Kako pronaći dužinu generatrike formule konusa. Ukupna površina konusa je

Dom

Znamo šta je konus, pokušajmo pronaći njegovu površinu. Zašto trebate riješiti takav problem? Na primjer, trebate razumjeti koliko će tijesta utrošiti na pravljenje korneta za vafle? Ili koliko je cigli potrebno da se napravi krov zamka od cigle?

Mjerenje bočne površine konusa jednostavno se ne može uraditi. Ali zamislimo isti rog umotan u tkaninu. Da biste pronašli površinu komada tkanine, morate ga izrezati i položiti na stol. Rezultat je ravna figura, možemo pronaći njegovu površinu.

Rice. 1. Presjek konusa duž generatrise Uradimo isto sa konusom. Hajde da ga "presečemo". bočna površina

duž bilo koje generatrike, na primjer (vidi sliku 1).

Sada "odmotamo" bočnu površinu na ravan. Dobijamo sektor. Centar ovog sektora je vrh stošca, polumjer sektora jednak je generatrisi stošca, a dužina njegovog luka poklapa se sa obimom osnove stošca. Ovaj sektor se naziva razvoj bočne površine stošca (vidi sliku 2).

Rice. 2. Razvoj bočne površine

Rice. 3. Mjerenje ugla u radijanima

Pokušajmo pronaći područje sektora koristeći dostupne podatke. Prvo, uvedemo notaciju: neka ugao na vrhu sektora bude u radijanima (vidi sliku 3). Često ćemo morati da se nosimo sa uglom na vrhu zahvata u problemima. Za sada, pokušajmo odgovoriti na pitanje: zar ovaj ugao ne može biti veći od 360 stepeni? Odnosno, zar se ne bi ispostavilo da bi se preklapanje sam po sebi preklopio? Naravno da ne. Dokažimo ovo matematički. Pustite da se skeniranje "superponira" samo po sebi. To znači da je dužina luka sweep veća od dužine kruga radijusa. Ali, kao što je već spomenuto, dužina luka zamaha je dužina kruga radijusa. A polumjer baze stošca je, naravno, manji od generatrikse, na primjer, jer je noga pravougaonog trougla

manji od hipotenuze

Zatim se prisjetimo dvije formule iz kursa planimetrije: dužina luka. Područje sektora: . , U našem slučaju ulogu igra generator

a dužina luka jednaka je obimu osnove stošca, tj. imamo:

Konačno dobijamo: . Uz površinu bočne površine, može se pronaći i područje puna površina

. Da biste to učinili, dodajte površinu baze površini bočne površine. Ali baza je krug radijusa, čija je površina prema formuli jednaka . , Konačno imamo:

Rešimo nekoliko zadataka koristeći date formule.

Rice. 4. Potreban ugao

Primjer 1. Razvoj bočne površine stošca je sektor sa uglom na vrhu. Nađite ovaj ugao ako je visina konusa 4 cm, a poluprečnik osnove 3 cm (vidi sliku 4).

Rice. 5. Pravokutni trokut koji formira konus

Prvom radnjom, prema Pitagorinoj teoremi, nalazimo generator: 5 cm (vidi sliku 5). Dalje, znamo to .

Primjer 2. Aksijalna površina poprečnog presjeka konusa je jednaka , visina je jednaka . Pronađite ukupnu površinu (vidi sliku 6).

Evo problema sa čunjevima, stanje se odnosi na njegovu površinu. Konkretno, u nekim problemima se postavlja pitanje promjene površine pri povećanju (smanjenju) visine stošca ili polumjera njegove baze. Teorija za rješavanje problema u . Razmotrimo sljedeće zadatke:

27135. Obim osnove stošca je 3, generatrisa je 2 Nađite površinu bočne površine stošca.

Bočna površina stošca jednaka je:

Zamjena podataka:

75697. Koliko će se puta povećati površina bočne površine stošca ako se njegova generatriksa poveća za 36 puta, a polumjer osnove ostane isti?

Bočna površina konusa:

Generator se povećava 36 puta. Radijus ostaje isti, što znači da se obim baze nije promijenio.

To znači da će bočna površina modificiranog konusa imati oblik:

Tako će se povećati za 36 puta.

*Odnos je jednostavan, tako da se ovaj problem može lako riješiti usmeno.

27137. Koliko će se puta smanjiti površina bočne površine stošca ako se polumjer njegove osnove smanji za 1,5 puta?

Bočna površina stošca jednaka je:

Radijus se smanjuje za 1,5 puta, odnosno:

Utvrđeno je da se bočna površina smanjila za 1,5 puta.

27159. Visina stošca je 6, generatriksa je 10 Nađite površinu njegove ukupne površine podijeljenu sa Pi.

Puna površina konusa:

Morate pronaći radijus:

Visina i generatriksa su poznate, koristeći Pitagorinu teoremu izračunavamo radijus:

ovako:

Podijelite rezultat s Pi i zapišite odgovor.

76299. Ukupna površina stošca je 108. Odsjek je nacrtan paralelno s osnovom stošca, dijeleći visinu na pola. Pronađite ukupnu površinu odsječenog konusa.

Presjek prolazi kroz sredinu visine paralelno s bazom. To znači da će polumjer osnove i generatriksa odsječenog konusa biti 2 puta manji od polumjera i generatrike originalnog konusa. Zapišimo površinu odsječenog konusa:

Trebalo bi da bude 4 puta manje površine površina originala, odnosno 108:4 = 27.

*Budući da su originalni i odrezani konus slična tijela, bilo je moguće koristiti i svojstvo sličnosti:

27167. Poluprečnik osnove stošca je 3, a visina 4. Nađite ukupnu površinu stošca podijeljenu s Pi.

Formula za ukupnu površinu stošca:

Radijus je poznat, potrebno je pronaći generatricu.

Prema Pitagorinoj teoremi:

ovako:

Podijelite rezultat s Pi i zapišite odgovor.

Zadatak. Površina bočne površine stošca je četiri puta veća od površine baze. Odredite koliki je kosinus ugla između generatrise konusa i ravni baze.

Površina osnove stošca je:

Nazad Naprijed

Pažnja! Pregledi slajdova služe samo u informativne svrhe i možda ne predstavljaju sve karakteristike prezentacije. Ako ste zainteresovani za ovaj rad, preuzmite punu verziju.

Vrsta lekcije:čas učenja novog gradiva koristeći elemente problemske razvojne nastavne metode.

Ciljevi lekcije:

• edukativni:
  • upoznavanje sa novim matematički koncept;
  • formiranje novih centara za obuku;
  • formiranje praktičnih vještina rješavanja problema.
• razvijanje:
  • razvoj samostalnog mišljenja učenika;
  • razvoj pravilnih govornih vještina školaraca.
• edukativni:
  • razvijanje vještina timskog rada.

Oprema za nastavu: magnetna tabla, kompjuter, platno, multimedijalni projektor, konusni model, prezentacija lekcije, materijali.

Ciljevi časa (za učenike):

• upoznati se sa novim geometrijskim konceptom - konusom;
• izvući formulu za izračunavanje površine konusa;
• naučiti primijeniti stečeno znanje u rješavanju praktičnih zadataka.

Napredak lekcije

Faza I. Organizacijski.

Vraćanje notesa od kuće testni rad na obrađenu temu.

Učenici su pozvani da kroz rješavanje zagonetke saznaju temu predstojećeg časa (slajd 1):

Slika 1.

Najavljivanje teme i ciljeva časa učenicima (slajd 2).

Faza II. Objašnjenje novog materijala.

1) Predavanje nastavnika.

Na tabli je tablica sa slikom konusa. Novi materijal je objašnjeno uz programski materijal “Stereometrija”. Na ekranu se pojavljuje trodimenzionalna slika konusa. Nastavnik daje definiciju konusa i govori o njegovim elementima. (slajd 3). Kaže se da je konus tijelo nastalo rotacijom pravokutnog trougla u odnosu na nogu. (slajdovi 4, 5). Pojavljuje se slika skeniranja bočne površine konusa. (slajd 6)

2) Praktični rad.

Ažuriraj pozadinsko znanje: ponovite formule za izračunavanje površine kruga, površine sektora, dužine kruga, dužine luka kružnice. (slajdovi 7–10)

Razred je podijeljen u grupe. Svaka grupa dobija skeniranu bočnu površinu konusa isečenog od papira (sektor kruga sa dodeljenim brojem). Učenici vrše potrebna mjerenja i izračunavaju površinu rezultirajućeg sektora. Na ekranu se pojavljuju upute za izvođenje radova, pitanja - iskazi problema (slajdovi 11–14). Predstavnik svake grupe zapisuje rezultate proračuna u tabelu pripremljenu na tabli. Učesnici u svakoj grupi zalijepe jedan model konusa po uzorku koji imaju. (slajd 15)

3) Iskaz i rješenje problema.

Kako izračunati bočnu površinu stošca ako su poznati samo polumjer baze i dužina generatrike stošca? (slajd 16)

Svaka grupa vrši potrebna mjerenja i pokušava da izvede formulu za izračunavanje potrebne površine koristeći dostupne podatke. Prilikom izvođenja ovog rada učenici treba da uoče da je obim osnove konusa jednak dužini luka sektora – razvijenosti bočne površine ovog konusa. (slajdovi 17–21) Koristeći potrebne formule, izvodi se željena formula. Argumenti učenika bi trebali izgledati otprilike ovako:

Radijus zahvatanja sektora je jednak l, stepen mera luka – φ. Površina sektora se izračunava po formuli: dužina luka koji omeđuje ovaj sektor jednaka je polumjeru osnove stošca R. Dužina kruga koji leži u osnovi stošca je C = 2πR . Imajte na umu da pošto je površina bočne površine stošca jednaka površini razvoja njegove bočne površine, tada

Dakle, površina bočne površine konusa izračunava se po formuli S BOD = πRl.

Nakon izračunavanja površine bočne površine konusnog modela pomoću formule koja je nezavisno izvedena, predstavnik svake grupe upisuje rezultat proračuna u tablicu na tabli u skladu s brojevima modela. Rezultati proračuna u svakoj liniji moraju biti jednaki. Na osnovu toga nastavnik utvrđuje tačnost zaključaka svake grupe. Tabela rezultata bi trebala izgledati ovako:

Parametri modela:

1. l=12 cm, φ =120°
2. l=10 cm, φ =150°
3. l=15 cm, φ =120°
4. l=10 cm, φ =170°
5. l=14 cm, φ =110°

Aproksimacija proračuna povezana je s greškama mjerenja.

Nakon provjere rezultata, na ekranu se pojavljuje izlaz formula za površine bočnih i ukupnih površina konusa (slajdovi 22–26), učenici vode bilješke u sveskama.

Faza III. Konsolidacija proučenog materijala.

1) Studenti su ponuđeni zadaci za usmeno rješavanje na gotovim crtežima.

Pronađite površine potpunih površina čunjeva prikazanih na slikama (slajdovi 27–32).

2) Pitanje: Jesu li površine površina čunjeva koje nastaju rotacijom jednog pravokutnog trokuta oko različitih krakova jednake? Učenici postavljaju hipotezu i testiraju je. Hipoteza se provjerava rješavanjem zadataka i zapisuje je učenik na tabli.

Dato:Δ ABC, ∠C=90°, AB=c, AC=b, BC=a;

VAA", AVV" – tijela rotacije.

Nađi: S PPK 1, S PPK 2.

Slika 5. (slajd 33)

Rješenje:

1) R=BC = a; S PPK 1 = S BOD 1 + S glavni 1 = π a c + π a 2 = π a (a + c).

2) R=AC = b; S PPK 2 = S BOD 2 + S baza 2 = π b c+π b 2 = π b (b + c).

Ako je S PPK 1 = S PPK 2, onda a 2 +ac = b 2 + bc, a 2 - b 2 + ac - bc = 0, (a-b)(a+b+c) = 0. Jer a, b, c – pozitivnim brojevima (dužine stranica trokuta), jednakost je istinita samo ako a =b.

zaključak: Površine dva konusa su jednake samo ako su stranice trokuta jednake. (slajd 34)

3) Rješavanje zadatka iz udžbenika: br. 565.

Faza IV. Sumiranje lekcije.

Domaći: st. 55, 56; br. 548, br. 561. (slajd 35)

Objava dodijeljenih ocjena.

Zaključci tokom lekcije, ponavljanje glavnih informacija dobijenih tokom lekcije.

Književnost (slajd 36)

1. Geometrija 10-11 - Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev i dr., M., "Prosveshchenie", 2008.
2. "Matematičke zagonetke i šarade" - N.V. Udalcova, biblioteka „Prvi septembar“, serija „MATEMATIKA“, broj 35, M., Čiste prude, 2010.

Geometrija je grana matematike koja proučava strukture u prostoru i odnose između njih. Zauzvrat, on se također sastoji od odjeljaka, a jedan od njih je stereometrija. Uključuje proučavanje svojstava trodimenzionalnih figura koje se nalaze u prostoru: kocka, piramida, lopta, konus, cilindar itd.

Konus je tijelo u euklidskom prostoru koje je omeđeno konusnom površinom i ravninom na kojoj leže krajevi njegovih generatora. Njegovo formiranje nastaje prilikom rotacije pravouglog trougla oko bilo kojeg njegovog kraka, tako da pripada tijelima rotacije.

Komponente konusa

Razlikovati sledeće vrstečunjevi: kosi (ili nagnuti) i ravni. Kosa je ona čija se osa ne seče sa centrom njene osnove pod pravim uglom. Zbog toga se visina u takvom konusu ne poklapa sa osom, jer je to segment koji je spušten od vrha tijela do ravni njegove osnove pod uglom od 90°.

Konus čija je osa okomita na njegovu osnovu naziva se ravan. Osa i visina u ovome geometrijsko tijelo poklapaju se zbog činjenice da se vrh u njemu nalazi iznad središta prečnika baze.

Konus se sastoji od sljedećih elemenata:

1. Krug koji je njegova osnova.
2. Bočna površina.
3. Tačka koja ne leži u ravni baze, naziva se vrh konusa.
4. Segmenti koji povezuju tačke kružnice osnove geometrijskog tijela i njegovog vrha.

Svi ovi segmenti su generatori konusa. Oni su nagnuti prema osnovici geometrijskog tijela, a u slučaju pravog konusa njihove projekcije su jednake, jer je vrh jednako udaljen od tačaka kružnice baze. Dakle, možemo zaključiti da su u pravilnom (ravnom) konusu generatori jednaki, odnosno da imaju istu dužinu i da formiraju iste uglove sa osom (ili visinom) i bazom.

Budući da je u kosom (ili nagnutom) tijelu rotacije vrh pomjeren u odnosu na središte osnovne ravni, generatrise u takvom tijelu imaju različite dužine i projekcije, budući da se svaka od njih nalazi na na različitim udaljenostima iz bilo koje dvije tačke osnovne kružnice. Osim toga, uglovi između njih i visina konusa također će biti različiti.

Dužina generatrisa u ravnom konusu

Kao što je ranije napisano, visina u desnom geometrijskom tijelu rotacije je okomita na ravan baze. Dakle, generatriksa, visina i polumjer baze stvaraju pravokutni trokut u konusu.

Odnosno, znajući polumjer i visinu baze, koristeći formulu iz Pitagorine teoreme, možete izračunati dužinu generatrike, koja će biti jednaka zbroju kvadrata polumjera baze i visine:

l 2 = r 2 + h 2 ili l = √r 2 + h 2

gdje je l generator;

r - radijus;

h - visina.

Generator u kosom konusu

Na osnovu činjenice da u kosom ili nagnutom konusu generatori nemaju istu dužinu, neće ih biti moguće izračunati bez dodatnih konstrukcija i proračuna.

Prije svega, morate znati visinu, dužinu ose i polumjer baze.

r 1 = √k 2 - h 2

gdje je r 1 dio polumjera između ose i visine;

k - dužina ose;

h - visina.

Kao rezultat zbrajanja polumjera (r) i njegovog dijela koji leži između ose i visine (r 1), možete saznati kompletnu generiranu generatricu stošca, njegovu visinu i dio prečnika:

gdje je R krak trougla kojeg čine visina, generator i dio prečnika baze;

r - poluprečnik osnove;

r 1 - dio polumjera između ose i visine.

Koristeći istu formulu iz Pitagorine teoreme, možete pronaći dužinu generatrise konusa:

l = √h 2 + R 2

ili, bez posebnog izračunavanja R, kombinirajte dvije formule u jednu:

l = √h 2 + (r + r 1) 2.

Bez obzira da li je konus ravan ili kos i koji su ulazni podaci, sve metode za pronalaženje dužine generatrise uvijek se svode na jedan rezultat - korištenje Pitagorine teoreme.

Cone section

Aksijalna je ravan koja prolazi duž svoje ose ili visine. U ravnom konusu takav je presjek jednakokraki trougao, u kojem je visina trougla visina tijela, njegove stranice su generatori, a baza je prečnik baze. U jednakostraničnom geometrijskom tijelu, aksijalni presjek je jednakostranični trokut, jer su u ovom konusu promjer baze i generatora jednaki.

Ravan aksijalnog presjeka u ravnom konusu je ravan njegove simetrije. Razlog tome je što se njegov vrh nalazi iznad središta njegove osnove, odnosno ravan aksijalnog presjeka dijeli konus na dva identična dijela.

Budući da se visina i osa ne poklapaju u nagnutom volumetrijskom tijelu, ravnina osnog presjeka možda ne uključuje visinu. Ako se u takvom konusu može konstruirati mnogo aksijalnih presjeka, budući da za to mora biti ispunjen samo jedan uvjet - mora proći samo kroz osu, tada se može povući samo aksijalni presjek ravni kojoj će pripadati visina ovog konusa , jer se broj uslova povećava, a, kao što je poznato, dvije prave (zajedno) mogu pripadati samo jednoj ravni.

Područje presjeka

Prethodno spomenuti aksijalni presjek konusa je trokut. Na osnovu toga, njegova se površina može izračunati pomoću formule za površinu trokuta:

S = 1/2 * d * h ili S = 1/2 * 2r * h

gdje je S površina poprečnog presjeka;

d - prečnik osnove;

r - radijus;

h - visina.

U kosom ili nagnutom konusu, presjek duž ose je također trokut, pa se površina poprečnog presjeka u njemu izračunava na sličan način.

Volume

Pošto je konus obimna figura u trodimenzionalnom prostoru, tada se može izračunati njegov volumen. Zapremina konusa je broj koji karakterizira ovo tijelo u jedinici zapremine, odnosno u m3. Izračunavanje ne zavisi od toga da li je pravo ili koso (koso), jer se formule za ova dva tipa tela ne razlikuju.

Kao što je ranije rečeno, do formiranja pravog konusa dolazi zbog rotacije pravokutnog trokuta duž jedne od njegovih krakova. Nagnuti ili kosi konus se formira drugačije, jer je njegova visina pomjerena od središta ravnine osnove tijela. Ipak, takve razlike u strukturi ne utiču na metodu izračunavanja njenog volumena.

Proračun zapremine

Bilo koji konus izgleda ovako:

V = 1/3 * π * h * r 2

gdje je V zapremina konusa;

h - visina;

r - radijus;

π je konstanta jednaka 3,14.

Da biste izračunali visinu tijela, morate znati polumjer baze i dužinu njegove generatrikse. Pošto su poluprečnik, visina i generator kombinovani u pravougaoni trokut, visina se može izračunati pomoću formule iz Pitagorine teoreme (a 2 + b 2 = c 2 ili u našem slučaju h 2 + r 2 = l 2, gdje je l je generator). Visina će se izračunati uzimanjem kvadratnog korijena razlike između kvadrata hipotenuze i drugog kraka:

a = √c 2 - b 2

Odnosno, visina konusa bit će jednaka vrijednosti dobivenoj nakon uzimanja kvadratnog korijena razlike između kvadrata dužine generatrike i kvadrata polumjera baze:

h = √l 2 - r 2

Izračunavanjem visine ovom metodom i znajući polumjer njegove baze, možete izračunati volumen konusa. Učitelj svira važnu ulogu, jer služi kao pomoćni element u proračunima.

Slično, ako su poznata visina tijela i dužina njegove generatrikse, može se saznati polumjer njegove baze izdvajanjem kvadratni korijen iz razlike između kvadrata generatora i kvadrata visine:

r = √l 2 - h 2

Zatim, koristeći istu formulu kao gore, izračunajte volumen konusa.

Volumen nagnutog konusa

Budući da je formula za volumen konusa ista za sve vrste tijela rotacije, razlika u njenom proračunu je traženje visine.

Da bi se saznala visina nagnutog konusa, ulazni podaci moraju uključivati ​​dužinu generatrike, polumjer baze i udaljenost između središta baze i presjeka visine tijela sa ravninom. njegove baze. Znajući to, lako možete izračunati dio prečnika baze koji će biti osnova pravokutnog trokuta (formiran od visine, generatriksa i ravni baze). Zatim, ponovo koristeći Pitagorinu teoremu, izračunajte visinu konusa, a potom i njegovu zapreminu.