Zadaci za niz brojeva. Numerički niz i načini za njegovo postavljanje

U ovoj lekciji ćemo započeti proučavanje progresija. Ovdje ćemo se upoznati sa nizom brojeva i kako ga postaviti.

Prvo, prisjetimo se definicije i svojstava funkcija numeričkih argumenata i razmotrimo poseban slučaj funkcije kada x pripada skupu prirodnih brojeva. Dajemo definiciju numeričkog niza i dajemo nekoliko primjera. Pokazat ćemo analitički način specificiranja niza kroz formulu njegovog n-tog člana i razmotriti nekoliko primjera za specificiranje i određivanje niza. Zatim razmotrite verbalno i ponavljajuće dodeljivanje sekvence.

Tema: Progresije

lekcija: Numerički niz i kako to podesiti

1. Ponavljanje

Numerički niz, kao što ćemo vidjeti, ovo je poseban slučaj funkcije, pa se prisjetimo definicije funkcije.

Funkcija je zakon prema kojem se svakoj valjanoj vrijednosti argumenta dodjeljuje jedinstvena vrijednost funkcije.

Evo primjera poznatih funkcija.

Rice. 1. Grafikon funkcije

Sve vrijednosti su dozvoljene osim 0. Grafikon ove funkcije je hiperbola (vidi sliku 1).

2.. Sve vrijednosti su dozvoljene, .

Rice. 2. Funkcijski grafikon

Raspored kvadratna funkcija- parabola, takođe su označene karakteristične tačke (vidi sl. 2).

3..

Rice. 3. Grafikon funkcije

Sve x vrijednosti su dozvoljene. Grafikon linearne funkcije je prava linija (vidi sliku 3).

2. Definicija numeričkog niza

Ako x uzima samo prirodne vrijednosti (), tada imamo poseban slučaj, odnosno numerički niz.

Podsjetimo da su prirodni brojevi 1, 2, 3, …, n, …

Funkcija , gdje se , naziva se funkcijom prirodnog argumenta, ili numeričkim nizom, i označava se na sljedeći način: ili , ili .

Hajde da objasnimo šta, na primer, označava notacija.

Ovo je vrijednost funkcije kada je n=1, tj.

Ovo je vrijednost funkcije kada je n=2, tj. itd...

Ovo je vrijednost funkcije kada je argument n, tj.

3. Sekvence uzoraka

1. je opći termin formula. Pitaj razna značenja n, dobijamo različite vrijednosti y - članova niza.

Kada je n=1; , kada je n=2, itd., .

Brojevi su članovi datog niza i tačke leže na hiperboli - grafu funkcije (vidi sliku 4).

Rice. 4. Funkcijski grafikon

Ako je n=1, onda ; ako je n=2, onda ; ako je n=3, onda itd.

Brojevi su članovi datog niza, a tačke leže na paraboli - grafu funkcije (vidi sliku 5).

Rice. 5. Funkcijski grafikon

Rice. 6. Funkcijski grafikon

Ako je n=1, onda ; ako je n=2 onda ; ako je n=3 onda itd.

Brojevi su članovi datog niza, a tačke leže na pravoj liniji - grafu funkcije (vidi sliku 6).

4. Analitička metoda za određivanje niza

Postoje tri načina za određivanje sekvenci: analitički, verbalni i ponavljajući. Razmotrimo svaki od njih detaljno.

Niz je dan analitički ako je data formula njegovog n-tog člana.

Pogledajmo nekoliko primjera.

1. Pronađite nekoliko članova niza, koji su dati formulom n-tog člana: (analitički način specificiranja niza).

Rješenje. Ako je n=1, onda ; ako je n=2, onda ; ako je n=3 onda itd.

Za dati niz, nalazimo i .

.

.

2. Razmotrimo niz dat formulom n-tog člana: (analitički način specificiranja niza).

Nađimo nekoliko članova ovog niza.

Ako je n=1, onda ; ako je n=2 onda ; ako je n=3 onda itd.

Općenito, nije teško razumjeti da su članovi ovog niza oni brojevi koji, kada se podijele sa 4, daju ostatak od 1.

A. Za dati niz, pronađite .

Rješenje: . Odgovor: .

b. Data su dva broja: 821, 1282. Da li su ovi brojevi članovi datog niza?

Da bi broj 821 bio član niza, potrebno je da je jednakost: ili . Posljednja jednakost je jednadžba za n. Ako odluka zadata jednačina je prirodan broj, onda je odgovor da.

U ovom slučaju jeste. .

Odgovor: da, 821 je član datog niza, .

Idemo na drugi broj. Slično razmišljanje vodi nas do rješenja jednadžbe: .

Odgovor: pošto n nije prirodan broj, broj 1282 nije član datog niza.

Formule koje analitički definiraju niz mogu biti vrlo različite: jednostavne, složene, itd. Zahtjevi za njih su isti: svaka vrijednost n mora odgovarati jednom broju.

3. Dato: niz je dat sljedećom formulom.

Pronađite prva tri člana niza.

, , .

Odgovor: , , .

4. Da li su brojevi članovi niza?

A. , tj. Rješavajući ovu jednačinu, dobijamo da . Ovo je prirodan broj.

Odgovor: prvo dati broj je član ovog niza, odnosno njegov peti član.

b. , tj. Rješavajući ovu jednačinu, dobijamo da . Ovo je prirodan broj.

Odgovor: drugi dati broj je također član ovog niza, odnosno njegov devedeset deveti član.

5. Verbalni način postavljanja sekvence

Razmotrili smo analitički način specificiranja numeričkog niza. Pogodan je, uobičajen, ali nije jedini.

Sljedeći način je usmeno dodjeljivanje sekvence.

Niz, svaki od njegovih članova, mogućnost izračunavanja svakog od njegovih članova mogu se specificirati riječima, ne nužno formulama.

Primjer 1 Subsequence primarni brojevi.

Podsjetimo da je prost broj prirodan broj koji ima tačno dva različita djelitelja: 1 i sam broj. Prosti brojevi su 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, itd.

Ima ih bezbroj. Euklid je takođe dokazao da je niz ovih brojeva beskonačan, odnosno da ne postoji najveći prost broj. Redoslijed je dat, svaki pojam se može izračunati, zamoran, ali se može izračunati. Ova sekvenca je data usmeno. Nažalost, formule nisu dostupne.

Primjer 2 Uzmite u obzir broj =1,41421…

Ovo je iracionalan broj, njegova decimalna notacija omogućava beskonačan broj cifara. Razmotrimo niz decimalnih aproksimacija broja prema nedostatku: 1; 1.4; 1.41; 1.414; 1.4142; itd.

Postoji beskonačan broj članova ovog niza, svaki od njih se može izračunati. Ovaj niz je nemoguće postaviti formulom, pa ga opisujemo usmeno.

6. Rekurzivni način specificiranja niza

Razmotrili smo dva načina specificiranja numeričkog niza:

1. Analitička metoda, kada je data formula n-tog člana.

2. Verbalno zadavanje sekvence.

I, konačno, dolazi do ponavljanja redosleda, kada se daju pravila za izračunavanje n-tog člana iz prethodnih pojmova.

Razmislite

Primjer 1 Fibonačijev niz (13. vek).

Istorijska referenca:

Leonardo iz Pize (oko 1170, Piza - oko 1250) - prvi veliki matematičar srednjovekovne Evrope. Najpoznatiji je po nadimku Fibonači.

Mnogo toga što je naučio izložio je u svojoj izvanrednoj Knjizi Abakusa (Liber abaci, 1202; do danas je sačuvan samo dopunjeni rukopis iz 1228). Ova knjiga sadrži gotovo sve aritmetičke i algebarske informacije tog vremena, predstavljene sa izuzetnom potpunošću i dubinom. "Knjiga abakusa" se naglo uzdiže iznad evropske aritmetičke i algebarske književnosti 12.-14. raznolikost i snaga metoda, bogatstvo zadataka, dokaz prezentacije. Kasniji matematičari su naširoko izvlačili i probleme i metode za njihovo rješavanje. Prema prvoj knjizi, mnoge generacije evropskih matematičara proučavale su indijski pozicioni brojevni sistem.

Prva dva člana su data i svaki sljedeći član je zbir prethodna dva

1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; ... su prvih nekoliko članova Fibonačijevog niza.

Ovaj niz je dat rekurzivno, n-ti termin zavisi od prethodna dva.

Primjer 2

U ovom nizu svaki sljedeći član je veći od prethodnog za 2. Takav niz se naziva aritmetička progresija.

Brojevi 1, 3, 5, 7... su prvih nekoliko članova ovog niza.

Navedimo još jedan primjer ponavljajućeg dodjeljivanja niza.

Primjer 3

Redoslijed je dat kako slijedi:

Svaki naredni član ovog niza dobija se množenjem prethodnog člana sa istim brojem q. Ova sekvenca ima posebno ime- geometrijska progresija. Aritmetičke i geometrijske progresije će biti predmet našeg proučavanja u narednim lekcijama.

Nađimo neke članove navedenog niza na b=2 i q=3.

Numbers 2; 6; 18; 54; 162 ... su prvih nekoliko članova ovog niza.

Zanimljivo je da se ovaj niz može odrediti i analitički, tj. možete odabrati formulu. U ovom slučaju, formula će biti sljedeća.

Zaista: ako je n=1, onda ; ako je n=2, onda ; ako je n=3 onda itd.

Stoga navodimo da se isti niz može dati i analitički i rekurentno.

7. Sažetak lekcije

Dakle, razmotrili smo šta je numerički niz i kako ga postaviti.

U sledećoj lekciji ćemo se upoznati sa svojstvima numeričkih nizova.

1. Makarychev Yu. N. et al. Algebra 9. razred (udžbenik za srednju školu).-M.: Obrazovanje, 1992.

2. Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov, K. I. Algebra za 9. razred sa produbljivanjem. studija matematika.-M.: Mnemozina, 2003.

3. Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G Dodatna poglavlja u školski udžbenik algebra 9.-M.: Obrazovanje, 2002.

4. Galitsky M. L., Goldman A. M., Zvavich L. I. Zbirka zadataka iz algebre za 8-9 razrede ( tutorial za učenike škola i odeljenja sa produbljivanjem. studija matematika).-M.: Obrazovanje, 1996.

5. Mordkovich A. G. Algebra 9 razred, udžbenik za opšteobrazovne ustanove. - M.: Mnemosyne, 2002.

6. Mordkovich A. G., Mishutina T. N., Tulchinskaya E. E. Algebra 9. razred, knjiga zadataka za obrazovne ustanove. - M.: Mnemosyne, 2002.

7. Glazer G. I. Istorija matematike u školi. 7-8 razred (vodič za nastavnike).-M.: Prosvjeta, 1983.

1. Fakultetsko odjeljenje. ru iz matematike.

2. Portal prirodnih nauka.

3. Eksponencijalna. ru Obrazovni matematički sajt.

1. br. 331, 335, 338 (Makarychev Yu. N. et al. Algebra razred 9).

2. br. 12.4 (Galitsky M. L., Goldman A. M., Zvavich L. I. Zbirka zadataka iz algebre za 8-9 razred).

NUMERIČKI NISOVI VI

§ 127. Numerički nizovi i metode za njihovo dodeljivanje. Konačni i beskonačni nizovi.

Razmotrite sljedeća tri skupa brojeva:

Prirodno je smatrati da svaki broj u bilo kojoj od ovih zbirki ima broj u skladu sa mjestom koje zauzima u ovoj kolekciji. Na primjer, u drugom setu, broj 1 ima broj 1, broj 1/2 ima broj 2, broj 1/3 ima broj 3, i tako dalje.

Naprotiv, koji god broj naznačili, u svakoj od ovih zbirki postoji broj opremljen ovim brojem. Na primjer, broj 2 u prvom nizu ima broj 2, u drugom - broj - 1/2, u trećem - broj sin 2. Slično, broj 10 ima: u prvom nizu - broj 10, u drugom - broj - 1/10, u trećem - broj sin 10, itd. Dakle, u gornjim skupovima svaki broj ima dobro definisan broj i u potpunosti je određen ovim brojem.

Zbirka brojeva, svaki sa svojim brojem P (P = 1, 2, 3, ...) naziva se niz brojeva.

Pojedinačni brojevi niza nazivaju se njegovim članovima i obično se označavaju na sljedeći način: prvi član a 1, druga a 2 , .... P th član a n itd. Cijeli numerički niz je označen

a 1 , a 2 , a 3 , ... , a n, ... ili ( a n }.

Navedite numerički niz - to znači naznačiti kako se jedan ili drugi njegov član nalazi, ako je poznat broj mjesta koje zauzima. Postoji mnogo različitih načina da se specificiraju numerički nizovi. U nastavku ćemo se fokusirati na neke od njih.

1. Obično se numerički niz specificira pomoću formule koja vam omogućava da odredite ovaj član po broju člana niza. Na primjer, ako se zna da za bilo koje P

a n =n 2 ,

a 1 = 1, a 2 = 4, a 3 = 9

itd. Kada a n= grijeh π / 2 P dobićemo: a 1 = greh π / 2 = 1, a 2 = greh π = 0, a 3 = greh 3 π / 2 = - 1, a 4 = greh 2 π = 0 itd.

Formula koja vam omogućava da pronađete bilo koji član numeričkog niza po njegovom broju naziva se formula zajedničkog člana numeričkog niza.

2. Postoje slučajevi kada je niz specificiran opisom njegovih članova. Na primjer, recite da je sekvenca

1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; ...

sastoji se od približnih vrijednosti √2 sa nedostatkom sa tačnošću od 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 itd. U takvim slučajevima ponekad je uopšte nemoguće uspostaviti formulu opšteg pojma; ipak, ispada da je redoslijed potpuno određen.

3. Ponekad je naznačeno prvih nekoliko članova niza, a svi ostali članovi su određeni ovim datim članovima prema jednom ili onom pravilu. Neka, na primjer,

a 1 = 1, a 2 = 1,

a svaki naredni termin je definisan kao zbir prethodna dva. Drugim riječima, za bilo koje P > 3

a n = a n- 1 + a n- 2

Tako se određuje numerički niz 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, .... čiji se članovi nazivaju "Fibonačijevi brojevi" [po italijanskom matematičaru Leonardu iz Pize ( oko 1170-1250), koji se zvao i Fibonači, što znači "Bonačijev sin"]. Imaju mnogo zanimljiva svojstva, čije razmatranje, međutim, izlazi iz okvira našeg programa.

Niz može sadržavati ili konačan ili beskonačan broj članova.

Niz koji se sastoji od konačnog broja članova naziva se konačan niz, a niz koji se sastoji od beskonačnog broja članova naziva se beskonačan niz.

Na primjer, niz svih parnih pozitivnih brojeva 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... je beskonačan, dok je niz jednocifrenih parnih pozitivnih brojeva 2, 4, 6, 8 konačan.

Vježbe

932. Napiši prva 4 broja niza sa zajedničkim članom:

933. Pronađite formulu opšteg pojma za svaki od datih nizova:

a) 1, 3, 5, 7, 9, ...; . e) tg 45°, tg 22°30", tg 11°15", ... ;

b) 2, 4, 6, 8, 10, ...; e) 1, - 1/2, 1/4, - 1/8, 1/16, ...;

c) 3, -3, 3, -3, 3, ...; g) 1, 9, 25, 49, 81.....

d) 1/3, 1/9, 1/27, 1/81, ....;

934. Je li niz svih pozitivnih korijena jednadžbe konačan?

kao u x = x - 1; b) tg X = X ; c) grijeh x = ax + b ?

Lekcija #32 Datum ____________

Algebra

Klasa: 9 "B"

Tema: "Numerički niz i načini za njegovo postavljanje."

Svrha lekcije: učenici treba da znaju šta je niz brojeva; načini postavljanja numeričkog niza; biti u stanju razlikovati različite načine specificiranja numeričkih nizova.

Didaktički materijali: brošure, referentne bilješke.

Tehnička pomagala za obuku: prezentacija na temu "Numerički nizovi".

Tokom nastave.

1.Organiziranje vremena.

2. Postavljanje ciljeva lekcije.

Danas ćete na lekciji naučiti:

Šta je sekvenca?

Koje vrste sekvenci postoje?

Kako je određen brojčani niz?

Naučite kako napisati niz koristeći formulu i njezine brojne elemente.

Naučite pronaći članove niza.

3. Rad na proučenom materijalu.

3.1. Pripremna faza.

Ljudi, hajde da testiramo vaše logičke sposobnosti. Navodim nekoliko riječi, a vi nastavite:

-Ponedjeljak utorak,…..

- januar februar mart…;

- Glebova L, Ganovichev E, Dryakhlov V, Ibraeva G, ... .. (popis razreda);

–10,11,12,…99;

Iz odgovora momaka zaključuje se da su navedeni zadaci nizovi, odnosno neka vrsta uređenog niza brojeva ili pojmova, kada je svaki broj ili pojam striktno na svom mjestu, a ako se članovi zamijene, niz će biti prekršen (utorak, četvrtak, ponedjeljak je samo lista dana u sedmici). Dakle, tema lekcije je numerički niz.

3.1. Objašnjenje novog materijala. (Demo materijal)

Analizirajući odgovore učenika, definisati niz brojeva i pokazati kako se postavljaju nizovi brojeva.

(Rad sa udžbenikom str. 66 - 67)

Definicija 1. Funkcija y = f(x), xN naziva se funkcijom prirodnog argumenta ili numeričkog niza i označava se: y = f(n) ili y 1 , y 2 , y 3 , ..., y n , ... ili (y n).

U ovom slučaju, nezavisna varijabla je prirodan broj.

Najčešće će se sekvence označavati na sljedeći način: ( A n), (b n), (With n) itd.

Definicija 2. Sequence Members.

Elementi koji formiraju niz nazivaju se članovima niza.

Novi koncepti: prethodni i naredni član niza,

A 1 …A P. (1. i n-ti član niza)

Metode za postavljanje numeričkog niza.

analitički način.

Bilo koji n-ti element sekvence se mogu odrediti pomoću formule. (demo)

Parsirajte primjere

Primjer 1 Niz parnih brojeva: y = 2n.

Primjer 2 Niz kvadrata prirodnih brojeva: y = n 2 ;

1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2 , ... .

Primjer 3 Stacionarni niz: y = C;

C, C, C, ..., C, ... .

Poseban slučaj: y = 5; 5, 5, 5, ..., 5, ... .

Primjer 4. Niz y = 2 n ;

2, 2 2 , 2 3 , 2 4 , ..., 2 n , ... .

verbalni način.

Pravila za postavljanje niza su opisana riječima, bez specificiranja formula ili kada nema uzoraka između elemenata niza.

Primjer 1. Aproksimacije brojevaπ.

Primjer 2 Redoslijed prostih brojeva: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, .... .

Primjer 3 Niz brojeva djeljiv sa 5.

Primjer 2 Slučajni skup brojeva: 1, 4, 12, 25, 26, 33, 39, ... .

Primjer 3 Niz parnih brojeva 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ... .

rekurzivni način.

Rekurentna metoda se sastoji u specificiranju pravila koje vam omogućava da izračunate n-ti član niza ako je specificirano njegovih prvih nekoliko članova (najmanje jedan prvi član) i formule koja vam omogućava da izračunate njegov sljedeći član od prethodnih članova. Termin rekurentno izvedeno od latinske reči recurrere , što znači vrati se . Kada računamo članove niza prema ovom pravilu, mi se nekako stalno vraćamo unazad, računajući sljedeći član na osnovu prethodnog. Karakteristika ove metode je da da biste odredili, na primjer, 100. član niza, prvo morate odrediti svih prethodnih 99 članova.

Primjer 1 . a 1 \u003d a, a n + 1 \u003d a n +0,7. Neka je a 1 =5, tada će niz izgledati ovako: 5; 5.7; 6.4; 7.1; 7.8; 8.5; ... .

Primjer 2 b 1 = b, b n +1 \u003d ½ b n. Neka je b 1 =23, tada će niz izgledati ovako: 23; 11.5; 5,75; 2.875; ... .

Primjer 3 Fibonačijev niz. Ovaj niz se lako definiše rekurzivno: y 1 =1, y 2 =1,y n -2 +y n -1 ako je n=3, 4, 5, 6, ... . To će izgledati ovako:

1, 1,2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... . (P-ti član ovog niza jednak je zbiru dva prethodna člana)

Teško je analitički definirati Fibonačijev niz, ali je moguće. Formula kojom se određuje bilo koji element ovog niza izgleda ovako:

Dodatne informacije:

Italijanski trgovac Leonardo iz Pize (1180-1240), poznatiji pod nadimkom Fibonači, bio je značajan srednjovjekovni matematičar. Uz pomoć ovog niza, Fibonacci je odredio broj φ (phi); φ=1,618033989.

Grafički način

Termini niza mogu biti predstavljeni tačkama na koordinatna ravan. Da bi se to postiglo, broj se iscrtava duž horizontalne ose, a vrijednost odgovarajućeg člana niza iscrtava se duž vertikalne ose.

Za konsolidaciju metoda dodjele, molim vas da navedete nekoliko primjera sekvenci koje su specificirane ili verbalno, ili analitički, ili na ponavljajući način.

Vrste brojčanih nizova

(Na dolje navedenim sekvencama razrađene su vrste sekvenci).

Rad sa udžbenikom str.69-70

1) Rastući - ako je svaki član manji od sljedećeg, tj. a n a n +1.

2) Opadajući - ako je svaki član veći od sljedećeg, tj. a n a n +1 .

3) Beskrajno.

4) Ultimate.

5) Naizmjenični.

6) Konstantno (stacionarno).

Rastući ili opadajući niz naziva se monoton.

3; 6; 9; 12; 15; 18;…

1. –1; 2; –3; 4; –5; …

   1, 4, 9, 16 ,…

   –1; 2; –3; 4; –5; 6; …

   3; 3; 3; 3; …; 3; … .

Rad sa udžbenikom: uradi usmeno br. 150, 159 str. 71, 72

3.2. Konsolidacija novog materijala. Rješavanje problema.

Za konsolidaciju znanja odabiru se primjeri u zavisnosti od nivoa pripremljenosti učenika.

Primjer 1 Napišite moguću formulu za n-ti element niza (y n):

a) 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...;

b) 4, 8, 12, 16, 20, ...;

Rješenje.

a) To je niz neparnih brojeva. Analitički, ovaj niz se može dati formulom y = 2n+1.

b) Ovo je numerički niz u kojem je sljedeći element veći od prethodnog za 4. Analitički, ovaj niz se može specificirati formulom y = 4n.

Primjer 2. Napišite prvih deset elemenata niza koji se ponavljaju: y 1 =1, y 2 =2, y n = y n -2 +y n -1 ako je n = 3, 4, 5, 6, ... .

Rješenje.

Svaki sljedeći element ovog niza jednak je zbroju prethodna dva elementa.

Primjer 3 Slijed (y n) je dat rekurentno: y 1 =1, y 2 =2,y n =5y n -1 - 6y n -2 . Odredite ovaj niz analitički.

Rješenje.

Pronađite prvih nekoliko elemenata niza.

y 3 =5y 2 -6y 1 =10-6=4;

y 4 = 5y 3 -6y 2 = 20-12 \u003d 8;

y 5 = 5y 4 -6y 3 = 40-24 \u003d 16;

y 6 = 5y 5 -6y 4 = 80-48 \u003d 32;

y 7 = 5y 6 -6y 5 = 160-96 \u003d 64.

Dobijamo niz: 1; 2; 4; 8; 16; 32; 64; ... koji se može predstaviti kao

2 0 ; 2 1 ; 2 2 ; 2 3 ; 2 4 ; 2 5 ; 2 6 ... .

n = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7... .

Analizirajući niz, dobijamo sljedeću pravilnost: y = 2 n -1 .

Primjer 4 Zadan niz y n =24n+36-5n 2 .

a) Koliko pozitivnih pojmova ima?

b) Pronađite najveći element niza.

c) Postoji li najmanji element u ovom nizu?

Ovaj numerički niz je funkcija oblika y = -5x 2 +24x+36, gdje je x

a) Pronađite vrijednosti funkcije za koje je -5x 2 +24x+360. Rešimo jednačinu -5x 2 +24x+36=0.

D \u003d b 2 -4ac = 1296, X 1 = 6, X 2 = -1,2.

Jednadžba osi simetrije parabole y = -5x 2 +24x + 36 može se pronaći po formuli x = , dobivamo: x = 2.4.

Nejednakost -5x 2 +24x+360 vrijedi za -1,2 Ovaj interval sadrži pet prirodnih brojeva (1, 2, 3, 4, 5). Dakle, postoji pet pozitivnih elemenata niza u datom nizu.

b) Najveći element niza je određen metodom selekcije i jednak je y 2 =64.

c) Ne postoji najmanji element.

3.4.Zadaci za samostalan rad

Praktični rad br. 13

Određivanje brojčanih nizova Različiti putevi, izračunavanje termina niza. Pronalaženje granica sekvenci i funkcije

Cilj: naučiti pisati numeričke nizove na različite načine, opisati njihova svojstva; pronaći granice sekvenci i funkcija.

Kratka teorija

Funkcija y=f (n) prirodnog argumenta n (n=1; 2; 3; 4;...) naziva se numerički niz.

Postoje sljedeći načini za navođenje numeričkog niza:

verbalni način. To je obrazac ili pravilo za raspored članova niza, opisanih riječima.

analitički način. Niz je dat formulom n-tog člana: y n = f(n). Koristeći ovu formulu, možete pronaći bilo koji član niza.

rekurzivni način. Formula je data po kojoj se svaki sljedeći pojam nalazi kroz prethodne članove. U slučaju ponavljajuće metode definiranja funkcije, uvijek se dodatno specificiraju jedan ili više prvih članova niza.

Poziva se brojčani niz povećanje, ako su njegovi članovi rastući (na n + 1 na n) i opadaju ako su njegovi članovi smanjiti(za n+1 n).

Zovu se rastući ili opadajući numerički nizovi monotono.

Neka biti tačka na liniji i neka je pozitivan broj. Interval se naziva susjedstvo tačke, a broj se naziva radijus susjedstva.

Razmotrimo numerički niz čiji se zajednički član približava određenom broju b kako se redni broj povećava n. U ovom slučaju se kaže da brojčani niz ima ograničenje. Ovaj koncept ima rigorozniju definiciju.

Broj b naziva se granica niza (y n) ako u bilo kojoj unaprijed odabranoj okolini točke b sadrži sve članove niza, počevši od nekog broja

Teorema 1 Ako onda:

Granica zbroja/razlike dva niza jednaka je zbroju/razlici granica svake od njih, ako potonje postoje:

Granica proizvoda dva niza jednaka je proizvodu granica svakog od njih, ako postoje granice faktora:

Granica omjera dva niza jednaka je omjeru granica iz svakog od njih, ako te granice postoje i granica nazivnika nije jednaka nuli:

Za bilo koji prirodni pokazatelj m i bilo koji koeficijent k, relacija je tačna:

Teorema 1 Ako onda:

Granica zbira/razlike dvije funkcije jednaka je zbiru/razlici granica svake od njih, ako ove druge postoje:

;

Granica proizvoda dvije funkcije jednaka je proizvodu granica svake od njih, ako postoje granice faktora:

Granica omjera dvije funkcije jednaka je omjeru granica svake od njih, ako te granice postoje i granica nazivnika nije jednaka nuli:

Konstantni faktor se može izvaditi iz graničnog znaka:

Funkcija y=f(x) se naziva kontinuiranom u tački x=a ako je granica funkcije y=f(x) dok x teži ka a jednaka vrijednosti funkcije u tački x=a.

Prva izuzetna granica: .

Praktični zadaci za rad u učionici

Definirajte niz analitički i pronađite prvih pet članova ovog niza:

a) svima prirodni broj broj nasuprot njemu se stavlja u korespondenciju;

b) svaki prirodni broj je dodijeljen Kvadratni korijen sa ovog broja;

c) svakom prirodnom broju dodijeljen je broj -5;

d) svakom prirodnom broju je dodeljena polovina njegovog kvadrata.

2. Koristeći datu formulu za n-ti član, izračunaj prvih pet članova niza (y n):

3. Da li je niz ograničen?

4. Da li se sekvenca smanjuje ili povećava?

5. Zapišite susjedstvo tačke a=-3 poluprečnika r=0,5 kao interval.

6. Okolina koje tačke i poluprečnika je interval (2,1; 2,3).

7. Izračunajte granicu sekvence:

8. Izračunajte:

Samostalan rad

Opcija 1

dio A

Dio B

Dio C

7. Izračunajte:

Opcija 2

dio A

Dio B

6. Izračunajte granicu sekvence:

Dio C

7. Izračunajte:

Opcija 3

dio A

Dio B

6. Izračunajte granicu sekvence:

Dio C

7. Izračunajte:

Opcija 4

dio A

Dio B

6. Izračunajte granicu sekvence:

Dio C

7. Izračunajte:

Kontrolna pitanja

Šta je niz brojeva?

Koji su načini za specificiranje niza brojeva?

Za koji niz se kaže da je ograničen odozgo?

Za koji niz se kaže da je ograničen odozdo?

Šta je uzlazni niz?

Šta je silazni niz?

Koja je granica niza brojeva?

Navedite pravila za izračunavanje granica nizova.

Navedite pravila za izračunavanje granica funkcija.

Tema: Numerički niz i načini njegovog postavljanja

Glavni ciljevi i zadaci lekcije
Obrazovni: objasniti učenicima značenje pojmova niza, n-tog člana niza; Naučite o metodama sekvenciranja.
Razvijanje: razvijanje samostalnosti, međusobna pomoć pri radu u grupi, domišljatost.
Obrazovni: podsticanje aktivnosti i tačnosti, sposobnost da se uvek vidi dobro, ulivanje ljubavi i interesovanja za predmet

Očekivani rezultati savladavanja teme
Tokom časa će steći nova znanja o numeričkim nizovima i načinu postavljanja. Naučit će pronaći pravo rješenje, izraditi algoritam rješenja i koristiti ga prilikom rješavanja problema. Istraživanjem će se otkriti neka od njihovih svojstava. Sav rad je popraćen slajdovima.
Universal aktivnosti učenja, čije je formiranje usmjereno obrazovni proces: sposobnost za rad u grupi, razvoj logičko razmišljanje, sposobnost analiziranja, istraživanja, izvođenja zaključaka, odbrane vlastitog gledišta. Naučite komunikacijske i saradničke vještine. Upotreba ovih tehnologija doprinosi razvoju učenika univerzalni načini aktivnost, iskustvo kreativna aktivnost, kompetencije, komunikacijske vještine.

Ideje za ključne lekcije
Novi pristupi u nastavi i učenju
- trening dijaloga
- učenje kako učiti
Procjena za učenje i procjena za učenje
Trening kritičkog razmišljanja
Podučavanje talentovane i nadarene djece

Vrsta lekcije
Istraživanje nove teme

Nastavne metode
Vizuelni (prezentacija), verbalni (razgovor, objašnjenje, dijalog), praktični.

Oblici organizacije vaspitno-obrazovnih aktivnosti učenika
frontalni; grupa; parna soba; pojedinac.

Korištene interaktivne metode nastave
Međusobno ocenjivanje, Samovrednovanje, Grupni rad, Individualni rad,
Ocjenjivanje za učenje, IKT, Diferencirano učenje

Primena modula
Podučavanje kako učiti, Podučavanje kritičkom razmišljanju, Ocjenjivanje za učenje, Upotreba ICT-a u nastavi i učenju, Podučavanje talentirane i nadarene djece

Oprema i materijali
udžbenik, interaktivna tabla grafoskop, prezentacija, marker, Whatmat A3, ravnalo, olovke u boji, naljepnice, emotikoni

Faze lekcije
TOKOM NASTAVE

Predviđeni rezultati

Stvaranje okruženja za saradnju
Organiziranje vremena
(Pozdravljanje učenika, utvrđivanje odsutnih, provjera spremnosti učenika za čas, organiziranje pažnje).
Podjela u grupe.
uvod nastavnici
Parabola "Sve je u tvojim rukama"
Nekada davno, u jednom gradu, živio je veliki mudrac. Slava o njegovoj mudrosti pronijela se daleko po njegovom rodnom gradu, ljudi iz daleka su mu dolazili po savjet. Ali u gradu je bio čovjek koji je zavidio na njegovoj slavi. Jednom je došao na livadu, uhvatio leptira, posadio ga među zatvorene dlanove i pomislio: „Pusti me da odem do mudraca i da ga pitam: reci mi, mudri, koji je leptir u mojim rukama – živ ili mrtav? Ako kaže mrtav, otvoriću dlanove, leptir će odleteti, ako kaže živ, zatvoriću dlanove i leptir će umrijeti. Tada će svi shvatiti ko je od nas pametniji.” Tako se sve dogodilo. Zavidnik je došao u grad i upitao mudraca: „Reci mi, o najmudriji, koji je leptir u mojim rukama – živ ili mrtav?“ Zatim mudrac koji je zaista bio pametna osoba, rekao: "Sve je u tvojim rukama"
Potpuna spremnost učionice i opreme za rad; brzo pretvaranje časa u poslovni ritam, organizovanje pažnje svih učenika

Jasno i nedvosmisleno, zajedno sa učenicima, biće formulisana svrha časa i vaspitni zadaci lekcija.

Glavni dio lekcije
Priprema učenika za aktivno, svjesno usvajanje znanja.
Koji se događaji u našem životu dešavaju uzastopno? Navedite primjere takvih pojava i događaja.

Odgovori učenika:
dani u sedmici,
nazivi mjeseci,
starost osobe,
broj računa u banci,
uzastopno dolazi do promjene dana i noći,
auto uzastopno povećava brzinu, kuće na ulici su redom numerisane itd.

Zadatak za grupe:
Grupni rad, diferenciran pristup
Svaka grupa dobija svoj zadatak. Po završetku, svaka grupa se javlja razredu, počinju učenici 1. grupe.

Zadatak za grupe:
Učenici se podstiču da pronađu obrasce i pokažu ih strelicom.

Zadatak za učenike 1. i 2. grupe:
1 grupa:
Uzlazni red pozitivnih neparnih brojeva
1/2; 1/3; 1/4; 1/5; 1/6

U opadajućem redoslijedu, pravi razlomci s brojnikom jednakim 1
5; 10; 15; 20; 25;

U rastućem redoslijedu pozitivni brojevi koji su višestruki od 5
1; 3; 5; 7; 9;

Grupa 2: pronađite obrasce
6; 8; 16; 18; 36;
Povećati za 3

10; 19; 37; 73; 145;
Naizmjenično 2x uvećanje i 2x uvećanje

1; 4; 7; 10; 13;
Povećajte 2 puta i smanjite za 1

Grupa 1 odgovara:
Uzlazni pozitivni neparni brojevi (1; 3; 5; 7; 9;)
U opadajućem redosledu, pravilni razlomci sa brojicom jednakim 1 (1/2; 1/3; 1/4; 1/5; 1/6)
U rastućem redoslijedu, pozitivni višekratnici od 5 (5; 10; 15; 20; 25;)

Grupa 2 odgovara:
1; 4; 7; 10; 13; (Povećanje za 3)
10; 19; 37; 73; 145; (Povećajte 2 puta i smanjite za 1)
6; 8; 16; 18; 36; (Naizmjenično 2x uvećanje i 2x uvećanje)
Učenje novog gradiva
- Šta razumeš pod rečju čak?
- Dajte primjer?
- Sada reci parne brojeve u nizu
- Reci nam sada o neparnim brojevima?
- imenovati uzastopne neparne brojeve
DOBRO URAĐENO!
Brojevi koji formiraju niz nazivaju se redom prvi, drugi, treći, itd., n-ti članovi niza.
Termini niza su označeni kao
a1; a2; a3; a4; an;
Nizovi mogu biti konačni i beskonačni, rastući i opadajući.

Radite na flipčartu
xn=3n+2, onda
x5=3,5+2=17;
x45=3,45+2=137.
Rekurzivni način
Formula koja izražava bilo koji član niza, počevši s nekim, preko prethodnih (jedan ili više), naziva se rekurentna (od latinske riječi recurro - vratiti).
Na primjer, niz zadan pravilom
a1=1; an+1= an+3
može se napisati trotočkom:
1; 4; 7; 10; 13;

Fizminutka 1,2,3,4,5,6,7, ...

4. Objedinjavanje proučenog gradiva (rad u paru, diferencirani pristup)
Svaka grupa dobija individualni zadatak koji obavlja samostalno. Kada izvršavaju zadatke, momci razgovaraju o rješenju i zapisuju ga u bilježnicu.

Dati niz:
an=n4 ; an=(-1)nn2 ; an=n+4; an=-n-4; an=2n-5; an=3n-1.
Zadatak za učenike 1. grupe: Nizovi su dati formulama. Popunite članove niza koji nedostaju:
1; ___; 81; ___; 625; ...
-1; 4; ___; ___; -25;
5; ___; ___; ___; 9;
___; -6; ___; ___ ; -9;
___; ___; 3; 11; ___;
2; 8; ___; ___; ___;
vježba:
Napišite prvih pet članova niza datog formulom njegovog n-tog člana.
Zadatak za učenike grupe:
Odredite koji su brojevi članovi ovih nizova, popunite tabelu.

Pozitivni i negativni brojevi

pozitivni brojevi

Negativni brojevi

Rad sa udžbenicima br. 148, br. 151

Posao verifikacije
1. Niz je dat formulom an=5n+2. Koji je njen treći mandat?
a) 3 b) 17 c) 12 d) 22
2. Zapišite prvih 5 članova niza zadanog formulom an=n-3
a) -3,-2,-1,0,1 b) -2,-1,0,1,2
c) 0, -2, -4, -16, -50 d) 1,2,3,4,5

3. Pronađite zbir prvih 6 članova numeričkog niza: 2,4,6,8,
a) 66 b) 36 c) 32 d) 42
4. Koji od sljedećih nizova je beskonačno opadajući:
a) b) 2,4,6,8,
c) d)

Odgovori: 1) b 2) b 3) d 4) d

Živa komunikacija sa nastavnikom

Učenici pronalaze odgovore na pitanja.

Učenici uče da analiziraju i donose zaključke.

Formira se znanje kako riješiti sistem nejednakosti sa jednom varijablom

Tačni odgovori u procesu dijaloga, komunikacijske aktivnosti učenika

Učenici rade zadatak

Odlučite sami, provjerite na slajdovima.
Neće se bojati grešaka, sve će im postati jasno na slajdovima.

Www. Bilimland.kz

Učenici se savjetuju, rade u grupi, savjetuju se sa učiteljem, darovitom djecom

Učenici u radu u parovima se savjetuju i pronalaze prava rješenja zadatka.

Učenici ocjenjuju rad druge grupe, daju ocjenu. Rezultati pokazuju da je proučavano gradivo asimilirano.
reproduktivna aktivnost učenika je, prije svega, aktivnost učenika koja se reprodukuje po određenom algoritmu, što dovodi do željenog rezultata.

Refleksija
Sažimanje
Dakle, analizirali smo koncept niza i kako ga postaviti.
Navedite primjere numeričkog niza: konačan i beskonačan.
Koje su metode sekvenciranja koje poznajete.
Koja formula se zove rekurzivna?

Sumirajte lekciju, označite najaktivnije učenike. Zahvalite učenicima na njihovom radu na času.
Učenici lijepe bilješke na naljepnice,
o onome što su naučili
šta su novo naučili
Kako ste shvatili lekciju?
Da li vam se dopala lekcija
Kako su se osjećali na času?

Zadaća.
9 №150, №152

Tačni odgovori u procesu dijaloga, aktivnosti učenika

Poteškoće u izvođenju zadaća neću

Atyrau region
Indersky okrug
Esbol selo
škola nazvana po Zhambylu
nastavnik matematike
viša kategorija,
certificirani nastavnik
I-ti napredni nivo
Iskakova Svetlana Slambekovna