Određivanje sinusa kosinusa tangente ugla pravokutnog trokuta. Pravila za pronalaženje trigonometrijskih funkcija: sinus, kosinus, tangenta i kotangens

Dom Centrirano u tački.
α A

- ugao izražen u radijanima.
Definicija sinus (sin α) je trigonometrijska funkcija koja ovisi o kutu α između hipotenuze i kraka pravougaonog trougla

, jednako omjeru dužine suprotne strane |BC| na dužinu hipotenuze |AC|. kosinus (cos α)

je trigonometrijska funkcija koja ovisi o kutu α između hipotenuze i kraka pravokutnog trokuta, jednaka omjeru dužine susjednog kraka |AB| na dužinu hipotenuze |AC|.

;
;
.

;
;
.

Prihvaćene notacije

Grafikon funkcije sinusa, y = sin x

Grafikon kosinusne funkcije, y = cos x

Svojstva sinusa i kosinusa

Periodičnost Funkcije y = sin x i y = cos x periodično sa periodom.

2π

Paritet

Funkcija sinusa je neparna. Kosinusna funkcija je parna.

Domen definicije i vrijednosti, ekstremi, povećanje, smanjenje

	Sinusne i kosinusne funkcije su kontinuirane u svojoj domeni definicije, odnosno za sve x (vidi dokaz kontinuiteta). Njihova glavna svojstva prikazana su u tabeli (n - cijeli broj). Funkcije y =	Sinusne i kosinusne funkcije su kontinuirane u svojoj domeni definicije, odnosno za sve x (vidi dokaz kontinuiteta). Njihova glavna svojstva prikazana su u tabeli (n - cijeli broj). i y =
y =	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Obim i kontinuitet	-Raspon vrijednosti	-Raspon vrijednosti
1 ≤ y ≤ 1
Povećanje
Silazno 1
Maksimum, y = 1
Minimum, y = - 0
Nule, y = 0	Sinusne i kosinusne funkcije su kontinuirane u svojoj domeni definicije, odnosno za sve x (vidi dokaz kontinuiteta). Njihova glavna svojstva prikazana su u tabeli (n - cijeli broj). 0	Sinusne i kosinusne funkcije su kontinuirane u svojoj domeni definicije, odnosno za sve x (vidi dokaz kontinuiteta). Njihova glavna svojstva prikazana su u tabeli (n - cijeli broj). 1

Točke preseka sa ordinatnom osom, x =

Osnovne formule

Zbir kvadrata sinusa i kosinusa

;
;

Formule za sinus i kosinus iz zbira i razlike

Formule za proizvod sinusa i kosinusa

Formule zbira i razlike

;
;
;
.

Izražavanje sinusa kroz kosinus

;
;
;
.

Izražavanje kosinusa kroz sinus

; .

Izraz kroz tangentu
; .

Kada imamo:
; .

u:

Tablica sinusa i kosinusa, tangenta i kotangensa

Ova tabela prikazuje vrijednosti sinusa i kosinusa za određene vrijednosti argumenta.

;

Izrazi kroz kompleksne varijable

Ojlerova formula

;
;

Izrazi kroz hiperboličke funkcije

Derivati

;
{ -∞ < x < +∞ }

.

Izvođenje formula > > >

Derivati ​​n-tog reda:

Sekans, kosekans

Inverzne funkcije

Inverzne funkcije sinusa i kosinusa su arksinus i arkosinus, respektivno.
Arcsin, arcsin

Arccosine, arccos

Pitanje je, kako kažu, zanimljivo... Moguće je, moguće je proći sa 4! I pritom da ne pukne... Glavni uslov je redovno vežbanje. Evo osnovne pripreme za Jedinstveni državni ispit iz matematike. Uz sve tajne i misterije Jedinstvenog državnog ispita, o kojima nećete čitati u udžbenicima... Proučite ovu rubriku, riješite još zadataka iz raznih izvora- i sve će uspjeti! Pretpostavlja se da je osnovni dio "A C dovoljan za vas!" ne pravi vam nikakve probleme. Ali ako iznenada... Pratite linkove, ne budite lijeni!

A počećemo sa sjajnom i strašnom temom.

Trigonometrija

Pažnja!
Postoje dodatni
materijala u Posebnom dijelu 555.
Za one koji su veoma "ne baš..."
I za one koji "jako...")

Ova tema učenicima stvara mnogo problema. Smatra se jednim od najtežih. Šta su sinus i kosinus? Šta su tangenta i kotangensa? Šta je brojčani krug?Čim postavite ova bezazlena pitanja, osoba bledi i pokušava da skrene razgovor... Ali uzalud. Ovo su jednostavni koncepti. I ova tema nije teža od drugih. Samo morate jasno razumjeti odgovore na ova pitanja od samog početka. Ovo je veoma važno. Ako razumete, svideće vam se trigonometrija. dakle,

Šta su sinus i kosinus? Šta su tangenta i kotangensa?

Počnimo od davnih vremena. Ne brinite, proći ćemo kroz svih 20 vekova trigonometrije za oko 15 minuta i, a da to ne primetimo, ponovićemo deo geometrije iz 8. razreda.

Nacrtajmo pravougaoni trougao sa stranicama a, b, c i ugao X. Evo ga.

Da vas podsjetim da se stranice koje formiraju pravi ugao zovu noge. a i c– noge. Ima ih dvoje. Preostala strana se naziva hipotenuza. With– hipotenuza.

Trougao i trougao, razmislite! Šta učiniti s tim? Ali stari ljudi su znali šta da rade! Ponovimo njihove radnje. Izmjerimo stranu V. Na slici su ćelije posebno nacrtane, kao na Zadaci objedinjenog državnog ispita Dešava se. Side V jednaka četiri ćelije. OK. Izmjerimo stranu A. Tri ćelije.

Sada podijelimo dužinu stranice A po dužini strane V. Ili, kako još kažu, zauzmimo stav A To V. a/v= 3/4.

Naprotiv, možete podijeliti V on A. Dobijamo 4/3. Može V podijeliti po With. Hipotenuza With Nemoguće je brojati po ćelijama, ali je jednako 5. Dobijamo visoke kvalitete= 4/5. Ukratko, možete podijeliti dužine stranica jedna s drugom i dobiti neke brojeve.

Pa šta? Koja je svrha ove zanimljive aktivnosti? Još nema. Iskreno rečeno, besmislena vježba.)

Hajde da uradimo ovo. Povećajmo trougao. Proširimo strane u i sa, ali tako da trokut ostane pravougaonog oblika. Ugao X, naravno, ne menja. Da biste to vidjeli, postavite pokazivač miša preko slike ili je dodirnite (ako imate tablet). Zabave a, b i cće se pretvoriti u m, n, k, i, naravno, dužine stranica će se promijeniti.

Ali njihova veza nije!

Stav a/v bio: a/v= 3/4, postao m/n= 6/8 = 3/4. Odnosi drugih relevantnih strana su takođe neće se promeniti . Možete mijenjati dužine stranica u pravokutnom trokutu kako želite, povećavati, smanjivati, bez promjene ugla x – odnos između relevantnih strana se neće promijeniti . Možete to provjeriti, ili možete vjerovati na riječ drevnih ljudi.

Ali ovo je već veoma važno! Omjeri strana u pravokutnom trokutu ni na koji način ne zavise od dužina stranica (pod istim kutom). Ovo je toliko važno da odnos između strana zaslužuje svoje posebna imena. Vaša imena, da tako kažem.) Upoznajte me.

Koliki je sinus ugla x ? Ovo je omjer suprotne strane i hipotenuze:

sinx = klima

Koliki je kosinus ugla x ? Ovo je omjer susjednog kraka i hipotenuze:

Withosx= visoke kvalitete

Šta je tangenta x ? Ovo je omjer suprotne strane prema susjednoj strani:

tgx =a/v

Koliki je kotangens ugla x ? Ovo je omjer susjedne strane prema suprotnoj strani:

ctgx = v/a

Vrlo je jednostavno. Sinus, kosinus, tangent i kotangens su neki brojevi. Bezdimenzionalno. Samo brojevi. Svaki ugao ima svoj.

Zašto sve ponavljam tako dosadno? Šta je onda ovo treba zapamtiti. Važno je zapamtiti. Pamćenje se može olakšati. Da li je fraza "Počnimo izdaleka..." poznata? Zato počnite izdaleka.

Sinus ugao je odnos udaljeni od ugla kraka do hipotenuze. Kosinus– odnos suseda prema hipotenuzi.

Tangenta ugao je odnos udaljeni od nožnog ugla do bližeg. Kotangens- obrnuto.

Lakše je, zar ne?

Pa, ako se sjetite da u tangentu i kotangensu postoje samo noge, a u sinusima i kosinusima se pojavljuje hipotenuza, onda će sve postati prilično jednostavno.

Cijela ova slavna porodica - sinus, kosinus, tangent i kotangens se također naziva trigonometrijske funkcije.

Sada pitanje za razmatranje.

Zašto kažemo sinus, kosinus, tangent i kotangens kutak? Govorimo o odnosu između strana, kao... Kakve to veze ima? kutak?

Pogledajmo drugu sliku. Potpuno isto kao i prvi.

Zadržite pokazivač miša preko slike. Promenio sam ugao X. Povećano od x do x. Svi odnosi su se promenili! Stav a/v bio je 3/4, a odgovarajući odnos t/v postao 6/4.

I svi ostali odnosi su postali drugačiji!

Dakle, omjeri strana ni na koji način ne zavise od njihovih dužina (pod jednim uglom x), već jako zavise od samog ovog ugla! I to samo od njega. Stoga se termini sinus, kosinus, tangenta i kotangens odnose na ugao. Ugao je ovdje glavni.

Mora se jasno shvatiti da je ugao neraskidivo povezan sa svojim trigonometrijskim funkcijama. Svaki ugao ima svoj sinus i kosinus. I skoro svako ima svoju tangentu i kotangens. Ovo je važno. Vjeruje se da ako nam je zadan ugao, onda njegov sinus, kosinus, tangenta i kotangens znamo ! I obrnuto. Dati sinus ili bilo koju drugu trigonometrijsku funkciju, to znači da znamo ugao.

Postoje posebne tabele u kojima su za svaki ugao opisane njegove trigonometrijske funkcije. Zovu se Bradisovi stolovi. Oni su sastavljeni veoma davno. Kad još nije bilo ni kalkulatora ni kompjutera...

Naravno, nemoguće je zapamtiti trigonometrijske funkcije svih uglova. Od vas se traži da ih poznajete samo iz nekoliko uglova, više o tome kasnije. Ali čini Znam ugao, što znači da znam njegove trigonometrijske funkcije” - uvijek radi!

Tako smo ponovili dio geometrije iz 8. razreda. Da li nam treba za Jedinstveni državni ispit? Neophodno. Evo tipičnog problema sa Jedinstvenog državnog ispita. Za rješavanje ovog problema dovoljan je 8. razred. data slika:

Sve. Nema više podataka. Moramo pronaći dužinu stranice aviona.

Ćelije ne pomažu puno, trougao je nekako pogrešno pozicioniran... Namjerno, valjda... Iz podatka je dužina hipotenuze. 8 ćelija. Iz nekog razloga, ugao je dat.

Ovdje se morate odmah sjetiti trigonometrije. Postoji ugao, što znači da znamo sve njegove trigonometrijske funkcije. Koju od četiri funkcije trebamo koristiti? Da vidimo, šta znamo? Znamo hipotenuzu i ugao, ali moramo pronaći susjedni kateter u ovaj ugao! Jasno je, kosinus treba sprovesti u akciju! Idemo. Jednostavno pišemo, po definiciji kosinusa (omjer susjedni krak do hipotenuze):

cosC = BC/8

Ugao C je 60 stepeni, njegov kosinus je 1/2. Ovo morate znati, bez ikakvih tablica! dakle:

1/2 = BC/8

Elementarno linearna jednačina. nepoznato – Ned. Za one koji su zaboravili rješavati jednadžbe, slijedite link, ostalo rješavajte:

BC = 4

Kada su stari ljudi shvatili da svaki ugao ima svoj set trigonometrijske funkcije, imali su razumno pitanje. Jesu li sinus, kosinus, tangenta i kotangens na neki način povezani jedni s drugima? Dakle, znajući jednu funkciju ugla, možete pronaći druge? Bez izračunavanja samog ugla?

Bili su tako nemirni...)

Odnos trigonometrijskih funkcija jednog ugla.

Naravno, sinus, kosinus, tangent i kotangens istog ugla su međusobno povezani. Svaka veza između izraza je u matematici data formulama. U trigonometriji postoji kolosalan broj formula. Ali ovdje ćemo pogledati one najosnovnije. Ove formule se zovu: osnovni trigonometrijski identiteti. evo ih:

Ove formule morate dobro poznavati. Bez njih generalno nema šta da se radi u trigonometriji. Iz ovih osnovnih identiteta slijede još tri pomoćna identiteta:

Odmah vas upozoravam da vam posljednje tri formule brzo ispadaju iz sjećanja. Iz nekog razloga.) Možete, naravno, izvesti ove formule iz prve tri. Ali, unutra težak trenutak... Razumete.)

U standardnim problemima, poput onih ispod, postoji način da se izbjegnu ove formule koje se mogu zaboraviti. I dramatično smanjiti greške zbog zaborava, a i u proračunima. Ova praksa je u Odjeljku 555, lekciji "Odnosi između trigonometrijskih funkcija istog ugla."

U kojim zadacima i kako se koriste osnovni trigonometrijski identiteti? Najpopularniji zadatak je pronaći neku funkciju ugla ako je data druga. U Jedinstvenom državnom ispitu takav zadatak je prisutan iz godine u godinu.) Na primjer:

Pronađite vrijednost sinx ako je x oštar ugao i cosx=0,8.

Zadatak je gotovo elementaran. Tražimo formulu koja sadrži sinus i kosinus. Evo formule:

sin 2 x + cos 2 x = 1

Ovdje zamjenjujemo poznatu vrijednost, odnosno 0,8 umjesto kosinusa:

sin 2 x + 0,8 2 = 1

Pa, računamo kao i obično:

sin 2 x + 0,64 = 1

sin 2 x = 1 - 0,64

To je praktično sve. Izračunali smo kvadrat sinusa, ostaje samo da izvučemo kvadratni korijen i odgovor je spreman! Koren od 0,36 je 0,6.

Zadatak je gotovo elementaran. Ali riječ "skoro" postoji s razlogom... Činjenica je da je odgovor sinx= - 0,6 također prikladan... (-0,6) 2 će također biti 0,36.

Postoje dva različita odgovora. I treba ti jedan. Drugi je pogrešan. Kako biti!? Da, kao i obično.) Pažljivo pročitajte zadatak. Iz nekog razloga piše:... ako je x oštar ugao... A u zadacima svaka riječ ima značenje, da... Ova fraza je dodatna informacija za rješenje.

Oštar ugao je ugao manji od 90°. I to na takvim uglovima Sve trigonometrijske funkcije - sinus, kosinus i tangenta s kotangensom - pozitivno. One. Ovdje jednostavno odbacujemo negativan odgovor. Imamo pravo.

Zapravo, učenicima osmog razreda takve suptilnosti nisu potrebne. Oni rade samo s pravokutnim trokutima, gdje uglovi mogu biti samo oštri. A ne znaju, sretni oni, da postoje i negativni uglovi i uglovi od 1000°... A svi ti strašni uglovi imaju svoje trigonometrijske funkcije, i plus i minus...

Ali za srednjoškolce, bez uzimanja u obzir znaka - nikako. Mnogo znanja umnožava tugu, da...) I za ispravna odluka Zadatak mora sadržavati dodatne informacije (ako je potrebno). Na primjer, može se dati sljedećim unosom:

Ili na neki drugi način. Vidjet ćete u primjerima ispod.) Da biste riješili takve primjere, morate znati u koji kvartal spada? specificirani ugao x i koji je predznak željene trigonometrijske funkcije u ovom kvadrantu.

Ove osnove trigonometrije razmatraju se u lekcijama o tome šta je trigonometrijski krug, merenje uglova na ovoj kružnici, radijanska mera ugla. Ponekad morate znati tablicu sinusa, kosinusa tangenta i kotangensa.

Dakle, zapazimo ono najvažnije:

Praktični savjeti:

1. Zapamtite definicije sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa. Biće veoma korisno.

2. Jasno razumijemo: sinus, kosinus, tangenta i kotangens su čvrsto povezani uglovima. Znamo jedno, što znači da znamo drugo.

3. Jasno razumijemo: sinus, kosinus, tangenta i kotangens jednog ugla su međusobno povezani osnovnim trigonometrijski identiteti. Znamo jednu funkciju, što znači da možemo (ako imamo potrebne dodatne informacije) izračunati sve ostale.

Sada da se odlučimo, kao i obično. Prvo, zadaci iz 8. razreda. Ali to mogu i srednjoškolci...)

1. Izračunajte vrijednost tgA ako je ctgA = 0,4.

2. β je ugao u pravokutnom trokutu. Pronađite vrijednost tanβ ako je sinβ = 12/13.

3. Definišite sinus akutni ugao x ako je tgh = 4/3.

4. Pronađite značenje izraza:

6sin 2 5° - 3 + 6cos 2 5°

5. Pronađite značenje izraza:

(1-cosx)(1+cosx), ako je sinx = 0,3

Odgovori (odvojeni tačkom i zarezom, u neredu):

0,09; 3; 0,8; 2,4; 2,5

Je li uspjelo? Odlično! Učenici osmog razreda već mogu ići po petice.)

Zar nije sve uspjelo? Zadaci 2 i 3 nekako nisu baš dobri...? Nema problema! Postoji jedna lijepa tehnika za takve zadatke. Sve se može riješiti praktično bez formula! I, dakle, bez grešaka. Ova tehnika je opisana u lekciji: "Odnosi između trigonometrijskih funkcija jednog ugla" u odjeljku 555. Tu se rješavaju i svi ostali zadaci.

To su bili problemi poput Jedinstvenog državnog ispita, ali u skraćenoj verziji. Jedinstveni državni ispit - lagan). A sada gotovo isti zadaci, ali u punopravnom formatu. Za srednjoškolce opterećene znanjem.)

6. Pronađite vrijednost tanβ ako je sinβ = 12/13, i

7. Odrediti sinh ako je tgh = 4/3, a x pripada intervalu (- 540°; - 450°).

8. Pronađite vrijednost izraza sinβ cosβ ako je ctgβ = 1.

Odgovori (u neredu):

0,8; 0,5; -2,4.

Ovdje u zadatku 6 ugao nije preciziran baš jasno... Ali u zadatku 8 uopće nije specificiran! Ovo je namerno). Dodatne informacije ne samo preuzeto iz zadatka, već i iz glave.) Ali ako se odlučite, jedan ispravan zadatak je zagarantovan!

Šta ako niste odlučili? Hmm... Pa, Odjeljak 555 će pomoći ovdje. Tamo su rješenja za sve ove zadatke detaljno opisana, teško je ne razumjeti.

Ova lekcija pruža vrlo ograničeno razumijevanje trigonometrijskih funkcija. U okviru 8. razreda. A stariji i dalje imaju pitanja...

Na primjer, ako je kut X(pogledajte drugu sliku na ovoj stranici) - učinite to glupim!? Trougao će se potpuno raspasti! Pa šta da radimo? Neće biti noge, hipotenuze... Sinus je nestao...

Da drevni ljudi nisu našli izlaz iz ove situacije, sada ne bismo imali mobilne telefone, TV ili struju. Da, da! Teorijska osnova sve ove stvari bez trigonometrijskih funkcija su nula bez štapa. Ali drevni ljudi nisu razočarali. Kako su se izvukli je u sledećoj lekciji.

Ako vam se sviđa ovaj sajt...

Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učimo - sa interesovanjem!)

Možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.

Važne napomene!
1. Ako vidite gobbledygook umjesto formula, obrišite keš memoriju. Kako to učiniti u vašem pretraživaču piše ovdje:
2. Prije nego počnete čitati članak, najviše obratite pažnju na naš navigator koristan resurs Za

Sinus, kosinus, tangent, kotangens

Koncepti sinusa (), kosinusa (), tangente (), kotangensa () neraskidivo su povezani sa konceptom ugla. Da bismo dobro razumjeli ove, na prvi pogled, složene pojmove (koji kod mnogih školaraca izazivaju stanje užasa), i da bismo bili sigurni da „đavo nije tako strašan kao što je naslikan“, krenimo od na samom početku i razumjeti pojam ugla.

Koncept ugla: radijan, stepen

Pogledajmo sliku. Vektor se „okrenuo“ u odnosu na tačku za određenu količinu. Dakle, mjera ove rotacije u odnosu na početnu poziciju će biti ugao.

Šta još trebate znati o pojmu ugla? Pa, jedinice ugla, naravno!

Ugao, kako u geometriji tako i u trigonometriji, može se mjeriti u stepenima i radijanima.

Ugao od (jedan stepen) se naziva centralni ugao u krug, zasnovan na kružnom luku jednakom dijelu kruga. Dakle, cijeli krug se sastoji od “komada” kružnih lukova, ili je ugao opisan krugom jednak.

To jest, gornja slika prikazuje ugao jednak, odnosno, ovaj ugao počiva na kružnom luku veličine obima.

Ugao u radijanima je središnji ugao u krugu sastavljen kružnim lukom čija je dužina jednaka poluprečniku kružnice. Pa, jesi li shvatio? Ako nije, hajde da to shvatimo iz crteža.

Dakle, slika prikazuje ugao jednak radijanu, odnosno ovaj ugao počiva na kružnom luku čija je dužina jednaka poluprečniku kruga (dužina je jednaka dužini ili poluprečniku jednaka dužini lukovi). Dakle, dužina luka se izračunava po formuli:

Gdje je centralni ugao u radijanima.

Pa, znajući ovo, možete li odgovoriti koliko radijana sadrži ugao koji opisuje krug? Da, za ovo morate zapamtiti formulu za obim. evo ga:

Pa, hajde sada da povežemo ove dvije formule i otkrijemo da je ugao opisan kružnicom jednak. To jest, korelacijom vrijednosti u stepenima i radijanima, dobijamo to. Odnosno, . Kao što vidite, za razliku od "stepeni", riječ "radijan" je izostavljena, jer je jedinica mjere obično jasna iz konteksta.

Koliko radijana ima? Tako je!

Jasno? Onda samo naprijed i popravi to:

Imate poteškoća? Onda pogledaj odgovori:

Pravokutni trokut: sinus, kosinus, tangenta, kotangens ugla

Dakle, shvatili smo koncept ugla. Ali šta je sinus, kosinus, tangent i kotangens ugla? Hajde da to shvatimo. Da bismo to učinili, pomoći će nam pravokutni trokut.

Kako se zovu stranice pravouglog trougla? Tako je, hipotenuza i katete: hipotenuza je strana koja leži nasuprot pravi ugao(u našem primjeru ovo je strana); noge su dvije preostale strane i (one susjedne pravom kutu), a ako uzmemo u obzir noge u odnosu na ugao, onda je noga susjedna noga, a noga je suprotna. Dakle, hajde da odgovorimo na pitanje: šta su sinus, kosinus, tangent i kotangens ugla?

Sinus ugla- ovo je omjer suprotnog (udaljenog) kraka prema hipotenuzi.

U našem trouglu.

Kosinus ugla- ovo je omjer susjedne (bliske) noge i hipotenuze.

U našem trouglu.

Tangenta ugla- ovo je omjer suprotne (udaljene) strane prema susjednoj (bliskoj).

U našem trouglu.

Kotangens ugla- ovo je omjer susjedne (bliske) noge i suprotne (daleke).

U našem trouglu.

Ove definicije su neophodne zapamti! Da biste lakše zapamtili koju nogu podijeliti na šta, morate to jasno razumjeti tangenta I kotangens samo noge sjede, a hipotenuza se pojavljuje samo u sinus I kosinus. A onda možete smisliti lanac asocijacija. Na primjer, ovaj:

Kosinus→dodir→dodir→susedni;

Kotangens→dodir→dodir→susedni.

Prije svega, morate zapamtiti da sinus, kosinus, tangenta i kotangens, jer omjeri strana trokuta ne ovise o dužinama ovih stranica (pod istim kutom). Ne vjerujete mi? Zatim se uvjerite gledajući sliku:

Razmotrimo, na primjer, kosinus ugla. Po definiciji, iz trougla: , ali možemo izračunati kosinus ugla iz trougla: . Vidite, dužine stranica su različite, ali vrijednost kosinusa jednog ugla je ista. Dakle, vrijednosti sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa ovise isključivo o veličini ugla.

Ako razumijete definicije, samo naprijed i konsolidirajte ih!

Za trokut prikazan na donjoj slici nalazimo.

Pa, jesi li dobio? Zatim pokušajte sami: izračunajte isto za ugao.

Jedinični (trigonometrijski) krug

Razumijevajući koncepte stepena i radijana, razmatrali smo krug sa poluprečnikom jednakim. Takav krug se zove single. Bit će vrlo korisno kada proučavate trigonometriju. Stoga, pogledajmo to malo detaljnije.

Kao što vidite, ovaj krug je konstruisan u kartezijanskom koordinatnom sistemu. Polumjer kružnice je jednak jedan, dok središte kružnice leži na početku koordinata, početni položaj radijus vektora je fiksiran duž pozitivnog smjera ose (u našem primjeru to je radijus).

Svaka tačka na kružnici odgovara dva broja: koordinata ose i koordinata ose. Koji su to koordinatni brojevi? I općenito, kakve veze oni imaju sa temom o kojoj je riječ? Da bismo to učinili, moramo se sjetiti razmatranog pravokutnog trokuta. Na gornjoj slici možete vidjeti dva cijela pravokutna trougla. Zamislite trougao. Pravougaona je jer je okomita na osu.

Čemu je jednak trougao? Tako je. Osim toga, znamo da je radijus jedinične kružnice, što znači . Zamijenimo ovu vrijednost u našu formulu za kosinus. Evo šta se dešava:

Čemu je jednak trougao? Pa naravno! Zamijenite vrijednost radijusa u ovu formulu i dobijete:

Dakle, možete li reći koje koordinate ima tačka koja pripada kružnici? Pa, nema šanse? Šta ako to shvatite i ako su to samo brojevi? Kojoj koordinati odgovara? Pa, naravno, koordinate! I kojoj koordinati odgovara? Tako je, koordinate! Dakle, tačka.

Čemu su onda i čemu jednaki? Tako je, upotrijebimo odgovarajuće definicije tangente i kotangensa i dobijemo to, a.

Šta ako je ugao veći? Na primjer, kao na ovoj slici:

Šta se promijenilo u ovom primjeru? Hajde da to shvatimo. Da bismo to učinili, okrenimo se ponovo pravokutnom trokutu. Razmotrimo pravougaoni trougao: ugao (kao susedni ugao). Koje su vrijednosti sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa za ugao? Tako je, pridržavamo se odgovarajućih definicija trigonometrijskih funkcija:

Pa, kao što vidite, vrijednost sinusa ugla i dalje odgovara koordinati; vrijednost kosinusa ugla - koordinata; i vrijednosti tangenta i kotangensa na odgovarajuće omjere. Dakle, ovi odnosi se primjenjuju na bilo koju rotaciju radijus vektora.

Već je spomenuto da je početni položaj radijus vektora duž pozitivnog smjera ose. Do sada smo ovaj vektor rotirali u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, ali šta će se dogoditi ako ga okrenemo u smjeru kazaljke na satu? Ništa neobično, dobit ćete i ugao određene vrijednosti, ali samo će on biti negativan. Dakle, kada se radijus vektor okrene suprotno od kazaljke na satu, dobijamo pozitivni uglovi, a pri rotaciji u smjeru kazaljke na satu - negativan.

Dakle, znamo da je cijela revolucija radijus vektora oko kružnice ili. Da li je moguće rotirati radijus vektor na ili na? Pa, naravno da možete! U prvom slučaju, dakle, radijus vektor će napraviti jedan puni okret i zaustaviti se na poziciji ili.

U drugom slučaju, odnosno radijus vektor će napraviti tri puna okretaja i zaustaviti se na poziciji ili.

Dakle, iz gornjih primjera možemo zaključiti da uglovi koji se razlikuju za ili (gdje je bilo koji cijeli broj) odgovaraju istom položaju radijus vektora.

Slika ispod prikazuje ugao. Ista slika odgovara uglu itd. Ova lista se može nastaviti u nedogled. Svi ovi uglovi se mogu napisati općom formulom ili (gdje je bilo koji cijeli broj)

Sada, znajući definicije osnovnih trigonometrijskih funkcija i koristeći jedinični krug, pokušajte odgovoriti koje su vrijednosti:

Evo jediničnog kruga koji će vam pomoći:

Imate poteškoća? Onda hajde da shvatimo. Dakle, znamo da:

Odavde određujemo koordinate tačaka koje odgovaraju određenim mjerama uglova. Pa, počnimo redom: ugao na odgovara tački s koordinatama, dakle:

Ne postoji;

Dalje, pridržavajući se iste logike, saznajemo da uglovi u odgovaraju tačkama sa koordinatama, respektivno. Znajući to, lako je odrediti vrijednosti trigonometrijskih funkcija u odgovarajućim točkama. Prvo pokušajte sami, a zatim provjerite odgovore.

odgovori:

Tako možemo napraviti sljedeću tabelu:

Nema potrebe da pamtite sve ove vrednosti. Dovoljno je zapamtiti korespondenciju između koordinata točaka na jediničnom krugu i vrijednosti trigonometrijskih funkcija:

Ali vrijednosti trigonometrijskih funkcija uglova u i, date u donjoj tabeli, mora se zapamtiti:

Nemojte se plašiti, sada ćemo vam pokazati jedan primjer prilično jednostavno zapamtiti odgovarajuće vrijednosti:

Za korištenje ove metode važno je zapamtiti vrijednosti sinusa za sve tri mjere ugla (), kao i vrijednost tangente kuta. Poznavajući ove vrijednosti, prilično je jednostavno vratiti cijelu tablicu - vrijednosti kosinusa se prenose u skladu sa strelicama, odnosno:

Znajući to, možete vratiti vrijednosti za. Brojilac " " će se poklopiti i nazivnik " " će se podudarati. Vrijednosti kotangensa se prenose u skladu sa strelicama prikazanim na slici. Ako ovo razumijete i zapamtite dijagram sa strelicama, tada će biti dovoljno zapamtiti sve vrijednosti iz tabele.

Koordinate tačke na kružnici

Da li je moguće pronaći tačku (njene koordinate) na kružnici, znajući koordinate centra kruga, njegov polumjer i ugao rotacije?

Pa, naravno da možete! Hajde da ga izvadimo opšta formula za pronalaženje koordinata tačke.

Na primjer, evo kruga ispred nas:

Dato nam je da je tačka centar kružnice. Polumjer kružnice je jednak. Potrebno je pronaći koordinate tačke dobijene rotacijom tačke po stepenima.

Kao što se vidi sa slike, koordinata tačke odgovara dužini segmenta. Dužina segmenta odgovara koordinati centra kruga, odnosno jednaka je. Dužina segmenta se može izraziti pomoću definicije kosinusa:

Onda imamo to za koordinate tačke.

Koristeći istu logiku, nalazimo vrijednost y koordinate za tačku. dakle,

Dakle, unutra opšti pogled koordinate tačaka određene su formulama:

Koordinate centra kruga,

polumjer kruga,

Ugao rotacije radijusa vektora.

Kao što vidite, za jedinični krug koji razmatramo, ove formule su značajno smanjene, jer su koordinate centra jednake nuli, a radijus jednak jedan:

Pa, hajde da isprobamo ove formule vježbajući pronalaženje tačaka na kružnici?

1. Pronađite koordinate tačke na jediničnom krugu dobijene rotacijom tačke.

2. Pronađite koordinate tačke na jediničnom krugu dobijene rotacijom tačke.

3. Pronađite koordinate tačke na jediničnom krugu dobijene rotacijom tačke.

4. Tačka je centar kružnice. Polumjer kružnice je jednak. Potrebno je pronaći koordinate tačke dobijene rotacijom početnog radijus vektora za.

5. Tačka je centar kružnice. Polumjer kružnice je jednak. Potrebno je pronaći koordinate tačke dobijene rotacijom početnog radijus vektora za.

Imate problema s pronalaženjem koordinata tačke na kružnici?

Riješite ovih pet primjera (ili budite dobri u njihovom rješavanju) i naučit ćete ih pronaći!

SAŽETAK I OSNOVNE FORMULE

Sinus ugla je omjer suprotnog (dalekog) kraka i hipotenuze.

Kosinus ugla je omjer susjednog (bliskog) kraka i hipotenuze.

Tangent ugla je omjer suprotne (daleke) strane i susjedne (bliske) strane.

Kotangens ugla je omjer susjedne (bliske) strane i suprotne (daleke) strane.

Pa, tema je gotova. Ako čitate ove redove, to znači da ste veoma cool.

Zato što je samo 5% ljudi sposobno nešto samostalno savladati. A ako pročitate do kraja, onda ste u ovih 5%!

Sada najvažnija stvar.

Razumjeli ste teoriju na ovu temu. I, ponavljam, ovo... ovo je jednostavno super! Već ste bolji od velike većine svojih vršnjaka.

Problem je što ovo možda nije dovoljno...

Za šta?

Za uspešan polaganje Jedinstvenog državnog ispita, za upis na fakultet na budžetu i, NAJVAŽNIJE, doživotno.

Neću vas ni u šta ubeđivati, samo ću jedno reći...

Ljudi koji su primili dobro obrazovanje, zarađuju mnogo više od onih koji to nisu dobili. Ovo je statistika.

Ali to nije glavna stvar.

Glavna stvar je da su SREĆNIJI (ima takvih studija). Možda zato što se pred njima otvara još mnogo mogućnosti i život postaje svjetliji? ne znam...

Ali razmislite sami...

Šta je potrebno da biste bili sigurni da ćete biti bolji od drugih na Jedinstvenom državnom ispitu i na kraju biti... sretniji?

STVARITE SE RJEŠAVANJEM PROBLEMA NA OVU TEMU.

Od vas se neće tražiti teorija tokom ispita.

Trebaće ti rješavati probleme protiv vremena.

A, ako ih niste riješili (PUNO!), sigurno ćete negdje napraviti glupu grešku ili jednostavno nećete imati vremena.

To je kao u sportu - morate to ponoviti mnogo puta da biste sigurno pobijedili.

Pronađite kolekciju gde god želite, obavezno sa rešenjima, detaljna analiza i odluči, odluči, odluči!

Možete koristiti naše zadatke (opciono) i mi ih, naravno, preporučujemo.

Da biste bolje koristili naše zadatke, morate pomoći da produžite život YouClever udžbenika koji trenutno čitate.

Kako? Postoje dvije opcije:

1. Otključajte sve skrivene zadatke u ovom članku -
2. Otključajte pristup svim skrivenim zadacima u svih 99 članaka udžbenika - Kupite udžbenik - 499 RUR

Da, u našem udžbeniku imamo 99 takvih članaka i pristup svim zadacima i svim skrivenim tekstovima u njima može se odmah otvoriti.

Pristup svim skrivenim zadacima je omogućen za CIJELI vijek trajanja stranice.

I u zaključku...

Ako vam se ne sviđaju naši zadaci, pronađite druge. Samo nemojte stati na teoriji.

“Razumijem” i “Mogu riješiti” su potpuno različite vještine. Trebate oboje.

Pronađite probleme i riješite ih!

Šta je sinus, kosinus, tangenta, kotangens ugla pomoći će vam da shvatite pravougli trokut.

Kako se zovu stranice pravouglog trougla? Tako je, hipotenuza i kateta: hipotenuza je strana koja leži nasuprot pravog kuta (u našem primjeru to je stranica \(AC\)); krakovi su dvije preostale stranice \(AB\) i \(BC\) (one koje su susjedne pravom kutu), a ako uzmemo u obzir krakove u odnosu na ugao \(BC\), onda je krak \(AB\) susjedna noga, a noga \(BC\) je suprotna. Dakle, hajde da odgovorimo na pitanje: šta su sinus, kosinus, tangent i kotangens ugla?

Sinus ugla– ovo je omjer suprotnog (udaljenog) kraka i hipotenuze.

U našem trouglu:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

Kosinus ugla– ovo je omjer susjednog (bliskog) kraka i hipotenuze.

U našem trouglu:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

Tangenta ugla– ovo je odnos suprotne (udaljene) strane prema susednoj (bliskoj).

U našem trouglu:

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

Kotangens ugla– ovo je odnos susedne (bliske) noge i suprotne (daleke).

U našem trouglu:

\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

Ove definicije su neophodne zapamti! Da biste lakše zapamtili koju nogu podijeliti na šta, morate to jasno razumjeti tangenta I kotangens samo noge sjede, a hipotenuza se pojavljuje samo u sinus I kosinus. A onda možete smisliti lanac asocijacija. Na primjer, ovaj:

Kosinus→dodir→dodir→susedni;

Kotangens→dodir→dodir→susedni.

Prije svega, morate zapamtiti da sinus, kosinus, tangenta i kotangens, jer omjeri strana trokuta ne ovise o dužinama ovih stranica (pod istim kutom). Ne vjerujete mi? Zatim se uvjerite gledajući sliku:

Razmotrimo, na primjer, kosinus ugla \(\beta \) . Po definiciji, iz trougla \(ABC\): \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), ali možemo izračunati kosinus ugla \(\beta \) iz trokuta \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Vidite, dužine stranica su različite, ali vrijednost kosinusa jednog ugla je ista. Dakle, vrijednosti sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa ovise isključivo o veličini ugla.

Ako razumijete definicije, samo naprijed i konsolidirajte ih!

Za trokut \(ABC \) prikazan na slici ispod, nalazimo \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0,75\end(niz) \)

Pa, jesi li dobio? Zatim pokušajte sami: izračunajte isto za ugao \(\beta \) .

odgovori: \(\sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

Jedinični (trigonometrijski) krug

Razumijevajući koncepte stupnjeva i radijana, razmatrali smo krug s polumjerom jednakim \(1\) . Takav krug se zove single. Bit će vrlo korisno kada proučavate trigonometriju. Stoga, pogledajmo to malo detaljnije.

Kao što vidite, ovaj krug je konstruisan u kartezijanskom koordinatnom sistemu. Polumjer kružnice jednak je jedan, dok središte kružnice leži na početku koordinata, početni položaj vektora radijusa je fiksiran duž pozitivnog smjera ose \(x\) (u našem primjeru, ovo je poluprečnik \(AB\)).

Svaka tačka na kružnici odgovara dva broja: koordinata duž ose \(x\) i koordinata duž ose \(y\). Koji su to koordinatni brojevi? I općenito, kakve veze oni imaju sa temom o kojoj je riječ? Da bismo to učinili, moramo se sjetiti razmatranog pravokutnog trokuta. Na gornjoj slici možete vidjeti dva cijela pravokutna trougla. Razmotrimo trougao \(ACG\) . Pravougaona je jer je \(CG\) okomita na osu \(x\).

Šta je \(\cos \ \alpha \) iz trougla \(ACG \)? Tako je \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Osim toga, znamo da je \(AC\) polumjer jedinične kružnice, što znači \(AC=1\) . Zamijenimo ovu vrijednost u našu formulu za kosinus. Evo šta se dešava:

\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

Koliko je jednako \(\sin \ \alpha \) iz trougla \(ACG \)? Pa naravno \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)! Zamijenite vrijednost radijusa \(AC\) u ovu formulu i dobijete:

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

Dakle, možete li reći koje koordinate ima tačka \(C\) koja pripada kružnici? Pa, nema šanse? Šta ako shvatite da su \(\cos \ \alpha \) i \(\sin \alpha \) samo brojevi? Kojoj koordinati odgovara \(\cos \alpha \)? Pa, naravno, koordinata \(x\)! I kojoj koordinati odgovara \(\sin \alpha \)? Tako je, koordinata \(y\)! Dakle, poenta \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).

Čemu su onda jednaki \(tg \alpha \) i \(ctg \alpha \)? Tako je, upotrijebimo odgovarajuće definicije tangente i kotangensa i dobijemo to \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), A \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

Šta ako je ugao veći? Na primjer, kao na ovoj slici:

Šta se promijenilo u ovom primjeru? Hajde da to shvatimo. Da bismo to učinili, okrenimo se ponovo pravokutnom trokutu. Razmotrimo pravougaoni trougao \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : ugao (kao susedan uglu \(\beta \) ). Kolika je vrijednost sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa za ugao \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? Tako je, pridržavamo se odgovarajućih definicija trigonometrijskih funkcija:

\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \ugao ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\ugao ((C )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\ugao ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\end(niz) \)

Pa, kao što vidite, vrijednost sinusa ugla i dalje odgovara koordinati \(y\) ; vrijednost kosinusa ugla - koordinata \(x\) ; i vrijednosti tangenta i kotangensa na odgovarajuće omjere. Dakle, ovi odnosi se primjenjuju na bilo koju rotaciju radijus vektora.

Već je spomenuto da je početni položaj radijus vektora duž pozitivnog smjera ose \(x\). Do sada smo ovaj vektor rotirali u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, ali šta će se dogoditi ako ga okrenemo u smjeru kazaljke na satu? Ništa neobično, dobit ćete i ugao određene vrijednosti, ali samo će on biti negativan. Dakle, kada se radijus vektor okrene suprotno od kazaljke na satu, dobijamo pozitivni uglovi, a pri rotaciji u smjeru kazaljke na satu – negativan.

Dakle, znamo da je cijela revolucija radijus vektora oko kružnice \(360()^\circ \) ili \(2\pi \) . Da li je moguće rotirati radijus vektor za \(390()^\circ \) ili za \(-1140()^\circ \)? Pa, naravno da možete! u prvom slučaju, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), dakle, radijus vektor će napraviti jednu punu revoluciju i zaustaviti se na poziciji \(30()^\circ \) ili \(\dfrac(\pi )(6) \) .

u drugom slučaju, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), to jest, radijus vektor će napraviti tri puna okretaja i zaustaviti se na poziciji \(-60()^\circ \) ili \(-\dfrac(\pi )(3) \) .

Dakle, iz gornjih primjera možemo zaključiti da se uglovi koji se razlikuju za \(360()^\circ \cdot m \) ili \(2\pi \cdot m \) (gdje je \(m \) bilo koji cijeli broj), odgovaraju istoj poziciji radijus vektora.

Slika ispod prikazuje ugao \(\beta =-60()^\circ \) . Ista slika odgovara uglu \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) itd. Ova lista se može nastaviti u nedogled. Svi ovi uglovi se mogu napisati općom formulom \(\beta +360()^\circ \cdot m\) ili \(\beta +2\pi \cdot m \) (gdje je \(m \) bilo koji cijeli broj)

\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(niz) \)

Sada, znajući definicije osnovnih trigonometrijskih funkcija i koristeći jedinični krug, pokušajte odgovoriti koje su vrijednosti:

\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(niz) \)

Evo jediničnog kruga koji će vam pomoći:

Imate poteškoća? Onda hajde da shvatimo. Dakle, znamo da:

\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\end(niz)\)

Odavde određujemo koordinate tačaka koje odgovaraju određenim mjerama uglova. Pa, počnimo redom: ugao unutra \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) odgovara tački sa koordinatama \(\left(0;1 \right) \) , dakle:

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- ne postoji;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

Dalje, pridržavajući se iste logike, saznajemo da su uglovi u \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) odgovaraju tačkama sa koordinatama \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \desno) \), odnosno. Znajući to, lako je odrediti vrijednosti trigonometrijskih funkcija u odgovarajućim točkama. Prvo pokušajte sami, a zatim provjerite odgovore.

odgovori:

\(\displaystyle \sin \180()^\circ =\sin \ \pi =0\)

\(\displaystyle \cos \180()^\circ =\cos \ \pi =-1\)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- ne postoji

\(\sin \270()^\circ =-1\)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- ne postoji

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin \ 360()^\circ =0 \)

\(\cos \360()^\circ =1\)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- ne postoji

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Strelica desno \text(tg)\ 450()^\circ \)- ne postoji

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

Tako možemo napraviti sljedeću tabelu:

Nema potrebe da pamtite sve ove vrednosti. Dovoljno je zapamtiti korespondenciju između koordinata točaka na jediničnom krugu i vrijednosti trigonometrijskih funkcija:

\(\lijevo. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(niz) \desno\)\ \text(Morate zapamtiti ili biti u mogućnosti to ispisati!! \) !}

Ali vrijednosti trigonometrijskih funkcija uglova u i \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\) dato u tabeli ispod, morate zapamtiti:

Nemojte se plašiti, sada ćemo vam pokazati jedan primjer prilično jednostavnog pamćenja odgovarajućih vrijednosti:

Za korištenje ove metode važno je zapamtiti vrijednosti sinusa za sve tri mjere ugla ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\)), kao i vrijednost tangente ugla u \(30()^\circ \) . Poznavajući ove \(4\) vrijednosti, prilično je jednostavno vratiti cijelu tablicu - vrijednosti kosinusa se prenose u skladu sa strelicama, odnosno:

\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3) ))(2)\ \end(niz) \)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), znajući to, možete vratiti vrijednosti za \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Brojač "\(1 \)" će odgovarati \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \), a nazivnik "\(\sqrt(\text(3)) \)" će odgovarati \(\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . Vrijednosti kotangensa se prenose u skladu sa strelicama prikazanim na slici. Ako ovo razumijete i zapamtite dijagram sa strelicama, tada će biti dovoljno zapamtiti samo \(4\) vrijednosti iz tabele.

Koordinate tačke na kružnici

Da li je moguće pronaći tačku (njene koordinate) na kružnici, znajući koordinate centra kruga, njegov polumjer i kut rotacije? Pa, naravno da možete! Hajde da izvedemo opštu formulu za pronalaženje koordinata tačke. Na primjer, evo kruga ispred nas:

Dato nam je to \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- centar kruga. Polumjer kružnice je \(1.5\) . Potrebno je pronaći koordinate tačke \(P\) dobijene rotacijom tačke \(O\) za \(\delta \) stepeni.

Kao što se može vidjeti sa slike, koordinata \(x\) tačke \(P\) odgovara dužini segmenta \(TP=UQ=UK+KQ\) . Dužina segmenta \(UK\) odgovara koordinati \(x\) centra kruga, odnosno jednaka je \(3\) . Dužina segmenta \(KQ\) može se izraziti pomoću definicije kosinusa:

\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).

Tada imamo da je za tačku \(P\) koordinata \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1.5\cdot \cos \ \delta \).

Koristeći istu logiku, nalazimo vrijednost y koordinate za tačku \(P\) . dakle,

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1.5\cdot \sin \delta \).

Dakle, općenito se koordinate tačaka određuju formulama:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(niz) \), Gdje

\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - koordinate centra kruga,

\(r\) - polumjer kružnice,

\(\delta \) - ugao rotacije vektorskog radijusa.

Kao što vidite, za jedinični krug koji razmatramo, ove formule su značajno smanjene, jer su koordinate centra jednake nuli, a radijus jednak jedan:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(array) \)

Javascript je onemogućen u vašem pretraživaču.
Da biste izvršili proračune, morate omogućiti ActiveX kontrole!

Sinus i kosinus su prvobitno proizašli iz potrebe da se izračunaju količine u pravokutnim trokutima. Primijećeno je da ako se ne mijenja stepen mjera uglova u pravouglom trouglu, onda omjer stranica, bez obzira koliko se ove stranice mijenjaju po dužini, uvijek ostaje isti.

Tako su uvedeni koncepti sinusa i kosinusa. Sinus oštrog ugla u pravokutnom trokutu je omjer suprotne strane prema hipotenuzi, a kosinus je omjer stranice koja je susjedna hipotenuzi.

Teoreme kosinusa i sinusa

Ali kosinus i sinus se mogu koristiti za više od pravokutnih trougla. Da biste pronašli vrijednost tupog ili oštrog ugla ili stranice bilo kojeg trokuta, dovoljno je primijeniti teoremu kosinusa i sinusa.

Kosinusna teorema je prilično jednostavna: „Kvadrat stranice trokuta jednak zbiru kvadrati druge dvije stranice umanjeni za dvostruki proizvod ovih stranica za kosinus ugla između njih.”

Postoje dva tumačenja teoreme sinusa: mala i proširena. Prema maloljetniku: "U trouglu su uglovi proporcionalni suprotnim stranama." Ova teorema se često proširuje zbog svojstva opisane kružnice trokuta: „U trokutu su uglovi proporcionalni suprotnim stranama, a njihov omjer je jednak prečniku opisane kružnice.“

Izrazi kroz hiperboličke funkcije

Izvod je matematički alat koji pokazuje koliko se brzo funkcija mijenja u odnosu na promjenu argumenta. Derivati ​​se koriste u geometriji, iu nizu tehničkih disciplina.

Prilikom rješavanja problema morate znati tablične vrijednosti izvoda trigonometrijskih funkcija: sinusa i kosinusa. Derivat sinusa je kosinus, a kosinus je sinus, ali sa predznakom minus.

Primjena u matematici

Sinusi i kosinusi se posebno često koriste u rješavanju pravokutnih trokuta i problema vezanih za njih.

Pogodnost sinusa i kosinusa ogleda se iu tehnologiji. Uglove i stranice bilo je lako procijeniti korištenjem kosinusnih i sinusnih teorema, rastavljajući složene oblike i objekte u "jednostavne" trokute. Inženjeri koji se često bave proračunima omjera i mjera stepena potrošili su mnogo vremena i truda na izračunavanje kosinusa i sinusa netabelarnih uglova.

Tada su u pomoć priskočile Bradisove tablice koje sadrže hiljade vrijednosti sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa različitih uglova. U sovjetsko doba, neki nastavnici su prisiljavali svoje učenike da pamte stranice Bradisovih tablica.

Radijan je ugaona vrednost luka čija je dužina jednaka poluprečniku ili 57,295779513° stepeni.

Stepen (u geometriji) - 1/360. dio kruga ili 1/90. dio pravog ugla.

π = 3,141592653589793238462… (približna vrijednost Pi).

Kosinus tabela za uglove: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.

Ugao x (u stepenima)	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°	210°	225°	240°	270°	300°	315°	330°	360°
Ugao x (u radijanima)	0	π/6	π/4	π/3	π/2	2 x π/3	3 x π/4	5 x π/6	π	7 x π/6	5 x π/4	4 x π/3	3 x π/2	5 x π/3	7 x π/4	11 x π/6	2 x π
cos x	1	√3/2 (0,8660)	√2/2 (0,7071)	1/2 (0,5)	0	-1/2 (-0,5)	-√2/2 (-0,7071)	-√3/2 (-0,8660)	-1	-√3/2 (-0,8660)	-√2/2 (-0,7071)	-1/2 (-0,5)	0	1/2 (0,5)	√2/2 (0,7071)	√3/2 (0,8660)	1