Ανάλυση, μήτρα. Ανάλυση μήτρας Βιοσύνθεση πρωτεϊνών και νουκλεϊκών οξέων. Φύση μήτρας αντιδράσεων βιοσύνθεσης. Γενετική πληροφορία σε ένα κύτταρο. Γονίδια, γενετικός κώδικας και οι ιδιότητές του

Σπίτι

Εργασία 1

Υπολογίστε το άθροισμα των πινάκων kA+mB αν

Τα στοιχεία του πίνακα αθροίσματος καθορίζονται από τον τύπο:.

cij=kaij+mbij

Ας υπολογίσουμε τα στοιχεία της πρώτης σειράς του πίνακα αθροίσματος:

С11=-4 * 2+5 * 3=7

С12=-4 * (-1)+5 * 7=39

С13=-4 * 4+5 * (-2)=-26

С21=-4 * 6+5 * 9=21

С22=-4 * 3+5 * 1=-7

С23=-4 * 0+5 * 6=30

С31=-4 * (-7)+5 * (-4)=8

С32=-4 * 5+5 * 8=20

С33=-4 * 9+5 * 5=-11

Έτσι, ο πίνακας αθροίσματος θα έχει τη μορφή:

Εργασία 2

Υπολογίστε τον αντίστροφο πίνακα και ελέγξτε.

• Χρησιμοποιούμε τον αλγόριθμο για την εύρεση του αντίστροφου πίνακα:
• 1. Ο πίνακας είναι τετράγωνος (ο αριθμός των σειρών είναι ίσος με τον αριθμό των στηλών), επομένως, υπάρχει ο αντίστροφος πίνακας του.

• 2. Βρείτε την ορίζουσα του αρχικού πίνακα:
• ?A=-3 * 3 * 3+1 * (-5) * 1+0 * (-4) * 3-1 * 3 * 3-(-4) * 1 * 3-0 * (-5) * (-3)=-29 ? 0

3. Βρείτε έναν πίνακα που αποτελείται από αλγεβρικές προσθήκες στοιχείων του αρχικού πίνακα:

Α11=(-1) 2 * 3 * 3-0 * (-5)=-9

Α12=(-1) 3 * -4 * 3-1 * (-5)=7

Α13=(-1) 4 * -4 * 0-1 * 3=-3

A21=(-1) 3 * 1 * 3-0 * 3=-3

A22=(-1) 4 * -3 * 3-1 * 3=-12

A23=(-1) 5 * -3 * 0-1 * 1=1

A31=(-1) 4 * 1 * (-5)-3 * 3=-14

A32=(-1) 5 * -3 * (-5)-(-4) * 3=-27

A33=(-1) 6 * -3 * 3-(-4) * 1=-5

Έτσι, παίρνουμε τον πίνακα:

4. Μεταφέρετε τον προκύπτοντα πίνακα:

5. Διαιρούμε τον τελευταίο πίνακα με την ορίζουσα του αρχικού πίνακα και λαμβάνουμε τον αντίστροφο πίνακα:

6. Ελέγχουμε το ληφθέν αποτέλεσμα. Για να γίνει αυτό, βρίσκουμε το γινόμενο του προκύπτοντος πίνακα και τον αρχικό:

A -1 .* A=A * A -1 =*= ==

Έτσι, καταλήξαμε σε μια μήτρα ταυτότητας. Επομένως, ο αντίστροφος πίνακας βρέθηκε, σωστός.

Εργασία 3 Λύστε το σύστημαγραμμικές εξισώσεις

Μέθοδος Cramer και Gauss.

Διάλυμα:

1) Λύστε το σύστημα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του Cramer.

Ας δημιουργήσουμε έναν πίνακα συστήματος:

0 * (-8) * 4+3 * 2 * (-5)+7 * 2 * 9-9 * (-8) * (-5)-3 * 7 * 4-0 * 2 * 2=-348?0

Υπολογίζουμε την ορίζουσα αυτού του πίνακα: 1 Βρίσκουμε καθοριστικούς παράγοντες;

1==2 * (-8) * 4+3 * 2 * (-3)+9 * 5 * 2-9 * (-8) * (-3)-3 * 5 * 4-2 * 2 * 2=-276

2==0 * 5 * 4+2 * 2 * (-5)+9 * 7 * (-3)-9 * 5 * (-5)-2 * 7 * 2-0 * 2 * (-3)=- 40

3==0 * (-8) * (-3)+3 * 5 * (-5)+2 * 7 * 2-2 * (-8) * (-5)-3 * 7 * (-3)-0 * 5 * 2=- 64

, ?2, ?3, που λαμβάνονται από την αρχική ορίζουσα αντικαθιστώντας την πρώτη, δεύτερη και τρίτη στήλη με μια στήλη ελεύθερων όρων, αντίστοιχα:

Τώρα χρησιμοποιώντας τους τύπους του Cramer

x1=, x2=, x3=,

βρίσκουμε τη λύση στο σύστημα:

X1==,=0,79 x2==,=0,11 x3===0,18

2) Ας λύσουμε το σύστημα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss.

Καταρτίζουμε έναν εκτεταμένο πίνακα του συστήματος, ο οποίος περιλαμβάνει συντελεστές για μεταβλητές και ελεύθερους όρους:

Ας πολλαπλασιάσουμε την 1η γραμμή επί (26). Πολλαπλασιάστε τη 2η γραμμή με (3). Ας προσθέσουμε τη 2η γραμμή στην 1η:

Από την 1η γραμμή εκφράζουμε x 3

Από τη 2η γραμμή εκφράζουμε x 2

26x 2 =- +4 = 0,11

Από την 3η γραμμή εκφράζουμε x 1

5x 1 = -2 * 0,11 - - 3 = 0,79

Εργασία 4

ορίζουσα μήτρας γραμμικό cramer gauss

Υπολογίστε την ορίζουσα 4ης τάξης

Ας γράψουμε την επέκταση της ορίζουσας κατά μήκος της τέταρτης γραμμής:

A==0 * A 41 +3 * A 42 +0 * A 43 +1 * A 44

όπου Aij είναι το αλγεβρικό συμπλήρωμα του στοιχείου ij α.

Ας βρούμε τα αλγεβρικά συμπληρώματα χρησιμοποιώντας τον τύπο A ij =(-1) i+j, όπου m ij είναι η ελάσσονα του στοιχείου ij a, που προκύπτει από την αρχική ορίζουσα διαγράφοντας τη γραμμή και τη στήλη στη τομή των οποίων αυτό το στοιχείο στέκεται.

A 42 =(-1) 4+2 * m 42 =(-1) 6 * =4 * 7 * (-9)+7 * (-7) * 0+1 * (-1) * 0 - 0 * 7 * 0 - 7 * 1 * (-9) - 4 * (-7) * (-1)=-217

A 44 =(-1) 4+4 * m 44 =(-1) 8 * =4 * (-3) * (-1)+0 * 7 * 0+1 * 1 * 7-7 * (-3 ) * 0-0 * 1 * (-1)-4 * 7 * 1=-9

Αντικαθιστούμε τις λαμβανόμενες τιμές στην επέκταση της ορίζουσας:

3 * A 42 + A 44 =3 * (-217)+(-9)=-660

Εργασία 5

αντίστροφη ορίζουσα μήτρας γραμμικό cramer gauss

Ανεξάρτητα, κατ' αναλογία με το παράδειγμα, δημιουργήστε πρόβλημα με οικονομικό περιεχόμενο, κατασκευάστε μαθηματικό μοντέλο οικονομική διαδικασία, και λύστε το πρόβλημα.

Εργο.

Το κόστος τριών τύπων πρώτων υλών Α, Β, Γ για την παραγωγή μιας μονάδας καθενός από τους τρεις τύπους προϊόντων I, II, III και τα αποθέματα κάθε τύπου πρώτης ύλης δίνονται στον πίνακα (Πίνακας 1) :

Πίνακας 1

Είναι απαραίτητο να καθοριστεί ένα σχέδιο παραγωγής που να διασφαλίζει τη χρήση όλων των πρώτων υλών.

Ας γράψουμε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τα δεδομένα που δίνονται στον πίνακα:

πού είναι ο όγκος εξόδου κάθε τύπου.

Για να λύσουμε, θα χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο Gaussian. Ας γράψουμε τον εκτεταμένο πίνακα του συστήματος:

Ας γράψουμε το σύστημα με τη μορφή εκτεταμένου πίνακα:

Πολλαπλασιάστε τη 2η γραμμή με (-2). Ας προσθέσουμε τη 2η γραμμή στην 1η:

Πολλαπλασιάστε τη 2η γραμμή με (3). Πολλαπλασιάστε την 3η γραμμή με (-1). Ας προσθέσουμε την 3η γραμμή στη 2η:

Ας πολλαπλασιάσουμε την 1η γραμμή επί (2). Ας προσθέσουμε τη 2η γραμμή στην 1η:

Τώρα το αρχικό σύστημα μπορεί να γραφτεί ως:

x 2 = /2

x 1 = /3

Από την 1η γραμμή εκφράζουμε x 3

Από τη 2η γραμμή εκφράζουμε x 2

Από την 3η γραμμή εκφράζουμε x 1

Η ανάλυση matrix ή η μέθοδος matrix έχει βρει ευρεία χρήση στη συγκριτική αξιολόγηση διαφόρων οικονομικών συστημάτων (επιχειρήσεις, επιμέρους τμήματα επιχειρήσεων κ.λπ.). Η μέθοδος matrix σάς επιτρέπει να προσδιορίσετε την ολοκληρωμένη αξιολόγηση κάθε επιχείρησης με βάση διάφορους δείκτες. Αυτή η αξιολόγηση ονομάζεται αξιολόγηση επιχείρησης. Ας εξετάσουμε την εφαρμογή της μεθόδου matrix βήμα προς βήμα χρησιμοποιώντας ένα συγκεκριμένο παράδειγμα.

1. Επιλογή δεικτών αξιολόγησης και σχηματισμός του αρχικού πίνακα δεδομένων a ij, δηλαδή πίνακες όπου οι σειρές αντικατοπτρίζουν τους αριθμούς των συστημάτων (επιχειρήσεις), και οι στήλες αντικατοπτρίζουν τους αριθμούς των δεικτών (i=1,2....n) - τα συστήματα. (j=1,2…..n) - δείκτες. Οι επιλεγμένοι δείκτες πρέπει να έχουν την ίδια εστίαση (όσο περισσότεροι, τόσο το καλύτερο).

2. Κατάρτιση πίνακα τυποποιημένων συντελεστών.Σε κάθε στήλη, προσδιορίζεται το μέγιστο στοιχείο και, στη συνέχεια, όλα τα στοιχεία σε αυτήν τη στήλη διαιρούνται με το μέγιστο στοιχείο. Με βάση τα αποτελέσματα του υπολογισμού, δημιουργείται ένας πίνακας τυποποιημένων συντελεστών.

Επιλέξτε το μέγιστο στοιχείο σε κάθε στήλη.

Μάθημα διαλέξεων για την πειθαρχία

"Ανάλυση μήτρας"

για φοιτητές του 2ου έτους

Ειδικότητα Μαθηματικής Σχολής

«Οικονομική Κυβερνητική»

(λέκτορας Dmitruk Maria Alexandrovna)

Κεφάλαιο 3. Συναρτήσεις πινάκων.

1. Ορισμός συνάρτησης.

Df. Αφήνω – συνάρτηση του βαθμωτού ορίσματος. Είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί τι σημαίνει f(A), δηλ. πρέπει να επεκτείνετε τη συνάρτηση f(x) στην τιμή του πίνακα του ορίσματος.

Η λύση σε αυτό το πρόβλημα είναι γνωστή όταν η f(x) είναι πολυώνυμο: , τότε .

Ορισμός της f(A) στη γενική περίπτωση.

Έστω m(x) ένα ελάχιστο πολυώνυμο Α και έχει την ακόλουθη κανονική επέκταση: , είναι οι ιδιοτιμές του A. Έστω ότι τα πολυώνυμα g(x) και h(x) έχουν τις ίδιες τιμές.

Έστω g(A)=h(A) (1), τότε το πολυώνυμο d(x)=g(x)-h(x) είναι ακυρωτικό πολυώνυμο για το A, αφού d(A)=0, επομένως d(x ) διαιρείται με ένα γραμμικό πολυώνυμο, δηλ. d(x)=m(x)*q(x) (2).

Τότε, δηλ. (3), , , .

Ας συμφωνήσουμε να καλέσουμε m αριθμούς για f(x) τις τιμές της συνάρτησης f(x) στο φάσμα του πίνακα A και το σύνολο αυτών των τιμών θα συμβολίζεται με .

Εάν το σύνολο f(Sp A) ορίζεται για το f(x), τότε η συνάρτηση ορίζεται στο φάσμα του πίνακα A.

Από το (3) προκύπτει ότι τα πολυώνυμα h(x) και g(x) έχουν τις ίδιες τιμές στο φάσμα του πίνακα Α.

Ο συλλογισμός μας είναι αναστρέψιμος, δηλ. από (3) Þ (3) Þ (1). Έτσι, εάν δοθεί ο πίνακας Α, τότε η τιμή του πολυωνύμου f(x) καθορίζεται πλήρως από τις τιμές αυτού του πολυωνύμου στο φάσμα του πίνακα Α, δηλ. όλα τα πολυώνυμα g i (x) που παίρνουν τις ίδιες τιμές στο φάσμα του πίνακα έχουν τις ίδιες τιμές μήτρας g i (A). Απαιτούμε ο προσδιορισμός της τιμής του f(A) στη γενική περίπτωση να υπακούει στην ίδια αρχή.

Οι τιμές της συνάρτησης f(x) στο φάσμα του πίνακα A πρέπει να προσδιορίζουν πλήρως το f(A), δηλ. Οι συναρτήσεις που έχουν τις ίδιες τιμές στο φάσμα πρέπει να έχουν την ίδια τιμή μήτρας f(A). Προφανώς, για να προσδιοριστεί η f(A) στη γενική περίπτωση, αρκεί να βρεθεί ένα πολυώνυμο g(x) που θα έπαιρνε τις ίδιες τιμές στο φάσμα A με τη συνάρτηση f(A)=g(A).

Df. Εάν η f(x) ορίζεται στο φάσμα του πίνακα A, τότε f(A)=g(A), όπου g(A) είναι ένα πολυώνυμο που παίρνει τις ίδιες τιμές στο φάσμα με το f(A),

Df. Η τιμή μιας συνάρτησης από τον πίνακα Α είναι η τιμή ενός πολυωνύμου από αυτόν τον πίνακα στο .

Μεταξύ των πολυωνύμων από το C[x], λαμβάνοντας τις ίδιες τιμές στο φάσμα του πίνακα A, όπως το f(x), ο βαθμός δεν είναι υψηλότερος από (m-1), λαμβάνοντας τις ίδιες τιμές στο φάσμα A, ως f(x) - αυτό είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης κάθε πολυώνυμο g(x) που έχει τις ίδιες τιμές στο φάσμα του πίνακα A με το f(x), στο ελάχιστο πολυώνυμο m(x)=g( x)=m(x)*g(x)+r(x) ​​.

Αυτό το πολυώνυμο r(x) ονομάζεται πολυώνυμο παρεμβολής Lagrange-Sylvester για τη συνάρτηση f(x) στο φάσμα του πίνακα A.

Σχόλιο. Αν το ελάχιστο πολυώνυμο m(x) του πίνακα Α δεν έχει πολλαπλές ρίζες, δηλ. , τότε η τιμή της συνάρτησης στο φάσμα.

Βρείτε το r(x) για μια αυθαίρετη f(x), εάν ο πίνακας

. Ας κατασκευάσουμε f(H 1). Ας βρούμε το ελάχιστο πολυώνυμο H 1 - τον τελευταίο αμετάβλητο παράγοντα:

dn-1 =x2; d n-1 =1;

m x =f n (x)=d n (x)/d n-1 (x)=x n Þ 0 – n-διπλάσια ρίζα του m(x), δηλ. n-πλάσιες ιδιοτιμές του H 1 .

R(0)=f(0), r’(0)=f’(0),…,r (n-1) (0)=f (n-1) (0) Þ .

Τρία είναι η λύση στο παιχνίδι<=>, πότε είναι μια λύση στο παιχνίδι, όπου a είναι οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός, k>0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Παιχνίδια μηδενικού αθροίσματος σε καθαρές στρατηγικές 2.1 Υπολογισμός βέλτιστων στρατηγικών χρησιμοποιώντας το παράδειγμα επίλυσης προβλημάτων Χρησιμοποιώντας το θεώρημα minimax, μπορούμε να δηλώσουμε ότι κάθε Το παιχνίδι μηδενικού αθροίσματος έχει βέλτιστες στρατηγικές. Θεώρημα: έστω το Α ένα παιχνίδι μήτρας και οι σειρές ενός δεδομένου...

Οι φωτογραφίες που δεν αντιστοιχούν σε αυτό είναι υποψήφιες για εξαίρεση από το πεδίο εφαρμογής της εταιρείας. 5. Ανάπτυξη μιας εταιρικής στρατηγικής Η προηγούμενη ανάλυση έχει θέσει το σκηνικό για την ανάπτυξη στρατηγικών βημάτων για τη βελτίωση της απόδοσης μιας διαφοροποιημένης εταιρείας. Το κύριο συμπέρασμα για το τι πρέπει να κάνετε εξαρτάται από τα συμπεράσματα σχετικά με το σύνολο των δραστηριοτήτων στην επιχείρηση...

Μάθημα διαλέξεων για την πειθαρχία

"Ανάλυση μήτρας"

για φοιτητές του 2ου έτους

Ειδικότητα Μαθηματικής Σχολής

«Οικονομική Κυβερνητική»

(λέκτορας Dmitruk Maria Alexandrovna)

Κεφάλαιο 3. Συναρτήσεις πινάκων.

1. Ορισμός συνάρτησης.

Df.Έστω η συνάρτηση βαθμωτό όρισμα. Είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί τι σημαίνει f(A), δηλ. πρέπει να επεκτείνετε τη συνάρτηση f(x) στην τιμή του πίνακα του ορίσματος.

Η λύση σε αυτό το πρόβλημα είναι γνωστή όταν η f(x) είναι πολυώνυμο: , τότε.

Ορισμός της f(A) στη γενική περίπτωση.

Έστω m(x) ένα ελάχιστο πολυώνυμο του Α και έχει μια τέτοια κανονική επέκταση, ιδιοτιμές του Α. Έστω τα πολυώνυμα g(x) και h(x) να λάβουν τις ίδιες τιμές.

Έστω g(A)=h(A) (1), τότε το πολυώνυμο d(x)=g(x)-h(x) είναι αφανιστικό πολυώνυμο για το A, αφού d(A)=0, επομένως d(x ) διαιρείται με ένα γραμμικό πολυώνυμο, δηλ. d(x)=m(x)*q(x) (2).

Τότε, δηλ. (3), .

Ας συμφωνήσουμε να καλέσουμε m αριθμούς για f(x) τις τιμές της συνάρτησης f(x) στο φάσμα του πίνακα A, και θα υποδηλώσουμε το σύνολο αυτών των τιμών.

Εάν το σύνολο f(Sp A) ορίζεται για το f(x), τότε η συνάρτηση ορίζεται στο φάσμα του πίνακα A.

Από το (3) προκύπτει ότι τα πολυώνυμα h(x) και g(x) έχουν τις ίδιες τιμές στο φάσμα του πίνακα Α.

Ο συλλογισμός μας είναι αναστρέψιμος, δηλ. από (3) (3) (1). Έτσι, εάν δοθεί ο πίνακας Α, τότε η τιμή του πολυωνύμου f(x) καθορίζεται πλήρως από τις τιμές αυτού του πολυωνύμου στο φάσμα του πίνακα Α, δηλ. όλα τα πολυώνυμα gi(x) που παίρνουν τις ίδιες τιμές στο φάσμα του πίνακα έχουν τις ίδιες τιμές μήτρας gi(A). Απαιτούμε ο προσδιορισμός της τιμής του f(A) στη γενική περίπτωση να υπακούει στην ίδια αρχή.

Οι τιμές της συνάρτησης f(x) στο φάσμα του πίνακα A πρέπει να προσδιορίζουν πλήρως το f(A), δηλ. Οι συναρτήσεις που έχουν τις ίδιες τιμές στο φάσμα πρέπει να έχουν την ίδια τιμή μήτρας f(A). Προφανώς, για να προσδιοριστεί η f(A) στη γενική περίπτωση, αρκεί να βρεθεί ένα πολυώνυμο g(x) που θα έπαιρνε τις ίδιες τιμές στο φάσμα A με τη συνάρτηση f(A)=g(A).

Df.Εάν η f(x) ορίζεται στο φάσμα του πίνακα A, τότε f(A)=g(A), όπου g(A) είναι ένα πολυώνυμο που παίρνει τις ίδιες τιμές στο φάσμα με το f(A),

Df. Η τιμή της συνάρτησης από τον πίνακα Α ας ονομάσουμε την τιμή του πολυωνύμου από αυτόν τον πίνακα στο.

Μεταξύ των πολυωνύμων από το C[x], λαμβάνοντας τις ίδιες τιμές στο φάσμα του πίνακα A, όπως το f(x), ο βαθμός δεν είναι υψηλότερος από (m-1), λαμβάνοντας τις ίδιες τιμές στο φάσμα A, ως f(x), αυτό είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης οποιουδήποτε πολυωνύμου g(x), το οποίο έχει τις ίδιες τιμές στο φάσμα του πίνακα A με το f(x), στο ελάχιστο πολυώνυμο m(x) =g(x)=m(x)*g(x)+r(x).

Αυτό το πολυώνυμο r(x) ονομάζεται πολυώνυμο παρεμβολής Lagrange-Sylvester για τη συνάρτηση f(x) στο φάσμα του πίνακα A.

Σχόλιο. Αν το ελάχιστο πολυώνυμο m(x) του πίνακα Α δεν έχει πολλαπλές ρίζες, δηλ. , τότε η τιμή της συνάρτησης στο φάσμα.

Παράδειγμα:

Βρείτε το r(x) για μια αυθαίρετη f(x), εάν ο πίνακας

. Ας κατασκευάσουμε την f(H1 ). Ας βρούμε το ελάχιστο πολυώνυμο H1 τελευταίος αμετάβλητος παράγοντας:

,ρεn-1=x2 ; ρεn-1=1;

mx=στn(x)=dn(x)/dn-1(x)=xn 0 nπολλαπλή ρίζα του m(x), δηλ. n-φορές ιδιοτιμές H1 .

, r(0)=f(0), r(0)=στ(0),…,r(n-1)(0)=στ(n-1)(0) .

1. Ιδιότητες συναρτήσεων από πίνακες.

Ακίνητο Νο. 1. Εάν ο πίνακας έχει ιδιοτιμές (μεταξύ αυτών μπορεί να υπάρχουν πολλαπλάσια), a, τότε οι ιδιοτιμές του πίνακα f(A) είναι οι ιδιοτιμές του πολυωνύμου f(x): .

Απόδειξη:

Έστω το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα Α να έχει τη μορφή:

Ας κάνουμε τα μαθηματικά. Ας περάσουμε από την ισότητα στους ορίζοντες:

Ας κάνουμε μια αντικατάσταση στην ισότητα:

Η ισότητα (*) ισχύει για οποιοδήποτε σύνολο f(x), οπότε αντικαθιστούμε το πολυώνυμο f(x) με, παίρνουμε:

Στα αριστερά έχουμε αποκτήσει το χαρακτηριστικό πολυώνυμο για τον πίνακα f(A), που αποσυντίθεται στα δεξιά σε γραμμικούς παράγοντες, πράγμα που σημαίνει ότι οι ιδιοτιμές του πίνακα f(A).

CTD.

Ακίνητο Νο 2. Έστω ο πίνακας και οι ιδιοτιμές του πίνακα A, f(x) μια αυθαίρετη συνάρτηση που ορίζεται στο φάσμα του πίνακα A, τότε οι ιδιοτιμές του πίνακα f(A) είναι ίσες.

Απόδειξη:

Επειδή Η συνάρτηση f(x) ορίζεται στο φάσμα του πίνακα A, τότε υπάρχει ένα πολυώνυμο παρεμβολής του πίνακα r(x) έτσι ώστε, και στη συνέχεια f(A)=r(A), και οι ιδιοτιμές του Ο πίνακας r(A) από την ιδιότητα Νο. 1 θα είναι αντίστοιχα ίσοι.

CTD.

Ακίνητο Νο. 3. Αν οι Α και Β είναι παρόμοιοι πίνακες, δηλ. , και η f(x) είναι μια αυθαίρετη συνάρτηση που ορίζεται στο φάσμα του πίνακα Α, λοιπόν

Απόδειξη:

Επειδή Τα Α και Β είναι παρόμοια, τότε τα χαρακτηριστικά τους πολυώνυμα είναι τα ίδια και οι ιδιοτιμές τους είναι ίδιες, επομένως η τιμή της f(x) στο φάσμα του πίνακα Α συμπίπτει με την τιμή της συνάρτησης f(x) στο φάσμα του πίνακα Β, και υπάρχει ένα πολυώνυμο παρεμβολής r(x) τέτοιο ώστε f(A)=r(A), .

CTD.

Ακίνητο Νο 4. Εάν το Α είναι ένας πίνακας διαγώνιος μπλοκ, τότε

Συνέπεια: Αν, τότε όπου f(x) είναι μια συνάρτηση που ορίζεται στο φάσμα του πίνακα Α.

1. Πολυώνυμο παρεμβολής Lagrange-Sylvester.

Υπόθεση Νο 1.

Ας δοθεί. Ας εξετάσουμε την πρώτη περίπτωση: το χαρακτηριστικό πολυώνυμο έχει ακριβώς n ρίζες, μεταξύ των οποίων δεν υπάρχουν πολλαπλάσια, δηλ. όλες οι ιδιοτιμές του πίνακα Α είναι διαφορετικές, δηλ. , Sp Ένα απλό. Σε αυτήν την περίπτωση, κατασκευάζουμε τα πολυώνυμα βάσης lk(x):

Έστω f(x) μια συνάρτηση που ορίζεται στο φάσμα του πίνακα Α και έστω οι τιμές αυτής της συνάρτησης στο φάσμα. Πρέπει να το χτίσουμε.

Ας χτίσουμε:

Ας το σημειώσουμε.

Παράδειγμα: Κατασκευάστε ένα πολυώνυμο παρεμβολής Lagrange-Sylvester για έναν πίνακα.

Ας κατασκευάσουμε βασικά πολυώνυμα:

Τότε για τη συνάρτηση f(x), που ορίζεται στο φάσμα του πίνακα Α, λαμβάνουμε:

Ας πάρουμε, τότε το πολυώνυμο παρεμβολής

Υπόθεση Νο 2.

Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα Α έχει πολλαπλές ρίζες, αλλά το ελάχιστο πολυώνυμο αυτού του πίνακα είναι διαιρέτης του χαρακτηριστικού πολυωνύμου και έχει μόνο απλές ρίζες, δηλ. . Στην περίπτωση αυτή, το πολυώνυμο παρεμβολής κατασκευάζεται με τον ίδιο τρόπο όπως στην προηγούμενη περίπτωση.

Υπόθεση Νο. 3.

Ας εξετάσουμε τη γενική περίπτωση. Έστω το ελάχιστο πολυώνυμο να έχει τη μορφή:

όπου m1+m2+…+ms=m, deg r(x)

Ας δημιουργήσουμε μια κλασματική ορθολογική συνάρτηση:

και να το χωρίσουμε σε απλά κλάσματα.

Ας συμβολίσουμε: . Πολλαπλασιάστε το (*) με και λάβετε

όπου είναι κάποια συνάρτηση που δεν πηγαίνει στο άπειρο στο.

Αν το βάλουμε στο (**), παίρνουμε:

Για να βρείτε το ak3 πρέπει να (**) διαφοροποιήσετε δύο φορές, κ.λπ. Έτσι, ο συντελεστής aki προσδιορίζεται μοναδικά.

Αφού βρούμε όλους τους συντελεστές, επιστρέφουμε στο (*), πολλαπλασιάζουμε με m(x) και παίρνουμε το πολυώνυμο παρεμβολής r(x), δηλ.

Παράδειγμα: Βρείτε f(A) αν, όπου τκάποια παράμετρος

Ας ελέγξουμε αν η συνάρτηση ορίζεται στο φάσμα του πίνακα Α

Πολλαπλασιασμός (*) με (x-3)

σε x=3

Πολλαπλασιασμός (*) με (x-5)

Ετσι,- πολυώνυμο παρεμβολής.

Παράδειγμα 2.

Αν, τότε να το αποδείξετε

Ας βρούμε το ελάχιστο πολυώνυμο του πίνακα Α:

- χαρακτηριστικό πολυώνυμο.

ρε2 (x)=1, τότε το ελάχιστο πολυώνυμο

Θεωρήστε f(x)=sin x στο φάσμα του πίνακα:

η συνάρτηση ορίζεται στο φάσμα.

Πολλαπλασιάστε (*) με

.

Πολλαπλασιάστε (*) με:

Ας υπολογίσουμε παίρνοντας την παράγωγο (**):

. πιστεύοντας,

, δηλ..

Ετσι,,

Παράδειγμα 3.

Έστω η f(x) που ορίζεται στο φάσμα ενός πίνακα του οποίου το ελάχιστο πολυώνυμο έχει τη μορφή. Να βρείτε το πολυώνυμο παρεμβολής r(x) για τη συνάρτηση f(x).

Λύση: Με συνθήκη, η f(x) ορίζεται στο φάσμα του πίνακα A f(1), f(1), f(2), f(2), στ(2) ορίζεται.

Χρησιμοποιούμε τη μέθοδο των απροσδιόριστων συντελεστών:

Αν f(x)=ln x

f(1)=0φά(1)=1

f(2)=ln 2φά(2)=0.5 φά(2)=-0.25

4. Απλοί πίνακες.

Έστω ένας πίνακας, αφού το C είναι αλγεβρικά κλειστό πεδίο, τότε