Zamah sistema. Teorema o promjeni ugaonog momenta materijalne tačke. Šta ćemo sa primljenim materijalom?

Dom

Ulaznica 14

Pitanje 1

Pod fizičkim klatnom se može shvatiti svako tijelo koje pod utjecajem gravitacije čini male oscilacije u odnosu na fiksnu horizontalnu os.

Kako eksperimentalno odrediti položaj težišta tijela složenog oblika u odnosu na osu (udaljenost OS) raspravljalo se u odjeljku „Statika“. Iz izmjerenog perioda oscilovanja ovog tijela može se odrediti njegov moment inercije u odnosu na osu Oz koja prolazi kroz tačku O,

i u odnosu na horizontalnu osu koja prolazi kroz centar mase tijela.

Zanimljivo je znati i sljedeće. Za oscilirajuća fizička tijela, duž nastavka linije koja prolazi kroz os rotacije i težište tijela, postoji tačka koja se zove centar oscilovanja.

Ako je tijelo prisiljeno da oscilira oko ose koja prolazi kroz centar oscilovanja, tada će period oscilovanja ovog tijela biti potpuno isti kao kada oscilira oko ose koja prolazi kroz tačku O.

Centar zamaha (tačka D na slici) nalazi se na nastavku linije OS ispod težišta tijela na udaljenosti koja se obično naziva smanjenom dužinom fizičkog klatna.

Dajmo ovom konceptu sljedeću definiciju.

Smanjena dužina fizičkog klatna znači dužinu matematičkog

Klatno čiji je period oscilovanja jednak periodu oscilovanja fizičkog klatna.

Smanjena dužina klatna može se lako odrediti izjednačavanjem izraza iz kojih

Ciklična frekvencija oscilacija je određena u svakom slučaju.

Pitanje 2

Kinetički moment tačke i sistema u odnosu na centar i osu Razmotrimo sistem materijalnih tačaka sa masama m 1 m 2 ....m n koji imaju trenutno brzina v 1 v 2 .....v n u odnosu na inercijski referentni okvir. Odaberimo proizvoljan centar O (slika 1). Kinetički moment

tačka m j u odnosu na centar O naziva se vektor momenta njenog momenta kretanja u odnosu na ovo središte. K oj =m o (q j)=r j  m j v j

(j=1,2...n) (1) Poznato je da se vektorsko množenje može zapisati kroz pridruženu matricu prvog faktora - radijusa vektora

r.

Izostavljajući indeks j, pišemo matrični izraz u osi xyz sa ishodištem na O: K o =m(2)

Rv Gdje R- koso-simetrična spojena matrica stupaca

= r m

=m (3) ugaoni moment tačke u odnosu na osu . Izračunava se ili analitički koristeći formule (3) ili kao moment sile oko ose. Moment je dat samo tangencijalnom komponentom vektora q(Sl.2).

K Z = + q t h (4)

Moment postaje nula ako vektor zamaha (brzina tačke) leži u istoj ravni sa osom (paralelna ili siječe os)

Kinetički moment sistema u odnosu na centar O naziva se glavni moment količina kretanja tačaka sistema u odnosu na ovaj centar.

K o =SK oj =S K oj =m o (q j)=r j  r j v j(5)

Slično sa formulom (3), projekcije vektora (4) formiraju stupac kinetičkih momenata u odnosu na koordinatne ose

= Sm j (6)

Kinetički moment mehaničkog sistema u odnosu na pol (os) je vektorski (algebarski) zbir momenata količina kretanja svih tačaka sistema u odnosu na isti pol O(ista osa)

() . (3.22)

Ugaoni moment mehaničkog sistema se često naziva glavnim ugaonim momentom sistema, respektivno, u odnosu na pol ili osu.

Ako projektiramo kinetički moment iz (3.22) na pravokutne kartezijanske koordinatne ose, dobićemo projekcije kinetičkog momenta na ove ose ili kinetičke momente u odnosu na koordinatne ose

Ako se sistem materijalnih tačaka kreće translaciono, onda i, posljedično, .

Koristili smo svojstvo kombinabilnosti vektorskog proizvoda u odnosu na skalarni faktor i formulu za određivanje poluprečnika - vektor centra mase (2.4).

Dakle, ugaoni moment sistema u odnosu na pol na kretanje napred jednak je ugaonom momentu sistema u odnosu na ovaj pol, pod uslovom da se impuls sistema primeni na centar mase.

^ Kinetički moment krutog tijela oko ose rotacije

Rice. 18

Neka se kruto tijelo rotira oko fiksne ose ugaonom brzinom (slika 18). Odaberimo proizvoljnu tačku u krutom tijelu i izračunajmo kinetički moment ovog tijela u odnosu na os rotacije. Po definiciji ugaonog momenta sistema u odnosu na osu, imamo

.
Ali kada se tijelo rotira oko ose,

Štaviše, količina kretanja tačke je okomita na segment i nalazi se u ravni koja je okomita na os rotacije. Dakle, ugaoni moment oko ose za tačku

Za cijelo tijelo ,

to je . (3.24)

Kinetički moment rotirajućeg tijela u odnosu na os rotacije jednak je proizvodu ugaone brzine tijela s njegovim momentom inercije u odnosu na os rotacije.

Ulaznica 15

Ulaznica 14

Prema principu mogućih pomaka (osnovna jednačina statike), da bi mehanički sistem na koji su nametnuta idealna, stacionarna, ograničavajuća i holonomska ograničenja bio u ravnoteži, potrebno je i dovoljno da sve generalizovane sile u ovom sistemu biti jednak nuli:

Rv Qj- odgovarajuća generalizovana sila j- o generalizirana koordinata;

s- broj generalizovanih koordinata u mehaničkom sistemu.

Ako su za ispitivani sistem diferencijalne jednadžbe gibanja sastavljene u obliku Lagrangeovih jednačina druge vrste, onda da se odredi moguće odredbe Za ravnotežu, dovoljno je generalizirane sile izjednačiti sa nulom i riješiti rezultirajuće jednačine u odnosu na generalizirane koordinate.

Ako je mehanički sistem u ravnoteži u polju potencijalne sile, onda iz jednačina (1) dobijamo sledećim uslovima ravnoteža:

Dakle, u ravnotežnom položaju potencijalna energija ima ekstremna vrijednost. Ne može se praktično ostvariti svaka ravnoteža određena gornjim formulama. U zavisnosti od ponašanja sistema kada odstupi od ravnotežnog položaja, govori se o stabilnosti ili nestabilnosti ovog položaja.

Ravnoteža mehaničkog sistema, stanje mehaničkog sistema pod uticajem sila, u kojem sve njegove tačke miruju u odnosu na referentni sistem koji se razmatra. Ako je referentni sistem inercijalan (vidi Inercijalni referentni sistem), ravnoteža se naziva apsolutna, inače - relativna. Proučavanje stanja R. m.s. - jedan od glavnih problema statike. Uslovi R. m.s. imaju oblik jednakosti koje povezuju djelujuće sile i parametre koji određuju položaj sistema; broj ovih uslova jednak je broju stepeni slobode sistema. Uslovi relativnosti R. m.s. sastavljaju se na isti način kao i uslovi apsolutne ravnoteže, ako se silama koje djeluju na tačke dodaju odgovarajuće sile prijenosa inercije. Uvjeti ravnoteže za slobodno kruto tijelo sastoje se u jednakosti sa nulom zbira projekcija na tri koordinatne ose Oxyz i zbira momenata u odnosu na ove ose svih sila koje se primenjuju na telo, tj.

Ako su ispunjeni uslovi (1), tijelo će mirovati u odnosu na dati referentni sistem ako su brzine svih njegovih tačaka u odnosu na ovaj sistem u trenutku kada su sile počele djelovati bile jednake nuli. U suprotnom, tijelo će, kada se ispune uslovi (1), izvršiti tzv. kretanje po inerciji, na primjer, kretanje naprijed, ravnomjerno i pravolinijsko. Ako solidan nije slobodna (vidi Mehanička ograničenja), tada su uslovi za njegovu ravnotežu dati onima jednakosti (1) (ili njihovih posljedica) koje ne sadrže reakcije nametnutih ograničenja; preostale jednakosti daju jednačine za određivanje nepoznatih reakcija. Na primjer, za tijelo koje ima fiksnu os rotacije Oz, uslov ravnoteže će biti å m z(F k) = 0; preostale jednakosti (1) služe za određivanje reakcija ležajeva koji pričvršćuju osovinu. Ako je tijelo kruto fiksirano superponiranim vezama, tada sve jednakosti (1) daju jednadžbe za određenu reakciju veza. Problemi ove vrste se često rješavaju u tehnologiji.

Zasnovano na principu očvršćavanja jednakosti (1), ne sadrži reakcije vanjski odnosi, obezbeđuju u isto vreme neophodne (ali nedovoljne) uslove za ravnotežu bilo kog mehaničkog sistema i, posebno, deformabilnog tela. Potrebni i dovoljni uslovi za ravnotežu bilo kog mehaničkog sistema mogu se naći korišćenjem mogućih pomeranja principa. Za sistem koji ima s stepena slobode, ovi uslovi se sastoje u jednakosti na nulu odgovarajućih generalizovanih sila:

P 1= 0, P 2= 0, ×××, Q s= 0. (2)

Od ravnotežnih stanja određenih uslovima (1) i (2), praktično se ostvaruju samo ona koja su stabilna (vidi Stabilnost ravnoteže). U hidrostatici i aerostatici razmatraju se ravnoteže tekućina i plinova.

Ciklična frekvencija oscilacija je određena u svakom slučaju.

Ulaznica 18

za uravnotežen sistem sila, već u skladu sa principom mogućih pomaka, zbir virtuelnog rada sila na svakom mogućem pomeranju sistema mora biti jednak nuli.

Ono što je zapisano može se formulisati na sledeći način.

U svakom trenutku kretanja mehaničkog sistema sa idealnim vezama, zbir virtuelnog rada aktivnih sila i inercijskih sila na bilo koje moguće kretanje sistema je nula.

Ova jednakost se obično naziva

opšta jednačina dinamika ili Lagrange-D'Alembertov princip.

Ciklična frekvencija oscilacija je određena u svakom slučaju.

"princip mogućih pokreta."

Ovaj princip se smatra najvećim opšte stanje ravnoteža ili uniformno kretanje bilo kog mehaničkog sistema. Iz njega možete dobiti sve analitičke uslove za ravnotežu tela pod dejstvom sistema sila, o kojima se govori u odeljku „Statika“.

Princip je formuliran na sljedeći način:

Za ravnotežu mehaničkog sistema sa idealnim vezama potrebno je i dovoljno,

tako da je zbir elementarnih radova aktivnih sila na svako moguće kretanje sistema

bila jednaka nuli.

Da bismo dokazali neophodnost ovog uslova ravnoteže za bilo koji mehanički sistem koji miruje, delimo sile koje deluju na bilo koju tačku sistema na date i reakcione sile veza.

Ulaznica 19

Ulaznica 14

Približna teorija žiroskopa

Žiroskop je tijelo koje ima fiksnu tačku i rotira oko ose materijalne simetrije.

Pretpostavimo da se žiroskop rotira ugaonom brzinom oko sopstvene ose simetrije. U ovom slučaju, kinetički moment

Ovo je jedan od najvažnije karakteristike kada se žiroskop pomera.

U aproksimativnoj teoriji žiroskopa pretpostavlja se da je 1<< и кинетический момент гироскопа равен

Žiroskop sa tri stepena slobode

Žiroskop sa tri stepena slobode je u stanju da se odupre pokušajima promene ose rotacije žiroskopa.

Zamislite žiroskop čija se fiksna tačka poklapa sa centrom mase.

Razmotrimo prvo žiroskop u mirovanju (= 0, L= 0). Ako se na žiroskop primeni sila, onda je očigledno da će žiroskop primiti rotaciono kretanje i pasti (tj. os žiroskopa će se rotirati u ravni crteža).

Uzmite u obzir okretni (brzi) žiroskop. Primjenjujemo silu.

Prema teoremi o promjeni ugaonog momenta

Moment je, dakle, okomit na ravan crteža

Ako se na os žiroskopa primjenjuje sila, tada se os žiroskopa pomiče okomito na djelujuću silu u smjeru momenta.

Ako sila prestane, os rotacije žiroskopa se zaustavlja. ^ Rečeno je da je žiroskop u stanju da se suprotstavi delovanju spoljašnjih sila.

Razmotrimo slučaj regularne precesije.

Postoji žiroskop čiji se centar mase ne poklapa sa fiksnom tačkom.

Na tijelo djeluje sila

recimo O.C. = h, Onda

Napomena:

Pod uticajem gravitacije, os žiroskopa će se rotirati oko vertikalne ose z. Ova pojava se naziva regularna precesija.

Hajde da uvedemo ugaonu brzinu 1 - ovo je ugaona brzina kojom se os žiroskopa rotira oko ose z, naziva se i "ugaona brzina precesije".

Kretanje okretnog vrha je vrlo dobar primjer kretanja žiroskopa.

Žiroskop sa tri stepena slobode ima široku primenu u savremenim sistemima orijentacije (žirokompas, žirohorizont...).

GENERALIZOVANE KOORDINATE

nezavisni parametri qi (i=1, 2, ..., s) bilo koje dimenzije, čiji je broj jednak broju s mehaničkih stupnjeva slobode. sistema i koji jedinstveno određuju poziciju sistema. Zakon kretanja sistema u O.K. je dat jednačinama oblika qi=qi(t), gdje je t vrijeme. OK se koriste pri rješavanju množine. zadatke, posebno kada je sistem podložan vezama koje nameću ograničenja u njegovom kretanju. U ovom slučaju, broj jednačina koje opisuju kretanje sistema je značajno smanjen, u poređenju sa, na primer, jednačinama u Dekartovim koordinatama (vidi LAGRANŽOVE JEDNAČINE U MEHANICI). U sistemima sa beskonačno velikim brojem stepeni slobode (neprekidni mediji, fizička polja), O.K. su posebne funkcije prostornih koordinata i vremena, tzv. potencijali, talasi. funkcije itd.

U mehanici, stupnjevi slobode su skup nezavisnih koordinata pomaka i/ili rotacije koje u potpunosti određuju položaj sistema ili tijela (i zajedno sa njihovim vremenskim derivatima - odgovarajućim brzinama - u potpunosti određuju stanje mehanički sistem ili tijelo – odnosno njegov položaj i kretanje).

Broj stepeni slobode je broj nezavisnih kretanja pri kojima se stanje sistema menja!

dakle, generalizovana sila, koja odgovara i-toj generalizovanoj koordinati, je vrednost jednaka koeficijentu varijacije date generalizovane koordinate u izrazu mogućeg rada sila koje deluju na mehanički sistem.

U opštem slučaju, generalizovana sila je funkcija generalizovanih koordinata, brzina tačaka sistema i vremena. Iz definicije sledi da je generalizovana sila skalarna veličina koja zavisi od generalizovanih koordinata izabranih za dati mehanički sistem. To znači da kada se skup generalizovanih koordinata koje određuju položaj datog sistema promeni, generalizovane sile će se takođe promeniti. Dakle, za disk poluprečnika r i mase m, koji se kotrlja bez klizanja po kosoj ravni (slika 18.8), ili s, koordinata centra mase diska, ili "phi", ugao rotacije disk, može se uzeti kao generalizovane koordinate.

4.1. Generalizovana sila sistema sa jednim stepenom slobode

Za sistem sa jednim stepenom slobode, generalizovana sila koja odgovara generalizovanoj koordinati q, naziva se količina određena formulom

gdje je  q– mali prirast generalizovane koordinate; – zbir elementarnih radova sila sistema na njegovom mogućem kretanju.

Ulaznica 21

Ulaznica 14

Jednačine dvostepenog žiroskopa.

Jednačine dvostepenog žiroskopa se automatski dobijaju iz prethodno dobijenih jednačina žiroskopa sa tri stepena.

određuje kretanje dvostepenog žiroskopa. Druga jednačina opisuje kretanje tijela na koje je postavljen dvostepeni žiroskop.

Ako je (moment inercije) tijela velik, a žiroskopski moment mali, onda se jednadžba (2) možda uopće ne uzima u obzir i može se koristiti samo (1).

Žiroskopski moment:

θ - ugao nutacije

ω 1 - ugaona brzina sopstvene rotacije

ω 2 - brzina precesije

J z - moment inercije

Nutacija je slabo nepravilno kretanje rotirajućeg čvrstog tijela koje prolazi kroz precesiju.

Precesija je pojava u kojoj se os rotirajućeg objekta rotira, na primjer, pod utjecajem vanjskih momenata.

Promatranje precesije je prilično jednostavno. Dovoljno je pokrenuti vrh i pričekati dok ne počne usporavati. U početku je os rotacije vrha okomita. Tada se njegova gornja tačka postepeno spušta i kreće se u divergentnoj spirali. Ovo je precesija ose vrha.

Pravilo Žukovskog: Ako se žiroskopu prenese prisilno precesijsko kretanje, tada nastaje žiroskopski par sila koje teže da os žiroskopa bude paralelna s osi simetrije, te da pravci rotacije postanu identični nakon što se poklope.

Ciklična frekvencija oscilacija je određena u svakom slučaju.

Ako je holonomski mehanički sistem opisan Lagranžijanom ( - generalizovane koordinate, t- vrijeme, tačka označava diferencijaciju u odnosu na vrijeme) i u sistemu djeluju samo potencijalne sile, tada Lagrangeove jednadžbe druge vrste imaju oblik

Rv i = 1, 2, … n (n- broj stepeni slobode mehaničkog sistema). Lagranžijan predstavlja razliku između kinetičke i potencijalne energije sistema.

Ako u sistemu djeluju nepotencijalne sile (na primjer, sile trenja), Lagrangeove jednadžbe druge vrste imaju oblik

gdje je kinetička energija sistema, je generalizirana sila.

U poređenju sa jednadžbama u kartezijanskim koordinatama (vidi, na primjer, Lagrangeovu jednačinu 1. vrste), jednadžbe (3) imaju važnu prednost da je njihov broj jednak broju stupnjeva slobode sistema i ne zavisi od broj stepena slobode sistema va materijalnih čestica ili tela uključenih u sistem; osim toga, kod idealnih veza, sve ranije nepoznate reakcije veza se automatski isključuju iz jednačina (3). L.u. Tip 2, koji pruža vrlo opću i, osim toga, prilično jednostavan metod za rješavanje problema, široko se koristi za proučavanje kretanja različitih tipova. mehanički sistema, posebno u dinamici mehanizama i mašina, u teoriji žiroskop, u teoriji oscilacija itd.

Ulaznica 22

Uzmite u obzir materijalnu tačku M masa m, koji se kreće pod uticajem sile F(Slika 3.1). Zapišimo i konstruirajmo vektor ugaonog momenta (kinetički moment) M0 materijalna tačka u odnosu na centar O:

Slika 3.1

Hajde da razlikujemo izraz za ugaoni moment (kinetički moment k 0) po vremenu:

Jer dr/dt=V, zatim vektorski proizvod V × m∙V(kolinearni vektori V I m∙V) je jednako nuli. U isto vreme d(m∙V)/dt=F prema teoremi o impulsu materijalne tačke. Stoga to dobijamo

dk 0 /dt = r×F, (3.3)

Rv r×F = M 0 (F)– vektor-moment sile F u odnosu na fiksni centar O. Vector k 0⊥ avion ( r, m×V), i vektor M0(F)⊥ avion ( r, F), konačno imamo

dk 0 /dt = M 0 (F). (3.4)

Jednačina (3.4) izražava teoremu o promjeni ugaonog momenta (kutnog momenta) materijalne tačke u odnosu na centar: vremenska derivacija momenta zamaha (kinetičkog momenta) materijalne tačke u odnosu na bilo koji fiksni centar jednaka je momentu sile koja djeluje na tačku u odnosu na isti centar.

Projektovanjem jednakosti (3.4) na ose kartezijanskih koordinata dobijamo

dk x /dt = M x (F);

dk y /dt = M y (F);

dk z /dt = M z (F). (3.5)

Jednačine (3.5) izražavaju teoremu o promjeni ugaonog momenta (kinetičkog momenta) materijalne tačke u odnosu na osu: vremenski izvod momenta zamaha (kinetičkog momenta) materijalne tačke u odnosu na bilo koju fiksnu osu jednak je momentu sile koja deluje na ovu tačku u odnosu na istu osu.

Razmotrimo posljedice koje proizlaze iz teorema (3.4) i (3.5).

Zaključak 1

Razmotrimo slučaj kada je sila F tokom čitavog kretanja tačka prolazi kroz stacionarni centar O(slučaj centralne sile), tj. Kada M 0 (F) = 0. Tada iz teoreme (3.4) slijedi da k 0 = konst, one. u slučaju centralne sile, ugaoni moment (kinetički moment) materijalne tačke u odnosu na centar ove sile ostaje konstantan po veličini i pravcu(Slika 3.2).

Slika 3.2

Od uslova k 0 = konst sledi da je putanja pokretne tačke ravna kriva, čija ravan prolazi kroz centar ove sile.

Zaključak 2

Neka M z (F) = 0, tj. sila prelazi osu z ili paralelno sa njim.

U ovom slučaju, kao što se može vidjeti iz treće jednačine (3.5), k z = konst, one. ako je moment sile koja djeluje na tačku u odnosu na bilo koju fiksnu osu uvijek nula, tada ugaoni moment (kinetički moment) tačke u odnosu na ovu os ostaje konstantan.

Kinetički moment tačke i mehanički sistem

Rice. 3.14

Jedna od dinamičkih karakteristika kretanja materijalne tačke i mehaničkog sistema je kinetički moment ili ugaoni moment.

Za materijalnu tačku, ugaoni moment u odnosu na bilo koji centar O je ugaoni moment tačke u odnosu na ovo središte (slika 3.14),

Kinetički moment materijalne tačke u odnosu na osu je projekcija na ovu osu kinetičkog momenta tačke u odnosu na bilo koji centar na ovoj osi:

Kinetički moment mehaničkog sistema u odnosu na centar O je geometrijski zbir kinetičkih momenata svih tačaka sistema u odnosu na isti centar (slika 3.15):

(3.20)

Kinetički moment se primjenjuje na tačku O, u odnosu na koji se izračunava.

Ako projektiramo (3.20) na ose kartezijanskog koordinatnog sistema, dobićemo projekcije kinetičkog momenta na ove ose, ili kinetičke momente u odnosu na koordinatne ose:

Odredimo kinetički moment tijela u odnosu na njegovu fiksnu os rotacije z(Sl. 3.16).

Prema formulama (3.21) imamo

Ali kada se tijelo rotira ugaonom brzinom w, brzina i količinu kretanja tačke okomito na segment dk i leži u ravni okomitoj na os rotacije Oz, dakle,

Rice. 3.15

Rice. 3.16

Za cijelo tijelo:

Rv Jz– moment inercije u odnosu na osu rotacije.

Prema tome, ugaoni moment krutog tijela u odnosu na os rotacije jednak je proizvodu momenta inercije tijela u odnosu na datu osu i ugaone brzine tijela.

2. Teorema o promjeni ugaonog momenta
mehanički sistem

Kinetički moment sistema u odnosu na stacionarni centar O(Sl. 3.15)

Uzmimo derivaciju s obzirom na vrijeme s lijeve i desne strane ove jednakosti:

(3.22)

Uzmimo to u obzir tada će izraz (3.22) poprimiti oblik

Ili, s obzirom na to

– zbir momenata vanjskih sila u odnosu na centar O, konačno imamo:

(3.23)

Jednakost (3.23) izražava teoremu o promjeni ugaonog momenta.

Teorema o promjeni ugaonog momenta. Vremenski izvod kinetičkog momenta mehaničkog sistema u odnosu na fiksni centar jednak je glavnom momentu spoljnih sila sistema u odnosu na isti centar.

Projicirajući jednakost (3.23) na fiksne ose kartezijanskih koordinata, dobijamo prikaz teoreme u projekcijama na ove ose:

Iz (3.23) slijedi da ako je glavni moment vanjskih sila u odnosu na bilo koji fiksni centar jednak nuli, tada kinetički moment u odnosu na ovaj centar ostaje konstantan, tj. Ako

(3.24)

Ako je zbroj momenata vanjskih sila sistema u odnosu na bilo koju fiksnu osu jednak nuli, tada odgovarajuća projekcija kinetičkog momenta ostaje konstantna,

(3.25)

Tvrdnje (3.24) i (3.25) predstavljaju zakon održanja ugaonog momenta sistema.

Dobijmo teoremu o promjeni kinetičkog momenta sistema odabirom tačke kao tačke pri izračunavanju kinetičkog momenta A, krećući se brzinom u odnosu na inercijski referentni okvir

Kinetički moment sistema u odnosu na tačku A(Sl. 3.17)

Rice. 3.17

jer To

S obzirom na to gdje je brzina centra mase sistema, dobijamo

Izračunajmo vremenski derivat ugaonog momenta

U rezultirajućem izrazu:

Kombinujući drugi i treći termin, i s obzirom na to

konačno dobijamo

Ako se tačka poklapa sa centrom mase sistema C, To i teorema poprima oblik

one. ima isti oblik kao za fiksnu tačku O.

3. Diferencijalna jednačina rotacije krutog tijela
oko fiksne ose

Neka kruto tijelo rotira oko fiksne ose Az(Sl. 3.18) pod uticajem sistema spoljnih sila
Zapišimo jednačinu teoreme o promjeni ugaonog momenta sistema u projekciji na os rotacije:

Rice. 3.18

Za slučaj rotacije krutog tijela oko fiksne ose:

Rv Jz– konstantni moment inercije u odnosu na osu rotacije; w – ugaona brzina.

Uzimajući ovo u obzir, dobijamo:

Ako uvedemo ugao rotacije tijela j, onda, uzimajući u obzir jednakost imamo

(3.26)

Izraz (3.26) je diferencijalna jednadžba za rotaciju krutog tijela oko fiksne ose.

4. Teorema o promjeni ugaonog momenta sistema
u relativnom kretanju u odnosu na centar mase

Za proučavanje mehaničkog sistema biramo fiksni koordinatni sistem Ox 1 y 1 z 1 i pokretna Cxyz sa poreklom u centru mase C, krećući se naprijed (sl. 3.19).

Iz vektorskog trougla:

Rice. 3.19

Diferencirajući ovu jednakost s obzirom na vrijeme, dobijamo

ili

gdje je apsolutna brzina tačke Mk, - apsolutna brzina centra mase WITH,
- relativna brzina tačke Mk, jer

Zamah oko poena O

Zamjenom vrijednosti i , dobijamo

U ovom izrazu: – masa sistema; ;

– kinetički moment sistema u odnosu na centar mase za relativno kretanje u koordinatnom sistemu Sxyz.

Kinetički moment poprima oblik

Teorema o promjeni ugaonog momenta u odnosu na tačku O izgleda kao

Zamijenimo vrijednosti i dobijamo

Hajde da transformišemo ovaj izraz uzimajući u obzir to

ili

Ova formula izražava teoremu o promeni ugaonog momenta sistema u odnosu na centar mase za relativno kretanje sistema u odnosu na koordinatni sistem koji se kreće translaciono sa centrom mase. Formulisan je na isti način kao da je centar mase fiksna tačka.

ugaoni moment

MOMENT KRETANJA (kinetički moment, ugaoni moment, ugaoni moment) je mjera mehaničkog kretanja tijela ili sistema tijela u odnosu na neki centar (tačku) ili osu. Za izračunavanje momenta momenta K materijalne tačke (tijela) vrijede iste formule kao i za izračunavanje momenta sile, ako se vektor sile u njima zamijeni vektorom količine gibanja mv, posebno K0 = . Zbir ugaonog momenta svih tačaka sistema u odnosu na centar (osu) naziva se glavnim ugaonim momentom sistema (kinetički moment) u odnosu na ovaj centar (os). Pri rotacionom kretanju krutog tijela, glavni ugaoni moment u odnosu na osu rotacije z tijela izražava se proizvodom momenta inercije Iz i ugaone brzine? tijela, tj. KZ = Iz?.

Momentum

kinetički moment, jedna od mjera mehaničkog kretanja materijalne tačke ili sistema. Mehaničko kretanje igra posebno važnu ulogu u proučavanju rotacionog kretanja. Kao i kod momenta sile, pravi se razlika između mehaničkog djelovanja u odnosu na centar (tačku) i u odnosu na osu.

Za izračunavanje mehaničke efikasnosti k materijalne tačke u odnosu na centar O ili z os, sve formule date za izračunavanje momenta sile vrijede ako se vektor F zamijeni vektorom momenta mv. Dakle, ko = , gdje je r ≈ radijus vektor pokretne tačke povučen iz centra O, a kz je jednako projekciji vektora ko na osu z koja prolazi kroz tačku O. Promjena M. efikasnosti tačka nastaje pod uticajem momenta mo (F) primenjene sile i određena je teoremom o promeni M. efikasnosti, izraženom jednačinom dko/dt = mo(F). Kada je mo(F) = 0, što je, na primjer, slučaj sa centralnim silama, kretanje tačke podliježe zakonu površine. Ovaj rezultat je važan za nebesku mehaniku, teoriju kretanja umjetnih Zemljinih satelita, svemirskih letjelica itd.

Glavni mehanički koeficijent (ili kinetički moment) mehaničkog sistema u odnosu na centar O ili z os jednak je, respektivno, geometrijskom ili algebarskom zbiru mehaničkog koeficijenta svih tačaka sistema u odnosu na isti centar ili osu , tj. Ko = Skoi, Kz = Skzi. Vektor Ko se može odrediti njegovim projekcijama Kx, Ky, Kz na koordinatne ose. Za tijelo koje rotira oko stacionarne ose z kutnom brzinom w, Kx = ≈ Ixzw, Ky = ≈Iyzw, Kz = Izw, gdje je lz ≈ aksijalni, i Ixz, lyz ≈ centrifugalni momenti inercije. Ako je z osa glavna osa inercije za početak O, tada je Ko = Izw.

Promjena glavne M. efikasnosti sistema nastaje pod utjecajem samo vanjskih sila i zavisi od njihovog glavnog momenta Moe. Ova zavisnost je određena teoremom o promeni glavne M. efikasnosti sistema, izraženom jednačinom dKo/dt = Moe. Slična jednadžba povezuje momente Kz i Mze. Ako je Moe = 0 ili Mze = 0, tada će Ko ili Kz biti konstantne veličine, tj. vrijedi zakon održanja mehaničke efikasnosti (vidi Zakoni očuvanja). Dakle, unutrašnje sile ne mogu da promene efikasnost sistema, ali se efikasnost pojedinih delova sistema ili ugaone brzine pod uticajem ovih sila mogu promeniti. Na primjer, za umjetničkog klizača (ili balerinu) koji se okreće oko vertikalne ose z, vrijednost Kz = Izw će biti konstantna, pošto je praktično Mze = 0. Ali promjenom vrijednosti momenta inercije lz s kretanjem njegovih ruku ili noge, on može promijeniti ugaonu brzinu w. dr. Primjer ispunjenja zakona održanja mehaničke efikasnosti je pojava reaktivnog momenta u motoru sa rotirajućim vratilom (rotorom). Koncept mehaničke dinamike se široko koristi u dinamici krutog tijela, posebno u teoriji žiroskopa.

Dimenzija M. k.d ≈ L2MT-1, mjerne jedinice ≈ kg×m2/sec, g×cm2/sec. MKD također imaju elektromagnetna, gravitacijska i druga fizička polja. Većina elementarnih čestica ima svoju unutrašnju magnetodinamičku efikasnost ≈ spin. MQD je od velikog značaja u kvantnoj mehanici.

Lit. vidi pod čl. Mehanika.

Pogledaj: ovaj članak je pročitan 18006 puta

Pdf Odaberite jezik... Ruski Ukrajinski Engleski

Kratak pregled

Cijeli materijal se preuzima iznad, nakon odabira jezika

Teorema o promjeni ugaonog momenta materijalne tačke

Momentum

Moment impulsa tačke M u odnosu na centar O je vektor usmjeren okomito na ravan koja prolazi kroz vektor momenta i centar O u smjeru iz kojeg je vidljiva rotacija vektora momenta u odnosu na centar O u smjeru suprotnom od kazaljke na satu.

Moment impulsa tačke M u odnosu na osu i jednak je proizvodu projekcije vektora momenta na ravan okomitu na osu na rame ove projekcije u odnosu na tačku O presjeka ose sa ravninom.

Teorema o promjeni ugaonog momenta materijalne tačke u odnosu na centar

Vremenski izvod momenta momenta količine gibanja materijalne tačke u odnosu na neki fiksni centar jednak je geometrijskom zbiru momenata sila koje djeluju na tačku u odnosu na isto središte.

Teorema o promjeni ugaonog momenta materijalne tačke u odnosu na osu

Vremenski izvod momenta momenta momenta materijalne tačke u odnosu na neku fiksnu osu jednak je algebarskom zbiru momenata sila koje deluju na tačku u odnosu na istu osu.

Zakoni održanja ugaonog momenta materijalne tačke

1. Ako linija djelovanja rezultantnih sila primijenjenih na materijalnu tačku uvijek prolazi kroz neki fiksni centar, tada ugaoni moment materijalne tačke ostaje konstantan.
2. Ako je moment rezultantnih sila primijenjenih na materijalnu tačku u odnosu na određenu osu uvijek jednak nuli, tada ugaoni moment materijalne točke u odnosu na istu os ostaje konstantan.

Teorema o promjeni glavnog ugaonog momenta sistema

Kinetički moment

Kinetički moment ili glavni moment količine gibanja mehaničkog sistema u odnosu na centar naziva se vektor jednak geometrijskom zbiru ugaonog momenta svih materijalnih tačaka sistema u odnosu na isti centar.

Kinetički moment ili glavni moment impulsa mehaničkog sistema u odnosu na osu nazovite algebarski zbir momenata količina kretanja svih materijalnih tačaka u odnosu na istu osu

Projekcija kinetičkog momenta mehaničkog sistema u odnosu na centar O na osu koja prolazi kroz ovaj centar jednaka je kinetičkom momentu sistema u odnosu na ovu osu.

Teorema o promjeni glavnog momenta impulsa sistema (u odnosu na centar) - teorema o momentima

Vremenski izvod kinetičkog momenta mehaničkog sistema u odnosu na neki fiksni centar geometrijski je jednak glavnom momentu vanjskih sila koje djeluju na ovaj sistem u odnosu na isti centar

Teorema o promjeni ugaonog momenta mehaničkog sistema (u odnosu na osu)

Vremenski izvod kinetičkog momenta mehaničkog sistema u odnosu na određenu osu jednak je glavnom momentu spoljnih sila u odnosu na istu osu.

Zakoni održanja ugaonog momenta mehaničkog sistema

1. Ako je glavni moment vanjskih sila u odnosu na neki fiksni centar uvijek jednak nuli, tada je kinetički moment mehaničkog sistema u odnosu na ovaj centar konstantna vrijednost.
2. Ako je glavni moment vanjskih sila u odnosu na određenu osu jednak nuli, tada je kinetički moment mehaničkog sistema u odnosu na istu osu konstantna vrijednost.

1. Teorema momenata je od velike važnosti u proučavanju rotacionog kretanja tijela i omogućava da se ne uzimaju u obzir očigledno nepoznate unutrašnje sile.
2. Unutrašnje sile ne mogu promijeniti glavni ugaoni moment sistema.

Moment rotacionog sistema

Za sistem koji rotira oko fiksne ose (ili ose koja prolazi kroz centar mase), ugaoni moment oko ose rotacije jednak je proizvodu momenta inercije oko ove ose i ugaone brzine.

Format: pdf

Jezik: ruski, ukrajinski

Primjer proračuna cilindričnog zupčanika
Primjer izračunavanja cilindričnog zupčanika. Izvršen je izbor materijala, proračun dopuštenih napona, proračun kontaktne i savijajuće čvrstoće.

Primjer rješavanja problema savijanja grede
U primjeru su konstruirani dijagrami poprečnih sila i momenata savijanja, pronađen je opasan presjek i odabran I-greda. U problemu je analizirana konstrukcija dijagrama korištenjem diferencijalnih ovisnosti i izvršena je komparativna analiza različitih poprečnih presjeka grede.

Primjer rješavanja problema torzije osovine
Zadatak je ispitati čvrstoću čelične osovine na datom promjeru, materijalu i dopuštenom naprezanju. U toku rješavanja konstruiraju se dijagrami momenta, posmičnih napona i uglova uvijanja. Vlastita težina osovine se ne uzima u obzir

Primjer rješavanja problema zatezanja-kompresije štapa
Zadatak je ispitati čvrstoću čelične šipke pri određenim dozvoljenim naprezanjima. Prilikom rješavanja konstruiraju se dijagrami uzdužnih sila, normalnih napona i pomaka. Vlastita težina štapa se ne uzima u obzir

Primjena teoreme o održanju kinetičke energije
Primjer rješavanja problema pomoću teoreme o očuvanju kinetičke energije mehaničkog sistema

Određivanje brzine i ubrzanja tačke pomoću datih jednačina kretanja
Primjer rješavanja zadatka za određivanje brzine i ubrzanja tačke pomoću zadanih jednačina kretanja

Određivanje brzina i ubrzanja tačaka krutog tijela tokom ravnoparalelnog kretanja
Primjer rješavanja zadatka za određivanje brzina i ubrzanja tačaka krutog tijela tokom ravnoparalelnog kretanja

Određivanje sila u šipkama ravne rešetke
Primjer rješavanja problema određivanja sila u šipkama ravne rešetke Ritterovom metodom i metodom rezanja čvorova