Kako pronaći najmanju vrijednost funkcije koristeći njen izvod. Najveća i najmanja vrijednost funkcije na segmentu

Neka funkcija y =f(X) je kontinuiran na intervalu [ a, b]. Kao što je poznato, takva funkcija dostiže svoje maksimalne i minimalne vrijednosti na ovom segmentu. Funkcija može uzeti ove vrijednosti ili na unutrašnjoj tački segmenta [ a, b], ili na granici segmenta.

Da biste pronašli najveću i najmanju vrijednost funkcije na segmentu [ a, b] potrebno:

1) pronaći kritične tačke funkcije u intervalu ( a, b);

2) izračunati vrednosti funkcije u pronađenim kritičnim tačkama;

3) izračunati vrijednosti funkcije na krajevima segmenta, odnosno kada x=A i x = b;

4) od svih izračunatih vrijednosti funkcije odaberite najveću i najmanju.

Primjer. Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije

na segmentu.

Pronalaženje kritičnih tačaka:

Ove tačke leže unutar segmenta; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;

u tački x= 3 i u tački x= 0.

Proučavanje funkcije za konveksnost i fleksiju.

Funkcija y = f (x) pozvao konveksup između (a, b) , ako njegov graf leži ispod tangente povučene u bilo kojoj tački ovog intervala, i zove se konveksno prema dolje (konkavno), ako njegov graf leži iznad tangente.

Tačka kroz koju se konveksnost zamjenjuje konkavnošću ili obrnuto naziva se tačka pregiba.

Algoritam za ispitivanje konveksnosti i tačke savijanja:

1. Naći kritične tačke druge vrste, odnosno tačke u kojima je drugi izvod jednak nuli ili ne postoji.

2. Nacrtajte kritične tačke na brojevnoj pravoj, dijeleći je na intervale. Pronađite predznak drugog izvoda na svakom intervalu; ako , onda je funkcija konveksna prema gore, ako, onda je funkcija konveksna prema dolje.

3. Ako se pri prolasku kroz kritičnu tačku druge vrste promijeni predznak i u ovoj tački je druga derivacija jednaka nuli, tada je ova tačka apscisa tačke prevoja. Pronađite njegovu ordinatu.

Asimptote grafa funkcije. Proučavanje funkcije za asimptote.

Definicija. Poziva se asimptota grafa funkcije ravno, koji ima svojstvo da udaljenost od bilo koje tačke na grafu do ove prave teži nuli kako se tačka na grafu neograničeno pomera od početka.

Postoje tri vrste asimptota: vertikalni, horizontalni i nagnuti.

Definicija. Prava linija se zove vertikalna asimptota funkcionalna grafika y = f(x), ako je barem jedna od jednostranih granica funkcije u ovoj tački jednaka beskonačnosti, tj.

gdje je tačka diskontinuiteta funkcije, odnosno ne pripada domenu definicije.

Primjer.

D ( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

x= 2 – tačka prekida.

Definicija. Pravo y =A pozvao horizontalna asimptota funkcionalna grafika y = f(x) u , ako

Primjer.

Definicija. Pravo y =kx +b (k≠ 0) se poziva kosa asimptota funkcionalna grafika y = f(x) u , gdje

Opća shema za proučavanje funkcija i konstruiranje grafova.

Algoritam za istraživanje funkcijay = f(x) :

1. Pronađite domenu funkcije D (y).

2. Pronađite (ako je moguće) tačke preseka grafika sa koordinatnim osa (ako x= 0 i at y = 0).

3. Ispitati parnost i neparnost funkcije ( y (‒ x) = y (x) ‒ paritet; y(‒ x) = ‒ y (x) ‒ neparan).

4. Pronađite asimptote grafa funkcije.

5. Naći intervale monotonosti funkcije.

6. Pronađite ekstreme funkcije.

7. Naći intervale konveksnosti (konkavnosti) i pregibne tačke grafa funkcije.

8. Na osnovu sprovedenog istraživanja konstruisati graf funkcije.

Primjer. Istražite funkciju i konstruirajte njen graf.

1) D (y) =

x= 4 – tačka prekida.

2) Kada x = 0,

(0; ‒ 5) – tačka preseka sa oh.

At y = 0,

3) y(‒ x)= funkcija opšti pogled(ni par ni neparan).

4) Ispitujemo asimptote.

a) vertikalno

b) horizontalno

c) naći kose asimptote gdje

‒jednačina kosih asimptota

5) B zadata jednačina nema potrebe za pronalaženjem intervala monotonosti funkcije.

6)

Ove kritične tačke dijele cijeli domen definicije funkcije na interval (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) i (10; +∞). Dobijene rezultate prikladno je prikazati u obliku sljedeće tabele.

Ponekad u problemima B14 postoje „loše“ funkcije za koje je teško naći izvod. Ranije se to događalo samo na oglednim testovima, ali sada su ovi zadaci toliko uobičajeni da se više ne mogu zanemariti prilikom pripreme za pravi Jedinstveni državni ispit. U ovom slučaju rade druge tehnike, od kojih je jedna monotonija. Definicija Za funkciju f (x) se kaže da je monotono rastuća na segmentu ako za bilo koje tačke x 1 i x 2 ovog segmenta vrijedi: x 1

Definicija. Za funkciju f (x) se kaže da je monotono opadajuća na segmentu ako za bilo koje tačke x 1 i x 2 ovog segmenta vrijedi: x 1 f (x 2). Drugim riječima, za rastuću funkciju, što je veći x, veći je f(x). Za opadajuću funkciju vrijedi suprotno: što je veći x, to je manji f(x).

Primjeri. Logaritam se monotono povećava ako je baza a > 1, a monotono opada ako je 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0) 1, i monotono opada ako je 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> 1, i monotono opada ako je 0 0. f (x) = log a x (a > 0 ; a 1; x > 0)"> 1, i monotono se smanjuje ako je 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)" title="Primjeri . Logaritam ; monotono raste ako je baza a > 1, a monotono opada ako je 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> title="Primjeri. Logaritam se monotono povećava ako je baza a > 1, a monotono opada ako je 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> !}

Primjeri. Eksponencijalna funkcija se ponaša slično logaritmu: povećava se za a > 1 i smanjuje se za 0 0: 1 i smanjuje se na 0 0:"> 1 i smanjuje se na 0 0:"> 1 i smanjuje se na 0 0:" title="Primjeri. Eksponencijalna funkcija se ponaša slično logaritmu: povećava se za a > 1 i smanjuje se za 0 0:"> title="Primjeri. Eksponencijalna funkcija se ponaša slično logaritmu: povećava se za a > 1 i smanjuje se za 0 0:"> !}

0) ili dole (a 0) ili dole (a 9 Koordinate vrha parabole Najčešće se argument funkcije zamjenjuje kvadratnim trinomom oblika. Njegov graf je standardna parabola, u kojoj nas zanimaju grane: Grane parabole mogu ići gore (za a > 0) ili dolje (a 0) ili najveći (a 0) ili dolje (a 0) ili dolje (a 0) ili najveći (a 0) ili dolje (a 0) ili dolje (a title="(! LANG:Koordinate vrha parabole Najčešće se argument funkcije zamjenjuje kvadratnim trinomom oblika. Njegov graf je standardna parabola, u kojoj nas zanimaju grane: Grane parabole mogu ići gore (za a > 0) ili dolje (a

Ne postoji segment u iskazu problema. Stoga, nema potrebe za izračunavanjem f(a) i f(b). Ostaje da razmotrimo samo tačke ekstrema; Ali postoji samo jedna takva tačka - vrh parabole x 0, čije se koordinate izračunavaju doslovno usmeno i bez ikakvih izvoda.

Dakle, rješavanje problema je uvelike pojednostavljeno i svodi se na samo dva koraka: Napišite jednadžbu parabole i pronađite njen vrh koristeći formulu: Pronađite vrijednost originalne funkcije u ovoj tački: f (x 0). Ako ne dodatni uslovi ne, to će biti odgovor.

0. Vrh parabole: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3" title="Pronađi najmanju vrijednost funkcije: Rješenje: Ispod korijena stoji kvadratna funkcija Graf ove funkcije parabole ima grane prema gore, budući da je koeficijent a = 1 > 0. Vrh parabole: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3" class="link_thumb" "> 18 Naći najmanju vrijednost funkcije: Rješenje: Ispod korijena se nalazi kvadratna funkcija Graf ove funkcije je parabola sa granama prema gore, budući da je koeficijent a = 1 > 0. Tem parabole: x 0 = b/. (2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3 0. Vrh parabole: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3"> 0. Vrh parabole: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3"> 0. Vrh parabole: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3" title=" Pronađite najmanju vrijednost Rješenje: Ispod korijena se nalazi kvadratna funkcija. Graf ove funkcije je parabola s granama prema gore, budući da je koeficijent a = 1 > 0. Vrh parabole: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3"> title="Naći najmanju vrijednost funkcije: Rješenje: Ispod korijena se nalazi kvadratna funkcija Graf ove funkcije je parabola sa granama prema gore, budući da je koeficijent a = 1 > 0. Tem parabole: x 0 = b/. (2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3"> !}

Pronađite najmanju vrijednost funkcije: Rješenje Pod logaritmom, kvadratna funkcija je opet granana prema gore, jer a = 1 > 0. Vrh parabole: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1 0. Vrh parabole: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> 0. Vrh parabole: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> 0. Vrh parabole: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1" title=" Pronađite najmanju vrijednost funkcije: Rješenje Pod logaritmom je opet kvadratna funkcija Graf parabole ima grane nagore, jer je a = 1 > 0. Tem parabole: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1). = 2/2 = 1"> title="Pronađite najmanju vrijednost funkcije: Rješenje Pod logaritmom, kvadratna funkcija je opet granana prema gore, jer a = 1 > 0. Vrh parabole: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> !}

Pronađite najveću vrijednost funkcije: Rješenje: Eksponent sadrži kvadratnu funkciju. Prepišimo je u normalnom obliku: Očigledno, graf ove funkcije je parabola, grana se prema dolje (a = 1

Posljedice iz domene funkcije Ponekad za rješavanje problema B14 nije dovoljno jednostavno pronaći vrh parabole. Željena vrijednost može ležati na kraju segmenta, a nikako na tački ekstrema. Ako problem uopće ne navodi segment, gledamo raspon dopuštenih vrijednosti izvorne funkcije. naime:

0 2. Aritmetika Kvadratni korijen postoji samo od nenegativnih brojeva: 3. Imenilac razlomka ne smije biti nula:" title="1. Argument logaritma mora biti pozitivan: y = log a f (x) f (x) > 0 2. Aritmetički kvadratni korijen postoji samo od nenegativnih brojeva: 3. Imenilac razlomka ne smije biti jednak nuli:" class="link_thumb"> 26 !} 1. Argument logaritma mora biti pozitivan: y = log a f (x) f (x) > 0 2. Aritmetički kvadratni korijen postoji samo od nenegativnih brojeva: 3. Nazivnik razlomka ne smije biti nula: 0 2. Aritmetički kvadratni korijen postoji samo od nenegativnih brojeva: 3. Imenilac razlomka ne smije biti jednak nuli: "> 0 2. Aritmetički kvadratni korijen postoji samo od nenegativnih brojeva: 3. Imenilac razlomka ne smije biti jednak nuli: "> 0 2. Aritmetika kvadratni korijen postoji samo od nenegativnih brojeva: 3. Imenitelj razlomka ne smije biti nula:" title="1. argument logaritma mora biti pozitivan: y = log a f (x) f (x) > 0 2. Aritmetički kvadrat korijen postoji samo od nenegativnih brojeva: 3. Imenitelj razlomka ne smije biti jednak nuli:"> title="1. Argument logaritma mora biti pozitivan: y = log a f (x) f (x) > 0 2. Aritmetički kvadratni korijen postoji samo od nenegativnih brojeva: 3. Nazivnik razlomka ne smije biti nula:"> !}

Rješenje Pod korijenom je opet kvadratna funkcija. Njegov graf je paraboličan, ali su grane usmjerene naniže, budući da je a = 1
Sada pronađimo vrh parabole: x 0 = b/(2a) = (2)/(2 · (1)) = 2/(2) = 1 Tačka x 0 = 1 pripada segmentu ODZ i ovo je dobro. Sada izračunavamo vrijednost funkcije u tački x 0, kao i na krajevima ODZ-a: y(3) = y(1) = 0 Dakle, dobili smo brojeve 2 i 0. Od nas se traži da pronađemo najveći broj 2. Odgovor: 2

Imajte na umu: nejednakost je stroga, tako da krajevi ne pripadaju ODZ-u. Ovo razlikuje logaritam od korijena, gdje nam krajevi segmenta dosta odgovaraju. Tražimo vrh parabole: x 0 = b/(2a) = 6/(2 · (1)) = 6/(2) = 3 Tem parabole odgovara ODZ: x 0 = 3 ( 1; Ali pošto nas ne zanimaju krajevi segmenta, izračunavamo vrijednost funkcije samo u tački x 0:

Y min = y(3) = log 0,5 (6 ) = = log 0,5 (18 9 5) = log 0,5 4 = 2 Odgovor: -2

Kako pronaći najveću i najmanju vrijednost funkcije na segmentu?

Za ovo pratimo dobro poznati algoritam:

1 . Pronalaženje ODZ funkcija.

2 . Pronalaženje derivacije funkcije

3 . Izjednačavanje derivacije sa nulom

4 . Pronalazimo intervale u kojima derivacija zadržava predznak i iz njih određujemo intervale povećanja i smanjenja funkcije:

Ako je na intervalu I derivacija funkcije 0" title="f^(prime)(x)>0">, то функция !} povećava u ovom intervalu.

Ako je na intervalu I derivacija funkcije , tada funkcija opada u ovom intervalu.

5 . Mi nalazimo maksimalne i minimalne tačke funkcije.

IN na maksimalnoj tački funkcije, derivacija mijenja predznak iz “+” u “-”.

IN minimalna tačka funkcijederivat mijenja znak iz "-" u "+".

6 . Pronalazimo vrijednost funkcije na krajevima segmenta,

• zatim uspoređujemo vrijednost funkcije na krajevima segmenta i na maksimalnim tačkama, i odaberite najveću od njih ako trebate pronaći najveću vrijednost funkcije
• ili usporedite vrijednost funkcije na krajevima segmenta i na minimalnim tačkama, i odaberite najmanji od njih ako trebate pronaći najmanju vrijednost funkcije

Međutim, ovisno o tome kako se funkcija ponaša na segmentu, ovaj algoritam se može značajno smanjiti.

Razmotrite funkciju . Grafikon ove funkcije izgleda ovako:

Pogledajmo nekoliko primjera rješavanja problema iz Otvori banku zadaci za

1 . Zadatak B15 (br. 26695)

Na segmentu.

1. Funkcija je definirana za sve realne vrijednosti x

Očigledno, ova jednadžba nema rješenja, a izvod je pozitivan za sve vrijednosti x. Posljedično, funkcija raste i poprima najveću vrijednost na desnom kraju intervala, odnosno na x=0.

Odgovor: 5.

2 . Zadatak B15 (br. 26702)

Pronađite najveću vrijednost funkcije na segmentu.

1. ODZ funkcije title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Izvod je jednak nuli na , međutim, u ovim točkama ne mijenja predznak:

Stoga, title="3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} raste i uzima najveću vrijednost na desnom kraju intervala, na .

Da bi bilo jasno zašto derivacija ne mijenja predznak, transformiramo izraz za izvod na sljedeći način:

Title="y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

Odgovor: 5.

3. Zadatak B15 (br. 26708)

Pronađite najmanju vrijednost funkcije na segmentu.

1. ODZ funkcije: title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Postavimo korijene ove jednadžbe na trigonometrijski krug.

Interval sadrži dva broja: i

Postavimo znakove. Da bismo to učinili, određujemo predznak derivacije u tački x=0: . Prilikom prolaska kroz tačke i, derivacija mijenja predznak.

Opišimo promjenu predznaka derivacije funkcije na koordinatnoj liniji:

Očigledno, tačka je minimalna tačka (u kojoj derivacija mijenja predznak iz “-” u “+”), a da biste pronašli najmanju vrijednost funkcije na segmentu, trebate uporediti vrijednosti funkcije na minimalnoj tački i na lijevom kraju segmenta, .

Lekcija na temu "Upotreba izvoda za pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti neprekidne funkcije na intervalu" će ispitati relativno jednostavne probleme pronalaženja najveće i najmanje vrijednosti funkcije na datom intervalu pomoću izvoda .

Tema: Derivat

Lekcija: Korištenje derivacije za pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti neprekidne funkcije u intervalu

U ovoj lekciji ćemo pogledati više jednostavan zadatak, naime, dat će se interval, dat će se kontinuirana funkcija na ovom intervalu. Moramo pronaći najveću i najmanju vrijednost date funkcije na dato između.

br. 32.1 (b). Dato: , . Nacrtajmo graf funkcije (vidi sliku 1).

Rice. 1. Grafikon funkcije.

Poznato je da se ova funkcija povećava na intervalu, što znači da se i povećava na intervalu. To znači da ako pronađete vrijednost funkcije u tačkama i , tada će biti poznate granice promjene ove funkcije, njene najveće i najmanje vrijednosti.

Kada se argument poveća od do 8, funkcija raste od do .

odgovor: ; .

Br. 32.2 (a) Zadato: Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije na datom intervalu.

Nacrtajmo ovu funkciju (vidi sliku 2).

Ako se argument promijeni u intervalu , tada se funkcija povećava sa -2 na 2. Ako se argument povećava od , tada se funkcija smanjuje sa 2 na 0.

Rice. 2. Funkcijski graf.

Nađimo derivat.

, . Ako je , tada i ova vrijednost pripada datom segmentu. Ako onda. Lako je provjeriti da li poprima druge vrijednosti i da li odgovarajuće stacionarne tačke padaju izvan datog segmenta. Uporedimo vrijednosti funkcije na krajevima segmenta i u odabranim tačkama u kojima je derivacija jednaka nuli. Naći ćemo

;

odgovor: ;.

Dakle, odgovor je primljen. U ovom slučaju možete koristiti izvod, ne možete ga koristiti, možete primijeniti svojstva funkcije koja su ranije proučavana. To se ne dešava uvek, korišćenje derivata je jedina metoda koja vam omogućava da rešite takve probleme.

Dato: , . Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije na datom segmentu.

Ako je u prethodnom slučaju bilo moguće bez derivacije - znali smo kako se funkcija ponaša, onda je u ovom slučaju funkcija prilično složena. Stoga je metodologija koju smo spomenuli u prethodnom zadatku u potpunosti primjenjiva.

1. Nađimo derivat. Nađimo kritične tačke, dakle - kritične tačke. Od njih biramo one koji pripadaju ovom segmentu: . Usporedimo vrijednost funkcije u tačkama , , . Za ovo ćemo naći

Ilustrujmo rezultat na slici (vidi sliku 3).

Rice. 3. Granice promjena vrijednosti funkcije

Vidimo da ako se argument promijeni od 0 do 2, funkcija se mijenja u rasponu od -3 do 4. Funkcija se ne mijenja monotono: ona se ili povećava ili smanjuje.

odgovor: ;.

Dakle, koristeći tri primjera, demonstrirana je opća tehnika za pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti funkcije na intervalu, u ovom slučaju na segmentu.

Algoritam za rješavanje problema pronalaženja najveće i najmanje vrijednosti funkcije:

1. Pronađite izvod funkcije.

2. Pronađite kritične tačke funkcije i odaberite one tačke koje se nalaze na datom segmentu.

3. Pronađite vrijednosti funkcije na krajevima segmenta iu odabranim tačkama.

4. Uporedite ove vrijednosti i odaberite najveću i najmanju.

Pogledajmo još jedan primjer.

Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije , .

Prethodno je razmatran graf ove funkcije (vidi sliku 4).

Rice. 4. Grafikon funkcija.

Na intervalu, raspon vrijednosti ove funkcije . Point - maksimalni poen. Kada - funkcija se povećava, kada - funkcija se smanjuje. Iz crteža je jasno da , - ne postoji.

Dakle, u lekciji smo razmatrali problem najveće i najmanje vrijednosti funkcije kada je dati interval segment; formulisao algoritam za rešavanje takvih problema.

1. Algebra i početak analize, 10. ocjena (iz dva dijela). Tutorial za obrazovne institucije (nivo profila) ed. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra i početak analize, 10. ocjena (iz dva dijela). Problematika za obrazovne ustanove (profilni nivo), ur. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra i računica za 10. razred ( tutorial za učenike škola i odeljenja sa dubinska studija matematika).-M.: Obrazovanje, 1996.

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Dubinski studij algebre i matematičke analize.-M.: Obrazovanje, 1997.

5. Zbirka zadataka iz matematike za kandidate za visokoškolske ustanove (priredio M.I. Skanavi - M.: Viša škola, 1992).

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebarski simulator.-K.: A.S.K., 1997.

7. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina algebra i počeci analize. 8-11 razred: Priručnik za škole i odeljenja sa detaljnim proučavanjem matematike (didaktički materijali - M.: Drfa, 2002).

8. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Problemi iz algebre i principi analize (priručnik za učenike 10-11 razreda opšteobrazovnih ustanova - M.: Prosveshchenie, 2003).

9. Karp A.P. Zbirka zadataka iz algebre i principi analize: udžbenik. dodatak za 10-11 razred. sa dubinom studirao Matematika.-M.: Obrazovanje, 2006.

10. Glazer G.I. Istorija matematike u školi. 9-10 razred (priručnik za nastavnike).-M.: Prosveta, 1983

Dodatni web resursi

2. Portal Prirodne nauke ().

Napravite ga kod kuće

br. 46.16, 46.17 (c) (Algebra i počeci analize, 10. razred (iz dva dijela). Zadatak za opšteobrazovne ustanove (profilni nivo) priredio A. G. Mordkovich. - M.: Mnemozina, 2007.)

Proces traženja najmanjih i najvećih vrijednosti funkcije na segmentu podsjeća na fascinantan let oko objekta (graf funkcije) u helikopteru, pucanje na određene točke iz topa velikog dometa i odabir vrlo posebne tačke sa ovih tačaka za kontrolne udarce. Bodovi se biraju na određeni način i prema određenim pravilima. Po kojim pravilima? O tome ćemo dalje razgovarati.

Ako je funkcija y = f(x) je kontinuiran na intervalu [ a, b] , zatim dopire do ovog segmenta najmanje I najviše vrijednosti . Ovo se može dogoditi bilo u ekstremne tačke, ili na krajevima segmenta. Stoga, pronaći najmanje I najveće vrijednosti funkcije , kontinuirano na intervalu [ a, b] , potrebno je izračunati njegove vrijednosti u svemu kritične tačke i na krajevima segmenta, a zatim odaberite najmanji i najveći od njih.

Neka, na primjer, želite odrediti najveću vrijednost funkcije f(x) na segmentu [ a, b] . Da biste to učinili, morate pronaći sve njegove kritične točke koje leže na [ a, b] .

Kritična tačka nazvana tačka u kojoj definirana funkcija, i ona derivat ili jednako nuli ili ne postoji. Zatim treba izračunati vrijednosti funkcije u kritičnim točkama. I na kraju, treba uporediti vrijednosti funkcije u kritičnim točkama i na krajevima segmenta ( f(a) I f(b)). Najveći od ovih brojeva će biti najveća vrijednost funkcije na segmentu [a, b] .

Problemi nalaženja najmanje vrijednosti funkcije .

Zajedno tražimo najmanju i najveću vrijednost funkcije

Primjer 1. Pronađite najmanju i najveću vrijednost funkcije na segmentu [-1, 2] .

Rješenje. Pronađite izvod ove funkcije. Izjednačimo derivaciju sa nulom () i dobijemo dvije kritične točke: i . Da biste pronašli najmanju i najveću vrijednost funkcije na datom segmentu, dovoljno je izračunati njene vrijednosti na krajevima segmenta i u tački, jer tačka ne pripada segmentu [-1, 2]. Ove vrijednosti funkcije su: , , . Iz toga slijedi najmanja vrijednost funkcije(označeno crvenom bojom na donjem grafikonu), jednako -7, postiže se na desnom kraju segmenta - u tački , i najveći(takođe crveno na grafikonu), jednako 9, - u kritičnoj tački.

Ako je funkcija kontinuirana u određenom intervalu i ovaj interval nije segment (ali je, na primjer, interval; razlika između intervala i segmenta: granične točke intervala nisu uključene u interval, već granične točke segmenta su uključene u segment), tada među vrijednostima funkcije možda neće biti najmanja i najveća. Tako, na primjer, funkcija prikazana na donjoj slici je kontinuirana na ]-∞, +∞[ i nema najveću vrijednost.

Međutim, za bilo koji interval (zatvoren, otvoren ili beskonačan) vrijedi sljedeće svojstvo kontinuiranih funkcija.

Primjer 4. Pronađite najmanju i najveću vrijednost funkcije na segmentu [-1, 3] .

Rješenje. Izvod ove funkcije nalazimo kao derivaciju kvocijenta:

.

Izjednačavamo derivaciju sa nulom, što nam daje jednu kritičnu tačku: . Pripada segmentu [-1, 3]. Da bismo pronašli najmanju i najveću vrijednost funkcije na datom segmentu, nalazimo njene vrijednosti na krajevima segmenta i na pronađenoj kritičnoj tački:

Hajde da uporedimo ove vrednosti. Zaključak: jednako -5/13, u tački i najveća vrijednost jednako 1 u tački .

Nastavljamo zajedno tražiti najmanju i najveću vrijednost funkcije

Ima nastavnika koji na temu pronalaženja najmanjih i najvećih vrijednosti funkcije ne daju učenicima za rješavanje primjere koji su složeniji od onih o kojima se upravo raspravljalo, odnosno onih u kojima je funkcija polinom ili razlomak, čiji su brojilac i nazivnik polinomi. Ali nećemo se ograničiti na takve primjere, jer među nastavnicima ima onih koji vole prisiljavati učenike da razmišljaju u potpunosti (tabela izvedenica). Stoga će se koristiti logaritamska i trigonometrijska funkcija.

Primjer 6. Pronađite najmanju i najveću vrijednost funkcije na segmentu .

Rješenje. Izvod ove funkcije nalazimo kao derivat proizvoda :

Derivat izjednačavamo sa nulom, što daje jednu kritičnu tačku: . Pripada segmentu. Da bismo pronašli najmanju i najveću vrijednost funkcije na datom segmentu, nalazimo njene vrijednosti na krajevima segmenta i na pronađenoj kritičnoj tački:

Rezultat svih radnji: funkcija dostigne svoju minimalnu vrijednost, jednako 0, u tački i u tački i najveća vrijednost, jednako e², u tački.

Primjer 7. Pronađite najmanju i najveću vrijednost funkcije na segmentu .

Rješenje. Pronađite izvod ove funkcije:

Izjednačavamo derivaciju sa nulom:

Jedina kritična tačka pripada segmentu. Da bismo pronašli najmanju i najveću vrijednost funkcije na datom segmentu, nalazimo njene vrijednosti na krajevima segmenta i na pronađenoj kritičnoj tački:

zaključak: funkcija dostigne svoju minimalnu vrijednost, jednako , u točki i najveća vrijednost, jednako , u tački .

U primijenjenim ekstremnim problemima, pronalaženje najmanjih (maksimalnih) vrijednosti funkcije, u pravilu se svodi na pronalaženje minimuma (maksimuma). Ali veće praktični interes nemaju same minimume ili maksimume, već one vrijednosti argumenta na kojima su postignuti. Prilikom rješavanja primijenjenih problema javlja se dodatna poteškoća - sastavljanje funkcija koje opisuju pojavu ili proces koji se razmatra.

Primjer 8. Rezervoar kapaciteta 4, koji ima oblik paralelepipeda sa kvadratnom bazom i otvoren na vrhu, mora biti kalajisan. Koje veličine rezervoara treba da bude tako da se za pokrivanje koristi najmanja količina materijala?

Rješenje. Neka x- osnovna strana, h- visina rezervoara, S- njegovu površinu bez pokrova, V- njen volumen. Površina rezervoara se izražava formulom, tj. je funkcija dvije varijable. Da izrazim S kao funkciju jedne varijable, koristimo činjenicu da , odakle . Zamjena pronađenog izraza h u formulu za S:

Hajde da ispitamo ovu funkciju do njenog ekstrema. Definiran je i diferencijabilan svuda u ]0, +∞[ i

.

Izjednačavamo derivaciju sa nulom () i nalazimo kritičnu tačku. Osim toga, kada izvod ne postoji, ali ova vrijednost nije uključena u domenu definicije i stoga ne može biti tačka ekstrema. Dakle, ovo je jedina kritična tačka. Provjerimo prisustvo ekstremuma koristeći drugi dovoljan znak. Nađimo drugi izvod. Kada je drugi izvod veći od nule (). To znači da kada funkcija dostigne minimum . Od ovoga minimum je jedini ekstrem ove funkcije, to je njena najmanja vrijednost. Dakle, strana dna rezervoara treba da bude 2 m, a visina treba da bude .

Primjer 9. Od tačke A nalazi se na željezničkoj pruzi, do tač WITH, koji se nalazi na udaljenosti od njega l, teret mora biti transportovan. Cijena transporta jedinice težine po jedinici udaljenosti željeznicom je jednaka , a autoputem je jednaka . Do koje tačke M linije željeznica treba izgraditi autoput za prevoz tereta A V WITH bio najekonomičniji (odjeljak AB pretpostavlja se da je željeznica ravna)?