Slajd 19

opada monotono na R Osa Ox je horizontalna asimptota koja se monotono povećava na R 8. Za bilo koje realne vrijednosti x i y; a>0, a≠1; b>0, b≠1. 7. Asimptota 6. Ekstremi 5. Monotoničnost 4. Parno, neparno 3. Intervali za poređenje vrijednosti funkcije s jedinicom 2. Raspon vrijednosti funkcije 1 Opseg definicije funkcije Svojstva eksponencijalne funkcije Eksponencijalne nejednakosti, njihovi tipovi i metode rješenja Eksponencijalna funkcija nema ekstreme. Funkcija nije ni parna ni neparna (funkcija opšteg oblika).

Slajd 20

Eksponencijalne nejednakosti, njihove vrste i metode za rješavanje Zadatak br. 1 Nađite domen definicije funkcije

Slajd 21

Eksponencijalne nejednačine, njihove vrste i metode rješavanja Zadatak br. 2 Odrediti vrijednosti

Slajd 22

Eksponencijalne nejednačine, njihove vrste i metode za rješavanje Zadatak br. 3 Odrediti vrstu funkcije raste opadajući opadajući

Slajd 23

Uvođenje novih znanja

Slajd 24

Eksponencijalne nejednačine, njihove vrste i metode rješavanja DEFINICIJA najjednostavnijih eksponencijalnih nejednačina: Neka je a dati pozitivan broj koji nije jednak jedinici i b dati pravi broj. Tada su nejednačine ax>b (ax≥b) i ax

Slajd 25

Eksponencijalne nejednačine, njihove vrste i metode rješavanja KAKO SE ZOVE rješavanje nejednakosti? Rješenje nejednakosti s nepoznatim x je broj x0, koji, kada se unese u nejednakost, proizvodi pravu numeričku nejednakost.

Slajd 26

Eksponencijalne nejednačine, njihove vrste i metode rješavanja ŠTA ZNAČI riješiti nejednakost? Riješiti nejednakost znači pronaći sva njena rješenja ili pokazati da ih nema.

Slajd 27

Razmotrimo relativni položaj grafika funkcije y=ax, a>0, a≠1 i prave linije y=b, njihove vrste i metode rješavanja y x y x y=b, b 0 y=b, b>. 0 0 1 0 1 x0 x0

Slajd 28

Eksponencijalne nejednačine, njihove vrste i metode rješavanja ZAKLJUČAK br. 1: Kada je b≤0, prava linija y=b ne seče grafik funkcije y=ax, jer se nalazi ispod krive y=ax, stoga su nejednakosti ax>b(ax≥b) zadovoljene za xR, a nejednačine ax

Slajd 29

ZAKLJUČAK br. 2: y x ​​0 x0 x1 y=b, b>0 x2 Eksponencijalne nejednačine, njihove vrste i metode rješavanja Ako su a>1 i b > 0, onda za svaki x1 x0- ispod prave y=b . 1 Za b> 0, prava linija y = b seče grafik funkcije y = ax u jednoj tački, čija je apscisa x0 = logab

Slajd 30

ZAKLJUČAK br. 2: y x ​​0 x0 x1 y=b, b>0 1 Eksponencijalne nejednačine, njihovi tipovi i metode rješavanja Ako su a>1 i b > 0, tada je za svako x1 >x0 odgovarajuća tačka grafika funkcija y=ax nalazi se iznad prave y=b, a za svako x2 0 prava linija y = b seče grafik funkcije y = ax u jednoj tački, čija je apscisa x0 = logab x2

Slajd 31

Najjednostavnije eksponencijalne nejednakosti Eksponencijalne nejednakosti, njihove vrste i metode rješavanja

Slajd 32

Eksponencijalne nejednačine, njihove vrste i metode rješavanja Primjer br. 1.1 Odgovor: raste u cijelom domenu definicije, Rješenje:

Slajd 33

Eksponencijalne nejednačine, njihove vrste i metode rješavanja Primjer br. 1.2 Rješenje: Odgovor: opada u cijelom domenu definicije,

Slajd 34

Eksponencijalne nejednačine, njihove vrste i metode rješavanja Primjer br. 1.3 Rješenje: Odgovor: raste u cijelom domenu definicije,

Slajd 35

Eksponencijalne nejednačine, njihove vrste i metode rješavanja Vrste eksponencijalnih nejednačina i metode za njihovo rješavanje 1) Eksponencijalne nejednačine, svodeći se na najjednostavnije, rastu u cijelom domenu definicije Primjer br. 1 Odgovor: Rješenje:

Slajd 36

Eksponencijalne nejednačine, njihove vrste i metode rješavanja Primjer br. 1.4 Rješenje: povećava se u cijelom domenu definicije, Odgovor:

Slajd 37

Eksponencijalne nejednačine, njihove vrste i metode rješavanja Vrste eksponencijalnih nejednačina i metode za njihovo rješavanje Eksponencijalne nejednačine, svedene na najjednostavniji primjer br. 2 povećavaju se kroz cijeli domen definicije Odgovor: Rješenje:

Slajd 38

Eksponencijalne nejednačine, njihove vrste i metode rješavanja Vrste eksponencijalnih nejednačina i metode za njihovo rješavanje 2) Eksponencijalne nejednačine, svođenje na kvadratne nejednačine Primjer Vratimo se na varijablu x povećava za sve x iz domena definicije Odgovor: Rješenje:

Slajd 39

Eksponencijalne nejednačine, njihove vrste i metode rješavanja Vrste eksponencijalnih nejednačina i metode za njihovo rješavanje 3) Homogene eksponencijalne nejednačine prvog i drugog stepena. Homogene eksponencijalne nejednakosti prvog stepena Primjer br. 1 se povećavaju u cijelom domenu definicije. Odgovor: Rješenje:

Eksponencijalne nejednačine, njihove vrste i metode rješavanja Vrste eksponencijalnih nejednačina i metode za njihovo rješavanje 4) Eksponencijalne nejednačine, svođenje na racionalne nejednačine Primjer Vratimo se na varijablu x povećava se u cijelom domenu definicije Odgovor: Rješenje:

Slajd 43

Eksponencijalne nejednačine, njihove vrste i metode rješavanja Vrste eksponencijalnih nejednačina i metode za njihovo rješavanje 5) Eksponencijalne nestandardne nejednačine Primjer Rješenja: Riješimo svaki iskaz skupa posebno. Nejednakost je jednaka agregatu

Slajd 44

Eksponencijalne nejednačine, njihove vrste i metode rješavanja Vrste eksponencijalnih nejednačina i metode za njihovo rješavanje 5) Eksponencijalne nestandardne nejednačine Primjer Odgovor: Rješenje: Provjera Provjera je pokazala da su x=1, x=3, x=1,5 rješenja za jednadžba, a x=2 nije rješenje jednačine. dakle,

Slajd 45

Konsolidacija znanja

Koje se nejednakosti nazivaju eksponencijalnim? Kada eksponencijalna nejednačina ima rješenje za bilo koju vrijednost x? Kada eksponencijalna nejednačina nema rješenja? Koje vrste nejednakosti ste naučili u ovoj lekciji? Kako se rješavaju najjednostavnije nejednakosti? Kako se rješavaju nejednakosti koje se svode na kvadratne nejednakosti? Kako se rješavaju homogene nejednakosti? Kako se rješavaju nejednakosti koje se mogu svesti na racionalne?

Slajd 46

Sažetak lekcije

Saznajte šta su novi učenici naučili u ovoj lekciji Dajte ocjene učenicima za njihov rad na lekciji uz detaljne komentare

Slajd 47

Postavljanje ciljeva i zadataka Plan predavanja Ažuriranje znanja učenika u vidu ponavljanja prethodno proučenog gradiva Uvođenje novih znanja Učvršćivanje znanja u obliku intervjua Sumiranje časa

Udžbenik za 10. razred “Algebra i počeci analize” autor S.M. Nikolsky Proučite paragrafe 6.4 i 6.6, rješenje br. 6.31-6.35 i br. 6.45-6.50.

Slajd 48

Eksponencijalne nejednačine, njihove vrste i metode rješavanja

Tema 6. Indikativno i logaritamske jednačine i nejednakosti (11h)
Tema lekcije. Nejednakosti svedene na najjednostavnije zamjenom nepoznatog.
Svrha časa: Razviti vještine rješavanja eksponencijalnih i logaritamskih nejednačina, svođenjem na najjednostavnije, zamjenom nepoznatog.
Zadaci:
Obrazovni: ponoviti i konsolidirati znanje na temu “rješavanje najjednostavnijih eksponencijalnih i logaritamskih nejednačina”, naučiti rješavati logaritamske i eksponencijalne nejednačine metodom zamjene.
Razvojni: razviti sposobnost učenika da identifikuje dvije vrste nejednakosti i odredi načine za njihovo rješavanje (logičko i intuitivno razmišljanje, opravdanje prosudbi, klasifikacija, poređenje), razvijanje sposobnosti samokontrole i samotestiranja, sposobnost kretanja prema zadatom algoritmu procijeniti i ispraviti dobiveni rezultat.
Obrazovni: nastaviti razvijati takve kvalitete učenika kao što su: sposobnost da slušaju jedni druge; sposobnost ostvarivanja međusobne kontrole i samopoštovanja.
Tip časa: kombinovani.
Udžbenik Algebra 10. razred S.M. Nikolsky, M.K. Potapov, N.N. Rešetnikov, A.V. Shevkin
Napredak lekcije
Organizacioni momenat.
Provjera domaćeg.
Ažuriranje osnovnih znanja.
Frontalni:
1. Koje se nejednakosti nazivaju najjednostavnijim eksponencijalnim nejednačinama?
2. Objasniti značenje rješavanja jednostavnih eksponencijalnih nejednačina.
3. Koje se nejednačine nazivaju najjednostavnijim logaritamskim nejednačinama?
4. Objasniti značenje rješavanja jednostavnih logaritamskih nejednačina.
Sa pisanjem na tabli (po 1 učenik):
Riješite nejednačine
2x<1160,3х<103log2x>5log15x>-2Objašnjenje novog materijala i njegovo pojačavanje korak po korak.
1.1. Objašnjenje novog materijala.
1. Riješite nejednačinu:
2x2-3x<14Пусть х2-3х=t, тогда
2t<142t<2-2т. к. основание 2>1, onda
t<-2Обратная замена:
x2-3x<-2х2-3х+2<0Нахдим его корни: x1=1, x2=2Отмечаем эти точки на координатной прямой и выясняем знак выражения x2−3x+2 на каждом из полученных интервалов.
Zanima nas znak "−−".
Odgovor:x∈(1;2)
2. Riješite nejednačinu

1.2. Konsolidacija korak po korak.
br. 6.49(a,c).
br. 6.52(d).
a) 74x2-9x+6>74x2-9x+6>14x2-9x+5>0x1=5/4 x2=1
Odgovor: -∞;1∪54;+∞v) (13)5h2-4h-3>95h2-4h-3<-25х2-4х-1<0x1=-15 x2=1
Odgovor: -15;1d) log5x2-2x-3<1
log5x2-2x-3 00<х2-2х-3<5х2-2х-3<5х2-2х-3>0 x2-2x-8<0х2-2х-3>0

Odgovor: -2;-1∪3;42.1. Objašnjenje novog materijala.
3. Riješite nejednačinu

Tada 1 nejednakost ima smisla za sve x, a druga

2.2. Konsolidacija korak po korak.
Riješite nejednakost br. 6.56(c)
3.1. Objašnjenje novog materijala.
4. Riješite nejednačinu

3.2. Konsolidacija korak po korak.
Riješite nejednačinu br. 6.60(a)
Sumiranje lekcije.
Refleksija.
Domaći.
P. 6.6
br. 6.49 (b, d)
br. 6.52 (a, b)
br. 6.56 (d)
br. 6.60 (b)

Priloženi fajlovi

Algebra i počeci matematičke analize. 10. razred. Udžbenik. Nikolsky S.M. itd.

Osnovni i profilni nivoi

8th ed. - M.: Obrazovanje, 2009. - 430 str.

Udžbenik odgovara federalnim komponentama državnog standarda općeg matematičkog obrazovanja i sadrži materijal za osnovni i specijalistički nivo. Sa njim možete raditi bez obzira iz kojih udžbenika su školarci učili prethodnih godina.

Udžbenik je usmjeren na pripremu studenata za upis na fakultete.

Format: djvu

Veličina: 15,2 MB

Pogledajte, preuzmite:drive.google ; Rghost

Format: pdf

Veličina: 42.3 MB

Pogledajte, preuzmite:drive.google ; Rghost

Napomena: Kvalitet PDF-a je bolji, gotovo odličan. Napravljen od istog skeniranja, 150 dpi, boja. Ali u DJVU-u ispada malo gore. Ovo je slučaj kada je veličina bitna.

SADRŽAJ
POGLAVLJE I. KORIJENI, POTENCI, LOGARITMI
§ 1. Realni brojevi 3
1.1. Koncept realnog broja 3
1.2. Puno brojeva. Svojstva realnih brojeva. ... 10
1.3*. Metoda matematičke indukcije 16
1.4. Permutacije 22
1.5. Plasmani 25
1.6. Kombinacije 27
1.7*. Dokaz numeričkih nejednakosti 30
1.8*. Deljivost celih brojeva 35
1.9*. Poređenja po modulu t 38
1.10*. Problemi sa cijelim nepoznanicama 40
§ 2. Racionalne jednačine i nejednačine 44
2.1. Racionalni izrazi 44
2.2. Newtonove binomne formule, sume i razlike potencija. . 48
2.3*. Dijeljenje polinoma s ostatkom. Euklidski algoritam... 53
2.4*. Bezoutova teorema 57
2,5*. Korijen polinoma 60
2.6. Racionalne jednačine 65
2.7. Sistemi racionalnih jednačina 70
2.8. Intervalna metoda za rješavanje nejednačina 75
2.9. Racionalne nejednakosti 79
2.10. Nestroge nejednakosti 84
2.11. Sistemi racionalnih nejednakosti 88
§ 3. Koren stepena n 93
3.1. Pojam funkcije i njen graf 93
3.2. Funkcija y = x" 96
3.3. Koncept korijena stepena n 100
3.4. Koreni parnih i neparnih stepeni 102
3.5. Aritmetički korijen 106
3.6. Svojstva korijena stepena l 111
3.7*. Funkcija y = nx (x > 0) 114
3,8*. Funkcija y = nVx 117
3.9*. Koren n prirodnog broja 119
§ 4. Potencija pozitivnog broja 122
4.1. Potencija s racionalnim eksponentom 122
4.2. Svojstva stepeni sa racionalnim eksponentom 125
4.3. Koncept granice sekvence 131
4.4*. Svojstva granica 134
4.5. Beskonačno opadajuća geometrijska progresija. . . 137
4.6. Broj e 140
4.7. Koncept stepena sa iracionalnim eksponentom.... 142
4.8. Eksponencijalna funkcija 144
§ 5. Logaritmi 148
5.1. Pojam logaritma 148
5.2. Svojstva logaritama 151
5.3. Logaritamska funkcija 155
5.4*. Decimalni logaritmi 157
5,5*. Funkcije napajanja 159
§ 6. Eksponencijalne i logaritamske jednačine i nejednačine. . 164
6.1. Najjednostavnije eksponencijalne jednadžbe 164
6.2. Jednostavne logaritamske jednadžbe 166
6.3. Jednačine svedene na najjednostavnije zamjenom nepoznatog 169
6.4. Najjednostavnije eksponencijalne nejednakosti 173
6.5. Najjednostavnije logaritamske nejednakosti 178
6.6. Nejednakosti su svedene na najjednostavnije zamjenom nepoznatog 182
Istorijski podaci 187
POGLAVLJE II. TRIGONOMETRIJSKE FORMULE. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE
§ 7. Sinus i kosinus ugla 193
7.1. Pojam ugla 193
7.2. Radijanska mjera ugla 200
7.3. Određivanje sinusa i kosinusa ugla 203
7.4. Osnovne formule za sin a i cos a 211
7.5. Arcsine 216
7.6. Arc kosinus 221
7,7*. Primjeri upotrebe arksinusa i arkosinusa.... 225
7,8*. Formule za arcsin i arkosinus 231
§ 8. Tangenta i kotangens ugla 233
8.1. Određivanje tangente i kotangensa ugla 233
8.2. Osnovne formule za tg a i ctg a 239
8.3. Arktangent 243
8.4*. Arc tangenta 246
8,5*. Primjeri korištenja arktangensa i arkotangensa. . 249
8.6*. Formule za arktangens i arkkotangens 255
§ 9. Formule sabiranja 258
9.1. Kosinus razlike i kosinus zbira dva ugla 258
9.2. Formule za pomoćne uglove 262
9.3. Sinus zbira i sinus razlike dva ugla 264
9.4. Zbir i razlika sinusa i kosinusa 266
9.5. Formule za dvostruke i polovične uglove 268
9.6*. Umnožak sinusa i kosinusa 273
9,7*. Formule za tangente 275
§ 10. Trigonometrijske funkcije numeričkog argumenta 280
10.1. Funkcija y = sin x 281
10.2. Funkcija y = cos x 285
10.3. Funkcija y = tg * 288
10.4. Funkcija y = ctg x 292
§ 11. Trigonometrijske jednačine i nejednačine 295
11.1. Jednostavne trigonometrijske jednadžbe 295
11.2. Jednadžbe svedene na najjednostavnije zamjenom nepoznatog 299
11.3. Primjena osnovnih trigonometrijskih formula na rješavanje jednačina 303
11.4. Homogene jednačine 307
11,5*. Najjednostavnije nejednačine za sinus i kosinus.... 310
11.6*. Najjednostavnije nejednačine za tangentu i kotangens. . . 315
11,7*. Nejednakosti su svedene na najjednostavnije zamjenom nepoznatog 319
11,8*. Uvođenje pomoćnog ugla 322
11.9*. Zamjena nepoznatog t = sin x + cos x 327
Istorijski podaci 330
POGLAVLJE III. ELEMENTI TEORIJE VEROVATNOSTI
§ 12. Vjerovatnoća događaja 333
12.1. Koncept vjerovatnoće događaja 333
12.2. Svojstva vjerovatnoće događaja 338
§ 13*. Frekvencija. Uslovna vjerovatnoća 342
13.1*. Relativna učestalost događaja 342
13.2*. Uslovna vjerovatnoća. Nezavisni događaji 344
§ 14*. Matematičko očekivanje. Zakon velikih brojeva 348
14.1*. Matematičko očekivanje 348
14.2*. Teško iskustvo 353
14.3*. Bernulijeva formula. Zakon velikih brojeva 355
Istorijski podaci 359
ZADACI ZA PREGLED 362
Predmetni indeks 407
Odgovori 410

Mnogi ljudi misle da su eksponencijalne nejednakosti nešto složeno i neshvatljivo. A da je naučiti da ih rješavamo gotovo velika umjetnost, koju samo Odabrani mogu shvatiti...

Potpuna glupost! Eksponencijalne nejednakosti su lake. I oni se uvijek jednostavno rješavaju. Pa, skoro uvek.

Danas ćemo ovu temu pogledati iznutra i izvana. Ova lekcija će biti veoma korisna za one koji tek počinju da razumeju ovaj deo školske matematike. Počnimo s jednostavnim problemima i prijeđimo na složenije probleme. Danas neće biti teškog rada, ali ovo što sada pročitate bit će dovoljno da riješite većinu nejednakosti u svim vrstama testova i samostalnog rada. I na ovom tvom ispitu.

Kao i uvijek, počnimo s definicijom. Eksponencijalna nejednakost je svaka nejednakost koja sadrži eksponencijalnu funkciju. Drugim riječima, uvijek se može svesti na nejednakost oblika

\[((a)^(x)) \gt b\]

Gdje uloga $b$ može biti običan broj, ili možda nešto teže. Primjeri? da molim:

\[\begin(align) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ quad ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4) )(x))). \\\end(poravnati)\]

Mislim da je značenje jasno: postoji eksponencijalna funkcija $((a)^(x))$, ona se poredi sa nečim, a zatim traži da se pronađe $x$. U posebno kliničkim slučajevima, umjesto varijable $x$, mogu staviti neku funkciju $f\left(x \right)$ i time malo zakomplikovati nejednakost.

Naravno, u nekim slučajevima nejednakost može izgledati ozbiljnije. Evo, na primjer:

\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]

Ili čak i ovo:

Generalno, složenost takvih nejednakosti može biti veoma različita, ali se na kraju ipak svode na jednostavnu konstrukciju $((a)^(x)) \gt b$. I mi ćemo nekako smisliti takvu konstrukciju (u posebno kliničkim slučajevima, kada ništa ne padne na pamet, pomoći će nam logaritmi). Stoga ćemo vas sada naučiti kako riješiti takve jednostavne konstrukcije.

Rješavanje jednostavnih eksponencijalnih nejednačina

Pogledajmo nešto vrlo jednostavno. Na primjer, ovo:

\[((2)^(x)) \gt 4\]

Očigledno, broj na desnoj strani može se prepisati kao stepen dvojke: $4=((2)^(2))$. Dakle, originalna nejednakost se može prepisati u vrlo pogodnom obliku:

\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]

I sad me svrbe ruke da “precrtam” dvojke u osnovama stepena da bih dobio odgovor $x \gt 2$. Ali prije nego što bilo šta precrtamo, sjetimo se moći dvojke:

\[((2)^(1))=2;\quad ((2)^(2))=4;\quad ((2)^(3))=8;\quad ((2)^( 4))=16;...\]

Kao što vidite, što je veći broj u eksponentu, veći je i izlazni broj. “Hvala, Kape!” - uzviknut će jedan od učenika. Da li je drugačije? Nažalost, to se dešava. na primjer:

\[((\left(\frac(1)(2) \right))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ desno))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\left(\frac(1)(2) \right))^(3))=\frac(1)(8 );...\]

I ovdje je sve logično: što je veći stepen, to se broj 0,5 više puta množi sam sa sobom (tj. podijeljen na pola). Dakle, rezultirajući niz brojeva se smanjuje, a razlika između prvog i drugog niza je samo u bazi:

• Ako je osnova stepena $a \gt 1$, onda kako se eksponent $n$ povećava, broj $((a)^(n))$ će takođe rasti;
• I obrnuto, ako je $0 \lt a \lt 1$, onda kako se eksponent $n$ povećava, broj $((a)^(n))$ će se smanjivati.

Sumirajući ove činjenice, dobijamo najvažniju tvrdnju na kojoj se zasniva cjelokupno rješenje eksponencijalnih nejednačina:

Ako je $a \gt 1$, onda je nejednakost $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ ekvivalentna nejednakosti $x \gt n$. Ako je $0 \lt a \lt 1$, tada je nejednakost $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ ekvivalentna nejednakosti $x \lt n$.

Drugim riječima, ako je baza veća od jedan, možete je jednostavno ukloniti - znak nejednakosti se neće promijeniti. A ako je baza manja od jedan, onda se također može ukloniti, ali istovremeno ćete morati promijeniti znak nejednakosti.

Imajte na umu da nismo razmotrili opcije $a=1$ i $a\le 0$. Jer u tim slučajevima se javlja neizvjesnost. Recimo kako riješiti nejednakost oblika $((1)^(x)) \gt 3$? Jedan na bilo koju vlast će opet dati jedan - nikada nećemo dobiti tri ili više. One. nema rješenja.

Uz negativne razloge sve je još zanimljivije. Razmotrimo, na primjer, ovu nejednakost:

\[((\lijevo(-2 \desno))^(x)) \gt 4\]

Na prvi pogled sve je jednostavno:

zar ne? Ali ne! Dovoljno je zamijeniti nekoliko parnih i nekoliko neparnih brojeva umjesto $x$ da biste bili sigurni da je rješenje netačno. pogledajte:

\[\begin(align) & x=4\Strelica desno ((\left(-2 \right))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Strelica desno ((\levo(-2 \desno))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Strelica desno ((\left(-2 \right))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Strelica desno ((\levo(-2 \desno))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(poravnati)\]

Kao što vidite, znakovi se izmjenjuju. Ali postoje i razlomci i druge gluposti. Kako biste, na primjer, naručili izračunavanje $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (minus dva na stepen sedam)? Nema šanse!

Stoga, radi određenosti, pretpostavljamo da je u svim eksponencijalnim nejednačinama (i uzgred rečeno, također) $1\ne a \gt 0$. A onda se sve rješava vrlo jednostavno:

\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\Strelica desno \levo[ \begin(poravnati) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \desno), \\ & x \lt n\quad \levo(0 \lt a \lt 1 \desno). \\\kraj (poravnaj) \desno.\]

Općenito, zapamtite opet glavno pravilo: ako je baza u eksponencijalnoj jednadžbi veća od jedan, možete je jednostavno ukloniti; a ako je baza manja od jedan, može se i ukloniti, ali će se predznak nejednakosti promijeniti.

Primjeri rješenja

Dakle, pogledajmo nekoliko jednostavnih eksponencijalnih nejednakosti:

\[\begin(align) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\end(poravnati)\]

Primarni zadatak u svim slučajevima je isti: svesti nejednakosti na najjednostavniji oblik $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Upravo to ćemo sada učiniti sa svakom nejednakošću, a istovremeno ćemo ponoviti svojstva stupnjeva i eksponencijalnih funkcija. Dakle, idemo!

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]

sta mozes da radis ovde? Pa, na lijevoj strani već imamo indikativan izraz - ništa ne treba mijenjati. Ali na desnoj strani je neka vrsta sranja: razlomak, pa čak i korijen u nazivniku!

Međutim, prisjetimo se pravila za rad s razlomcima i potencijama:

\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\end(poravnati)\]

šta to znači? Prvo, lako se možemo riješiti razlomka pretvarajući ga u stepen s negativnim eksponentom. I drugo, budući da imenilac ima korijen, bilo bi lijepo pretvoriti ga u stepen - ovaj put s razlomkom eksponenta.

Primijenimo ove radnje redom na desnu stranu nejednakosti i vidimo šta će se dogoditi:

\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \right))^(-1))=((\left((2)^(\frac( 1)(3))) \desno))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \left(-1 \right)))=(2)^ (-\frac(1)(3)))\]

Ne zaboravite da se pri podizanju stepena na stepen eksponenti ovih stepeni sabiraju. I općenito, kada radite s eksponencijalnim jednadžbama i nejednačinama, apsolutno je potrebno znati barem najjednostavnija pravila za rad sa potencijama:

\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\lijevo(((a)^(x)) \desno))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\end(poravnati)\]

Zapravo, upravo smo primijenili posljednje pravilo. Stoga će naša izvorna nejednakost biti prepisana na sljedeći način:

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Rightarrow ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frac(1)(3)))\]

Sada ćemo se riješiti njih dvoje u bazi. Pošto je 2 > 1, predznak nejednakosti će ostati isti:

\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\Rightarrow x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \levo(-\infty ;\frac(2)(3) \desno]. \\\end(poravnati)\]

To je rešenje! Glavna poteškoća uopće nije u eksponencijalnoj funkciji, već u kompetentnoj transformaciji izvornog izraza: morate ga pažljivo i brzo dovesti u najjednostavniji oblik.

Razmotrimo drugu nejednakost:

\[((0.1)^(1-x)) \lt 0.01\]

Da, da. Ovdje nas čekaju decimalni razlomci. Kao što sam mnogo puta rekao, u svim izrazima sa stepenom treba da se oslobodite decimala - to je često jedini način da vidite brzo i jednostavno rešenje. Ovdje ćemo se riješiti:

\[\begin(align) & 0.1=\frac(1)(10);\quad 0.01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ right))^ (2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Strelica desno ((\levo(\frac(1)(10) \desno))^(1-x)) \lt ( (\lijevo(\frac(1)(10) \desno))^(2)). \\\end(poravnati)\]

Ovdje opet imamo najjednostavniju nejednakost, pa čak i sa osnovom od 1/10, tj. manje od jedan. Pa, uklanjamo baze, istovremeno mijenjajući znak iz "manje" u "više", i dobijamo:

\[\begin(align) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\end(poravnati)\]

Dobili smo konačni odgovor: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. Imajte na umu: odgovor je upravo skup, a ni u kom slučaju konstrukcija oblika $x \lt -1$. Jer formalno, takva konstrukcija uopće nije skup, već nejednakost u odnosu na varijablu $x$. Da, vrlo je jednostavno, ali nije odgovor!

Važna napomena. Ova nejednakost bi se mogla riješiti na drugi način – svođenjem obje strane na stepen sa osnovom većom od jedan. pogledajte:

\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Strelica desno ((\levo(((10)^(-1)) \desno))^(1-x)) \ lt ((\left(((10)^(-1)) \desno))^(2))\Strelica desno ((10)^(-1\cdot \left(1-x \right))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]

Nakon takve transformacije, opet ćemo dobiti eksponencijalnu nejednakost, ali sa osnovom 10 > 1. To znači da možemo jednostavno precrtati deseticu - predznak nejednakosti se neće promijeniti. dobijamo:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt -2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\end(poravnati)\]

Kao što vidite, odgovor je bio potpuno isti. Ujedno smo se spasili potrebe da promijenimo znak i općenito zapamtimo bilo kakva pravila :)

\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]

Međutim, ne dozvolite da vas ovo uplaši. Bez obzira što je u indikatorima, sama tehnologija rješavanja nejednakosti ostaje ista. Stoga, prvo primijetimo da je 16 = 2 4. Prepišimo prvobitnu nejednakost uzimajući u obzir ovu činjenicu:

\[\begin(align) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(poravnati)\]

Ura! Dobili smo uobičajenu kvadratnu nejednakost! Znak se nigdje nije promijenio, jer je osnova dva - broj veći od jedan.

Nule funkcije na brojevnoj pravoj

Raspoređujemo znakove funkcije $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ - očigledno, njen graf će biti parabola sa granama prema gore, tako da će biti „plusova ” sa strane. Zanima nas oblast u kojoj je funkcija manja od nule, tj. $x\in \left(2;5 \right)$ je odgovor na originalni problem.

Konačno, razmotrite još jednu nejednakost:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]

Opet vidimo eksponencijalnu funkciju s decimalnim razlomkom u osnovi. Pretvorimo ovaj razlomak u običan razlomak:

\[\begin(align) & 0.2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Rightarrow \\ & \Rightarrow ((0 ,2) )^(1+((x)^(2))))=((\left(((5)^(-1)) \desno))^(1+((x)^(2) )) )=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \desno)))\end(align)\]

U ovom slučaju koristili smo ranije datu napomenu - bazu smo sveli na broj 5 > 1 kako bismo pojednostavili naše dalje rješenje. Uradimo isto sa desnom stranom:

\[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \right))^(2))=((\left(((5)^(-1)) \ desno))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]

Prepišimo prvobitnu nejednakost uzimajući u obzir obje transformacije:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\Strelica desno ((5)^(-1\cdot \left(1+) ((x)^(2)) \desno)))\ge ((5)^(-2))\]

Osnove na obje strane su iste i prelaze jedan. Na desnoj i lijevoj strani nema drugih pojmova, pa jednostavno "precrtamo" petice i dobijemo vrlo jednostavan izraz:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \left| \cdot \lijevo(-1 \desno) \desno. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(align)\]

Ovdje morate biti oprezniji. Mnogi studenti vole da jednostavno uzmu kvadratni korijen obje strane nejednakosti i napišu nešto poput $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$. To ni pod kojim okolnostima ne bi trebalo raditi , budući da je korijen tačnog kvadrata modul, a ni u kom slučaju originalna varijabla:

\[\sqrt(((x)^(2)))=\left| x\desno|\]

Međutim, rad sa modulima nije najprijatnije iskustvo, zar ne? Tako da nećemo raditi. Umjesto toga, jednostavno pomjerimo sve pojmove ulijevo i riješimo uobičajenu nejednakost koristeći metodu intervala:

$\begin(align) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1; \\\end(align)$

Dobijene tačke ponovo označavamo na brojevnoj pravoj i gledamo znakove:

Pošto smo rješavali ne-strogu nejednakost, sve tačke na grafu su zasjenjene. Dakle, odgovor će biti: $x\in \left[ -1;1 \right]$ nije interval, već segment.

Općenito, želio bih napomenuti da u eksponencijalnim nejednakostima nema ništa komplikovano. Značenje svih transformacija koje smo danas izveli svodi se na jednostavan algoritam:

• Pronađite osnovu na koju ćemo sveti sve stepene;
• Pažljivo izvršite transformacije da dobijete nejednakost oblika $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Naravno, umjesto varijabli $x$ i $n$ mogu postojati mnogo složenije funkcije, ali značenje se neće promijeniti;
• Precrtati osnove stepeni. U ovom slučaju, predznak nejednakosti se može promijeniti ako je baza $a \lt 1$.

Zapravo, ovo je univerzalni algoritam za rješavanje svih takvih nejednakosti. A sve ostalo što će vam reći na ovu temu su samo specifične tehnike i trikovi koji će pojednostaviti i ubrzati transformaciju. Sada ćemo pričati o jednoj od ovih tehnika. :)

Metoda racionalizacije

Razmotrimo još jedan skup nejednakosti:

\[\begin(align) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi \!\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\lijevo(2\sqrt(3)-3 \desno))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \desno))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(align)\]

Pa šta je tako posebno kod njih? Oni su lagani. Mada, stani! Da li je broj π podignut na neki stepen? Kakve gluposti?

Kako podići broj $2\sqrt(3)-3$ na stepen? Ili $3-2\sqrt(2)$? Pisci problema su očigledno popili previše gloga pre nego što su seli da rade :)

U stvari, nema ništa strašno u ovim zadacima. Da vas podsjetim: eksponencijalna funkcija je izraz oblika $((a)^(x))$, gdje je baza $a$ bilo koji pozitivan broj osim jedan. Broj π je pozitivan - to već znamo. Brojevi $2\sqrt(3)-3$ i $3-2\sqrt(2)$ su također pozitivni - to je lako vidjeti ako ih uporedite sa nulom.

Ispada da se sve ove "zastrašujuće" nejednakosti rješavaju ne drugačije od onih jednostavnih o kojima smo gore govorili? I da li se rješavaju na isti način? Da, to je potpuno tačno. Međutim, na njihovom primjeru, želio bih razmotriti jednu tehniku ​​koja uvelike štedi vrijeme na samostalnom radu i ispitima. Govorićemo o metodi racionalizacije. Dakle, pažnja:

Bilo koja eksponencijalna nejednakost oblika $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ je ekvivalentna nejednakosti $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \ desno) \gt 0 $.

To je cela metoda :) Da li ste mislili da će biti neka druga igra? Ništa od toga! Ali ova jednostavna činjenica, napisana doslovno u jednom redu, uvelike će nam pojednostaviti rad. pogledajte:

\[\begin(matrica) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \Dolje \\ \left(x+7-\left(((x)^(2)) -3x+2 \desno) \desno)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \desno) \gt 0 \\\end(matrica)\]

Dakle, nema više eksponencijalnih funkcija! I ne morate pamtiti da li se znak menja ili ne. Ali javlja se novi problem: šta učiniti s prokletim množiteljem \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\]? Ne znamo koja je tačna vrijednost broja π. Međutim, čini se da kapetan nagovještava očigledno:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\približno 3.14... \gt 3\Rightarrow \text( )\!\!\pi\!\!\text( )- 1\gt 3-1=2\]

Općenito, tačna vrijednost π nas se baš i ne tiče - važno je samo da shvatimo da je u svakom slučaju $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 $, t .e. ovo je pozitivna konstanta i njome možemo podijeliti obje strane nejednakosti:

\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \desno) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \desno) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \lijevo(-1 \desno) \desno. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \desno)\left(x+1 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Kao što vidite, u određenom trenutku morali smo podijeliti sa minus jedan - i znak nejednakosti se promijenio. Na kraju sam proširio kvadratni trinom koristeći Vietinu teoremu - očito je da su korijeni jednaki $((x)_(1))=5$ i $((x)_(2))=-1$ . Zatim se sve rješava klasičnom metodom intervala:

Sve tačke se uklanjaju jer je originalna nejednakost stroga. Zanima nas region sa negativnim vrednostima, tako da je odgovor $x\in \left(-1;5 \right)$. To je rešenje. :)

Pređimo na sljedeći zadatak:

\[((\left(2\sqrt(3)-3 \desno))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]

Sve je ovdje općenito jednostavno, jer se nalazi jedinica s desne strane. I sjećamo se da je jedan bilo koji broj podignut na nulti stepen. Čak i ako je ovaj broj iracionalan izraz u osnovi s lijeve strane:

\[\begin(align) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2) \sqrt(3)-3 \desno))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3) \desno))^(0)); \\\end(poravnati)\]

Pa, da racionalizujemo:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \desno)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \desno)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Ostaje samo otkriti znakove. Faktor $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ ne sadrži varijablu $x$ - to je samo konstanta, i moramo saznati njen predznak. Da biste to učinili, obratite pažnju na sljedeće:

\[\begin(matrica) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Strelica prema dolje \\ 2\levo(\sqrt(3)-2 \desno) \lt 2\cdot \left(2 -2 \desno)=0 \\\kraj(matrica)\]

Ispostavilo se da drugi faktor nije samo konstanta, već negativna konstanta! A kada se dijeli s njim, predznak izvorne nejednakosti mijenja se u suprotno:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\lijevo(x-2 \desno) \gt 0. \\\end(poravnati)\]

Sada sve postaje potpuno očigledno. Korijeni kvadratnog trinoma na desnoj strani su: $((x)_(1))=0$ i $((x)_(2))=2$. Označavamo ih na brojevnoj pravoj i gledamo znakove funkcije $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$:

Zanimaju nas intervali označeni znakom plus. Ostaje samo da zapišete odgovor:

Prijeđimo na sljedeći primjer:

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ desno))^(16-x))\]

Pa, ovdje je sve potpuno očigledno: baze sadrže potencije istog broja. Stoga ću sve ukratko napisati:

\[\begin(matrica) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \Strelica prema dolje \\ ((\left(((3)^(-1)) \desno))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\left(((3)^(-2)) \desno))^(16-x)) \\\end(matrica)\]

\[\begin(align) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \right))) \gt ((3)^(-2\cdot \ lijevo(16-x \desno))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \desno) \desno)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \left| \cdot \lijevo(-1 \desno) \desno. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \desno)\left(x-4 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Kao što vidite, tokom procesa transformacije morali smo da pomnožimo sa negativnim brojem, pa se predznak nejednakosti promenio. Na samom kraju, ponovo sam primijenio Vietinu teoremu za faktor kvadratnog trinoma. Kao rezultat, odgovor će biti sljedeći: $x\in \left(-8;4 \right)$ - svako to može provjeriti crtanjem brojevne prave, označavanjem tačaka i brojanjem znakova. U međuvremenu, preći ćemo na posljednju nejednakost iz našeg "skupa":

\[((\left(3-2\sqrt(2) \desno))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]

Kao što vidite, u bazi je opet iracionalan broj, a desno opet jedinica. Stoga našu eksponencijalnu nejednakost prepisujemo na sljedeći način:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2) \ desno))^(0))\]

Primjenjujemo racionalizaciju:

\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \desno)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \desno)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \desno)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Međutim, sasvim je očigledno da je $1-\sqrt(2) \lt 0$, budući da je $\sqrt(2)\približno 1,4... \gt 1$. Dakle, drugi faktor je opet negativna konstanta, kojom se obje strane nejednakosti mogu podijeliti:

\[\begin(matrica) \left(3x-((x)^(2))-0 \desno)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \Downarrow \ \\end(matrica)\]

\[\begin(align) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \left| \cdot \lijevo(-1 \desno) \desno. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\lijevo(x-3 \desno) \lt 0. \\\end(poravnati)\]

Pređite u drugu bazu

Poseban problem pri rješavanju eksponencijalnih nejednačina je potraga za „ispravnom“ osnovom. Nažalost, na zadatku nije uvijek jasno na prvi pogled šta uzeti za osnovu, a šta učiniti prema stepenu ove osnove.

Ali ne brinite: ovdje nema magije ili „tajne“ tehnologije. U matematici, svaka vještina koja se ne može algoritmizirati može se lako razviti kroz vježbu. Ali za to ćete morati riješiti probleme različitih nivoa složenosti. Na primjer, ovako:

\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ kraj (poravnati)\]

Tesko? Strašno? Lakše je nego udariti kokošku o asfalt! Hajde da probamo. Prva nejednakost:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]

Pa mislim da je tu sve jasno:

Prepisujemo originalnu nejednakost, svodeći sve na osnovu dva:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Rightarrow \left(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \desno)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0\]

Da, da, dobro ste čuli: upravo sam primenio metod racionalizacije koji je gore opisan. Sada moramo raditi pažljivo: imamo razlomku-racionalnu nejednakost (ovo je ona koja ima varijablu u nazivniku), tako da prije nego što bilo što izjednačimo sa nulom, moramo sve dovesti na zajednički nazivnik i riješiti se konstantnog faktora .

\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \desno)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(align)\]

Sada koristimo standardnu ​​metodu intervala. Nule brojioca: $x=\pm 4$. Imenilac ide na nulu samo kada je $x=0$. Ukupno su tri tačke koje je potrebno označiti na brojevnoj pravoj (sve tačke su zakačene jer je znak nejednakosti strog). dobijamo:

Kao što možete pretpostaviti, sjenčanje označava one intervale u kojima izraz s lijeve strane poprima negativne vrijednosti. Stoga će konačni odgovor uključivati ​​dva intervala odjednom:

Krajevi intervala nisu uključeni u odgovor jer je prvobitna nejednakost bila stroga. Nije potrebna dalja provjera ovog odgovora. U tom smislu, eksponencijalne nejednakosti su mnogo jednostavnije od logaritamskih: nema ODZ-a, nema ograničenja itd.

Pređimo na sljedeći zadatak:

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]

Ni tu nema problema, jer već znamo da je $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$, pa se cijela nejednakost može prepisati na sljedeći način:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(-1)) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x) ))\Rightarrow ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\lijevo(-2 \desno) \desno. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(align)\]

Imajte na umu: u trećem redu odlučio sam da ne gubim vrijeme na sitnice i odmah sve podijelim sa (−2). Minul je ušao u prvu zagradu (sada su svuda plusevi), a dva je smanjena sa konstantnim faktorom. To je upravo ono što biste trebali učiniti kada pripremate prave proračune za samostalan i probni rad - ne morate direktno opisivati ​​svaku radnju i transformaciju.

Zatim dolazi u obzir poznata metoda intervala. Numeratorske nule: ali ih nema. Zato što će diskriminant biti negativan. Zauzvrat, imenilac se resetuje samo kada je $x=0$ - kao i prošli put. Pa, jasno je da će desno od $x=0$ razlomak uzeti pozitivne vrijednosti, a lijevo - negativne. Pošto nas zanimaju negativne vrijednosti, konačni odgovor je: $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.

\[((\left(0.16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6.25 \right))^(x))\ge 1\]

Šta trebate učiniti s decimalnim razlomcima u eksponencijalnim nejednačinama? Tako je: riješite ih se, pretvarajući ih u obične. Ovdje ćemo prevesti:

\[\begin(align) & 0.16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Strelica desno ((\left(0.16 \right))^(1+2x)) =((\ lijevo(\frac(4)(25) \desno))^(1+2x)); \\ & 6.25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Strelica desno ((\left(6.25 \right))^(x))=((\left(\ frac(25)) (4)\desno))^(x)). \\\end(poravnati)\]

Dakle, što smo dobili u temeljima eksponencijalnih funkcija? I dobili smo dva međusobno inverzna broja:

\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1))\Strelica desno ((\left(\frac(25)(4) \ desno))^(x))=((\left(((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1)) \desno))^(x))=((\ lijevo(\frac(4)(25) \desno))^(-x))\]

Dakle, originalna nejednakost se može prepisati na sljedeći način:

\[\begin(align) & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \right) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x+\left(-x \right)))\ge ((\left(\frac(4)(25) \desno))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0) ). \\\end(poravnati)\]

Naravno, kada se množe stepeni sa istom osnovom, njihovi eksponenti se sabiraju, što se i dogodilo u drugom redu. Pored toga, predstavili smo jedinicu sa desne strane, takođe kao moć u bazi 4/25. Ostaje samo da se racionalizuje:

\[((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)) \Strelica desno \levo(x+1-0 \desno)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \desno)\ge 0\]

Imajte na umu da je $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, tj. drugi faktor je negativna konstanta, a pri dijeljenju s njom promijenit će se predznak nejednakosti:

\[\begin(align) & x+1-0\le 0\Strelica desno x\le -1; \\ & x\in \levo(-\infty ;-1 \desno]. \\\end(poravnati)\]

Konačno, posljednja nejednakost iz trenutnog "skupa":

\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]

U principu, ideja rješenja ovdje je također jasna: sve eksponencijalne funkcije uključene u nejednakost moraju se svesti na bazu "3". Ali za ovo ćete se morati malo pozabaviti korijenima i moćima:

\[\begin(align) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\quad 81=((3)^(4)). \\\end(poravnati)\]

Uzimajući ove činjenice u obzir, izvorna nejednakost se može prepisati na sljedeći način:

\[\begin(align) & ((\left((3)^(\frac(8)(3))) \right))^(-x)) \lt ((\left(((3) ^(2))\desno))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\end(poravnati)\]

Obratite pažnju na 2. i 3. red proračuna: prije nego što učinite bilo šta s nejednakošću, obavezno je dovedite u oblik o kojem smo pričali od samog početka lekcije: $((a)^(x)) \ lt ((a)^(n))$. Sve dok imate neke levoruke faktore, dodatne konstante itd. sa leve ili desne strane, ne može se izvršiti nikakva racionalizacija ili „precrtavanje“ osnova! Bezbroj zadataka je izvršeno pogrešno zbog nerazumijevanja ove jednostavne činjenice. I sam stalno posmatram ovaj problem kod svojih učenika kada tek počinjemo da analiziramo eksponencijalne i logaritamske nejednakosti.

No, vratimo se našem zadatku. Pokušajmo ovaj put bez racionalizacije. Podsjetimo: osnova stepena je veća od jedan, tako da se trojke mogu jednostavno precrtati - znak nejednakosti se neće promijeniti. dobijamo:

\[\begin(align) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end(poravnati)\]

To je to. Konačni odgovor: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.

Izolacija stabilnog izraza i zamjena varijable

U zaključku predlažem rješavanje još četiri eksponencijalne nejednačine, koje su već prilično teške za nespremne učenike. Da biste se nosili s njima, morate zapamtiti pravila za rad sa diplomama. Konkretno, stavljanje uobičajenih faktora iz zagrada.

Ali najvažnije je naučiti razumjeti šta se tačno može izvaditi iz zagrada. Takav izraz se naziva stabilan - može se označiti novom varijablom i tako se riješiti eksponencijalne funkcije. Dakle, pogledajmo zadatke:

\[\begin(align) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\levo(0,5 \desno))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768. \\\end(poravnati)\]

Počnimo od prve linije. Zapišimo ovu nejednakost odvojeno:

\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]

Imajte na umu da je $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$, tako da je desna strana se može prepisati:

Imajte na umu da nema drugih eksponencijalnih funkcija osim $((5)^(x+1))$ u nejednakosti. I općenito, varijabla $x$ se ne pojavljuje nigdje drugdje, pa hajde da uvedemo novu varijablu: $((5)^(x+1))=t$. Dobijamo sledeću konstrukciju:

\[\begin(align) & 5t+t\ge 6; \\&6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\end(poravnati)\]

Vraćamo se na originalnu varijablu ($t=((5)^(x+1))$), a u isto vrijeme zapamtimo da je 1=5 0 . imamo:

\[\begin(align) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ & x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\end(poravnati)\]

To je rešenje! Odgovor: $x\in \left[ -1;+\infty \right)$. Pređimo na drugu nejednakost:

\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]

Ovdje je sve isto. Imajte na umu da je $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ . Tada se lijeva strana može prepisati:

\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t\desno. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Strelica desno ((3)^(x))\ge 9\Strelica desno ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Strelica desno x\in \levo[ 2;+\infty \desno). \\\end(poravnati)\]

Ovako otprilike trebate napraviti rješenje za prave testove i samostalan rad.

Pa, hajde da probamo nešto komplikovanije. Na primjer, evo nejednakosti:

\[((25)^(x+1.5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]

U čemu je problem? Prije svega, baze eksponencijalnih funkcija na lijevoj strani su različite: 5 i 25. Međutim, 25 = 5 2, pa se prvi član može transformirati:

\[\begin(poravnati) & ((25)^(x+1,5))=((\left(((5)^(2)) \desno))^(x+1,5))= ((5) ^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(align )\]

Kao što vidite, prvo smo sve doveli na istu bazu, a onda smo primijetili da se prvi član lako može svesti na drugi - samo treba proširiti eksponent. Sada možete bezbedno uvesti novu varijablu: $((5)^(2x+2))=t$, a cela nejednakost će biti prepisana na sledeći način:

\[\begin(align) & 5t-t\ge 2500; \\&4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\&2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end(align)\]

I opet, bez poteškoća! Konačni odgovor: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. Pređimo na konačnu nejednakost u današnjoj lekciji:

\[((\levo(0,5 \desno))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768\]

Prva stvar na koju biste trebali obratiti pažnju je, naravno, decimalni razlomak u bazi prvog stepena. Potrebno ga je riješiti, a istovremeno dovesti sve eksponencijalne funkcije na istu bazu - broj "2":

\[\begin(align) & 0.5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\Strelica desno ((\left(0.5 \right))^(-4x- 8))= ((\lijevo(((2)^(-1)) \desno))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\Strelica desno ((16)^(x+1.5))=((\left(((2)^(4)) \desno))^( x+ 1.5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(align)\]

Odlično, napravili smo prvi korak - sve je dovelo do istog temelja. Sada morate odabrati stabilan izraz. Imajte na umu da je $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$. Ako uvedemo novu varijablu $((2)^(4x+6))=t$, onda se originalna nejednakost može prepisati na sljedeći način:

\[\begin(align) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0,5. \\\end(poravnati)\]

Naravno, može se postaviti pitanje: kako smo otkrili da je 256 = 2 8? Nažalost, ovdje samo trebate znati potencije dvojke (i u isto vrijeme potencije tri i pet). Pa, ili podijelite 256 sa 2 (možete podijeliti, pošto je 256 paran broj) dok ne dobijemo rezultat. To će izgledati otprilike ovako:

\[\begin(align) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =((2)^(8)).\end(align )\]

Isto je i sa tri (brojevi 9, 27, 81 i 243 su njeni stepeni), i sa sedam (brojeve 49 i 343 takođe bi bilo lepo zapamtiti). Pa, petorica takođe imaju "lijepe" diplome koje morate znati:

\[\begin(align) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\end(poravnati)\]

Naravno, ako želite, svi ovi brojevi se mogu vratiti u vašem umu jednostavnim uzastopnim množenjem jedan s drugim. Međutim, kada morate riješiti nekoliko eksponencijalnih nejednačina, a svaka sljedeća je teža od prethodne, posljednja stvar o kojoj želite razmišljati su potencije nekih brojeva. I u tom smislu, ovi problemi su složeniji od “klasičnih” nejednakosti koje se rješavaju intervalnom metodom.

Nadam se da vam je ova lekcija pomogla da savladate ovu temu. Ako vam nešto nije jasno, pitajte u komentarima. I vidimo se na sledećim časovima. :)

Mjesto rada, pozicija: - MOU-SOSH r.p. Puškino, učitelj

Region: — Saratovska oblast

Karakteristike časa (časa) Stepen obrazovanja: - srednje (potpuno) opšte obrazovanje

Ciljna publika: — Učenik (student)
Ciljna publika: — Nastavnik (nastavnik)

Razred(i): – 10. razred

Predmet(i): – Algebra

Svrha časa: - didaktički: unaprijediti osnovne tehnike i metode rješavanja logaritamskih i eksponencijalnih nejednačina i osigurati da svi učenici ovladaju osnovnim algoritamskim tehnikama rješavanja eksponencijalnih i logaritamskih nejednačina; razvojni: razvijati logičko mišljenje, pamćenje, kognitivni interes, nastaviti sa formiranjem matematičkog govora, razvijati sposobnost analize i poređenja; edukativni: naučiti estetski dizajn bilješki u svesci, sposobnost slušanja drugih i sposobnost komunikacije, usađivanje tačnosti i rada.

Vrsta časa: – Čas generalizacije i sistematizacije znanja

Učenici u razredu (publika): - 25

Kratak opis: - Rješavanje eksponencijalnih i logaritamskih nejednačina smatra se jednom od složenih tema u matematici i zahtijeva od učenika dobro teorijsko znanje, sposobnost primjene u praksi, zahtijeva pažnju, marljiv rad i inteligenciju. Tema o kojoj se govori u lekciji se takođe koristi za prijemne ispite na univerzitetima i završne ispite. Ova vrsta lekcije razvija logičko razmišljanje, pamćenje, kognitivni interes i pomaže u razvoju sposobnosti analiziranja, poređenja i slušanja drugih.

Faze nastave i njihov sadržaj

Vrijeme

(min)

aktivnost

nastavnici

student

1.Organizaciona faza

organizaciono

Prijavljeni su odsutni.

2. Postavljanje ciljeva

Danas na lekciji nastavićemo da vežbamo naučene osnovne metode i metode za rešavanje eksponencijalnih i logaritamskih nejednačina, a takođe ćemo razmotriti i druge načine rešavanja logaritamskih i eksponencijalnih nejednačina: ovo je prelazak na racionalne nejednakosti zamenom nepoznatog, kao i metoda dijeljenja obje strane nejednakosti pozitivnim brojem.

Obavještava temu lekcije, datum lekcije, svrhu lekcije

Zapišite u sveske

3.Provjera domaćeg zadatka

Poziva 3 osobe u ploču na zahtjev učenika, a istovremeno vodi frontalni razgovor o teorijskim pitanjima

U odboru rade četiri osobe, ostali učestvuju u teoretskom istraživanju

Za domaći zadatak, od vas je zatraženo da riješite logaritamske i eksponencijalne nejednakosti na dva nivoa složenosti. Pogledajmo rješenje za neke od njih na ploči

6.49(a); 6.52(d), 6.56(b), 6.54(b).

4.Ažuriranje znanja učenika

Prisjetimo se o kojim metodama smo razgovarali u prošloj lekciji.

Danas ćemo se osvrnuti na nejednakosti koje se nakon uvođenja nove nepoznate pretvaraju u racionalne nejednakosti.

Da bismo to učinili, prisjetimo se koje je rješenje racionalne nejednakosti oblika A(x) / B(x)>0? Koja metoda se koristi za rješavanje racionalnih nejednakosti?

5. Unapređenje znanja i vještina učenika

xx

Primjer1)2 - 9 / (2 -1)0

3 min

x +0,5xx +0,5

3). 25- 710+4>0

3 min

5). Konsolidacija novih stvari.

Izvođenje vježbi na tabli

6.48(.g);6.58(b);6.59(b) -na tabli 6.62(c)

Vodi vas da odaberete metod racionalnog rješenja. prati ispravnost rezonovanja i pravilno bilježenje rješenja nejednačine. Daje ocjenu za rad

Jedan učenik odlučuje na tabli. Ostali zapišite rješenje u svesku.

6) Diferenciran samostalan rad (Zadatak na ekranu)

Nivo 1:

Opcija 12 opcija

br.6.48(b); br.6.48(e);

br. 6.58 (a) ; br. 6.58 (c)

Nivo 2:

Opcija 12 opcija

br.6.61(b); br.6.61(d);

br. 6.62 (c); br. 6.62 (d).

5 min

2 osobe rade individualno na bočnoj dasci. Ostali obavljaju samostalni rad na više nivoa na terenu

7)Provjera samostalnog rada

3 min

8) Domaći (na ekranu)

1. klauzula 6.6; br. 6.57 (a);

Nivo 2: klauzula 6.6 br. 6.59(c); br. 6.62 (a) br. 158 (str. 382) br. 168 (a, b) (str. 383);

2 min

Objašnjava domaći zadatak, skrećući pažnju učenika na činjenicu da su slični zadaci obrađeni na času.

Posljednja dva zadatka ponuđena su po prijemu na Moskovski državni univerzitet i MTITF.

Nakon što ste pažljivo slušali nastavnika, zapišite svoj domaći zadatak. Sami birate nivo težine.

8) Sumiranje časa: Rešavanje eksponencijalnih i logaritamskih nejednačina smatra se jednom od složenih tema školskog predmeta matematike i zahteva od učenika dobro teorijsko znanje, sposobnost da ih primeni u praksi, zahteva pažnju, trud i inteligenciju; iz tog razloga su nejednakosti o kojima se govorilo u lekciji uključene u uvodne ispite za univerzitete i završne ispite

Hvala svima.

2 min

Fajlovi:
Veličina fajla: 6789120 bajtova.