Pravilna piramida ima kvadratnu osnovu. Osnovna svojstva pravilne piramide

Dom

Ovdje možete pronaći osnovne informacije o piramidama i srodnim formulama i konceptima. Svi se oni izučavaju sa mentorom matematike u pripremi za Jedinstveni državni ispit. Zamislite ravan, poligon , koja leži u njemu i tačka S, a ne leži u njoj. Povežimo S sa svim vrhovima poligona. Rezultirajući poliedar naziva se piramida. Segmenti se nazivaju bočna rebra. Poligon se naziva baza, a tačka S je vrh piramide. U zavisnosti od broja n, piramida se naziva trokutasta (n=3), četvorougaona (n=4), petougaona (n=5) i tako dalje. Alternativni naslov – trouglasta piramida tetraedar

. Visina piramide je okomica koja se spušta od njenog vrha do ravni osnove. Piramida se naziva pravilnom ako pravilan poligon

, a osnova visine piramide (osnova okomice) je njeno središte.:
Komentar nastavnika Nemojte brkati koncepte “pravilne piramide” i “pravilnog tetraedra”. U pravilne piramide bočne ivice nisu nužno jednake ivicama baze, ali u pravilnom tetraedru svih 6 ivica je jednako. Ovo je njegova definicija. Lako je dokazati da jednakost implicira podudarnost centra P poligona

sa visinom osnove, tako da je pravilan tetraedar pravilna piramida.
Šta je apotema?

Apotema piramide je visina njene bočne strane. Ako je piramida pravilna, onda su svi njeni apotemi jednaki. Obrnuto nije tačno.
Nastavnik matematike o svojoj terminologiji: 80% rada s piramidama izgrađeno je kroz dvije vrste trokuta:
1) Sadrži apotemu SK i visinu SP

2) Sadrži bočnu ivicu SA i njenu projekciju PA Da bi se pojednostavile reference na ove trouglove, zgodnije je da nastavnik matematike nazove prvi od njih apothemal , i drugi costal

. Nažalost, ovu terminologiju nećete naći ni u jednom udžbeniku, a nastavnik je mora uvesti jednostrano.:
1) Formula za zapreminu piramide
, gdje je površina osnove piramide, a visina piramide 2) , gdje je polumjer upisane sfere, a površina puna površina
3) piramide.

, gdje je MN udaljenost između bilo koja dva ruba koja se ukrštaju, i površina paralelograma formiranog sredinama četiri preostale ivice.

Tačka P (vidi sliku) poklapa se sa središtem upisane kružnice u podnožju piramide ako je ispunjen jedan od sljedećih uslova:
1) Sve apoteme su jednake
2) Sve bočne strane su podjednako nagnute prema bazi
3) Sve apoteme su podjednako nagnute prema visini piramide
4) Visina piramide je podjednako nagnuta prema svim bočnim stranama

Komentar nastavnika matematike: Imajte na umu da sve tačke imaju jednu zajedničku stvar opšta imovina: na ovaj ili onaj način, bočna lica su svuda uključena (apoteme su njihovi elementi). Stoga nastavnik može ponuditi manje tačnu, ali pogodniju za učenje formulaciju: tačka P se poklapa sa centrom upisane kružnice, osnovom piramide, ako postoje jednake informacije o njenim bočnim stranama. Da bismo to dokazali, dovoljno je pokazati da su svi trouglovi apotema jednaki.

Tačka P poklapa se sa središtem kruga opisanog blizu osnove piramide ako je jedan od tri uslova tačan:
1) Sve bočne ivice su jednake
2) Sva bočna rebra su podjednako nagnuta prema bazi
3) Sva bočna rebra su podjednako nagnuta prema visini

Video tutorijal 2: Problem piramide. Volumen piramide

Video tutorijal 3: Problem piramide. Ispravna piramida

Predavanje: Piramida, njena osnova, bočna rebra, visina, bočna površina; trokutasta piramida; pravilne piramide

Piramida, njena svojstva

Piramida je trodimenzionalno tijelo koje u osnovi ima poligon, a sve njegove strane se sastoje od trouglova.

Poseban slučaj piramide je konus sa krugom u osnovi.

Pogledajmo glavne elemente piramide:

Apothem- ovo je segment koji povezuje vrh piramide sa sredinom donjeg ruba bočne strane. Drugim riječima, ovo je visina ivice piramide.

Na slici možete vidjeti trouglove ADS, ABS, BCS, CDS. Ako pažljivo pogledate imena, možete vidjeti da svaki trokut ima jedno zajedničko slovo u svom nazivu - S. To znači da se sve bočne strane (trokuti) konvergiraju u jednoj tački, koja se naziva vrhom piramide .

Segment OS koji povezuje vrh sa tačkom preseka dijagonala osnove (u slučaju trokuta - u tački preseka visina) naziva se visina piramide.

Dijagonalni presjek je ravan koja prolazi kroz vrh piramide, kao i jednu od dijagonala baze.

Budući da se bočna površina piramide sastoji od trokuta, onda pronaći ukupna površina bočne površine, morate pronaći površinu svakog lica i zbrojiti ih. Broj i oblik lica ovisi o obliku i veličini stranica poligona koji leži u osnovi.

Jedina ravan u piramidi koja ne pripada njenom vrhu se zove osnovu piramide.

Na slici vidimo da je baza paralelogram, međutim, to može biti bilo koji proizvoljni poligon.

Svojstva:

Razmotrimo prvi slučaj piramide u kojoj ona ima ivice iste dužine:

• Oko osnove takve piramide može se nacrtati krug. Ako projektirate vrh takve piramide, tada će se njena projekcija nalaziti u središtu kruga.
• Uglovi u osnovi piramide su isti na svakoj strani.
• U ovom slučaju dovoljnim uslovom da se krug može opisati oko osnove piramide, kao i da su svi rubovi različite dužine, mogu se smatrati isti uglovi između baze i svake ivice lica.

Ako naiđete na piramidu u kojoj su uglovi između bočnih strana i baze jednaki, tada su tačna sljedeća svojstva:

• Moći ćete opisati krug oko osnove piramide, čiji je vrh projektovan tačno u centar.
• Ako svaku bočnu ivicu visine nacrtate do baze, tada će biti jednake dužine.
• Da biste pronašli bočnu površinu takve piramide, dovoljno je pronaći obim baze i pomnožiti ga s polovinom dužine visine.
• S bp = 0,5P oc H.
• Vrste piramida.
• Ovisno o tome koji poligon leži u osnovi piramide, oni mogu biti trouglasti, četverouglasti itd. Ako se u osnovi piramide nalazi pravilan mnogokut (s jednakim stranicama), onda će se takva piramida zvati pravilna.

Pravilna trouglasta piramida

Ovaj video vodič će pomoći korisnicima da steknu ideju o temi Piramida. Ispravna piramida. U ovoj lekciji ćemo se upoznati sa pojmom piramide i dati mu definiciju. Hajde da razmotrimo šta je pravilna piramida i koja svojstva ima. Zatim dokazujemo teoremu o bočnoj površini pravilne piramide.

U ovoj lekciji ćemo se upoznati sa pojmom piramide i dati mu definiciju.

Razmislite o poligonu A 1 A 2...A n, koja leži u α ravni, i tačku P, koji ne leži u α ravni (slika 1). Hajde da povežemo tačke P sa vrhovima A 1, A 2, A 3, … A n. Dobili smo n trokuti: A 1 A 2 R, A 2 A 3 R i tako dalje.

Definicija. Poliedar RA 1 A 2 ...A n, sastavljen od n-kvadrat A 1 A 2...A n I n trouglovi RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1 se zove n-piramida uglja. Rice. 1.

Rice. 1

Zamislite četverokutnu piramidu PABCD(Sl. 2).

R- vrh piramide.

ABCD- osnova piramide.

RA- bočno rebro.

AB- osnovno rebro.

Sa tačke gledišta R hajde da ispustimo okomicu RN na osnovnu ravan ABCD. Povučena okomica je visina piramide.

Rice. 2

Puna površina piramide sastoji se od bočne površine, odnosno površine svih bočnih površina i površine osnove:

S puni = S strana + S glavni

Piramida se naziva ispravnom ako:

• njegova osnova je pravilan poligon;
• segment koji povezuje vrh piramide sa središtem baze je njena visina.

Objašnjenje na primjeru pravilne četverokutne piramide

Zamislite pravilnu četvorougaonu piramidu PABCD(Sl. 3).

R- vrh piramide. Osnova piramide ABCD- pravilan četvorougao, odnosno kvadrat. Dot O, tačka presjeka dijagonala, je centar kvadrata. znači, RO je visina piramide.

Rice. 3

Objašnjenje: u ispravnom n U trokutu, centar upisane kružnice i centar opisane kružnice poklapaju se. Ovaj centar se naziva središte poligona. Ponekad kažu da je vrh projektovan u centar.

Visina bočne strane pravilne piramide povučena iz njenog vrha naziva se apothem i određen je h a.

1. sve bočne ivice pravilne piramide su jednake;

2. Bočne strane su jednaki jednakokraki trouglovi.

Dokaz ovih svojstava ćemo dati na primjeru pravilne četverokutne piramide.

Dato: PABCD- tačno četvorougaone piramide,

ABCD- kvadrat,

RO- visina piramide.

Dokazati:

1. RA = PB = RS = PD

2.∆ABP = ∆BCP =∆CDP =∆DAP Vidi sl. 4.

Rice. 4

Dokaz.

RO- visina piramide. To jest, pravo RO okomito na ravan ABC, a samim tim i direktni JSC, VO, SO I DO ležeći u njemu. Dakle, trouglovi ROA, ROV, ROS, ROD- pravougaona.

Zamislite kvadrat ABCD. Iz svojstava kvadrata slijedi da AO = VO = CO = DO.

Zatim pravokutni trouglovi ROA, ROV, ROS, ROD nogu RO- general i noge JSC, VO, SO I DO su jednaki, što znači da su ti trouglovi jednaki na dvije strane. Iz jednakosti trouglova slijedi jednakost segmenata, RA = PB = RS = PD. Tačka 1 je dokazana.

Segmenti AB I Ned su jednake jer su stranice istog kvadrata, RA = PB = RS. Dakle, trouglovi AVR I VSR - jednakokraki i jednaki sa tri strane.

Na sličan način nalazimo te trouglove ABP, VCP, CDP, DAP su jednakokraki i jednaki, kao što je potrebno dokazati u stavu 2.

Površina bočne površine pravilne piramide jednaka je polovini umnoška opsega baze i apoteme:

Da bismo to dokazali, izaberimo pravilnu trouglastu piramidu.

Dato: RAVS- pravilna trouglasta piramida.

AB = BC = AC.

RO- visina.

Dokazati: . Vidi sl. 5.

Rice. 5

Dokaz.

RAVS- pravilna trouglasta piramida. To je AB= AC = BC. Neka O- centar trougla ABC, Onda RO je visina piramide. U osnovi piramide leži jednakostranični trokut ABC. Imajte na umu da .

Trouglovi RAV, RVS, RSA- jednako jednakokraki trouglovi(po imovini). Trouglasta piramida ima tri bočne strane: RAV, RVS, RSA. To znači da je površina bočne površine piramide:

S strana = 3S RAW

Teorema je dokazana.

Poluprečnik kružnice upisane u podnožje pravilne četvorougaone piramide je 3 m, visina piramide je 4 m. Nađite površinu bočne površine piramide.

Dato: pravilna četvorougaona piramida ABCD,

ABCD- kvadrat,

r= 3 m,

RO- visina piramide,

RO= 4 m.

Nađi: S strana. Vidi sl. 6.

Rice. 6

Rješenje.

Prema dokazanoj teoremi, .

Nađimo prvo stranu baze AB. Znamo da je poluprečnik kružnice upisane u podnožje pravilne četvorougaone piramide 3 m.

Zatim, m.

Pronađite obim kvadrata ABCD sa stranicom od 6 m:

Zamislite trougao BCD. Neka M- sredina strane DC. Jer O- srednji BD, To (m).

Trougao DPC- jednakokraki. M- srednji DC. to je, RM- medijana, a time i visina u trouglu DPC. Onda RM- apotema piramide.

RO- visina piramide. Onda pravo RO okomito na ravan ABC, a samim tim i direktni OM, ležeći u njemu. Nađimo apotemu RM iz pravouglog trougla ROM.

Sada možemo naći bočna površina piramide:

Odgovori Površina: 60 m2.

Poluprečnik kružnice opisane oko osnove pravilne trokutaste piramide jednak je m Bočna površina je 18 m 2. Pronađite dužinu apoteme.

Dato: ABCP- pravilne trouglaste piramide,

AB = BC = SA,

R= m,

S strana = 18 m2.

Nađi: . Vidi sl. 7.

Rice. 7

Rješenje.

U pravouglu ABC Dat je polumjer opisane kružnice. Hajde da nađemo stranu AB ovaj trougao koristeći zakon sinusa.

Poznavajući stranu pravilnog trougla (m), nalazimo njegov perimetar.

Po teoremi o bočnoj površini pravilne piramide, gdje je h a- apotema piramide. onda:

Odgovori: 4 m.

Dakle, pogledali smo šta je piramida, šta je pravilna piramida i dokazali smo teoremu o bočnoj površini pravilne piramide. U sljedećoj lekciji ćemo se upoznati sa skraćenom piramidom.

Reference

1. Geometrija. 10-11 razred: udžbenik za učenike obrazovne institucije(osnovni i nivoi profila) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. izdanje, rev. i dodatne - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 str.: ilustr.
2. Geometrija. 10-11 razred: Udžbenik za opšte obrazovanje obrazovne institucije/ Sharygin I.F. - M.: Drfa, 1999. - 208 str.: ilustr.
3. Geometrija. 10. razred: Udžbenik za opšteobrazovne ustanove sa opsežnim i specijalizovana studija matematike /E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6. izd., stereotip. - M.: Drfa, 008. - 233 str.: ilustr.

1. Internet portal "Yaklass" ()
2. Internet portal „Festival pedagoške ideje"Prvi septembar" ()
3. Internet portal “Slideshare.net” ()

Domaći

1. Može li pravilan mnogokut biti osnova nepravilne piramide?
2. Dokazati da su disjunktne ivice pravilne piramide okomite.
3. Nađite vrijednost ugla diedara na strani osnove pravilne četverougaone piramide ako je apotema piramide jednaka strani njene osnove.
4. RAVS- pravilna trouglasta piramida. Konstruirajte linearni ugao diedarskog ugla u osnovi piramide.

hipoteza: vjerujemo da je savršenstvo oblika piramide posljedica matematičkih zakona svojstvenih njenom obliku.

Cilj: proučivši piramidu kao geometrijsko tijelo, da objasni savršenstvo njegove forme.

Zadaci:

1. Dajte matematička definicija piramida.

2. Proučavajte piramidu kao geometrijsko tijelo.

3. Shvatite koje su matematičko znanje Egipćani ugradili u svoje piramide.

Privatna pitanja:

1. Šta je piramida kao geometrijsko tijelo?

2. Kako se jedinstveni oblik piramide može objasniti sa matematičke tačke gledišta?

3. Šta objašnjava geometrijska čuda piramide?

4. Šta objašnjava savršenstvo oblika piramide?

Definicija piramide.

PIRAMIDA (od grčkog pyramis, gen. pyramidos) - poliedar čija je osnova poligon, a preostale strane su trouglovi koji imaju zajednički vrh (crtež). Na osnovu broja uglova baze, piramide se dijele na trouglaste, četverokutne itd.

PIRAMIDA - monumentalna građevina sa geometrijski oblik piramide (ponekad i stepenaste ili u obliku kule). Piramide su naziv za džinovske grobnice drevnih egipatskih faraona iz 3.-2. milenijuma prije Krista. e., kao i postolja drevnih američkih hramova (u Meksiku, Gvatemali, Hondurasu, Peruu), povezana s kosmološkim kultovima.

Moguće je da grčka riječ“Piramida” dolazi od egipatskog izraza per-em-us, odnosno od izraza koji označava visinu piramide. Izvanredni ruski egiptolog V. Struve vjerovao je da grčko “puram...j” dolazi od staroegipatskog “p”-mr”.

Iz istorije. Proučivši materijal u udžbeniku „Geometrija“ autora Atanasyana. Butuzov i drugi, saznali smo da: Poliedar sastavljen od n-ugla A1A2A3 ... An i n trouglova PA1A2, PA2A3, ..., PAnA1 naziva se piramida. Poligon A1A2A3...An je osnova piramide, a trouglovi PA1A2, PA2A3,..., PAnA1 su bočne strane piramide, P je vrh piramide, segmenti PA1, PA2,.. ., PAn su bočne ivice.

Međutim, ova definicija piramide nije uvijek postojala. Na primjer, starogrčki matematičar, autor teorijskih rasprava o matematici koji su do nas došli, Euklid, definira piramidu kao čvrstu figuru omeđenu ravninama koje konvergiraju iz jedne ravni u jednu tačku.

Ali ova je definicija kritizirana već u antičko doba. Tako je Heron predložio sljedeću definiciju piramide: “To je lik omeđen trouglovima koji konvergiraju u jednoj tački i čija je osnova poligon.”

Naša grupa je, upoređujući ove definicije, došla do zaključka da one nemaju jasnu formulaciju pojma „temelj“.

Proučili smo ove definicije i pronašli definiciju Adriena Marie Legendrea, koji je 1794. godine u svom djelu “Elementi geometrije” definirao piramidu na sljedeći način: “Piramida je čvrsta figura formirana od trokuta koji se konvergiraju u jednoj tački i završavaju na različitim stranama ravnu osnovu.”

Čini nam se da posljednja definicija daje jasnu predstavu o piramidi, budući da ona mi pričamo o tome da je osnova ravna. Druga definicija piramide pojavila se u udžbeniku iz 19. veka: „piramida je čvrst ugao presečen ravninom“.

Piramida kao geometrijsko tijelo.

To. Piramida je poliedar, čije je jedno lice (osnova) poligon, a preostale strane (stranice) su trouglovi koji imaju jedan zajednički vrh (vrh piramide).

Zove se okomito povučeno od vrha piramide do ravni baze visinah puna površina

Pored proizvoljnih piramida, postoje ispravna piramida u čijoj se osnovi nalazi pravilan poligon i krnje piramide.

Na slici je piramida PABCD, ABCD je njena osnova, PO je njena visina.

Ukupna površina piramida je zbir površina svih njenih lica.

Puno = Sside + Smain, Gdje Side– zbir površina bočnih strana.

Volumen piramide nalazi se po formuli:

V=1/3Sbas. h, gdje je Sbas. - bazna površina, h- visina.

Os pravilne piramide je prava linija koja sadrži njenu visinu.
Apotema ST je visina bočne strane pravilne piramide.

Površina bočne strane pravilne piramide izražava se na sljedeći način: Sside. =1/2P h, gdje je P obim baze, h- visina bočne strane (apotema pravilne piramide). Ako piramidu siječe ravan A’B’C’D’, paralelna sa bazom, tada:

1) bočna rebra i visina podijeljeni su ovom ravninom na proporcionalne dijelove;

2) u poprečnom preseku se dobija poligon A’B’C’D’, sličan osnovi;

https://pandia.ru/text/78/390/images/image017_1.png" width="287" height="151">

Osnove krnje piramide– slični poligoni ABCD i A`B`C`D`, bočne strane su trapezi.

Visina skraćena piramida - udaljenost između baza.

Skraćeni volumen piramida se nalazi po formuli:

V=1/3 h(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" align="left" width="91" height="96"> Bočna površina pravilne skraćene piramide se izražava na sljedeći način: Sside = ½(P+P') h, gdje su P i P' perimetri baza, h- visina bočne strane (apotema pravilne skraćene piramije

Sekcije piramide.

Presjeci piramide ravninama koje prolaze kroz njen vrh su trouglovi.

Odsjek koji prolazi kroz dvije nesusjedne bočne ivice piramide naziva se dijagonalni presjek.

Ako sekcija prolazi kroz tačku na bočno rebro i stranica baze, tada će njen trag na ravni osnove piramide biti ova strana.

Presjek koji prolazi kroz tačku koja leži na licu piramide i zadanu dionicu prati na osnovnoj ravni, tada konstrukciju treba izvesti na sljedeći način:

· pronaći tačku preseka ravni date površine i traga preseka piramide i označiti je;

konstruisati pravu liniju koja prolazi dati poen i rezultujuća tačka preseka;

· ponovite ove korake za sljedeća lica.

, što odgovara omjeru kateta pravokutnog trokuta 4:3. Ovaj omjer krakova odgovara dobro poznatom pravokutnom trokutu sa stranicama 3:4:5, koji se naziva "savršeni", "sveti" ili "egipatski" trokut. Prema istoričarima, dat je „egipatski“ trougao magično značenje. Plutarh je napisao da su Egipćani upoređivali prirodu univerzuma sa „svetim“ trouglom; oni su vertikalnu nogu simbolično uporedili sa mužem, bazu sa ženom, a hipotenuzu sa onim što se rađa od oboje.

Za trougao 3:4:5 tačna je jednakost: 32 + 42 = 52, što izražava Pitagorinu teoremu. Nije li tu teoremu egipatski sveštenici hteli da ovjekovječe podizanjem piramide zasnovane na trouglu 3:4:5? Teško je naći uspješniji primjer za ilustraciju Pitagorine teoreme, koja je bila poznata Egipćanima mnogo prije nego što je Pitagora otkrila.

Tako su briljantni tvorci egipatskih piramida nastojali da zadive daleke potomke dubinom svog znanja, a to su postigli odabirom „zlatnog“ pravokutnog trokuta kao „glavne geometrijske ideje“ za Keopsovu piramidu, a „svetog“ ili "egipatski" za Khafreovu piramidu.

Veoma često u svojim istraživanjima naučnici koriste svojstva piramida sa zlatnim omjerom.

U matematici enciklopedijski rečnik Daje se sljedeća definicija zlatnog preseka - ovo je harmonijska podjela, podjela u ekstremnom i prosječnom omjeru - dijeljenjem segmenta AB na dva dijela na način da je njegov veći dio AC prosječna proporcionalna između cijelog segmenta AB i njegovog manji dio NE.

Algebarsko određivanje zlatnog presjeka segmenta AB = a svodi na rješavanje jednačine a: x = x: (a – x), od čega je x približno jednako 0,62a. Omjer x se može izraziti kao razlomci 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21...= 0,618, gdje su 2, 3, 5, 8, 13, 21 Fibonačijevi brojevi.

Geometrijska konstrukcija zlatnog presjeka segmenta AB izvodi se na sljedeći način: u tački B se vraća okomita na AB, na nju se polaže segment BE = 1/2 AB, A i E su povezani, DE = BE je otpušten i, konačno, AC = AD, tada je zadovoljena jednakost AB: CB = 2:3.

Zlatni rez se često koristi u umjetničkim djelima, arhitekturi i nalazi se u prirodi. Živopisni primjeri su skulptura Apolona Belvedere, Partenon. Prilikom izgradnje Partenona korišćen je odnos visine objekta prema njegovoj dužini i taj odnos je 0,618. Objekti oko nas također pružaju primjere zlatnog omjera, na primjer, povezi mnogih knjiga imaju omjer širine i dužine blizu 0,618. S obzirom na raspored listova na zajedničkoj stabljici biljaka, možete primijetiti da se između svaka dva para listova nalazi treći u zlatnom omjeru (slajdovi). Svako od nas "nosi" zlatni omjer sa sobom "u rukama" - to je omjer falangi prstiju.

Zahvaljujući otkriću nekoliko matematičkih papirusa, egiptolozi su naučili nešto o drevnim egipatskim sistemima izračunavanja i mjerenja. Zadatke sadržane u njima rješavali su pisari. Jedan od najpoznatijih je Rhind matematički papirus. Proučavajući ove probleme, egiptolozi su naučili kako su se stari Egipćani nosili s različitim veličinama koje su nastajale prilikom izračunavanja mjera težine, dužine i zapremine, koje su često uključivale razlomke, kao i kako su postupali s uglovima.

Stari Egipćani su koristili metodu izračunavanja uglova zasnovanu na omjeru visine i osnovice pravokutnog trokuta. Oni su izražavali bilo koji ugao jezikom gradijenta. Gradijent nagiba je izražen kao omjer cijelih brojeva nazvan "seced". U Matematici u doba faraona, Richard Pillins objašnjava: „Seked pravilne piramide je nagib bilo kojeg od četiri trokutasta lica prema ravni osnove, mjeren n-tim brojem horizontalnih jedinica po vertikalnoj jedinici uspona. . Dakle, ova mjerna jedinica je ekvivalentna našem modernom kotangensu ugla nagiba. Stoga je egipatska riječ "seced" vezana za našu moderna reč"gradijent"".

Numerički ključ za piramide leži u omjeru njihove visine i baze. IN u praktičnom smislu- ovo je najlakši način da napravite šablone potrebne za stalna provera ispravan ugao nagiba tokom čitave konstrukcije piramide.

Egiptolozi bi nas rado uvjerili da je svaki faraon žudio da izrazi svoju individualnost, pa otuda i razlike u uglovima nagiba svake piramide. Ali može postojati i drugi razlog. Možda su svi htjeli utjeloviti različite simboličke asocijacije, skrivene u različitim proporcijama. Međutim, ugao Khafreove piramide (zasnovan na trouglu (3:4:5) pojavljuje se u tri problema predstavljena piramidama u Rhindovom matematičkom papirusu). Dakle, ovaj stav je bio dobro poznat starim Egipćanima.

Da budemo pošteni prema egiptolozima koji tvrde da stari Egipćani nisu bili svjesni trougla 3:4:5, dužina hipotenuze 5 nikada nije spomenuta. Ali matematički problemi Pitanja koja se tiču ​​piramida uvijek se odlučuju na osnovu drugog ugla - omjera visine i osnove. Kako dužina hipotenuze nikada nije spomenuta, zaključeno je da Egipćani nikada nisu izračunali dužinu treće stranice.

Omjer visine i osnove korišten u piramidama u Gizi nesumnjivo je bio poznat starim Egipćanima. Moguće je da su ovi odnosi za svaku piramidu odabrani proizvoljno. Međutim, ovo je u suprotnosti sa značajem koji se pridaje simbolizmu brojeva u svim tipovima Egipćana likovne umjetnosti. Vrlo je vjerovatno da su takvi odnosi bili značajni jer su izražavali specifične vjerske ideje. Drugim riječima, cijeli kompleks Gize bio je podređen koherentnom dizajnu dizajniranom da odražava određenu božansku temu. Ovo bi objasnilo zašto su dizajneri odabrali različite uglove za tri piramide.

U Misteriji Oriona, Bauval i Gilbert iznijeli su uvjerljive dokaze koji povezuju piramide u Gizi sa sazviježđem Orion, posebno zvijezdama Orionovog pojasa. predstavljanje jednog od tri glavna božanstva - Ozirisa, Izide i Horusa.

"GEOMETRIJSKA" ČUDA.

Među grandioznim egipatskim piramidama zauzima posebno mjesto Velika piramida faraona Keopsa (Khufu). Prije nego počnemo analizirati oblik i veličinu Keopsove piramide, trebamo se sjetiti koji su sistem mjera Egipćani koristili. Egipćani su imali tri jedinice dužine: "lakat" (466 mm), što je bilo jednako sedam "dlanova" (66,5 mm), što je zauzvrat bilo jednako četiri "prsta" (16,6 mm).

Analizirajmo dimenzije Keopsove piramide (slika 2), slijedeći argumente date u divnoj knjizi ukrajinskog naučnika Nikolaja Vasjutinskog “Zlatna proporcija” (1990).

Većina istraživača se slaže da je dužina stranice osnove piramide, na primjer, GF jednako L= 233,16 m Ova vrijednost odgovara gotovo 500 “lakata”. Potpuna usklađenost sa 500 "lakata" će se desiti ako se smatra da je dužina "lakta" jednaka 0,4663 m.

Visina piramide ( H) istraživači različito procjenjuju od 146,6 do 148,2 m, a u zavisnosti od prihvaćene visine piramide, mijenjaju se svi odnosi njenih geometrijskih elemenata. Koji je razlog razlika u procjenama visine piramide? Činjenica je da je, strogo govoreći, Keopsova piramida skraćena. Njena gornja platforma danas ima otprilike 10´10 m, ali je prije jednog stoljeća bila 6´ 6 m. Očigledno, vrh piramide je demontiran i ne odgovara prvobitnom.

Prilikom procjene visine piramide, potrebno je uzeti u obzir takav fizički faktor kao što je "nacrt" konstrukcije. Tokom dužeg vremenskog perioda, pod uticajem kolosalnog pritiska (do 500 tona po 1 m2 donje površine), visina piramide se smanjivala u odnosu na prvobitnu visinu.

Koja je bila prvobitna visina piramide? Ova visina se može ponovo stvoriti pronalaženjem osnovne "geometrijske ideje" piramide.

Slika 2.

Godine 1837. engleski pukovnik G. Wise izmjerio je ugao nagiba lica piramide: ispostavilo se da je jednak a= 51°51". Ovu vrijednost i danas prepoznaje većina istraživača. Navedena vrijednost ugla odgovara tangenti (tg a), jednako 1,27306. Ova vrijednost odgovara omjeru visine piramide AC do polovine svoje osnove C.B.(Sl.2), tj A.C. / C.B. = H / (L / 2) = 2H / L.

I ovdje je istraživače čekalo veliko iznenađenje!.png" width="25" height="24">= 1.272. Upoređujući ovu vrijednost sa vrijednošću tg a= 1,27306, vidimo da su ove vrijednosti vrlo blizu jedna drugoj. Ako uzmemo ugao a= 51°50", odnosno smanjite ga za samo jednu lučnu minutu, a zatim vrijednost a postaće jednak 1,272, odnosno poklopit će se sa vrijednošću. Treba napomenuti da je 1840. G. Wise ponovio svoja mjerenja i razjasnio da vrijednost ugla a=51°50".

Ova mjerenja dovela su istraživače do sljedeće vrlo zanimljive hipoteze: trougao ACB Keopsove piramide bio je zasnovan na relaciji AC / C.B. = = 1,272!

Razmotrimo sada pravougli trougao ABC, u kojem je omjer nogu A.C. / C.B.= (slika 2). Ako sada dužine stranica pravougaonika ABC označiti po x, y, z, a takođe uzeti u obzir da omjer y/x= , zatim u skladu sa Pitagorinom teoremom, dužina z može se izračunati pomoću formule:

Ako prihvatimo x = 1, y= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" width="143" height="27">

Slika 3."Zlatni" pravougaoni trougao.

Pravokutni trokut u kojem su stranice povezane kao t:zlatni" pravougli trougao.

Zatim, ako kao osnovu uzmemo hipotezu da je glavna "geometrijska ideja" Keopsove piramide "zlatni" pravougaoni trokut, onda odavde lako možemo izračunati "dizajn" visinu Keopsove piramide. To je jednako:

H = (L/2) ´ = 148,28 m.

Izvedemo sada neke druge relacije za Keopsovu piramidu, koje slijede iz „zlatne” hipoteze. Konkretno, naći ćemo omjer vanjske površine piramide i površine njene osnove. Da bismo to učinili, uzimamo dužinu noge C.B. po jedinici, odnosno: C.B.= 1. Ali onda dužina stranice osnove piramide GF= 2, i površina baze EFGH biće jednaki SEFGH = 4.

Izračunajmo sada površinu bočne strane Keopsove piramide SD. Od visine AB trougao AEF jednako t, tada će površina bočne strane biti jednaka SD = t. Tada će ukupna površina sve četiri bočne strane piramide biti jednaka 4 t, a omjer ukupne vanjske površine piramide i površine baze bit će jednak zlatnom rezu! to je to - glavna geometrijska misterija Keopsove piramide!

Grupa „geometrijskih čuda“ Keopsove piramide uključuje stvarna i nategnuta svojstva odnosa između različitih dimenzija u piramidi.

Po pravilu se dobijaju u potrazi za određenim „konstantama“, posebno za brojem „pi“ (Ludolfoov broj), jednak 3,14159...; osnova prirodnih logaritama "e" (Neperovski broj), jednaka 2,71828...; broj "F", broj "zlatnog preseka", jednak, na primer, 0,618... itd.

Možete imenovati, na primjer: 1) Svojstvo Herodota: (Visina)2 = 0,5 art. osnovni x Apothem; 2) Vlasništvo V. Cijena: Visina: 0,5 art. baza = Kvadratni korijen od "F"; 3) Svojstvo M. Eista: Perimetar osnove: 2 Visina = "Pi"; u drugačijem tumačenju - 2 žlice. osnovni : Visina = "Pi"; 4) Svojstvo G. Ivica: Poluprečnik upisane kružnice: 0,5 art. osnovni = "F"; 5) Vlasništvo K. Klepischa: (glavni čl.)2: 2(glavni čl. x apotema) = (čl. glavni. W. apotema) = 2 (glavni čl. x apotema) : ((2 čl. . main X Apothem) + (v. main)2). I tako dalje. Možete smisliti mnogo takvih svojstava, posebno ako povežete dvije susjedne piramide. Na primjer, kao “Svojstva A. Arefyeva” može se spomenuti da je razlika u zapreminama Keopsove piramide i Hafreove piramide jednaka dvostrukom volumenu Mikerinove piramide...

Mnogi zanimljive odredbe Konkretno, konstrukcija piramida prema „zlatnom omjeru“ opisana je u knjigama D. Hambidgea „Dinamička simetrija u arhitekturi“ i M. Gicka „Estetika proporcija u prirodi i umjetnosti“. Podsjetimo da je „zlatni rez“ podjela segmenta u takvom omjeru da je dio A onoliko puta veći od dijela B, koliko puta je A manji od cijelog segmenta A + B. Omjer A/B jednak je broju “F” == 1.618 .. Upotreba “zlatnog preseka” je naznačena ne samo u pojedinačnim piramidama, već iu čitavom kompleksu piramida u Gizi.

Najzanimljivije je, međutim, da jedna te ista Keopsova piramida jednostavno „ne može“ da sadrži toliko divnih svojstava. Uzimajući jedno po jedno određeno svojstvo, može se "uklopiti", ali se svi ne uklapaju odjednom - ne poklapaju se, protivreče jedno drugom. Stoga, ako, na primjer, prilikom provjere svih svojstava u početku uzmemo istu stranu osnove piramide (233 m), tada će i visine piramida s različitim svojstvima biti različite. Drugim riječima, postoji određena "porodica" piramida koje su spolja slične Keopsovim, ali odgovaraju različita svojstva. Imajte na umu da nema ničeg posebno čudesnog u "geometrijskim" svojstvima - mnogo toga proizlazi čisto automatski, iz svojstava same figure. „Čudom“ treba smatrati samo nešto što je drevnim Egipćanima bilo očigledno nemoguće. Ovo, posebno, uključuje „kosmička“ čuda, u kojima se mere Keopsove piramide ili kompleksa piramida u Gizi upoređuju sa nekim astronomskim merenjima i navode „parni“ brojevi: milion puta manje, milijardu puta manje, i tako dalje. Hajde da razmotrimo neke "kosmičke" odnose.

Jedna od izjava glasi: "ako podijelite stranu osnove piramide tačnom dužinom godine, dobićete tačno 10 milionitih delova Zemljine ose." Izračunajte: podijelite 233 sa 365, dobijemo 0,638. Poluprečnik Zemlje je 6378 km.

Druga izjava je zapravo suprotna prethodnoj. F. Noetling je istakao da ako koristimo "egipatski lakat" koji je on sam izmislio, tada će stranica piramide odgovarati "najtačnijem trajanju sunčeve godine, izraženo na najbliži milijardu dana" - 365.540. 903.777.

Izjava P. Smitha: "Visina piramide je tačno jedna milijarda udaljenosti od Zemlje do Sunca." Iako je uobičajeno uzimana visina 146,6 m, Smith ju je uzeo kao 148,2 m, prema savremenim radarskim mjerenjima, velika poluosa Zemljine orbite je 149,597,870 + 1,6 km. Ovo je prosječna udaljenost od Zemlje do Sunca, ali u perihelu je 5.000.000 kilometara manja nego u afelu.

Još jedna zanimljiva izjava:

„Kako možemo objasniti da su mase Keopsovih, Kefreovih i Mikerinovih piramida međusobno povezane, kao što su mase planeta Zemlje, Venere, Marsa?“ Hajde da izračunamo. Mase tri piramide su: Khafre - 0,835; Keops - 1.000; Mikerin - 0,0915. Odnosi masa tri planete: Venera - 0,815; Zemlja - 1.000; Mars - 0,108.

Dakle, uprkos skepticizmu, primećujemo dobro poznatu harmoniju konstrukcije iskaza: 1) visina piramide, poput linije koja „ide u svemir“, odgovara udaljenosti od Zemlje do Sunca; 2) strana osnove piramide, najbliža „podlozi“, odnosno Zemlji, odgovorna je za Zemljin poluprečnik i Zemljinu cirkulaciju; 3) zapremine piramide (čitaj - mase) odgovaraju omjeru masa planeta najbližih Zemlji. Slična "šifra" može se pratiti, na primjer, u pčelinjem jeziku koji je analizirao Karl von Frisch. Međutim, za sada ćemo se suzdržati od komentara na ovu temu.

PIRAMIDNI OBLIK

Čuveni tetraedarski oblik piramida nije nastao odmah. Skiti su pravili ukope u obliku zemljanih brda - humki. Egipćani su gradili "brda" od kamena - piramide. To se prvi put dogodilo nakon ujedinjenja Gornjeg i Donjeg Egipta, u 28. veku pre nove ere, kada je osnivač Treće dinastije, faraon Džoser (Zoser), bio suočen sa zadatkom da ojača jedinstvo zemlje.

I ovdje, prema istoričarima, važnu ulogu„Novi koncept oboženja“ kralja igrao je ulogu u jačanju centralne vlasti. Iako su se kraljevski ukopi odlikovali većim sjajem, oni se, u principu, nisu razlikovali od grobova dvorskih plemića, bili su iste građevine - mastabe. Iznad komore sa sarkofagom u kojem se nalazila mumija izlivena je pravougaona brda od sitnog kamenja, gdje je potom podignuta mala zgrada od velikih kamenih blokova - "mastaba" (na arapskom - "klupa"). Faraon Džoser je podigao prvu piramidu na mestu mastabe svog prethodnika, Sanahta. Bio je stepenasti i bio je vidljiva prelazna faza iz jednog arhitektonskog oblika u drugi, od mastabe do piramide.

Na taj način je mudrac i arhitekta Imhotep, kojeg su Grci kasnije smatrali čarobnjakom, a poistovjećivali ga s bogom Asklepijem, “podigao” faraona. Kao da je postavljeno šest mastaba u nizu. Štaviše, prva piramida zauzimala je površinu od 1125 x 115 metara, sa procijenjenom visinom od 66 metara (prema egipatskim standardima - 1000 "palmi"). U početku je arhitekt planirao da izgradi mastabu, ali ne duguljastu, već kvadratnu tlocrtu. Kasnije je proširen, ali pošto je proširenje spušteno, činilo se kao da postoje dvije stepenice.

Ova situacija nije zadovoljila arhitektu, pa je na gornju platformu ogromne ravne mastabe Imhotep postavio još tri, postepeno se spuštajući prema vrhu. Grobnica se nalazila ispod piramide.

Poznato je još nekoliko stepenastih piramida, ali su kasnije graditelji prešli na izgradnju nama poznatijih tetraedarskih piramida. Zašto, međutim, ne trouglasti ili, recimo, osmougaoni? Indirektan odgovor daje činjenica da su skoro sve piramide savršeno orijentisane duž četiri kardinalna pravca, pa stoga imaju četiri strane. Osim toga, piramida je bila "kuća", školjka četvorougaone grobne komore.

Ali šta je odredilo ugao nagiba lica? U knjizi "Načelo proporcija" cijelo jedno poglavlje je posvećeno tome: "Šta je moglo odrediti uglove nagiba piramida." Posebno je naznačeno da je „slika kojoj gravitiraju velike piramide Starog kraljevstva trokut sa pravim uglom na vrhu.

U svemiru je to poluoktaedar: piramida u kojoj su ivice i stranice osnove jednake, ivice su jednakostranični trouglovi." Određena razmatranja o ovoj temi su data u knjigama Hambidgea, Gicka i drugih.

Koja je prednost ugla poluoktaedra? Prema opisima arheologa i istoričara, neke piramide su se srušile pod svojom težinom. Ono što je bilo potrebno je "ugao izdržljivosti", ugao koji je bio energetski najpouzdaniji. Čisto empirijski, ovaj ugao se može uzeti iz ugla vrha u gomili suvog peska koji se mrvi. Ali da biste dobili tačne podatke, morate koristiti model. Uzimajući četiri čvrsto fiksirane kuglice, na njih morate postaviti petu i izmjeriti uglove nagiba. Međutim, ovdje možete pogriješiti, pa teoretski proračun pomaže: treba da povežete središta loptica linijama (mentalno). Osnova će biti kvadrat sa stranicom jednakom dvostrukom polumjeru. Kvadrat će biti samo osnova piramide, čija će dužina ivica također biti jednaka dvostrukom polumjeru.

Dakle, blisko pakovanje loptica poput 1:4 će nam dati pravilan poluoktaedar.

Međutim, zašto mnoge piramide, koje gravitiraju prema sličnom obliku, ipak ga ne zadržavaju? Piramide vjerovatno stare. Suprotno poznatoj izreci:

„Sve na svetu se plaši vremena, a vreme se plaši piramida“, zgrade piramida moraju da stare, ne samo da se u njima mogu i treba desiti procesi spoljašnjeg trošenja, već i procesi unutrašnjeg „smanjivanja“, koji mogu uzrokuju da piramide postanu niže. Skupljanje je moguće i zato što su, kako otkriva rad D. Davidovitsa, stari Egipćani koristili tehnologiju izrade blokova od krhotina kreča, odnosno od „betona“. Upravo slični procesi mogli bi objasniti razlog uništenja piramide Medum, koja se nalazi 50 km južno od Kaira. Stara je 4600 godina, dimenzije osnove su 146 x 146 m, visina 118 m. “Zašto je tako unakaženo?”, pita se V. Zamarovsky “Uobičajene reference na destruktivne efekte vremena i “upotrebu kamena za druge građevine” ovdje nisu prikladne.

Uostalom, većina njegovih blokova i obložnih ploča ostala je na svom mjestu do danas, u ruševinama u njenom podnožju." Kao što ćemo vidjeti, niz odredbi čak nas navodi na pomisao da se i čuvena Keopsova piramida "smežurala". u svakom slučaju, na svim drevnim slikama piramide su šiljaste...

Oblik piramida je također mogao biti generiran imitacijom: neki prirodni uzorci, "čudesno savršenstvo", recimo, neki kristali u obliku oktaedra.

Slični kristali mogu biti dijamantski i zlatni kristali. Karakteristično veliki broj"preklapajući" znakovi za koncepte kao što su faraon, sunce, zlato, dijamant. Svugdje - plemenito, briljantno (briljantno), sjajno, besprijekorno i tako dalje. Sličnosti nisu slučajne.

Solarni kult, kao što je poznato, činio je važan dio religije Drevni Egipat. „Bez obzira kako prevodimo ime najveće od piramida“, primećuje jedan od savremena pomagala- “Khufuov svod” ili “Khufuov svod”, to je značilo da je kralj sunce, u sjaju svoje moći, zamišljao je sebe kao drugo sunce, onda je njegov sin Džedef-Ra postao.” prvi od egipatskih kraljeva koji je sebe nazvao "Raovim sinom", odnosno sinom Sunca. Sunce gotovo svih naroda simbolizirao je "solarni metal", zlato. "Veliki disk od sjajnog zlata" - tako su Egipćani zvali našu dnevnu svjetlost. Egipćani su savršeno poznavali zlato, poznavali su njegove izvorne oblike, gdje se kristali zlata mogu pojaviti u obliku oktaedra.

Kako je ovdje zanimljiv "uzorak obrazaca" i " sunčani kamen" - dijamant. Naziv dijamanta je došao upravo iz arapskog svijeta, "almas" je najtvrđi, najtvrđi, neuništivi. Stari Egipćani su prilično dobro poznavali dijamant i njegova svojstva. Prema nekim autorima, koristili su čak i bronzane cijevi sa dijamantom rezači za bušenje.

Trenutno je glavni dobavljač dijamanata Južna Afrika, ali zapadna Afrika je također bogata dijamantima. Teritorija Republike Mali se čak naziva i „Dijamantska zemlja“. U međuvremenu, na teritoriji Malija žive Dogoni, s kojima pristalice hipoteze o paleo-posjeti polažu mnoge nade (vidi dolje). Dijamanti nisu mogli biti razlog za kontakte starih Egipćana sa ovim krajem. Međutim, na ovaj ili onaj način, moguće je da su upravo kopiranjem oktaedra dijamanata i zlatnih kristala, stari Egipćani na taj način obogotvorili faraone, “neuništive” poput dijamanta i “sjajne” poput zlata, sinove Sunca, samo usporedive do najdivnijih kreacija prirode.

zaključak:

Proučavajući piramidu kao geometrijsko tijelo, upoznajući se sa njenim elementima i svojstvima, uvjerili smo se u opravdanost mišljenja o ljepoti oblika piramide.

Kao rezultat našeg istraživanja, došli smo do zaključka da su Egipćani, prikupivši najvrednije matematičko znanje, utjelovili to u piramidu. Stoga je piramida zaista najsavršenija kreacija prirode i čovjeka.

LISTA KORIŠTENE REFERENCE

„Geometrija: Udžbenik. za 7 – 9 razred. opšte obrazovanje institucije\ itd. - 9. izd. - M.: Obrazovanje, 1999

Istorija matematike u školi, M: “Prosveščenie”, 1982.

Geometrija 10-11 razred, M: “Prosvjeta”, 2000

Peter Tompkins “Tajne Velike Keopsove piramide”, M: “Centropoligraf”, 2005.

Internet resursi

http://veka-i-mig. *****/

http://tambov. *****/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm

http://www. *****/enc/54373.html

Trouglasta piramida je piramida koja u osnovi ima trokut. Visina ove piramide je okomica koja se spušta od vrha piramide do njene osnove.

Određivanje visine piramide

Kako pronaći visinu piramide? Vrlo jednostavno! Da biste pronašli visinu bilo koje trokutaste piramide, možete koristiti formulu volumena: V = (1/3)Sh, gdje je S površina baze, V volumen piramide, h njena visina. Iz ove formule izvedite formulu visine: da biste pronašli visinu trokutaste piramide, trebate pomnožiti volumen piramide sa 3, a zatim podijeliti rezultirajuću vrijednost s površinom baze, to će biti: h = (3V)/S. Budući da je osnova trokutaste piramide trokut, možete koristiti formulu za izračunavanje površine trokuta. Ako znamo: površinu trokuta S i njegovu stranicu z, onda prema formuli površine S=(1/2)γh: h = (2S)/γ, gdje je h visina piramide, γ je ivica trougla; kut između stranica trokuta i samih dviju stranica, a zatim pomoću sljedeće formule: S = (1/2)γφsinQ, gdje su γ, φ stranice trokuta, nalazimo površinu trokuta. Vrijednost sinusa ugla Q treba pogledati u tabeli sinusa koja je dostupna na Internetu. Zatim zamjenjujemo vrijednost površine u formulu visine: h = (2S)/γ. Ako zadatak zahtijeva izračunavanje visine trokutaste piramide, tada je volumen piramide već poznat.

Pravilna trouglasta piramida

Odredite visinu pravilne trouglaste piramide, odnosno piramide u kojoj su sva lica jednakostranični trouglovi, znajući veličinu ivice γ. U ovom slučaju, rubovi piramide su stranice jednakostraničnih trokuta. Visina pravilne trouglaste piramide će biti: h = γ√(2/3), gdje je γ ivica jednakostraničnog trougla, h visina piramide. Ako je površina baze (S) nepoznata, a dati su samo dužina ivice (γ) i zapremina (V) poliedra, tada se potrebna varijabla u formuli iz prethodnog koraka mora zamijeniti svojim ekvivalentom, koji je izražen u smislu dužine ivice. Površina trokuta (pravilnog) jednaka je 1/4 proizvoda dužine stranice ovog trokuta na kvadrat kvadratnog korijena od 3. Zamjenjujemo ovu formulu umjesto površine osnove u prethodnoj formulu, i dobijamo sledeću formulu: h = 3V4/(γ 2 √3) = 12V/(γ 2 √3). Volumen tetraedra se može izraziti kroz dužinu njegovog ruba, a zatim iz formule za izračunavanje visine figure možete ukloniti sve varijable i ostaviti samo stranu trokutastog lica figure. Volumen takve piramide može se izračunati dijeljenjem sa 12 od proizvoda kucirane dužine njenog lica kvadratnim korijenom od 2.

Zamjenom ovog izraza u prethodnu formulu dobijamo sljedeću formulu za proračun: h = 12(γ 3 √2/12)/(γ 2 √3) = (γ 3 √2)/(γ 2 √3) = γ √(2 /3) = (1/3)γ√6. Takođe, pravilna trouglasta prizma se može upisati u sferu, a znajući samo polumjer sfere (R) može se pronaći visina samog tetraedra. Dužina ivice tetraedra je: γ = 4R/√6. Varijablu γ zamjenjujemo ovim izrazom u prethodnoj formuli i dobijamo formulu: h = (1/3)√6(4R)/√6 = (4R)/3. Ista formula se može dobiti ako znamo polumjer (R) kružnice upisane u tetraedar. U ovom slučaju, dužina ruba trokuta bit će jednaka 12 omjera između njih kvadratni korijen od 6 i radijusa. Ovaj izraz zamjenjujemo u prethodnu formulu i imamo: h = (1/3)γ√6 = (1/3)√6(12R)/√6 = 4R.

Kako pronaći visinu pravilne četvorougaone piramide

Da biste odgovorili na pitanje kako pronaći dužinu visine piramide, morate znati šta je pravilna piramida. Četvorougaona piramida je piramida koja u osnovi ima četvorougao. Ako u uslovima problema imamo: zapreminu (V) i površinu osnove (S) piramide, tada će formula za izračunavanje visine poliedra (h) biti sljedeća - podijelite pomnoženi volumen za 3 po površini S: h = (3V)/S. Za kvadratnu osnovu piramide sa datim volumenom (V) i dužinom stranice γ, zamijenite površinu (S) u prethodnoj formuli kvadratom dužine stranice: S = γ 2 ; H = 3V/γ2. Visina pravilne piramide h = SO prolazi tačno kroz centar kruga koji je opisan u blizini baze. Pošto je osnova ove piramide kvadrat, tačka O je tačka preseka dijagonala AD i BC. Imamo: OC = (1/2)BC = (1/2)AB√6. Dalje, mi smo unutra pravougaonog trougla Nalazimo SOC (koristeći Pitagorinu teoremu): SO = √(SC 2 -OC 2). Sada znate kako pronaći visinu pravilne piramide.