Derivat implicitne funkcije. Derivacija funkcije specificirane implicitno: smjernice, primjeri. Derivati ​​višeg reda

Dom Razmotrimo funkciju y(x), koja je implicitno zapisana u opšti pogled

1. $ F(x,y(x)) = 0 $. Izvod implicitne funkcije nalazi se na dva načina:
2. Razlikovanjem obe strane jednačine

Koristeći gotovu formulu $ y" = - \frac(F"_x)(F"_y) $

Kako pronaći?

Metoda 1 Nema potrebe za eksplicitnim pretvaranjem funkcije. Morate odmah početi diferencirati lijevu i desnu stranu jednačine u odnosu na $ x $. Vrijedi napomenuti da se izvod $ y" $ izračunava prema pravilu diferencijacije složena funkcija

. Na primjer, $(y^2)"_x = 2yy"$. Nakon pronalaženja izvoda, potrebno je izraziti $ y" $ iz rezultirajuće jednačine i staviti $ y" $ na lijevu stranu.

Metoda 2

Možete koristiti formulu koja koristi parcijalne izvode implicitne funkcije $ F(x,y(x)) = 0 $ u brojniku i nazivniku. Da biste pronašli brojilac, uzmite izvod u odnosu na $ x $, a za nazivnik uzmite izvod u odnosu na $ y $.

Drugi izvod implicitne funkcije može se naći uzastopnim diferenciranjem prvog izvoda implicitne funkcije.

Primjeri rješenja

Funkcija Z= f(x; y) naziva se implicitnom ako je data jednačinom F(x,y,z)=0 nerazriješena u odnosu na Z. Nađimo parcijalne izvode funkcije Z date implicitno. Da bismo to učinili, zamjenom funkcije f(x;y) u jednačinu umjesto Z, dobijamo identitet F(x,y, f(x,y))=0. Parcijalni izvod funkcije identično jednak nuli u odnosu na x i y također je jednak nuli.

F(x,y, f (x, y)) =
=0 (smatra se konstanta)

F(x,y, f (x, y)) =
=0 (xsmatrana konstanta)

Gdje
I

Primjer: Pronađite parcijalne izvode funkcije Z date jednadžbom
.

Ovdje je F(x,y,z)=
;
;
;
. Prema gore navedenim formulama imamo:

I

1. Smjerni derivat

Neka je data funkcija dvije varijable Z= f(x; y) u određenom susjedstvu tačke M (x,y). Razmotrimo neki smjer definiran jediničnim vektorom
, Gdje
(vidi sliku).

Na pravoj liniji koja prolazi u ovom pravcu kroz tačku M, uzimamo tačku M 1 (
) tako da dužina
segmentMM 1 je jednak
. Prirast funkcije f(M) je određen relacijom gdje je
povezani odnosima. Granica omjera at
zvaće se derivacija funkcije
u tački
u pravcu i biti određen .

=

Ako je funkcija Z diferencijabilna u točki
, zatim njegovo povećanje u ovoj tački uzimajući u obzir odnose za
može se napisati u sljedećem obliku.

dijeleći oba dijela sa

i prelazeći do granice na
dobijamo formulu za izvod funkcije Z= f(x; y) u pravcu:

1. Gradijent

Razmotrimo funkciju tri varijable
diferenciran u nekom trenutku
.

Gradijent ove funkcije
u tački M je vektor čije su koordinate jednake parcijalnim derivacijama
u ovom trenutku. Da biste označili gradijent, koristite simbol
.
=
.

.Gradijent pokazuje smjer najbržeg rasta funkcije u datoj tački.

Budući da je jedinični vektor ima koordinate (
), tada se derivacija smjera za slučaj funkcije tri varijable zapisuje u obliku, tj. ima formulu za skalarni proizvod vektora I
. Prepišimo posljednju formulu na sljedeći način:

, Gdje - ugao između vektora I
. Pošto
, onda slijedi da derivacija funkcije u smjeru uzima maksimalnu vrijednost na =0, tj. kada je smjer vektora I
match. U isto vreme
To jest, u stvari, gradijent funkcije karakterizira smjer i veličinu maksimalne brzine povećanja ove funkcije u nekoj tački.

1. Ekstremum funkcije dvije varijable

Koncepti max, min, ekstremuma funkcije dvije varijable slični su odgovarajućim konceptima funkcije jedne varijable. Neka je funkcija Z= f(x; y) definirana u nekom domenu D, itd. M
pripada ovom području. Tačka M
naziva se maksimalna tačka funkcije Z= f(x; y) ako postoji takvo δ-susjedstvo tačke
, da je za svaku tačku iz ove okoline nejednakost
. Tačka min se određuje na sličan način, samo će se promijeniti predznak nejednakosti
. Vrijednost funkcije u tački max(min) naziva se maksimum (minimum). Maksimum i minimum funkcije nazivaju se ekstremima.

1. Neophodni i dovoljni uslovi za ekstrem

Teorema:(Neophodni uslovi za ekstrem). Ako u tački M
diferencijabilna funkcija Z= f(x; y) ima ekstrem, tada su njeni parcijalni derivati ​​u ovoj tački jednaki nuli:
,
.

dokaz: Nakon fiksiranja jedne od varijabli x ili y, transformiramo Z = f(x; y) u funkciju jedne varijable, za čiji ekstrem moraju biti ispunjeni gore navedeni uvjeti. Geometrijski jednakosti
I
znači da je u tački ekstrema funkcije Z= f(x; y), tangentna ravan na površinu koja predstavlja funkciju f(x,y)=Z paralelna sa ravninom OXY, jer jednadžba tangentne ravni je Z = Z 0. Tačka u kojoj su parcijalni izvodi prvog reda funkcije Z = f (x; y) jednaki nuli, tj.
,
, nazivaju se stacionarna točka funkcije. Funkcija može imati ekstrem u tačkama u kojima barem jedan od parcijalnih izvoda ne postoji. Na primjer Z=|-
| ima max u tački O(0,0), ali nema izvoda u ovoj tački.

Stacionarne tačke i tačke u kojima ne postoji barem jedan parcijalni izvod se nazivaju kritične tačke. U kritičnim tačkama, funkcija može, ali i ne mora imati ekstrem. Jednakost parcijalnih izvoda nuli je neophodan, ali ne i dovoljan uslov za postojanje ekstrema. Na primjer, kada je Z=xy, tačka O(0,0) je kritična. Međutim, funkcija Z=xy nema ekstremu u sebi. (Jer u I i III kvartalu Z>0, a u II i IV – Z<0). Таким образом для нахождения экстремумов функции в данной области необходимо подвергнуть каждую критическую точку функции дополнительному исследованию.

Teorema: (dovoljno stanje za ekstreme). Neka u stacionarnoj tački
a u određenoj okolini funkcija f(x; y) ima kontinuirane parcijalne izvode do zaključno 2. reda. Izračunajmo u tački
vrijednosti
,
I
. Označimo

U slučaju
, ekstremum u tački
može i ne mora biti. Potrebno je više istraživanja.

Formula za izvod funkcije specificirane implicitno. Dokaz i primjeri primjene ove formule. Primjeri izračunavanja derivata prvog, drugog i trećeg reda.

Izvod prvog reda

Neka funkcija bude specificirana implicitno koristeći jednadžbu
(1) .
I neka ova jednadžba, za neku vrijednost, ima jedinstveno rješenje.
.
Neka je funkcija diferencijabilna funkcija u točki , i
(2) .

Zatim, na ovoj vrijednosti, postoji izvod, koji je određen formulom:

Dokaz
.
Da biste to dokazali, razmotrite funkciju kao kompleksnu funkciju varijable:
(3) :
.
Primijenimo pravilo diferencijacije kompleksne funkcije i pronađemo derivaciju u odnosu na varijablu s lijeve i desne strane jednačine
(4) ;
.

Budući da je derivacija konstante nula i , Onda

Formula je dokazana.

Derivati ​​višeg reda
(4) .
Prepišimo jednačinu (4) koristeći različite oznake:
;
.
U isto vrijeme i složene su funkcije varijable:
(1) .

Ovisnost je određena jednadžbom (1):
Pronalazimo derivaciju u odnosu na varijablu s lijeve i desne strane jednačine (4).
;
.
Prema formuli za izvod kompleksne funkcije imamo:

.
Prema formuli derivata proizvoda:


.

Koristeći formulu izvedenog zbira:
(5) .
Pošto je derivacija desne strane jednačine (4) jednaka nuli, onda

Zamjenom izvoda ovdje dobijamo vrijednost izvoda drugog reda u implicitnom obliku.
.
Diferencirajući jednadžbu (5) na sličan način, dobijamo jednačinu koja sadrži izvod trećeg reda:

Zamjenjujući ovdje pronađene vrijednosti derivata prvog i drugog reda, nalazimo vrijednost derivata trećeg reda.

Nastavljajući diferencijaciju, može se pronaći derivat bilo kojeg reda.

Primjeri

Primjer 1
Pronađite izvod prvog reda funkcije date implicitno jednadžbom: .

(P1)

Rješenje po formuli 2
(2) .

Izvod nalazimo pomoću formule (2):
.
Pomerimo sve varijable na lijevu stranu tako da jednačina dobije oblik .

Odavde.
;
;
;
.

Nalazimo derivaciju u odnosu na , smatrajući je konstantnom.
;
;
;
.

Pronalazimo derivaciju u odnosu na varijablu, s obzirom na konstantu varijable.
.

Koristeći formulu (2) nalazimo:
.
Rezultat možemo pojednostaviti ako primijetimo da prema izvornoj jednadžbi (A.1), .
.

Zamenimo:

Pomnožite brojilac i imenilac sa:

Rešenje drugog načina
.
Riješimo ovaj primjer na drugi način. Da bismo to učinili, naći ćemo izvod u odnosu na varijablu lijeve i desne strane izvorne jednačine (A1).
;
.
Primjenjujemo:
.
Primjenjujemo formulu izvedenog razlomka:
Pronađite izvod prvog reda funkcije date implicitno jednadžbom: ;
;
.
Primjenjujemo formulu za izvod kompleksne funkcije:
;
.

Razlikujemo originalnu jednačinu (A1).
.
Množimo sa i grupišemo pojmove.
.

Zamijenimo (iz jednačine (A1)):

Pronađite izvod drugog reda funkcije date implicitno koristeći jednadžbu:
(A2.1) .

Originalnu jednačinu razlikujemo s obzirom na varijablu, s obzirom da je ona funkcija:
;
.
Primjenjujemo formulu za izvod kompleksne funkcije.
.

Hajde da razlikujemo originalnu jednačinu (A2.1):
;
.
Iz originalne jednačine (A2.1) slijedi da .
.
Zamenimo:
;
Otvorite zagrade i grupirajte članove: .
(A2.2)
Nalazimo izvod prvog reda: .

(A2.3)
;
;
;
.
Da bismo pronašli izvod drugog reda, diferenciramo jednačinu (A2.2).
.
Množimo sa i grupišemo pojmove.

;
.
Zamijenimo izraz za izvod prvog reda (A2.3):

Odavde nalazimo derivat drugog reda.

Primjer 3
Pronađite izvod trećeg reda funkcije date implicitno koristeći jednadžbu: .

(A3.1)
;
;
;
;
;
;
Mi razlikujemo originalnu jednačinu s obzirom na varijablu, uz pretpostavku da je funkcija od . ;

(A3.2)
;
;
;
;
;
Izdiferencirajmo jednačinu (A3.2) s obzirom na varijablu . .

(A3.3)
;
;
;
;
;
Hajde da izdiferenciramo jednačinu (A3.3). .

(A3.4)
;
;
.

Iz jednačina (A3.2), (A3.3) i (A3.4) nalazimo vrijednosti izvoda na .

Bez sumnje, u našem umu slika funkcije povezana je s jednakošću i odgovarajućom linijom - grafikom funkcije. Na primjer, - funkcionalna zavisnost, čiji je graf kvadratna parabola sa vrhom u početku i granama usmjerenim prema gore; je sinusna funkcija poznata po svojim valovima. U ovim primjerima, lijeva strana jednakosti je y, a desna je izraz koji ovisi o argumentu x. Drugim riječima, imamo riješenu jednačinu za y. Predstavljanje funkcionalne zavisnosti u obliku takvog izraza naziva se eksplicitnim specificiranjem funkcije (ili eksplicitno funkcioniraju

). A ova vrsta dodjele funkcija nam je najpoznatija. U većini primjera i problema predstavljene su nam eksplicitne funkcije. Već smo detaljno govorili o diferencijaciji funkcija jedne varijable, eksplicitno specificirane.

Međutim, funkcija podrazumijeva korespondenciju između skupa vrijednosti x i skupa vrijednosti y, a ta korespondencija NIJE nužno uspostavljena bilo kojom formulom ili analitičkim izrazom. Odnosno, postoji mnogo načina da se specificira funkcija osim uobičajenog. U ovom članku ćemo pogledati implicitne funkcije i metode za pronalaženje njihovih derivata

. Primjeri funkcija koje su specificirane implicitno uključuju ili .

Može implicitno odrediti zakon korespondencije između veličina x i y, a svaka vrijednost argumenta x može odgovarati ili jednoj (u ovom slučaju imamo jednovrijednu funkciju) ili nekoliko vrijednosti funkcije (u ovom slučaju funkcija se naziva višeznačna). Na primjer, vrijednost x = 1 odgovara dvije realne vrijednosti y = 2 i y = -2 implicitno određene funkcije.

Nije uvijek moguće dovesti implicitnu funkciju u eksplicitni oblik, inače ne bi bilo potrebe da se same implicitne funkcije razlikuju. na primjer, - se ne pretvara u eksplicitni oblik, ali - se pretvara.

Sada na stvar.

Da bismo pronašli derivaciju implicitno date funkcije, potrebno je razlikovati obje strane jednakosti u odnosu na argument x, smatrajući da je y funkcija od x, a zatim izraziti.

Diferencijacija izraza koji sadrže x i y(x) vrši se pomoću pravila diferencijacije i pravila za pronalaženje izvoda kompleksne funkcije. Pogledajmo odmah nekoliko primjera u detalje, tako da nema daljnjih pitanja.

Primjer.

Razlikujte izraze u x, smatrajući y funkcijom od x.

Rješenje.

Jer y je funkcija od x, onda je kompleksna funkcija. Može se konvencionalno predstaviti kao f(g(x)), gdje je f funkcija kocke, a g(x) = y. Tada, prema formuli za derivaciju kompleksne funkcije, imamo: .

Kada razlikujemo drugi izraz, uzimamo konstantu iz predznaka derivacije i postupamo kao u prethodnom slučaju (ovdje je f sinusna funkcija, g(x) = y):

Za treći izraz primjenjujemo formulu za izvod proizvoda:

Dosljedno primjenjujući pravila, razlikujemo posljednji izraz:

Sada možete prijeći na pronalaženje derivata implicitno određene funkcije, za to imate svo znanje.

Primjer.

Pronađite izvod implicitne funkcije.

Rješenje.

Izvod implicitno specificirane funkcije uvijek je predstavljen kao izraz koji sadrži x i y: . Da bismo došli do ovog rezultata, razlikujemo obje strane jednakosti:

Razriješimo rezultirajuću jednačinu u odnosu na derivaciju:

odgovor:

.

KOMENTAR.

Da bismo konsolidirali gradivo, riješimo još jedan primjer.