Jednadžba prave koja prolazi kroz 2. Jednačina prave koja prolazi kroz dvije date tačke: primjeri, rješenja

Dom

Prava koja prolazi kroz tačku K(x 0 ; y 0) i paralelna je pravoj y = kx + a nalazi se po formuli:

y - y 0 = k(x - x 0) (1) gdje k ​​- nagib

direktno.
Alternativna formula:

Prava koja prolazi kroz tačku M 1 (x 1 ; y 1) i paralelna je sa pravom Ax+By+C=0 predstavljena je jednadžbom

A(x-x 1)+B(y-y 1)=0 . (2) ;Napišite jednačinu za pravu koja prolazi kroz tačku K( ) paralelno sa pravom y = .

js-script
Primjer br. 1. Napišite jednačinu za pravu liniju koja prolazi kroz tačku M 0 (-2,1) i istovremeno:
a) paralelno sa pravom 2x+3y -7 = 0;
b) okomito na pravu 2x+3y -7 = 0. Rješenje
. Zamislimo jednačinu sa nagibom u obliku y = kx + a. Da biste to učinili, pomaknite sve vrijednosti osim y na desnu stranu: 3y = -2x + 7 . Zatim podijelite desnu stranu sa faktorom 3. Dobijamo: y = -2/3x + 7/3
Nađimo jednačinu NK koja prolazi kroz tačku K(-2;1), paralelnu pravoj liniji y = -2 / 3 x + 7 / 3
Zamjenom x 0 = -2, k = -2 / 3, y 0 = 1 dobijamo:
y-1 = -2 / 3 (x-(-2))
ili

y = -2 / 3 x - 1 / 3 ili 3y + 2x +1 = 0
b) okomito na pravu 2x+3y -7 = 0. Primjer br. 2. Napišite jednačinu prave paralelne pravoj 2x + 5y = 0 i formirajući zajedno sa koordinatnim osama trokut čija je površina 5.
;
.
. Budući da su prave paralelne, jednadžba željene linije je 2x + 5y + C = 0. Površina pravokutnog trokuta, gdje su a i b njegove noge. Nađimo točke presjeka željene linije sa koordinatnim osama: Dakle, A(-C/2,0), B(0,-C/5). Zamijenimo ga u formulu za površinu:

. Dobijamo dva rješenja: 2x + 5y + 10 = 0 i 2x + 5y – 10 = 0.
Primjer br. 3. Napišite jednadžbu za pravu koja prolazi kroz tačku (-2; 5) i paralelna je sa pravom 5x-7y-4=0.

Rješenje. Ova prava linija se može predstaviti jednačinom y = 5 / 7 x – 4 / 7 (ovdje a = 5 / 7). Jednačina željene linije je y – 5 = 5 / 7 (x – (-2)), tj. 7(y-5)=5(x+2) ili 5x-7y+45=0 .

Primjer br. 4. Nakon što smo riješili primjer 3 (A=5, B=-7) koristeći formulu (2), nalazimo 5(x+2)-7(y-5)=0.
Primjer br. 5. Napišite jednadžbu za pravu koja prolazi kroz tačku (-2;5) i paralelna je sa pravom 7x+10=0.

Rješenje. Ovdje A=7, B=0. Formula (2) daje 7(x+2)=0, tj. x+2=0. Formula (1) nije primjenjiva, jer se ova jednačina ne može riješiti u odnosu na y (ova prava je paralelna s ordinatnom osom). Jednačina parabole je. Postoji nekoliko opcija za konstruisanje ove jednačine. Sve zavisi od toga koji su parametri predstavljeni u opisu problema.

Uputstva

Parabola je kriva koja po obliku podsjeća na luk i predstavlja graf funkcija snage. Bez obzira na karakteristike parabole, ova je parna. Takva funkcija se zove parna za sve vrijednosti argumenta iz definicije, kada se predznak argumenta promijeni, vrijednost se ne mijenja: f (-x) = f (x) Počnite s najjednostavnijom funkcijom: y; = x^2. Iz njegovog izgleda možemo zaključiti da je i pozitivan i negativan negativne vrijednosti argument x. Tačka u kojoj je x=0 i istovremeno y =0 smatra se tačkom.

Ispod su sve glavne opcije za konstruisanje ove funkcije i njene . Kao prvi primjer, u nastavku razmatramo funkciju u obliku: f(x)=x^2+a, gdje je a cijeli broj Da bi se konstruirao graf ove funkcije, potrebno je pomaknuti graf funkciju f(x) po jedinicama. Primjer je funkcija y=x^2+3, gdje je duž y-ose funkcija pomjerena za dvije jedinice. Ako je data funkcija suprotnog predznaka, na primjer y=x^2-3, tada se njen graf pomiče prema dolje duž y-ose.

Druga vrsta funkcije kojoj se može dati parabola je f(x)=(x +a)^2. U takvim slučajevima, graf se, naprotiv, pomiče duž ose apscise (x osi) za jedinice. Na primjer, možemo razmotriti funkcije: y=(x +4)^2 i y=(x-4)^2. U prvom slučaju, gdje postoji funkcija sa znakom plus, graf se pomiče duž x-ose ulijevo, au drugom slučaju - udesno. Svi ovi slučajevi su prikazani na slici.

Jednadžba prave koja prolazi kroz dvije tačke. U članku" " Obećao sam vam da ćete pogledati drugi način rješavanja predstavljenih problema nalaženja derivacije, s obzirom na graf funkcije i tangentu na ovaj graf. O ovoj metodi ćemo raspravljati u , ne propustite! Zašto u sledećoj?

Činjenica je da će se tu koristiti formula za jednadžbu ravne linije. Naravno, mogli bismo jednostavno pokazati ovu formulu i savjetovati vas da je naučite. Ali bolje je objasniti odakle dolazi (kako je izvedeno). Ovo je neophodno! Ako ga zaboravite, možete ga brzo vratitineće biti teško. Sve je detaljno opisano u nastavku. Dakle, imamo koordinatna ravan postoje dve tačke A(x 1;y 1) i B(x 2;y 2), kroz naznačene tačke povlači se prava linija:

Evo same direktne formule:

*Odnosno, prilikom zamjene određenih koordinata tačaka, dobijamo jednačinu oblika y=kx+b.

**Ako jednostavno "zapamtite" ovu formulu, postoji velika vjerovatnoća da ćete se pomiješati s indeksima kada X. Osim toga, indeksi se mogu označiti na različite načine, na primjer:

Zato je važno razumjeti značenje.

Sada izvođenje ove formule. Vrlo je jednostavno!

Trokuti ABE i ACF su slični oštri ugao(prvi znak sličnosti pravokutnih trouglova). Iz ovoga slijedi da su omjeri odgovarajućih elemenata jednaki, odnosno:

Sada jednostavno izražavamo ove segmente kroz razliku u koordinatama tačaka:

Naravno, neće biti greške ako napišete odnose elemenata drugačijim redoslijedom (glavno je održati konzistentnost):

Rezultat će biti ista jednadžba linije. Ovo je sve!

To jest, bez obzira na to kako su same tačke (i njihove koordinate) označene, razumijevanjem ove formule uvijek ćete pronaći jednadžbu prave linije.

Formula se može izvesti korištenjem svojstava vektora, ali princip izvođenja će biti isti, jer ćemo govoriti o proporcionalnosti njihovih koordinata. U ovom slučaju radi ista sličnost pravokutnih trokuta. Po mom mišljenju, gore opisani zaključak je jasniji)).

Pogledajte izlaz preko vektorskih koordinata >>>

Neka se na koordinatnoj ravni konstruiše prava linija koja prolazi kroz dve date tačke A(x 1;y 1) i B(x 2;y 2). Označimo proizvoljnu tačku C na pravoj sa koordinatama ( x; y). Takođe označavamo dva vektora:

Poznato je da su za vektore koji leže na paralelnim (ili na istoj pravoj) njihove odgovarajuće koordinate proporcionalne, odnosno:

— zapisujemo jednakost omjera odgovarajućih koordinata:

Pogledajmo primjer:

Naći jednačinu prave koja prolazi kroz dvije tačke sa koordinatama (2;5) i (7:3).

Ne morate čak ni da gradite samu pravu liniju. Primjenjujemo formulu:

Važno je da shvatite korespondenciju prilikom sastavljanja omjera. Ne možete pogriješiti ako napišete:

Odgovor: y=-2/5x+29/5 idi y=-0,4x+5,8

Da biste bili sigurni da je rezultirajuća jednadžba ispravno pronađena, obavezno provjerite - zamijenite koordinate podataka u stanju tačaka u nju. Jednačine bi trebale biti tačne.

To je sve. Nadam se da vam je materijal bio koristan.

Srdačan pozdrav, Alexander.

P.S: Bio bih vam zahvalan ako mi kažete nešto o stranici na društvenim mrežama.

Neka prava prolazi kroz tačke M 1 (x 1; y 1) i M 2 (x 2; y 2). Jednačina prave koja prolazi kroz tačku M 1 ima oblik y-y 1 = k (x - x 1), (10,6)

Gdje k - još uvijek nepoznat koeficijent.

Kako prava prolazi kroz tačku M 2 (x 2 y 2), koordinate ove tačke moraju zadovoljiti jednačinu (10.6): y 2 -y 1 = k (x 2 - x 1).

Odavde nalazimo Zamjena pronađene vrijednosti k u jednačinu (10.6), dobijamo jednačinu prave linije koja prolazi kroz tačke M 1 i M 2:

Pretpostavlja se da u ovoj jednadžbi x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Ako je x 1 = x 2, tada je prava linija koja prolazi kroz tačke M 1 (x 1,y I) i M 2 (x 2,y 2) paralelna sa ordinatnom osom. Njegova jednadžba je x = x 1 .

Ako je y 2 = y I, onda se jednačina prave može napisati kao y = y 1, prava linija M 1 M 2 je paralelna sa apscisnom osom.

Jednačina prave u segmentima

Neka prava linija siječe osu Ox u tački M 1 (a;0), a osu Oy u tački M 2 (0;b). Jednačina će poprimiti oblik:
one.
. Ova jednačina se zove jednadžba prave linije u segmentima, jer brojevi a i b označavaju koje segmente linija odsijeca na koordinatnim osama.

Jednačina prave koja prolazi kroz datu tačku okomito na dati vektor

Nađimo jednačinu prave linije koja prolazi ovu tačku Mo (x O; y o) je okomit na dati vektor koji nije nula n = (A; B).

Uzmimo proizvoljnu tačku M(x; y) na pravoj i razmotrimo vektor M 0 M (x - x 0; y - y o) (vidi sliku 1). Pošto su vektori n i M o M okomiti, njihov skalarni proizvod je jednak nuli: tj.

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

Jednačina (10.8) se zove jednadžba prave linije koja prolazi kroz datu tačku okomito na dati vektor .

Vektor n= (A; B), okomit na pravu, naziva se normalan normalni vektor ove linije .

Jednačina (10.8) se može prepisati kao Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

gdje su A i B koordinate vektora normale, C = -Ax o - Vu o je slobodni pojam. Jednadžba (10.9) Postoji opšta jednačina direktno(vidi sliku 2).

Sl.1 Sl.2

Kanonske jednadžbe prave

,

Gdje
- koordinate tačke kroz koju linija prolazi, i
- vektor smjera.

Krivulje drugog reda Krug

Krug je skup svih tačaka ravni jednako udaljenih od date tačke, koja se naziva središte.

Kanonska jednadžba kružnice poluprečnika R centriran u tački
:

Konkretno, ako se središte udjela poklapa s ishodištem koordinata, tada će jednadžba izgledati ovako:

Elipsa

Elipsa je skup tačaka na ravni, zbir udaljenosti od svake od njih do dvije date tačke I , koji se nazivaju fokusi, je konstantna veličina
, veća od udaljenosti između žarišta
.

Kanonska jednadžba elipse čija žarišta leže na osi Ox, a ishodište koordinata u sredini između žarišta ima oblik
G de a dužina velike poluose; b – dužina male poluose (sl. 2).

Neka su data dva boda M(X 1 ,U 1) i N(X 2,y 2). Nađimo jednačinu prave koja prolazi kroz ove tačke.

Pošto ova prava prolazi kroz tačku M, tada prema formuli (1.13) njena jednadžba ima oblik

U – Y 1 = K(X–x 1),

Gdje K– nepoznati ugaoni koeficijent.

Vrijednost ovog koeficijenta određuje se iz uslova da željena prava linija prolazi kroz tačku N, što znači da njegove koordinate zadovoljavaju jednačinu (1.13)

Y 2 – Y 1 = K(X 2 – X 1),

Odavde možete pronaći nagib ove linije:

,

Ili nakon konverzije

(1.14)

Formula (1.14) određuje Jednadžba prave koja prolazi kroz dvije tačke M(X 1, Y 1) i N(X 2, Y 2).

U posebnom slučaju kada tačke M(A, 0), N(0, B), A ¹ 0, B¹ 0, leže na koordinatnoj osi, jednačina (1.14) će poprimiti jednostavniji oblik

Jednadžba (1.15) pozvao Jednačina prave linije u segmentima, Evo A I B označavamo segmente odsečene pravom linijom na osovinama (slika 1.6).

Slika 1.6

Primjer 1.10. Napišite jednačinu za pravu koja prolazi kroz tačke M(1, 2) i B(3, –1).

. Prema (1.14), jednačina željene linije ima oblik

2(Y – 2) = -3(X – 1).

Prenoseći sve članove na lijevu stranu, konačno dobijamo željenu jednačinu

3X + 2Y – 7 = 0.

Primjer 1.11. Napišite jednačinu za pravu koja prolazi kroz tačku M(2, 1) i tačka preseka pravih X+ Y – 1 = 0, X – y+ 2 = 0.

. Naći ćemo koordinate tačke preseka pravih zajedničkim rešavanjem ovih jednačina

Ako saberemo ove jednačine pojam po član, dobićemo 2 X+ 1 = 0, odakle . Zamjenom pronađene vrijednosti u bilo koju jednačinu nalazimo vrijednost ordinate U:

Sada napišimo jednačinu prave koja prolazi kroz tačke (2, 1) i:

ili .

Stoga ili –5( Y – 1) = X – 2.

Konačno dobijamo jednačinu željene linije u obliku X + 5Y – 7 = 0.

Primjer 1.12. Naći jednačinu prave koja prolazi kroz tačke M(2.1) i N(2,3).

Koristeći formulu (1.14) dobijamo jednačinu

To nema smisla jer je drugi imenilac nula. Iz uslova zadatka jasno je da apscise obe tačke imaju istu vrednost. To znači da je željena ravna linija paralelna sa osom OY a njegova jednadžba je: x = 2.

Komentar . Ako se pri pisanju jednadžbe prave po formuli (1.14) pokaže da je jedan od nazivnika jednak nuli, onda se željena jednačina može dobiti izjednačavanjem odgovarajućeg brojnika sa nulom.

Razmotrimo druge načine definiranja prave na ravni.

1. Neka je vektor različit od nule okomit na datu pravu L, i tačka M 0(X 0, Y 0) leži na ovoj pravoj (slika 1.7).

Slika 1.7

Označimo M(X, Y) bilo koja tačka na pravoj L. Vektori i Ortogonalno. Koristeći uslove ortogonalnosti ovih vektora, dobijamo ili A(X – X 0) + B(Y – Y 0) = 0.

Dobili smo jednačinu prave koja prolazi kroz tačku M 0 je okomito na vektor. Ovaj vektor se zove Normalni vektor na pravu liniju L. Rezultirajuća jednačina se može prepisati kao

Oh + Wu + WITH= 0, gdje WITH = –(AX 0 + By 0), (1.16),

Gdje A I IN– koordinate vektora normale.

Dobijamo opštu jednačinu linije u parametarskom obliku.

2. Prava linija na ravni se može definirati na sljedeći način: neka je vektor različit od nule paralelan datoj pravoj liniji L i tačka M 0(X 0, Y 0) leži na ovoj pravoj. Uzmimo opet proizvoljnu tačku M(X, y) na pravoj liniji (slika 1.8).

Slika 1.8

Vektori i kolinearno.

Zapišimo uvjet kolinearnosti ovih vektora: , gdje T– proizvoljan broj koji se naziva parametar. Zapišimo ovu jednakost u koordinatama:

Ove jednačine se nazivaju Parametarske jednadžbe Direktno. Isključimo parametar iz ovih jednačina T:

Ove jednačine se inače mogu napisati u obliku

. (1.18)

Rezultirajuća jednačina se zove Kanonska jednadžba prave. Vektor se zove Vektor usmjeravanja je ravan .

Komentar . Lako je vidjeti da je if normalni vektor na pravu L, tada njegov vektor smjera može biti vektor jer , tj.

Primjer 1.13. Napišite jednačinu prave koja prolazi kroz tačku M 0(1, 1) paralelno sa linijom 3 X + 2U– 8 = 0.

b) okomito na pravu 2x+3y -7 = 0. . Vektor je vektor normale na date i željene linije. Koristimo jednačinu prave koja prolazi kroz tačku M 0 sa datim vektorom normale 3( X –1) + 2(U– 1) = 0 ili 3 X + 2u– 5 = 0. Dobili smo jednačinu željene linije.