Jednačina prave linije iz tačke i vektora pravca. Jednačina paralelne prave

Dom

Svojstva prave linije u euklidskoj geometriji.

Kroz bilo koju tačku može se povući beskonačan broj pravih linija.

Kroz bilo koje dvije tačke koje se ne poklapaju može se povući jedna prava linija.

Dvije divergentne prave u ravni ili se sijeku u jednoj tački ili su

paralelno (slijedi iz prethodnog).

• U trodimenzionalnom prostoru postoje tri opcije za relativni položaj dvije linije:

• linije se seku;

• prave su paralelne;

prave se seku. Pravo linija

— algebarska kriva prvog reda: prava linija u Dekartovom koordinatnom sistemu

je na ravni dat jednačinom prvog stepena (linearna jednačina).

Opšta jednačina prave linije. Definicija

. Bilo koja prava linija na ravni može se odrediti jednadžbom prvog reda

Ax + Wu + C = 0, i konstantan A, B nisu jednake nuli u isto vrijeme. Ova jednačina prvog reda se zove

general jednačina prave linije. i konstantan Ovisno o vrijednostima konstanti I WITH

. Mogući su sljedeći posebni slučajevi: C = 0, A ≠0, B ≠ 0

. - prava linija prolazi kroz ishodište A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0) - prava paralelna sa osom

. Oh B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0) - prava paralelna sa osom

. Oh B = C = 0, A ≠0 - prava paralelna sa osom

. - prava linija se poklapa sa osom B = C = 0, A ≠0 - prava paralelna sa osom

A = C = 0, B ≠0 Jednačina prave linije može se predstaviti u u raznim oblicima

zavisno od bilo koje date

početni uslovi.

Opšta jednačina prave linije. Jednačina prave linije iz tačke i vektora normale.

. U kartezijanskom pravougaonom koordinatnom sistemu, vektor sa komponentama (A, B)

okomito na pravu datu jednacinom

Ax + Wu + C = 0. Primjer . Naći jednačinu prave koja prolazi kroz tačku A(1, 2) (3, -1).

okomito na vektor Rješenje

. Sa A = 3 i B = -1, sastavimo jednačinu prave linije: 3x - y + C = 0. Da pronađemo koeficijent C

Zamenimo koordinate date tačke A u rezultujući izraz. Dobijamo: 3 - 2 + C = 0, dakle

C = -1. Ukupno: tražena jednačina: 3x - y - 1 = 0.

Jednadžba prave koja prolazi kroz dvije tačke. Neka su u prostoru date dvije tačke M 1 (x 1 , y 1 , z 1) I M2 (x 2, y 2, z 2), Onda,

jednačina prave

prolazeći kroz ove tačke:

Ako je bilo koji od nazivnika nula, odgovarajući brojnik treba postaviti jednak nuli. On

ravni, jednadžba ravne linije koja je gore napisana je pojednostavljena: Ako Ovisno o vrijednostima konstanti x 1 ≠ x 2 x = x 1 , Ako .

x 1 = x 2 Razlomak= k pozvao nagib.

Ax + Wu + C = 0.. Naći jednačinu prave koja prolazi kroz tačke A(1, 2) i B(3, 4).

okomito na vektor. Primjenom gore napisane formule dobijamo:

Jednadžba prave linije koristeći tačku i nagib.

Ako je opšta jednačina prave Ax + Wu + C = 0 dovesti do:

i odrediti , tada se rezultirajuća jednačina zove

jednačina prave linije sa nagibom k.

Jednačina prave linije iz tačke i vektora pravca.

Po analogiji sa tačkom koja razmatra jednadžbu prave linije kroz vektor normale, možete ući u zadatak

prava linija kroz tačku i usmjeravajući vektor prave linije.

Opšta jednačina prave linije.. Svaki vektor različit od nule (α 1 , α 2), čije komponente zadovoljavaju uslov

Aα 1 + Bα 2 = 0= k usmjeravajući vektor prave linije.

okomito na pravu datu jednacinom

Ax + Wu + C = 0.. Naći jednačinu prave sa vektorom pravca (1, -1) i koja prolazi kroz tačku A(1, 2).

okomito na vektor. Tražićemo jednadžbu željene linije u obliku: Ax + By + C = 0. prema definiciji,

koeficijenti moraju zadovoljiti sljedeće uslove:

1 * A + (-1) * B = 0, tj. A = B.

Tada jednačina prave linije ima oblik: Ax + Ay + C = 0, ili x + y + C / A = 0.

at x = 1, y = 2 dobijamo C/A = -3, tj. tražena jednačina:

x + y - 3 = 0

Jednačina prave linije u segmentima.

Ako je u opštoj jednačini prave Ah + Vu + S = 0 S≠0, onda, dijeljenjem sa -S, dobijamo:

ili gde

Geometrijsko značenje koeficijenti je da je koeficijent a koordinata tačke preseka

ravno sa osom Oh, A b- koordinata tačke preseka linije sa osom Oh.

Ax + Wu + C = 0.. Daje se opšta jednačina prave linije x - y + 1 = 0. Naći jednačinu ove prave u segmentima.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Normalna jednadžba prave.

Ako obje strane jednačine Ax + Wu + C = 0 podijeliti brojem koji se zove

normalizujući faktor, onda dobijamo

xcosφ + ysinφ - p = 0 -normalna jednačina prave.

Predznak ± faktora normalizacije mora biti odabran tako da μ*C< 0.

r- dužina okomice spuštena od početka do prave linije,

A φ - ugao koji formira ova okomita sa pozitivnim smjerom ose Oh.

Ax + Wu + C = 0.. Daje se opšta jednačina prave 12x - 5y - 65 = 0. Obavezno napisati razne vrste jednačine

ovu pravu liniju.

Jednačina ove prave u segmentima:

Jednačina ove prave sa nagibom: (podijeliti sa 5)

Jednačina prave:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

Treba napomenuti da se ne može svaka prava linija predstaviti jednadžbom u segmentima, na primjer, prave,

paralelno sa osama ili prolazeći kroz ishodište.

Ugao između pravih linija na ravni.

Opšta jednačina prave linije.. Ako su data dva reda y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2, To akutni ugao između ovih redova

će se definisati kao

Dvije prave su paralelne ako k 1 = k 2. Dvije prave su okomite

ravni, jednadžba ravne linije koja je gore napisana je pojednostavljena: k 1 = -1/ k 2 .

Teorema.

Direktno Ax + Wu + C = 0 M 1 (x 1 , y 1 , z 1) A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 paralelno kada su koeficijenti proporcionalni

A 1 = λA, B 1 = λB. Ako takođe S 1 = λS, tada se linije poklapaju. Koordinate tačke preseka dve prave

nalaze se kao rješenje sistema jednačina ovih linija.

Jednačina prave koja prolazi ovu tačku okomito na ovu pravu.

Opšta jednačina prave linije.. Prava koja prolazi kroz tačku M 1 (x 1, y 1) i okomito na pravu y = kx + b

predstavljena jednačinom:

Udaljenost od tačke do prave.

Teorema. Ako je dat poen M(x 0, y 0), zatim udaljenost do prave linije Ax + Wu + C = 0 definirano kao:

Dokaz. Pusti poentu M 1 (x 1, y 1)- osnova okomice ispuštena iz tačke M za dato

direktno. Zatim udaljenost između tačaka M M 1 (x 1 , y 1 , z 1) M 1:

(1)

Koordinate x 1 Ovisno o vrijednostima konstanti u 1 može se naći kao rješenje sistema jednačina:

Druga jednačina sistema je jednačina linije koja prolazi dati poen M 0 okomito

data prava linija. Ako transformišemo prvu jednačinu sistema u oblik:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

tada, rješavanjem, dobijamo:

Zamjenom ovih izraza u jednačinu (1) nalazimo:

Teorema je dokazana.

Prava koja prolazi kroz tačku K(x 0 ; y 0) i paralelna je pravoj y = kx + a nalazi se po formuli:

y - y 0 = k(x - x 0) (1)

Gdje je k nagib prave.

Alternativna formula:
Prava koja prolazi kroz tačku M 1 (x 1 ; y 1) i paralelna je sa pravom Ax+By+C=0 predstavljena je jednadžbom

A(x-x 1)+B(y-y 1)=0 . (2)

Napišite jednačinu za pravu koja prolazi kroz tačku K( ;) paralelno sa pravom y = x+ .

Primjer br. 1. Napišite jednačinu za pravu liniju koja prolazi kroz tačku M 0 (-2,1) i istovremeno:
a) paralelno sa pravom 2x+3y -7 = 0;
b) okomito na pravu 2x+3y -7 = 0.
okomito na vektor . Hajde da predstavimo jednačinu sa nagibom u obliku y = kx + a. Da biste to učinili, pomaknite sve vrijednosti osim y na desnu stranu: 3y = -2x + 7 . Zatim podijelite desnu stranu sa faktorom 3. Dobijamo: y = -2/3x + 7/3
Nađimo jednačinu NK koja prolazi kroz tačku K(-2;1), paralelnu pravoj liniji y = -2 / 3 x + 7 / 3
Zamjenom x 0 = -2, k = -2 / 3, y 0 = 1 dobijamo:
y-1 = -2 / 3 (x-(-2))
ili
y = -2 / 3 x - 1 / 3 ili 3y + 2x +1 = 0

Primjer br. 2. Napišite jednačinu prave paralelne pravoj 2x + 5y = 0 i formirajući zajedno sa koordinatnim osama trokut čija je površina 5.
okomito na vektor . Pošto su prave paralelne, jednadžba željene linije je 2x + 5y + C = 0. Površina pravokutnog trokuta, gdje su a i b njegove noge. Nađimo točke presjeka željene linije sa koordinatnim osa:
;
.
Dakle, A(-C/2,0), B(0,-C/5). Zamijenimo ga u formulu za površinu: . Dobijamo dva rješenja: 2x + 5y + 10 = 0 i 2x + 5y – 10 = 0.

Primjer br. 3. Napišite jednadžbu za pravu koja prolazi kroz tačku (-2; 5) i paralelna je sa pravom 5x-7y-4=0.
Rješenje. Ova prava linija se može predstaviti jednačinom y = 5 / 7 x – 4 / 7 (ovdje a = 5 / 7). Jednačina željene linije je y – 5 = 5 / 7 (x – (-2)), tj. 7(y-5)=5(x+2) ili 5x-7y+45=0 .

Primjer br. 4. Nakon što smo riješili primjer 3 (A=5, B=-7) koristeći formulu (2), nalazimo 5(x+2)-7(y-5)=0.

Primjer br. 5. Napišite jednačinu za pravu koja prolazi kroz tačku (-2;5) i paralelna je sa pravom 7x+10=0.
Rješenje. Ovdje A=7, B=0. Formula (2) daje 7(x+2)=0, tj. x+2=0. Formula (1) nije primjenjiva, jer se ova jednačina ne može riješiti u odnosu na y (ova prava je paralelna sa ordinatnom osom).

Neka su data dva boda M(X 1 ,U 1) i N(X 2,y 2). Nađimo jednačinu prave koja prolazi kroz ove tačke.

Pošto ova prava prolazi kroz tačku M, tada prema formuli (1.13) njena jednadžba ima oblik

U – Y 1 = K(X–x 1),

Gdje K– nepoznati ugaoni koeficijent.

Vrijednost ovog koeficijenta određuje se iz uslova da željena prava linija prolazi kroz tačku N, što znači da njegove koordinate zadovoljavaju jednačinu (1.13)

Y 2 – Y 1 = K(X 2 – X 1),

Odavde možete pronaći nagib ove linije:

,

Ili nakon konverzije

(1.14)

Formula (1.14) određuje Jednadžba prave koja prolazi kroz dvije tačke M(X 1, Y 1) i N(X 2, Y 2).

U posebnom slučaju kada tačke M(A, 0), N(0, B), A ¹ 0, B¹ 0, leže na koordinatnoj osi, jednačina (1.14) će poprimiti jednostavniji oblik

Jednadžba (1.15)= k Jednačina prave linije u segmentima, Evo A Ovisno o vrijednostima konstanti B označavamo segmente odsečene pravom linijom na osovinama (slika 1.6).

Slika 1.6

Primjer 1.10. Napišite jednačinu za pravu koja prolazi kroz tačke M(1, 2) i B(3, –1).

. Prema (1.14), jednačina željene linije ima oblik

2(Y – 2) = -3(X – 1).

Prenoseći sve članove na lijevu stranu, konačno dobijamo željenu jednačinu

3X + 2Y – 7 = 0.

Primjer 1.11. Napišite jednačinu za pravu koja prolazi kroz tačku M(2, 1) i tačka preseka pravih X+ Y – 1 = 0, X – y+ 2 = 0.

. Naći ćemo koordinate tačke preseka pravih zajedničkim rešavanjem ovih jednačina

Ako saberemo ove jednačine pojam po član, dobićemo 2 X+ 1 = 0, odakle . Zamjenom pronađene vrijednosti u bilo koju jednačinu nalazimo vrijednost ordinate U:

Sada napišimo jednačinu prave koja prolazi kroz tačke (2, 1) i:

ili .

Stoga ili –5( Y – 1) = X – 2.

Konačno dobijamo jednačinu željene linije u obliku X + 5Y – 7 = 0.

Primjer 1.12. Naći jednačinu prave koja prolazi kroz tačke M(2.1) i N(2,3).

Koristeći formulu (1.14) dobijamo jednačinu

To nema smisla jer je drugi imenilac nula. Iz uslova zadatka jasno je da apscise obe tačke imaju istu vrednost. To znači da je željena ravna linija paralelna sa osom OY a njegova jednadžba je: x = 2.

Komentar . Ako se pri pisanju jednadžbe prave po formuli (1.14) pokaže da je jedan od nazivnika jednak nuli, onda se željena jednačina može dobiti izjednačavanjem odgovarajućeg brojnika sa nulom.

Razmotrimo druge načine definiranja prave na ravni.

1. Neka je vektor različit od nule okomit na datu pravu L, i tačka M 0(X 0, Y 0) leži na ovoj pravoj (slika 1.7).

Slika 1.7

Označimo M(X, Y) bilo koja tačka na pravoj L. Vektori i Ortogonalno. Koristeći uslove ortogonalnosti ovih vektora, dobijamo ili A(X – X 0) + B(Y – Y 0) = 0.

Dobili smo jednačinu prave koja prolazi kroz tačku M 0 je okomito na vektor. Ovaj vektor se zove Normalni vektor na pravu liniju L. Rezultirajuća jednačina se može prepisati kao

Oh + Wu + I= 0, gdje I = –(AX 0 + By 0), (1.16),

Gdje A Ovisno o vrijednostima konstanti IN– koordinate vektora normale.

Dobijamo opštu jednačinu linije u parametarskom obliku.

2. Prava linija na ravni može se definirati na sljedeći način: neka je vektor različit od nule paralelan datoj pravoj liniji L i tačka M 0(X 0, Y 0) leži na ovoj pravoj. Uzmimo opet proizvoljnu tačku M(X, y) na pravoj liniji (slika 1.8).

Slika 1.8

Vektori i kolinearno.

Zapišimo uvjet kolinearnosti ovih vektora: , gdje T– proizvoljan broj koji se naziva parametar. Zapišimo ovu jednakost u koordinatama:

Ove jednačine se nazivaju Parametarske jednadžbe Direktno. Isključimo parametar iz ovih jednačina T:

Ove jednačine se inače mogu napisati u obliku

. (1.18)

Rezultirajuća jednačina se zove Kanonska jednadžba linije. Vektor se zove Vektor smjera je ravan .

Komentar . Lako je vidjeti da je if normalni vektor na pravu L, tada njegov vektor smjera može biti vektor jer , tj.

Primjer 1.13. Napišite jednačinu prave koja prolazi kroz tačku M 0(1, 1) paralelno sa linijom 3 X + 2U– 8 = 0.

okomito na vektor . Vektor je vektor normale na date i željene linije. Koristimo jednačinu prave linije koja prolazi kroz tačku M 0 sa datim vektorom normale 3( X –1) + 2(U– 1) = 0 ili 3 X + 2u– 5 = 0. Dobili smo jednačinu željene linije.

Jednačina prave koja prolazi kroz t.u A(ha; wa) i ima nagib k, napisano u formi

y – ua=k (x – xa).(5)

Jednadžba prave koja prolazi kroz dvije tačke T. A (x 1; y 1) itd. B (x 2; y 2), ima oblik

Ako bodova A M 1 (x 1 , y 1 , z 1) IN definisati pravu liniju paralelno sa osom Ox (y 1 = y 2) ili Oy os (x 1 = x 2), tada se jednadžba takve prave u skladu s tim zapisuje u obliku:

y = y 1 ili x 1 ≠ x 2(7)

Normalna jednadžba prave

Neka je data prava linija C koja prolazi kroz datu tačku Mo(Ho;Vo) i okomita na vektor (A;B). Svaki vektor okomit na datu pravu naziva se njegovim normalni vektor. Odaberimo proizvoljnu tačku na pravoj liniji (x;y). Zatim, što znači njihovo tačkasti proizvod. Ova jednakost se može napisati u koordinatama

A(x-x o)+B(y-y o)=0 (8)

Jednačina (8) se zove normalna jednačina prave .

Parametarske i kanonske jednadžbe prave

Neka bude pravo l dato početnom tačkom M 0 (x 0; y 0) i vektor smjera ( a 1; a 2),. Neka t. M(x;y)– bilo koja tačka koja leži na pravoj liniji l. Tada je vektor kolinearan vektoru. Prema tome, = . Zapisujući ovu jednačinu u koordinatama, dobijamo parametarsku jednačinu prave

Isključimo parametar t iz jednačine (9). To je moguće jer je vektor , i stoga je barem jedna od njegovih koordinata različita od nule.

Neka i , Tada , i, prema tome,

Jednačina (10) se zove kanonska jednadžba linije sa vodećim vektorom

=(a 1; a 2). Ako i 1 =0 i , tada jednačine (9) poprimaju oblik

Ove jednadžbe određuju pravu liniju paralelnu osi, - prava paralelna sa osom i prolazak kroz tačku

M 0 (x 0; y 0).

x=x 0(11)

Ako , , tada jednadžbe (9) poprimaju oblik

Ove jednačine određuju ravnu liniju paralelnu sa O osom X i prolazak kroz tačku

M 0 (x 0; y 0). Kanonska jednadžba takve prave ima oblik

y=y 0(12)

Ugao između pravih linija. Uslov paralelnosti i okomitosti dva

Direktno

Neka su date dvije linije, definirane općim jednačinama:

M 1 (x 1 , y 1 , z 1)

Zatim ugao φ između njih je određena formulom:

(13)

Paralelni uslov 2 direktna: (14)

Uslov okomitosti 2 direktna: (15)

Paralelni uslov u ovom slučaju ima oblik: (17)

Uslov okomitosti ravno: (18)

Ako su dvije linije date kanonskim jednadžbama:

Ovisno o vrijednostima konstanti

tada je ugao φ između ovih linija određen formulom:

(19)

Paralelni uslov ravno: (20)

Uslov okomitosti direktno: (21)

Udaljenost od tačke do linije

Udaljenost d od tačke M(x 1; y 1) na pravu liniju Ax+By+C=0 izračunato po formuli

(22)

Primjer implementacije praktičan rad

Primjer 1. Konstruišite liniju 3 X- 2at+6=0.

Rješenje: Za konstruiranje prave linije dovoljno je poznavati bilo koje dvije njene točke, na primjer, tačke njenog preseka sa koordinatnim osa. Tačka A presjeka prave sa Ox osom može se dobiti ako u jednačini prave linije uzmemo y = 0. Tada imamo 3 X+6=0, tj. X=-2. dakle, A(–2;0).

Onda IN presek prave sa osom - prava paralelna sa osom ima apscisu X=0; dakle, ordinata tačke IN pronađeno iz jednačine –2 y+ 6=0, tj. y=3. dakle, IN(0;3).

Primjer 2. Napišite jednadžbu za pravu liniju koja seče na negativnoj poluravni - prava paralelna sa osom segment jednak 2 jedinice i formira se sa osom - prava paralelna sa osom ugao φ =30˚.

Rješenje: Prava linija seče osu - prava paralelna sa osom u tački IN(0;–2) i ima nagib k=tg φ= = . Uz pretpostavku u jednadžbi (2) k= i b= –2, dobijamo traženu jednačinu

Or .

Primjer 3. A(–1; 2) i

IN(0;–3). (g svedočenje: nagib prave linije se nalazi po formuli (3))

Rješenje: .Odavde imamo . Zamjena koordinata u ovu jednačinu t.V, dobijamo: , tj. početna ordinata b= –3. Tada dobijamo jednačinu.

Primjer 4. Opšta jednačina linije 2 X – 3at– 6 = 0 dovodi do jednačine u segmentima.

Rješenje: napišite ovu jednačinu u obliku 2 X– 3at=6 i podijelimo obje strane slobodnim članom: . Ovo je jednadžba ove linije u segmentima.

Primjer 5. Kroz tačku A(1;2) nacrtati pravu liniju koja odsijeca jednake segmente na pozitivnim poluosama koordinata.

Rješenje: Neka jednačina željene linije ima oblik Po uvjetu A=b. Stoga, jednačina poprima oblik X+ at= A. Kako tačka A (1; 2) pripada ovoj pravoj, onda njene koordinate zadovoljavaju jednačinu X + at= A; one. 1 + 2 = A, gdje A= 3. Dakle, tražena jednačina je zapisana na sljedeći način: x + y = 3, ili x + y – 3 = 0.

Primjer 6. Za ravno napišite jednačinu u segmentima. Izračunajte površinu trokuta formiranog od ove linije i koordinatnih osa.

Rješenje: transformirajmo ovu jednačinu na sljedeći način: , ili .

Kao rezultat, dobijamo jednačinu , što je jednačina ove prave u segmentima. Trokut formiran datom linijom i koordinatnim osa je pravougaonog trougla sa katetama jednakim 4 i 3, pa je njegova površina S= (kv. jedinice)

Primjer 7. Napišite jednačinu za pravu liniju koja prolazi kroz tačku (–2; 5) i generatricu sa osom - prava paralelna sa osom ugao 45º.

Rješenje: Ugaoni koeficijent željene prave linije k= tan 45º = 1. Dakle, koristeći jednačinu (5), dobijamo y – 5 = x– (–2), ili x – y + 7 = 0.

Primjer 8. Napišite jednačinu za pravu koja prolazi kroz tačke A(–3; 5) i IN( 7; –2).

Rješenje: Koristimo jednačinu (6):

, ili , odakle je 7 X + 10at – 29 = 0.

Primjer 9. Proverite da li tačke leže A(5; 2), IN(3; 1) i I(–1; –1) na jednoj pravoj liniji.

Rješenje: Napravimo jednačinu prave linije koja prolazi kroz tačke A Ovisno o vrijednostima konstanti I:

, ili

Zamjena koordinata tačke u ovu jednačinu IN (xB= 3 i y B = 1), dobijamo (3–5) / (–6) = = (1–2) / (–3), tj. dobijamo tačnu jednakost. Dakle, koordinate tačke IN zadovoljiti jednačinu prave ( AC), tj. .

Primjer 10: Napišite jednačinu za pravu liniju koja prolazi kroz tačku A(2;-3).

Okomito =(-1;5)

Rješenje: Pomoću formule (8) nalazimo jednačinu ove prave -1(x-2)+5(y+3)=0,

ili konačno, x – 5 y - 17=0.

Primjer 11: Poeni se daju M 1(2;-1) i M 2(4; 5). Napišite jednačinu prave koja prolazi kroz tačku M 1 okomito na vektor Rješenje: Vektor normale željene prave ima koordinate (2;6), stoga, korištenjem formule (8) dobijamo jednačinu 2(x-2)+6(y+1)=0 ili x+3y +1=0.

Primjer 12: Ovisno o vrijednostima konstanti .

Rješenje: ; .

Primjer 13:

Rješenje: a) ;

Primjer 14: Izračunajte ugao između linija

Rješenje:

Primjer 15: Saznaj relativnu poziciju direktno:

Rješenje:

Primjer 16: pronaći ugao između linija i .

Rješenje: .

Primjer 17: saznati relativne položaje linija:

Rješenje: a ) - prave su paralelne;

b) - to znači da su linije okomite.

Primjer 18: Izračunajte udaljenost od tačke M(6; 8) do prave linije

Rješenje: koristeći formulu (22) dobijamo: .

Zadaci za praktična lekcija:

Opcija 1

1. Opću jednačinu prave 2x+3y-6=0 svesti na jednadžbu u segmentima i izračunati površinu trokuta odsječenog ovom pravom iz odgovarajućeg koordinatnog ugla;

2. U ∆ABC, vrhovi imaju koordinate tačke A (-3;4), tačke B (-4;-3), tačke C (8;1). Napravite jednadžbe za stranu (AB), visinu (VK) i medijanu (CM);

3. Izračunati nagib prave koja prolazi kroz tačku M 0 (-2;4) i paralelna je sa vektorom (6;-1);

4. Izračunajte ugao između linija

4. Izračunajte ugao između linija:

a) 2x - 3y + 7 = 0 i 3x - y + 5 = 0; b) i y = 2x – 4;

5. Odrediti relativni položaj 2 prave i ;

, ako su poznate koordinate krajeva segmenta t.A(18;8) i t.B(-2;-6).

Opcija 3

1. Opću jednačinu prave 4x-5y+20=0 svesti na jednadžbu u segmentima i izračunati površinu trokuta odsječenog ovom pravom iz odgovarajućeg koordinatnog ugla;

2. U ∆ABC vrhovi imaju koordinate tačke A (3;-2), tačke B (7;3), tačke

C (0;8). Napravite jednadžbe za stranu (AB), visinu (VK) i medijanu (CM);

3. Izračunati nagib prave koja prolazi kroz tačku M 0 (-1;-2) i

paralelno sa vektorom (3;-5);

4. Izračunajte ugao između linija

a) 3x + y - 7 = 0 i x - y + 4 = 0; b) i ;

5. Odrediti relativni položaj 2 prave i y = 5x + 3;

6. Izračunajte udaljenost od sredine segmenta AB do prave , ako su poznate koordinate krajeva segmenta t.A(4;-3) i t.B(-6;5).

Opcija 4

1. Opću jednačinu prave 12x-5y+60=0 svesti na jednačinu u segmentima i izračunati dužinu segmenta koji je odsječen od ove prave odgovarajućim koordinatnim uglom;

2. U ∆ABC, vrhovi imaju koordinate tačke A (0;-2), tačke B (3;6), tačke C (1;-4). Napravite jednadžbe za stranu (AB), visinu (VK) i medijanu (CM);

3. Izračunati nagib prave koja prolazi kroz tačku M 0 (4;4) i paralelna je sa vektorom (-2;7);

4.Izračunajte ugao između linija

a) x +4 y + 8 = 0 i 7x - 3y + 5 = 0; b) i ;

5. Odrediti relativni položaj 2 prave i ;

6. Izračunajte udaljenost od sredine segmenta AB do prave , ako su poznate koordinate krajeva segmenta t.A(-4; 8) i t.B(0; 4).

Sigurnosna pitanja

1. Imenuj jednačine prave na ravni kada su poznati tačka kroz koju ona prolazi i njen vektor pravca;

2. Kako to izgleda normalno? opšta jednačina prava linija na ravni;

3. Imenujte jednačinu prave koja prolazi kroz dvije tačke, jednačinu prave u segmentima, jednačinu prave sa ugaonim koeficijentom;

4. Navedite formule za izračunavanje ugla između pravih, date jednačine sa ugaonim koeficijentom. Formulisati uslove za paralelnost i okomitost dve prave.

5. Kako pronaći udaljenost od tačke do prave?

Jednačina prave koja prolazi kroz datu tačku u datom pravcu. Jednačina prave koja prolazi kroz dvije date tačke. Ugao između dvije prave linije. Uslov paralelnosti i okomitosti dvije prave. Određivanje tačke preseka dve prave

1. Jednačina prave koja prolazi kroz datu tačku A(x 1 , y 1) u datom pravcu, određenom nagibom k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

Ova jednačina definira olovku linija koje prolaze kroz tačku A(x 1 , y 1), koji se naziva centar snopa.

2. Jednačina prave koja prolazi kroz dvije tačke: A(x 1 , y 1) i B(x 2 , y 2), napisano ovako:

Ugaoni koeficijent prave linije koja prolazi kroz dvije date tačke određuje se formulom

3. Ugao između pravih linija A Ovisno o vrijednostima konstanti B je ugao za koji se prva prava linija mora rotirati A oko tačke preseka ovih linija u smeru suprotnom od kazaljke na satu dok se ne poklopi sa drugom linijom B. Ako su dvije prave date jednadžbama s nagibom

y = k 1 x + B 1 ,