Ubrzanje tačke je usmjereno. Ubrzanje tačke. Ubrzanje tačaka krutog tijela

Dom

A zašto je to potrebno? Već znamo šta su referentni sistem, relativnost kretanja i materijalna tačka. Pa, vrijeme je da krenemo dalje! Ovdje ćemo pogledati osnovne pojmove kinematike, sastaviti najkorisnije formule za osnove kinematike i dati praktičan primjer rješavanja problema. Hajde da riješimo ovaj problem:

tačka se kreće u krugu poluprečnika 4 metra. Zakon njegovog kretanja izražava se jednačinom S=A+Bt^2. A=8m, B=-2m/s^2. U kom trenutku je normalno ubrzanje tačke jednako 9 m/s^2? Pronađite brzinu, tangencijalno i ukupno ubrzanje tačke za ovaj trenutak u vremenu.

Rješenje: znamo da za pronalaženje brzine trebamo uzeti prvi vremenski izvod zakona kretanja, a normalno ubrzanje je jednako količniku kvadrata brzine i polumjera kružnice duž koje je tačka se kreće. Naoružani ovim znanjem, pronaći ćemo potrebne količine.

Trebate pomoć u rješavanju problema? Profesionalni studentski servis je spreman da to pruži.

Hajde da uvedemo jedinični vektor τ povezan sa pokretnom tačkom A i usmeren tangencijalno na putanju u pravcu povećanja koordinata luka (slika 1.6). Očigledno je da je τ varijabilni vektor: zavisi od l. Vektor brzine v tačke A usmjeren je tangencijalno na putanju, pa se može predstaviti na sljedeći način

gdje je v τ =dl/dt projekcija vektora v na smjer vektora τ, a v τ je algebarska veličina. Pored toga, |v τ |=|v|=v.

Ubrzanje tačke

(1.23)

Razlikujemo (1.22) s obzirom na vrijeme

(1.24)

Hajde da transformišemo poslednji član ovog izraza

Odredimo prirast vektora τ za dl (slika 1.7). Kao što se može videti sa sl. 1,7, ugao .

, odakle , i na

Uvođenjem jediničnog vektora n normale na putanju u tački 1, usmjerenog prema centru zakrivljenosti, zapisujemo posljednju jednakost u vektorskom obliku

(1.26)

Zamijenimo (1.23) u (1.24), a rezultirajući izraz u (1.22). Kao rezultat nalazimo Ovdje se zove prvi pojam tangencijalni a τ , drugi - normalno

a n.

Dakle, ukupno ubrzanje a tačke može se predstaviti kao geometrijski zbir tangencijalnog i normalnog ubrzanja.

(1.27)

Modul ubrzanja pune tačke

Usmjeren je prema konkavnosti putanje pod kutom α prema vektoru brzine, i .

Ako je ugao α oštar, onda je tanα>0, dakle, dv/dt>0, pošto je v 2 /R>0 uvijek. ubrzano(Sl. 1.8).

U slučaju kada se brzina vremenom smanji po veličini, kretanje se naziva sporo(Sl. 1.9).

Ako je ugao α=90°, tanα=∞, odnosno dv/dt=0. U ovom slučaju, brzina se ne mijenja po veličini tijekom vremena, a ukupno ubrzanje će biti jednako centripetalnom

(1.28)

Konkretno, ukupno ubrzanje uniforme rotaciono kretanje(R=const, v=const) je centripetalno ubrzanje, jednako po veličini a n =v 2 /R i usmjereno cijelo vrijeme prema centru.

U linearnom kretanju, naprotiv, ukupno ubrzanje tijela jednako je tangencijalnom. U ovom slučaju, a n =0, pošto se pravolinijska putanja može smatrati krugom beskonačno velikog radijusa, i sa R→∞; v 2 /R=0; a n =0; a=a τ .

Ubrzanje je veličina koja karakterizira brzinu promjene brzine.

Na primjer, kada se automobil kreće, on povećava brzinu, odnosno kreće se brže. U početku je njegova brzina nula. Kada se jednom kreće, automobil postepeno ubrzava do određene brzine. Ako se na putu upali crveno svjetlo na semaforu, auto će stati. Ali to neće prestati odmah, već s vremenom. Odnosno, njegova brzina će se smanjiti na nulu - automobil će se kretati polako dok se potpuno ne zaustavi. Međutim, u fizici ne postoji termin „usporavanje“. Ako se tijelo kreće, usporavajući svoju brzinu, onda će to biti i ubrzanje tijela, samo sa znakom minus (kao što se sjećate, brzina je vektorska veličina).

> je omjer promjene brzine i vremenskog perioda tokom kojeg se ta promjena dogodila. Prosečno ubrzanje se može odrediti formulom:

Rice. 1.8. Prosečno ubrzanje. U SI jedinica za ubrzanje– je 1 metar u sekundi u sekundi (ili metar u sekundi na kvadrat), tj

Metar u sekundi na kvadrat jednak je ubrzanju tačke koja se kreće pravolinijski, pri čemu se brzina ove tačke povećava za 1 m/s u jednoj sekundi. Drugim riječima, ubrzanje određuje koliko se brzina tijela mijenja u jednoj sekundi. Na primjer, ako je ubrzanje 5 m/s 2, to znači da se brzina tijela povećava za 5 m/s svake sekunde.

Trenutačno ubrzanje tijela ( materijalna tačka) V trenutno vrijeme je fizička veličina jednaka granici kojoj teži prosječno ubrzanje dok vremenski interval teži nuli. Drugim riječima, ovo je ubrzanje koje tijelo razvija u vrlo kratkom vremenskom periodu:

Kod ubrzanog linearnog kretanja brzina tijela raste u apsolutnoj vrijednosti, tj

V 2 > v 1

a smjer vektora ubrzanja poklapa se sa vektorom brzine

Ako se brzina tijela smanji u apsolutnoj vrijednosti, tj

V 2< v 1

tada je smjer vektora ubrzanja suprotan smjeru vektora brzine. Drugim riječima, u ovom slučaju se dešava usporavanje, u ovom slučaju će ubrzanje biti negativno (i< 0). На рис. 1.9 показано направление векторов ускорения при прямолинейном движении тела для случая ускорения и замедления.

Rice. 1.9. Trenutno ubrzanje.

Kada se krećete po zakrivljenoj stazi, ne mijenja se samo modul brzine, već i njegov smjer. U ovom slučaju, vektor ubrzanja je predstavljen kao dvije komponente (pogledajte sljedeći odjeljak).

Tangencijalno (tangencijalno) ubrzanje– ovo je komponenta vektora ubrzanja usmjerena duž tangente na putanju u datoj tački putanje kretanja. Tangencijalno ubrzanje karakterizira promjenu brzine po modulu tokom krivolinijskog kretanja.

Rice. 1.10. Tangencijalno ubrzanje.

Smjer vektora tangencijalnog ubrzanja (vidi sliku 1.10) poklapa se sa smjerom linearne brzine ili mu je suprotan. Odnosno, tangencijalni vektor ubrzanja leži na istoj osi sa tangentnom kružnicom, koja je putanja tijela.

Normalno ubrzanje

Normalno ubrzanje je komponenta vektora ubrzanja usmjerena duž normale na putanju kretanja u datoj tački na putanji tijela. Odnosno, vektor normalnog ubrzanja je okomit na linearnu brzinu kretanja (vidi sliku 1.10). Normalno ubrzanje karakterizira promjenu brzine u smjeru i označava se slovom. Vektor normalnog ubrzanja je usmjeren duž radijusa zakrivljenosti putanje.

Puno ubrzanje

Puno ubrzanje pri krivolinijskom kretanju, sastoji se od tangencijalnog i normalnog ubrzanja uzduž i određuje se formulom:

(prema Pitagorinoj teoremi za pravougaoni pravougaonik).

Pronađimo kako se izračunavaju brzina i ubrzanje tačke ako je kretanje dato jednadžbama (3) ili (4). Pitanje određivanja putanje u ovom slučaju već je razmatrano u § 37.

Formule (8) i (10), koje određuju vrijednosti v i a, sadrže vremenske derivate vektora. U jednakostima koje sadrže izvode vektora, prijelaz na ovisnosti između projekcija vrši se pomoću sljedeće teoreme: projekcija derivacije vektora na osu fiksnu u datom referentnom sistemu jednaka je izvodu projekcije diferencijabilnog vektora na istu osu, tj.

1. Određivanje brzine tačke. Vektor brzine tačke Odavde, na osnovu formule (I), uzimajući u obzir da nalazimo:

gdje je tačka iznad slova simbol za diferencijaciju u odnosu na vrijeme. Dakle, projekcije brzine tačke na koordinatne ose jednake su prvim derivacijama odgovarajućih koordinata tačke u odnosu na vreme.

Poznavajući projekcije brzine, pronaći ćemo njenu veličinu i smjer (tj. uglove koje vektor v formira sa koordinatnim osa) koristeći formule

2. Određivanje ubrzanja tačke. Vektor ubrzanja tačke Odavde, na osnovu formula (11), dobijamo:

tj. projekcije ubrzanja tačke na koordinatne ose jednake su prvim derivacijama projekcija brzine ili drugim derivacijama odgovarajućih koordinata tačke u odnosu na vreme. Veličina i smjer ubrzanja mogu se naći iz formula

gdje su uglovi formirani vektorom ubrzanja sa koordinatnim osa.

Dakle, ako je kretanje tačke dato u kartezijanskim pravokutnim koordinatama jednadžbama (3) ili (4), tada je brzina tačke određena formulama (12) i (13), a ubrzanje formulama (14) i (15). Štaviše, u slučaju kretanja u jednoj ravni, projekciju na osu treba odbaciti u svim formulama

Neka funkcija sada bude poznata. Na sl. 5.10
I
 vektori brzine pokretne tačke u momentima t i  t. Da biste dobili prirast vektora brzine
pomeriti vektor paralelno
do tačke M:

Prosečno ubrzanje tačke tokom vremenskog perioda  t naziva se omjer prirasta vektora brzine
na određeni vremenski period t:

dakle, ubrzanje tačke u datom trenutku jednako je prvom izvodu s obzirom na vrijeme vektora brzine tačke ili drugom izvodu vektora radijusa u odnosu na vrijeme

. (5.11)

Ubrzanje tačke ovo je vektorska veličina koja karakterizira brzinu promjene vektora brzine tokom vremena.

Napravimo hodograf brzine (slika 5.11). Po definiciji, hodograf brzine je kriva koja se crta na kraju vektora brzine kada se tačka kreće, ako je vektor brzine nacrtan iz iste tačke.

Određivanje brzine tačke pomoću koordinatnog metoda za određivanje njenog kretanja

Neka kretanje tačke bude određeno koordinatnom metodom u Dekartovom koordinatnom sistemu

X = x(t), y = y(t), z = z(t)

Radijus vektor tačke je jednak

.

Budući da su jedinični vektori
su konstantne, onda po definiciji

. (5.12)

Označimo projekcije vektora brzine na osu Oh, Oh I Oz kroz V x , V y , V z

(5.13)

Upoređujući jednakosti (5.12) i (5.13) dobijamo

(5.14)

U nastavku će se derivacija u odnosu na vrijeme označavati tačkom iznad, tj.

.

Modul brzine tačke određuje se formulom

. (5.15)

Smjer vektora brzine određen je kosinusima smjera:

Određivanje ubrzanja tačke pomoću koordinatnog metoda za određivanje njenog kretanja

Vektor brzine u Dekartovom koordinatnom sistemu je jednak

.

Po definiciji

Označimo projekcije vektora ubrzanja na osu Oh, Oh I Oz kroz A x , A y , A z U skladu s tim, širimo vektor brzine duž osi:

. (5.17)

Upoređujući jednakosti (5.16) i (5.17) dobijamo

Modul vektora ubrzanja tačke izračunava se slično kao i modul vektora brzine tačke:

, (5.19)

a smjer vektora ubrzanja je kosinus smjera:

Određivanje brzine i ubrzanja tačke korišćenjem prirodne metode određivanja njenog kretanja

Orty I lezi u oskulirajuća ravan, jedinični vektori I V normalan avion, jedinični vektori I - u ravnina za ispravljanje.

Dobijeni triedar se naziva prirodnim.

Neka je zadan zakon kretanja tačke s = s(t).

Radijus vektor bodova M u odnosu na bilo koju fiksnu tačku biće složena funkcija vremena
.

Iz diferencijalne geometrije poznate su formule Serre-Frenet, koje uspostavljaju veze između jediničnih vektora prirodnih osa i vektorske funkcije krive

gdje je  polumjer zakrivljenosti putanje.

Koristeći definiciju brzine i Serre-Frenet formulu, dobijamo:

. (5.20)

Označavanje projekcije brzine na tangentu a uzimajući u obzir da je vektor brzine usmjeren tangencijalno, imamo

. (5.21)

Upoređujući jednakosti (5.20) i (5.21), dobijamo formule za određivanje vektora brzine po veličini i pravcu

Magnituda pozitivna ako poenta M kreće se u pozitivnom smjeru referentnog luka s a negativan u suprotnom slučaju.

Koristeći definiciju ubrzanja i Serre-Frenet formulu, dobijamo:

Označimo projekciju ubrzanja tačke na tangenti , glavna normalna i binormalna
respektivno.

Tada je ubrzanje

Iz formula (5.23) i (5.24) slijedi da vektor ubrzanja uvijek leži u dodirnoj ravni i da se širi u smjerovima I :

(5.25)

Projekcija ubrzanja na tangentu
pozvao tangenta ili tangencijalno ubrzanje. Karakterizira promjenu brzine.

Projekcija ubrzanja na glavnu normalu
pozvao normalno ubrzanje.

Karakterizira promjenu vektora brzine u smjeru.
.

Veličina vektora ubrzanja je jednaka I Ako

Veličina vektora ubrzanja je jednaka I istog predznaka, tada će se kretanje tačke ubrzati.