Kako pronaći 3 korijena od 8. Istraživački rad na temu: "Izvlačenje kvadratnih korijena velikih brojeva bez kalkulatora"

Dom

Pogledajmo ovaj algoritam koristeći primjer. Naći ćemo

1. korak. Broj ispod korijena dijelimo na dvocifrena lica (s desna na lijevo):

2. korak. Uzimamo kvadratni korijen prvog lica, odnosno od broja 65 dobijamo broj 8. Ispod prvog lica upisujemo kvadrat broja 8 i oduzimamo. Drugo lice (59) dodjeljujemo ostatku:

(broj 159 je prvi ostatak).

3. korak. Udvostručimo pronađeni korijen i zapišemo rezultat lijevo:

4. korak. Odvojimo jednu cifru na desnoj strani u ostatku (159), a na lijevoj strani dobijemo broj desetica (jednako je 15). Zatim podijelimo 15 sa dvostrukom prvom cifrom korijena, tj. sa 16, pošto 15 nije djeljivo sa 16, tada je kvocijent nula, koju zapisujemo kao drugu cifru korijena. Dakle, u količniku smo dobili broj 80, koji ponovo udvostručimo i uklonimo sljedeću ivicu

(broj 15.901 je drugi ostatak).

5. korak. U drugom ostatku odvojimo jednu cifru s desne strane i dobijeni broj 1590 podijelimo sa 160. Rezultat (broj 9) zapišemo kao treću cifru korijena i dodamo ga broju 160. Dobijeni broj 1609 pomnožimo sa 9 i pronađite sljedeći ostatak (1420): IN dalje akcije

se izvode redosledom navedenim u algoritmu (korijen se može izdvojiti sa potrebnim stepenom tačnosti).

Komentar. Ako je radikalni izraz decimalni razlomak, tada se cijeli njegov dio dijeli na rubove od dvije znamenke s desna na lijevo, razlomački dio - dvije znamenke s lijeva na desno, a korijen se izdvaja prema navedenom algoritmu.

DIDAKTIČKI MATERIJAL

1. Uzmi kvadratni korijen broja: a) 32; b) 32,45; c) 249,5; d) 0,9511. Da li imate zavisnost od kalkulatora

? Ili mislite da je vrlo teško izračunati, na primjer, osim pomoću kalkulatora ili pomoću tablice kvadrata.

Dešava se da su školarci vezani za kalkulator i čak pomnože 0,7 sa 0,5 pritiskom na drage dugmad. Kažu, ja još znam da računam, ali sad ću uštedjeti vrijeme... Kad dođe ispit... onda ću se naprezati...

Dakle, činjenica je da će već na ispitu biti dosta “stresnih trenutaka”... Kako kažu, voda nosi kamenje. Pa na ispitu te sitnice, ako ih ima puno, mogu upropastiti...

Minimizirajmo broj mogućih problema.

Uzimanje kvadratnog korijena velikog broja

Slučaj 1.

Dakle, po svaku cijenu (na primjer, kada izračunavamo diskriminantu) trebamo izračunati kvadratni korijen od 86436.

Broj 86436 ćemo rastaviti u proste faktore. Podijelimo sa 2, dobićemo 43218; ponovo podijelimo sa 2, dobijamo 21609. Broj ne može biti djeljiv sa 2. Ali pošto je zbir cifara djeljiv sa 3, onda je i sam broj djeljiv sa 3 (općenito govoreći, jasno je da je i on djeljiv sa 9). . Podijelite ponovo sa 3 i dobijamo 2401. 2401 nije potpuno deljivo sa 3. Nije djeljivo sa pet (ne završava se na 0 ili 5).

Sumnjamo na djeljivost sa 7. Zaista, i ,

Dakle, kompletna narudžba!

Slučaj 2.

Hajde da izračunamo. Nezgodno je postupati na isti način kao što je gore opisano. Pokušavamo da faktorizujemo...

Broj 1849 nije djeljiv sa 2 (nije paran)...

Nije potpuno djeljiv sa 3 (zbir cifara nije višekratnik 3)...

Nije potpuno deljiv sa 5 (poslednja cifra nije ni 5 ni 0)…

Nije potpuno djeljiv sa 7, nije djeljiv sa 11, nije djeljiv sa 13... Pa, koliko će nam vremena trebati da sortiramo sve proste brojeve?

Hajde da razmišljamo malo drugačije.

Mi to razumemo

Suzili smo pretragu. Sada prolazimo kroz brojeve od 41 do 49. Štaviše, jasno je da, budući da je zadnja znamenka broja 9, onda se trebamo zaustaviti na opcijama 43 ili 47 - samo će ovi brojevi, kada su stavljeni na kvadrat, dati posljednju cifru 9 .

Pa, ovdje se, naravno, zaustavljamo na 43. Zaista,

P.S. Kako dovraga pomnožimo 0,7 sa 0,5?

Trebali biste pomnožiti 5 sa 7, zanemarujući nule i znakove, a zatim odvojiti, idući s desna na lijevo, dvije decimale. Dobijamo 0,35.

Matematika je nastala kada je čovjek postao svjestan sebe i počeo se pozicionirati kao autonomna jedinica svijeta. Želja da izmjerite, uporedite, prebrojite ono što vas okružuje je ono što je u osnovi jedne od fundamentalnih nauka naših dana. U početku su to bile čestice elementarne matematike, koje su omogućavale povezivanje brojeva sa njihovim fizičkim izrazima, kasnije su zaključci počeli da se iznose samo teoretski (zbog njihove apstraktnosti), ali nakon nekog vremena, kako je rekao jedan naučnik, “ matematika je dostigla gornju granicu složenosti kada su iz nje nestali svi brojevi.” Koncept “kvadratnog korijena” pojavio se u vrijeme kada se mogao lako potkrijepiti empirijskim podacima, nadilazeći ravan proračuna.

Gde je sve počelo

Prvo spominjanje korijena, koji je trenutno označen kao √, zabilježen je u radovima vavilonskih matematičara, koji su postavili temelje moderne aritmetike. Naravno, malo su ličile na sadašnji oblik - naučnici tih godina prvi su koristili glomazne tablete. Ali u drugom milenijumu pr. e. Izveli su približnu formulu izračuna koja je pokazala kako se izvlači kvadratni korijen. Fotografija ispod prikazuje kamen na kojem su babilonski naučnici uklesali proces za izvođenje √2, a ispostavilo se da je toliko tačan da je neslaganje u odgovoru pronađeno tek na desetoj decimali.

Osim toga, korijen se koristio ako je bilo potrebno pronaći stranicu trougla, pod uvjetom da su ostale dvije poznate. Pa, kada se rješavaju kvadratne jednadžbe, nema spasa od vađenja korijena.

Uz babilonska djela, predmet članka proučavan je i u kineskom djelu “Matematika u devet knjiga”, a stari Grci su došli do zaključka da svaki broj iz kojeg se korijen ne može izvući bez ostatka daje iracionalan rezultat .

Porijeklo ovog pojma povezano je s arapskim predstavljanjem broja: drevni naučnici su vjerovali da kvadrat proizvoljnog broja raste iz korijena, poput biljke. Na latinskom, ova riječ zvuči kao radix (možete pratiti uzorak - sve što ima "korijensko" značenje je suglasno, bilo da je rotkvica ili radikulitis).

Naučnici narednih generacija preuzeli su ovu ideju, označivši je kao Rx. Na primjer, u 15. vijeku, da bi naznačili da je uzet kvadratni korijen proizvoljnog broja a, napisali su R 2 a. „Krpelj“, poznat modernim očima, pojavio se tek u 17. veku zahvaljujući Reneu Descartesu.

Naši dani

U matematičkom smislu, kvadratni korijen broja y je broj z čiji je kvadrat jednak y. Drugim riječima, z 2 =y je ekvivalentno √y=z. Međutim ovu definiciju relevantan samo za aritmetički korijen, jer implicira nenegativnu vrijednost izraza. Drugim riječima, √y=z, gdje je z veće ili jednako 0.

Općenito, što se odnosi na određivanje algebarskog korijena, vrijednost izraza može biti pozitivna ili negativna. Dakle, zbog činjenice da je z 2 =y i (-z) 2 =y, imamo: √y=±z ili √y=|z|.

Zbog činjenice da je ljubav prema matematici samo rasla s razvojem nauke, postoje različite manifestacije naklonosti prema njoj koje se ne izražavaju suvim proračunima. Na primjer, uz takve zanimljive pojave kao što je dan broja broja Pi, slave se i praznici kvadratnog korijena. Slave se devet puta svakih sto godina, a određuju ih na sledeći princip: brojevi koji redom označavaju dan i mjesec, moraju biti kvadratni korijen godine. Dakle, sledeći put ćemo ovaj praznik slaviti 4. aprila 2016. godine.

Svojstva kvadratnog korijena na polju R

Skoro sve matematički izrazi imati ispod sebe geometrijske osnove, ova sudbina nije izbjegla √y, koje je definirano kao stranica kvadrata površine y.

Kako pronaći korijen broja?

Postoji nekoliko algoritama proračuna. Najjednostavniji, ali u isto vrijeme prilično glomazan je uobičajeni aritmetički izračun, koji je sljedeći:

1) od broja čiji nam je korijen potreban, redom se oduzimaju neparni brojevi sve dok ostatak na izlazu ne bude manji od oduzetog ili čak jednak nuli. Broj poteza će na kraju postati željeni broj. Na primjer, izračunavanje kvadratnog korijena od 25:

Sljedeći neparni broj je 11, a ostatak je: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

Za takve slučajeve postoji proširenje Taylor serije:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , pri čemu n uzima vrijednosti od 0 do

+∞, i |y|≤1.

Grafički prikaz funkcije z=√y

Razmotrimo elementarnu funkciju z=√y na polju realnih brojeva R, gdje je y veće ili jednako nuli. Njegov raspored izgleda ovako:

Kriva raste iz ishodišta i nužno siječe tačku (1; 1).

Svojstva funkcije z=√y na polju realnih brojeva R

1. Domen definicije funkcije koja se razmatra je interval od nule do plus beskonačnosti (nula je uključena).

2. Raspon vrijednosti funkcije koja se razmatra je interval od nule do plus beskonačnosti (nula je opet uključena).

3. Funkcija uzima svoju minimalnu vrijednost (0) samo u tački (0; 0). Ne postoji maksimalna vrijednost.

4. Funkcija z=√y nije ni parna ni neparna.

5. Funkcija z=√y nije periodična.

6. Postoji samo jedna tačka preseka grafika funkcije z=√y sa koordinatnim osa: (0; 0).

7. Tačka presjeka grafika funkcije z=√y je također nula ove funkcije.

8. Funkcija z=√y kontinuirano raste.

9. Funkcija z=√y uzima samo pozitivne vrijednosti, stoga njen graf zauzima prvi koordinatni ugao.

Opcije za prikaz funkcije z=√y

U matematici, da bi se olakšalo računanje složenih izraza, ponekad se koristi oblik stepena pisanja kvadratnog korijena: √y=y 1/2. Ova opcija je zgodna, na primjer, za podizanje funkcije na stepen: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2. Ova metoda je također dobra reprezentacija za diferencijaciju sa integracijom, jer je zahvaljujući njoj kvadratni korijen predstavljen kao obična funkcija stepena.

A u programiranju, zamjena simbola √ je kombinacija slova sqrt.

Vrijedi napomenuti da je u ovoj oblasti kvadratni korijen u velikoj potražnji, jer je dio većine geometrijskih formula potrebnih za proračune. Sam algoritam brojanja je prilično složen i baziran je na rekurziji (funkcija koja sama sebe poziva).

Kvadratni korijen u kompleksnom polju C

Uglavnom, predmet ovog članka je potaknuo otkriće polja kompleksnih brojeva C, budući da je matematičare proganjalo pitanje dobivanja parnog korijena negativnog broja. Tako se pojavila imaginarna jedinica i, koju karakteriše vrlo zanimljivo svojstvo: njen kvadrat je -1. Zahvaljujući tome, kvadratne jednadžbe su rješavane čak i sa negativnim diskriminantom. U C-u su za kvadratni korijen relevantna ista svojstva kao i u R-u, jedino što su ograničenja na radikalni izraz uklonjena.

Činjenica 1.
\(\bullet\) Uzmimo neki nenegativan broj \(a\) (to jest, \(a\geqslant 0\) ). Zatim (aritmetika) kvadratni korijen iz broja \(a\) se zove takav nenegativan broj \(b\) , kada se kvadrira dobijamo broj \(a\): \[\sqrt a=b\quad \text(isto kao )\quad a=b^2\] Iz definicije proizilazi da \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Ova ograničenja su važan uvjet za postojanje kvadratnog korijena i treba ih zapamtiti!
Podsjetimo da bilo koji broj kada se kvadrira daje nenegativan rezultat. To jest, \(100^2=10000\geqslant 0\) i \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Koliko je \(\sqrt(25)\) jednako? Znamo da su \(5^2=25\) i \((-5)^2=25\) . Pošto po definiciji moramo pronaći nenegativan broj, onda \(-5\) nije prikladan, dakle, \(\sqrt(25)=5\) (pošto \(25=5^2\) ).
Pronalaženje vrijednosti \(\sqrt a\) naziva se uzimanje kvadratnog korijena broja \(a\) , a broj \(a\) naziva se radikalni izraz.
\(\bullet\) Na osnovu definicije, izraza \(\sqrt(-25)\), \(\sqrt(-4)\), itd. nema smisla.

Činjenica 2.
Za brza izračunavanja bit će korisno naučiti tablicu kvadrata prirodnih brojeva od \(1\) do \(20\): \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(array)\]

Činjenica 3.
Koje operacije možete raditi s kvadratnim korijenima?
\(\metak\) Zbir ili razlika kvadratnih korijena NIJE JEDNAKA kvadratnom korijenu zbira ili razlike, tj. \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Dakle, ako trebate izračunati, na primjer, \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , tada prvo morate pronaći vrijednosti \(\sqrt(25)\) i \(\ sqrt(49)\ ), a zatim ih presavijte. dakle, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Ako se vrijednosti \(\sqrt a\) ili \(\sqrt b\) ne mogu pronaći pri sabiranju \(\sqrt a+\sqrt b\), onda se takav izraz ne transformira dalje i ostaje takav kakav jeste. Na primjer, u zbiru \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) možemo pronaći \(\sqrt(49)\) je \(7\) , ali \(\sqrt 2\) se ne može transformirati u u svakom slučaju, zato \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Nažalost, ovaj izraz se ne može dalje pojednostaviti\(\bullet\) Proizvod/količnik kvadratnog korijena jednak je kvadratnom korijenu proizvoda/količnika, tj. \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (pod uslovom da obe strane jednakosti imaju smisla)
primjer: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\).
\(\bullet\) Koristeći ova svojstva, zgodno je pronaći kvadratne korijene velikih brojeva rastavljanjem na faktore.
Pogledajmo primjer. Nađimo \(\sqrt(44100)\) . Budući da \(44100:100=441\) , onda \(44100=100\cdot 441\) . Prema kriteriju djeljivosti, broj \(441\) je djeljiv sa \(9\) (pošto je zbir njegovih znamenki 9 i djeljiv je sa 9), dakle, \(441:9=49\), odnosno \(441=9\ cdot 49\) . Tako smo dobili:\[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Pogledajmo još jedan primjer:
\[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\] \ \(\bullet\) Pokažimo kako unositi brojeve ispod predznaka kvadratnog korijena na primjeru izraza \(5\sqrt2\) (kratka oznaka za izraz \(5\cdot \sqrt2\)). Budući da je \(5=\sqrt(25)\) , onda
Imajte na umu da npr.
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)

Zašto je to tako? Hajde da objasnimo koristeći primer 1). Kao što već razumijete, ne možemo nekako transformirati broj \(\sqrt2\). Zamislimo da je \(\sqrt2\) neki broj \(a\) . Prema tome, izraz \(\sqrt2+3\sqrt2\) nije ništa više od \(a+3a\) (jedan broj \(a\) plus još tri ista broja \(a\)). A znamo da je ovo jednako četiri takva broja \(a\) , odnosno \(4\sqrt2\) .

Činjenica 4.
\(\bullet\) Često kažu "ne možete izdvojiti korijen" kada se ne možete riješiti znaka \(\sqrt () \ \) korijena (radikala) prilikom pronalaženja vrijednosti broja . Na primjer, možete uzeti korijen broja \(16\) jer \(16=4^2\) , dakle \(\sqrt(16)=4\) . Ali nemoguće je izdvojiti korijen broja \(3\), odnosno pronaći \(\sqrt3\), jer ne postoji broj koji bi na kvadrat dao \(3\) .
Takvi brojevi (ili izrazi s takvim brojevima) su iracionalni. Na primjer, brojevi \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) itd. su iracionalni.
Iracionalni su i brojevi \(\pi\) (broj "pi", približno jednak \(3,14\)), \(e\) (ovaj broj se zove Eulerov broj, približno je jednak \(2,7\) \)) itd.
\(\bullet\) Imajte na umu da će bilo koji broj biti racionalan ili iracionalan. I zajedno svi racionalni i svi iracionalni brojevi čine skup tzv skup realnih brojeva. Ovaj skup je označen slovom \(\mathbb(R)\) .
To znači da se svi brojevi koje trenutno poznajemo nazivaju realnim brojevima.

Činjenica 5.
\(\bullet\) Modul realnog broja \(a\) je nenegativan broj \(|a|\) jednak udaljenosti od tačke \(a\) do \(0\) na prava linija. Na primjer, \(|3|\) i \(|-3|\) su jednaki 3, jer su udaljenosti od tačaka \(3\) i \(-3\) do \(0\) jednake isto i jednako \(3 \) .
\(\bullet\) Ako je \(a\) nenegativan broj, onda \(|a|=a\) .
Primjer: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) .
\(\bullet\) Ako je \(a\) negativan broj, onda \(|a|=-a\) . Primjer: \(|-5|=-(-5)=5\) ;.
\(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\)
Kažu da za negativne brojeve modul „jede“ minus, dok pozitivni brojevi, kao i broj \(0\), ostaju nepromijenjeni modulom. Ovo pravilo vrijedi samo za brojeve. Ako se ispod vašeg predznaka modula nalazi nepoznato \(x\) (ili neka druga nepoznata), na primjer, \(|x|\) , za koju ne znamo da li je pozitivan, nula ili negativan, onda se riješite modula ne možemo. U ovom slučaju, ovaj izraz ostaje isti: \(|x|\) . \(\bullet\) Važe sljedeće formule: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\]\[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( osiguran) a\geqslant 0\]
Vrlo često se pravi sljedeća greška: kažu da su \(\sqrt(a^2)\) i \((\sqrt a)^2\) jedno te isto. Ovo je tačno samo ako je \(a\) pozitivan broj ili nula. Ali ako je \(a\) negativan broj, onda je ovo netačno. Dovoljno je razmotriti ovaj primjer. Uzmimo umjesto \(a\) broj \(-1\) . Tada \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , ali izraz \((\sqrt (-1))^2\) uopće ne postoji (na kraju krajeva, nemoguće je koristiti korijenski znak stavite negativne brojeve!). Stoga vam skrećemo pažnju na činjenicu da \(\sqrt(a^2)\) nije jednako \((\sqrt a)^2\) ! Primjer: 1)\(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\)<0\) ;

, jer \(-\sqrt2 \(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) .
\(\bullet\) Pošto je \(\sqrt(a^2)=|a|\) , onda je \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\]
(izraz \(2n\) označava paran broj)
To jest, kada se izvuče korijen broja koji je u određenom stepenu, ovaj stepen se prepolovi.
primjer:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)

2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (imajte na umu da ako modul nije isporučen, ispada da je korijen broja jednak \(-25\ ) , ali se sećamo da se po definiciji korena to ne može desiti: kada izvlačimo koren, uvek treba da dobijemo pozitivan broj ili nulu)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (pošto bilo koji broj na paran stepen nije negativan)
Činjenica 6.<\sqrt b\) , то \(a(izraz \(2n\) označava paran broj)
Kako uporediti dva kvadratna korijena? \(\bullet\) Za kvadratne korijene vrijedi: if \(\sqrt a 1) uporedi \(\sqrt(50)\) i \(6\sqrt2\) . Prvo, transformirajmo drugi izraz u<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
\(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\)
. Dakle, pošto \(50<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
2) Između kojih cijelih brojeva se nalazi \(\sqrt(50)\)? Budući da \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) i \(49 3) Uporedimo \(\sqrt 2-1\) i \(0.5\) . Pretpostavimo da je \(\sqrt2-1>0.5\) :<0,5\) .
Imajte na umu da dodavanje određenog broja na obje strane nejednakosti ne utječe na njen predznak. Množenje/dijeljenje obje strane nejednakosti pozitivnim brojem također ne utiče na njen predznak, ali množenje/dijeljenje negativnim brojem obrće predznak nejednakosti!
Možete kvadrirati obje strane jednačine/nejednačine SAMO AKO obje strane nisu negativne. Na primjer, u nejednakosti iz prethodnog primjera možete kvadrirati obje strane, u nejednakosti \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Treba to zapamtiti \[\početak(poravnano) &\sqrt 2\približno 1,4\\ &\sqrt 3\približno 1,7 \end(poravnano)\] Poznavanje približnog značenja ovih brojeva pomoći će vam kada upoređujete brojeve!
\(\bullet\) Da biste izdvojili korijen (ako se može izvući) iz nekog velikog broja kojeg nema u tabeli kvadrata, prvo morate odrediti između kojih se „stotina“ nalazi, zatim – između kojih „ desetice”, a zatim odredite posljednju cifru ovog broja. Pokažimo kako to funkcionira na primjeru.
Uzmimo \(\sqrt(28224)\) . Znamo da \(100^2=10\,000\), \(200^2=40\,000\), itd. Imajte na umu da je \(28224\) između \(10\,000\) i \(40\,000\) . Stoga je \(\sqrt(28224)\) između \(100\) i \(200\) .
Sada odredimo između kojih se "desetica" nalazi naš broj (to je, na primjer, između \(120\) i \(130\)). Također iz tabele kvadrata znamo da \(11^2=121\) , \(12^2=144\) itd., zatim \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ) . Dakle, vidimo da je \(28224\) između \(160^2\) i \(170^2\) . Stoga je broj \(\sqrt(28224)\) između \(160\) i \(170\) .
Pokušajmo odrediti posljednju cifru. Prisjetimo se koji jednocifreni brojevi, kada su stavljeni na kvadrat, daju \(4\) na kraju? To su \(2^2\) i \(8^2\) . Prema tome, \(\sqrt(28224)\) će se završiti sa 2 ili 8. Provjerimo ovo. Nađimo \(162^2\) i \(168^2\):
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .

Da biste adekvatno riješili Jedinstveni državni ispit iz matematike, prvo morate proučiti teorijski materijal koji vas upoznaje sa brojnim teoremama, formulama, algoritmima itd. Na prvi pogled može izgledati da je to prilično jednostavno. Međutim, pronalaženje izvora u kojem je teorija za Jedinstveni državni ispit iz matematike predstavljena na jednostavan i razumljiv način za studente bilo kojeg nivoa obuke, zapravo je prilično težak zadatak. Školski udžbenici ne mogu uvijek biti pri ruci. A pronalaženje osnovnih formula za Jedinstveni državni ispit iz matematike može biti teško čak i na internetu.

Zašto je toliko važno proučavati teoriju u matematici ne samo za one koji polažu Jedinstveni državni ispit?

1. Zato što vam proširuje vidike. Proučavanje teorijskog gradiva iz matematike korisno je za sve koji žele da dobiju odgovore na širok spektar pitanja vezanih za poznavanje svijeta oko sebe. Sve je u prirodi uređeno i ima jasnu logiku. To je upravo ono što se ogleda u nauci, kroz koju je moguće razumjeti svijet.
2. Zato što razvija inteligenciju. Proučavajući referentni materijal za Jedinstveni državni ispit iz matematike, kao i rješavanjem raznih zadataka, osoba uči logično razmišljati i zaključivati, kompetentno i jasno formulirati misli. Razvija sposobnost analize, generalizacije i izvođenja zaključaka.

Pozivamo Vas da lično ocijenite sve prednosti našeg pristupa sistematizaciji i prezentaciji edukativnog materijala.

Po mogućnosti inženjerski - onaj koji ima dugme sa osnovnim znakom: “√”. Obično, da biste izdvojili korijen, dovoljno je upisati sam broj, a zatim pritisnuti dugme: “√”.

Većina modernih mobilnih telefona ima aplikaciju kalkulatora s funkcijom izvlačenja korijena. Procedura za pronalaženje korijena broja pomoću telefonskog kalkulatora je slična gore navedenoj.
Primjer.
Pronađite od 2.
Uključite kalkulator (ako je isključen) i uzastopno pritisnite dugmad sa slikom dva i korijena (“2” “√”). U pravilu, ne morate pritisnuti tipku “=”. Kao rezultat, dobijamo broj poput 1.4142 (broj cifara i „zaokruženost“ zavisi od dubine bita i podešavanja kalkulatora).
Napomena: Kada pokušavate pronaći korijen, kalkulator obično daje grešku.

Ako imate pristup računaru, pronalaženje korijena broja je vrlo lako.
1. Možete koristiti aplikaciju Kalkulator, dostupnu na skoro svakom računaru. Za Windows XP, ovaj program se može pokrenuti na sljedeći način:
“Start” - “Svi programi” - “Dodatna oprema” - “Kalkulator”.
Bolje je postaviti prikaz na “normalan”. Inače, za razliku od pravog kalkulatora, dugme za vađenje korena ima oznaku „sqrt“, a ne „√“.

Ako ne možete doći do kalkulatora pomoću naznačene metode, možete pokrenuti standardni kalkulator "ručno":
“Start” - “Run” - “calc”.
2. Da biste pronašli korijen broja, možete koristiti i neke programe instalirane na vašem računaru. Osim toga, program ima svoj ugrađeni kalkulator.

Na primjer, za aplikaciju MS Excel možete izvršiti sljedeći niz radnji:
Pokrenite MS Excel.

U bilo koju ćeliju zapisujemo broj iz kojeg trebamo izdvojiti korijen.

Premjestite pokazivač ćelije na drugu lokaciju

Pritisnite dugme za odabir funkcije (fx)

Odaberite funkciju “ROOT”.

Navodimo ćeliju s brojem kao argument funkciji

Kliknite “OK” ili “Enter”
Prednost ove metode je što je sada dovoljno u ćeliju unijeti bilo koju vrijednost s brojem, kao u funkciji, .
Napomena.
Postoji nekoliko drugih, egzotičnijih načina za pronalaženje korijena broja. Na primjer, u "ćošku", koristeći klizač ili Bradisove tablice. Međutim, ove metode nisu obrađene u ovom članku zbog njihove složenosti i praktične beskorisnosti.

Video na temu

Izvori:

• kako pronaći korijen broja

Ponekad se javljaju situacije kada morate izvesti neku vrstu matematičkih proračuna, uključujući vađenje kvadratnog korijena i većeg korijena broja. N-ti korijen broja je broj čiji je n-ti stepen broj a.

Uputstva

Da biste pronašli korijen "n" od , uradite sljedeće.

Na računaru kliknite na "Start" - "Svi programi" - "Dodatna oprema". Zatim idite na pododjeljak "Usluga" i odaberite "Kalkulator". Ovo možete učiniti ručno: Kliknite na Start, ukucajte "calk" u polje Run i pritisnite Enter. Otvoriće se. Da biste izvukli kvadratni korijen iz broja, unesite ga u kalkulator i pritisnite dugme s oznakom "sqrt". Kalkulator će izdvojiti korijen drugog stepena, koji se zove kvadratni korijen, iz unesenog broja.

Da biste izvukli korijen čiji je stepen veći od drugog, trebate koristiti drugu vrstu kalkulatora. Da biste to uradili, u interfejsu kalkulatora kliknite na dugme „Prikaz” i izaberite liniju „Inženjering” ili „Naučno” iz menija. Ovaj tip kalkulatora ima funkciju neophodnu za izračunavanje n-tog korijena.

Da biste izdvojili korijen trećeg stepena (), na "inženjerskom" kalkulatoru unesite željeni broj i pritisnite dugme "3√". Da biste dobili koren čiji je stepen veći od 3, unesite željeni broj, pritisnite dugme sa ikonicom “y√x” i zatim unesite broj – eksponent. Nakon toga pritisnite znak jednakosti (dugme “=”) i dobit ćete željeni korijen.

Ako vaš kalkulator nema funkciju "y√x", slijedite sljedeće.

Da biste izdvojili korijen kocke, unesite radikalni izraz, a zatim stavite kvačicu u potvrdni okvir koji se nalazi pored natpisa „Inv“. Ovom akcijom ćete obrnuti funkcije dugmadi kalkulatora, tj. klikom na dugme kocke izvući ćete kockasti koren. Na dugme koje ste