Uslovna vjerovatnoća. Bayesova teorema. Vjerovatnoća događaja. Određivanje vjerovatnoće događaja

Potreba da se deluje na osnovu verovatnoća javlja se kada su poznate verovatnoće nekih događaja, a potrebno je izračunati verovatnoće drugih događaja koji su povezani sa tim događajima.

Zbrajanje vjerovatnoća se koristi kada trebate izračunati vjerovatnoću kombinacije ili logičke sume slučajnih događaja.

Zbir događaja A I B označiti A + B ili A ∪ B. Zbir dva događaja je događaj koji se događa ako i samo ako se dogodi barem jedan od događaja. To znači da A + B– događaj koji se dešava ako i samo ako se događaj dogodio tokom posmatranja A ili događaj B, ili istovremeno A I B.

Ako događaji A I B su međusobno nedosljedne i njihove vjerovatnoće su tada date vjerovatnoća da da će se jedan od ovih događaja dogoditi kao rezultat jednog pokušaja izračunava se dodavanjem vjerovatnoća.

Teorema sabiranja vjerovatnoće. Vjerovatnoća da će se dogoditi jedan od dva međusobno nekompatibilna događaja jednaka je zbroju vjerovatnoća ovih događaja:

Na primjer, prilikom lova se ispaljuju dva metka. Događaj A– pogoditi patku prvim udarcem, događaj IN– pogodak iz drugog hica, događaj ( A+ IN) – pogodak iz prvog ili drugog hica ili iz dva hica. Dakle, ako dva događaja A I IN– dakle nespojivi događaji A+ IN– pojava najmanje jednog od ovih događaja ili dva događaja.

Primjer 1. U kutiji se nalazi 30 loptica iste veličine: 10 crvenih, 5 plavih i 15 bijelih. Izračunajte vjerovatnoću da će kuglica u boji (ne bijela) biti podignuta bez gledanja.

Rješenje. Pretpostavimo da je događaj A- „crvena lopta je uzeta“ i događaj IN- "Plava lopta je uzeta." Tada je događaj "uzeta je obojena (ne bijela) lopta." Nađimo vjerovatnoću događaja A:

i događaje IN:

Događaji A I IN– međusobno nekompatibilni, jer ako se uzme jedna lopta, onda je nemoguće uzeti loptice različitih boja. Stoga koristimo sabiranje vjerovatnoća:

Teorema za sabiranje vjerovatnoća za nekoliko nekompatibilnih događaja. Ako događaji čine kompletan skup događaja, tada je zbir njihovih vjerovatnoća jednak 1:

Zbir vjerovatnoća suprotnih događaja je također jednak 1:

Suprotni događaji čine kompletan skup događaja, a vjerovatnoća kompletnog skupa događaja je 1.

Vjerovatnoće suprotnih događaja obično su označene malim slovima str I q. posebno,

iz čega slijede sljedeće formule za vjerovatnoću suprotnih događaja:

Primjer 2. Meta u streljani je podeljena u 3 zone. Verovatnoća da će određeni strelac gađati metu u prvoj zoni je 0,15, u drugoj zoni – 0,23, u trećoj zoni – 0,17. Pronađite vjerovatnoću da će strijelac pogoditi metu i vjerovatnoću da će strijelac promašiti metu.

Rješenje: Pronađite vjerovatnoću da će strijelac pogoditi metu:

Nađimo vjerovatnoću da će strijelac promašiti metu:

Složenije zadatke, u kojima morate koristiti i sabiranje i množenje vjerovatnoća, možete pronaći na stranici "Razni zadaci koji uključuju sabiranje i množenje vjerovatnoća".

Sabiranje vjerovatnoća međusobno istovremenih događaja

Dva slučajna događaja nazivaju se zajedničkim ako pojava jednog događaja ne isključuje pojavu drugog događaja u istom opažanju. Na primjer, kada se baca kocka događaj A Broj 4 se smatra izbačenim i događajem IN– bacanje parnog broja. Pošto je 4 paran broj, ova dva događaja su kompatibilna. U praksi se javljaju problemi izračunavanja vjerovatnoće nastanka jednog od međusobno istovremenih događaja.

Teorema sabiranja vjerovatnoće za zajedničke događaje. Vjerovatnoća da će se dogoditi jedan od zajedničkih događaja jednaka je zbiru vjerovatnoća ovih događaja, od čega se oduzima vjerovatnoća zajedničkog nastupa oba događaja, odnosno proizvod vjerovatnoća. Formula za vjerovatnoću zajedničkih događaja ima sljedeći oblik:

Od događaja A I IN kompatibilan, događaj A+ IN se dešava ako se dogodi jedan od tri moguća događaja: ili AB. Prema teoremi sabiranja nespojivih događaja računamo na sljedeći način:

Događaj Aće se dogoditi ako se dogodi jedan od dva nekompatibilna događaja: ili AB. Međutim, vjerovatnoća pojave jednog događaja iz nekoliko nekompatibilnih događaja jednaka je zbroju vjerovatnoća svih ovih događaja:

Isto tako:

Zamjenom izraza (6) i (7) u izraz (5) dobijamo formulu vjerovatnoće za zajedničke događaje:

Pri korištenju formule (8) treba uzeti u obzir da događaji A I IN može biti:

• međusobno nezavisni;
• međusobno zavisne.

Formula vjerovatnoće za međusobno nezavisne događaje:

Formula vjerovatnoće za međusobno zavisne događaje:

Ako događaji A I IN su nedosljedni, onda je njihova podudarnost nemoguć slučaj i, stoga, P(AB) = 0. Četvrta formula vjerovatnoće za nekompatibilne događaje je:

Primjer 3. U auto trkama, kada vozite prvi auto, imate veće šanse za pobjedu, a kada vozite drugi auto. Pronađite:

• vjerovatnoća da će oba automobila pobijediti;
• vjerovatnoća da će barem jedan automobil pobijediti;

1) Vjerovatnoća da će prvi automobil pobijediti ne zavisi od rezultata drugog automobila, dakle od događaja A(prvi auto pobjeđuje) i IN(drugi auto će pobijediti) – nezavisni događaji. Nađimo vjerovatnoću da oba auta pobijede:

2) Pronađite vjerovatnoću da će jedan od dva automobila pobijediti:

Složenije zadatke, u kojima morate koristiti i sabiranje i množenje vjerovatnoća, možete pronaći na stranici "Razni zadaci koji uključuju sabiranje i množenje vjerovatnoća".

Sami riješite problem sa sabiranjem vjerovatnoća, a zatim pogledajte rješenje

Primjer 4. Bacaju se dva novčića. Događaj A- gubitak grba na prvom novcu. Događaj B- gubitak grba na drugom novcu. Pronađite vjerovatnoću događaja C = A + B .

Množenje vjerovatnoće

Množenje vjerovatnoće se koristi kada se mora izračunati vjerovatnoća logičkog proizvoda događaja.

U ovom slučaju, slučajni događaji moraju biti nezavisni. Za dva događaja se kaže da su međusobno nezavisna ako pojava jednog događaja ne utiče na verovatnoću pojave drugog događaja.

Teorema množenja vjerovatnoće za nezavisne događaje. Vjerovatnoća istovremene pojave dva nezavisna događaja A I IN jednak je proizvodu vjerovatnoća ovih događaja i izračunava se po formuli:

Primjer 5. Novčić se baca tri puta za redom. Nađite vjerovatnoću da će se grb pojaviti sva tri puta.

Rješenje. Vjerovatnoća da će se grb pojaviti pri prvom bacanju novčića, drugi put i treći put. Nađimo vjerovatnoću da će se grb pojaviti sva tri puta:

Sami riješite probleme množenja vjerovatnoće, a zatim pogledajte rješenje

Primjer 6. U kutiji je devet novih teniskih loptica. Za igru ​​se uzimaju tri lopte, a nakon igre se vraćaju. Prilikom odabira lopti, odigrane lopte se ne razlikuju od neizigranih lopti. Kolika je vjerovatnoća da nakon tri gema u petercu ne ostane nijedna neizigrana lopta?

Primjer 7. 32 slova ruske abecede ispisana su na isečenim abecednim karticama. Pet karata se nasumično izvlače jedna za drugom i stavljaju na sto prema redosledu pojavljivanja. Pronađite vjerovatnoću da će slova formirati riječ "kraj".

Primjer 8. Od full deck kartice (52 lista), četiri kartice se vade odjednom. Pronađite vjerovatnoću da će sve četiri ove karte biti različite boje.

Primjer 9. Isti zadatak kao u primjeru 8, ali se svaka karta nakon uklanjanja vraća u špil.

Složenije zadatke, u kojima je potrebno koristiti i sabiranje i množenje vjerovatnoća, kao i izračunati proizvod više događaja, možete pronaći na stranici "Razni zadaci sabiranja i množenja vjerovatnoća".

Vjerovatnoća da će se dogoditi barem jedan od međusobno nezavisnih događaja može se izračunati oduzimanjem od 1 proizvoda vjerovatnoća suprotnih događaja, odnosno korištenjem formule:

Primjer 10. Teret se dostavlja trima vidovima transporta: riječnim, željezničkim i drumskim transportom. Vjerovatnoća da će teret biti dostavljen riječnim transportom je 0,82, željezničkim 0,87, drumskim 0,90. Nađite vjerovatnoću da će teret biti isporučen od strane barem jednog od njih tri vrste transport.

U stvari, formule (1) i (2) su kratki zapis uslovne vjerovatnoće zasnovan na kontingentnoj tabeli karakteristika. Vratimo se na razmatrani primjer (slika 1). Pretpostavimo da saznamo da porodica planira kupiti televizor širokog ekrana. Kolika je vjerovatnoća da će ova porodica zaista kupiti takav televizor?

Rice. 1. Ponašanje pri kupovini TV-a širokog ekrana

U ovom slučaju trebamo izračunati uslovnu vjerovatnoću P (kupovina završena | planirana kupovina). Pošto znamo da porodica planira kupovinu, uzorak prostora ne čini svih 1000 porodica, već samo one koje planiraju da kupe TV sa širokim ekranom. Od 250 takvih porodica, njih 200 je zaista kupilo ovaj televizor. Stoga se vjerovatnoća da će porodica zaista kupiti TV sa širokim ekranom ako je to planirala može izračunati korištenjem sljedeće formule:

P (kupovina završena | planirana kupovina) = broj porodica koje su planirale i kupile TV sa širokim ekranom / broj porodica koje planiraju kupiti TV sa širokim ekranom = 200 / 250 = 0,8

Formula (2) daje isti rezultat:

gdje je događaj A je da porodica planira kupovinu širokog ekrana televizora i događaj IN- da će ga ona zaista kupiti. Zamjenom stvarnih podataka u formulu dobijamo:

Stablo odluka

Na sl. 1 porodice su podijeljene u četiri kategorije: one koje su planirale kupiti TV sa širokim ekranom i one koje nisu, kao i one koje su kupile takav televizor i one koje nisu. Slična klasifikacija se može izvesti pomoću stabla odlučivanja (slika 2). Drvo prikazano na sl. 2 ima dvije grane koje odgovaraju porodicama koje su planirale kupiti TV sa širokim ekranom i porodicama koje nisu. Svaka od ovih grana se dijeli na dvije dodatne grane koje odgovaraju domaćinstvima koja su kupila ili nisu kupila TV sa širokim ekranom. Vjerovatnoće zapisane na krajevima dvije glavne grane su bezuslovne vjerovatnoće događaja A I A'. Vjerovatnoće zapisane na krajevima četiri dodatne grane su uslovne vjerovatnoće svake kombinacije događaja A I IN. Uslovne verovatnoće se izračunavaju tako što se zajednička verovatnoća događaja podeli sa odgovarajućom bezuslovnom verovatnoćom svakog od njih.

Rice. 2. Stablo odlučivanja

Na primjer, da bi se izračunala vjerovatnoća da će porodica kupiti televizor širokog ekrana ako je to planirala, mora se odrediti vjerovatnoća događaja kupovina planirana i završena, a zatim ga podijeliti vjerovatnoćom događaja planirana kupovina. Kretanje duž stabla odlučivanja prikazanog na sl. 2, dobijamo sljedeći (sličan prethodnom) odgovor:

Statistička nezavisnost

U primjeru kupovine TV-a sa širokim ekranom, vjerovatnoća da je slučajno odabrana porodica kupila TV sa širokim ekranom s obzirom da su to planirali je 200/250 = 0,8. Podsjetimo da je bezuslovna vjerovatnoća da je nasumično odabrana porodica kupila TV sa širokim ekranom 300/1000 = 0,3. Ovo dovodi do vrlo važnog zaključka. Prethodne informacije da je porodica planirala kupovinu utiče na vjerovatnoću same kupovine. Drugim riječima, ova dva događaja zavise jedan od drugog. Za razliku od ovog primjera, postoje statistički nezavisni događaji čije vjerovatnoće ne zavise jedna od druge. Statistička nezavisnost se izražava identitetom: P(A|B) = P(A), Gdje P(A|B)- vjerovatnoća događaja A pod uslovom da se događaj desio IN, P(A)- bezuslovna vjerovatnoća događaja A.

Imajte na umu da događaji A I IN P(A|B) = P(A). Ako je u kontingentnoj tabeli karakteristika veličine 2×2, ovaj uslov je zadovoljen za najmanje jednu kombinaciju događaja A I IN, vrijedit će za bilo koju drugu kombinaciju. U našem primjeru događaji planirana kupovina I kupovina završena nisu statistički nezavisne jer informacije o jednom događaju utiču na verovatnoću drugog.

Pogledajmo primjer koji pokazuje kako testirati statističku nezavisnost dva događaja. Pitajmo 300 porodica koje su kupile TV sa širokim ekranom da li su zadovoljne kupovinom (Sl. 3). Utvrdite da li su stepen zadovoljstva kupovinom i tip televizora povezani.

Rice. 3. Podaci koji karakterišu stepen zadovoljstva kupaca širokog ekrana

Sudeći po ovim podacima,

U isto vrijeme,

P (kupac zadovoljan) = 240 / 300 = 0,80

Dakle, vjerovatnoća da je kupac zadovoljan kupovinom i da je porodica kupila HDTV je jednaka, a ti događaji su statistički nezavisni jer nisu međusobno povezani.

Pravilo množenja vjerovatnoće

Formula za izračunavanje uslovne vjerovatnoće omogućava vam da odredite vjerovatnoću zajedničkog događaja A i B. Nakon što smo riješili formulu (1)

u odnosu na zajedničku vjerovatnoću P(A i B), dobijamo opšte pravilo za množenje verovatnoća. Vjerovatnoća događaja A i B jednaka vjerovatnoći događaja A pod uslovom da se događaj desi IN IN:

(3) P(A i B) = P(A|B) * P(B)

Uzmimo za primjer 80 porodica koje su kupile široki ekran HDTV televizora (slika 3). Iz tabele se vidi da su 64 porodice zadovoljne kupovinom, a 16 nije. Pretpostavimo da su između njih nasumično odabrane dvije porodice. Odredite vjerovatnoću da će oba klijenta biti zadovoljna. Koristeći formulu (3) dobijamo:

P(A i B) = P(A|B) * P(B)

gdje je događaj A je da je druga porodica zadovoljna svojom kupovinom i događajem IN- da je prva porodica zadovoljna kupovinom. Vjerovatnoća da će prva porodica biti zadovoljna kupovinom je 64/80. Međutim, vjerovatnoća da će i druga porodica biti zadovoljna kupovinom zavisi od odgovora prve porodice. Ako se prva porodica ne vrati u uzorak nakon ankete (izbor bez povratka), broj ispitanika se smanjuje na 79. Ako je prva porodica zadovoljna kupovinom, vjerovatnoća da će i druga porodica biti zadovoljna je 63 /79, budući da su u uzorku porodice ostale samo 63 zadovoljne kupovinom. Dakle, zamjenom određenih podataka u formulu (3) dobijamo sljedeći odgovor:

P(A i B) = (63/79) (64/80) = 0,638.

Dakle, vjerovatnoća da su obje porodice zadovoljne kupovinom iznosi 63,8%.

Pretpostavimo da se nakon ankete prva porodica vrati u uzorak. Odredite vjerovatnoću da će obje porodice biti zadovoljne kupovinom. U ovom slučaju, vjerovatnoća da su obje porodice zadovoljne kupovinom je ista, jednaka je 64/80. Dakle, P(A i B) = (64/80)(64/80) = 0,64. Dakle, vjerovatnoća da su obje porodice zadovoljne kupovinom iznosi 64,0%. Ovaj primjer pokazuje da izbor druge porodice ne zavisi od izbora prve. Dakle, zamjenom uslovne vjerovatnoće u formuli (3) P(A|B) vjerovatnoća P(A), dobijamo formulu za množenje verovatnoća nezavisnih događaja.

Pravilo za množenje vjerovatnoća nezavisnih događaja. Ako događaji A I IN su statistički nezavisne, vjerovatnoća događaja A i B jednaka vjerovatnoći događaja A, pomnoženo sa vjerovatnoćom događaja IN.

(4) P(A i B) = P(A)P(B)

Ako ovo pravilo vrijedi za događaje A I IN, što znači da su statistički nezavisni. Dakle, postoje dva načina da se odredi statistička nezavisnost dva događaja:

1. Događaji A I IN su statistički nezavisni jedno od drugog ako i samo ako P(A|B) = P(A).
2. Događaji A I B su statistički nezavisni jedno od drugog ako i samo ako P(A i B) = P(A)P(B).

Ako je u tabeli nepredviđenih okolnosti 2x2, jedan od ovih uslova je ispunjen za najmanje jednu kombinaciju događaja A I B, vrijedit će za bilo koju drugu kombinaciju.

Bezuslovna vjerovatnoća elementarnog događaja

(5) P(A) = P(A|B 1)P(B 1) + P(A|B 2)P(B 2) + … + P(A|B k)P(B k)

gdje su događaji B 1, B 2, ... B k međusobno isključivi i iscrpni.

Ilustrujmo primjenu ove formule na primjeru sa slike 1. Koristeći formulu (5) dobijamo:

P(A) = P(A|B 1)P(B 1) + P(A|B 2)P(B 2)

Gdje P(A)- vjerovatnoća da je kupovina planirana, P(B 1)- vjerovatnoća da je kupovina obavljena, P(B 2)- vjerovatnoća da kupovina nije završena.

BAYESOVA TEOREMA

Uslovna vjerovatnoća događaja uzima u obzir informaciju da se dogodio neki drugi događaj. Ovaj pristup se može koristiti kako za preciziranje vjerovatnoće uzimajući u obzir novoprimljene informacije, tako i za izračunavanje vjerovatnoće da je uočeni efekat posljedica određenog uzroka. Procedura za preciziranje ovih vjerovatnoća naziva se Bayesova teorema. Prvi ga je razvio Thomas Bayes u 18. vijeku.

Pretpostavimo da gore pomenuta kompanija istražuje tržište za novi model televizora. U prošlosti je 40% televizora koje je kreirala kompanija bilo uspješno, dok 60% modela nije bilo prepoznato. Prije nego što najave izlazak novog modela, marketinški stručnjaci pažljivo istražuju tržište i bilježe potražnju. U prošlosti se predviđalo da će 80% uspješnih modela biti uspješni, dok se 30% uspješnih predviđanja pokazalo pogrešnim. Marketing odjel je dao povoljnu prognozu za novi model. Koja je vjerovatnoća da će novi model televizora biti tražen?

Bayesova teorema se može izvesti iz definicija uslovne vjerovatnoće (1) i (2). Za izračunavanje vjerovatnoće P(B|A), uzmite formulu (2):

i umjesto P(A i B) zamijenimo vrijednost iz formule (3):

P(A i B) = P(A|B) * P(B)

Zamjenom formule (5) umjesto P(A), dobijamo Bayesov teorem:

gdje su događaji B 1, B 2, ... B k međusobno isključivi i iscrpni.

Hajde da uvedemo sljedeću notaciju: događaj S - TV je tražen, događaj S’ - TV nije tražen, događaj F - povoljna prognoza, događaj F’ - loša prognoza. Pretpostavimo da je P(S) = 0,4, P(S’) = 0,6, P(F|S) = 0,8, P(F|S’) = 0,3. Primjenom Bayesove teoreme dobijamo:

Vjerovatnoća potražnje za novi model TV, uz povoljnu prognozu, iznosi 0,64. Dakle, vjerovatnoća nedostatka tražnje uz povoljnu prognozu iznosi 1–0,64=0,36. Proces proračuna je prikazan na sl. 4.

Rice. 4. (a) Proračuni koji koriste Bayesovu formulu za procjenu vjerovatnoće potražnje za televizorima; (b) Stablo odlučivanja prilikom proučavanja potražnje za novim modelom TV-a

Pogledajmo primjer korištenja Bayesove teoreme za medicinsku dijagnostiku. Vjerovatnoća da osoba boluje od određene bolesti je 0,03. Medicinski test može provjeriti da li je to istina. Ako je osoba zaista bolesna, vjerovatnoća za tačnu dijagnozu (da se kaže da je osoba bolesna kada je zaista bolesna) je 0,9. Ako je osoba zdrava, vjerovatnoća lažno pozitivne dijagnoze (da se kaže da je osoba bolesna kada je zdrava) je 0,02. Pretpostavimo to medicinski test dao pozitivan rezultat. Kolika je vjerovatnoća da je osoba zaista bolesna? Koja je vjerovatnoća za tačnu dijagnozu?

Hajde da uvedemo sljedeću notaciju: događaj D - osoba je bolesna, događaj D’ - osoba je zdrava, događaj T - dijagnoza je pozitivna, događaj T’ - dijagnoza negativna. Iz uslova zadatka proizilazi da je P(D) = 0,03, P(D’) = 0,97, P(T|D) = 0,90, P(T|D’) = 0,02. Primjenom formule (6) dobijamo:

Vjerovatnoća da je osoba sa pozitivnom dijagnozom zaista bolesna je 0,582 (vidi i sl. 5). Imajte na umu da je imenilac Bayesove formule jednak vjerovatnoći pozitivne dijagnoze, tj. 0,0464.

Vjerovatnoća događaj je omjer broja elementarnih ishoda koji su povoljni za dati događaj i broja svih jednako mogućih ishoda iskustva u kojem se ovaj događaj može pojaviti. Verovatnoća događaja A označava se sa P(A) (ovde je P prvo slovo francuske reči probabilite - verovatnoća). Prema definiciji
(1.2.1)
gdje je broj elementarnih ishoda povoljnih za događaj A; - broj svih jednako mogućih elementarnih ishoda eksperimenta, koji čine kompletnu grupu događaja.
Ova definicija vjerovatnoće se naziva klasičnom. Nastao je na početna faza razvoj teorije verovatnoće.

Vjerovatnoća događaja ima sljedeća svojstva:
1. Vjerovatnoća pouzdanog događaja jednaka je jedan. Označimo pouzdan događaj slovom . Za određeni događaj, dakle
(1.2.2)
2. Vjerovatnoća nemogućeg događaja je nula. Označimo nemoguć događaj slovom . Za nemoguć događaj, dakle
(1.2.3)
3. Vjerovatnoća slučajnog događaja se izražava kao pozitivan broj manji od jedan. Budući da su za slučajni događaj nejednakosti , ili , su zadovoljeni, onda
(1.2.4)
4. Vjerovatnoća bilo kojeg događaja zadovoljava nejednakosti
(1.2.5)
Ovo proizilazi iz relacija (1.2.2) - (1.2.4).

Primjer 1. Urna sadrži 10 kuglica jednake veličine i težine, od kojih su 4 crvene, a 6 plave. Jedna lopta se izvlači iz urne. Kolika je vjerovatnoća da će izvučena lopta biti plava?

Rješenje. Događaj „izvučena loptica je ispala plava“ označavamo slovom A. Ovaj test ima 10 podjednako mogućih elementarnih ishoda, od kojih 6 favorizuju događaj A. U skladu sa formulom (1.2.1) dobijamo

Primjer 2. Svi prirodni brojevi od 1 do 30 ispisani su na identičnim karticama i stavljeni u urnu. Nakon temeljitog miješanja karata, jedna karta se vadi iz urne. Kolika je vjerovatnoća da je broj na uzetoj kartici višestruki od 5?

Rješenje. Označimo sa A događaj "broj na uzetoj kartici je višekratnik 5." U ovom testu postoji 30 podjednako mogućih elementarnih ishoda, od kojih je događaj A favorizovan sa 6 ishoda (brojevi 5, 10, 15, 20, 25, 30). dakle,

Primjer 3. Bacaju se dvije kocke i izračunava se zbir bodova na gornjim stranama. Odrediti vjerovatnoću događaja B tako da gornje strane kockice imaju ukupno 9 bodova.

Rješenje. U ovom testu postoji samo 6 2 = 36 jednako mogućih elementarnih ishoda. Događaju B favoriziraju 4 ishoda: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), dakle

Primjer 4. Nasumično se bira prirodni broj koji nije veći od 10. Kolika je vjerovatnoća da je ovaj broj prost?

Rješenje. Označimo slovom C događaj “odabrani broj je prost”. U ovom slučaju n = 10, m = 4 ( primarni brojevi 2, 3, 5, 7). Dakle, tražena vjerovatnoća

Primjer 5. Bacaju se dva simetrična novčića. Kolika je vjerovatnoća da se na gornjim stranama oba novčića nalaze brojevi?

Rješenje. Označimo slovom D događaj „postoji broj na gornjoj strani svakog novčića“. U ovom testu postoje 4 podjednako moguća elementarna ishoda: (G, G), (G, C), (C, G), (C, C). (Oznaka (G, C) znači da prvi novčić ima grb, a drugi broj). Događaju D favorizuje jedan elementarni ishod (C, C). Pošto je m = 1, n = 4, onda

Primjer 6. Kolika je vjerovatnoća da nasumično odabran dvocifreni broj ima iste cifre?

Rješenje. Dvocifreni brojevi su brojevi od 10 do 99; Ukupno takvih brojeva ima 90. 9 brojeva ima identične cifre (to su brojevi 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Pošto je u ovom slučaju m = 9, n = 90, onda
,
gdje je A događaj „broj sa identičnim znamenkama“.

Primjer 7. Od slova riječi diferencijal Jedno slovo se bira nasumično. Kolika je vjerovatnoća da će ovo slovo biti: a) samoglasnik, b) suglasnik, c) slovo h?

Rješenje. Riječ diferencijal ima 12 slova, od kojih su 5 samoglasnici, a 7 suglasnici. Pisma h nema u ovoj reči. Označimo događaje: A - "samoglasno slovo", B - "slovo suglasnika", C - "slovo h". Broj povoljnih elementarnih ishoda: - za događaj A, - za događaj B, - za događaj C. Pošto je n = 12, onda
, I .

Primjer 8. Bacaju se dvije kockice i bilježi se broj bodova na vrhu svake kocke. Odrediti vjerovatnoću da obje kockice pokažu isti broj bodova.

Rješenje. Označimo ovaj događaj slovom A. Događaju A favorizuje 6 elementarnih ishoda: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6 ;6). Ukupan broj jednako mogućih elementarnih ishoda koji čine kompletnu grupu događaja, u ovom slučaju n=6 2 =36. To znači da je tražena vjerovatnoća

Primjer 9. Knjiga ima 300 strana. Kolika je vjerovatnoća da će slučajno otvorena stranica imati serijski broj djeljiv sa 5?

Rješenje. Iz uslova zadatka proizilazi da će svi podjednako mogući elementarni ishodi koji čine kompletnu grupu događaja biti n = 300. Od toga, m = 60 favorizuje nastanak navedenog događaja. Zaista, broj koji je višekratnik od 5 ima oblik 5k, gdje je k prirodan broj, i , odakle . dakle,
, pri čemu A - događaj "stranica" ima redni broj koji je višekratnik 5".

Primjer 10. Bacaju se dvije kocke i izračunava se zbir bodova na gornjim stranama. Šta je vjerovatnije - dobiti ukupno 7 ili 8?

Rješenje. Označimo događaje: A - „Bacano je 7 poena“, B – „Bacano je 8 poena“. Događaj A favorizira 6 osnovnih ishoda: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1), a događaj B favorizira po 5 ishoda: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Svi podjednako mogući elementarni ishodi su n = 6 2 = 36. Dakle, i .

Dakle, P(A)>P(B), odnosno dobijanje ukupno 7 bodova je vjerovatniji događaj od dobivanja ukupno 8 bodova.

Zadaci

1. Nasumično se bira prirodni broj koji ne prelazi 30. Kolika je vjerovatnoća da je taj broj višekratnik od 3?
2. U urni a crvena i b plave kuglice, identične veličine i težine. Kolika je vjerovatnoća da će kuglica izvučena nasumično iz ove urne biti plava?
3. Slučajno se bira broj koji ne prelazi 30. Kolika je vjerovatnoća da je taj broj djelitelj 30?
4. U urni A plava i b crvene kuglice, identične veličine i težine. Jedna lopta se uzima iz ove urne i ostavlja na stranu. Ispostavilo se da je ova lopta crvena. Nakon toga iz urne se izvlači još jedna lopta. Nađite vjerovatnoću da je i druga lopta crvena.
5. Nasumično se bira nacionalni broj koji ne prelazi 50. Kolika je vjerovatnoća da je ovaj broj prost?
6. Bacaju se tri kockice i izračunava se zbir bodova na gornjim stranama. Šta je vjerovatnije - dobiti ukupno 9 ili 10 bodova?
7. Bacaju se tri kockice i izračunava se zbir bačenih poena. Šta je vjerovatnije - dobiti ukupno 11 (događaj A) ili 12 bodova (događaj B)?

Odgovori

1. 1/3. 2 . b/(a+b). 3 . 0,2. 4 . (b-1)/(a+b-1). 5 .0,3.6 . p 1 = 25/216 - vjerovatnoća da se dobije ukupno 9 bodova; p 2 = 27/216 - vjerovatnoća da se dobije ukupno 10 bodova; p 2 > p 1 7 . P(A) = 27/216, P(B) = 25/216, P(A) > P(B).

Pitanja

1. Kako se zove vjerovatnoća događaja?
2. Kolika je vjerovatnoća pouzdanog događaja?
3. Kolika je vjerovatnoća nemogućeg događaja?
4. Koje su granice vjerovatnoće slučajnog događaja?
5. Koje su granice vjerovatnoće bilo kojeg događaja?
6. Koja se definicija vjerovatnoće naziva klasičnom?

Ciljevi lekcije:

• Biti u stanju navesti primjere slučajnih događaja.
• Shvatite da je vjerovatnoća numerička mjera vjerovatnoće nekog događaja, da je vjerovatnoća broj u rasponu od 0 do 1.
• Upoznati učenike 8. razreda sa osnovnim pojmovima teorije vjerovatnoće.
• Naučite rješavati jednostavne probleme koristeći klasične formule vjerovatnoće.

Teorijski materijal

definicija: Teorija vjerovatnoće je grana matematike koja proučava probabilističke i statističke zakone.

Na primjer, koristeći ovu teoriju, možete izračunati vjerovatnoću da će određeni učenik u razredu biti pozvan na tablu tokom časa. Razmotrimo osnovne koncepte teorije vjerovatnoće.

definicija: Slučajni događaji- to su događaji koji se, pod istim uslovima, mogu ili ne moraju dogoditi.

Jedan od osnivača matematičke statistike, švedski naučnik Harald Kramer, napisao je: „Očigledno je nemoguće dati tačnu definiciju šta se podrazumeva pod rečju „slučajno“. Značenje ove riječi najbolje je objašnjeno primjerima.” Na primjer, slučajni događaj je sunčano vrijeme.

U uobičajenom smislu, vjerovatnoća je kvantitativna procjena mogućnosti da se dogodi očekivani događaj.

Definicija: Događaji koji se ne mogu dogoditi pod datim uslovima nazivaju se nemogućim.

Definicija: Događaji koji će se sigurno dogoditi pod datim uslovima nazivaju se pouzdanim.

Na primjer, kraj lekcije.

Dakle, pouzdan događaj je događaj koji se dešava pod datim uslovima sa stopostotnom verovatnoćom(tj. javlja se u 10 slučajeva od 10, u 100 slučajeva od 100, itd.). Nemogući događaj je događaj koji se nikada ne dešava pod datim uslovima, događaj sa nultom verovatnoćom.

Ali, nažalost (a možda i na sreću), nije sve u životu tako jasno i precizno: uvijek će biti (određeni događaj), nikada neće biti (nemogući događaj). Najčešće se suočavamo sa slučajnim događajima, od kojih su neki vjerovatniji, drugi manje vjerovatni. Obični ljudi koriste riječi “vjerovatnije” ili “manje vjerovatno”, kako kažu, iz hira, oslanjajući se na ono što se zove zdrav razum. Ali vrlo često se takve procjene pokažu nedovoljnim, jer je važno znati koliko dugo posto vjerovatno slučajan događaj ili koliko puta jedan slučajni događaj je vjerovatniji od drugog. Drugim riječima, potrebna nam je tačnost kvantitativno karakteristike, morate biti u stanju okarakterizirati vjerovatnoću brojem.

Već smo napravili prve korake u tom pravcu. Rekli smo da je vjerovatnoća nastanka pouzdanog događaja okarakterisana kao sto posto, a vjerovatnoća nastanka nemogućeg događaja okarakterisana kao nula. S obzirom da je 100% jednako 1, ljudi su se složili oko sljedećeg:

1) verovatnoća pouzdanog događaja se smatra jednakom 1;
2) vjerovatnoća nemogućeg događaja se smatra jednakom 0.

Kako izračunati vjerovatnoću slučajnog događaja? Na kraju krajeva, desilo se slučajno, što znači da ne poštuje zakone, algoritme ili formule. Ispostavilo se da u svijetu slučajnosti vrijede određeni zakoni koji omogućavaju izračunavanje vjerovatnoća. Ovo je grana matematike koja se zove - teorija vjerovatnoće.

KLASIČNA ŠEMA VEROVATNOSTI

Da biste pronašli vjerovatnoću događaja A prilikom izvođenja nekog eksperimenta, trebali biste:

1) naći broj N svih mogućih ishoda ovog eksperimenta;
2) prihvati pretpostavku jednake vjerovatnoće (jednake mogućnosti) svih ovih ishoda;
3) naći broj N(A) onih ishoda eksperimenta u kojima se dogodi događaj A;
4) pronađite količnik N(A)/N i on će biti jednak vjerovatnoći događaja A.

Hajde da objasnimo ovu definiciju Na primjer. Razmotrite nasumični eksperiment bacanja kocke. Poznato je da kocka ima 6 strana jednakih brojeva. Ishod svakog bacanja kocke bit će jedan od brojeva od 1 do 6. U ovom eksperimentu imamo nekoliko mogućih ishoda n, jednako 6. Dodijelimo očekivanom ishodu broj 5. Pošto je na kocki samo jedan broj 5, broj povoljnih ishoda mće biti jednako 1. Koristeći klasičnu formulu vjerovatnoće, lako je izračunati da je vjerovatnoća da se dobije broj 5 1/6.

Vrijedi napomenuti da se klasična definicija vjerovatnoće primjenjuje samo na slučajni događaj sa jednako vjerojatnim ishodom. Na primjer, ako kockica ima nejednake strane, vjerovatnije je da će neki brojevi biti bačeni od drugih. Definicija klasične vjerovatnoće ne bi bila primjenjiva u ovom slučaju.

Vjerovatnoća je pozitivan broj između nule i jedan.

Verovatnoća nemogućeg događaja je 0, pošto je broj povoljnih ishoda m jednako 0.

Vjerovatnoća pouzdanog događaja je 1, budući da je broj povoljnih ishoda m odgovara broju mogućih ishoda n.

Praktični dio

Riješiti probleme:

1. Bacaju se dvije kocke: crvena i plava. Smatrajući da su sve kombinacije brojeva na crvenoj i plavoj kocki podjednako moguće, odredite vjerovatnoću da će brojevi na crvenoj i plavoj kocki biti isti. Izračunajmo ukupan broj ishoda (kombinacija brojeva). Crvena kocka može imati bilo koji broj od jedan do šest. Za svaku od ovih opcija postoji šest opcija brojeva na plavoj kocki. Recimo, ako crvena kocka pokazuje trojku, onda su moguće opcije (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6). (Prvo zapisujemo broj na crvenu kockicu, a zatim na plavu.) Ukupno će, dakle, biti 6 ´ 6 = 36 kombinacija (ishoda). Mogu se zamisliti u obliku tabele (vidi letnji list udžbenika). Prema uslovu, najpovoljnije su one kod kojih se na obe kocke nalazi isti broj. Ima ih šest i stoje na dijagonali tabele: (1,1) (2,2) (3,3) (4,4) (5,5) (6,6). Dakle, udio povoljnih ishoda (željena vjerovatnoća) je 6 od 36, odnosno 1/6.
2. Kolika je vjerovatnoća da dobijete prirodan broj pri bacanju kockice?
3. Kolika je vjerovatnoća da dobijete broj 9 kada bacite kocku?
4. Kolika je vjerovatnoća da dobijete glavu prilikom bacanja novčića?
5. U lutriji je 55 listića, od kojih je 7 dobitnih. Kolika je vjerovatnoća dobitka pri kupovini jedne karte? Kolika je vjerovatnoća gubitka pri kupovini jedne karte?

Zadaća

1. Odredite vjerovatnoću da dobijete neparan broj pri bacanju kockice.
2. Navedite primjere nemogućih događaja iz školskog života.
3. Postoje 24 ulaznice za ispit. Vasja ih nije naučio 5. Kolika je vjerovatnoća da će Vasja izvući sretnu kartu?
4. Slova u riječi MISHA su pomiješana, a zatim raspoređena slučajnim redoslijedom (sve permutacije su jednako vjerovatne). Kolika je vjerovatnoća da će ista riječ izaći? Isto pitanje za riječi MAÍÍA i MAMA.

Razgovarajmo o problemima u kojima se pojavljuje izraz „barem jedan“. Sigurno ste se susreli sa takvim zadacima kod kuće i testovi, a sada ćete naučiti kako ih riješiti. Prvo ću pričati o tome opšte pravilo, a zatim razmotrite poseban slučaj i napišite formule i primjere za svaki.

Opća metodologija i primjeri

Opća tehnika rješavanje problema u kojima se pojavljuje fraza "barem jedan" je kako slijedi: