Pronađite ugao između pravih na ravni. Pronalaženje ugla između pravih linija

Dom Ugao

između pravih u prostoru nazvat ćemo bilo koji od susjednih uglova formiranih od dvije prave povučene kroz proizvoljnu tačku paralelnu sa podacima.

Neka su u prostoru date dvije linije:

Očigledno, ugao φ između pravih linija može se uzeti kao ugao između njihovih vektora smjera i . Budući da , onda koristeći formulu za kosinus kuta između vektora dobivamo

Uslovi paralelizma i okomitosti dve prave su ekvivalentni uslovima paralelizma i okomitosti njihovih vektora pravca i: Dva ravno paralelno ako i samo ako su im odgovarajući koeficijenti proporcionalni, tj. l ako i samo ako su im odgovarajući koeficijenti proporcionalni, tj. 1 paralela .

Uslovi paralelizma i okomitosti dve prave su ekvivalentni uslovima paralelizma i okomitosti njihovih vektora pravca i: 2 ako i samo ako je paralelno okomito

ako i samo ako je zbir proizvoda odgovarajućih koeficijenata jednak nuli: . U

cilj između linije i ravni Neka bude pravo d
Neka bude pravo- nije okomito na ravan θ; Neka bude pravo′− projekcija prave
na θ ravan; Neka bude pravo Najmanji ugao između pravih linija Neka bude pravo I ′ zvaćemo.
ugao između prave i ravni Neka bude pravo,θ)
Označimo to sa φ=( Neka bude pravo Ako Neka bude pravo⊥θ, onda (

,θ)=π/2→Oi→j k
→− pravougaoni koordinatni sistem.

θ: Jednačina ravni:+Ax+By+Cz=0

D Neka bude pravo[Pretpostavljamo da je prava linija definirana tačkom i vektorom smjera: 0,M→]
str Vector→(n,A,B)⊥θ
C Vector Zatim ostaje da saznamo ugao između vektora M→ i Vector→,M→).

→, označimo ga kao γ=(<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

Ako je ugao γ

Ako je ugao γ>π/2, onda je željeni ugao φ=γ−π/2

sinφ=sin(2π−γ)=cosγ

sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ onda, ugao između prave i ravni

može se izračunati pomoću formule: sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ 1+Ap 2+Bp 3∣ ∣ √n 2+A 2+B 2√M 21+M 22+M 23

Cp Pitanje29.

Koncept kvadratne forme. Definicija predznaka kvadratnih oblika. Kvadratni oblik j (x 1, x 2, …, x n) n realnih varijabli x 1, x 2, …, x n
, (1)

naziva se zbir oblika Gdje a ij Gdje = – neki brojevi koji se nazivaju koeficijenti. Bez gubljenja opštosti, možemo to pretpostaviti.

a ji Kvadratni oblik se zove vrijedi, Gdje Ako Î GR. Matrica kvadratne forme
naziva se matrica sastavljena od njenih koeficijenata. Kvadratni oblik (1) odgovara jedinoj simetričnoj matrici To je A T = A . Stoga se kvadratni oblik (1) može zapisati u matričnom obliku j () = X x T Ah , Gdje = (. Stoga se kvadratni oblik (1) može zapisati u matričnom obliku j ( 1 . Stoga se kvadratni oblik (1) može zapisati u matričnom obliku j ( 2 … x T). (2)

x n

I obrnuto, svaka simetrična matrica (2) odgovara jedinstvenom kvadratnom obliku do notacije varijabli. Rang kvadratne forme naziva se rangom njegove matrice. Kvadratni oblik se zove ako je njegova matrica nesingularna A. (podsjetimo da je matrica A naziva se nedegenerisanim ako mu determinanta nije jednaka nuli). Inače, kvadratni oblik je degenerisan.

pozitivno definitivno(ili striktno pozitivno) ako

j ( . Stoga se kvadratni oblik (1) može zapisati u matričnom obliku j () > 0 , za bilo koga . Stoga se kvadratni oblik (1) može zapisati u matričnom obliku j ( = (. Stoga se kvadratni oblik (1) može zapisati u matričnom obliku j ( 1 , . Stoga se kvadratni oblik (1) može zapisati u matričnom obliku j ( 2 , …, x T), osim . Stoga se kvadratni oblik (1) može zapisati u matričnom obliku j ( = (0, 0, …, 0).

Matrix A pozitivno određen kvadratni oblik j ( . Stoga se kvadratni oblik (1) može zapisati u matričnom obliku j () se također naziva pozitivno određen. Prema tome, pozitivno određeni kvadratni oblik odgovara jedinstvenoj pozitivno određenoj matrici i obrnuto.

Kvadratni oblik (1) se zove negativno definisan(ili strogo negativno) ako

j ( . Stoga se kvadratni oblik (1) može zapisati u matričnom obliku j () < 0, для любого . Stoga se kvadratni oblik (1) može zapisati u matričnom obliku j ( = (. Stoga se kvadratni oblik (1) može zapisati u matričnom obliku j ( 1 , . Stoga se kvadratni oblik (1) može zapisati u matričnom obliku j ( 2 , …, x T), osim . Stoga se kvadratni oblik (1) može zapisati u matričnom obliku j ( = (0, 0, …, 0).

Slično kao gore, matrica negativno određenog kvadratnog oblika naziva se i negativno određena.

Posljedično, pozitivni (negativni) određeni kvadratni oblik j ( . Stoga se kvadratni oblik (1) može zapisati u matričnom obliku j () dostiže minimalnu (maksimalnu) vrijednost j ( X*) = 0 at X* = (0, 0, …, 0).

Imajte na umu da većina kvadratni oblici nisu predznakom određeni, odnosno nisu ni pozitivni ni negativni. Takvi kvadratni oblici nestaju ne samo u početku koordinatnog sistema, već iu drugim tačkama.

Kada Vector> 2, potrebni su posebni kriterijumi za provjeru predznaka kvadratnog oblika. Pogledajmo ih.

Major maloljetnici kvadratni oblici se nazivaju minori:

odnosno radi se o maloletnicima reda 1, 2, ..., Vector matrice A, koji se nalazi u gornjem lijevom kutu, posljednji od njih se poklapa sa determinantom matrice A.

Kriterijum pozitivne definicije (Sylvesterov kriterijum)

. Stoga se kvadratni oblik (1) može zapisati u matričnom obliku j () = X bilo pozitivno određeno, potrebno je i dovoljno da svi glavni minori matrice A bili pozitivni, odnosno: M 1 > 0, Pretpostavljamo da je prava linija definirana tačkom i vektorom smjera: 2 > 0, …, Mn > 0. Negativni kriterij sigurnosti Da bi kvadratni oblik j ( . Stoga se kvadratni oblik (1) može zapisati u matričnom obliku j () = X bio negativno određen, potrebno je i dovoljno da njegovi glavni minori parnog reda budu pozitivni, a neparnog - negativni, tj.: M 1 < 0, Pretpostavljamo da je prava linija definirana tačkom i vektorom smjera: 2 > 0, M 3 < 0, …, (–1)n

Definicija. Ako su date dvije prave y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, tada akutni ugao između ovih pravih će se definirati kao

Dvije prave su paralelne ako je k 1 = k 2. Dvije prave su okomite ako je k 1 = -1/ k 2.

Teorema. Prave Ax + Bu + C = 0 i A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 su paralelne kada su koeficijenti A 1 = λA, B 1 = λB proporcionalni. Ako je i C 1 = λC, tada se linije poklapaju. Koordinate tačke preseka dve prave nalaze se kao rešenje sistema jednačina ovih pravih.

Jednačina prave koja prolazi kroz datu tačku

Okomito na datu pravu

Definicija. Prava linija koja prolazi kroz tačku M 1 (x 1, y 1) i okomita na pravu liniju y = kx + b predstavljena je jednadžbom:

Udaljenost od tačke do linije

Teorema. Ako je data tačka M(x 0, y 0), tada se udaljenost do prave Ax + Bu + C = 0 određuje kao

.

Dokaz. Neka je tačka M 1 (x 1, y 1) osnova okomice spuštene iz tačke M na datu pravu liniju. Tada je rastojanje između tačaka M i M 1:

(1)

Koordinate x 1 i y 1 se mogu naći rješavanjem sistema jednadžbi:

Druga jednačina sistema je jednačina linije koja prolazi dati poen M 0 je okomito na datu pravu liniju. Ako transformišemo prvu jednačinu sistema u oblik:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

tada, rješavanjem, dobijamo:

Zamjenom ovih izraza u jednačinu (1) nalazimo:

Teorema je dokazana.

Primjer. Odrediti ugao između pravih: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 = -3; k 2 = 2; tgφ = ; φ= p /4.

Primjer. Pokažite da su prave 3x – 5y + 7 = 0 i 10x + 6y – 3 = 0 okomite.

Rješenje. Nalazimo: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, dakle, prave su okomite.

Primjer. Dati su vrhovi trougla A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Naći jednadžbu visine povučene iz vrha C.

Rješenje. Pronalazimo jednačinu stranice AB: ; 4 x = 6 y – 6;

2 x – 3 y + 3 = 0;

Tražena jednačina visine ima oblik: Ax + By + C = 0 ili y = kx + b. k = . Tada je y = . Jer visina prolazi kroz tačku C, tada njene koordinate zadovoljavaju ovu jednačinu: odakle je b = 17. Ukupno: .

Odgovor: 3 x + 2 y – 34 = 0.

Jednačina prave koja prolazi kroz datu tačku u datom pravcu. Jednačina prave koja prolazi kroz dvije date tačke. Ugao između dvije prave linije. Uslov paralelnosti i okomitosti dvije prave. Određivanje tačke preseka dve prave

1. Jednačina prave koja prolazi kroz datu tačku n(x 1 , y 1) u datom pravcu, određenom nagibom j,

y - y 1 = j(x - x 1). (1)

Ova jednačina definira olovku linija koje prolaze kroz tačku n(x 1 , y 1), koji se naziva centar snopa.

2. Jednačina prave koja prolazi kroz dvije tačke: n(x 1 , y 1) i A(x 2 , y 2), napisano ovako:

Ugaoni koeficijent prave linije koja prolazi kroz dvije date tačke određuje se formulom

3. Ugao između pravih linija n Najmanji ugao između pravih linija A je ugao za koji se prva prava linija mora rotirati n oko tačke preseka ovih linija u smeru suprotnom od kazaljke na satu dok se ne poklopi sa drugom linijom A. Ako su dvije prave date jednadžbama s nagibom

y = j 1 x + A 1 ,

y = j 2 x + A 2 , (4)

tada je ugao između njih određen formulom

Treba napomenuti da se u brojiocu razlomka nagib prve linije oduzima od nagiba druge linije.

Ako su jednačine prave date u opšti pogled

n 1 x + A 1 y + B 1 = 0,

n 2 x + A 2 y + B 2 = 0, (6)

ugao između njih određen je formulom

4. Uslovi za paralelizam dve prave:

a) Ako su prave date jednadžbama (4) sa ugaonim koeficijentom, tada je neophodan i dovoljan uslov za njihov paralelizam jednakost njihovih ugaonih koeficijenata:

j 1 = j 2 . (8)

b) Za slučaj kada su prave date jednačinama u opštem obliku (6), neophodan i dovoljan uslov za njihov paralelizam je da su koeficijenti za odgovarajuće strujne koordinate u njihovim jednačinama proporcionalni, tj.

5. Uslovi za okomitost dvije prave:

a) U slučaju kada su prave date jednačinama (4) sa ugaonim koeficijentom, neophodan i dovoljan uslov za njihovu okomitost je da koeficijenti nagiba su inverzne veličine i suprotne po predznaku, tj.

Ovaj uslov se takođe može napisati u obliku

j 1 j 2 = -1. (11)

b) Ako su jednadžbe pravih date u opštem obliku (6), onda je uslov za njihovu okomitost (neophodan i dovoljan) da zadovolji jednakost

n 1 n 2 + A 1 A 2 = 0. (12)

6. Koordinate tačke preseka dve prave nalaze se rešavanjem sistema jednačina (6). Prave (6) se sijeku ako i samo ako

1. Napišite jednadžbe pravih koje prolaze kroz tačku M, od kojih je jedna paralelna, a druga okomita na datu pravu l.

UGAO IZMEĐU RAVNI

Razmotrimo dvije ravni α 1 i α 2, definirane jednadžbama:

Ispod ugao između dvije ravni razumjet ćemo jedan od diedarskih uglova koje formiraju ove ravni. Očigledno je da je ugao između vektora normale i ravni α 1 i α 2 jednak jednom od navedenih susednih diedarskih uglova ili . Zato . Jer Najmanji ugao između pravih linija , To

.

Primjer. Odredite ugao između ravnina x+2y-3z+4=0 i 2 x+3y+z+8=0.

Uslov za paralelnost dve ravni.

Dvije ravni α 1 i α 2 su paralelne ako i samo ako su njihovi normalni vektori paralelni, pa stoga .

Dakle, dvije ravni su paralelne jedna s drugom ako i samo ako su koeficijenti odgovarajućih koordinata proporcionalni:

ili

Uslov okomitosti ravnina.

Jasno je da su dvije ravni okomite ako i samo ako su njihovi normalni vektori okomiti, i stoga, ili .

Dakle, .

Primjeri.

PRAVO U PROSTOR.

VEKTORSKA JEDNAČINA ZA PRAVU.

PARAMETRIČKE DIREKTNE JEDNAČINE

Položaj prave u prostoru u potpunosti je određen specificiranjem bilo koje njene fiksne tačke M 1 i vektor paralelan ovoj pravoj.

Poziva se vektor paralelan pravoj vodiči vektor ove linije.

Dakle, neka prava linija ako i samo ako su im odgovarajući koeficijenti proporcionalni, tj. prolazi kroz tačku M 1 (x 1 , y 1 , z 1), koja leži na pravoj paralelnoj vektoru .

Razmotrite proizvoljnu tačku M(x,y,z) na pravoj liniji. Iz slike je jasno da .

Vektori i su kolinearni, tako da postoji takav broj t, šta , gdje je množitelj t može uzeti bilo koju numeričku vrijednost ovisno o poziciji točke Pretpostavljamo da je prava linija definirana tačkom i vektorom smjera: na pravoj liniji. Faktor t naziva parametar. Nakon što smo odredili radijus vektore tačaka M 1 i M odnosno, kroz i , Dobijamo . Ova jednačina se zove vektor jednačina prave linije. To pokazuje da za svaku vrijednost parametra t odgovara radijus vektoru neke tačke M, leži na pravoj liniji.

Zapišimo ovu jednačinu u koordinatnom obliku. Imajte na umu da, i odavde

Rezultirajuće jednačine se nazivaju parametarski jednačine prave linije.

Prilikom promjene parametra t promene koordinata x, y Najmanji ugao između pravih linija z i tačka M kreće se pravolinijski.

KANONIČKE JEDNAČINE DIREKTNE

Neka M 1 (x 1 , y 1 , z 1) – tačka koja leži na pravoj liniji ako i samo ako su im odgovarajući koeficijenti proporcionalni, tj., And je njegov vektor smjera. Uzmimo opet proizvoljnu tačku na pravoj M(x,y,z) i razmotrimo vektor .

Jasno je da su i vektori kolinearni, pa njihove odgovarajuće koordinate moraju biti proporcionalne, dakle,

– kanonski jednačine prave linije.

Napomena 1. Imajte na umu da se kanonske jednačine prave mogu dobiti iz parametarskih eliminacijom parametra t. Zaista, iz parametarskih jednačina dobijamo ili .

Primjer. Zapišite jednačinu prave u parametarskom obliku.

Označimo , odavde x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

Napomena 2. Neka je prava okomita na jednu od koordinatnih osa, na primjer na os Ox. Tada je vektor smjera prave okomit Ox, dakle, m=0. Shodno tome, parametarske jednačine prave će poprimiti oblik

Isključivanje parametra iz jednačina t, dobijamo jednačine prave u obliku

Međutim, i u ovom slučaju pristajemo da formalno zapišemo kanonske jednačine prave u obliku . Dakle, ako je nazivnik jednog od razlomaka nula, to znači da je prava okomita na odgovarajuću koordinatnu osu.

Slično kanonskim jednačinama odgovara pravoj liniji okomitoj na osi Ox Najmanji ugao između pravih linija Oy ili paralelno sa osom Oz.

Primjeri.

OPĆE JEDNAČINE PRAVE KAO PRAVE PRESEKA DVIJE RAVNE

Kroz svaku pravu liniju u svemiru postoji bezbroj ravni. Bilo koja dva od njih, ukrštajući se, definiraju ga u prostoru. Prema tome, jednačine bilo koje dvije takve ravni, razmatrane zajedno, predstavljaju jednačine ove prave.

Općenito, bilo koje dvije neparalelne ravni definirane općim jednačinama

odrediti pravu liniju njihovog preseka. Ove jednačine se nazivaju opšte jednačine direktno.

Primjeri.

Konstruirajte pravu zadanu jednadžbama

Za konstruiranje prave linije dovoljno je pronaći bilo koje dvije njene tačke. Najlakši način je da odaberete tačke preseka linije sa koordinatne ravni. Na primjer, tačka preseka sa ravninom xOy dobijamo iz jednačina prave linije, pod pretpostavkom z= 0:

Nakon što smo riješili ovaj sistem, nalazimo poentu Pretpostavljamo da je prava linija definirana tačkom i vektorom smjera: 1 (1;2;0).

Slično, pod pretpostavkom y= 0, dobijamo tačku preseka prave sa ravninom xOz:

Od opštih jednačina prave linije može se preći na njene kanonske ili parametarske jednačine. Da biste to učinili, morate pronaći neku tačku M 1 na pravoj liniji i vektor smjera prave linije.

Koordinate tačaka M 1 dobijamo iz ovog sistema jednačina, dajući jednoj od koordinata proizvoljnu vrijednost. Da biste pronašli vektor smjera, imajte na umu da ovaj vektor mora biti okomit na oba normalna vektora Najmanji ugao između pravih linija . Dakle, izvan vektora smjera prave linije ako i samo ako su im odgovarajući koeficijenti proporcionalni, tj. možete uzeti vektorski proizvod normalnih vektora:

.

Primjer. Olovo opšte jednačine direktno kanonskom obliku.

Nađimo tačku koja leži na pravoj. Da bismo to učinili, proizvoljno biramo jednu od koordinata, na primjer, y= 0 i riješi sistem jednačina:

Vektori normale ravni koje definiraju pravu imaju koordinate Stoga će vektor smjera biti ravan

. dakle, ako i samo ako su im odgovarajući koeficijenti proporcionalni, tj.: .

UGAO IZMEĐU RAVNIH

Dom između pravih u prostoru nazvat ćemo bilo koji od susjednih uglova formiranih od dvije prave povučene kroz proizvoljnu tačku paralelnu sa podacima.

između pravih u prostoru nazvat ćemo bilo koji od susjednih uglova formiranih od dvije prave povučene kroz proizvoljnu tačku paralelnu sa podacima.

Očigledno, ugao φ između pravih linija može se uzeti kao ugao između njihovih vektora smjera i . Budući da , onda koristeći formulu za kosinus kuta između vektora dobivamo

A. Neka su date dvije prave, kao što je navedeno u poglavlju 1, formiraju različite pozitivne i negativne uglove, koji mogu biti ili oštri ili tupi. Poznavajući jedan od ovih uglova, lako možemo pronaći bilo koji drugi.

Inače, za sve ove uglove numerička vrijednost tangente je ista, razlika može biti samo u predznaku

Jednačine linija. Brojevi su projekcije vektora pravca prve i druge prave. Ugao između ovih vektora jednak je jednom od uglova formiranih pravim linijama. Stoga se problem svodi na određivanje ugla između vektora

Radi jednostavnosti, možemo se složiti da se ugao između dve prave linije shvata kao oštar pozitivni ugao (kao, na primer, na slici 53).

Tada će tangenta ovog ugla uvijek biti pozitivna. Dakle, ako postoji znak minus na desnoj strani formule (1), onda ga moramo odbaciti, tj. sačuvati samo apsolutnu vrijednost.

Primjer. Odredite ugao između pravih linija

Prema formuli (1) imamo

With. Ako se naznači koja je strana ugla njegov početak, a koja kraj, onda, uvijek računajući smjer ugla u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, možemo izdvojiti nešto više iz formule (1). Kao što se lako može vidjeti iz sl. 53, znak dobijen na desnoj strani formule (1) će pokazati kakav ugao - oštar ili tup - formira druga prava linija sa prvom.

(Zaista, sa slike 53 vidimo da je ugao između prvog i drugog vektora pravca ili jednak željenom uglu između pravih linija, ili se od njega razlikuje za ±180°.)

d. Ako su prave paralelne, onda su njihovi vektori pravca paralelni Primjenom uvjeta paralelnosti dva vektora, dobivamo!

Ovo je neophodan i dovoljan uslov za paralelnost dve prave.

Primjer. Direktno

su paralelne jer

e. Ako su linije okomite onda su i njihovi vektori pravca okomiti. Primjenom uvjeta okomitosti dva vektora dobijamo uvjet okomitosti dvije prave, tj.

Primjer. Direktno

su okomite zbog činjenice da

U vezi sa uslovima paralelizma i okomitosti, rešićemo sledeća dva problema.

f. Povucite pravu kroz tačku paralelnu datoj pravoj

Rješenje se izvodi ovako. Pošto je željena prava paralelna ovoj, onda za njen vektor pravca možemo uzeti isti kao i data prava, tj. vektor sa projekcijama A i B. I tada će jednačina željene prave biti zapisana u obrazac (§ 1)

Primjer. Jednačina prave koja prolazi kroz tačku (1; 3) paralelnu sa pravom

biće sledeće!

g. Povucite pravu kroz tačku okomitu na datu pravu

Ovdje više nije prikladno uzeti vektor sa projekcijama A i kao vodeći vektor, već je potrebno uzeti vektor okomit na njega. Projekcije ovog vektora se stoga moraju birati prema uvjetu okomitosti oba vektora, tj. prema uvjetu

Ovaj uslov se može ispuniti na bezbroj načina, jer je ovdje jedna jednačina sa dvije nepoznanice

Primjer. Jednačina prave koja prolazi kroz tačku (-7; 2) u okomitoj liniji

bit će sljedeće (prema drugoj formuli)!

h. U slučaju kada su linije date jednačinama oblika

Bilo bi korisno da svaki učenik koji se priprema za Jedinstveni državni ispit iz matematike ponovi temu „Pronalaženje ugla između pravih“. Kao što pokazuje statistika, prilikom polaganja testa za certifikaciju, zadaci u ovom dijelu stereometrije uzrokuju poteškoće velika količina studenti. Istovremeno, zadaci koji zahtijevaju pronalaženje ugla između pravih nalaze se u Jedinstvenom državnom ispitu iz osnovnih i nivo profila. To znači da bi svi trebali biti u mogućnosti da ih riješe.

Highlights

Postoje 4 vrste u prostoru relativnu poziciju ravno Mogu da se poklapaju, ukrštaju, budu paralelne ili seku. Ugao između njih može biti oštar ili ravan.

Da bi pronašli ugao između linija na Jedinstvenom državnom ispitu ili, na primjer, u rješavanju, školarci u Moskvi i drugim gradovima mogu koristiti nekoliko načina za rješavanje problema u ovom dijelu stereometrije. Zadatak možete izvršiti pomoću klasičnih konstrukcija. Da biste to učinili, vrijedi naučiti osnovne aksiome i teoreme stereometrije. Učenik treba da bude sposoban da logički rasuđuje i kreira crteže kako bi zadatak doveo do planimetrijskog problema.

Također možete koristiti metodu koordinatnog vektora koristeći jednostavne formule, pravila i algoritame. Glavna stvar u ovom slučaju je ispravno izvršiti sve proračune. Usavršite svoje vještine u rješavanju problema u stereometriji i drugim područjima školski kursće vam pomoći edukativni projekat"Shkolkovo".