Naći jednadžbu ravnine kroz 3 tačke. Linearne nejednakosti u prostoru. Jednačina ravnine u segmentima

Dom
Jednačina ravni. Kako napisati jednačinu ravni? Međusobna pozicija

avioni. Zadaci Prostorna geometrija nije mnogo složenija od „ravne“ geometrije, a naši letovi u svemiru počinju ovim člankom. Da biste savladali temu, morate je dobro razumjeti vektori , osim toga, preporučljivo je biti upoznat s geometrijom ravnine - bit će mnogo sličnosti, mnogo analogija, pa će se informacije mnogo bolje probaviti. U nizu mojih lekcija, 2D svijet otvara članak Jednačina prave linije na ravni

. Ali sada je Betmen napustio TV ekran i lansirao se sa kosmodroma Bajkonur.

Počnimo sa crtežima i simbolima. Šematski, ravan se može nacrtati u obliku paralelograma, što stvara utisak prostora:

Avion je beskonačan, ali imamo priliku da prikažemo samo njegov deo. U praksi se pored paralelograma crta i oval ili čak oblak. Iz tehničkih razloga, meni je zgodnije da prikažem avion upravo na ovaj način i upravo u ovoj poziciji. Prave ravni, koje ćemo razmotriti u praktičnim primjerima, mogu se locirati na bilo koji način - mentalno uzmite crtež u ruke i rotirajte ga u prostoru, dajući ravnini bilo koji nagib, bilo koji kut. Oznake : avioni se obično označavaju malim grčkim slovima, očigledno da ih ne bi pobrkali sa prava linija na ravni ili sa prava linija u prostoru

. Navikao sam da koristim pismo. Na crtežu je to slovo "sigma", a ne rupa. Mada, rupa avion je svakako prilično zabavan.

U nekim slučajevima, zgodno je koristiti ista grčka slova s ​​nižim indeksima za označavanje ravnina, na primjer, . Očigledno je da je ravan jednoznačno definisana sa tri različite tačke koje ne leže na istoj pravoj. Stoga su troslovne oznake ravnina prilično popularne - po tačkama koje im pripadaju, na primjer, itd. Često se slova stavljaju u zagrade:

, kako ne bi pobrkali ravan s drugom geometrijskom figurom. Za iskusne čitaoce daću:

• meni za brzi pristup
• Kako napraviti jednadžbu ravni koristeći tačku i dva vektora?

Kako napraviti jednadžbu ravni koristeći tačku i vektor normale?

i nećemo čamiti u dugim čekanjima:

Opća jednačina ravnine ima oblik , gdje koeficijenti nisu u isto vrijeme jednaki nuli.

Brojni teorijski proračuni i praktični problemi vrijede i za uobičajenu ortonormalnu bazu i za afinu bazu prostora (ako je ulje ulje, vratite se na lekciju Linearna (ne)ovisnost vektora. Osnova vektora). Radi jednostavnosti, pretpostavićemo da se svi događaji dešavaju u ortonormalnoj bazi i Dekartovom pravougaonom koordinatnom sistemu.

Sada malo vježbajmo našu prostornu maštu. U redu je ako je vaš loš, sada ćemo ga malo razviti. Čak i igranje na živce zahteva obuku.

U najopštijem slučaju, kada brojevi nisu jednaki nuli, ravan siječe sve tri koordinatne ose. Na primjer, ovako:

Ponavljam još jednom da se avion kreće u nedogled u svim pravcima, a mi imamo priliku prikazati samo njegov dio.

Razmotrimo najjednostavnije jednadžbe ravnina:

Kako razumjeti ovu jednačinu? Razmislite o tome: “Z” je UVIJEK jednako nuli, za bilo koje vrijednosti “X” i “Y”. Ova jednadžba je "nativna" koordinatna ravan. Zaista, formalno se jednačina može prepisati na sljedeći način: , odakle se jasno vidi da nas nije briga koje vrijednosti zauzimaju “x” i “y”, važno je da je “z” jednako nuli.

Isto tako:
– jednačina koordinatne ravni;
– jednačina koordinatne ravni.

Hajde da malo zakomplikujemo problem, razmotrimo ravan (ovde i dalje u paragrafu pretpostavljamo da numerički koeficijenti nisu jednaki nuli). Prepišimo jednačinu u obliku: . Kako to razumjeti? “X” je UVIJEK, za bilo koje vrijednosti “y” i “z”, jednako određenom broju. Ova ravan je paralelna sa koordinatnom ravninom. Na primjer, ravan je paralelna s ravninom i prolazi kroz tačku.

Isto tako:
– jednačina ravnine koja je paralelna sa koordinatnom ravninom;
– jednačina ravnine koja je paralelna sa koordinatnom ravninom.

Dodajmo članove: . Jednačina se može prepisati na sljedeći način: , odnosno “zet” može biti bilo šta. šta to znači? “X” i “Y” su povezani relacijom koja povlači određenu pravu liniju u ravni (saznaćete jednačina prave u ravni?). Pošto "z" može biti bilo koji, ova ravna linija se "replicira" na bilo kojoj visini. Dakle, jednačina definira ravan paralelnu koordinatnoj osi

Isto tako:
– jednačina ravnine koja je paralelna sa koordinatnom osom;
– jednačina ravnine koja je paralelna sa koordinatnom osom.

Ako su slobodni članovi jednaki nuli, tada će ravni direktno proći kroz odgovarajuće ose. Na primjer, klasična “direktna proporcionalnost”: . Nacrtajte pravu liniju u ravni i mentalno je pomnožite gore-dolje (pošto je "Z" bilo koji). Zaključak: avion, dato jednačinom, prolazi kroz koordinatnu osu.

Završavamo pregled: jednačina ravnine prolazi kroz ishodište. Pa, ovdje je sasvim očigledno da tačka zadovoljava ovu jednačinu.

I na kraju, slučaj prikazan na crtežu: – ravan je prijateljska sa svim koordinatnim osama, a uvek „odseca“ trougao, koji se može nalaziti u bilo kom od osam oktanata.

Linearne nejednakosti u prostoru

Da biste razumjeli informacije, morate dobro proučiti linearne nejednačine u ravni, jer će mnoge stvari biti slične. Paragraf će biti kratkog preglednog karaktera sa nekoliko primjera, budući da je materijal prilično rijedak u praksi.

Ako jednačina definira ravan, onda su nejednačine
pitaj poluprostori. Ako nejednakost nije stroga (posljednje dvije na listi), tada rješenje nejednakosti, pored poluprostora, uključuje i samu ravan.

Primjer 5

Pronađite vektor jedinične normale ravnine .

Rješenje: Jedinični vektor je vektor čija je dužina jedan. Označimo ovaj vektor sa . Potpuno je jasno da su vektori kolinearni:

Prvo uklanjamo vektor normale iz jednadžbe ravnine: .

Kako pronaći jedinični vektor? Da biste pronašli jedinični vektor, trebate svaki podijelimo vektorsku koordinatu dužinom vektora.

Prepišimo normalni vektor u formu i pronađemo njegovu dužinu:

prema gore navedenom:

Odgovori:

Provjera: ono što je trebalo provjeriti.

Čitaoci koji su pažljivo proučili posljednji pasus lekcije vjerovatno su to primijetili koordinate jediničnog vektora su tačno kosinus smjera vektora:

Odmorimo se od problema koji je prisutan: kada vam je dat proizvoljan vektor koji nije nula, a prema uslovu je potrebno pronaći njegove kosinuse smjera (vidi posljednje zadatke lekcije Tačkasti proizvod vektora), tada ćete, u stvari, pronaći jedinični vektor kolinearan ovom. Zapravo dva zadatka u jednoj boci.

Potreba za pronalaženjem vektora jedinične normale javlja se u nekim problemima matematičke analize.

Shvatili smo kako izvući normalan vektor, a sada odgovorimo na suprotno pitanje:

Kako napraviti jednadžbu ravni koristeći tačku i vektor normale?

Ova kruta konstrukcija normalnog vektora i tačke je dobro poznata na dasci. Ispružite ruku naprijed i mentalno odaberite proizvoljnu tačku u prostoru, na primjer, malu mačku u kredencu. Očigledno, kroz ovu tačku možete nacrtati jednu ravan okomitu na vašu ruku.

Jednačina ravnine koja prolazi kroz tačku okomitu na vektor izražava se formulom:

Ovaj članak daje ideju o tome kako stvoriti jednadžbu za ravan koja prolazi kroz datu tačku u trodimenzionalnom prostoru okomito na datu pravu. Analizirajmo dati algoritam na primjeru rješavanja tipičnih problema.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Pronalaženje jednačine ravnine koja prolazi kroz datu tačku u prostoru okomito na datu pravu

Neka su u njemu dati trodimenzionalni prostor i pravougaoni koordinatni sistem O x y z. Date su i tačka M 1 (x 1, y 1, z 1), prava a i ravan α koja prolazi kroz tačku M 1 okomita na pravu a. Potrebno je zapisati jednačinu ravni α.

Prije nego počnemo rješavati ovaj problem, prisjetimo se teoreme geometrije iz nastavnog plana i programa za 10-11 razred, koja kaže:

Definicija 1

Jedna ravan okomita na datu pravu prolazi kroz datu tačku u trodimenzionalnom prostoru.

Pogledajmo sada kako pronaći jednačinu ove pojedinačne ravni koja prolazi kroz početnu tačku i okomita na datu pravu.

Moguće je zapisati opšta jednačina ravni, ako su poznate koordinate tačke koja pripada ovoj ravni, kao i koordinate vektora normale ravni.

Uslovi zadatka daju nam koordinate x 1, y 1, z 1 tačke M 1 kroz koju prolazi ravan α. Ako odredimo koordinate vektora normale ravni α, tada ćemo moći zapisati traženu jednačinu.

Vektor normale ravni α, budući da je različit od nule i leži na pravoj a, okomito na ravan α, biće bilo koji vektor pravca a. Dakle, problem nalaženja koordinata vektora normale ravni α transformiše se u problem određivanja koordinata usmeravajućeg vektora prave a.

Određivanje koordinata vektora pravca prave a može se izvršiti različitim metodama: zavisi od mogućnosti zadavanja prave linije a u početnim uslovima. Na primjer, ako je prava linija a u iskazu problema data kanonskim jednadžbama oblika

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z

ili parametarske jednadžbe oblika:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ

tada će vektor pravca imati koordinate a x, a y i a z. U slučaju kada je prava linija a predstavljena sa dve tačke M 2 (x 2, y 2, z 2) i M 3 (x 3, y 3, z 3), tada će koordinate vektora pravca biti određene kao ( x3 – x2, y3 – y2, z3 – z2).

Definicija 2

Algoritam za pronalaženje jednačine ravnine koja prolazi kroz datu tačku okomitu na datu pravu:

Određujemo koordinate vektora pravca prave a: a → = (a x, a y, a z) ;

Koordinate vektora normale ravni α definiramo kao koordinate usmjeravajućeg vektora prave a:

n → = (A , B , C) , gdje je A = a x , B = a y , C = a z;

Pišemo jednačinu ravnine koja prolazi kroz tačku M 1 (x 1, y 1, z 1) i ima normalan vektor n → = (A, B, C) u obliku A (x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0. Ovo će biti tražena jednačina ravnine koja prolazi kroz datu tačku u prostoru i okomita je na datu pravu.

Rezultirajuća opšta jednačina ravnine je: A (x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0 omogućava da se dobije jednačina ravnine u segmentima ili normalna jednačina ravni.

Rešimo nekoliko primjera koristeći gore dobiveni algoritam.

Primjer 1

Zadata je tačka M 1 (3, - 4, 5) kroz koju prolazi ravan, a ova ravan je okomita na koordinatnu pravu O z.

Rješenje

vektor smjera koordinatne linije O z bit će koordinatni vektor k ⇀ = (0, 0, 1). Dakle, vektor normale ravni ima koordinate (0, 0, 1). Napišimo jednačinu ravnine koja prolazi kroz datu tačku M 1 (3, - 4, 5), čiji normalni vektor ima koordinate (0, 0, 1):

A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 ⇔ ⇔ 0 (x - 3) + 0 (y - (- 4)) + 1 (z - 5) = 0 ⇔ z - 5 = 0

odgovor: z – 5 = 0 .

Razmotrimo još jedan način rješavanja ovog problema:

Primjer 2

Ravan koja je okomita na pravu O z će biti data nepotpunom opštom ravanskom jednačinom oblika C z + D = 0, C ≠ 0. Odredimo vrijednosti C i D: one u kojima ravan prolazi kroz datu tačku. Zamenimo koordinate ove tačke u jednačinu C z + D = 0, dobićemo: C · 5 + D = 0. One. brojevi, C i D su povezani relacijom - D C = 5. Uzimajući C = 1, dobijamo D = - 5.

Zamijenimo ove vrijednosti u jednadžbu C z + D = 0 i dobijemo traženu jednadžbu ravnine koja je okomita na pravu O z i koja prolazi kroz tačku M 1 (3, - 4, 5).

Izgledaće ovako: z – 5 = 0.

odgovor: z – 5 = 0 .

Primjer 3

Napišite jednačinu za ravan koja prolazi kroz ishodište i okomita na pravu x - 3 = y + 1 - 7 = z + 5 2

Rješenje

Na osnovu uslova zadatka, može se tvrditi da se vektor pravca date prave linije može uzeti kao vektor normale n → date ravni. Dakle: n → = (- 3 , - 7 , 2) . Napišimo jednačinu ravni koja prolazi kroz tačku O (0, 0, 0) i ima vektor normale n → = (- 3, - 7, 2):

3 (x - 0) - 7 (y - 0) + 2 (z - 0) = 0 ⇔ - 3 x - 7 y + 2 z = 0

Dobili smo traženu jednačinu ravni koja prolazi kroz ishodište koordinata okomitih na datu pravu.

odgovor:- 3 x - 7 y + 2 z = 0

Primjer 4

U trodimenzionalnom prostoru dat je pravougaoni koordinatni sistem O x y z, u njemu se nalaze dvije tačke A (2, - 1, - 2) i B (3, - 2, 4). Ravan α prolazi kroz tačku A okomito na pravu A B. Potrebno je napraviti jednačinu za ravan α u segmentima.

Rješenje

Ravan α je okomita na pravu A B, tada će vektor A B → biti vektor normale ravni α. Koordinate ovog vektora su definisane kao razlika između odgovarajućih koordinata tačaka B (3, - 2, 4) i A (2, - 1, - 2):

A B → = (3 - 2 , - 2 - (- 1) , 4 - (- 2)) ⇔ A B → = (1 , - 1 , 6)

Opća jednačina ravnine će se napisati na sljedeći način:

1 x - 2 - 1 y - (- 1 + 6 (z - (- 2)) = 0 ⇔ x - y + 6 z + 9 = 0

Sada sastavimo traženu jednačinu ravnine u segmentima:

x - y + 6 z + 9 = 0 ⇔ x - y + 6 z = - 9 ⇔ x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

odgovor:x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Takođe treba napomenuti da postoje problemi čiji je zahtjev da se napiše jednačina ravni koja prolazi kroz datu tačku i okomita je na dvije date ravni. Općenito, rješenje ovog problema je da se konstruiše jednačina za ravan koja prolazi kroz datu tačku okomitu na datu pravu, jer dve ravni koje se seku definišu pravu liniju.

Primjer 5

Dat je pravougaoni koordinatni sistem O x y z, u njemu se nalazi tačka M 1 (2, 0, - 5). Date su i jednačine dvije ravni 3 x + 2 y + 1 = 0 i x + 2 z – 1 = 0, koje se seku duž prave a. Potrebno je napraviti jednačinu za ravan koja prolazi kroz tačku M 1 okomito na pravu a.

Rješenje

Odredimo koordinate usmjeravajućeg vektora prave a. On je okomit i na vektor normale n 1 → (3, 2, 0) ravni n → (1, 0, 2) i na vektor normale 3 x + 2 y + 1 = 0 od x + 2 z - 1 = 0 ravni.

Zatim, kao usmjeravajući vektor α → prava a, uzimamo vektorski proizvod vektora n 1 → i n 2 →:

a → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 3 2 0 1 0 2 = 4 i → - 6 j → - 2 k → ⇒ a → = (4 , - 6 , - 2 )

Tako će vektor n → = (4, - 6, - 2) biti vektor normale ravni okomite na pravu a. Zapišimo traženu jednačinu ravnine:

4 (x - 2) - 6 (y - 0) - 2 (z - (- 5)) = 0 ⇔ 4 x - 6 y - 2 z - 18 = 0 ⇔ ⇔ 2 x - 3 y - z - 9 = 0

odgovor: 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Pretpostavimo da treba da pronađemo jednačinu ravni koja prolazi kroz tri date tačke koje ne leže na istoj pravoj. Označavajući njihove radijus vektore sa, a trenutni radijus vektor sa , lako možemo dobiti traženu jednačinu u vektorskom obliku. U stvari, vektori moraju biti komplanarni (svi leže u željenoj ravni). Dakle, vektorsko-skalarni proizvod ovih vektora mora biti jednak nuli:

Ovo je jednadžba ravni koja prolazi kroz tri date tačke, u vektorskom obliku.

Prelazeći na koordinate, dobijamo jednačinu u koordinatama:

Ako tri date tačke leže na istoj pravoj liniji, vektori bi bili kolinearni. Stoga bi odgovarajući elementi zadnja dva reda determinante u jednačini (18) bili proporcionalni i determinanta bi bila identično jednaka nuli. Prema tome, jednadžba (18) bi postala identična za bilo koje vrijednosti x, y i z. Geometrijski, to znači da kroz svaku tačku u prostoru prolazi ravan u kojoj leže tri date tačke.

Napomena 1. Isti problem se može riješiti bez upotrebe vektora.

Označavajući koordinate tri date tačke, respektivno, napisaćemo jednačinu bilo koje ravni koja prolazi kroz prvu tačku:

Da bi se dobila jednačina željene ravni, potrebno je zahtijevati da jednačina (17) bude zadovoljena koordinatama još dvije tačke:

Iz jednadžbi (19) potrebno je odrediti odnos dva koeficijenta prema trećem i pronađene vrijednosti unijeti u jednačinu (17).

Primjer 1. Napišite jednačinu za ravan koja prolazi kroz tačke.

Jednačina ravnine koja prolazi kroz prvu od ovih tačaka bit će:

Uslovi da ravan (17) prođe kroz dve druge tačke i prvu tačku su:

Dodajući drugu jednačinu prvoj, nalazimo:

Zamjenom u drugu jednačinu dobijamo:

Zamjenom u jednačinu (17) umjesto A, B, C, redom, 1, 5, -4 (brojevi proporcionalni njima), dobijamo:

Primjer 2. Napišite jednačinu za ravan koja prolazi kroz tačke (0, 0, 0), (1, 1, 1), (2, 2, 2).

Jednačina bilo koje ravni koja prolazi kroz tačku (0, 0, 0) bit će]

Uslovi za prolazak ove ravni kroz tačke (1, 1, 1) i (2, 2, 2) su:

Smanjujući drugu jednačinu za 2, vidimo da za određivanje dvije nepoznate postoji jedna jednačina sa

Odavde dobijamo . Sada zamjenjujući vrijednost ravnine u jednačinu, nalazimo:

Ovo je jednadžba željene ravni; zavisi od proizvoljnog

veličine B, C (naime, iz relacije tj. postoji beskonačan broj ravni koje prolaze kroz tri date tačke (tri date tačke leže na istoj pravoj liniji).

Napomena 2. Problem povlačenja ravni kroz tri date tačke koje ne leže na istoj pravoj lako se rješava u opšti pogled, ako koristimo determinante. Zaista, pošto u jednačinama (17) i (19) koeficijenti A, B, C ne mogu istovremeno biti jednaki nuli, onda, posmatrajući ove jednadžbe kao homogeni sistem sa tri nepoznate A, B, C, pišemo neophodan i dovoljan uslov za postojanje rješenja ovog sistema, različitog od nule (1. dio, poglavlje VI, § 6):

Proširujući ovu determinantu na elemente prvog reda, dobijamo jednačinu prvog stepena u odnosu na trenutne koordinate, kojoj će posebno odgovarati koordinate tri date tačke.

Ovo posljednje također možete provjeriti direktno zamjenom koordinata bilo koje od ovih tačaka umjesto . Na lijevoj strani dobijamo determinantu u kojoj su ili elementi prvog reda nule ili postoje dva identična reda. Dakle, konstruisana jednačina predstavlja ravan koja prolazi kroz tri date tačke.

U ovom materijalu ćemo pogledati kako pronaći jednadžbu ravni ako znamo koordinate tri različite tačke koje ne leže na istoj pravoj liniji. Da bismo to učinili, moramo se sjetiti šta je pravougaoni koordinatni sistem u trodimenzionalnom prostoru. Za početak ćemo predstaviti osnovni princip zadata jednačina i pokazati vam kako da ga koristite za rješavanje određenih problema.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Prvo, moramo zapamtiti jedan aksiom, koji zvuči ovako:

Definicija 1

Ako se tri tačke ne poklapaju jedna s drugom i ne leže na istoj pravoj, tada u trodimenzionalnom prostoru kroz njih prolazi samo jedna ravan.

Drugim riječima, ako imamo tri različite točke čije se koordinate ne poklapaju i koje se ne mogu povezati ravnom linijom, tada možemo odrediti ravan koja prolazi kroz nju.

Recimo da imamo pravougaoni koordinatni sistem. Označimo ga O x y z. Sadrži tri tačke M sa koordinatama M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3), koje se ne mogu povezati prava linija. Na osnovu ovih uslova možemo zapisati jednačinu ravnine koja nam je potrebna. Postoje dva pristupa rješavanju ovog problema.

1. Prvi pristup koristi opštu ravninu jednačinu. U obliku slova, piše se kao A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0. Uz njegovu pomoć možete definirati u pravokutnom koordinatnom sistemu određenu alfa ravan koja prolazi kroz prvu datu tačku M 1 (x 1, y 1, z 1). Ispada da će normalni vektor ravni α imati koordinate A, B, C.

Definicija N

Poznavajući koordinate vektora normale i koordinate tačke kroz koju ravan prolazi, možemo zapisati opštu jednačinu ove ravni.

To je ono od čega ćemo polaziti u budućnosti.

Dakle, prema uslovima zadatka, imamo koordinate željene tačke (čak tri) kroz koju ravan prolazi. Da biste pronašli jednačinu, morate izračunati koordinate njenog vektora normale. Označimo ga n → .

Setimo se pravila: svaki vektor koji nije nula date ravni je okomit na vektor normale iste ravni. Tada imamo da će n → biti okomito na vektore sastavljene od originalnih tačaka M 1 M 2 → i M 1 M 3 → . Tada možemo označiti n → kao vektorski proizvod oblika M 1 M 2 → · M 1 M 3 → .

Pošto M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) i M 1 M 3 → = x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1 (dokazi ovih jednakosti dati su u članku posvećenom izračunavanju koordinata vektora iz koordinata tačaka), tada se ispostavlja da:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1

Ako izračunamo determinantu, dobićemo koordinate vektora normale n → koje su nam potrebne. Sada možemo da zapišemo jednačinu koja nam je potrebna za ravan koja prolazi kroz tri date bodove.

2. Drugi pristup pronalaženju jednačine koja prolazi kroz M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3), zasniva se na konceptu kao što je koplanarnost vektora.

Ako imamo skup tačaka M (x, y, z), onda u pravougaonom koordinatnom sistemu one definišu ravan za date tačke M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2 , z 2 ) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) samo u slučaju kada su vektori M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1) , M 1 M 2 → = ( ​​x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) i M 1 M 3  → = (x 3 - x 1 , y 3 - y 1 , z 3 - z 1) bit će komplanarni .

Na dijagramu će to izgledati ovako:

To će značiti da će mješoviti proizvod vektora M 1 M → , M 1 M 2 → , M 1 M 3 → biti jednak nuli: M 1 M → · M 1 M 2 → · M 1 M 3 → = 0 , pošto je ovo glavni uslov komplanarnosti: M 1 M → = (x - x 1, y - y 1, z - z 1), M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1 , z 2 - z 1 ) i M 1 M 3 → = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1).

Zapišimo rezultirajuću jednačinu u koordinatnom obliku:

Nakon što izračunamo determinantu, možemo dobiti jednadžbu ravnine koja nam je potrebna za tri tačke koje ne leže na istoj pravoj M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) .

Iz rezultirajuće jednačine možete prijeći na jednadžbu ravnine u segmentima ili na normalnu jednačinu ravnine, ako uvjeti problema to zahtijevaju.

U narednom pasusu daćemo primere kako se pristupi koje smo naveli provode u praksi.

Primjeri zadataka za sastavljanje jednadžbe ravni koja prolazi kroz 3 tačke

Prethodno smo identificirali dva pristupa koja se mogu koristiti za pronalaženje željene jednačine. Pogledajmo kako se koriste za rješavanje problema i kada treba izabrati svaki od njih.

Primjer 1

Postoje tri tačke koje ne leže na istoj pravoj, sa koordinatama M 1 (- 3, 2, - 1), M 2 (- 1, 2, 4), M 3 (3, 3, - 1). Napišite jednačinu za ravan koja prolazi kroz njih.

Rješenje

Koristimo obje metode naizmjenično.

1. Pronađite koordinate dva vektora koja su nam potrebna M 1 M 2 → , M 1 M 3 → :

M 1 M 2 → = - 1 - - 3 , 2 - 2 , 4 - - 1 ⇔ M 1 M 2 → = (2 , 0 , 5) M 1 M 3 → = 3 - - 3 , 3 - 2 , - 1 - - 1 ⇔ M 1 M 3 → = 6 , 1 , 0

Sada izračunajmo njihov vektorski proizvod. Nećemo opisivati ​​proračune determinante:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → 2 0 5 6 1 0 = - 5 i → + 30 j → + 2 k →

Imamo vektor normale ravni koji prolazi kroz tri tražene tačke: n → = (- 5, 30, 2) . Zatim trebamo uzeti jednu od tačaka, na primjer, M 1 (- 3, 2, - 1), i zapisati jednačinu za ravan sa vektorom n → = (- 5, 30, 2). Dobijamo da: - 5 (x - (- 3)) + 30 (y - 2) + 2 (z - (- 1)) = 0 ⇔ - 5 x + 30 y + 2 z - 73 = 0

Ovo je jednačina koja nam je potrebna za ravan koja prolazi kroz tri tačke.

2. Zauzmimo drugačiji pristup. Napišimo jednačinu za ravan sa tri tačke M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) u sljedeći obrazac:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0

Ovdje možete zamijeniti podatke iz iskaza problema. Kako je x 1 = - 3, y 1 = 2, z 1 = - 1, x 2 = - 1, y 2 = 2, z 2 = 4, x 3 = 3, y 3 = 3, z 3 = - 1, kao rezultat dobijamo:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = x - (- 3) y - 2 z - (- 1) - 1 - (- 3) 2 - 2 4 - (- 1) 3 - (- 3) 3 - 2 - 1 - (- 1) = = x + 3 y - 2 z + 1 2 0 5 6 1 0 = - 5 x + 30 y + 2 z - 73

Dobili smo potrebnu jednačinu.

odgovor:- 5 x + 30 y + 2 z - 73 .

Ali šta ako date tačke i dalje leže na istoj pravoj i za njih treba da napravimo jednadžbu u ravni? Ovdje se mora odmah reći da ovo stanje neće biti sasvim ispravno. Kroz takve tačke može proći beskonačan broj ravnina, tako da je nemoguće izračunati jedan odgovor. Razmotrimo takav problem da bismo dokazali netačnost takve formulacije pitanja.

Primjer 2

Imamo pravougaoni koordinatni sistem u trodimenzionalnom prostoru, u kojem su postavljene tri tačke sa koordinatama M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1 , 1) . Potrebno je napraviti jednadžbu ravnine koja prolazi kroz nju.

Rješenje

Koristimo prvu metodu i počnimo s izračunavanjem koordinata dva vektora M 1 M 2 → i M 1 M 3 →. Izračunajmo njihove koordinate: M 1 M 2 → = (- 4, 6, 2), M 1 M 3 → = - 6, 9, 3.

Unakrsni proizvod će biti jednak:

M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 i ⇀ + 0 j → + 0 k → = 0 →

Pošto je M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = 0 →, tada će naši vektori biti kolinearni (ponovo pročitajte članak o njima ako ste zaboravili definiciju ovog koncepta). Dakle, početne tačke M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1, 1) su na istoj pravoj, a naš problem ima beskonačno mnogo opcije odgovora.

Ako koristimo drugu metodu, dobićemo:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0 ⇔ x - 5 y - (- 8) z - (- 2) 1 - 5 - 2 - (- 8) 0 - (- 2) - 1 - 5 1 - (- 8) 1 - (- 2) = 0 ⇔ ⇔ x - 5 y + 8 z + 2 - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 ⇔ 0 ≡ 0

Iz rezultirajuće jednakosti proizilazi i da su date tačke M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1, 1) na istoj pravoj.

Ako želite pronaći barem jedan odgovor na ovaj problem iz beskonačnog broja njegovih opcija, onda morate slijediti ove korake:

1. Zapišite jednačinu prave M 1 M 2, M 1 M 3 ili M 2 M 3 (ako je potrebno, pogledajte materijal o ovoj radnji).

2. Uzmite tačku M 4 (x 4, y 4, z 4), koja ne leži na pravoj M 1 M 2.

3. Zapišite jednačinu ravni koja prolazi kroz tri različite tačke M 1, M 2 i M 4 koje ne leže na istoj pravoj.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

U ovoj lekciji ćemo pogledati kako koristiti determinantu za kreiranje ravan jednadžba. Ako ne znate što je determinanta, prijeđite na prvi dio lekcije - "Matrice i determinante". U suprotnom, rizikujete da ne razumijete ništa u današnjem materijalu.

Jednadžba ravni pomoću tri tačke

Zašto nam je uopšte potrebna jednačina u ravni? Jednostavno je: znajući to, lako možemo izračunati uglove, udaljenosti i ostalo sranje u zadatku C2. Općenito, ne možete bez ove jednadžbe. Stoga formuliramo problem:

Zadatak. U prostoru su date tri tačke koje ne leže na istoj pravoj. Njihove koordinate:

M = (x 1, y 1, z 1);
N = (x 2, y 2, z 2);
K = (x 3, y 3, z 3);

Morate napraviti jednačinu za ravan koja prolazi kroz ove tri tačke. Štaviše, jednačina bi trebala izgledati ovako:

Ax + By + Cz + D = 0

gdje su brojevi A, B, C i D koeficijenti koje, u stvari, treba pronaći.

Pa, kako dobiti jednadžbu ravni ako su poznate samo koordinate tačaka? Najlakši način je da zamenite koordinate u jednačinu Ax + By + Cz + D = 0. Dobićete sistem od tri jednačine koji se lako mogu rešiti.

Mnogi studenti ovo rješenje smatraju izuzetno zamornim i nepouzdanim. Prošlogodišnji Jedinstveni državni ispit iz matematike pokazao je da je vjerovatnoća greške u proračunu zaista velika.

Stoga su najnapredniji nastavnici počeli tražiti jednostavnija i elegantnija rješenja. I našli su ga! Istina, dobivena tehnika se prije odnosi na višu matematiku. Lično, morao sam da preturam po cijeloj Saveznoj listi udžbenika kako bih se uvjerio da imamo pravo koristiti ovu tehniku ​​bez ikakvog opravdanja ili dokaza.

Jednačina ravnine kroz determinantu

Dosta stihova, pređimo na posao. Za početak, teorema o tome kako su determinanta matrice i jednačina ravnine povezani.

Teorema. Neka su date koordinate tri tačke kroz koje se mora povući ravan: M = (x 1, y 1, z 1); N = (x 2, y 2, z 2); K = (x 3, y 3, z 3). Tada se jednačina ove ravni može napisati kroz determinantu:

Kao primjer, hajde da pokušamo pronaći par ravnina koje se stvarno javljaju u problemima C2. Pogledajte kako se brzo sve računa:

A 1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C 1 = (1, 1, 1);

Sastavljamo determinantu i izjednačavamo je sa nulom:

Proširujemo determinantu:

a = 1 1 (z − 1) + 0 0 x + (−1) 1 y = z − 1 − y;
b = (−1) 1 x + 0 1 (z − 1) + 1 0 y = −x;
d = a − b = z − 1 − y − (−x ) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x − y + z − 1 = 0;

Kao što vidite, prilikom izračunavanja broja d, malo sam "pročešljao" jednačinu tako da su varijable x, y i z ušle u ispravan redosled. To je to! Jednačina ravni je spremna!

Zadatak. Napišite jednačinu za ravan koja prolazi kroz tačke:

A = (0, 0, 0);
B 1 = (1, 0, 1);
D 1 = (0, 1, 1);

Odmah zamjenjujemo koordinate tačaka u determinantu:

Ponovo proširujemo determinantu:

a = 1 1 z + 0 1 x + 1 0 y = z;
b = 1 1 x + 0 0 z + 1 1 y = x + y;
d = a − b = z − (x + y ) = z − x − y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;

Dakle, opet se dobija jednačina ravnine! Opet, u posljednjem koraku morali smo promijeniti znakove u njemu kako bismo dobili "ljepšu" formulu. U ovom rješenju to uopće nije potrebno, ali se ipak preporučuje - pojednostaviti dalje rješavanje problema.

Kao što vidite, sastavljanje jednačine ravni je sada mnogo lakše. Zamjenjujemo tačke u matricu, izračunavamo determinantu - i to je to, jednadžba je spremna.

Ovo bi moglo završiti lekciju. Međutim, mnogi studenti stalno zaboravljaju šta je unutar determinante. Na primjer, koji red sadrži x 2 ili x 3, a koji red sadrži samo x. Da bismo ovo zaista maknuli s puta, pogledajmo odakle dolazi svaki broj.

Odakle dolazi formula sa determinantom?

Dakle, hajde da shvatimo odakle dolazi tako oštra jednačina sa determinantom. To će vam pomoći da ga zapamtite i uspješno primijenite.

Sve ravnine koje se pojavljuju u zadatku C2 su definisane sa tri tačke. Ove tačke su uvek označene na crtežu, ili čak direktno naznačene u tekstu problema. U svakom slučaju, da bismo stvorili jednačinu, morat ćemo zapisati njihove koordinate:

M = (x 1, y 1, z 1);
N = (x 2, y 2, z 2);
K = (x 3, y 3, z 3).

Razmotrimo još jednu tačku na našoj ravni sa proizvoljnim koordinatama:

T = (x, y, z)

Uzmite bilo koju tačku iz prve tri (na primjer, tačku M) i nacrtajte vektore iz nje do svake od tri preostale tačke. Dobijamo tri vektora:

MN = (x 2 − x 1 , y 2 − y 1 , z 2 − z 1 );
MK = (x 3 − x 1 , y 3 − y 1 , z 3 − z 1 );
MT = (x − x 1 , y − y 1 , z − z 1 ).

Sada napravimo kvadratnu matricu od ovih vektora i izjednačimo njenu determinantu sa nulom. Koordinate vektora će postati redovi matrice - i dobićemo samu determinantu koja je naznačena u teoremi:

Ova formula znači da je zapremina paralelepipeda izgrađenog na vektorima MN, MK i MT jednaka nuli. Dakle, sva tri vektora leže u istoj ravni. Konkretno, proizvoljna tačka T = (x, y, z) je upravo ono što smo tražili.

Zamjena tačaka i pravih determinante

Odrednice imaju nekoliko sjajnih svojstava koja to čine još lakšim rješenje problema C2. Na primjer, nije nam bitno iz koje točke crtamo vektore. Stoga, sljedeće determinante daju istu ravansku jednačinu kao i gornja:

Također možete zamijeniti redove determinante. Jednačina će ostati nepromijenjena. Na primjer, mnogi ljudi vole da napišu liniju sa koordinatama tačke T = (x; y; z) na samom vrhu. Molimo, ako vam odgovara:

Neki ljudi su zbunjeni da u jednoj od linija postoje varijable x, y i z, koje ne nestaju prilikom zamjene tačaka. Ali ne bi trebalo da nestanu! Zamjenom brojeva u determinantu, trebali biste dobiti ovu konstrukciju:

Zatim se determinanta proširi prema dijagramu datom na početku lekcije i dobije se standardna jednačina ravnine:

Ax + By + Cz + D = 0

Pogledajte primjer. Ovo je posljednja u današnjoj lekciji. Namjerno ću zamijeniti linije kako bih bio siguran da će odgovor dati istu jednadžbu ravnine.

Zadatak. Napišite jednačinu za ravan koja prolazi kroz tačke:

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1).

Dakle, razmatramo 4 tačke:

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).

Prvo, napravimo standardnu ​​determinantu i izjednačimo je sa nulom:

Proširujemo determinantu:

a = 0 1 (z − 1) + 1 0 (x − 1) + (−1) (−1) y = 0 + 0 + y;
b = (−1) 1 (x − 1) + 1 (−1) (z − 1) + 0 0 y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d = a − b = y − (2 − x − z ) = y − 2 + x + z = x + y + z − 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

To je to, dobili smo odgovor: x + y + z − 2 = 0.

Sada preuredimo nekoliko redova u determinanti i vidimo šta će se desiti. Na primjer, napišimo red s varijablama x, y, z ne na dnu, već na vrhu:

Ponovo proširujemo rezultujuću determinantu:

a = (x − 1) 1 (−1) + (z − 1) (−1) 1 + y 0 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) 1 0 + y (−1) (−1) + (x − 1) 1 0 = y;
d = a − b = 2 − x − z − y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Dobili smo potpuno istu jednadžbu u ravnini: x + y + z − 2 = 0. To znači da ona zaista ne zavisi od redosleda redova. Ostaje samo da zapišete odgovor.

Dakle, uvjereni smo da jednačina ravnine ne ovisi o nizu pravih. Možemo izvršiti slične proračune i dokazati da jednačina ravnine ne zavisi od tačke čije koordinate oduzimamo od drugih tačaka.

U gore razmatranom problemu koristili smo tačku B 1 = (1, 0, 1), ali je bilo sasvim moguće uzeti C = (1, 1, 0) ili D 1 = (0, 1, 1). Općenito, bilo koja tačka sa poznatim koordinatama koja leži na željenoj ravni.