Primjena vektora u svakodnevnom životu. Vektori u kompjuterskim igrama

Vektor je uređen par tačaka. Prva tačka se naziva početak vektora, druga - kraj vektora. Udaljenost između početka i kraja vektora naziva se njegova dužina. Vektor čiji se početak i kraj podudaraju naziva se nula, njegova dužina je jednaka nuli. Ako je dužina vektora pozitivna, onda se zove različit od nule. Vektor različit od nule može se definirati i kao usmjereni segment, tj. segment u kojem se jedna od njegovih graničnih tačaka smatra prvom (početkom vektora), a druga - drugom (krajem vektora). Smjer nultog vektora, naravno, nije definiran.

Vektor sa početkom u tački A i krajem u tački B označen je i prikazan strelicom koja pokazuje prema kraju vektora (slika 1.1, a). Početak vektora naziva se i njegova tačka primjene. Kažu da je vektor \overrightarrow(AB) vezano za tačku A. Dužina vektora \overrightarrow(AB) ili \vec(a) je jednaka dužini segmenta AB ili a i označava se \vline\,\overrightarrow(AB)\,\vline ili |\vec(a)| . Imajući na umu ovu notaciju, dužina vektora se naziva i modulom, apsolutna vrijednost. Nulti vektor, na primjer \overrightarrow(CC), označen je simbolom \vec(o) i predstavljen je jednom tačkom (tačka C na slici 1.1, a). Vektor čija je dužina jednaka jedan ili uzeti kao jedan naziva se jedinični vektor.

Vektor različit od nule AB, pored usmjerenog segmenta, određuje i zrak AB koji ga sadrži (sa početkom u tački A ) i pravu liniju AB (slika 1.1, a).

Kolinearni vektori

Dva vektora različita od nule nazivaju se kolinearni ako pripadaju ili istoj liniji ili dvije paralelne prave, inače se nazivaju nekolinearnim. Kolinearnost vektora je označena sa \parallel . Pošto smjer nultog vektora nije definiran, smatra se da je kolinearan s bilo kojim vektorom. Svaki vektor je kolinearan sam sebi.

Dva kolinearna vektora različita od nule nazivaju se jednako usmjerena (kousmjerena) ako pripadaju paralelnim pravima i njihovi krajevi leže u istoj poluravni od prave koja prolazi kroz njihove početke (slika 1.2, a); ili ako vektori pripadaju jednoj pravoj liniji, a zrak definisan jednim vektorom u potpunosti pripada zraku definisanom drugim vektorom (slika 1.2.6). Inače, kolinearni vektori se nazivaju suprotno usmjereni (sl. 1.2, c, d). Jednako usmjereni i suprotno usmjereni vektori su označeni parovima strelica \uparrow\uparrow i \uparrow\downarrow respektivno. Koncepti kolinearnih, jednako usmjerenih vektora primjenjuju se na bilo koji broj vektora.

Koplanarni vektori

Tri vektora različita od nule nazivaju se komplanarnim ako leže u istoj ravni ili u paralelnim ravnima (slika 1.3, a), u suprotnom se nazivaju nekoplanarna (sl. 1.3, 6). Pošto smjer nultog vektora nije definiran, smatra se komplanarnim sa bilo koja dva vektora. Koncept koplanarnih vektora proteže se na bilo koji broj vektora.

Jednaki vektori

Za dva vektora se kaže da su jednaka ako:

a) kolinearna, jednako usmjerena;

b) imaju istu dužinu.

Svi nulti vektori se smatraju jednakim jedni drugima.

Ova definicija vektorske jednakosti karakterizira takozvane slobodne vektore. Ovaj slobodni vektor može se prenijeti, ne mijenjajući njegov smjer i dužinu, u bilo koju tačku u prostoru (odvojiti od bilo koje tačke), dok ćemo dobiti vektore jednake datom. Dakle, slobodni vektor definira čitavu klasu vektora jednakih njemu, koji se razlikuju samo u tački primjene. Nadalje, po pravilu će se uzeti u obzir slobodni vektori, dok će riječ "slobodan" biti izostavljena.

Napomene 1.1.

1. Definicija jednakosti vektora može se formulisati bez korištenja koncepta dužine vektora. Dva vektora \overrightarrow(AB) i , koji ne leže na istoj pravoj liniji, nazivaju se jednakima ako je četverougao ABCD paralelogram (slika 1.4, a). Vektori \overrightarrow(AB) I \overrightarrow(CD), koji pripadaju istoj pravoj liniji, smatraju se jednakima ako postoji vektor jednak njima \overrightarrow(EF), koji ne pripada ovoj liniji (sl. 1.4,6). Ova definicija je ekvivalentna sljedećem: dva vektora \overrightarrow(AB) I \overrightarrow(CD) nazivaju se jednakima ako se sredine segmenata AD i AD poklapaju (slika 1.4, c).

2. Vektorska relacija jednakosti je relacija ekvivalencije. Zaista, za relaciju jednakosti = ( \vec(a)=\vec(b) - "vektor \vec(a) je jednak vektoru \vec(b) ") definisan na skupu uređenih parova \langle\vec(a),\vec(b)\rangle vektora, ispunjeni su sledeći uslovi:

a) svaki vektor je jednak sam sebi (refleksivnost);

b) ako je vektor \vec(a) jednak vektoru \vec(b) , tada je vektor \vec(b) jednak vektoru \vec(a) (simetričan);

c) ako je vektor \vec(a) jednak vektoru \vec(b), a vektor \vec(b) je jednak vektoru \vec(c) , tada je vektor \vec(a) jednak vektor \vec(c) (tranzitivnost).

To znači da je skup vektora podijeljen u klase koje se ne preklapaju (vidi Odjeljak B.3), tj. svaki vektor je povezan sa čitavom klasom vektora jednakih njemu, koji se razlikuju samo u tačkama primene. Stoga se kaže da slobodni vektor definira klasu vektora jednaku njemu.

3. Za bilo koju tačku A i bilo koji vektor \vec(a) postoji jedinstvena tačka B za koju . Zaista, ako je vektor \vec(a) različit od nule, tada postoji samo jedna prava linija koja prolazi kroz tačku A, paralelno sa vektorom a (Sl. 1.5, a) ili koji ga sadrže (Sl. 1.5, b). Na ovoj pravoj postoje dvije tačke koje su udaljene |\vec(a)|>0 od tačke A. Iz ove dvije tačke biramo tačku B za koju su vektori \overrightarrow(AB) i \vec(a) ispada da je isti smjer. Izgradnjom dobijamo \overrightarrow(AB)=\vec(a). Ako je vektor \vec(a) nula, tada se tražena tačka B poklapa sa datom tačkom A.

Dakle, bilo koji vektor \vec(a) svakoj tački A dodjeljuje jedinstvenu tačku B tako da \overrightarrow(AB)=\vec(a). Ova korespondencija se naziva paralelni prijenos. Stoga se slobodni vektor može identificirati paralelnim prijevodom.

4. Konstrukcija razmatrana u paragrafu 3 naziva se odlaganje vektora \vec(a) iz tačke A ili primjena vektora \vec(a) na tačku A.

Koristeći ovu konstrukciju, može se dati ekvivalentne definicije kolinearnosti i koplanarnosti. Za dva vektora različita od nule kaže se da su kolinearna ako nakon primjene na istu tačku leže na istoj pravoj. Tri vektora različita od nule nazivaju se komplanarnim ako, nakon primjene na istu tačku, leže u istoj ravni.

5. Osim slobodnih vektora, aplikacije vektorske algebre koriste klizne vektore, vezane (vezane) vektore itd., koji se od slobodnih vektora razlikuju po definiciji jednakosti. Na primjer, klizni vektori su jednaki ako leže na istoj pravoj liniji, imaju isti smjer i jednake dužine. Drugim riječima, za razliku od slobodnog vektora, klizni vektor se može pomicati bez promjene smjera i dužine, samo duž prave linije koja sadrži ovaj vektor. Na primjer, u mehanici, sila koja djeluje na apsolutno kruto tijelo je predstavljena kliznim vektorom, a kutna brzina je predstavljena slobodnim vektorom. Sila koja djeluje na deformabilno tijelo je primjer takozvanog primijenjenog vektora. Promena tačke primene sile će promeniti njen efekat na telo.

Primjer 1.1. Dat je trougao ABC (slika 1.6), tačke L, M, N su sredine njegovih stranica. Za vektore prikazane na sl. 1.6, označava kolinearno, jednako usmjereno, suprotno usmjereno, jednako.

Rješenje. Prema teoremi o srednja linija trougla, zaključujemo da ML \paralelno AB,~LN \paralelno AC. Dakle, vektori \overrightarrow(AM),\overrightarrow(MC),\overrightarrow(NL)- kolinearne (jer leže na jednoj ili paralelnoj), jednako usmjerene i jednake su dužine. Dakle, ovo su jednaki vektori: \overrightarrow(AM)=\overrightarrow(MC)=\overrightarrow(NL). Slično, nalazimo

\overrightarrow(AN)=\overrightarrow(ML),\quad \overrightarrow(AN) \uparrow\downarrow \overrightarrow(BN),\quad \overrightarrow(BN) \uparrow\downarrow \overrightarrow(ML),\quad \overrightarrow (CL) \uparrow\downarrow \overrightarrow(BL)\,.

Javascript je onemogućen u vašem pretraživaču.
ActiveX kontrole moraju biti omogućene da bi se izvršili proračuni!

DEFINICIJA

Vector(od lat." vektor"-" ležaj") - usmjereni segment prave linije u prostoru ili na ravni.

Grafički, vektor se prikazuje kao usmjereni ravni segment određene dužine. Vektor čiji je početak u tački, a kraj u tački označen je kao (slika 1). Također, vektor se može označiti jednim malim slovom, na primjer, .

Ako je koordinatni sistem dat u prostoru, tada vektor može biti jedinstveno specificiran skupom njegovih koordinata. Odnosno, vektor se podrazumijeva kao objekt koji ima vrijednost (dužinu), smjer i tačku primjene (početak vektora).

Počeci vektorskog računa javljaju se u radovima 1831. godine u radovima njemačkog matematičara, mehaničara, fizičara, astronoma i geodeta Johanna Carla Friedricha Gaussa (1777-1855). Radove o operacijama s vektorima objavio je irski matematičar, mehaničar i teorijski fizičar, Sir William Rowan Hamilton (1805-1865) kao dio svog kvaterninskog računa. Naučnik je predložio termin "vektor" i opisao neke operacije na vektorima. Vektorski račun je dalje razvijen zahvaljujući radu na elektromagnetizmu britanskog fizičara, matematičara i mehaničara Jamesa Clerka Maxwella (1831-1879). 1880-ih godina objavljena je knjiga američkog fizičara, fizikohemičara, matematičara i mehaničara Josiaha Willarda Gibbsa (1839-1903) "Elementi vektorske analize". Modernu vektorsku analizu opisao je 1903. godine engleski samouki naučnik, inženjer, matematičar i fizičar Oliver Hevisajd (1850-1925).

DEFINICIJA

Dužina ili vektorski modul je dužina usmjerenog segmenta koji definira vektor. Označeno kao .

Osnovne vrste vektora

Nulti vektor naziva se vektor čija su početna i krajnja tačka iste. Dužina nul-vektora je nula.

Vektori koji su paralelni sa istom pravom ili leže na istoj pravoj nazivaju se kolinearno(Sl. 2).

kosmjeran ako su im pravci isti.

Na slici 2, ovo su vektori i . Ko-smjer vektora se označava na sljedeći način: .

Dva kolinearna vektora se nazivaju suprotnim pravcima ako su im pravci suprotni.

Na slici 3, ovo su vektori i . Oznaka: .

Definicija Uređena zbirka (x 1 , x 2 , ... , x n) n realnih brojeva naziva se n-dimenzionalni vektor, i brojevi x i (i = ) - komponente ili koordinate,

Primjer. Ako, na primjer, određeni automobilski pogon mora proizvesti 50 putničkih automobila, 100 kamiona, 10 autobusa, 50 kompleta autodijelova i 150 kompleta kamioni i autobusa, proizvodni program ovog pogona može se napisati kao vektor (50, 100, 10, 50, 150) sa pet komponenti.

Notacija. Vektori su označeni podebljanim malim slovima ili slovima sa trakom ili strelicom na vrhu, na primjer, a ili. Dva vektora se nazivaju jednaka ako imaju isti broj komponenti i njihove odgovarajuće komponente su jednake.

Vektorske komponente se ne mogu zamijeniti, npr. (3, 2, 5, 0, 1) i (2, 3, 5, 0, 1) različiti vektori.
Operacije na vektorima. rad x= (x 1 , x 2 , ... ,x n) na realan brojλ zove vektorλ x= (λ x 1 , λ x 2 , ... , λ x n).

sumax= (x 1 , x 2 , ... ,x n) i y= (y 1 , y 2 , ... ,y n) naziva se vektor x+y= (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , ... , x n + + y n).

Prostor vektora. N -dimenzionalni vektorski prostor R n je definiran kao skup svih n-dimenzionalnih vektora za koje se izvršavaju operacije množenja sa realni brojevi i dodatak.

Ekonomska ilustracija. Ekonomska ilustracija n-dimenzionalnog vektorskog prostora: prostor robe (robe). Ispod roba razumećemo neku robu ili uslugu koja je puštena u prodaju u određeno vreme na određenom mestu. Pretpostavimo da postoji konačan broj dostupnih dobara n; Količine svakog od njih koje potrošač kupuje karakteriše skup robe

x= (x 1 , x 2 , ..., x n),

gdje x i označava količinu i-te robe koju je kupio potrošač. Pretpostavit ćemo da sva dobra imaju svojstvo proizvoljne djeljivosti, tako da se može kupiti bilo koja nenegativna količina svakog od njih. Tada su svi mogući skupovi dobara vektori prostora dobara C = ( x= (x 1 , x 2 , ... , x n) x i ≥ 0, i = ).

Linearna nezavisnost. Sistem e 1 , e 2 , ... , e m n-dimenzionalni vektori se naziva linearno zavisna ako postoje takvi brojeviλ 1 , λ 2 , ... , λ m , od kojih je barem jedan različit od nule, što zadovoljava jednakostλ1 e 1 + λ2 e 2+...+λm e m = 0; inače ovaj sistem vektori se zove linearno nezavisna, odnosno ova jednakost je moguća samo u slučaju kada su svi . geometrijskom smislu linearna zavisnost vektora u R 3, interpretirani kao usmjereni segmenti, objašnjavaju sljedeće teoreme.

Teorema 1. Sistem koji se sastoji od jednog vektora je linearno zavisan ako i samo ako je ovaj vektor nula.

Teorema 2. Da bi dva vektora bila linearno zavisna, potrebno je i dovoljno da budu kolinearni (paralelni).

Teorema 3 . Da bi tri vektora bila linearno zavisna, potrebno je i dovoljno da budu koplanarni (leže u istoj ravni).

Lijeve i desne trojke vektora. Trojka nekoplanarnih vektora a, b, c pozvao u pravu, ako posmatrač iz njihovog zajedničkog porekla zaobiđe krajeve vektora a, b, cčini se da se tim redoslijedom odvija u smjeru kazaljke na satu. Inače a, b, c -lijevo trostruko. Zovu se sve desne (ili lijeve) trojke vektora jednako orijentisan.

Osnova i koordinate. Trojka e 1, e 2 , e 3 nekoplanarna vektora u R 3 zove osnovu, i sami vektori e 1, e 2 , e 3 - osnovni. Bilo koji vektor a može se proširiti na jedinstven način u smislu baznih vektora, odnosno može se predstaviti u obliku

ali= x 1 e 1 + x2 e 2 + x 3 e 3, (1.1)

pozivaju se brojevi x 1 , x 2 , x 3 u ekspanziji (1.1). koordinatea u osnovi e 1, e 2 , e 3 i označeni su a(x 1 , x 2 , x 3).

Ortonormalna osnova. Ako vektori e 1, e 2 , e 3 su u paru okomite i dužina svakog od njih jednaka je jedan, tada se naziva baza ortonormalno, a koordinate x 1 , x 2 , x 3 - pravougaona. Bazni vektori ortonormalne baze će biti označeni i, j, k.

Pretpostavićemo to u svemiru R 3 desni sistem kartezijanskih pravougaonih koordinata (0, i, j, k}.

Vektorski proizvod. vektorska umjetnost ali po vektoru b zove vektor c, što je određeno sljedeća tri uslova:

1. Dužina vektora c brojčano jednak površini paralelograma izgrađenog na vektorima a I b, tj.
c= |a||b| grijeh( a^b).

2. Vektor c okomito na svaki od vektora a I b.

3. Vektori a, b I c, uzeti tim redoslijedom, čine desnu trojku.

Za vektorski proizvod c uvodi se oznaka c=[ab] ili
c = a × b.

Ako vektori a I b su kolinearni, onda sin( a^b) = 0 i [ ab] = 0, posebno [ aa] = 0. Vektorski proizvodi ortova: [ ij]=k, [jk] = i, [ki]=j.

Ako vektori a I b dato u osnovi i, j, k koordinate a(a 1, a 2, a 3), b(b 1 , b 2 , b 3), onda

Mješoviti posao. Ako je unakrsni proizvod dva vektora ali I b skalar pomnožen sa trećim vektorom c, onda se takav proizvod tri vektora naziva mješoviti proizvod i označen je simbolom a bc.

Ako vektori a, b I c u osnovi i, j, k postavljene njihovim koordinatama
a(a 1, a 2, a 3), b(b 1 , b 2 , b 3), c(c 1 , c 2 , c 3), onda

.

Mješoviti proizvod ima jednostavnu geometrijsku interpretaciju - to je skalar, u apsolutnoj vrijednosti jednak volumenu paralelepipeda izgrađenog na tri data vektora.

Ako vektori formiraju desnu trojku, onda je njihov mješoviti proizvod pozitivan broj jednak naznačenom volumenu; ako tri a, b, c - lijevo, onda a b c<0 и V = - a b c, dakle V =|a b c|.

Pretpostavlja se da su koordinate vektora na koje se susrećemo u problemima iz prvog poglavlja date u odnosu na desnu ortonormalnu osnovu. Jedinični vektor kosmjeran prema vektoru ali, označena simbolom ali o. Simbol r=OM označen radijus vektorom tačke M, simbolima a, AB ili|a|, | AB |moduli vektora su označeni ali I AB.

Primjer 1.2. Pronađite ugao između vektora a= 2m+4n I b= m-n, gdje m I n- jedinični vektori i ugao između m I n jednako 120 o.

Rješenje. Imamo: cos φ = ab/ab, ab=(2m+4n) (m-n) = 2m 2 - 4n 2 +2mn=
= 2 - 4+2cos120 o = - 2 + 2(-0,5) = -3; a = ; a 2 = (2m+4n) (2m+4n) =
= 4m 2 +16mn+16n 2 = 4+16(-0,5)+16=12, dakle a = . b= ; b 2 =
= (m-n)(m-n) = m 2 -2mn+n 2 = 1-2(-0,5)+1 = 3, dakle b = . Konačno imamo: cosφ \u003d -1/2, φ = 120 o.

Primjer 1.3.Poznavanje vektora AB(-3,-2.6) i BC(-2,4,4), izračunaj visinu AD trougla ABC.

Rješenje. Označavajući površinu trokuta ABC sa S, dobijamo:
S = 1/2 p.n.e. Onda AD=2S/BC, BC== = 6,
S = 1/2| AB ×AC|. AC=AB+BC, dakle vektor AC ima koordinate
. .

Primjer 1.4 . Zadana dva vektora a(11,10,2) i b(4,0,3). Pronađite jedinični vektor c, ortogonalno na vektore a I b i usmjerena tako da uređena trojka vektora a, b, c bio u pravu.

Rješenje.Označimo koordinate vektora c s obzirom na datu desnu ortonormiranu bazu u terminima x, y, z.

Ukoliko c ⊥ a, c ⊥b, onda ca= 0, cb= 0. Po uslovu zadatka traži se da je c = 1 i a b c >0.

Imamo sistem jednačina za pronalaženje x,y,z: 11x +10y + 2z = 0, 4x+3z=0, x 2 + y 2 + z 2 = 0.

Iz prve i druge jednačine sistema dobijamo z = -4/3 x, y = -5/6 x. Zamjenom y i z u treću jednačinu imat ćemo: x 2 = 36/125, odakle
x=± . Uvjet korištenja a b c > 0, dobijamo nejednakost

Uzimajući u obzir izraze za z i y, rezultujuću nejednakost prepisujemo u obliku: 625/6 x > 0, odakle slijedi da je x>0. Dakle, x = , y = - , z = - .

VECTOR
U fizici i matematici vektor je veličina koju karakteriše numerička vrijednost i smjer. U fizici postoje mnoge važne veličine koje su vektori, kao što su sila, položaj, brzina, ubrzanje, moment, moment, električna i magnetna polja. Mogu se suprotstaviti drugim veličinama, kao što su masa, zapremina, pritisak, temperatura i gustina, koje se mogu opisati običnim brojem, a nazivaju se „skalarima“. Vektorska notacija se koristi kada se radi sa veličinama koje se ne mogu u potpunosti specificirati običnim brojevima. Na primjer, želimo opisati položaj objekta u odnosu na neku tačku. Možemo reći koliko je kilometara od tačke do objekta, ali ne možemo u potpunosti odrediti njegovu lokaciju dok ne znamo smjer u kojem se nalazi. Dakle, lokaciju objekta karakterizira numerička vrijednost (udaljenost u kilometrima) i smjer. Grafički, vektori su prikazani kao usmjereni segmenti prave linije određene dužine, kao na sl. 1. Na primjer, da biste grafički predstavili silu od pet kilograma, morate nacrtati segment prave linije dužine pet jedinica u smjeru sile. Strelica pokazuje da sila djeluje od A do B; ako je sila djelovala od B do A, onda bismo napisali ili Radi pogodnosti, vektori se obično označavaju podebljanim velikim slovima (A, B, C, itd.); vektori A i -A imaju jednake numeričke vrijednosti, ali suprotnog smjera. Numerička vrijednost vektora A naziva se modul ili dužina i označava se sa A ili |A|. Ova veličina je, naravno, skalar. Vektor čiji se početak i kraj podudaraju naziva se nulti vektor i označava se O.

Dva vektora nazivaju se jednakima (ili slobodnima) ako su im moduli i smjerovi isti. U mehanici i fizici, međutim, ova definicija se mora koristiti s oprezom, jer će dvije jednake sile primijenjene na različite točke tijela općenito dovesti do različiti rezultati. U tom smislu, vektori se dijele na "povezane" ili "klizne", kako slijedi: Povezani vektori imaju fiksne tačke primjene. Na primjer, radijus vektor pokazuje položaj tačke u odnosu na neko fiksno ishodište. Povezani vektori se smatraju jednakim ako ne samo da imaju iste module i pravce, već imaju i zajedničku tačku primjene. Klizni vektori su jednaki vektori koji se nalaze na istoj pravoj liniji.
Sabiranje vektora. Ideja zbrajanja vektora dolazi iz činjenice da možemo pronaći jedan vektor koji ima isti učinak kao i dva druga vektora zajedno. Ako, da bismo došli do neke točke, moramo prijeći prvo A kilometara u jednom smjeru, a zatim B kilometara u drugom smjeru, tada bismo mogli doći do našeg krajnja tačka prešavši C kilometara u trećem pravcu (slika 2). U tom smislu se može reći

A+B=C.
Vektor C se naziva "vektor rezultata" od A i B i dat je konstrukcijom prikazanom na slici; paralelogram je izgrađen na vektorima A i B kao na stranicama, a C je dijagonala koja povezuje početak A i kraj B. Sa sl. 2 može se vidjeti da je sabiranje vektora "komutativno", tj. A + B = B + A. Slično, možete dodati nekoliko vektora tako što ćete ih povezati u seriju u "neprekidni lanac", kao što je prikazano na sl. 3 za tri vektora D, E i F. Sa sl. 3 to takođe pokazuje

(D + E) + F = D + (E + F), tj. sabiranje vektora je asocijativno. Bilo koji broj vektora se može sabrati, a vektori ne moraju ležati u istoj ravni. Oduzimanje vektora je predstavljeno kao dodavanje negativnom vektoru. Na primjer, A - B = A + (-B), gdje je, kao što je prethodno definirano, -B vektor jednak B u apsolutnoj vrijednosti, ali suprotnog smjera. Ovo pravilo sabiranja sada se može koristiti kao pravi kriterij za provjeru da li je neka veličina vektor ili ne. Kretanja su obično podložna odredbama ovog pravila; isto se može reći i za brzine; sile se sabiraju na isti način kao što se može vidjeti iz "trougla sila". Međutim, neke veličine koje imaju i numeričke vrijednosti i smjerove ne poštuju ovo pravilo, pa se stoga ne mogu smatrati vektorima. Primjer su konačne rotacije.
Množenje vektora skalarom. Proizvod mA ili Am, gdje je m (m # 0) skalar, a A vektor različit od nule, definiran je kao drugi vektor koji je m puta duži od A i ima isti smjer kao A ako je m pozitivno, i suprotno ako je m negativno, kao što je prikazano na sl. 4, gdje je m 2 i -1/2, respektivno. Osim toga, 1A = A, tj. kada se pomnoži sa 1, vektor se ne mijenja. Vrijednost -1A je vektor jednake dužine A ali suprotnog smjera, obično se piše kao -A. Ako je A nulti vektor i (ili) m = 0, onda je mA nulti vektor. Množenje je distributivno, tj.

Možemo dodati bilo koji broj vektora, a redosled pojmova ne utiče na rezultat. Vrijedi i obrnuto: svaki vektor se razlaže na dvije ili više "komponenti", tj. u dva ili više vektora koji će, kada se zbroje, kao rezultat dati originalni vektor. Na primjer, na sl. 2, A i B su komponente C. Mnoge matematičke operacije s vektorima se pojednostavljuju ako se vektor razloži na tri komponente u tri međusobno okomita smjera. Odaberimo pravi Dekartov koordinatni sistem sa osama Ox, Oy i Oz kao što je prikazano na sl. 5. Pod desnim koordinatnim sistemom podrazumijevamo da su osi x, y i z pozicionirane kao glavne, indeksne i srednji prsti desna ruka. Iz jednog desnog koordinatnog sistema uvijek je moguće dobiti drugi desni koordinatni sistem odgovarajućom rotacijom. Na sl. 5 prikazuje dekompoziciju vektora A na tri komponente i oni se sabiraju vektoru A , budući da

shodno tome,

Također se može prvo dodati i dobiti, a zatim dodati Projekcije vektora A na tri koordinatne ose, označene Ax, Ay i Az, nazivaju se "skalarne komponente" vektora A:

gdje su a, b i g uglovi između A i tri koordinatne ose. Sada uvodimo tri vektora jedinične dužine i, j i k (orths) koji imaju isti smjer kao i odgovarajuće x, y i z ose. Zatim, ako se Ax pomnoži sa i, onda je rezultirajući proizvod vektor jednak i

Dva vektora su jednaka ako i samo ako su im odgovarajuće skalarne komponente jednake. Dakle, A = B ako i samo ako je Ax = Bx, Ay = By, Az = Bz. Dva vektora se mogu dodati dodavanjem njihovih komponenti:

Osim toga, prema Pitagorinoj teoremi:

Linearne funkcije. Izraz aA + bB, gdje su a i b skalari, naziva se linearna funkcija vektora A i B. Ovo je vektor koji je u istoj ravni kao A i B; ako A i B nisu paralelni, onda kada se a i b promijene, vektor aA + bB će se kretati preko cijele ravni (slika 6). Ako A, B i C ne leže svi u istoj ravni, tada se vektor aA + bB + cC (a, b i c se mijenjaju) kreće kroz prostor. Pretpostavimo da su A, B i C jedinični vektori i, j i k. Vektor ai leži na x-osi; vektor ai + bj se može kretati duž cijele ravni xy; vektor ai + bj + ck se može kretati kroz prostor.

Moglo bi se izabrati četiri međusobno okomita vektora i, j, k i l i definirati četverodimenzionalni vektor kao veličinu A = Axi + Ayj + Azk + Awl
sa dužinom

i može se nastaviti do pet, šest ili bilo koji broj dimenzija. Iako je takav vektor nemoguće vizualno predstaviti, ovdje nema matematičkih poteškoća. Takva notacija je često korisna; na primjer, stanje pokretne čestice opisuje se šestodimenzionalnim vektorom P (x, y, z, px, py, pz), čije su komponente njena pozicija u prostoru (x, y, z) i impuls (px , py, pz). Takav prostor se naziva "fazni prostor"; ako uzmemo u obzir dvije čestice, onda je fazni prostor 12-dimenzionalan, ako tri, onda 18, i tako dalje. Broj dimenzija se može neograničeno povećavati; međutim, veličine s kojima ćemo se baviti ponašaju se na isti način kao i one koje ćemo razmotriti u ostatku ovog članka, naime, trodimenzionalni vektori.
Množenje dva vektora. Pravilo sabiranja vektora dobijeno je proučavanjem ponašanja veličina predstavljenih vektorima. Ne postoje vidljivih razloga, kojim se dva vektora ne bi mogla pomnožiti ni na koji način, ali će ovo množenje imati smisla samo ako se može pokazati da je matematički konzistentno; pored toga, poželjno je da rad ima određenu fizičko značenje. Postoje dva načina za množenje vektora koji ispunjavaju ove uslove. Rezultat jednog od njih je skalar, takav proizvod se naziva "skalarni proizvod" ili "unutarnji proizvod" dva vektora i piše se ACHB ili (A, B). Rezultat drugog množenja je vektor koji se naziva "unakrsni proizvod" ili "spoljni proizvod" i piše se A*B ili []. Tačkasti proizvodi imaju fizičko značenje za jednu, dvije ili tri dimenzije, dok su vektorski proizvodi definirani samo za tri dimenzije.
Skalarni proizvodi. Ako se pod dejstvom neke sile F tačka na koju je primenjena pomeri za rastojanje r, tada je izvršeni rad jednak umnošku r i komponente F u pravcu r. Ova komponenta je jednaka F cos bF, rc, gdje je bF, rc ugao između F i r, tj. Obavljen posao = Fr cos bF, rc. Ovo je primjer fizičke opravdanosti skalarnog proizvoda definiranog za bilo koja dva vektora A, B pomoću formule
A*B = AB cos bA, Bs.
Pošto su sve veličine na desnoj strani jednačine skalarne, onda je A*B = B*A; stoga je skalarno množenje komutativno. Skalarno množenje takođe ima distributivno svojstvo: A*(B + C) = A*B + A*C. Ako su vektori A i B okomiti, tada je cos bA, Bc jednak nuli, i, prema tome, A*B = 0, čak i ako ni A ni B nisu jednaki nuli. Zato ne možemo dijeliti vektorom. Pretpostavimo da smo obje strane jednačine A*B = A*C podijelili sa A. Ovo bi dalo B = C, a ako bi se podjela mogla izvršiti, onda bi ova jednakost bila jedinstvena mogući ishod. Međutim, ako prepišemo jednačinu A*B = A*C kao A*(B - C) = 0 i zapamtimo da je (B - C) vektor, onda je jasno da (B - C) nije nužno nula i stoga B ne smije biti jednako C. Ovi konfliktni rezultati pokazuju da je podjela vektora nemoguća. Skalarni proizvod daje drugi način za pisanje numeričke vrijednosti (modula) vektora: A*A = AA*cos 0° = A2;
zbog toga

Skalarni proizvod se može napisati i na drugi način. Da biste to učinili, zapamtite da je: A = Ax i + Ayj + Azk. primeti, to

onda,

Budući da posljednja jednačina sadrži x, y i z kao indekse, čini se da jednačina ovisi o određenom odabranom koordinatnom sistemu. Međutim, to nije slučaj, kao što se vidi iz definicije, koja ne zavisi od odabranih koordinatnih ose.
Vector artwork. Vektor ili eksterni proizvod vektora je vektor čiji je modul jednak proizvodu njihovih modula i sinusa ugla okomitog na originalne vektore i zajedno sa njima čini pravu trojku. Ovaj proizvod se najlakše uvodi uzimajući u obzir odnos između brzine i ugaone brzine. Prvi je vektor; sada ćemo pokazati da se potonji može tumačiti i kao vektor. Ugaona brzina rotirajućeg tijela određuje se na sljedeći način: biramo bilo koju tačku na tijelu i iz te tačke povlačimo okomicu na os rotacije. Tada je ugaona brzina tijela broj radijana koje je ova linija rotirala u jedinici vremena. Ako je ugaona brzina vektor, ona mora imati numeričku vrijednost i smjer. Numerička vrijednost je izražena u radijanima u sekundi, smjer se može odabrati duž ose rotacije, može se odrediti usmjeravanjem vektora u smjeru u kojem bi se kretao desnoruki vijak pri rotaciji s tijelom. Razmotrimo rotaciju tijela oko fiksne ose. Ako ovu os ugradimo unutar prstena, koji je zauzvrat fiksiran na os umetnutu unutar drugog prstena, možemo dati rotaciju tijelu unutar prvog prstena ugaonom brzinom w1, a zatim učiniti da se unutrašnji prsten (i tijelo) rotiraju sa ugaona brzina w2. Slika 7 objašnjava suštinu stvari; kružne strelice pokazuju smjer rotacije. Ovo tijelo je čvrsta sfera sa centrom O i poluprečnikom r.

Rice. 7. KUGLA SA CENTROM O, rotira ugaonom brzinom w1 unutar prstena BC, koji zauzvrat rotira unutar prstena DE sa ugaonom brzinom w2. Sfera se rotira ugaonom brzinom jednak zbiru ugaone brzine i sve tačke na pravoj POP" su u stanju trenutnog mirovanja.

Dajmo ovom tijelu kretanje koje je zbir dvije različite ugaone brzine. Ovaj pokret je prilično teško vizualizirati, ali je sasvim očito da se tijelo više ne rotira oko fiksne ose. Međutim, još uvijek možete reći da se rotira. Da bismo to pokazali, biramo neku tačku P na površini tijela, koja se u trenutku koji razmatramo nalazi na velikoj kružnici koja povezuje tačke u kojima dvije ose sijeku površinu sfere. Ispustimo okomite iz P na osu. Ove okomice postaju poluprečnici PJ i PK kružnica PQRS i PTUW, respektivno. Nacrtajmo liniju POPŭ koja prolazi kroz centar sfere. Sada se tačka P, u razmatranom trenutku vremena, istovremeno kreće duž kružnica koje se dodiruju u tački P. Za mali vremenski interval Dt, P se pomiče na udaljenost

Ova udaljenost je nula ako

U ovom slučaju, tačka P je u stanju trenutnog mirovanja, a isto tako i sve tačke na pravoj POP osi rotacije sfere, baš kao što se točak koji se kotrlja po putu u svakom trenutku vremena okreće oko svoje najniže tačka Kolika je ugaona brzina sfere? , ona se kreće u vremenu Dt na rastojanje

Na kružnici poluprečnika r sin w1. Po definiciji, ugaona brzina

Iz ove formule i relacije (1) dobijamo

Drugim riječima, ako zapišete numeričku vrijednost i odaberete smjer ugaone brzine kao što je gore opisano, tada se ove veličine zbrajaju kao vektori i mogu se smatrati takvima. Sada možete unijeti unakrsni proizvod; razmotrimo tijelo koje rotira ugaonom brzinom w. Biramo bilo koju tačku P na tijelu i bilo koje ishodište O, koje se nalazi na osi rotacije. Neka je r vektor usmjeren od O do P. Tačka P se kreće duž kružnice brzinom V = w r sin (w, r). Vektor brzine V je tangentan na kružnicu i pokazuje smjer prikazan na sl. 8.

Ova jednadžba daje ovisnost brzine V tačke o kombinaciji dva vektora w i r. Koristimo ovaj omjer da odredimo nova vrsta proizvoda, i napišite: V = w * r. Pošto je rezultat takvog množenja vektor, ovaj proizvod se naziva vektorski proizvod. Za bilo koja dva vektora A i B, ako je A * B = C, onda je C = AB sin bA, Bc, a smjer vektora C je takav da je okomit na ravan koja prolazi kroz A i B i pokazuje u istom smjer kao smjer kretanja desnorotacionog vijka ako je paralelan sa C i rotira od A do B. Drugim riječima, možemo reći da A, B i C, tim redoslijedom, čine pravi skup koordinatnih osa. Vektorski proizvod je antikomutativan; vektor B * A ima isti modul kao A * B, ali je usmjeren u suprotnom smjeru: A * B = -B * A. Ovaj proizvod je distributivan, ali nije asocijativan; to se može dokazati

Pogledajmo kako je vektorski proizvod napisan u terminima komponenti i jediničnih vektora. Prije svega, za bilo koji vektor A, A * A = AA sin 0 = 0.
Prema tome, u slučaju jediničnih vektora, i * i = j * j = k * k = 0 i i * j = k, j * k = i, k * i = j. onda,

Ova jednakost se može napisati i kao determinanta:

Ako je A * B = 0, onda je ili A ili B 0, ili su A i B kolinearni. Stoga, kao i kod tačkastog proizvoda, podjela vektorom nije moguća. Vrijednost A * B jednaka je površini paralelograma sa stranicama A i B. To je lako vidjeti, budući da je B sin bA, Bc njegova visina, a A baza. Postoje mnoge druge fizičke veličine koje su vektorski proizvodi. Jedan od najvažnijih vektorskih proizvoda pojavljuje se u teoriji elektromagnetizma i naziva se Poyntingov vektor P. Ovaj vektor je dat na sljedeći način: P = E * H, gdje su E i H vektori električnog i magnetnog polja, respektivno. P vektor se može zamisliti kao dati protok energije u vatima po kvadratnom metru u bilo kojoj tački. Evo još nekoliko primjera: moment sile F (moment) u odnosu na ishodište, koji djeluje na tačku čiji je vektor radijusa r, definiran je kao r * F; čestica koja se nalazi u tački r, sa masom m i brzinom V, ima ugaoni moment mr * V u odnosu na ishodište; sila koja djeluje na česticu koja nosi električni naboj q kroz magnetsko polje B brzinom V je qV * B.
Trostruki radovi. Od tri vektora možemo formirati sljedeće trostruke proizvode: vektor (A*B) * C; vektor (A*B)*C; skalar (A * B)*C. Prvi tip je proizvod vektora C i skalara A*B; već smo govorili o takvim radovima. Drugi tip se naziva dvostruki unakrsni proizvod; vektor A * B je okomit na ravan u kojoj leže A i B, pa je stoga (A * B) * C vektor koji leži u ravnini A i B i okomit na C. Stoga, općenito, (A * B) * C nije jednako A * (B * C). Pisanjem A, B i C u smislu njihovih x, y i z koordinata (komponenti) i množenjem, možemo pokazati da je A * (B * C) = B * (A*C) - C * (A* B). Treći tip proizvoda koji se javlja u proračunima rešetke u fizici čvrstog stanja numerički je jednak volumenu paralelepipeda sa ivicama A, B, C. Pošto (A * B) * C = A * (B * C), predznaci skalarnih i vektorskih množenja mogu se zamijeniti, a dio se često piše kao (ABC). Ovaj proizvod je jednak determinanti

Imajte na umu da je (A B C) = 0 ako sva tri vektora leže u istoj ravni ili ako je A = 0 ili (i) B = 0 ili (i) C = 0.
VEKTORSKA DIFERENCIJACIJA
Pretpostavimo da je vektor U funkcija jedne skalarne varijable t. Na primjer, U može biti radijus vektor povučen od početka do tačke kretanja, a t može biti vrijeme. Neka se t promijeni za mali iznos Dt, koji će promijeniti U za DU. Ovo je prikazano na sl. 9. Omjer DU/Dt je vektor usmjeren u istom smjeru kao i DU. Možemo definirati derivaciju U u odnosu na t kao

pod uslovom da takvo ograničenje postoji. S druge strane, može se predstaviti U kao zbir komponenti duž tri ose i napisati

Ako je U radijus vektor r, tada je dr/dt brzina tačke, izražena kao funkcija vremena. Ponovo diferencirajući s obzirom na vrijeme, dobijamo ubrzanje. Pretpostavimo da se tačka kreće duž krive prikazane na Sl. 10. Neka je s udaljenost koju prijeđe tačka duž krive. Tokom malog vremenskog intervala Dt, tačka će proći rastojanje Ds duž krive; pozicija radijus vektora će se promijeniti u Dr. Stoga je Dr/Ds vektor usmjeren poput Dr. Dalje

Dr vektor - promjena radijusa-vektora.

je jedinični vektor tangenta na krivu. Ovo se može vidjeti iz činjenice da kako se tačka Q približava tački P, PQ se približava tangenti, a Dr približava Ds. Formule za diferenciranje proizvoda slične su formulama za diferenciranje proizvoda skalarnih funkcija; međutim, pošto je unakrsni proizvod antikomutativan, red množenja se mora sačuvati. Zbog toga,

Dakle, vidimo da ako je vektor funkcija jedne skalarne varijable, onda možemo predstaviti izvod na skoro isti način kao u slučaju skalarne funkcije.
Vektorska i skalarna polja. Gradijent. U fizici se često mora suočiti s vektorskim ili skalarnim veličinama koje se mijenjaju od tačke do tačke specificirano područje. Takva područja se nazivaju "polja". Na primjer, skalar može biti temperatura ili pritisak; vektor može biti brzina pokretnog fluida ili elektrostatičko polje sistema naelektrisanja. Ako smo izabrali neki koordinatni sistem, tada bilo kojoj tački P (x, y, z) u datoj oblasti odgovara neki radijus vektor r (= xi + yj + zk) i takođe vrednost vektorske veličine U (r) ili skalar f (r) povezan s njim. Pretpostavimo da su U i f jednoznačno definisani u domeni; one. svaka tačka odgovara jednoj i samo jednoj vrijednosti U ili f, iako različite tačke mogu, naravno, imati razna značenja. Recimo da želimo opisati brzinu kojom se mijenjaju U i f dok se krećemo kroz ovo područje. Jednostavne parcijalne derivacije, kao što su dU/dx i df/dy, nam ne odgovaraju, jer zavise od posebno odabranih koordinatnih osa. Međutim, moguće je uvesti vektorski diferencijalni operator nezavisno od izbora koordinatnih osa; ovaj operator se zove "gradijent". Pozabavimo se skalarnim poljem f. Prvo, kao primjer, razmotrite konturna karta regionima zemlje. U ovom slučaju, f je visina iznad nivoa mora; konturne linije povezuju tačke sa istom f vrednošću. Kada se kreće duž bilo koje od ovih linija, f se ne mijenja; ako se krećemo okomito na ove prave, tada će brzina promjene f biti maksimalna. Svaku tačku možemo povezati s vektorom koji pokazuje veličinu i smjer maksimalne promjene brzine f; takva mapa i neki od ovih vektora prikazani su na Sl. 11. Ako ovo uradimo za svaku tačku polja, dobićemo vektorsko polje povezano sa skalarnim poljem f. Ovo je polje vektora zvanog "gradijent" f, koje se piše kao grad f ili Cf (simbol C se takođe naziva "nabla").

U slučaju tri dimenzije, konturne linije postaju površine. Mali pomak Dr (= iDx + jDy + kDz) dovodi do promjene f, koja se zapisuje kao

gdje tačke označavaju pojmove višeg reda. Ovaj izraz se može napisati kao tačkasti proizvod

Podijelite desnu i lijevu stranu ove jednakosti sa Ds, i neka Ds teži nuli; onda

gdje je dr/ds jedinični vektor u odabranom smjeru. Izraz u zagradama je vektor koji ovisi o odabranoj tački. Dakle, df/ds ima maksimalnu vrijednost kada dr/ds pokazuje u istom smjeru, izraz u zagradi je gradijent. Na ovaj način,

- vektor jednak po veličini i koji se poklapa u pravcu sa maksimalna brzina promjene u f u odnosu na koordinate. Gradijent f se često piše kao

To znači da operator C postoji sam po sebi. U mnogim slučajevima ponaša se kao vektor i zapravo je "vektorski diferencijalni operator" - jedan od najvažnijih diferencijalnih operatora u fizici. Uprkos činjenici da C sadrži jedinične vektore i, j i k, njegovo fizičko značenje ne zavisi od odabranog koordinatnog sistema. Kakav je odnos između Cf i f? Prije svega, pretpostavimo da f definira potencijal u bilo kojoj tački. Za bilo koji mali pomak Dr, vrijednost f će se promijeniti za

Ako je q količina (na primjer, masa, naboj) koju pokreće Dr, tada je rad obavljen pri pomjeranju q za Dr jednak

Pošto je Dr pomak, qSf je sila; -Cf je napetost (sila po jedinici količine) povezana sa f. Na primjer, neka je U elektrostatički potencijal; tada je E jačina električnog polja, data formulom E = -SU. Pretpostavimo da je U kreiran tačkastim električnim nabojem od q kulona postavljenim na početku. Vrijednost U u tački P (x, y, z) sa vektorom radijusa r data je formulom

Gdje je e0 dielektrična konstanta slobodnog prostora. Zbog toga

odakle slijedi da E djeluje u pravcu r i njegova veličina je jednaka q/(4pe0r3). Poznavajući skalarno polje, može se odrediti pridruženo vektorsko polje. Moguće je i suprotno. Sa stanovišta matematičke obrade, skalarnim poljima je lakše upravljati od vektorskih, jer su data jednom funkcijom koordinata, dok vektorsko polje zahtijeva tri funkcije koje odgovaraju vektorskim komponentama u tri smjera. Stoga se postavlja pitanje: da li je dato vektorsko polje, možemo li zapisati skalarno polje povezano s njim?
Divergencija i rotor. Vidjeli smo rezultat C koji djeluje na skalarnu funkciju. Šta se dešava ako se C primeni na vektor? Postoje dvije mogućnosti: neka je U (x, y, z) vektor; tada možemo formirati križni i tačkasti proizvod na sljedeći način:

Prvi od ovih izraza je skalar koji se naziva divergencija od U (označeno divU); drugi je vektor nazvan rotor U (označen kao rotU). Ove diferencijalne funkcije, divergencija i curl, široko se koriste u matematičkoj fizici. Zamislite da je U neki vektor i da su on i njegovi prvi derivati ​​kontinuirani u nekom domenu. Neka je P tačka u ovoj oblasti okružena malom zatvorenom površinom S koja ograničava zapreminu DV. Neka je n jedinični vektor okomit na ovu površinu u svakoj tački (n mijenja smjer dok se kreće oko površine, ali uvijek ima jediničnu dužinu); neka n pokazuje prema van. Hajde da to pokažemo

Ovdje S označava da su ovi integrali preuzeti preko cijele površine, da je element površine S. Radi jednostavnosti, izabraćemo pogodan oblik S u obliku malog paralelepipeda (kao što je prikazano na slici 12) sa strane Dx, Dy i Dz; tačka P je centar paralelepipeda. Izračunamo integral iz jednačine (4) prvo preko jedne strane paralelepipeda. Za prednju stranu n = i (jedinični vektor je paralelan sa x-osom); Da = DyDz. Doprinos integralu sa prednje strane je jednak

Na suprotnoj strani n = -i; ovo lice doprinosi integralu

Koristeći Taylorovu teoremu, dobijamo ukupan doprinos dva lica

Imajte na umu da je DxDyDz = DV. Slično, može se izračunati doprinos druga dva para lica. Puni integral je jednak

i ako postavimo DV (r) 0, onda članovi višeg reda nestaju. Prema formuli (2), izraz u zagradi je divU, što dokazuje jednakost (4). Jednakost (5) se može dokazati na isti način. Koristimo sl. 12; tada će doprinos prednje strane integralu biti jednak

I, koristeći Taylorovu teoremu, dobijamo da ukupni doprinos integralu od dva lica ima oblik

one. ovo su dva člana iz izraza za rotU u jednačini (3). Ostala četiri mandata će se dobiti nakon uzimanja u obzir doprinosa od ostala četiri lica. Šta ti omjeri zapravo znače? Razmotrimo jednakost (4). Pretpostavimo da je U brzina (na primjer, tekućine). Tada je nChU da = Un da, gdje je Un normalna komponenta vektor U na površinu. Prema tome, Un da ​​je zapremina fluida koji teče kroz da u jedinici vremena, a zapremina fluida koja protiče kroz S po jedinici vremena. shodno tome,

Brzina širenja jedinice zapremine oko tačke P. Ovo je mesto gde divergencija dobija ime; pokazuje brzinu kojom se fluid širi iz (tj. divergira od) P. Da biste objasnili fizičko značenje rotora U, razmotrite još jedan površinski integral preko malog cilindričnog volumena visine h koji okružuje P; ravni paralelne površine mogu se orijentirati u bilo kojem smjeru koji izaberemo. Neka je k jedinični vektor okomit na svaku površinu i neka površina svake površine bude DA; tada je ukupna zapremina DV = hDA (slika 13). Razmotrimo sada integral

Integrand je prethodno spomenuti trostruki skalarni proizvod. Ovaj proizvod će biti nula na ravnim površinama gdje su k i n paralelni. Na zakrivljenoj površini

Gdje je ds element krive kao što je prikazano na sl. 13. Upoređujući ove jednakosti sa relacijom (5), dobijamo da

I dalje pretpostavljamo da je U brzina. Kolika će biti prosječna ugaona brzina fluida oko k u ovom slučaju? Očigledno je da

ako DA nije jednak 0. Ovaj izraz je maksimalan kada k i rotU upućuju u istom smjeru; to znači da je rotU vektor jednak dvostrukoj ugaonoj brzini fluida u tački P. Ako se fluid rotira oko P, tada je rotU #0 i U vektori će se rotirati oko P. Otuda i naziv rotor. Teorema divergencije (Ostrogradsky-Gaussova teorema) je generalizacija formule (4) za konačne volumene. Ona navodi da je za neki volumen V omeđen zatvorenom površinom S,

Uvod

Sa sigurnošću možemo reći da malo ljudi razmišlja o tome da nas vektori svuda okružuju i pomažu nam u tome Svakodnevni život. Razmotrite situaciju: momak je sklopio spoj sa djevojkom dvije stotine metara od svoje kuće. Hoće li se naći? Naravno da nije, jer je mladić zaboravio da naznači glavnu stvar: pravac, odnosno, naučno - vektor. Dalje, u procesu rada na ovom projektu, dat ću još mnogo zanimljivih primjera vektora.

Generalno, smatram da je matematika najzanimljivija nauka u čijem poznavanju nema granica. Temu vektora odabrao sam ne slučajno, jako me zanimalo da pojam "vektora" daleko prevazilazi okvire jedne nauke, odnosno matematike, i okružuje nas skoro svuda. Dakle, svaka osoba treba da zna šta je vektor, stoga mislim da je ova tema veoma relevantna. U psihologiji, biologiji, ekonomiji i mnogim drugim naukama koristi se koncept "vektora". O ovome ću više pričati kasnije.

Ciljevi ovaj projekat su stjecanje vještina rada sa vektorima, sposobnost da se vidi neobično u običnom, razvoj pažljivog stava prema svijetu oko sebe.

Istorijat koncepta vektora

Jedan od osnovnih koncepata moderne matematike je vektor. Evolucija koncepta vektora izvršena je zahvaljujući širokoj upotrebi ovog koncepta u različitim oblastima matematike, mehanike, kao i u tehnologiji.

Vektor relativno nov matematički koncept. Sam izraz "vektor" prvi put se pojavio 1845. godine sa irskim matematičarem i astronomom Williamom Hamiltonom (1805. - 1865.) u njegovim radovima o konstrukciji numeričkih sistema koji generalizuju kompleksne brojeve. Hamilton također posjeduje izraz "skalar", "skalarni proizvod", "vektorski proizvod". Gotovo istovremeno s njim, istraživanja u istom pravcu, ali iz drugačijeg ugla, vodio je njemački matematičar Hermann Grassmann (1809 - 1877). Englez William Clifford (1845-1879) uspio je spojiti dva pristupa unutar opšta teorija, koji uključuje uobičajeni vektorski račun. A svoj konačni oblik dobio je u spisima američkog fizičara i matematičara Josiah Willard Gibbs (1839 - 1903), koji je 1901. objavio opsežan udžbenik o vektorskoj analizi.

Kraj prošlog i početak sadašnjeg stoljeća obilježen je ekstenzivnim razvojem vektorskog računa i njegove primjene. Stvorena je vektorska algebra i vektorska analiza, opća teorija vektorskog prostora. Ove teorije su korištene u konstrukciji specijalne i opšte teorije relativnosti, koje se isključivo igraju važnu ulogu u modernoj fizici.

Koncept vektora nastaje kada se treba baviti objektima koji se odlikuju veličinom i smjerom. Na primjer, neke fizičke veličine, kao što su sila, brzina, ubrzanje, itd., karakteriziraju se ne samo numeričkom vrijednošću, već i smjerom. U tom smislu, zgodno je ove fizičke veličine predstaviti kao usmjerene segmente. Po potrebi novi program u matematici i fizici, koncept vektora je postao jedan od vodećih koncepata školski kurs matematike.

Vektori u matematici

Vektor je usmjereni segment koji ima početak i kraj.

Vektor koji počinje u tački A i završava u tački B obično se označava kao AB. Vektori se također mogu označiti malim latiničnim slovima sa strelicom (ponekad i crticom) iznad njih, na primjer .

Vektor u geometriji prirodno je povezan s prijenosom (paralelni prijenos), što očito pojašnjava porijeklo njegovog imena (latinski vektor, nosilac). Zaista, svaki usmjereni segment na jedinstven način definira neku vrstu paralelnog prijenosa ravni ili prostora: recimo, vektor AB prirodno određuje prijenos, u kojoj tačka A ide u tačku B, i obrnuto, paralelni prijenos, u kojem A ide u B, određuje jedini usmjereni segment AB.

Dužina vektora AB je dužina segmenta AB, obično se označava AB. Ulogu nule među vektorima ima nulti vektor čiji se početak i kraj poklapaju; njemu, za razliku od drugih vektora, nije dodijeljen nikakav smjer.

Za dva vektora se kaže da su kolinearna ako leže na paralelnim linijama ili na istoj pravoj. Za dva vektora se kaže da su kosmjerna ako su kolinearna i upućuju u istom smjeru, a suprotno usmjerena ako su kolinearna i upućuju u različitim smjerovima.

Operacije na vektorima

Vektorski modul

Modul vektora AB je broj jednaka dužini segment AB. Pominje se kao AB. U smislu koordinata, izračunava se kao:

Vektorsko dodavanje

U koordinatnom prikazu, vektor sume se dobija zbrajanjem odgovarajućih koordinata pojmova:

)(\displaystyle (\vec (a))+(\vec (b))=(a_(x)+b_(x),a_(y)+b_(y),a_(z)+b_(z) ))

Za geometrijsku konstrukciju vektora zbira (\displaystyle (\vec (c))=(\vec (a))+(\vec (b)))c = različita pravila (metode) koriste se, ali sva daju isti rezultat. Upotreba ovog ili onog pravila opravdana je problemom koji se rješava.

pravilo trougla

Pravilo trougla najprirodnije slijedi iz razumijevanja vektora kao prijevoda. Jasno je da je rezultat uzastopne primjene dvije crtice (\displaystyle (\vec (a))) i (\displaystyle (\vec (b))) neke tačke isti kao primjena jedne crtice (\displaystyle (\vec (a ))+(\vec (b))) koji odgovara ovom pravilu. Da biste dodali dva vektora (\displaystyle (\vec (a))) i (\displaystyle (\vec (b))), prema pravilu trougla, oba ova vektora se prenose paralelno sa sobom tako da početak jednog od oni se poklapaju sa krajem drugog. Tada je vektor zbira zadan trećom stranom formiranog trokuta, a njegov početak se poklapa sa početkom prvog vektora, a kraj sa krajem drugog vektora.

Ovo pravilo je direktno i prirodno generalizirano na dodavanje bilo kojeg broja vektora, pretvarajući se u pravilo izlomljene linije:

pravilo poligona

Početak drugog vektora poklapa se sa krajem prvog, početak trećeg - sa krajem drugog i tako dalje, dok je zbir (\displaystyle n) vektora vektor, pri čemu se početak poklapa sa početak prvog i kraj koji se poklapa sa krajem (\displaystyle n)-og (odnosno, prikazan je kao usmjereni segment koji zatvara isprekidanu liniju). Takođe se naziva pravilo izlomljene linije.

pravilo paralelograma

Da biste dodali dva vektora (\displaystyle (\vec (a))) i (\displaystyle (\vec (b))), prema pravilu paralelograma, oba ova vektora se prenose paralelno sa sobom tako da im se počeci podudaraju. Tada je vektor zbira dat dijagonalom paralelograma izgrađenog na njima, koji dolazi iz njihovog zajedničkog porijekla.

Pravilo paralelograma je posebno zgodno kada postoji potreba da se prikaže vektor zbira koji je odmah vezan za istu tačku za koju su vezana oba člana - to jest, da se opiše sva tri vektora koja imaju zajedničko ishodište.

Vektorsko oduzimanje

Da biste dobili razliku u obliku koordinata, oduzmite odgovarajuće koordinate vektora:

‚ (\displaystyle (\vec (a))-(\vec (b))=(a_(x)-b_(x),a_(y)-b_(y),a_(z)-b_(z) ))

Da biste dobili vektor razlike (\displaystyle (\vec (c))=(\vec (a))-(\vec (b))) počeci vektora su povezani i početak vektora (\displaystyle (\ vec (c))) će biti kraj (\displaystyle (\vec (b))) i završava sa end (\displaystyle (\vec (a))). Ako se piše pomoću vektora tačke, onda AC-AB=BC(\displaystyle (\overrightarrow (AC))-(\overrightarrow (AB))=(\overrightarrow (BC))).

Pomnožite vektor brojem

Množenjem vektora (\displaystyle (\vec (a))) brojem (\displaystyle \alpha 0), dobija se kosmjerni vektor dužine (\displaystyle \alpha) puta duži. Množenjem vektora (\displaystyle (\vec (a))) brojem (\displaystyle \alpha , dobija se suprotno usmjeren vektor čija je dužina (\displaystyle \alpha) puta veća. Množenje vektora brojem u koordinatnom obliku je urađeno množenjem svih koordinata sa ovim brojem:

(\displaystyle \alpha (\vec (a))=(\alpha a_(x),\alpha a_(y),\alpha a_(z)))

Tačkasti proizvod vektoraskalar

Skalarni proizvod je broj koji se dobije množenjem vektora vektorom. Nalazi se prema formuli:

Skalarni proizvod se također može naći kroz dužinu vektora i ugao između njih. Primena vektora u srodnim naukama Vektori u fizici Vektori - moćan alat matematike i fizike. Osnovni zakoni mehanike i elektrodinamike formulisani su jezikom vektora. Da biste razumjeli fiziku, morate naučiti kako raditi s vektorima. U fizici, kao iu matematici, vektor je veličina koju karakteriše njena numerička vrijednost i smjer. U fizici postoje mnoge važne veličine koje su vektori, kao što su sila, položaj, brzina, ubrzanje, moment, moment, električna i magnetna polja. Vektori u književnosti Prisjetimo se basne Ivana Andrejeviča Krilova o tome kako su ga "s prtljagom ponijeli labud, rak i štuka". Basna tvrdi da su "kolica još tu", drugim riječima, da je rezultanta svih sila primijenjenih na kolica sila nula. A sila je, kao što znate, vektorska veličina. Vektori u hemiji

Često su čak i veliki naučnici iznosili tu ideju hemijska reakcija je vektor. U stvari, svaki fenomen se može sažeti pod koncept "vektora". Vektor izražava radnju ili pojavu koja ima jasan pravac u prostoru iu specifičnim uslovima, što se odražava njegovom veličinom. Smjer vektora u prostoru određen je uglovima formiranim između vektora i koordinatnih osa, a dužina (vrijednost) vektora određena je koordinatama njegovog početka i kraja.

Međutim, tvrdnja da je hemijska reakcija vektor do sada je bila netačna. Ipak, osnova ove izjave je sljedeće pravilo: "Svaka kemijska reakcija odgovara simetričnoj jednadžbi ravne linije u prostoru sa trenutnim koordinatama u obliku količina tvari (molova), masa ili volumena."

Sve direktne hemijske reakcije prolaze kroz ishodište. Nije teško bilo koju pravu liniju u prostoru izraziti vektorima, ali pošto direktna hemijska reakcija prolazi kroz početak koordinatnog sistema, može se pretpostaviti da se vektor direktne hemijske reakcije nalazi na samoj pravoj liniji i zove se radijus vektor. Početak ovog vektora poklapa se sa početkom koordinatnog sistema. Dakle, možemo zaključiti da se svaka hemijska reakcija karakteriše položajem njenog vektora u prostoru. Vektori u biologiji

Vektor (u genetici) - molekul nukleinska kiselina, najčešće DNK koja se koristi u genetskom inženjeringu za prijenos genetskog materijala u drugu ćeliju.

Vektori u ekonomiji

Jedna od grana više matematike je linearna algebra. Njegovi elementi se široko koriste u rješavanju različitih problema ekonomske prirode. Među njima, koncept vektora zauzima važno mjesto.

Vektor je uređeni niz brojeva. Brojevi u vektoru, uzimajući u obzir njihov položaj po broju u nizu, nazivaju se komponentama vektora. Imajte na umu da se vektori mogu smatrati elementima bilo koje prirode, uključujući i ekonomske. Pretpostavimo da neka tekstilna fabrika mora da proizvede 30 kompleta posteljine, 150 peškira, 100 bade mantila u jednoj smeni, onda se proizvodni program ove fabrike može predstaviti kao vektor, gde je sve što fabrika treba da proizvede je trodimenzionalno vektor.

Vektori u psihologiji

Danas postoji velika količina izvori informacija za samospoznaju, oblasti psihologije i samorazvoja. I nije teško primijetiti da tako neobičan smjer kao što je sistemsko-vektorska psihologija sve više postaje popularan, u njemu postoji 8 vektora.

Vektori u svakodnevnom životu

Primetio sam da me vektori, pored egzaktnih nauka, svakodnevno susreću. Tako, na primjer, dok sam šetao parkom, primijetio sam da se smreka, ispostavilo se, može smatrati primjerom vektora u prostoru: njen donji dio je početak vektora, a vrh stabla je kraj vektora. A table sa vektorskom slikom prilikom posjete velikim trgovinama pomažu nam da brzo pronađemo određeni odjel i uštedimo vrijeme.

Vektori u znakovima saobraćaja

Svakog dana, napuštajući kuću, postajemo učesnici u saobraćaju kao pešak ili kao vozač. Danas skoro svaka porodica ima automobil, što, naravno, ne može a da ne utiče na bezbednost svih učesnika u saobraćaju. A kako biste izbjegli incidente na putu, vrijedi se pridržavati svih pravila na putu. Ali ne zaboravite da je sve u životu međusobno povezano i, čak iu najjednostavnijim propisanim saobraćajnim znakovima, vidimo strelice smjera kretanja, koje se u matematici nazivaju vektorima. Ove strelice (vektori) nam pokazuju smjer kretanja, smjer kretanja, stranu obilaznice i još mnogo toga. Sve ove informacije mogu se pročitati na saobraćajnim znakovima na cestama.

Zaključak

Osnovni koncept "vektora", koji smo razmatrali još na časovima matematike u školi, osnova je za učenje u odsjecima opšte hemije, opšta biologija, fizike i drugih nauka. Uočavam potrebu za vektorima u životu, koji pomažu u pronalaženju pravog objekta, štede vrijeme, obavljaju preskriptivnu funkciju u prometnim znakovima.

zaključci

Svaka osoba se stalno suočava sa vektorima u svakodnevnom životu.

Vektori su nam potrebni za proučavanje ne samo matematike, već i drugih nauka.

Svako treba da zna šta je vektor.

Izvori

Bašmakov M.A. Šta je vektor - 2. izd., ster - M.: Kvant, 1976.-221.

Vygodsky M.Ya. Priručnik za osnovnu matematiku.-3. izd., Sr. - M.: Nauka, 1978.-186s.

Gusyatnikov P.B. Vektorska algebra u primjerima i problemima - 2. izd., Ster. - M.: srednja škola, 1985.-302s.

Zaitsev V.V. Osnovna matematika. Tečaj ponavljanja - 3. izd., ster - M.: Nauka, 1976. - 156 str.

Kokseter G.S. Novi susreti sa geometrijom.-2. izd., Sr. - M.: Nauka, 1978.-324s.

Pogorelov A.V. Analitička geometrija - 3. izd., Sr. - M.: Kvant, 1968.-235s.