Volumen formule heksagonalne piramide. Formula za volumen heksagonalne piramide: primjer rješavanja problema

Dom

Uputstva

S obzirom na kvadratnu bazu piramide sa poznatom dužinom stranice (a) i datom zapreminom (V), zamijenite površinu u formuli za proračun iz prethodnog koraka kvadratnom dužinom stranice: H = 3*V/a². Formula iz prvog koraka može se transformirati kako bi se izračunala visina (H) pravilne piramide s osnovom bilo kojeg oblika. Početni podaci koji treba da budu uključeni u to su zapremina (V) poliedra, dužina ivice u bazi (a) i broj vrhova u osnovi (n). Square pravilan poligon

određuje se četvrtinom proizvoda broja vrhova kvadratom dužine stranice i kotangensom ugla, jednakog omjeru 180° i broja vrhova: ¼*n*a²*ctg(180° /n). Zamijenite ovaj izraz u formulu iz prvog koraka: H = 3*V/(¼*n*a²*ctg(180°/n)) = 12*V/(n*a²*ctg(180°/n)) . Ako je površina baze nepoznata iz uslova zadatka, a dati su samo zapremina (V) i dužina ivice (a), tada se varijabla koja nedostaje u formuli iz prethodnog koraka može zamijeniti svojim ekvivalentom, izraženim u smislu dužine ivice. Površina (kao što se sjećate, leži u podnožju piramide dotične vrste) jednaka je jednoj četvrtini proizvoda kvadratni korijen

od tri do kvadrata dužine stranice. Zamijenite ovaj izraz umjesto površine baze u formulu iz prethodnog koraka i dobijete sljedeći rezultat: H = 3*V*4/(a²*√3) = 12*V/(a²*√3 ).

Pošto se zapremina tetraedra može izraziti i kroz dužinu ivice, sve varijable se mogu ukloniti iz formule za izračunavanje visine figure, ostavljajući samo stranu njenog lica. Zapremina ove piramide se izračunava tako što se proizvod kvadratnog korijena iz dva podijeli sa 12 sa kubnom dužinom lica. Zamijenite ovaj izraz u formulu iz prethodnog koraka i dobijete rezultat: H = 12*(a³*√2/12)/(a²*√3) = (a³*√2)/(a²*√3) = a* √⅔ = ⅓*a*√6.

Slična formula se može dobiti ako znamo polumjer (r) kružnice upisane u tetraedar. U ovom slučaju, dužina ruba će biti jednaka dvanaest omjera između radijusa i kvadrata od šest. Zamijenite ovaj izraz u formulu iz trećeg koraka: H = ⅓*a*√6 = ⅓*√6*12*R/√6 = 4*R.

Piramida je jedna od najmističnijih figura u geometriji. Tokovi kosmičke energije su povezani s njim, mnogi drevni narodi su odabrali ovaj oblik za izgradnju svojih vjerskih objekata. Međutim, sa matematičke tačke gledišta, piramida je samo poliedar, sa poligonom u osnovi, a lica su trouglovi sa zajedničkim vrhom. Pogledajmo kako pronaći kvadrat ivice V piramida.

Trebaće ti

• kalkulator.

Dom

Vrste piramida: pravilne (u osnovi je pravilan poligon, a vrhovi u njegovom centru), proizvoljne (u osnovi je bilo koji poligon, a projekcija vrha ne mora nužno da se poklapa sa njegovim centrom), pravokutne (jedan od bočne ivice čine pravi ugao sa bazom) i . Ovisno o stranicama poligona u podnožju piramide, naziva se tro-, četvero-, pet- ili, na primjer, deseterokutni.

Za sve vrste piramida, osim skraćenih: Pomnožite dužine osnove trokuta i visine spuštene na njega od vrha piramide. Dobiveni proizvod podijelite sa 2 - to će biti željeno kvadrat strana ivice piramide.

Skraćena piramida Presavijte obje baze trapeza, koji je lice takve piramide. Dobijeni iznos podijelite sa dva. Pomnožite rezultirajuću vrijednost sa visinom ivice-trapez. Rezultirajuća vrijednost je kvadrat strana ivice piramide ovog tipa.

Video na temu

Koristan savjet

Područje bočne površine i baze, perimetar osnove piramide i njen volumen povezani su određenim formulama. Ovo ponekad omogućava izračunavanje vrijednosti podataka koji nedostaju potrebni za određivanje površine lica u piramidi.

Volumen bilo koje nesječene piramide jednak je jednoj trećini proizvoda visine piramide i površine baze. Za pravilnu piramidu, istina je: površina bočne površine jednaka je polovini perimetra baze pomnoženoj s visinom jednog od lica. Prilikom izračunavanja volumena skraćene piramide, umjesto površine baze, zamijenite vrijednost jednaku zbroju površina gornje, donje baze i kvadratnog korijena njihovog proizvoda.

Izvori:

• Stereometrija
• kako pronaći bočnu stranu piramide

Piramida se naziva pravougaonom ako joj je jedna ivica okomita na osnovu, odnosno stoji pod uglom od 90˚. Ova ivica je takođe visina pravougaone piramide. Formulu za zapreminu piramide prvi je izveo Arhimed.

Trebaće ti

• - olovka;
• - papir;
• - kalkulator.

Dom

U pravougaonoj visini će se nalaziti njegov rub, koji stoji pod uglom od 90˚ u odnosu na osnovu. Kao, površina pravougaone osnove je označena kao S, a visina, koja je takođe piramide, − h. Zatim, da se pronađe volumen ovoga piramide, potrebno je pomnožiti površinu njegove osnove visinom i podijeliti sa 3. Dakle, volumen pravokutnika piramide izračunato pomoću formule: V=(S*h)/3.

Izgradite prateći zadate parametre. Označite njegovu bazu latiničnim ABCDE, a njen vrh piramide- S. Pošto će crtež biti na ravni u projekciji, da ne bude zabune, navedite podatke koje već znate: SE = 30cm; S(ABCDE)=45 cm².

Izračunajte zapreminu pravougaonika piramide, koristeći formulu. Zamjenom podataka i proračunima, ispada da je volumen pravougaonika piramide biće jednako: V=(45*30)/3=cm³.

Ako iskaz problema ne sadrži podatke o i visini piramide, tada morate izvršiti dodatne proračune da biste dobili ove vrijednosti. Površina baze će se izračunati u zavisnosti od toga da li poligon leži u njegovoj osnovi.

Visina piramide saznajte da li znate hipotenuzu bilo kojeg od pravokutnih EDS ili EAS i ugao pod kojim je bočna strana SD ili SA nagnuta prema svojoj osnovi. Izračunajte SE krak koristeći sinusnu teoremu. To će biti visina pravougaonika piramide.

Imajte na umu

Prilikom izračunavanja veličina kao što su visina, zapremina, površina, treba imati na umu da svaka od njih ima svoju mjernu jedinicu. Dakle, površina se mjeri u cm², visina u cm, a zapremina u cm³.
Kubni centimetar je jedinica zapremine koja je jednaka zapremini kocke sa dužinom ivice od 1 cm. Ako zamenimo podatke u našu formulu, dobićemo: cm³= (cm²*cm)/3.

Koristan savjet

U pravilu, ako problem zahtijeva pronalaženje volumena pravokutne piramide, tada su poznati svi potrebni podaci - barem da bi se pronašla površina osnove i visina figure.

Problemi sa piramidama. U ovom članku nastavit ćemo razmatrati probleme s piramidama. Ne mogu se pripisati nijednoj klasi ili vrsti zadataka i ne mogu se dati opće (algoritamske) preporuke za rješavanje. Samo ovdje su sakupljeni preostali zadaci koji ranije nisu razmatrani.

Navest ću teoriju koju trebate osvježiti prije rješavanja: piramide, svojstva sličnosti figura i tijela, svojstva pravilnih piramida, Pitagorina teorema, formula za površinu trokuta (to je druga). Razmotrimo zadatke:

Od trouglasta piramida, čija je zapremina 80, trouglasta piramida je odsječena ravninom koja prolazi kroz vrh piramide i srednju liniju osnove. Nađite zapreminu odsečene trouglaste piramide.

Zapremina piramide jednaka je jednoj trećini proizvoda površine njene osnove i visine:

Ove piramide (izvorne i odsječene) imaju zajedničku visinu, pa su njihove zapremine povezane kao površine njihovih osnova. Srednja linija od prvobitnog trougla, odseče trougao čija je površina četiri puta manja, tj.

Više informacija o tome možete pronaći ovdje.

To znači da će zapremina odsečene piramide biti četiri puta manja.

Dakle, to će biti jednako 20.

Odgovor: 20

* sličan problem, koristi se formula za površinu trokuta.

Zapremina trouglaste piramide je 15. Ravan prolazi kroz stranu osnove ove piramide i siječe suprotnu bočnu ivicu u tački koja je dijeli u omjeru 1:2, računajući od vrha piramide. Pronađite najveći volumen piramida na koji ravan dijeli prvobitnu piramidu.

Napravimo piramidu i označimo vrhove.Označimo tačku E na ivici AS, tako da je AE duplo veći od ES (uslov kaže da je ES povezan sa AE kao 1 do 2), i konstruišemo naznačenu ravan koja prolazi kroz ivicu AC i tačku E:

Hajde da analiziramo čija će piramida biti veća: EABC ili SEBC?

*Zapremina piramide jednaka je jednoj trećini proizvoda površine njene osnove i visine:

Ako uzmemo u obzir dvije rezultirajuće piramide i uzmemo lice EBC kao osnovu u obje, postaje očigledno da će zapremina piramide AEBS biti veća od zapremine piramide SEBC. Zašto?

Udaljenost od tačke A do ravni EBC veća je od udaljenosti od tačke S. I ova udaljenost za nas igra ulogu visine.

Dakle, hajde da pronađemo zapreminu piramide EABC.

Dat nam je volumen originalne piramide, piramide SABC i EABC imaju zajedničku osnovu. Ako utvrdimo omjer visina, lako možemo odrediti volumen.

Iz omjera segmenata ES i AE slijedi da je AE jednako dvije trećine ES. Visine piramida SABC i EABC su u istom odnosu -visina piramide EABC će biti jednaka 2/3 visine piramide SABC.

Dakle, ako

To

Odgovor: 10

Jačina zvuka ispravna heksagonalna piramida 6. Strana baze je 1. Pronađite bočnu ivicu.

U pravilnoj piramidi, vrh je projektovan u centar osnove.Izvodimo dodatne konstrukcije:

Možemo pronaći bočnu ivicu od pravougaonog trougla SOC. Da biste to učinili, morate znati SO i OS.

SO je visina piramide, možemo je izračunati pomoću formule zapremine:

Izračunajmo površinu baze. ovo je pravilan šesterokut sa stranicom jednakom 1. Površina pravilnog šesterokuta je jednaka površini šest jednakostraničnih trokuta sa istom stranom, više o tome (odjeljak 6), dakle:

Sredstva

OS = BC = 1, pošto je u pravilnom šestouglu segment koji povezuje njegovo središte sa vrhom jednak strani ovog šestougla.

Dakle, prema Pitagorinoj teoremi:

Odgovor: 7

VolumeZapremina tetraedra je 200. Nađite zapreminu poliedra čiji su vrhovi sredine ivica datog tetraedra.

Zapremina navedenog poliedra jednaka je razlici između volumena originalnog tetraedra V 0 i četiri jednaka tetraedra, od kojih se svaki dobiva odsijecanjem ravnine koja prolazi središtem ivica sa zajedničkim vrhom:

Odredimo zapreminu odsječenog tetraedra.

Imajte na umu da su originalni tetraedar i „odsječeni“ tetraedar slična tijela. Poznato je da je odnos zapremina sličnih tela jednak k 3, gde je k koeficijent sličnosti. U ovom slučaju je jednako 2 (pošto je sve linearne dimenzije originalni tetraedar je dvostruko veći od odgovarajućih dimenzija odsječenog):

Izračunajmo zapreminu isečenog tetraedra:

Dakle, potrebna zapremina će biti jednaka:

Odgovor: 100

Površina tetraedra je 120. Nađite površinu poliedra čiji su vrhovi sredine ivica datog tetraedra.

prvi način:

Tražena površina se sastoji od 8 jednakostraničnih trokuta sa stranicom koja je upola manja od ivice originalnog tetraedra. Površina originalnog tetraedra sastoji se od 16 takvih trokuta (na svakoj od 4 lica tetraedra postoje 4 trokuta), pa je tražena površina jednaka polovini površine datog tetraedra i jednaka je 60.

Drugi način:

Pošto je površina tetraedra poznata, možemo pronaći njegovu ivicu, zatim odrediti dužinu ivice poliedra i onda izračunati njegovu površinu.

Datum: 19.01.2015

Ako ti treba upute korak po korak Kako napraviti piramidalno skeniranje, onda vas molim da se pridružite našoj lekciji. Prvo procijenite da li je vaša piramida postavljena na sličan način kao na slici 1.

Ako ste ga zarotirali za 90 stepeni, onda se ivica označena na slici kao "poznate realne vrednosti" u vašem slučaju može naći na projekciji profila koju ćete morati da konstruišete. U mom slučaju to nije potrebno, već imamo sve količine potrebne za izgradnju. Važno je ne zaboraviti da su na ovom crtežu samo rubovi SA i SD u prednjoj projekciji prikazani u punoj veličini. Svi ostali su projektovani sa izobličenjem dužine. Osim toga, u pogledu odozgo, sve strane šesterokuta su također projektovane u punoj veličini. Na osnovu ovoga, idemo dalje.

1. Za veću ljepotu, nacrtajmo prvu liniju vodoravno (slika 1). Zatim, nacrtajmo široki luk polumjera R=a, tj. radijus jednaka dužini bočni rub piramide. Uzmimo tačku A. Koristeći šestar, od njega ćemo napraviti zarez na luku, poluprečnika r=b (dužina stranice osnove piramide). Idemo na tačku B. Već imamo prvo lice piramide!

2. Od tačke B pravimo još jedan zarez istog poluprečnika - dobijamo tačku C i spajajući je sa tačkama B i S dobijamo drugu bočnu stranu piramide (slika 2).

3. Ponavljanjem ovih koraka potreban broj puta (sve zavisi od toga koliko lica ima vaša piramida), dobićemo ovakvu lepezu (slika 3). Ako se pravilno konstruiše, treba da dobijete sve osnovne tačke, a ekstremne treba ponoviti.

4. Ovo nije uvijek potrebno, ali je ipak neophodno: dodajte bazu piramide razvoju bočne površine. Vjerujem da svi koji su čitali do sada znaju kako nacrtati petougao (kako nacrtati pentagon je detaljno opisano u lekciji). na pravom mjestu i pod pravim uglom. Crtamo os kroz sredinu bilo kojeg lica. Od tačke preseka sa pravom linijom osnove crtamo rastojanje m, kao što je prikazano na slici 4.


Povlačenjem okomice kroz ovu tačku dobijamo ose budućeg šestougla. Iz rezultirajućeg centra crtamo krug, kao što ste učinili prilikom konstruiranja pogleda odozgo. Imajte na umu da krug mora proći kroz dvije točke na bočnoj strani (u mom slučaju to su F i A)

5. Slika 5 prikazuje konačni prikaz razvoja heksagonalne prizme.


Ovim je završena konstrukcija piramide. Izgradite svoj razvoj, naučite pronaći rješenja, budite pedantni i nikada ne odustajte. Hvala što ste svratili. Ne zaboravite nas preporučiti svojim prijateljima :) Sve najbolje!

ili zapišite naš broj telefona i recite prijateljima o nama - vjerovatno neko traži način da završi crteže

ili Napravite bilješku na svojoj stranici ili blogu o našim lekcijama - i neko drugi će moći savladati crtanje.

Piramide su: trouglaste, četvorougaone itd., zavisno od toga šta je osnova - trougao, četvorougao itd.
Piramida se naziva pravilnom (Sl. 286, b) ako je, prvo, njena osnova pravilan mnogougao, i, drugo, njena visina prolazi kroz centar ovog poligona.
Inače, piramida se naziva nepravilna (Sl. 286, c). Sve je u pravoj piramidi bočna rebra jednake jedna drugoj (kao kosi sa jednakim projekcijama). Dakle, sve bočne strane pravilne piramide su jednaki jednakokraki trouglovi.
Analiza elemenata pravilne šesterokutne piramide i njihov prikaz na složenom crtežu (sl. 287).

a) Složeni crtež pravilne šestougaone piramide. Osnova piramide nalazi se na ravni P 1; dvije strane osnove piramide su paralelne sa ravninom projekcije P 2.
b) Osnova ABCDEF je šestougao koji se nalazi u ravni projekcije P 1.
c) Bočna strana ASF-a je trougao koji se nalazi u opštoj ravni.
d) Bočna strana FSE je trokut koji se nalazi u ravni projekcije profila.
e) Ivica SE je segment u opštoj poziciji.
f) Rebro SA - frontalni segment.
g) Vrh S piramide je tačka u prostoru.
Na slikama 288 i 289 prikazani su primjeri sekvencijalnih grafičkih operacija pri izvođenju složenog crteža i vizualnih slika (aksonometrija) piramida.

Dato:
1. Baza se nalazi na ravni P 1.
2. Jedna od stranica baze je paralelna sa x-osi 12.
I. Složeni crtež.
I, a.
Dizajniramo osnovu piramide - poligon, prema ovom uslovu koji leži u ravni P1.
Dizajniramo vrh - tačku koja se nalazi u prostoru. Visina tačke S jednaka je visini piramide. Horizontalna projekcija S 1 tačke S će biti u centru projekcije osnove piramide (po uslovu).
I, c. S obzirom na horizontalnu projekciju K 1 tačke K na bočnoj strani SBA, potrebno je pronaći njegovu frontalnu projekciju. Da biste to uradili, povucite pomoćnu liniju S 1 F 1 kroz tačke S 1 i K 1 , pronađite njenu frontalnu projekciju i na njoj, koristeći vertikalnu liniju veze, odredite lokaciju željene frontalne projekcije K 2 tačke K .
II.
Razvoj površine piramide je ravna figura koja se sastoji od bočnih strana - identičnih jednakokračnih trokuta, čija je jedna strana jednaka strani osnove, a druge dvije - bočnim ivicama, a od pravilnog poligona - baza.
Prirodne dimenzije stranica postolja otkrivaju se na njegovoj horizontalnoj projekciji. Na projekcijama nisu otkrivene prirodne dimenzije rebara. 1 Hipotenuza S 2 ¯A 2 (sl. 288,
, b) pravokutni trokut S 2 O 2 ¯A 2 , u kojem je veliki krak jednak visini S 2 O 2 piramide, a mali katet jednak horizontalnoj projekciji ivice S 1 A 1 je prirodnu veličinu ivice piramide. Konstrukciju zamaha treba izvesti sljedećim redoslijedom:
a) iz proizvoljne tačke S (vrh) povučemo luk poluprečnika R jednak ivici piramide;
b) na nacrtani luk položićemo pet tetiva veličine R 1 jednake strani osnove; c) spojite tačke D, C, B, A, E, D pravim linijama u nizu jedna s drugom i sa tačkom S dobijamo pet jednakokrakih jednakih trouglova
, koji čini razvoj bočne površine ove piramide, presečen duž ivice SD;
d) osnovu piramide - petougao - pričvrstimo na bilo koje lice metodom triangulacije, na primjer na DSE lice.
Prenos tačke K na skeniranje vrši se pomoćnom ravnom linijom koristeći dimenziju B 1 F 1 uzetu na horizontalnoj projekciji i dimenziju A 2 K 2 uzetu na prirodnu veličinu rebra.
III. 1 Vizuelni prikaz piramide u izometriji.
III, a. 1 Vizuelni prikaz piramide u izometriji.
Osnovu piramide prikazujemo koristeći koordinate prema (sl. 288,
, A).
Vrh piramide prikazujemo koristeći koordinate prema (Sl. 288,

Dato:
III, b.
Prikazujemo bočne ivice piramide, povezujući vrh sa vrhovima baze. Rub S"D" i stranice osnove C"D" i D"E" prikazane su isprekidanim linijama, kao nevidljive, zatvorene ivicama piramide C"S"B", B"S"A" i A"S"E".
III, e.
I, a. Dizajniranje osnove piramide - jednakokraki trougao
, koja leži u ravni P 1, a vrh S je tačka koja se nalazi u prostoru, čija je visina jednaka visini piramide.
I, b.
Dizajniramo ivice piramide - segmente, za koje povezujemo prave linije istoimenih projekcija vrhova osnove sa istoimenim projekcijama vrha piramide. Horizontalnu projekciju stranice osnove aviona prikazujemo isprekidanom linijom, kao nevidljivu, prekrivenu sa dva lica piramide ABS, ACS.
I, c.
Na čeonoj projekciji A 2 C 2 S 2 bočne strane data je projekcija D 2 tačke D. Morate pronaći njegovu horizontalnu projekciju. Da bismo to učinili, kroz tačku D 2 povlačimo pomoćnu liniju paralelnu s x 12 osi - frontalnu projekciju horizontale, zatim pronađemo njenu horizontalnu projekciju i na njoj, koristeći vertikalnu liniju veze, odredimo lokaciju željene horizontalna projekcija D 1 tačke D.
II. Izrada piramidalnog skeniranja.
Na horizontalnoj projekciji otkrivaju se prirodne dimenzije stranica baze. Na frontalnoj projekciji otkrivena je prirodna veličina rebra AS; u projekcijama nema ivica prirodne veličine BS i CS, veličina ovih ivica se otkriva rotiranjem oko i osi okomito na ravninu P1 koja prolazi kroz vrh piramide S. Nova frontalna projekcija ¯C 2 S 2 je prirodna vrijednost ivice CS.
Redoslijed izgradnje razvoja površine piramide:
a) nacrtajte jednakokraki trougao - lice CSB, čija je osnova jednaka stranici osnove piramide CB, a stranice jednake prirodnoj veličini ivice SC;
b) stranicama SC i SB konstruisanog trougla pričvrstimo dva trokuta - lica piramide CSA i BSA, i osnovu CB konstruisanog trougla - osnovu CBA piramide, kao rezultat dobijamo potpunu razvoj površine ove piramide.

Prijenos točke D na skeniranje vrši se sljedećim redoslijedom: prvo, na skeniranju bočne strane ASC, nacrtajte horizontalnu liniju veličine R 1, a zatim odredite lokaciju točke D na horizontalnoj liniji pomoću veličine R 2.

III. Vizuelni prikaz piramide i frontalna dimetrijska projekcija III, a. Prikazujemo bazu A"B"C i vrh S" piramide, koristeći koordinate prema (:

Crtež je prvi i vrlo važan korak u rješavanju geometrijskog problema. Kako bi trebao izgledati crtež pravilne piramide?

— omjer dužina segmenata paralelnih pravih i segmenata jedne prave je očuvan.

Crtež pravilne trouglaste piramide

Prvo crtamo bazu. Kako se prilikom paralelnog projektovanja ne čuvaju uglovi i odnosi dužina neparalelnih segmenata, pravilni trougao u osnovi piramide se prikazuje kao proizvoljan trougao.

Centar pravilnog trougla je tačka preseka medijana trougla. Budući da su medijane u tački presjeka podijeljene u omjeru 2:1, računajući od temena, mi mentalno povezujemo vrh baze sa sredinom suprotne strane, približno ga podijelimo na tri dijela i postavljamo tačku na udaljenost od 2 dijela od temena. Od ove tačke povlačimo okomicu prema gore. Ovo je visina piramide. Nacrtamo okomicu takve dužine da bočna ivica ne pokriva sliku visine.

Crtež ispravan četvorougaone piramide

Također počinjemo crtati pravilnu četverokutnu piramidu od osnove. Pošto je paralelizam segmenata očuvan, ali veličine uglova nisu, kvadrat u osnovi se prikazuje kao paralelogram. Po mogućstvu akutni ugao učinite ovaj paralelogram manjim, tada će bočne strane biti veće. Centar kvadrata je tačka preseka njegovih dijagonala. Crtamo dijagonale i vraćamo okomicu iz točke presjeka. Ova okomica je visina piramide. Odabiremo dužinu okomice tako da se bočna rebra ne spajaju jedno s drugim.

Crtež pravilne šestougaone piramide

Budući da je pri paralelnom projektovanju sačuvan paralelizam segmenata, osnova pravilne šestougaone piramide - pravilni šestougao - se prikazuje kao šestougao čije su suprotne strane paralelne i jednake. Središte pravilnog šestougla je tačka preseka njegovih dijagonala. Kako ne bismo zatrpali crtež, ne crtamo dijagonale, već približno pronalazimo ovu tačku. Iz njega vraćamo okomicu - visinu piramide - tako da se bočna rebra ne spajaju jedno s drugim.