Nejednakosti su kvadratne grafički. Rješavanje kvadratnih nejednačina metodom intervala

Dom

Jedna od najpogodnijih metoda za rješavanje kvadratnih nejednačina je grafička metoda. U ovom članku ćemo pogledati kako se kvadratne nejednačine rješavaju grafički. Prvo, raspravimo šta je suština ove metode. Zatim ćemo predstaviti algoritam i razmotriti primjere grafičkog rješavanja kvadratnih nejednačina.

Navigacija po stranici.

Suština grafičke metode Uopšte grafička metoda za rješavanje nejednačina sa jednom promenljivom koristi se ne samo za rešavanje kvadratnih nejednačina, već i drugih vrsta nejednačina. Suština grafičke metode za rješavanje nejednačina

• sljedeće: razmotrite funkcije y=f(x) i y=g(x), koje odgovaraju lijevoj i desnoj strani nejednakosti, izgradite njihove grafove u jednom pravokutnom koordinatnom sistemu i saznajte u kojim intervalima je graf jedne od oni su niži ili viši od drugih. Oni intervali gde
• graf funkcije f iznad grafa funkcije g su rješenja nejednakosti f(x)>g(x) ;
• grafik funkcije f koji nije niži od grafa funkcije g su rješenja nejednakosti f(x)≥g(x) ;
• graf od f ispod grafa od g su rješenja nejednakosti f(x)

graf funkcije f koji nije viši od grafa funkcije g su rješenja nejednakosti f(x)≤g(x) .

Također ćemo reći da su apscise presječnih tačaka grafova funkcija f i g rješenja jednadžbe f(x)=g(x) .<0 (≤, >, ≥).

Prenesimo ove rezultate na naš slučaj - da riješimo kvadratnu nejednakost a x 2 +b x+c Uvodimo dvije funkcije: prva y=a x 2 +b x+c (sa f(x)=a x 2 +b x+c) koja odgovara lijevoj strani kvadratne nejednakosti, druga y=0 (sa g ( x)=0 ) odgovara desnoj strani nejednakosti. Raspored kvadratna funkcija f je parabola i graf konstantna funkcija

g – prava linija koja se poklapa sa osom apscise Ox.

Zatim, prema grafičkoj metodi rješavanja nejednačina, potrebno je analizirati u kojim intervalima se graf jedne funkcije nalazi iznad ili ispod druge, što će nam omogućiti da zapišemo željeno rješenje kvadratne nejednačine. U našem slučaju, potrebno je analizirati položaj parabole u odnosu na Ox osu.

Na ovom crtežu vidimo parabolu čije su grane usmjerene prema gore i koja siječe os Ox u dvije tačke, čije su apscise x 1 i x 2. Ovaj crtež odgovara opciji kada je koeficijent a pozitivan (odgovoran je za smjer prema gore grana parabole), a kada je vrijednost pozitivna diskriminanta kvadratnog trinoma a x 2 +b x+c (u ovom slučaju, trinom ima dva korijena, koje smo označili kao x 1 i x 2, a pretpostavili smo da je x 1 0 , D=b 2 −4·a·c=(−1) 2 −4·1·(−6)=25>0, x 1 =−2 , x 2 =3 .

Radi jasnoće, oslikajmo crvenom bojom dijelove parabole koji se nalaze iznad x-ose, a plavom - one koji se nalaze ispod x-ose.


Sada ćemo otkriti koji intervali odgovaraju ovim dijelovima. Sljedeći crtež će vam pomoći da ih prepoznate (u budućnosti ćemo mentalno napraviti slične odabire u obliku pravokutnika):


Dakle, na osi apscise dva intervala (−∞, x 1) i (x 2 , +∞) su istaknuta crvenom bojom, na njima je parabola iznad ose Ox, oni predstavljaju rješenje kvadratne nejednačine a x 2 +b x +c>0 , a interval (x 1 , x 2) je označen plavom bojom, nalazi se parabola ispod ose Ox, ona predstavlja rješenje nejednačine a x 2 +b x+c<0 . Решениями нестрогих квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c≥0 и a·x 2 +b·x+c≤0 будут те же промежутки, но в них следует включить числа x 1 и x 2 , отвечающие равенству a·x 2 +b·x+c=0 .

A sada ukratko: za a>0 i D=b 2 −4 a c>0 (ili D"=D/4>0 za paran koeficijent b)

• rješenje kvadratne nejednakosti a x 2 +b x+c>0 je (−∞, x 1)∪(x 2 , +∞) ili u drugom zapisu x x2;
• rješenje kvadratne nejednakosti a x 2 +b x+c≥0 je (−∞, x 1 ]∪ ili u drugom zapisu x 1 ≤x≤x 2 ,

gdje su x 1 i x 2 korijeni kvadratnog trinoma a x 2 +b x+c, i x 1


Ovdje vidimo parabolu, čije su grane usmjerene prema gore i koja dodiruje os apscise, odnosno ima jednu zajedničku tačku s njom, apscisu ove tačke označavamo kao x 0. Prikazani slučaj odgovara a>0 (grane su usmjerene prema gore) i D=0 (kvadratni trinom ima jedan korijen x 0). Na primjer, možete uzeti kvadratnu funkciju y=x 2 −4·x+4, ovdje a=1>0, D=(−4) 2 −4·1·4=0 i x 0 =2.

Na crtežu se jasno vidi da se parabola nalazi iznad ose Ox svuda osim dodirne tačke, odnosno na intervalima (−∞, x 0), (x 0, ∞). Radi jasnoće, označimo područja na crtežu po analogiji s prethodnim paragrafom.


Izvodimo zaključke: za a>0 i D=0

• rješenje kvadratne nejednačine a·x 2 +b·x+c>0 je (−∞, x 0)∪(x 0, +∞) ili u drugom zapisu x≠x 0;
• rješenje kvadratne nejednačine a·x 2 +b·x+c≥0 je (−∞, +∞) ili u drugoj notaciji x∈R ;
• kvadratna nejednakost a x 2 +b x+c<0 не имеет решений (нет интервалов, на которых парабола расположена ниже оси Ox );
• kvadratna nejednačina a x 2 +b x+c≤0 ima jedinstveno rješenje x=x 0 (dato je tačkom dodira),

gdje je x 0 korijen kvadratnog trinoma a x 2 + b x + c.


U ovom slučaju, grane parabole su usmjerene prema gore i ona nema zajedničkih tačaka sa osom apscise. Ovdje imamo uslove a>0 (grane su usmjerene prema gore) i D<0 (квадратный трехчлен не имеет действительных корней). Для примера можно построить график функции y=2·x 2 +1 , здесь a=2>0 , D=0 2 −4·2·1=−8<0 .

Očigledno, parabola se cijelom dužinom nalazi iznad ose Ox (nema intervala u kojima je ispod ose Ox, nema dodirne tačke).


Dakle, za a>0 i D<0 решением квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c>0 i a x 2 +b x+c≥0 je skup svih realni brojevi, i nejednakosti a x 2 +b x+c<0 и a·x 2 +b·x+c≤0 не имеют решений.

I ostaju tri opcije za lokaciju parabole s granama usmjerenim prema dolje, a ne prema gore, u odnosu na os Ox. U principu, ne treba ih razmatrati, jer množenje obje strane nejednakosti sa −1 omogućava nam da pređemo na ekvivalentnu nejednakost s pozitivnim koeficijentom za x 2. Ali i dalje ne škodi da steknete ideju o ovim slučajevima. Ovdje je obrazloženje slično, pa ćemo zapisati samo glavne rezultate.

Algoritam rješenja

Rezultat svih prethodnih proračuna je algoritam za grafičko rješavanje kvadratnih nejednačina:

Na koordinatnoj ravni je napravljen šematski crtež koji prikazuje osovinu Ox (nije potrebno prikazati os Oy) i skicu parabole koja odgovara kvadratnoj funkciji y=a·x 2 +b·x+c. Da biste nacrtali skicu parabole, dovoljno je razjasniti dvije točke:

• Prvo, vrijednošću koeficijenta a određuje se kuda su njegove grane usmjerene (za a>0 - prema gore, za a<0 – вниз).
• I drugo, po vrijednosti diskriminanta kvadratnog trinoma a x 2 + b x + c određuje se da li parabola siječe osu apscise u dvije tačke (za D>0), dodiruje je u jednoj tački (za D=0) , ili nema zajedničkih tačaka sa osom Ox (na D<0 ). Для удобства на чертеже указываются координаты точек пересечения или координата точки касания (при наличии этих точек), а сами точки изображаются выколотыми при решении строгих неравенств, или обычными при решении нестрогих неравенств.

• Kada je crtež spreman, koristite ga u drugom koraku algoritma

  • pri rješavanju kvadratne nejednačine a·x 2 +b·x+c>0 određuju se intervali u kojima se parabola nalazi iznad apscise;
  • pri rješavanju nejednakosti a·x 2 +b·x+c≥0 određuju se intervali na kojima se parabola nalazi iznad ose apscise i dodaju se apscise presječnih tačaka (ili apscisa tačke tangente). njih;
  • pri rješavanju nejednačine a x 2 +b x+c<0 находятся промежутки, на которых парабола ниже оси Ox ;
  • konačno, prilikom rješavanja kvadratne nejednakosti oblika a·x 2 +b·x+c≤0, pronalaze se intervali u kojima je parabola ispod ose Ox i apscisa presječnih tačaka (ili apscisa tangentne tačke ) im se dodaje;

  oni čine željeno rješenje kvadratne nejednakosti, a ako nema takvih intervala i tačaka dodira, onda izvorna kvadratna nejednačina nema rješenja.

Sve što ostaje je riješiti nekoliko kvadratnih nejednačina koristeći ovaj algoritam.

Primjeri sa rješenjima

Primjer.

Riješite nejednakost .

Rješenje.

Trebamo riješiti kvadratnu nejednačinu, upotrijebimo algoritam iz prethodnog pasusa. U prvom koraku trebamo skicirati graf kvadratne funkcije . Koeficijent od x 2 je jednak 2, pozitivan je, stoga su grane parabole usmjerene prema gore. Hajde da saznamo da li parabola ima zajedničke tačke sa x-osom, da bismo to uradili, izračunaćemo diskriminant kvadratnog trinoma . Imamo . Ispostavilo se da je diskriminant veći od nule, dakle, trinom ima dva realna korijena: I , odnosno x 1 =−3 i x 2 =1/3.

Iz ovoga je jasno da parabola siječe osu Ox u dvije tačke sa apscisama −3 i 1/3. Ove tačke ćemo na crtežu prikazati kao obične tačke, pošto rešavamo nestrogu nejednakost. Na osnovu razjašnjenih podataka dobijamo sledeći crtež (odgovara prvom šablonu iz prvog pasusa članka):

Pređimo na drugi korak algoritma. Budući da rješavamo nestrogu kvadratnu nejednakost sa predznakom ≤, potrebno je odrediti intervale u kojima se parabola nalazi ispod apscise i dodati im apscise presječnih tačaka.

Sa crteža je jasno da je parabola ispod x-ose na intervalu (−3, 1/3) i njoj dodajemo apscise presečnih tačaka, odnosno brojeve −3 i 1/3. Kao rezultat, dolazimo do numeričkog intervala [−3, 1/3] . Ovo je rješenje koje tražimo. Može se napisati kao dvostruka nejednakost −3≤x≤1/3.

odgovor:

[−3, 1/3] ili −3≤x≤1/3 .

Primjer.

Pronađite rješenje kvadratne nejednakosti −x 2 +16 x−63<0 .

Rješenje.

Kao i obično, počinjemo sa crtežom. Numerički koeficijent za kvadrat varijable je negativan, −1, pa su grane parabole usmjerene prema dolje. Izračunajmo diskriminanta, ili još bolje, njegov četvrti dio: D"=8 2 −(−1)·(−63)=64−63=1. Njegova vrijednost je pozitivna, izračunajmo korijene kvadratnog trinoma: I , x 1 =7 i x 2 =9. Dakle, parabola siječe os Ox u dvije tačke sa apscisama 7 i 9 (originalna nejednakost je stroga, pa ćemo ove tačke prikazati sa praznim centrom). Sada možemo napraviti šematski crtež:

Pošto strogu kvadratnu nejednakost rješavamo predznakom<, то нас интересуют промежутки, на которых парабола расположена ниже оси абсцисс:

Crtež pokazuje da su rješenja izvorne kvadratne nejednakosti dva intervala (−∞, 7), (9, +∞) .

odgovor:

(−∞, 7)∪(9, +∞) ili u drugoj notaciji x<7 , x>9 .

Kada rješavate kvadratne nejednačine, kada je diskriminanta kvadratnog trinoma na njegovoj lijevoj strani nula, morate biti oprezni da uključite ili isključite apscisu tačke tangente iz odgovora. Ovo zavisi od predznaka nejednakosti: ako je nejednakost stroga, onda nije rešenje nejednakosti, ali ako nije stroga, onda jeste.

Primjer.

Ima li kvadratna nejednačina 10 x 2 −14 x+4,9≤0 barem jedno rješenje?

Rješenje.

Nacrtajmo funkciju y=10 x 2 −14 x+4.9. Njegove grane su usmerene nagore, pošto je koeficijent od x 2 pozitivan, i dodiruje osu apscise u tački sa apscisom 0,7, pošto je D"=(−7) 2 −10 4,9=0, odakle je ili 0,7 u obliku decimalnog razlomka shematski izgleda ovako:

Budući da rješavamo kvadratnu nejednačinu sa predznakom ≤, njeno rješenje će biti intervali na kojima se parabola nalazi ispod ose Ox, kao i apscisa tangentne tačke. Iz crteža je jasno da ne postoji niti jedna praznina u kojoj bi parabola bila ispod ose Ox, pa će njeno rješenje biti samo apscisa tačke tangente, odnosno 0,7.

odgovor:

ova nejednačina ima jedinstveno rješenje 0,7.

Primjer.

Riješite kvadratnu nejednačinu –x 2 +8 x−16<0 .

Rješenje.

Pratimo algoritam za rješavanje kvadratnih nejednačina i počinjemo konstruiranjem grafa. Grane parabole su usmjerene prema dolje, jer je koeficijent od x 2 negativan, −1. Nađimo diskriminant kvadratnog trinoma –x 2 +8 x−16, imamo D’=4 2 −(−1)·(−16)=16−16=0 a zatim x 0 =−4/(−1) , x 0 =4 . Dakle, parabola dodiruje Ox osu u tački apscise 4. Napravimo crtež:

Gledamo u znak originalne nejednakosti, on je tu<. Согласно алгоритму, решение неравенства в этом случае составляют все промежутки, на которых парабола расположена строго ниже оси абсцисс.

U našem slučaju to su otvoreni zraci (−∞, 4) , (4, +∞) . Odvojeno, napominjemo da 4 - apscisa dodirne točke - nije rješenje, jer u tački kontakta parabola nije niža od ose Ox.

odgovor:

(−∞, 4)∪(4, +∞) ili u drugoj notaciji x≠4 .

Obratite posebnu pažnju na slučajeve u kojima je diskriminant kvadratnog trinoma na lijevoj strani kvadratne nejednakosti manji od nule. Ovdje nema potrebe žuriti i reći da nejednakost nema rješenja (navikli smo da donosimo takav zaključak za kvadratne jednadžbe s negativnim diskriminantom). Stvar je u tome da kvadratna nejednakost za D<0 может иметь решение, которым является множество всех действительных чисел.

Primjer.

Pronađite rješenje kvadratne nejednačine 3 x 2 +1>0.

Rješenje.

Kao i obično, počinjemo sa crtežom. Koeficijent a je 3, pozitivan je, dakle, grane parabole su usmjerene prema gore. Izračunavamo diskriminanta: D=0 2 −4·3·1=−12 . Pošto je diskriminant negativan, parabola nema zajedničkih tačaka sa Ox osom. Dobijene informacije su dovoljne za shematski grafikon:

Strogu kvadratnu nejednakost rješavamo sa znakom >. Njegovo rješenje će biti svi intervali u kojima je parabola iznad ose Ox. U našem slučaju, parabola se cijelom dužinom nalazi iznad x-ose, pa će željeno rješenje biti skup svih realnih brojeva.

Ox , a također im treba dodati apscisu tačaka presjeka ili apscisu točke dodira. Ali sa crteža je jasno vidljivo da takvih intervala nema (pošto je parabola svuda ispod ose apscise), kao što nema ni tačaka preseka, kao što nema ni tačaka dodira. Dakle, originalna kvadratna nejednakost nema rješenja.

odgovor:

nema rješenja ili u drugom unosu ∅.

Reference.

• algebra: udžbenik za 8. razred. opšte obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; edited by S. A. Telyakovsky. - 16. ed. - M.: Obrazovanje, 2008. - 271 str. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• algebra: 9. razred: obrazovni. za opšte obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; edited by S. A. Telyakovsky. - 16. ed. - M.: Obrazovanje, 2009. - 271 str. : ill. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Mordkovich A. G. Algebra. 8. razred. U 2 sata Dio 1. Udžbenik za učenike opšteobrazovnih ustanova / A. G. Mordkovich. - 11. izdanje, izbrisano. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Mordkovich A. G. Algebra. 9. razred. U 2 sata Dio 1. Udžbenik za učenike opšteobrazovnih ustanova / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13. izdanje, izbrisano. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-01752-3.
• Mordkovich A. G. Algebra i počeci matematičke analize. 11. razred. U 2 sata Dio 1. Udžbenik za učenike opšteobrazovnih ustanova (profilni nivo) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2. izd., izbrisano. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-01027-2.

Ovaj članak sadrži materijal koji pokriva temu “ rješavanje kvadratnih nejednačina" Prvo je pokazano šta su kvadratne nejednakosti sa jednom promenljivom i dat je njihov opšti oblik. Zatim ćemo detaljno pogledati kako riješiti kvadratne nejednakosti. Prikazani su glavni pristupi rješenju: grafička metoda, metoda intervala i odabirom kvadrata binoma na lijevoj strani nejednačine. Navedena su rješenja tipičnih primjera.

Jedna od najpogodnijih metoda za rješavanje kvadratnih nejednačina je grafička metoda. U ovom članku ćemo pogledati kako se kvadratne nejednačine rješavaju grafički. Prvo, raspravimo šta je suština ove metode. Zatim ćemo predstaviti algoritam i razmotriti primjere grafičkog rješavanja kvadratnih nejednačina.

Šta je kvadratna nejednakost?

Naravno, prije nego što govorimo o rješavanju kvadratnih nejednačina, moramo jasno razumjeti šta je kvadratna nejednačina. Drugim riječima, morate biti u stanju da razlikujete kvadratne nejednakosti od drugih vrsta nejednakosti prema vrsti zapisa.

Definicija.

Kvadratna nejednakost je nejednakost oblika a x 2 +b x+c<0 (вместо знака >može postojati bilo koji drugi znak nejednakosti ≤, >, ≥), gdje su a, b i c neki brojevi, a a≠0, a x je varijabla (promjenljiva se može označiti bilo kojim drugim slovom).

Odmah dajmo drugo ime za kvadratne nejednakosti - nejednakosti drugog stepena. Ovaj naziv se objašnjava činjenicom da je na lijevoj strani nejednačina a x 2 +b x+c<0 находится второй степени - квадратный трехчлен. Термин «неравенства второй степени» используется в учебниках алгебры Ю. Н. Макарычева, а Мордкович А. Г. придерживается названия «квадратные неравенства».

Ponekad možete čuti i kvadratne nejednakosti koje se nazivaju kvadratne nejednakosti. Ovo nije sasvim tačno: definicija „kvadratnog“ se odnosi na funkcije definisane jednadžbama oblika y=a·x 2 +b·x+c. Dakle, postoje kvadratne nejednakosti i kvadratne funkcije, ali ne i kvadratne nejednakosti.

Pokažimo neke primjere kvadratnih nejednačina: 5 x 2 −3 x+1>0, ovdje a=5, b=−3 i c=1; −2,2·z 2 −0,5·z−11≤0, koeficijenti ove kvadratne nejednakosti su a=−2.2, b=−0.5 i c=−11; , u ovom slučaju .

Imajte na umu da se u definiciji kvadratne nejednakosti smatra da je koeficijent a od x 2 različit od nule. Ovo je razumljivo da će jednakost koeficijenta a prema nuli zapravo „ukloniti“ kvadrat, a mi ćemo imati posla sa linearnom nejednakošću oblika b x+c>0 bez kvadrata varijable. Ali koeficijenti b i c mogu biti jednaki nuli, i odvojeno i istovremeno. Evo primjera takvih kvadratnih nejednakosti: x 2 −5≥0, ovdje je koeficijent b za varijablu x jednak nuli; −3 x 2 −0,6 x<0 , здесь c=0 ; наконец, в квадратном неравенстве вида 5·z 2 >0 i b i c su nula.

Kako riješiti kvadratne nejednačine?

Sada možete biti zbunjeni pitanjem kako riješiti kvadratne nejednakosti. U osnovi, tri glavne metode se koriste za rješavanje:

• grafička metoda (ili, kao u A.G. Mordkovich, funkcionalno-grafička),
• intervalna metoda,
• i rješavanje kvadratnih nejednačina izolacijom kvadrata binoma na lijevoj strani.

Grafički

Odmah napravimo rezervu da je metoda za rješavanje kvadratnih nejednačina, koju sada razmatramo, školski udžbenici algebra se ne zove grafička. Međutim, u suštini je to ono što on jeste. Štaviše, prvo poznanstvo sa grafička metoda za rješavanje nejednačina obično počinje kada se postavi pitanje kako riješiti kvadratne nejednakosti.

Grafička metoda za rješavanje kvadratnih nejednačina a x 2 +b x+c<0 (≤, >, ≥) sastoji se od analize grafa kvadratne funkcije y=a·x 2 +b·x+c da bi se pronašli intervali u kojima navedena funkcija poprima negativne, pozitivne, nepozitivne ili nenegativne vrijednosti. Ovi intervali čine rješenja kvadratnih nejednačina a x 2 +b x+c<0 , a·x 2 +b·x+c>0, a x 2 +b x+c≤0 i a x 2 +b x+c≥0, respektivno.

Intervalna metoda

Za rješavanje kvadratnih nejednačina s jednom promjenljivom, pored grafičke, prilično je zgodna metoda intervala, koja je sama po sebi vrlo univerzalna i pogodna je za rješavanje različitih nejednačina, a ne samo kvadratnih. Njegova teorijska strana je izvan granica kursa algebre 8. i 9. razreda, kada uče rješavati kvadratne nejednačine. Stoga, ovdje nećemo ulaziti u teoretsko opravdanje metode intervala, već ćemo se fokusirati na to kako se kvadratne nejednačine rješavaju uz pomoć nje.

Suština metode intervala u odnosu na rješavanje kvadratnih nejednačina a x 2 +b x+c<0 (≤, >, ≥), sastoji se u određivanju znakova koji imaju vrijednosti kvadratnog trinoma a·x 2 +b·x+c na intervalima na koje je koordinatna osa podijeljena nulama ovog trinoma (ako ih ima). Intervali sa predznacima minus čine rješenja kvadratne nejednakosti a x 2 +b x+c<0 , со знаками плюс – неравенства a·x 2 +b·x+c>0, a pri rješavanju nestrogih nejednačina naznačenim intervalima se dodaju tačke koje odgovaraju nulama trinoma.

Možete se upoznati sa svim pojedinostima ove metode, njenim algoritmom, pravilima postavljanja znakova na intervale i razmotriti gotova rješenja tipičnih primjera sa ilustracijama koje su date pozivajući se na materijal u članku koji rješava kvadratne nejednakosti metodom intervala .

Kvadriranjem binoma

Osim grafičke metode i metode intervala, postoje i drugi pristupi koji vam omogućavaju rješavanje kvadratnih nejednakosti. I dolazimo do jednog od njih, koji je zasnovan binom na kvadrat na lijevoj strani kvadratne nejednakosti.

Princip ove metode rješavanja kvadratnih nejednakosti je izvođenje ekvivalentnih transformacija nejednakosti, omogućavajući da se nastavi rješavanje ekvivalentne nejednačine oblika (x−p) 2 , ≥), gdje su p i q neki brojevi.

I kako se odvija prijelaz na nejednakost (x−p) 2? , ≥) i kako ga riješiti, članak objašnjava rješenje kvadratnih nejednačina izolacijom kvadrata binoma. Tu su i primjeri rješavanja kvadratnih nejednačina ovom metodom i potrebne grafičke ilustracije.

Nejednakosti koje se svode na kvadratne

U praksi se vrlo često susrećemo sa nejednakostima datim upotrebom ekvivalentne transformacije na kvadratne nejednačine oblika a x 2 +b x+c<0 (знаки, естественно, могут быть и другими). Их можно назвать неравенствами, сводящимися к квадратным неравенствам.

Počnimo s primjerima najjednostavnijih nejednačina koje se svode na kvadratne nejednakosti. Ponekad, da bi se prešlo na kvadratnu nejednakost, dovoljno je preurediti članove u ovoj nejednakosti ili ih premjestiti iz jednog dijela u drugi. Na primjer, ako prenesemo sve članove s desne strane nejednakosti 5≤2·x−3·x 2 na lijevu, dobićemo kvadratnu nejednakost u gore navedenom obliku 3·x 2 −2·x+5≤ 0. Drugi primjer: preuređivanje lijeve strane nejednakosti 5+0,6 x 2 −x<0 слагаемые по убыванию степени переменной, придем к равносильному квадратному неравенству в привычной форме 0,6·x 2 −x+5<0 .

U školi, na časovima algebre, kada uče da rešavaju kvadratne nejednačine, bave se i rješavanje racionalnih nejednačina, svodeći na kvadratne. Njihovo rješenje uključuje prijenos svih članova na lijevu stranu, a zatim transformaciju izraza koji je tamo formiran u oblik a·x 2 +b·x+c izvršavanjem . Pogledajmo primjer.

Primjer.

Pronađite mnogo rješenja za nejednakost 3·(x−1)·(x+1)<(x−2) 2 +x 2 +5 .iracionalnu nejednakost je ekvivalentno kvadratnoj nejednakosti x 2 −6 x−9<0 , а logaritamska nejednakost – nejednakost x 2 +x−2≥0.

Reference.

• algebra: udžbenik za 8. razred. opšte obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; edited by S. A. Telyakovsky. - 16. ed. - M.: Obrazovanje, 2008. - 271 str. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• algebra: 9. razred: obrazovni. za opšte obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; edited by S. A. Telyakovsky. - 16. ed. - M.: Obrazovanje, 2009. - 271 str. : ill. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Mordkovich A. G. Algebra. 8. razred. U 2 sata Dio 1. Udžbenik za učenike opšteobrazovnih ustanova / A. G. Mordkovich. - 11. izdanje, izbrisano. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Mordkovich A. G. Algebra. 9. razred. U 2 sata Dio 1. Udžbenik za učenike opšteobrazovnih ustanova / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13. izdanje, izbrisano. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-01752-3.
• Mordkovich A. G. Algebra i počeci matematičke analize. 11. razred. U 2 sata Dio 1. Udžbenik za učenike opšteobrazovnih ustanova (profilni nivo) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2. izd., izbrisano. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-01027-2.

Srednji nivo

Kvadratne nejednakosti. Sveobuhvatni vodič (2019)

Da bismo shvatili kako riješiti kvadratne jednadžbe, moramo razumjeti što je kvadratna funkcija i koja svojstva ima.

Verovatno ste se pitali zašto je kvadratna funkcija uopšte potrebna? Gdje je njegov graf (parabola) primjenjiv? Da, samo treba da se osvrnete oko sebe i primetićete da nailazite na to svaki dan u svakodnevnom životu. Jeste li primijetili kako bačena lopta leti na fizičkom? "U luku"? Najtačniji odgovor bi bio "parabola"! A duž koje putanje se kreće mlaz u fontani? Da, takođe u paraboli! Kako leti metak ili granata? Tako je, takođe u paraboli! Dakle, poznavajući svojstva kvadratne funkcije, bit će moguće riješiti mnoge praktične probleme. Na primjer, pod kojim uglom treba baciti loptu da bi se osigurala najveća udaljenost? Ili, gdje će projektil završiti ako ga lansirate pod određenim uglom? itd.

Kvadratna funkcija

Pa, hajde da shvatimo.

Na primjer, . Šta su ovde jednaki i? Pa, naravno!

Šta ako, tj. manje od nule? Pa, naravno, mi smo „tužni“, što znači da će grane biti usmjerene prema dolje! Pogledajmo graf.

Ova slika prikazuje graf funkcije. Pošto, tj. manje od nule, grane parabole su usmjerene prema dolje. Osim toga, vjerovatno ste već primijetili da grane ove parabole sijeku osu, što znači da jednačina ima 2 korijena, a funkcija ima i pozitivne i negativne vrijednosti!

Na samom početku, kada smo davali definiciju kvadratne funkcije, rečeno je da su i neki brojevi. Mogu li oni biti jednaki nuli? Pa, naravno da mogu! Čak ću vam otkriti još veću tajnu (koja uopće nije tajna, ali vrijedi spomenuti): na ove brojeve (i) uopće ne postoje ograničenja!

Pa, da vidimo šta se dešava sa grafovima ako su i jednaki nuli.

Kao što možete vidjeti, grafovi razmatranih funkcija (i) su se pomaknuli tako da su njihovi vrhovi sada u tački s koordinatama, odnosno na sjecištu osa i, to nema utjecaja na smjer grana . Dakle, možemo zaključiti da su oni odgovorni za “kretanje” grafa parabole duž koordinatnog sistema.

Grafikon funkcije dodiruje os u tački. To znači da jednačina ima jedan korijen. Dakle, funkcija uzima vrijednosti veće ili jednake nuli.

Slijedimo istu logiku s grafom funkcije. Ona dodiruje x-osu u tački. To znači da jednačina ima jedan korijen. Dakle, funkcija uzima vrijednosti manje ili jednake nuli, tj.

Dakle, da biste odredili znak izraza, prvo što trebate učiniti je pronaći korijene jednadžbe. Ovo će nam biti od velike koristi.

Kvadratna nejednakost

Kada rješavamo takve nejednakosti, trebat će nam sposobnost da odredimo gdje je kvadratna funkcija veća, manja ili jednaka nuli. to je:

• ako imamo nejednakost oblika, onda se zapravo zadatak svodi na određivanje numeričkog intervala vrijednosti za koji parabola leži iznad osi.
• ako imamo nejednakost oblika, onda se zapravo zadatak svodi na određivanje numeričkog intervala x vrijednosti za koji parabola leži ispod ose.

Ako nejednakosti nisu stroge, tada su korijeni (koordinate presjeka parabole sa osom) uključeni u željeni numerički interval, u slučaju strogih nejednakosti, oni su isključeni.

Ovo je sve prilično formalizirano, ali ne očajavajte i ne plašite se! Pogledajmo sada primjere i sve će doći na svoje mjesto.

Prilikom rješavanja kvadratnih nejednačina pridržavat ćemo se zadanog algoritma i očekuje nas neizbježan uspjeh!

Algoritam	primjer:
1) Zapišimo odgovarajuću nejednačinu kvadratna jednačina(samo promijenite znak nejednakosti u znak jednakosti “=”).
2) Nađimo korijene ove jednačine.
3) Označite korijene na osi i šematski pokažite orijentaciju grana parabole (“gore” ili “dolje”)
4) Postavimo znakove na osu koji odgovaraju predznaku kvadratne funkcije: gdje je parabola iznad ose, stavljamo " ", a gdje ispod - " ".
5) Napišite interval(e) koji odgovara “ ” ili “ ”, u zavisnosti od znaka nejednakosti. Ako nejednakost nije stroga, korijeni su uključeni u interval ako je stroga, nisu.

Jasno? Onda samo naprijed i pričvrsti ga!

primjer:

Pa, je li uspjelo? Ako imate bilo kakvih poteškoća, potražite rješenja.

Rješenje:

Zapišimo intervale koji odgovaraju predznaku " ", jer je znak nejednakosti " ". Nejednakost nije stroga, pa su korijeni uključeni u intervale:

Napišimo odgovarajuću kvadratnu jednačinu:

Nađimo korijene ove kvadratne jednadžbe:

Šematski označimo dobijene korijene na osi i rasporedimo znakove:

Zapišimo intervale koji odgovaraju predznaku " ", jer je znak nejednakosti " ". Nejednakost je stroga, tako da korijeni nisu uključeni u intervale:

Napišimo odgovarajuću kvadratnu jednačinu:

Nađimo korijene ove kvadratne jednadžbe:

ova jednadžba ima jedan korijen

Šematski označimo dobijene korijene na osi i rasporedimo znakove:

Zapišimo intervale koji odgovaraju predznaku " ", jer je znak nejednakosti " ". Za bilo koje, funkcija uzima nenegativne vrijednosti. Pošto nejednakost nije stroga, odgovor će biti.

Napišimo odgovarajuću kvadratnu jednačinu:

Nađimo korijene ove kvadratne jednadžbe:

Nacrtajmo shematski graf parabole i rasporedimo znakove:

Zapišimo intervale koji odgovaraju predznaku " ", jer je znak nejednakosti " ". Za bilo koje, funkcija poprima pozitivne vrijednosti, stoga će rješenje nejednakosti biti interval:

KVADRATNE NEJEDNAKOSTI. SREDNJI NIVO

Kvadratna funkcija.

Prije nego što počnemo govoriti o temi „kvadratne nejednakosti“, sjetimo se šta je kvadratna funkcija i šta je njen graf.

Drugim riječima, ovo polinom drugog stepena.

Graf kvadratne funkcije je parabola (sjećate li se šta je to?). Njegove grane su usmjerene prema gore ako "a) funkcija uzima samo pozitivne vrijednosti za sve, a u drugom () - samo negativne:

U slučaju kada jednadžba () ima tačno jedan korijen (na primjer, ako je diskriminanta nula), to znači da graf dodiruje os:

Zatim, slično kao u prethodnom slučaju, za ".

Dakle, nedavno smo naučili kako odrediti gdje je kvadratna funkcija veća od nule, a gdje manja:

Ako kvadratna nejednakost nije stroga, tada su korijeni uključeni u numerički interval, ako je stroga, nisu.

Ako postoji samo jedan korijen, u redu je, isti znak će biti svuda. Ako nema korijena, sve ovisi samo o koeficijentu: ako je "25((x)^(2))-30x+9

odgovori:

2) 25((x)^(2))-30x+9>

Nema korijena, tako da cijeli izraz na lijevoj strani ima predznak koeficijenta prije:

• Ako želite pronaći numerički interval na kojem je kvadratni trinom veći od nule, onda je to numerički interval gdje parabola leži iznad ose.
• Ako želite pronaći numerički interval na kojem je kvadratni trinom manji od nule, onda je to numerički interval gdje parabola leži ispod ose.

KVADRATNE NEJEDNAKOSTI. UKRATKO O GLAVNIM STVARIMA

Kvadratna funkcija je funkcija oblika: ,

Graf kvadratne funkcije je parabola. Njegove grane su usmjerene prema gore ako, a prema dolje ako:

Vrste kvadratnih nejednakosti:

Sve kvadratne nejednakosti se svode na sljedeća četiri tipa:

Algoritam rješenja:

Algoritam	primjer:
1) Napišimo kvadratnu jednačinu koja odgovara nejednakosti (jednostavno promijenite znak nejednakosti u znak jednakosti "").
2) Nađimo korijene ove jednačine.
3) Označite korijene na osi i šematski pokažite orijentaciju grana parabole (“gore” ili “dolje”)
4) Postavimo znakove na osu koji odgovaraju predznaku kvadratne funkcije: gdje je parabola iznad ose, stavljamo " ", a gdje ispod - " ".
5) Zapišite interval(e) koji odgovara “ ” ili “ ”, u zavisnosti od znaka nejednakosti. Ako nejednakost nije stroga, korijeni su uključeni u interval ako je stroga, nisu.

Koncept matematičke nejednakosti nastao je u antičko doba. Ovo se desilo kada primitivni čovek Pojavila se potreba za upoređivanjem njihove količine i veličine prilikom brojanja i rukovanja raznim predmetima. Od davnina su Arhimed, Euklid i drugi poznati naučnici: matematičari, astronomi, dizajneri i filozofi koristili nejednakosti u svom zaključivanju.

Ali oni su, po pravilu, u svojim radovima koristili verbalnu terminologiju. Po prvi put, moderni znakovi za označavanje pojmova "više" i "manje" u obliku u kojem ih svaki školarac danas poznaje izmišljeni su i primijenjeni u Engleskoj. Matematičar Thomas Harriot pružio je takvu uslugu svojim potomcima. I to se dogodilo prije otprilike četiri stoljeća.

Poznate su mnoge vrste nejednakosti. Među njima su jednostavni, koji sadrže jednu, dvije ili više varijabli, kvadratni, razlomački, složeni omjeri, pa čak i oni predstavljeni sistemom izraza. Najbolji način da shvatite kako riješiti nejednakosti je korištenje različitih primjera.

Ne propustite voz

Za početak, zamislimo da je to stanovnik ruralnim područjimažuri da željeznička stanica, koji se nalazi na udaljenosti od 20 km od njegovog sela. Da ne bi propustio voz koji kreće u 11 sati, mora na vrijeme izaći iz kuće. U koje vrijeme to treba učiniti ako je njegova brzina 5 km/h? Rješenje ovog praktičnog problema svodi se na ispunjavanje uslova izraza: 5 (11 - X) ≥ 20, gdje je X vrijeme polaska.

To je razumljivo, jer je udaljenost koju seljanin treba da pređe do stanice jednaka brzini kretanja pomnoženoj sa brojem sati na putu. Dođi bivši čovek možda, ali nema šanse da zakasni. Znajući kako riješiti nejednakosti i primijeniti svoje vještine u praksi, na kraju ćete dobiti X ≤ 7, što je odgovor. To znači da bi seljanin trebao otići na željezničku stanicu u sedam ujutro ili nešto ranije.

Numerički intervali na koordinatnoj liniji

Sada ćemo otkriti kako preslikati opisane relacije na gornju nejednakost. To znači da varijabla može imati vrijednosti manje od 7, ili može biti jednaka ovom broju. Navedimo druge primjere. Da biste to učinili, pažljivo razmotrite četiri dolje prikazane brojke.

Na prvom od njih možete vidjeti grafički prikaz intervala [-7; 7]. Sastoji se od skupa brojeva postavljenih na koordinatnoj liniji između -7 i 7, uključujući granice. U ovom slučaju, tačke na grafikonu su prikazane kao popunjeni krugovi, a interval se bilježi pomoću

Druga slika je grafički prikaz stroge nejednakosti. U ovom slučaju, granični brojevi -7 i 7, prikazani probušenim (nepopunjenim) tačkama, nisu uključeni u navedeni skup. A sam interval je napisan u zagradama na sljedeći način: (-7; 7).

Odnosno, nakon što smo shvatili kako riješiti nejednakosti ovog tipa i dobili sličan odgovor, možemo zaključiti da se sastoji od brojeva koji se nalaze između dotičnih granica, osim -7 i 7. Sljedeća dva slučaja se moraju procijeniti u sličan način. Treća slika prikazuje slike intervala (-∞; -7] U)