει ότι \(BC = BC""\) , \(CA = C""A\) .

Τα τρίγωνα \(ABC\) και \(ABC""\) είναι ίσα σε τρεις πλευρές, επομένως, \(\γωνία BAC = \γωνία 1 = \γωνία Α"\).

\[(\Large(\text(Θεώρημα του Θαλή)))\]

Θεώρημα

Εάν σημειώσετε ίσα τμήματα στη μία πλευρά μιας γωνίας και τραβήξετε παράλληλες ευθείες γραμμές στα άκρα τους, τότε αυτές οι ευθείες γραμμές θα κόψουν επίσης ίσα τμήματα από την άλλη πλευρά.

Απόδειξη

Ας αποδείξουμε πρώτα λήμμα:Εάν στο \(\τρίγωνο OBB_1\) μια ευθεία γραμμή \(a\παράλληλη BB_1\) τραβηχτεί από το μέσο \(A\) της πλευράς \(OB\), τότε θα τέμνει επίσης την πλευρά \(OB_1\) στο η μέση.

Μέσα από το σημείο \(B_1\) σχεδιάζουμε \(l\παράλληλο OB\) . Έστω \(l\cap a=K\) . Τότε το \(ABB_1K\) είναι παραλληλόγραμμο, επομένως \(B_1K=AB=OA\) και \(\γωνία A_1KB_1=\γωνία ABB_1=\γωνία OAA_1\); \(\γωνία AA_1O=\γωνία KA_1B_1\)σαν κάθετη. Έτσι, σύμφωνα με το δεύτερο σημάδι \(\τρίγωνο OAA_1=\τρίγωνο B_1KA_1 \Δεξί βέλος OA_1=A_1B_1\). Το λήμμα είναι αποδεδειγμένο.

Ας προχωρήσουμε στην απόδειξη του θεωρήματος. Έστω \(OA=AB=BC\) , \(a\παράλληλο b\παράλληλο c\) και πρέπει να αποδείξουμε ότι \(OA_1=A_1B_1=B_1C_1\) .

Έτσι, σύμφωνα με αυτό το λήμμα \(OA_1=A_1B_1\) . Ας αποδείξουμε ότι \(A_1B_1=B_1C_1\) . Ας τραβήξουμε μια ευθεία \(d\παράλληλο OC\) μέσα από το σημείο \(B_1\) και έστω \(d\cap a=D_1, d\cap c=D_2\) . Τότε τα \(ABB_1D_1, BCD_2B_1\) είναι παραλληλόγραμμα, επομένως, \(D_1B_1=AB=BC=B_1D_2\) . Ετσι, \(\γωνία A_1B_1D_1=\γωνία C_1B_1D_2\)σαν κάθετη \(\γωνία A_1D_1B_1=\γωνία C_1D_2B_1\)ξαπλωμένοι σαν σταυροί, και, επομένως, σύμφωνα με το δεύτερο σημάδι \(\τρίγωνο A_1B_1D_1=\τρίγωνο C_1B_1D_2 \Δεξί βέλος A_1B_1=B_1C_1\).

Το θεώρημα του Θαλή

Οι παράλληλες γραμμές κόβουν ανάλογα τμήματα στις πλευρές μιας γωνίας.

Απόδειξη

Έστω παράλληλες γραμμές \(p\παράλληλο q\παράλληλο r\παράλληλο s\)διαίρεσε μια από τις γραμμές σε τμήματα \(a, b, c, d\) . Στη συνέχεια, η δεύτερη ευθεία πρέπει να χωριστεί σε τμήματα \(ka, kb, kc, kd\), αντίστοιχα, όπου \(k\) είναι ένας ορισμένος αριθμός, ο ίδιος συντελεστής αναλογικότητας των τμημάτων.

Ας τραβήξουμε μέσα από το σημείο \(A_1\) μια ευθεία \(p\παράλληλο OD\) (\(ABB_2A_1\) είναι παραλληλόγραμμο, επομένως, \(AB=A_1B_2\) ). Τότε \(\τρίγωνο OAA_1 \sim \τρίγωνο A_1B_1B_2\)σε δύο γωνίες. Οθεν, \(\dfrac(OA)(A_1B_2)=\dfrac(OA_1)(A_1B_1) \Δεξί βέλος A_1B_1=kb\).

Ομοίως, τραβάμε μια ευθεία γραμμή μέσω του \(B_1\) \(q\παράλληλο OD \Δεξί βέλος \τρίγωνο OBB_1\sim \τρίγωνο B_1C_1C_2 \Δεξί βέλος B_1C_1=kc\)και τα λοιπά.

\[(\Μεγάλο(\κείμενο( Μεσαία γραμμήτρίγωνο)))\]

Ορισμός

Η μέση γραμμή ενός τριγώνου είναι ένα τμήμα που συνδέει τα μέσα οποιωνδήποτε δύο πλευρών του τριγώνου.

Θεώρημα

Η μεσαία γραμμή του τριγώνου είναι παράλληλη προς την τρίτη πλευρά και ίση με το μισό της.

Απόδειξη

1) Ο παραλληλισμός της μέσης γραμμής προς τη βάση προκύπτει από όσα αποδείχθηκαν παραπάνω λήμματα.

2) Ας αποδείξουμε ότι \(MN=\dfrac12 AC\) .

Μέσα από το σημείο \(N\) σχεδιάζουμε μια ευθεία παράλληλη στο \(AB\) . Αφήστε αυτή την ευθεία να τέμνει την πλευρά \(AC\) στο σημείο \(K\) . Τότε το \(AMNK\) είναι παραλληλόγραμμο ( \(AM\παράλληλο NK, MN\παράλληλο AK\)σύμφωνα με το προηγούμενο σημείο). Άρα, \(MN=AK\) .

Επειδή Τα \(NK\παράλληλα AB\) και \(N\) είναι το μέσο του \(BC\), στη συνέχεια με το θεώρημα του Thales \(K\) είναι το μέσο του \(AC\) . Επομένως, \(MN=AK=KC=\dfrac12 AC\) .

Συνέπεια

Η μεσαία γραμμή του τριγώνου κόβει από αυτήν ένα τρίγωνο παρόμοιο με το δεδομένο με τον συντελεστή \(\frac12\) .

Μερικές φορές τα θέματα που εξηγούνται στο σχολείο μπορεί να μην είναι πάντα ξεκάθαρα την πρώτη φορά. Αυτό ισχύει ιδιαίτερα για ένα μάθημα όπως τα μαθηματικά. Όλα όμως γίνονται πολύ πιο περίπλοκα όταν αυτή η επιστήμη αρχίζει να χωρίζεται σε δύο μέρη: την άλγεβρα και τη γεωμετρία.

Κάθε μαθητής μπορεί να έχει μια ικανότητα σε μία από τις δύο κατευθύνσεις, αλλά κυρίως σε δημοτικό σχολείοΕίναι σημαντικό να κατανοήσουμε τη βάση τόσο της άλγεβρας όσο και της γεωμετρίας. Στη γεωμετρία, ένα από τα κύρια θέματα θεωρείται η ενότητα για τα τρίγωνα.

Πώς να βρείτε τη μέση γραμμή ενός τριγώνου; Ας το καταλάβουμε.

Βασικές Έννοιες

Αρχικά, για να καταλάβετε πώς να βρείτε τη μέση γραμμή ενός τριγώνου, είναι σημαντικό να καταλάβετε τι είναι.

Δεν υπάρχουν περιορισμοί στο σχέδιο της μεσαίας γραμμής: το τρίγωνο μπορεί να είναι οτιδήποτε (ισοσκελές, ισόπλευρο, ορθογώνιο). Και όλες οι ιδιότητες που σχετίζονται με τη μεσαία γραμμή θα ισχύουν.

Η μέση γραμμή ενός τριγώνου είναι ένα τμήμα που συνδέει τα μέσα των 2 πλευρών του. Επομένως, κάθε τρίγωνο μπορεί να έχει 3 τέτοιες γραμμές.

Σκηνικά θέατρου

Για να μάθετε πώς να βρείτε τη μέση γραμμή ενός τριγώνου, ας προσδιορίσουμε τις ιδιότητες του που πρέπει να θυμόμαστε, διαφορετικά χωρίς αυτές θα είναι αδύνατο να λυθούν προβλήματα με την ανάγκη προσδιορισμού του μήκους της μέσης γραμμής, καθώς όλα τα δεδομένα που λαμβάνονται πρέπει να τεκμηριώνονται και επιχειρηματολόγησε με θεωρήματα, αξιώματα ή ιδιότητες.

Έτσι, για να απαντήσετε στην ερώτηση: «Πώς να βρείτε τη μέση γραμμή του τριγώνου ABC;», αρκεί να γνωρίζετε μια από τις πλευρές του τριγώνου.

Ας δώσουμε ένα παράδειγμα

Ρίξτε μια ματιά στην εικόνα. Δείχνει τρίγωνο ABC με μεσαία γραμμή DE. Σημειώστε ότι είναι παράλληλη με τη βάση AC στο τρίγωνο. Επομένως, όποια και αν είναι η τιμή του AC, η μέση γραμμή DE θα είναι η μισή μεγαλύτερη. Για παράδειγμα, AC=20 σημαίνει DE=10, κ.λπ.

Με αυτούς τους απλούς τρόπους μπορείτε να καταλάβετε πώς να βρείτε τη μέση γραμμή ενός τριγώνου. Θυμηθείτε τις βασικές ιδιότητες και τον ορισμό του, και τότε δεν θα έχετε ποτέ προβλήματα να βρείτε το νόημά του.

1 Πρόσθετη κατασκευή που οδηγεί στο θεώρημα της μέσης γραμμής του τριγώνου, στις ιδιότητες του τραπεζίου και της ομοιότητας των τριγώνων.

Και αυτή ίσο με το ήμισυ της υποτείνουσας.
Συμπέρασμα 1.
Συμπέρασμα 2.

2 Όλα τα ορθογώνια τρίγωνα με την ίδια οξεία γωνία είναι παρόμοια. Μια ματιά στις τριγωνομετρικές συναρτήσεις.

3 Ένα παράδειγμα πρόσθετης κατασκευής είναι ένα ύψος χαμηλωμένο στην υποτείνουσα. Παραγωγή του Πυθαγόρειου θεωρήματος με βάση την ομοιότητα των τριγώνων.

Από αυτό είναι σαφές ότι

1 Όλα τα ορθογώνια τρίγωνα με την ίδια οξεία γωνία είναι παρόμοια. Μια ματιά στις τριγωνομετρικές συναρτήσεις.

Τα τρίγωνα με εκκολάπτουσες και μη πλευρές είναι παρόμοια στο ότι οι δύο γωνίες τους είναι ίσες. Επομένως πού

Αυτό σημαίνει ότι αυτές οι σχέσεις εξαρτώνται μόνο από οξεία γωνίαορθογώνιο τρίγωνο και ουσιαστικά να το ορίσετε. Αυτός είναι ένας από τους λόγους της εμφάνισης τριγωνομετρικές συναρτήσεις:

Συχνά η σύνταξη τριγωνομετρικών συναρτήσεων γωνιών σε όμοια ορθογώνια τρίγωνα είναι πιο ξεκάθαρη από τη σύνταξη σχέσεων ομοιότητας!

2 Ένα παράδειγμα πρόσθετης κατασκευής είναι ένα ύψος χαμηλωμένο στην υποτείνουσα. Παραγωγή του Πυθαγόρειου θεωρήματος με βάση την ομοιότητα των τριγώνων.

Ας χαμηλώσουμε το ύψος CH στην υποτείνουσα AB. Έχουμε τρεις παρόμοιο με ένα τρίγωνο ABC, AHC και CHB. Ας γράψουμε παραστάσεις για τριγωνομετρικές συναρτήσεις:

Από αυτό είναι σαφές ότι . Προσθέτοντας, παίρνουμε το Πυθαγόρειο θεώρημα, αφού:

Για μια άλλη απόδειξη του Πυθαγόρειου θεωρήματος, δείτε το σχόλιο του Προβλήματος 4.
3 Σημαντικό παράδειγμα πρόσθετης κατασκευής είναι η κατασκευή γωνίας ίσης με μία από τις γωνίες ενός τριγώνου.

Εκτελούμε από την κορυφή ορθή γωνίαένα ευθύ τμήμα που κάνει μια γωνία με το σκέλος CA, ίσο με γωνία CAB του δεδομένου ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ. Ως αποτέλεσμα, λαμβάνουμε ένα ισοσκελές τρίγωνο ACM με γωνίες βάσης. Αλλά το άλλο τρίγωνο που προκύπτει από αυτήν την κατασκευή θα είναι επίσης ισοσκελές, αφού κάθε γωνία του στη βάση είναι ίση (από την ιδιότητα των γωνιών ενός ορθογωνίου τριγώνου και από την κατασκευή - η γωνία "αφαιρέθηκε" από τη σωστή γωνία). Λόγω του ότι τα τρίγωνα BMC και AMC είναι ισοσκελές με κοινή πλευρά MC, έχουμε την ισότητα MB=MA=MC, δηλ. M.C. διάμεσος που σύρεται στην υποτείνουσα ενός ορθογωνίου τριγώνουκαι αυτή ίσο με το ήμισυ της υποτείνουσας.
Συμπέρασμα 1.Το μέσο της υποτείνουσας είναι το κέντρο του κύκλου που περικλείεται γύρω από αυτό το τρίγωνο, αφού αποδεικνύεται ότι το μέσο της υποτείνουσας απέχει από τις κορυφές του ορθογωνίου τριγώνου.
Συμπέρασμα 2.Η μεσαία γραμμή ενός ορθογωνίου τριγώνου, που συνδέει το μέσο της υποτείνουσας με το μέσο του σκέλους, είναι παράλληλη με το απέναντι σκέλος και ισούται με το μισό του.

Στα ισοσκελή τρίγωνα BMC και AMC, ας χαμηλώσουμε τα ύψη MH και MG στις βάσεις. Από μέσα ισοσκελές τρίγωνο, το ύψος που χαμηλώνει στη βάση είναι επίσης η διάμεσος (και η διχοτόμος), τότε το MH και το MG είναι οι γραμμές ενός ορθογωνίου τριγώνου που συνδέει το μέσο της υποτείνουσας με τα μέσα των σκελών. Από κατασκευή, αποδεικνύεται ότι είναι παράλληλα με τα απέναντι σκέλη και ίσα με τα μισά τους, αφού τα τρίγωνα είναι ίσα MHC και MGC είναι ίσα (και το MHCG είναι ορθογώνιο). Αυτό το αποτέλεσμα είναι η βάση για την απόδειξη του θεωρήματος για τη μέση γραμμή ενός αυθαίρετου τριγώνου και, περαιτέρω, τη μέση γραμμή ενός τραπεζοειδούς και την ιδιότητα της αναλογικότητας των τμημάτων που κόβονται από παράλληλες ευθείες σε δύο ευθείες που τα τέμνουν.

Καθήκοντα
Χρήση ιδιοτήτων ομοιότητας -1
Χρήση βασικών ιδιοτήτων - 2
Χρησιμοποιώντας επιπλέον σχηματισμό 3-4

1 2 3 4

Το ύψος που πέφτει από την κορυφή μιας ορθής γωνίας ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι ίσο με την τετραγωνική ρίζα των μηκών των τμημάτων στα οποία διαιρεί την υποτείνουσα.

Η λύση φαίνεται προφανής αν γνωρίζετε την εξαγωγή του Πυθαγόρειου θεωρήματος από την ομοιότητα των τριγώνων:

\(\mathrm(tg)\beta=\frac(h)(c_1)=\frac(c_2)(h)\),
από όπου \(h^2=c_1c_2\).

Να βρείτε τον τόπο σημείων (GMT) τομής των διαμέσου όλων των πιθανών ορθογωνίων τριγώνων των οποίων η υποτείνουσα ΑΒ είναι σταθερή.

Το σημείο τομής των διαμέσων οποιουδήποτε τριγώνου αποκόπτει το ένα τρίτο από τη διάμεσο, μετρώντας από το σημείο τομής του με την αντίστοιχη πλευρά. ΣΕ ορθογώνιο τρίγωνοΗ διάμεσος που σχεδιάζεται από ορθή γωνία είναι ίση με το ήμισυ της υποτείνουσας. Επομένως, το επιθυμητό GMT είναι ένας κύκλος ακτίνας ίσος με το 1/6 του μήκους της υποτείνουσας, με ένα κέντρο στη μέση αυτής της (σταθερής) υποτείνουσας.