Kako pronaći tangentu tangentnog ugla. Kako pronaći nagib

Dom

Očuvanje vaše privatnosti nam je važno. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte našu praksu privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

• Koje lične podatke prikupljamo: Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu email

itd.

• Kako koristimo vaše lične podatke:
• Lični podaci koje prikupljamo omogućavaju nam da vas kontaktiramo s jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija. Također možemo koristiti lične podatke za interne svrhe kao što su revizija, analiza podataka i razne studije
• u cilju poboljšanja usluga koje pružamo i pružanja preporuka u vezi sa našim uslugama.

Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim licima

Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.

• Izuzeci: Po potrebi - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, pravnim postupkom, odnosno na osnovu javnog zahtjeva ili zahtjeva vladine agencije
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo na odgovarajuću treću stranu.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima prenosimo standarde privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.

U nastavku teme, jednadžba prave na ravni zasnovana je na proučavanju prave linije iz časova algebre. Ovaj članak daje općenite informacije o temi jednadžbe prave linije s nagibom. Razmotrimo definicije, dobijemo samu jednačinu i identifikujemo vezu sa drugim vrstama jednačina. O svemu će se raspravljati na primjerima rješavanja problema.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Prije pisanja ovakve jednadžbe potrebno je definirati ugao nagiba prave prema osi Ox sa njihovim ugaonim koeficijentom. Pretpostavimo da je dat kartezijanski koordinatni sistem Ox na ravni.

Definicija 1

Ugao nagiba prave linije prema osi Ox, koji se nalazi u Dekartovom koordinatnom sistemu O x y na ravni, ovo je ugao koji se meri od pozitivnog smera O x do prave linije u smeru suprotnom od kazaljke na satu.

Kada je prava paralelna sa O x ili se u njoj poklapa, ugao nagiba je 0. Tada je ugao nagiba date prave α definisan na intervalu [ 0 , π) .

Definicija 2

Direktan nagib je tangenta ugla nagiba date prave linije.

Standardna oznaka je k. Iz definicije nalazimo da je k = t g α . Kada je prava paralelna sa Oh, kažu to nagib ne postoji, jer se okreće u beskonačnost.

Nagib je pozitivan kada se graf funkcije povećava i obrnuto. Na slici su prikazane različite varijacije lokacije pravi ugao u odnosu na koordinatni sistem sa vrijednošću koeficijenta.

Za pronalaženje ovog ugla potrebno je primijeniti definiciju kutnog koeficijenta i izračunati tangens ugla nagiba u ravnini.

Rješenje

Iz uslova imamo da je α = 120°. Po definiciji, nagib se mora izračunati. Nađimo ga iz formule k = t g α = 120 = - 3.

odgovor: k = - 3 .

Ako je ugaoni koeficijent poznat, a potrebno je pronaći ugao nagiba prema osi apscise, tada treba uzeti u obzir vrijednost kutnog koeficijenta. Ako je k > 0, tada je pravi ugao oštar i nalazi se po formuli α = a r c t g k. Ako je k< 0 , тогда угол тупой, что дает право определить его по формуле α = π - a r c t g k .

Primjer 2

Odrediti ugao nagiba date prave na Ox sa ugaonim koeficijentom 3.

Rješenje

Iz uslova imamo da je ugaoni koeficijent pozitivan, što znači da je ugao nagiba prema O x manji od 90 stepeni. Proračuni se vrše pomoću formule α = a r c t g k = a r c t g 3.

Odgovor: α = a r c t g 3 .

Primjer 3

Nađite ugao nagiba prave linije prema O x osi ako je nagib = - 1 3.

Rješenje

Ako uzmemo slovo k kao oznaku kutnog koeficijenta, onda je α ugao nagiba na datu pravu liniju u pozitivnom smjeru O x. Dakle, k = - 1 3< 0 , тогда необходимо применить формулу α = π - a r c t g k При подстановке получим выражение:

α = π - a r c t g - 1 3 = π - a r c t g 1 3 = π - π 6 = 5 π 6.

odgovor: 5 π 6 .

Jednačina oblika y = k x + b, gdje je k nagib, a b neki pravi broj, naziva se jednadžba prave linije sa kutnim koeficijentom. Jednačina je tipična za svaku pravu liniju koja nije paralelna sa O y osom.

Ako detaljno razmotrimo pravu liniju na ravni u fiksnom koordinatnom sistemu, koja je određena jednačinom sa ugaonim koeficijentom koji ima oblik y = k x + b. U ovom slučaju, to znači da jednačina odgovara koordinatama bilo koje tačke na pravoj. Ako koordinate tačke M, M 1 (x 1, y 1) zamenimo u jednačinu y = k x + b, onda će u ovom slučaju prava proći kroz ovu tačku, inače tačka ne pripada pravoj.

Primjer 4

Zadana je prava linija sa nagibom y = 1 3 x - 1. Izračunajte da li tačke M 1 (3, 0) i M 2 (2, - 2) pripadaju datoj pravoj.

Rješenje

Potrebno je zamijeniti koordinate tačke M 1 (3, 0) u datu jednačinu, tada se dobija 0 = 1 3 · 3 - 1 ⇔ 0 = 0. Jednakost je tačna, što znači da tačka pripada pravoj.

Ako zamijenimo koordinate tačke M 2 (2, - 2), onda ćemo dobiti netačnu jednakost oblika - 2 = 1 3 · 2 - 1 ⇔ - 2 = - 1 3. Možemo zaključiti da tačka M 2 ne pripada pravoj.

odgovor: M 1 pripada liniji, ali M 2 ne.

Poznato je da je prava definisana jednačinom y = k · x + b, prolazeći kroz M 1 (0, b), supstitucijom smo dobili jednakost oblika b = k · 0 + b ⇔ b = b. Iz ovoga možemo zaključiti da jednačina prave linije sa ugaonim koeficijentom y = k x + b na ravni definiše pravu liniju koja prolazi kroz tačku 0, b. Formira ugao α sa pozitivnim smerom ose O x, gde je k = t g α.

Razmotrimo, kao primjer, ravnu liniju definiranu korištenjem ugaonog koeficijenta specificiranog u obliku y = 3 x - 1. Dobijamo da će prava prolaziti kroz tačku sa koordinatom 0, - 1 sa nagibom od α = a r c t g 3 = π 3 radijana u pozitivnom smjeru ose O x. Ovo pokazuje da je koeficijent 3.

Jednačina prave linije sa nagibom koja prolazi kroz datu tačku

Potrebno je riješiti zadatak gdje je potrebno dobiti jednačinu prave linije sa datim nagibom koja prolazi kroz tačku M 1 (x 1, y 1).

Jednakost y 1 = k · x + b može se smatrati validnom, jer prava prolazi kroz tačku M 1 (x 1, y 1). Da biste uklonili broj b, trebate oduzeti jednačinu s nagibom s lijeve i desne strane. Iz ovoga slijedi da je y - y 1 = k · (x - x 1) . Ova jednakost se naziva jednačina prave linije sa datim nagibom k, koja prolazi kroz koordinate tačke M 1 (x 1, y 1).

Primjer 5

Napišite jednačinu za pravu liniju koja prolazi kroz tačku M 1 sa koordinatama (4, - 1), sa ugaonim koeficijentom jednakim - 2.

Rješenje

Po uslovu imamo da je x 1 = 4, y 1 = - 1, k = - 2. Odavde će jednačina prave biti zapisana na sljedeći način: y - y 1 = k · (x - x 1) ⇔ y - (- 1) = - 2 · (x - 4) ⇔ y = - 2 x + 7 .

odgovor: y = - 2 x + 7 .

Primjer 6

Napišite jednačinu prave linije sa ugaonim koeficijentom koji prolazi kroz tačku M 1 sa koordinatama (3, 5), paralelno sa pravom linijom y = 2 x - 2.

Rješenje

Pod uslovom imamo da paralelne prave imaju identične uglove nagiba, što znači da su ugaoni koeficijenti jednaki. Da pronađem nagib od zadata jednačina, morate zapamtiti njegovu osnovnu formulu y = 2 x - 2, iz toga slijedi da je k = 2. Sastavljamo jednačinu sa koeficijentom nagiba i dobijamo:

y - y 1 = k (x - x 1) ⇔ y - 5 = 2 (x - 3) ⇔ y = 2 x - 1

odgovor: y = 2 x - 1 .

Prelazak sa pravolinijske jednadžbe sa nagibom na druge vrste pravolinijskih jednačina i nazad

Ova jednadžba nije uvijek primjenjiva za rješavanje problema, jer nije sasvim zgodna za pisanje. Da biste to učinili, morate ga predstaviti u drugom obliku. Na primjer, jednadžba oblika y = k · x + b ne dozvoljava nam da zapišemo koordinate vektora pravca prave ili koordinate vektora normale. Da biste to učinili, morate naučiti predstavljati s jednadžbama drugačijeg tipa.

Možemo dobiti kanonsku jednačinu prave na ravni koristeći jednadžbu prave sa ugaonim koeficijentom. Dobijamo x - x 1 a x = y - y 1 a y . Potrebno je pomjeriti pojam b na lijevu stranu i podijeliti s izrazom rezultirajuće nejednakosti. Tada dobijamo jednačinu oblika y = k · x + b ⇔ y - b = k · x ⇔ k · x k = y - b k ⇔ x 1 = y - b k.

Jednačina prave sa nagibom postala je kanonska jednačina ove prave.

Primjer 7

Dovedite jednadžbu prave linije sa ugaonim koeficijentom y = - 3 x + 12 u kanonski oblik.

Rješenje

Izračunajmo je i predstavimo u obliku kanonske jednadžbe prave linije. Dobijamo jednačinu oblika:

y = - 3 x + 12 ⇔ - 3 x = y - 12 ⇔ - 3 x - 3 = y - 12 - 3 ⇔ x 1 = y - 12 - 3

Odgovor: x 1 = y - 12 - 3.

Opću jednačinu prave je najlakše dobiti iz y = k · x + b, ali za to je potrebno izvršiti transformacije: y = k · x + b ⇔ k · x - y + b = 0. Napravljen je prijelaz iz opšta jednačina prava linija na jednačine drugog tipa.

Primjer 8

Zadata je jednačina pravolinijske forme y = 1 7 x - 2 . Saznajte da li je vektor sa koordinatama a → = (- 1, 7) normalan vektor linije?

Rješenje

Za rješavanje potrebno je prijeći na drugi oblik ove jednadžbe, za to pišemo:

y = 1 7 x - 2 ⇔ 1 7 x - y - 2 = 0

Koeficijenti ispred varijabli su koordinate vektora normale prave. Zapišimo to ovako: n → = 1 7, - 1, dakle 1 7 x - y - 2 = 0. Jasno je da je vektor a → = (- 1, 7) kolinearan vektoru n → = 1 7, - 1, pošto imamo fer odnos a → = - 7 · n →. Iz toga slijedi da je originalni vektor a → = - 1, 7 normalni vektor prave 1 7 x - y - 2 = 0, što znači da se smatra normalnim vektorom za pravu y = 1 7 x - 2.

odgovor: Is

Hajde da riješimo inverzni problem ovog.

Treba se preseliti iz opšti pogled jednačine A x + B y + C = 0, gdje je B ≠ 0, na jednadžbu s nagibom. Da bismo to učinili, rješavamo jednačinu za y. Dobijamo A x + B y + C = 0 ⇔ - A B · x - C B .

Rezultat je jednačina sa nagibom jednakim - A B .

Primjer 9

Zadata je jednačina pravolinijske forme 2 3 x - 4 y + 1 = 0. Dobiti jednačinu date linije sa ugaonim koeficijentom.

Rješenje

Na osnovu uvjeta potrebno je riješiti za y, tada dobijamo jednačinu oblika:

2 3 x - 4 y + 1 = 0 ⇔ 4 y = 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 4 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 6 x + 1 4 .

Odgovor: y = 1 6 x + 1 4 .

Na sličan način rješava se jednačina oblika x a + y b = 1, koja se naziva jednačina prave u segmentima, ili kanonskog tipa x - x 1 a x = y - y 1 a y . Moramo to riješiti za y, tek tada ćemo dobiti jednačinu sa nagibom:

x a + y b = 1 ⇔ y b = 1 - x a ⇔ y = - b a · x + b.

Kanonska jednadžba se može svesti na oblik sa ugaonim koeficijentom. Da biste to učinili:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x · (y - y 1) ⇔ ⇔ a x · y = a y · x - a y · x 1 + a x · y 1 ⇔ y = a y a x · x - a y a x · x 1 + y 1

Primjer 10

Postoji prava linija dato jednačinom x 2 + y - 3 = 1. Svesti na oblik jednačine sa ugaonim koeficijentom.

Rješenje.

Na osnovu uslova potrebno je izvršiti transformaciju, tada se dobija jednačina oblika _formula_. Obje strane jednačine se moraju pomnožiti sa -3 da bi se dobila jednačina traženog nagiba. Transformirajući, dobijamo:

y - 3 = 1 - x 2 ⇔ - 3 · y - 3 = - 3 · 1 - x 2 ⇔ y = 3 2 x - 3 .

odgovor: y = 3 2 x - 3 .

Primjer 11

Reduciramo jednačinu pravolinijske forme x - 2 2 = y + 1 5 na oblik sa ugaonim koeficijentom.

Rješenje

Potrebno je izračunati izraz x - 2 2 = y + 1 5 kao proporciju. Dobijamo da je 5 · (x - 2) = 2 · (y + 1) . Sada ga morate potpuno omogućiti, da biste to učinili:

5 (x - 2) = 2 (y + 1) ⇔ 5 x - 10 = 2 y + 2 ⇔ 2 y = 5 x - 12 ⇔ y = 5 2 x

Odgovor: y = 5 2 x - 6 .

Za rješavanje ovakvih problema, parametarske jednadžbe prave oblika x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ treba svesti na kanonsku jednačinu prave, tek nakon toga se može pristupiti jednadžbi sa koeficijent nagiba.

Primjer 12

Pronađite nagib prave ako je zadan parametarskim jednačinama x = λ y = - 1 + 2 · λ.

Rješenje

Neophodan je prelazak sa parametarskog pogleda na nagib. Da bismo to uradili, nalazimo kanonsku jednačinu iz date parametarske:

x = λ y = - 1 + 2 · λ ⇔ λ = x λ = y + 1 2 ⇔ x 1 = y + 1 2 .

Sada je potrebno riješiti ovu jednakost u odnosu na y da bi se dobila jednačina prave linije sa ugaonim koeficijentom. Da bismo to uradili, napišimo to ovako:

x 1 = y + 1 2 ⇔ 2 x = 1 (y + 1) ⇔ y = 2 x - 1

Iz toga slijedi da je nagib prave 2. Ovo se piše kao k = 2.

odgovor: k = 2.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Tema “Ugaoni koeficijent tangente kao tangenta ugla nagiba” na sertifikacionom ispitu dobija nekoliko zadataka odjednom. U zavisnosti od njihovog stanja, od diplomca se može tražiti da pruži potpun ili kratak odgovor. U pripremi za polaganje Jedinstvenog državnog ispita U matematici učenik svakako treba da ponovi zadatke u kojima je potrebno izračunati ugaoni koeficijent tangente.

To će vam pomoći u tome edukativni portal"Shkolkovo". Naši stručnjaci pripremili su i predstavili teorijski i praktični materijal na najpristupačniji mogući način. Nakon što se upoznaju s njim, diplomci sa bilo kojim nivoom obuke moći će uspješno rješavati probleme vezane za derivacije u kojima je potrebno pronaći tangentu tangentnog ugla.

Highlights

Da bismo na Jedinstvenom državnom ispitu pronašli ispravno i racionalno rješenje takvih zadataka, potrebno je zapamtiti osnovnu definiciju: derivacija predstavlja brzinu promjene funkcije; jednaka je tangenti ugla tangente povučene na graf funkcije u određenoj tački. Jednako je važno završiti crtež. To će vam omogućiti da pronađete ispravna odluka Problemi na objedinjenom državnom ispitu na derivaciji, u kojoj je potrebno izračunati tangentu tangentnog ugla. Radi jasnoće, najbolje je iscrtati graf na OXY ravni.

Ako ste se već upoznali sa osnovnim materijalom na temu derivacija i spremni ste da počnete rješavati zadatke o izračunavanju tangente kuta tangente, kao npr. Zadaci objedinjenog državnog ispita, to možete učiniti na mreži. Za svaki zadatak, na primjer, zadatke na temu “Odnos derivacije sa brzinom i ubrzanjem tijela” zapisali smo tačan odgovor i algoritam rješenja. Istovremeno, studenti mogu uvježbati izvođenje zadataka različitog nivoa složenosti. Ako je potrebno, vježba se može sačuvati u odjeljku „Omiljeni“ tako da kasnije možete razgovarati o rješenju s nastavnikom.

U prethodnom poglavlju je pokazano da, izborom određenog koordinatnog sistema na ravni, možemo analitički izraziti geometrijska svojstva koja karakterišu tačke razmatrane prave jednačinom između trenutnih koordinata. Tako dobijamo jednačinu prave. Ovo poglavlje će se baviti pravolinijskim jednadžbama.

Da biste kreirali jednadžbu za pravu liniju u Dekartovim koordinatama, morate nekako postaviti uslove koji određuju njen položaj u odnosu na koordinatne ose.

Prvo ćemo uvesti pojam ugaonog koeficijenta prave, koji je jedna od veličina koje karakterišu položaj prave na ravni.

Nazovimo ugao nagiba prave prema osi Ox ugao za koji treba zarotirati os Ox tako da se poklopi sa datom linijom (ili je paralelna s njom). Kao i obično, ugao ćemo uzeti u obzir uzimajući u obzir znak (znak je određen smjerom rotacije: suprotno od kazaljke na satu ili u smjeru kazaljke na satu). Budući da će dodatna rotacija ose Ox kroz ugao od 180° ponovo poravnati nju sa pravom linijom, ugao nagiba prave linije prema osi ne može se izabrati jednoznačno (u okviru člana, višekratnik ).

Tangenta ovog ugla određuje se jednoznačno (pošto se promenom ugla ne menja njegova tangenta).

Tangens ugla nagiba prave na os Ox naziva se ugaoni koeficijent prave linije.

Ugaoni koeficijent karakterizira smjer prave (ovdje ne pravimo razliku između dva međusobno suprotna smjera prave linije). Ako je nagib prave nula, tada je prava paralelna sa x-osi. S pozitivnim kutnim koeficijentom, kut nagiba prave linije prema osi Ox bit će oštar (ovdje razmatramo najmanji pozitivna vrijednost ugao nagiba) (Sl. 39); Štaviše, što je veći ugaoni koeficijent, veći je ugao njegovog nagiba prema Ox osi. Ako je kutni koeficijent negativan, tada će ugao nagiba prave linije prema osi Ox biti tup (slika 40). Imajte na umu da prava linija okomita na osu Ox nema ugaoni koeficijent (tangenta ugla ne postoji).

Derivat funkcije je jedna od teških tema školski program. Neće svaki diplomac odgovoriti na pitanje šta je derivat.

Ovaj članak na jednostavan i jasan način objašnjava što je derivat i zašto je potreban.. Nećemo sada težiti matematičkoj strogosti u prezentaciji. Najvažnije je razumjeti značenje.

Prisjetimo se definicije:

Izvod je stopa promjene funkcije.

Na slici su prikazani grafikoni tri funkcije. Šta mislite koji od njih raste brže?

Odgovor je očigledan - treći. Ima najveću stopu promjene, odnosno najveći derivat.

Evo još jednog primjera.

Kostya, Grisha i Matvey dobili su posao u isto vrijeme. Pogledajmo kako su im se prihodi promijenili tokom godine:

Grafikon prikazuje sve odjednom, zar ne? Kostijin prihod se više nego udvostručio za šest mjeseci. I Grišin prihod se također povećao, ali samo malo. A Matveyev prihod pao je na nulu. Početni uslovi su isti, ali brzina promjene funkcije, tj derivat, - drugačije. Što se tiče Matveya, njegov derivat prihoda je općenito negativan.

Intuitivno, lako procjenjujemo brzinu promjene funkcije. Ali kako da ovo uradimo?

Ono što zapravo gledamo je koliko strmo graf funkcije ide nagore (ili naniže). Drugim riječima, koliko brzo se mijenja y kako se mijenja x? Očigledno, ista funkcija u različitim tačkama može imati drugačije značenje derivat – to jest, može se mijenjati brže ili sporije.

Derivat funkcije je označen .

Pokazat ćemo vam kako ga pronaći pomoću grafikona.

Nacrtan je graf neke funkcije. Uzmimo tačku sa apscisom na njoj. Nacrtajmo tangentu na graf funkcije u ovoj tački. Želimo procijeniti koliko strmo grafik funkcije ide gore. Pogodna vrijednost za ovo je tangenta tangentnog ugla.

Derivat funkcije u nekoj tački jednak je tangenti tangentnog ugla nacrtanog na graf funkcije u ovoj tački.

Imajte na umu da kao ugao nagiba tangente uzimamo ugao između tangente i pozitivnog smera ose.

Ponekad učenici pitaju šta je tangenta na graf funkcije. Ovo je prava linija koja ima jednu zajedničku tačku sa grafikom u ovom odeljku, kao što je prikazano na našoj slici. Izgleda kao tangenta na kružnicu.

Hajde da ga nađemo. Sjećamo se da je tangenta oštrog ugla u pravougaonog trougla jednak omjeru suprotne i susjedne strane. Iz trougla:

Izvod smo pronašli koristeći graf, a da nismo ni znali formulu funkcije. Takvi problemi se često nalaze na Jedinstvenom državnom ispitu iz matematike pod brojem.

Postoji još jedan važan odnos. Podsjetimo da je ravna linija data jednadžbom

Količina u ovoj jednačini se zove nagib prave linije. Jednaka je tangenti ugla nagiba prave linije prema osi.

.

Shvatili smo to

Prisjetimo se ove formule. Ona izražava geometrijsko značenje derivat.

Derivat funkcije u tački jednak je nagibu tangente povučene na graf funkcije u toj tački.

Drugim riječima, derivacija je jednaka tangentu ugla tangente.

Već smo rekli da ista funkcija može imati različite izvode u različitim tačkama. Pogledajmo kako je derivacija povezana s ponašanjem funkcije.

Nacrtajmo graf neke funkcije. Neka se ova funkcija povećava u nekim područjima, a smanjuje u drugim, i to različitim brzinama. I neka ova funkcija ima maksimum i minimum bodova.

U jednom trenutku funkcija se povećava. Tangenta na graf nacrtan u tački se formira akutni ugao; sa pozitivnim smjerom ose. To znači da je izvod u tački pozitivan.

U tom trenutku naša funkcija opada. Tangenta u ovoj tački formira tupi ugao; sa pozitivnim smjerom ose. Pošto je tangenta tupog ugla negativna, derivacija u tački je negativna.

Evo šta se dešava:

Ako je funkcija rastuća, njen izvod je pozitivan.

Ako se smanjuje, njegov izvod je negativan.

Šta će se dogoditi na maksimalnim i minimalnim tačkama? Vidimo da je u tačkama (maksimalna tačka) i (tačka minimuma) tangenta horizontalna. Dakle, tangenta tangente u ovim tačkama je nula, a derivacija je takođe nula.

Point - maksimalni poen. U ovom trenutku povećanje funkcije zamjenjuje se smanjenjem. Posljedično, predznak derivacije se mijenja u tački sa “plus” na “minus”.

U tački - minimalnoj tački - derivacija je također nula, ali se njen predznak mijenja iz "minus" u "plus".

Zaključak: pomoću izvoda možemo saznati sve što nas zanima o ponašanju funkcije.

Ako je izvod pozitivan, tada se funkcija povećava.

Ako je izvod negativan, tada se funkcija smanjuje.

U tački maksimuma, izvod je nula i mijenja predznak iz “plus” u “minus”.

U minimalnoj tački, derivacija je također nula i mijenja predznak iz “minus” u “plus”.

Zapišimo ove zaključke u obliku tabele:

Hajde da napravimo dva mala pojašnjenja. Jedan od njih će vam trebati prilikom rješavanja problema. Drugi - na prvoj godini, sa ozbiljnijim proučavanjem funkcija i derivata.

Moguće je da je derivacija funkcije u nekoj tački jednaka nuli, ali funkcija nema ni maksimum ni minimum u ovoj tački. Ovo je tzv :

U tački je tangenta na graf horizontalna, a izvod je nula. Međutim, prije točke funkcija se povećala - a nakon točke nastavlja rasti. Predznak derivacije se ne mijenja - ostaje pozitivan kakav je bio.

Takođe se dešava da u tački maksimuma ili minimuma izvod ne postoji. Na grafikonu to odgovara oštrom prekidu, kada je nemoguće nacrtati tangentu u datoj tački.

Kako pronaći izvod ako funkcija nije data grafom, već formulom? U ovom slučaju se primjenjuje