Teorema o zbiru oštrih uglova. Teorema o zbroju ugla trougla

Dom

Činjenica da je "zbir uglova bilo kojeg trougla u euklidskoj geometriji 180 stepeni" jednostavno se može zapamtiti. Ako pamćenje nije lako, možete provesti nekoliko eksperimenata za bolje pamćenje.

Eksperiment jedan

• Nacrtajte nekoliko proizvoljnih trokuta na komad papira, na primjer:
• sa proizvoljnim stranama;
• jednakokraki trokut;

pravougaonog trougla.

Obavezno koristite ravnalo. Sada morate izrezati rezultirajuće trokute, radeći to točno duž nacrtanih linija. Obojite uglove svakog trougla olovkom u boji ili markerom. Na primjer, u prvom trokutu će svi uglovi biti crveni, u drugom - plavi, au trećem - zeleni. http://bit.ly/2gY4Yfz

Od prvog trokuta odrežite sva 3 ugla i spojite ih u jednoj tački sa njihovim vrhovima, tako da su najbliže strane svakog ugla spojene. Kao što vidite, tri ugla trokuta formirala su prošireni ugao, koji je jednak 180 stepeni. Uradite isto sa druga dva trougla - rezultat će biti isti. http://bit.ly/2zurCrd

Eksperiment dva

Nacrtajte proizvoljan trougao ABC. Odaberemo bilo koji vrh (na primjer, C) i kroz njega povučemo pravu liniju DE, paralelnu sa suprotnom stranom (AB). http://bit.ly/2zbYNzq

1. Dobijamo sljedeće:
2. Uglovi BAC i ACD jednaki su unutrašnjim uglovima okomitim na AC;
3. Uglovi ABC i BCE jednaki su unutrašnjim uglovima okomitim na BC;

Vidimo da su uglovi 1, 2 i 3 uglovi trougla, spojeni u jednoj tački da formiraju razvijeni ugao DCE, koji je jednak 180 stepeni.

Teorema o sumi uglova trougla kaže da je zbir svih unutrašnjih uglova bilo kojeg trougla 180°.

Neka su unutrašnji uglovi trokuta a, b i c, tada:

a + b + c = 180°.

Iz ove teorije možemo zaključiti da je zbir svih vanjskih uglova bilo kojeg trougla jednak 360°. Pošto je spoljašnji ugao susedan unutrašnjem, njihov zbir je 180°. Neka su unutrašnji uglovi trougla a, b i c, tada su spoljašnji uglovi kod ovih uglova 180° - a, 180° - b i 180° - c.

Nađimo zbir vanjskih uglova trougla:

180° - a + 180° - b + 180° - c = 540° - (a + b + c) = 540° - 180° = 360°.

Odgovor: zbir unutrašnjih uglova trougla je 180°; zbir vanjskih uglova trougla je 360°. >>Geometrija: Zbir uglova trougla.

Kompletne lekcije TEMA LEKCIJE:

Ciljevi lekcije:

• Učvršćivanje i provera znanja učenika na temu: „Zbir uglova trougla“;
• Dokaz svojstava uglova trougla;
• Primena ovog svojstva u rešavanju jednostavnih problema;
• Korišćenje istorijskog materijala za razvoj kognitivne aktivnosti učenika;
• Usađivanje vještine tačnosti pri izradi crteža.

Ciljevi lekcije:

• Testirajte učenikove vještine rješavanja problema.

Plan lekcije:

1. trokut;
2. Teorema o zbiru uglova trougla;
3. Primjeri zadataka.

Trougao.

Datoteka:O.gif Trougao- najjednostavniji poligon koji ima 3 vrha (ugla) i 3 stranice; dio ravnine omeđen sa tri tačke i tri segmenta koji povezuju ove tačke u parovima.
Tri tačke u prostoru koje ne leže na istoj pravoj liniji odgovaraju jednoj i samo jednoj ravni.
Bilo koji poligon se može podijeliti na trouglove - ovaj proces se zove triangulacija.
Postoji dio matematike koji je u potpunosti posvećen proučavanju zakona trouglova - Trigonometrija.

Teorema o zbiru uglova trougla.

File:T.gif Teorema o zbiru uglova trougla je klasična teorema euklidske geometrije koja kaže da je zbir uglova trougla 180°.

dokaz" :

Neka je dat Δ ABC. Povučemo pravu paralelnu sa (AC) kroz vrh B i označimo na njoj tačku D tako da tačke A i D leže na suprotnim stranama prave BC. Tada su ugao (DBC) i ugao (ACB) jednaki kao unutrašnji poprečno ležeći sa paralelnim pravima BD i AC i sekantom (BC). Tada je zbir uglova trougla na vrhovima B i C jednak uglu (ABD). Ali ugao (ABD) i ugao (BAC) pri vrhu A trougla ABC su unutrašnji jednostrani sa paralelnim pravima BD i AC i sekantom (AB), a njihov zbir je 180°. Dakle, zbir uglova trougla je 180°. Teorema je dokazana.

Posljedice.

Vanjski ugao trougla jednak je zbiru dvaju uglova trougla koji mu nisu susjedni.

dokaz:

Neka je dat Δ ABC. Tačka D leži na pravoj AC tako da A leži između C i D. Tada je BAD van ugla trougla u vrhu A i A + BAD = 180°. Ali A + B + C = 180°, i prema tome B + C = 180° – A. Otuda je BAD = B + C. Posljedica je dokazana.

Posljedice.

Vanjski ugao trougla veći je od bilo kojeg ugla trougla koji nije susjedan njemu.

Zadatak.

Vanjski ugao trougla je ugao koji graniči sa bilo kojim uglom trougla. Dokazati da je vanjski ugao trougla jednak zbiru dvaju uglova trougla koji mu nisu susjedni.
(Sl.1)

Rješenje:

Neka je u Δ ABC ∠DAS eksterno (slika 1). Tada je ∠DAC = 180°-∠BAC (po svojstvu susjednih uglova), prema teoremi o zbiru uglova trougla ∠B+∠C = 180°-∠BAC. Iz ovih jednakosti dobijamo ∠DAS=∠V+∠S

Zanimljiva činjenica:

Zbir uglova trougla" :

U geometriji Lobačevskog, zbir uglova trougla je uvek manji od 180. U Euklidovoj geometriji uvek je jednak 180. U Riemannovoj geometriji, zbir uglova trougla je uvek veći od 180.

Iz istorije matematike:

Euklid (3. stoljeće prije Krista) u svom djelu “Elementi” daje sljedeću definiciju: “Paralelne prave su prave koje se nalaze u istoj ravni i, budući da su produžene u oba smjera, ne susreću se ni na jednoj strani.”
Posidonije (1. vek pre nove ere) „Dve prave koje leže u istoj ravni, podjednako udaljene jedna od druge”
Drevni grčki naučnik Papus (III vek pne) uveo je simbol paralele pravi znak=. Kasnije je engleski ekonomista Ricardo (1720-1823) koristio ovaj simbol kao znak jednakosti.
Tek u 18. veku počeli su da koriste simbol za paralelne linije - znak ||.
Živa veza među generacijama se ne prekida ni na trenutak, svaki dan učimo iskustvo koje su naši preci nagomilali. Stari Grci su, na osnovu zapažanja i praktičnog iskustva, izvlačili zaključke, iznosili hipoteze, a zatim su na sastancima naučnika - simpozijumima (doslovno "gozba") - pokušavali da potkrijepe i dokažu ove hipoteze. Tada se pojavila izjava: “Istina se rađa u sporu.”

pitanja:

1. Šta je trougao?
2. Šta kaže teorema o zbiru uglova trougla?
3. Koliki je vanjski ugao trougla?

Preliminarne informacije

Prvo, pogledajmo direktno koncept trougla.

Definicija 1

Nazvaćemo ga trougao geometrijska figura, koji se sastoji od tri tačke povezane segmentima (slika 1).

Definicija 2

U okviru definicije 1, tačke ćemo nazvati vrhovima trougla.

Definicija 3

U okviru definicije 1, segmenti će se zvati stranicama trougla.

Očigledno, svaki trougao će imati 3 vrha, kao i tri stranice.

Teorema o zbiru uglova u trouglu

Hajde da uvedemo i dokažemo jednu od glavnih teorema vezanih za trouglove, odnosno teoremu o zbiru uglova u trokutu.

Teorema 1

Zbir uglova u bilo kom proizvoljnom trouglu je $180^\circ$.

Dokaz.

Razmotrimo trougao $EGF$. Dokažimo da je zbir uglova u ovom trouglu jednak $180^\circ$. Napravimo dodatnu konstrukciju: nacrtaj pravu liniju $XY||EG$ (slika 2)

Pošto su prave $XY$ i $EG$ paralelne, onda $∠E=∠XFE$ leže poprečno na sekanti $FE$, a $∠G=∠YFG$ poprečno na sekanti $FG$

Ugao $XFY$ će biti obrnut i stoga je jednak $180^\circ$.

$∠XFY=∠XFE+∠F+∠YFG=180^\circ$

Dakle

$∠E+∠F+∠G=180^\circ$

Teorema je dokazana.

Teorema vanjskog ugla trokuta

Druga teorema o zbiru uglova za trokut može se smatrati teoremom o vanjskom kutu. Prvo, hajde da predstavimo ovaj koncept.

Definicija 4

Spoljnim uglom trougla nazvaćemo ugao koji je susedan bilo kom uglu trougla (slika 3).

Razmotrimo sada teoremu direktno.

Teorema 2

Vanjski ugao trougla jednak je zbiru dvaju uglova trougla koji mu nisu susjedni.

Dokaz.

Razmotrimo proizvoljan trougao $EFG$. Neka ima vanjski ugao trougla $FGQ$ (slika 3).

Prema teoremi 1, imaćemo da je $∠E+∠F+∠G=180^\circ$, dakle,

$∠G=180^\circ-(∠E+∠F)$

Pošto je ugao $FGQ$ spoljašnji, on je susedan uglu $∠G$, tada

$∠FGQ=180^\circ-∠G=180^\circ-180^\circ+(∠E+∠F)=∠E+∠F$

Teorema je dokazana.

Primjeri zadataka

Primjer 1

Nađi sve uglove trougla ako je jednakostraničan.

Pošto su sve stranice jednakostraničnog trougla jednake, imaćemo da su i svi uglovi u njemu jednaki. Označimo njihove mjere stepena sa $α$.

Tada prema teoremi 1 dobijamo

$α+α+α=180^\circ$

Odgovor: svi uglovi su jednaki $60^\circ$.

Primjer 2

Pronađite sve uglove jednakokraki trougao, ako je jedan od njegovih uglova jednak $100^\circ$.

Hajde da uvedemo sljedeću notaciju za uglove u jednakokračnom trokutu:

Pošto u uslovu nije dato tačno kojem je ugao $100^\circ$, onda su moguća dva slučaja:

Ugao jednak $100^\circ$ je ugao u osnovi trougla.

Koristeći teoremu o uglovima u osnovi jednakokračnog trougla, dobijamo

$∠2=∠3=100^\circ$

Ali tada će samo njihov zbir biti veći od $180^\circ$, što je u suprotnosti sa uslovima teoreme 1. To znači da se ovaj slučaj ne dešava.

Ugao jednak $100^\circ$ je ugao između jednakih stranica, tj

Teorema o zbiru unutrašnjih uglova trougla

Zbir uglova trougla je 180°.

dokaz:

• Dat trougao ABC.
• Kroz vrh B povlačimo pravu liniju DK paralelnu bazi AC.
• \ugao CBK= \ugao C kao unutrašnji poprečno ležeći sa paralelnim DK i AC, i sekantom BC.
• \ugao DBA = \ugao Unutrašnji poprečno leži sa DK \paralelom AC i sekantom AB. Ugao DBK je obrnut i jednak
• \ugao DBK = \ugao DBA + \ugao B + \ugao CBK
• Pošto je nesavijeni ugao jednak 180 ^\circ , a \ugao CBK = \ugao C i \ugao DBA = \ugao A , dobijamo 180 ^\circ = \ugao A + \ugao B + \ugao C.

Teorema je dokazana

Posljedice iz teoreme o zbiru uglova trougla:

1. Sum oštri uglovi pravouglog trougla je jednako 90°.
2. U jednakokrakom pravougaonog trougla svaki oštar ugao je jednak 45°.
3. U jednakostraničnom trouglu svaki ugao je jednak 60°.
4. U bilo kojem trouglu, ili su svi uglovi oštri, ili su dva oštra, a treći je tup ili pravi.
5. Vanjski ugao trougla jednak je zbiru dva unutrašnja ugla koji mu nisu susjedni.

Teorema vanjskog ugla trokuta

Vanjski ugao trokuta jednak je zbiru dva preostala ugla trokuta koji nisu susjedni ovom vanjskom kutu

dokaz:



• Dat je trougao ABC, gdje je BCD vanjski ugao.
• \ugao BAC + \ugao ABC +\ugao BCA = 180^0
• Iz jednakosti ugao \ugao BCD + \ugao BCA = 180^0
• Dobili smo \ugao BCD = \ugao BAC+\ugao ABC.

Teorema. Zbir unutrašnjih uglova trougla jednak je dvama pravim uglovima.

Uzmimo neki trougao ABC (slika 208). Označimo njegove unutrašnje uglove brojevima 1, 2 i 3. Dokažimo to

∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°.

Provucimo kroz neki vrh trougla, na primjer B, pravu liniju MN paralelnu sa AC.

U vrhu B imamo tri ugla: ∠4, ∠2 i ∠5. Njihov zbir je pravi ugao, pa je jednak 180°:

∠4 + ∠2 + ∠5 = 180°.

Ali ∠4 = ∠1 su unutrašnji poprečni uglovi sa paralelnim linijama MN i AC i sekantom AB.

∠5 = ∠3 - ovo su unutrašnji poprečni uglovi sa paralelnim linijama MN i AC i sekantom BC.

To znači da ∠4 i ∠5 mogu biti zamijenjeni njihovim jednakima ∠1 i ∠3.

Dakle, ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°. Teorema je dokazana.

2. Svojstvo vanjskog ugla trougla.

Teorema. Vanjski ugao trougla jednak je zbiru dva unutrašnja ugla koji mu nisu susjedni.




U stvari, u trouglu ABC (slika 209) ∠1 + ∠2 = 180° - ∠3, ali i ∠VSD, spoljni ugao ovog trougla, koji nije susedan sa ∠1 i ∠2, takođe je jednak 180° - ∠3 .

ovako:

∠1 + ∠2 = 180° - ∠3;

∠BCD = 180° - ∠3.

Dakle, ∠1 + ∠2= ∠BCD.

Izvedeno svojstvo spoljašnjeg ugla trougla pojašnjava sadržaj prethodno dokazane teoreme o spoljašnjem uglu trougla, koja je samo govorila da je spoljašnji ugao trougla veći od svakog unutrašnjeg ugla trougla koji mu nije susedan; sada je utvrđeno da je vanjski ugao jednak zbiru oba unutrašnja ugla koja mu ne graniče.

3. Svojstvo pravouglog trougla sa uglom od 30°.

Teorema. Krak pravokutnog trokuta koji leži nasuprot kuta od 30° jednak je polovini hipotenuze.


Neka je ugao B u pravouglom trouglu ACB jednak 30° (Sl. 210). Tada će njegov drugi oštri ugao biti jednak 60°.



Dokažimo da je krak AC jednak polovini hipotenuze AB. Nastavimo nogu AC izvan vrha pravi ugao C i odvojite segment CM jednak segmentu AC. Povežite tačku M sa tačkom B. Dobijeni trougao VSM jednako trouglu DIA Vidimo da je svaki ugao trougla ABM jednak 60°, stoga je ovaj trougao jednakostraničan trougao.

krak AC jednak je polovini AM, a pošto je AM jednak AB, krak AC će biti jednak polovini hipotenuze AB.