Zove se geometrijsko tijelo koje se sastoji od 6 lica. Crtanje. I. Organizacioni momenat

3 4 6 12 8 Dom O 3 5 12 30 20 h O I 4 3 8 12 6 Dom O 5 3 20 30 12 h O

Heksaedar ili kocka

Naziv svakog poliedra potiče od grčkog naziva za broj njegovih strana i riječi "lice".

• Kombinatorna svojstva Euler je izveo formulu koja povezuje broj vrhova (B), lica (G) i ivica (P) bilo kojeg konveksnog poliedra jednostavan odnos

• : B + G = P + 2.

• Omjer broja vrhova pravilnog poliedra i broja ivica jedne od njegovih strana jednak je omjeru broja strana istog poliedra i broja ivica koje izlaze iz jednog od njegovih vrhova. Za tetraedar ovaj odnos je 4:3, za heksaedar i oktaedar je 2:1, a za dodekaedar i ikosaedar je 4:1. Pravilan poliedar može se kombinatorno opisati Schläflijevim simbolom (, str q Pravilan poliedar može se kombinatorno opisati Schläflijevim simbolom (), Gdje: str- broj strana svakog lica;

- broj ivica koje konvergiraju u svakom vrhu.

Schläfli simboli za pravilne poliedre dati su u sljedećoj tabeli:		Poliedar	Vrhovi	Rebra	Ivice
Schläfli simbol		4	6	4	{3, 3}
tetraedar		8	12	6	{4, 3}
kocka		6	12	8	{3, 4}
oktaedar		20	30	12	{5, 3}
dodecahedron		12	30	20	{3, 5}

ikosaedar

Iz ovih relacija i Eulerove formule možemo dobiti sljedeće izraze za B, P i G: Geometrijska svojstva

Uglovi

Svaki pravilni poliedar povezan je s određenim uglovima koji karakteriziraju njegova svojstva. Diedarski ugao između susjednih strana pravilnog poliedra (p, q) je dat formulom:

Ponekad je zgodnije koristiti izraz u smislu tangenta:

gdje uzima vrijednosti 4, 6, 6, 10 i 10 za tetraedar, kocku, oktaedar, dodekaedar i ikosaedar.

Schläfli simboli za pravilne poliedre dati su u sljedećoj tabeli:	Ugaoni defekt na vrhu poliedra je razlika između 2π i zbira uglova između ivica svakog lica u ovom vrhu. Defekt na bilo kojem vrhu pravilnog poliedra: θ		Diedarski ugao	Ravan ugao između rebara na vrhu	Kutni defekt (δ)		Puni ugao u tjemenu (Ω)
Schläfli simbol	Puni ugao spušten licem		70,53°	π			π
tetraedar	60°	1	60°
kocka	90°	√2	109,47°
oktaedar	60°, 90°		116,57°
dodecahedron	108°		138,19°

60°, 108°

Radijusi, površine i zapremine

• Svakom pravilnom poliedru su povezane tri koncentrične sfere:
• Opisana sfera koja prolazi kroz vrhove poliedra;
• Srednja sfera koja dodiruje svaki od svojih rubova u sredini;

Upisana sfera koja dodiruje svako njeno lice u svom centru.

Radijusi opisane () i upisane () sfere dati su formulama:

gdje je h vrijednost opisana gore pri određivanju diedarskih uglova (h = 4, 6, 6, 10 ili 10). Omjer opisanih radijusa i upisanih radijusa je simetričan u odnosu na p i q:

Površina S pravilnog poliedra (p, q) izračunava se kao površina pravilnog p-ugla pomnožena sa brojem lica G:

Volumen pravilnog poliedra izračunava se kao volumen pomnožen brojem lica pravilne piramide, čija je osnova pravilan p-ugao, a visina je poluprečnik upisane sfere r:

Tabela ispod sadrži listu različitih poluprečnika, površina i volumena pravilnih poliedara. Vrijednost dužine ivice a u tabeli je jednaka 2.

Poliedar (a = 2)	Radijus upisane sfere ( r)	Radijus srednje sfere (ρ)	Radijus opisane sfere ( R)

Konstante φ i ξ date su izrazima

Među pravilnim poliedrima, i dodekaedar i ikosaedar predstavljaju najbolju aproksimaciju sferi. Ikosaedar ima najveći broj lica, najveći diedarski ugao i najbliže je pritisnut uz svoju upisanu sferu. S druge strane, dodekaedar ima najmanji ugaoni defekt, najveći čvrsti ugao na vrhu i maksimalno ispunjava svoju opisanu sferu.

GEOMETRIJSKA TELA, NJIHOVE POVRŠINE I VOLUME

GEOMETRIJSKO TIJELO. POLIEDAR

Definicija: Unija ograničenog prostornog područja i njegove granice naziva se geometrijsko tijelo.

Granica je površina geometrijskog tijela.

Prostorna oblast je unutrašnja oblast geometrijskog tela.

Definicija: Poliedar je geometrijsko tijelo čija je površina konačan broj poligona, svaka strana bilo kojeg poligona je stranica od dvije i samo dvije strane koje ne leže u istoj ravni. Poligoni su lica poliedra.

Vrhovi i stranice lica su vrhovi i ivice poliedra.

Poliedri se klasifikuju prema broju lica: Schläfli simbol(tetraedar), pentahedron(pentaedar), heksaedar(šestougao), kocka(oktaedar), oktaedar(dodekaedar), dodecahedron(dvadesetostrano).

Definicija: Dijagonala poliedra je segment koji povezuje dva vrha koji ne pripadaju istom licu.

PRISM. PARALELEPIPED

Definicija: Poliedar, čija su dva lica poligoni koji pripadaju paralelnim ravnima, a preostale strane su paralelogrami, naziva se prizma. Poligoni koji pripadaju paralelnim ravnima su osnove prizme. Paralelogrami su bočne strane prizme.

Stranice paralelograma koje povezuju odgovarajuće vrhove osnova prizme su bočne ivice prizme.

A 1 A 2 ...A p V 1 V 2 ...V p – n-gonalna prizma;

A 1 A 2 ...A p; V 1 V 2…V p – osnove n-gonalne prizme;

A 1 B 1 B 2 A 2; ...; A 1 B 1 B p A p – bočne strane n-gonalne prizme;

A 1 B 1; A 2 B 2; ... ; A p B p – bočne ivice n-gonalne prizme.

Svojstva:

Osnove prizme su jednake i paralelne.

Bočne ivice prizme su jednake i paralelne.

Definicija: Prizma se naziva ravna ako su njene bočne ivice okomite na osnovice (slika 1.), u suprotnom se prizma naziva nagnuta (slika 2.).

Fig.1. Rice. 2. Sl.3.

Prizma se naziva trokutasta, četvorougaona, peterokutna, ... u zavisnosti od toga koji poligon leži u njenoj osnovi.

Definicija: okomito povučeno iz koje - ili tačke jedne osnove u odnosu na ravan druge osnove naziva se visina prizme (slika 3.).

B 1 M^ A 1 A 2 A 3; O 1 O 2^A 1 A 2 A 3;

B 1 M = O 1 O 2 = h – visina prizme.

Komentar: Visina ravne prizme jednaka je njenoj bočnoj ivici .

Definicija: Prava prizma se naziva pravilnom ako su njene osnove pravilni poligoni.

Komentar: Bočne strane pravilne prizme su jednaki pravokutnici.

Referenca:

1. Pravilan četvorougao je kvadrat;

2. Pravilni trougao - jednakostranični trougao;

3. Regular hexagon.

Definicija: Prizma čija je osnova paralelogram naziva se paralelepiped (slika 1.).

Definicija: Pravi paralelepiped je paralelepiped čije su bočne ivice okomite na osnovice (slika 2.).

Svojstva:

1. Suprotne strane paralelepipeda su jednake i paralelne.
2. Dijagonale paralelepipeda se sijeku i dijele na pola presječnom točkom.
3. U pravokutnom paralelepipedu, kvadrat bilo koje dijagonale jednak zbiru kvadrate njegovih linearnih dimenzija .d 2 = a 2 + b 2 + c 2
4. Dijagonale pravougaonog paralelepipeda su jednake.

Vježbe:

1. Odredite dijagonale pravokutnog paralelepipeda iz njegovih mjerenja:

a) 8, 9, 12;

B) 12, 16, 21.

Referenca: Zbir kvadrata dijagonala paralelograma jednak je zbroju kvadrata svih njegovih stranica.

1. Kod pravog paralelepipeda stranice osnovice su 5 cm i 3 cm, a jedna od dijagonala je 4 cm Nađite veću dijagonalu paralelopipeda, znajući da manja dijagonala čini ugao od 60° sa ravninom paralelepipeda. baza.
2. U pravilnoj četvorougaonoj prizmi površina osnove je 144 cm 2, a visina 14 cm.

PRISM SURFACE

Definicija: Ukupna površina prizme je zbir površina svih njenih strana.

Definicija: Bočna površina prizme je zbir površina njenih bočnih strana.

Definicija: Okomit presjek prizme je mnogokut koji se dobije presjekom prizme s ravninom koja je okomita na njene rubove.

Teorema: Površina bočne površine prizme jednaka je umnošku bočne ivice i perimetra okomitog presjeka.

Dato:

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – prizma;

A A 1 = l;

l^ KLMNP;

P^= P(KLMNP)

Dokazati:

Posljedica: Bočna površina ravne prizme jednaka je proizvodu opsega njene osnove i visine.

; ;

Vježbe:

S obzirom na nagnutu trokutastu prizmu, čije su dvije bočne strane međusobno okomite, njihov zajednički rub je 9,6 cm i nalazi se na udaljenosti od 4,8 cm i 14 cm od druge dvije ivice. Pronađite površinu bočne površine prizme.

6. U pravougaonom paralelepipedu njegove dimenzije su u omjeru 1:2:3 (3:7:8). Ukupna površina paralelepipeda je 352 cm 2. Pronađite njegove mjere.

7. Nađite ukupnu površinu pravog paralelepipeda čije su stranice 8 in. i 12 in. i čine ugao od 30°, a bočna ivica je 6 in.

8. Ukupna površina kocke je 36 cm2. Odredite njegovu dijagonalu.

9. Pronađite ivicu kocke ako je njena ukupna površina 24 m2.

U desnom paralelepipedu stranice su 10 cm i 17 cm, a jedna od dijagonala osnove je 21 cm. Odredite ukupnu površinu paralelepipeda.

15. Kod pravog paralelepipeda stranice osnovice su 3 cm i 8 cm, ugao između njih je 60°. Površina bočne površine paralelepipeda je 220 cm 2. Odrediti ukupnu površinu paralelepipeda i površinu manjeg dijagonalnog presjeka.

16. Dijagonala pravilne četvorougaone prizme je 9 cm Ukupna površina prizme je 144 cm 2. Odredite stranu osnove i bočnu ivicu prizme.

VOLUME PRAVE PRIZME

OSNOVNA SVOJSTVA VOLUMINA

1. Dva jednaka poliedra imaju isti volumen, bez obzira na njihovu lokaciju u prostoru.
2. Volumen poliedra, koji je zbir dva susedna poliedra, jednak je zbiru zapremina ovih poliedara.
3. Ako je od dva poliedra prvi u potpunosti sadržan u drugom, tada zapremina prvog poliedra ne prelazi zapreminu drugog poliedra.

Definicija: Poliedri koji imaju jednake zapremine nazivaju se jednake veličine.

Definicija: Jedinica zapremine je zapremina kocke čija je ivica jednaka jedinici dužine.

VOLUME PRAVE PRIZME

Teorema: Zapremina pravokutnog paralelepipeda jednaka je proizvodu njegovih linearnih dimenzija.

– linearne dimenzije(mjerenja)

Teorema: Zapremina ravne prizme jednaka je proizvodu površine baze i visine prizme.

Dato:

ABCA 1 B 1 C 1 – ravna prizma;

– osnova prizme;

; ;

VOLUME NAGORENE PRIZME

Teorema: Volumen nagnute prizme jednak je umnošku okomite površine poprečnog presjeka prizme i njenog bočnog ruba.

Dato:

- nagnuta prizma;

- bočno rebro;

- okomiti presjek;

Dokazati:

Posljedica: Zapremina nagnute prizme jednaka je proizvodu površine osnove i visine prizme.

Vježbe:

1. U kosom paralelepipedu, stranice okomitog presjeka, jednake 3 cm i 4 cm, međusobno tvore ugao od 30°. Bočna ivica paralelepipeda je 1 dm. Pronađite zapreminu paralelepipeda.

2. Osnova prizme je pravilan trougao sa stranicom od 4 cm. Bočna ivica prizme je 6 cm i čini ugao od 60° sa ravninom osnove. Odredite zapreminu prizme i okomitu površinu poprečnog presjeka prizme.

3. Osnova pravog paralelepipeda je paralelogram čiji je jedan od uglova 30°. Površina osnove paralelepipeda je 16 dm2. Površine bočnih strana paralelepipeda su 24 dm 2 i 48 dm 2. Pronađite zapreminu paralelepipeda.

4. U pravougaonom paralelepipedu stranice osnove su u omjeru 7:24, a površina dijagonalnog poprečnog presjeka je 50 cm 2. Pronađite površinu bočne površine paralelepipeda.

5. U osnovi ravne prizme leži romb sa stranicom a i uglom od 60°. Presjek povučen kroz glavnu dijagonalu osnove i vrh tupog ugla druge baze je pravougaoni trokut. Pronađite ukupnu površinu prizme.

6. Površine bočnih strana prave trouglaste prizme su 425 cm 2, 250 cm 2, 225 cm 2, a površina osnove prizme je 100 cm 2. Odrediti zapreminu prizme.

7. Dat je nagnuti paralelepiped čija je osnova kvadrat sa stranicom 5 dm. Nađite zapreminu paralelepipeda ako jedna od bočnih ivica čini ugao od 60° sa svakom susednom stranom osnove i jednaka je 1 m.

Osnova ravne prizme je jednakokraki trokut čija je stranica 1 m, a osnova 1 m 20 cm. Pronađite ukupnu površinu prizme.

Rice. 1. Fig. 2.

Vježbe:

1. Osnova piramide je pravougaonik sa stranicama 12 cm i 16 cm. Svaka bočna ivica piramide je 26 cm.
2. Osnova piramide je paralelogram sa stranicama 3 cm i 7 cm i dijagonalom od 6 cm. Visina piramide je 4 cm i prolazi kroz točku preseka dijagonala paralelograma. Nađi bočna rebra piramide.
3. Visina pravilne četvorougaone piramide je 7 cm, a stranica osnove je 8 cm.
4. Osnova piramide je jednakokraki trokut čija je osnova 6 cm, a visina 9 cm. Bočne ivice piramide su jednake i svaka sadrži 13 cm.
5. Osnova piramide je jednakokraki trougao sa osnovom od 12 cm i stranicom od 10 cm. Pronađite visinu piramide.

Tačka O je jednako udaljena od vrhova trougla ABC, pa je centar kružnice opisane oko ovog trougla. Centar kružnice opisane oko pravougaonog trougla, tu je sredina hipotenuze. Tačka O je sredina hipotenuze.

.

; .

; ; ; ; .

; , dakle, .

- jednakostranični trokut, što znači .

; .

sa tri strane, dakle, .

;

; ;

;

.

Odgovori: .

Komentar: Bočna površina je netačna krnje piramide izračunava se po definiciji kao zbir površina njegovih bočnih strana.

Vježbe:

VOLUME PIRAMIDE

Teorema: Zapremina piramide jednaka je jednoj trećini proizvoda površine osnove piramide i njene visine.

Dato:

SABC - piramida;

S(ABC)= S osnovno

SO^ ABC; SO = h.

Dokazati:

9. VOLUME KRNJENE PIRAMIDE

Dato:

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - krnja piramida;

S(ABCD) = S n.o. ; S (A 1 B 1 C 1 D 1) = S v.o.

h je visina krnje piramide;

definirati: V us.pir. - ?

.

Vježbe:

1. Dijagonala kvadratne osnove pravilne piramide je 6 cm, visina piramide je 15 cm.
2. Bočna ivica pravilne šesterokutne piramide je 14 dm, a stranica njene osnove 2 dm. Pronađite zapreminu piramide.
3. Osnova piramide je romb sa stranicom od 15 cm. Bočne strane piramide su nagnute prema ravni osnove pod uglom od 45°. Glavna dijagonala osnove je 24 cm Nađite zapreminu piramide.
4. Nađite zapreminu krnje piramide ako su površine njenih osnova 98 cm 2 i 32 cm 2, a visina odgovarajuće puna piramida jednaka 14 cm.
5. U piramidi, ravan je povučena kroz sredinu visine, paralelna sa njenom osnovom. Odredite zapreminu rezultujuće skraćene piramide ako je visina ove piramide 18 cm, a površina njene osnove 400 cm 2.
6. Pronađite volumen trouglasta piramida, čije su bočne ivice u parovima okomite i jednake su 10 cm, 15 cm, 9 cm.
7. U trouglastoj skraćenoj piramidi visina je 10 cm, stranice donje osnove su 27 m, 29 m, 52 m, a obim gornje osnove je 72 m.
8. Stranice osnova pravilne četvorougaone krnje piramide su 40 cm i 10 cm, njena ukupna površina je 3400 cm 2. Pronađite zapreminu krnje piramide.

CILINDAR. POVRŠINA I VOLUME CILINDRA.

Definicija: Geometrijsko tijelo koje se dobije rotacijom pravougaonika oko jedne od njegovih stranica naziva se pravi kružni cilindar.

Definicija: Cilindar se naziva pravim ako su njegovi generatori okomiti na ravni baza.

AB– osa simetrije, visina cilindra; AB = H ;

AD– radijus osnove cilindra; AD = R .

Definicija: Udaljenost između ravnina baza je visina pravog kružnog cilindra.

Poluprečnik cilindra je poluprečnik njegove baze. Osa cilindra je prava linija koja prolazi kroz središta baza. Paralelno je sa generatorima.

Dva kruga su razlozi pravi kružni cilindar. Segment koji povezuje tačke kružnica baza i okomit na ravni baza naziva se generatrix pravi kružni cilindar.

Definicija: Pravougaonik čija je jedna strana jednaka obimu osnove cilindra, a druga njegovoj visini, naziva se razvoj bočne površine cilindra.

Površina cilindra se sastoji od baze i bočne površine. Bočna površina je sastavljena od generatrisa.

U nastavku ćemo razmatrati samo ravni cilindar, nazvavši ga jednostavno cilindar radi kratkoće.

Definicija: Cilindar se naziva jednakostraničan ako je njegova visina jednaka prečniku baze.

Sekcije cilindra.

Poprečni presjek cilindra sa ravninom koja je paralelna njegovoj osi je pravougaonik. Njegove dvije strane su generatori cilindra, a druge dvije su paralelne tetive baza.

Konkretno, pravougaonik je aksijalni presjek. Aksijalni presjek- presjek cilindra ravninom koja prolazi kroz njegovu osu.

Poprečni presjek cilindra ravninom koja je paralelna bazi je kružnica.

Poprečni presjek cilindra sa ravninom koja nije paralelna sa osnovom i njegovom osom je ovalna.

Teorema: Površina bočne površine cilindra jednaka je proizvodu obima njegove osnove i visine ( S strana = 2πRH, Gdje R- poluprečnik osnove cilindra, N− visina cilindra).

Definicija: Ukupna površina cilindra je zbir površina bočne površine i dvije baze.

S osnovni = πR 2 S strana = 2πRH S puna = 2πRH + 2πR 2 .

Hajde da razmotrimo n -gonalna ravna prizma. At p→∞ Obim poligona koji leži u osnovi prizme težit će opsegu osnove cilindra, a površina poligona koji leži u osnovi prizme težit će površini kruga koji je osnovu cilindra. Volume n -ravna karbonska prizma će težiti zapremini desnog kružnog cilindra.

Definicija: Za prizmu se kaže da je upisana u cilindar ako su njene osnove upisane u osnovice cilindra.

Definicija: Za cilindar se kaže da je upisan u prizmu ako su njegove osnove upisane u osnovice prizme.

Vježbe:

1. Dijagonala aksijalnog presjeka cilindra je 48 cm. Ugao između ove dijagonale i tvornice cilindra je 60°. Pronađite: visinu, polumjer osnove, površinu osnove cilindra.

2. Aksijalna površina poprečnog presjeka cilindra je 10 cm 2, a površina osnove 5 cm 2. Pronađite visinu cilindra.

3. Poluprečnik osnove cilindra je 4 cm, a površina njegovog aksijalnog presjeka je 72 cm 2. Pronađite zapreminu cilindra.

Kvadrat sa stranom jednakom a rotira se oko vanjske ose koja je paralelna s njegovom stranom. Os se uklanja od kvadrata na udaljenosti jednakoj strani kvadrata. Odrediti ukupnu površinu i zapreminu tijela rotacije.

11. U osnovi ravne prizme leži kvadrat sa stranicom 2. Bočne ivice su jednake

12. U osnovi ravne prizme leži pravougli trokut sa katetama 6 i 8. Bočne ivice su jednake . Pronađite zapreminu cilindra opisanog oko ove prizme.

13. Pronađite jačinu zvuka dio cilindra prikazan na slici 1.

14. Pronađite jačinu zvuka dio cilindra prikazan na slici 2.

Rice. br. 1. Rice. br. 2.

CONE. POVRŠINA I VOLUME KONUSA.

Konus (od grčkog "konos")- šišarka.

Konus je poznat ljudima od davnina. Godine 1906. otkrivena je knjiga “O metodi”, koju je napisao Arhimed (287-212. p. n. e.), koja daje rješenje za problem zapremine zajedničkog dijela cilindara koji se ukrštaju. Arhimed kaže da ovo otkriće pripada starogrčkom filozofu Demokritu (470-380 pne), koji je, koristeći ovaj princip, dobio formule za izračunavanje zapremine piramide i konusa.

Kružni konus zove se tijelo koje se sastoji od kruga - osnova stošca, tačka koja ne leži u ravni ove kružnice - vrhove konusa i svi segmenti koji povezuju vrh konusa sa tačkama osnove (slika 1) Segmenti koji povezuju vrh konusa sa tačkama kružnice osnove nazivaju se formiranje konusa.

Konus se zove direktno, ako je prava linija koja povezuje vrh konusa sa središtem baze okomita na ravan baze.

Za pravi konus, osnova visine poklapa se sa središtem baze. Osa pravog konusa je prava linija koja sadrži njegovu visinu.

Definicija: Geometrijsko tijelo dobiveno rotacijom pravokutnog trougla oko jedne od njegovih krakova naziva se pravi kružni konus.

Definicija: Visina konusa je okomica koja se spušta od njegovog vrha do ravni baze.

Definicija: Razvoj bočne površine konusa je sektor kružnice, čiji je poluprečnik jednak generatrisi konusa, a dužina luka je obim osnove konusa.

Konusne sekcije.

Ravan okomita na osu konusa siječe konus u kružnici, i bočna površina– u krugu sa centrom na osi konusa.

Ravan okomita na osu konusa odsijeca manji konus od njega. Preostali dio naziva se skraćeni konus.

Presjek konusa ravninom koja prolazi kroz njegov vrh je jednakokraki trokut čije stranice čine konus.

Definicija: Aksijalni presjek konusa je presjek koji prolazi kroz osu konusa.

Zaključak: Aksijalni presjek konusa je jednakokraki trougao, čija je osnova prečnik osnove konusa, a stranice su sastavni dijelovi konusa.

Površina konusa se sastoji od baze i bočne površine.

Bočna površina konusa može se pronaći pomoću formule:

S strana = πRL, gdje R– poluprečnik osnove, L– dužina generatrise.

Ukupna površina konusa nalazi se po formuli:

S puna = πRL + πR 2 , gdje je R– poluprečnik osnove, L– dužina generatrise.

Zapremina kružnog konusa je jednaka V = 1/3 πR 2 H, Gdje R– poluprečnik osnove, N– visina konusa.

Definicija: Piramida upisana u konus je piramida čija je osnova poligon upisan u krug osnove konusa, a čiji je vrh vrh konusa. Bočne ivice piramide upisane u konus čine konus.

Definicija: Piramida opisana oko konusa, naziva se piramida, čija je osnova poligon opisan oko osnove stošca, a vrh se poklapa sa vrhom stošca.

Vježbe:

1. Jednakokraki trougao sa uglom na vrhu od 120° i stranicom od 20 cm rotira oko svoje osnove. Odrediti zapreminu tijela rotacije.

2. Nađite visinu konusa ako je površina njegove bočne površine 427,2 cm 2, a generatriksa 17 cm.

Pravokutni trokut čiji su katete 3 cm i 4 cm rotira se oko ose paralelne hipotenuzi i koja prolazi kroz vrh pravi ugao. Odrediti ukupnu površinu i zapreminu tijela rotacije.

TRUNCATED CONE. POVRŠINA I VOLUME TRUKNIRANOG KONUSA

Definicija: Skraćeni konus je dio konusa zatvoren između njegove osnove i presjeka paralelnog bazi. Krugovi koji leže u paralelnim ravnima nazivaju se osnovama krnjeg konusa.

Definicija: Geometrijsko tijelo dobiveno rotacijom pravokutnog trapeza oko njegove stranice okomito na osnove naziva se pravi kružni skraćeni konus.

Definicija: Generator krnjeg konusa je dio generatrise puni konus, zatvoren između baza.

Definicija: Visina krnjeg konusa je rastojanje između njegovih osnova.

Zadatak: Neka je dat skraćeni konus čiji su poluprečniki osnova i visina poznati: r = 5, R = 7, H = Ö60. Pronađite generatrisu skraćenog konusa.

Definicija: Prava linija koja povezuje centre osnova naziva se osa krnjeg konusa. Presjek koji prolazi kroz osu naziva se aksijalni. Aksijalni presjek je jednakokraki trapez.

Zadatak: Pronađite površinu aksijalnog poprečnog presjeka ako su poznati polumjer gornje osnove, visina i generatriksa: R = 6, H = 4, L = 5.

Bočna površina krnjeg konusa može se pronaći pomoću formule:

S strana = π(R + r)L,

Gdje R – poluprečnik donje osnove, r L – dužina generatrise.

Ukupna površina krnjeg konusa može se pronaći pomoću formule:

S puna = πR 2 + πr 2 + π(R + r)L,

Gdje R – poluprečnik donje osnove, r – poluprečnik gornje osnove, L – dužina generatrise.

Volumen skraćenog konusa može se naći na sljedeći način:

V = 1/3 πH(R 2 + Rr + r 2),

Gdje R – poluprečnik donje osnove, r – poluprečnik gornje osnove, N – visina konusa.

Vježbe:

Iz istorije njegovog nastanka.

Uobičajeno je da se tijelo zove lopta, ograničeno na sferu, tj. lopta i kugla su različita geometrijska tijela. Međutim, i riječi lopta i sfera potiču od iste grčke riječi sphaira - lopta. Štaviše, riječ "lopta" nastala je od prijelaza suglasnika sf u sh. U knjizi XI Elementi, Euklid definiše loptu kao figuru opisanu polukrugom koji rotira oko fiksnog prečnika. U davna vremena, sfera je bila veoma cijenjena. Astronomska posmatranja nebeskog svoda uvek su izazivala sliku sfere. Sfera je oduvijek bila široko korištena u različitim oblastima nauke i tehnologije.

Definicija: Geometrijsko tijelo dobijeno rotacijom polukruga oko svog prečnika naziva se lopta.

Definicija: Poluprečnik sfere (kuglice) je segment koji povezuje centar sfere (kuglice) sa bilo kojom tačkom na njoj.

Definicija: Tetiva sfere je segment koji povezuje bilo koje dvije njegove tačke.

Definicija: Prečnik kugle je tetiva koja prolazi kroz njeno središte.

Presjek sfere ravninom.

Bilo koji presjek lopte ravninom je krug. Središte ove kružnice je osnova okomice ispuštene iz centra lopte na ravninu sečenja. Presjek koji prolazi kroz centar lopte naziva se dijametralni presjek (veliki krug).

Tangentna ravan na sferu.

Ravan koja ima samo jednu zajedničku tačku sa kuglom naziva se tangentna ravan na sferu, a njihova zajednička tačka se naziva tačka dodira između ravni i sfere.

Prvi geometrijski koncepti nastali su u praistorijska vremena. Različiti obliciČovjek je u prirodi posmatrao materijalna tijela: oblike biljaka i životinja, planine i riječne meandre, Mjesečev krug i polumjesec itd. Međutim, čovjek nije samo pasivno posmatrao prirodu, već je praktično ovladao i koristio njena bogatstva. Praktična ljudska aktivnost poslužila je kao osnova za otkrivanje najjednostavnijih geometrijskih odnosa i odnosa.

Poliedri

U spomenicima babilonske i staroegipatske arhitekture nalaze se geometrijske figure kao što su kocka, paralelepiped i prizma. Najvažniji zadatak Egipatska i babilonska geometrija je bila određivanje volumena različitih prostornih figura. Ovaj zadatak je odgovorio na potrebu izgradnje kuća, palata, hramova i drugih objekata.

Dio geometrije u kojem se proučavaju svojstva kocke, prizme, paralelepipeda i drugih geometrijskih tijela i prostornih figura dugo se naziva stereometrija; Reč je grčkog porijekla a nalazi se i kod poznatog starogrčkog filozofa Aristotela. Stereometrija je nastala kasnije od planimetrije. Euklid daje sljedeću definiciju prizme: “Prizma je čvrsta figura zatvorena između ravnina, od kojih su dvije suprotne jednake i paralelne, a ostale su paralelogrami.” Ovdje, kao i na mnogim drugim mjestima, Euklid koristi izraz „ravan“ ne u smislu beskonačno produžene ravni, već u smislu njenog ograničenog dijela, ivice, kao što „ravno“ znači i ravan segment.

Izraz "prizma" je grčkog porijekla i doslovno znači "odrezan". Izraz “paralelepipedno tijelo” prvi put se nalazi u Euklidu i doslovno znači “telo u paralelnoj ravni”. grčka riječ"cubos" Euklid koristi u istom smislu kao i naša riječ "kocka".

Površina sastavljena od poligona i koja omeđuje određeno geometrijsko tijelo nazivat će se poliedarska površina ili poliedar. Vrste poliedara: paralelepiped, prizma, piramida.

Prizma

Poliedar sastavljen od dva jednaka poligona smještena u paralelnim ravnima i paralelogramima naziva se prizma. Poligoni se nazivaju baze, a paralelogrami bočne strane prizme. Segmenti se nazivaju bočne ivice prizme.

Ako su bočne ivice okomite na baze, tada se prizma naziva ravna.

Ako osnova ravne prizme sadrži pravilne poligone, tada se prizma naziva pravilnom.

Paralelepiped

Ako paralelogram leži u osnovi prizme, tada se prizma naziva paralelepiped. Paralelepipedi su nagnuti, ravni i pravougaoni.

Pravougaoni paralelepiped ima tri dimenzije: dužinu, visinu i širinu. Paralelepiped ima 8 vrhova, 12 ivica, 6 lica. Svaka strana paralelepipeda je pravougaonik. Suprotne strane paralelepipeda su jednake. Među svim paralelepipedima, kocka ima posebnu ulogu. Kocka je pravougaoni paralelepiped čije su sve strane jednake. Sva njegova lica su kvadrati.

Piramida

Važno i zanimljiva porodica poliedar je piramida. Piramida ima bazu i bočne strane. Bočne strane su trouglovi koji konvergiraju u jednom vrhu, a osnova je mnogokut nasuprot ovom vrhu. Baza može biti poligon sa bilo kojim brojem strana. Piramida se naziva po broju stranica njene osnove: trouglasta piramida, četvorougaone piramide, heksagonalna piramida... Najjednostavnija piramida, pa čak i najjednostavniji poliedar je trouglasta piramida. Sva njegova lica su trokuti, a svako od njih se može smatrati bazom.

Piramida se naziva pravilnom ako je njena osnova pravilan poligon, a vrh piramide projektovan je u centar ovog poligona. Sve bočne ivice pravilne piramide su jednake, a bočne strane su jednaki jednakokraki trouglovi.

Poliedar čija su lica poligoni smješteni u paralelnim ravnima i četverokutima - bočne strane nazivaju se skraćenom piramidom.

Pravilni poliedri

Poliedar se naziva pravilnim ako su mu sve strane jednaki pravilni mnogouglovi i ako se isti broj lica sastaje u svakom vrhu.

Vrste pravilnih poligona

Pravilan tetraedar se sastoji od četiri jednakostranični trouglovi. Svaki od njegovih vrhova je vrh tri trougla.

Pravilan oktaedar se sastoji od osam jednakostraničnih trouglova. Svaki od njegovih vrhova je vrh četiri trougla.

Pravilni ikosaedar se sastoji od dvadeset jednakostraničnih trouglova. Svaki od njegovih vrhova je vrh pet trouglova.

Kocka se sastoji od šest kvadrata. Svaki od njegovih vrhova je vrh od tri kvadrata.

Pravilni dodekaedar se sastoji od dvanaest pravilnih pentagona. Svaki od njegovih vrhova je vrh tri pravilna pentagona.

Okrugla tijela

Okrugla tijela imaju okrugli oblik. Mogu se sastojati i od nekoliko krugova. Takve figure također imaju svoje karakteristike, na primjer, postoje složena okrugla tijela. Primjeri okruglih tijela: cilindar, konus, sfera i lopta.

Cilindar

Tijelo ograničeno cilindričnom površinom i dvije kružnice s granicama naziva se cilindar. Cilindrična površina naziva se bočna površina cilindra, a kružnice se nazivaju bazama cilindra. Generatori cilindrične površine nazivaju se generatori cilindra, prava linija 001 se naziva osa cilindra. Sve generatrice cilindra su paralelne i jednake jedna drugoj kao segmenti paralelnih pravih zatvorenih između paralelnih ravnina.

Cilindrična površina naziva se bočna površina cilindra, a kružnice se nazivaju bazama cilindra.

Generatorice cilindrične površine nazivaju se generatorima cilindra.

Prava linija koja prolazi kroz centre baza naziva se osa cilindra.

Dužina generatrise naziva se visina, a polumjer baze naziva se radijus cilindra.

Konus

Tijelo ograničeno konusnom površinom i krugom s granicom naziva se konus. Konusna površina naziva se bočna površina konusa, a kružnica se naziva baza konusa. Konus se može dobiti okretanjem pravokutnog trokuta oko jedne od njegovih krakova.

skraćeni konus

Ako uzmete reznu ravninu i nacrtate je duž konusa, okomito na njegovu os. Ova ravan se siječe sa konusom u krugu i dijeli konus na dva dijela. Jedan od dijelova je konus, a drugi se naziva krnji konus. Osnova prvobitnog stošca i kružnica dobijena u presjeku ovog stošca ravninom nazivaju se osnovama krnjeg stošca, a segment koji povezuje njihova središta naziva se visina krnjeg stošca.

Dio konusne površine koji omeđuje konus naziva se njegova bočna površina, a segmenti generatrisa konusne površine, zatvoreni između baza, nazivaju se generatori krnjeg konusa. Svi generatori krnjeg konusa su međusobno jednaki.

Lopta i sfera

Sfera je površina koja se sastoji od svih tačaka u prostoru koje se nalaze na datoj udaljenosti od date tačke. Ova tačka naziva se centar sfere, a donja udaljenost je polumjer sfere.

Tijelo ograničeno sferom naziva se lopta. Centar, poluprečnik i prečnik kugle nazivaju se i centar, poluprečnik i prečnik lopte.

Ravan koja ima samo jednu zajedničku tačku sa kuglom naziva se tangentna ravan na sferu, a njihova zajednička tačka se naziva tačka dodira između ravni i sfere.

Poliedri ne samo da zauzimaju istaknuto mjesto u geometriji, već se nalaze i u svakodnevni život svaka osoba. Da ne spominjemo umjetno stvorene predmete za domaćinstvo u obliku raznih poligona, počevši od kutija šibica i završavajući arhitektonskim elementima, u prirodi se nalaze i kristali u obliku kocke (sol), prizme (kristal), piramide (šeelit), oktaedra (dijamant) itd.

Pojam poliedra, vrste poliedra u geometriji

Geometrija kao nauka sadrži odeljak stereometrija, koji proučava karakteristike i svojstva volumetrijskih tela, čije stranice u trodimenzionalnom prostoru formiraju ograničene ravni (lice) koje se nazivaju „poliedri“. Postoji na desetine vrsta poliedara, koji se razlikuju po broju i obliku lica.

Ipak, svi poliedri imaju zajednička svojstva:

1. Svi oni imaju 3 integralne komponente: lice (površinu poligona), vrh (uglove formirane na spoju lica), ivicu (strana figure ili segment formiran na spoju dva lica). ).
2. Svaka ivica poligona povezuje dvije, i to samo dvije, strane koje su jedna uz drugu.
3. Konveksnost znači da se tijelo u potpunosti nalazi samo na jednoj strani ravni na kojoj leži jedno od lica. Pravilo se odnosi na sve strane poliedra. U stereometriji se takve geometrijske figure nazivaju konveksni poliedri. Izuzetak su zvjezdasti poliedri, koji su derivati ​​pravilnih poliedarskih geometrijskih tijela.

Poliedri se mogu podijeliti na:

1. Vrste konveksnih poliedara, koji se sastoje od sljedećih klasa: obični ili klasični (prizma, piramida, paralelepiped), pravilni (takođe se nazivaju Platonova tijela), polupravilni (drugo ime je Arhimedova tijela).
2. Nekonveksni poliedri (zvezdasti).

Prizma i njena svojstva

Stereometrija kao grana geometrije proučava svojstva trodimenzionalnih figura, tipova poliedara (među njima i prizma). Prizma je geometrijsko tijelo koje nužno ima dvije potpuno identične strane (oni se nazivaju i baze) koje leže u paralelnim ravnima, i n-ti broj bočnih strana u obliku paralelograma. Zauzvrat, prizma također ima nekoliko varijanti, uključujući takve vrste poliedra kao:

1. Paralelepiped se formira ako je osnova paralelogram - mnogokut sa 2 para jednakih suprotnih uglova i dva para podudarnih suprotnih strana.
2. ima rebra okomita na osnovu.
3. karakterizira prisustvo indirektnih uglova (osim 90) između rubova i baze.
4. Pravilnu prizmu karakteriziraju baze u obliku jednakih bočnih strana.

Osnovna svojstva prizme:

• Kongruentne baze.
• Sve ivice prizme su jednake i paralelne jedna s drugom.
• Sve bočne strane imaju oblik paralelograma.

Piramida

Piramida je geometrijsko tijelo koje se sastoji od jedne baze i n-tog broja trokutastih strana koje se spajaju u jednoj tački - vrhu. Treba napomenuti da ako su bočne strane piramide nužno predstavljene trouglovima, onda u osnovi može biti trokutni poligon, četverokut, petougao i tako dalje do beskonačnosti. U ovom slučaju, naziv piramide će odgovarati poligonu u bazi. Na primjer, ako se u osnovi piramide nalazi trokut - ovo je četverokut itd.

Piramide su poliedri konusnog oblika. Vrste poliedara u ovoj grupi, pored gore navedenih, uključuju i sljedeće predstavnike:

1. ima pravilan poligon u osnovi, a njegova visina je projektovana u centar kruga koji je upisan u osnovu ili opisan oko njega.
2. Pravougaona piramida se formira kada jedna od bočnih ivica siječe bazu pod pravim uglom. U ovom slučaju, ovaj rub se može nazvati i visinom piramide.

Svojstva piramide:

• Ako su svi bočni rubovi piramide podudarni (iste visine), onda se svi sijeku s bazom pod istim kutom, a oko baze možete nacrtati krug sa središtem koji se poklapa s projekcijom vrha piramide. piramida.
• Ako pravilni mnogokut leži u osnovi piramide, tada su sve bočne ivice podudarne, a lica su jednakokraki trouglovi.

Pravilni poliedar: vrste i svojstva poliedara

U stereometriji posebno mjesto zauzimaju geometrijska tijela s apsolutno jednakim licima, na čijim vrhovima je povezan isti broj ivica. Ova tijela se nazivaju Platonova tijela ili pravilni poliedri. Postoji samo pet vrsta poliedara sa ovim svojstvima:

1. Tetrahedron.
2. Heksaedar.
3. Oktaedar.
4. Dodecahedron.
5. Ikosaedar.

Pravilni poliedri svoje ime duguju starogrčkom filozofu Platonu, koji je u svojim djelima opisao ova geometrijska tijela i povezao ih sa prirodnim elementima: zemljom, vodom, vatrom, zrakom. Petoj figuri je dodijeljena sličnost sa strukturom Univerzuma. Po njegovom mišljenju, atomi prirodnih elemenata su oblikovani kao pravilni poliedri. Zahvaljujući svom najfascinantnijem svojstvu - simetriji, ova geometrijska tijela bila su od velikog interesa ne samo za antičke matematičare i filozofe, već i za arhitekte, umjetnike i skulptore svih vremena. Prisustvo samo 5 tipova poliedara sa apsolutnom simetrijom smatralo se osnovnim otkrićem, čak su bili povezani s božanskim principom.

Heksaedar i njegova svojstva

U obliku šesterokuta, Platonovi nasljednici pretpostavili su sličnost sa strukturom atoma zemlje. Naravno, u ovom trenutku ova hipoteza je potpuno opovrgnuta, što, međutim, ne sprječava figure u modernom vremenu da svojom estetikom privlače umove poznatih ličnosti.

U geometriji, heksaedar, poznat i kao kocka, smatra se posebnim slučajem paralelepipeda, koji je, pak, vrsta prizme. Prema tome, svojstva kocke su međusobno povezana, s jedinom razlikom što su sve strane i uglovi kocke međusobno jednaki. Iz ovoga proizilaze sljedeća svojstva:

1. Sve ivice kocke su podudarne i leže u paralelnim ravnima jedna u odnosu na drugu.
2. Sva lica su kongruentni kvadrati (u kocki ih ima 6), od kojih se svako može uzeti kao osnova.
3. Svi međuuglovi su jednaki 90.
4. Svaki vrh ima jednak broj ivica, odnosno 3.
5. Kocka ima 9 od kojih se svi sijeku u tački presjeka dijagonala heksaedra, koja se zove centar simetrije.

Tetrahedron

Tetraedar je tetraedar sa jednakim stranama u obliku trokuta, čiji je svaki vrh spojna tačka tri lica.

Svojstva pravilnog tetraedra:

1. Sve strane tetraedra - to znači da su sve strane tetraedra podudarne.
2. Pošto je baza predstavljena ispravnim geometrijska figura, odnosno ima jednake stranice, tada se lica tetraedra konvergiraju pod istim uglom, odnosno svi uglovi su jednaki.
3. Zbir ravnih uglova u svakom vrhu je 180, pošto su svi uglovi jednaki, tada je svaki ugao pravilnog tetraedra 60.
4. Svaki vrh se projektuje na tačku preseka visina suprotnog (ortocentra) lica.

Oktaedar i njegova svojstva

Kada se opisuju vrste pravilnih poliedara, ne može se ne primijetiti takav objekt kao što je oktaedar, koji se može vizualno predstaviti kao dvije četverokutne pravilne piramide zalijepljene zajedno na osnovama.

Svojstva oktaedra:

1. Sam naziv geometrijskog tijela sugerira broj njegovih lica. Oktaedar se sastoji od 8 podudarnih jednakostraničnih trokuta, u čijim se vrhovima konvergira jednak broj strana, odnosno 4.
2. Pošto su sve strane oktaedra jednake, jednaki su i njegovi međuuglovi, od kojih je svaki jednak 60, pa je zbir ravnih uglova bilo kog vrha 240.

Dodecahedron

Ako zamislimo da su sva lica geometrijskog tijela pravilan pentagon, onda ćemo dobiti dodekaedar - figuru od 12 poligona.

Svojstva dodekaedra:

1. Tri lica se sijeku u svakom vrhu.
2. Sva lica su jednaka i imaju istu dužinu ivica, kao i jednaku površinu.
3. Dodekaedar ima 15 osi i ravni simetrije, a svaka od njih prolazi kroz vrh lica i sredinu ivice nasuprot njemu.

Ikosaedar

Ništa manje zanimljivo od dodekaedra, figura ikosaedra je trodimenzionalno geometrijsko tijelo sa 20 jednakih lica. Među svojstvima pravilnog 20-edra, može se primijetiti sljedeće:

1. Sve strane ikosaedra su jednakokraki trouglovi.
2. Pet lica se sastaje na svakom vrhu poliedra, a zbir susjednih uglova vrha je 300.
3. Ikosaedar, kao i dodekaedar, ima 15 osa i ravni simetrije koje prolaze kroz sredine suprotnih strana.

Polupravilni poligoni

Pored Platonovih tijela, grupa konveksnih poliedara uključuje i Arhimedova tijela, koja su skraćeni pravilni poliedri. Tipovi poliedara u ovoj grupi imaju sljedeća svojstva:

1. Geometrijska tijela imaju parno jednaka lica nekoliko tipova, na primjer, skraćeni tetraedar ima, kao i pravilan tetraedar, 8 lica, ali u slučaju arhimedovog tijela, 4 lica će biti trokutastog oblika, a 4 će biti šesterokutna.
2. Svi uglovi jednog temena su podudarni.

Zvjezdani poliedri

Predstavnici nevolumetrijskih tipova geometrijskih tijela su zvjezdasti poliedri, čija se lica međusobno sijeku. Mogu se formirati spajanjem dva pravilna trodimenzionalna tijela ili kao rezultat proširenja njihovih lica.

Tako su takvi zvjezdani poliedri poznati kao: zvjezdani oblici oktaedra, dodekaedra, ikosaedra, kuboktaedra, ikosidodekaedra.

TEORIJA POLIedra

Fasetirana geometrijska tijela

Fasetirano geometrijsko tijelo ili poliedar je dio prostora omeđen skupom konačnog broja planarnih poligona povezanih na način da je svaka strana bilo kojeg poligona stranica drugog poligona (koji se naziva susjednim), a oko svakog vrha postoji je jedan ciklus poligona. Pojednostavljujući gornju definiciju, dobijamo definiciju poliedra, poznatu iz školskog udžbenika.

Schläfli simboli za pravilne poliedre dati su u sljedećoj tabeli:- geometrijsko tijelo omeđeno sa svih strana ravnim poligonima zvanim lica. Stranice strana nazivaju se ivicama poliedra, a krajevi ivica se nazivaju vrhovi poliedra.

Iz istorije

Grčka matematika, u kojoj se prvi put pojavila teorija poliedara, razvila se pod velikim uticajem poznatog mislioca Platona.

Platon(427–347 pne) - veliki starogrčki filozof, osnivač Akademije i osnivač tradicije platonizma. Jedna od bitnih karakteristika njegovog učenja je razmatranje idealnih objekata – apstrakcija. Matematika, koja je usvojila ideje Platona, proučava apstraktne, idealne objekte još od Euklidovog vremena. Međutim, i sam Platon i mnogi drevni matematičari u pojam ideal stavljaju ne samo apstraktno značenje, već i najbolje značenje. U skladu sa tradicijom drevnih matematičara, među svim poliedrima najbolji su oni koji imaju pravilne poligone kao lice.

Poliedri se mogu klasificirati prema nekoliko kriterija: na primjer, po broju lica, razlikuju se tetraedri, pentaedri itd.

Postoje pravilni i polupravilni poliedri. Pravilni poliedri su oni kod kojih su sva lica pravilni jednaki mnogouglovi i svi uglovi na vrhovima su jednaki. Ako su lica poliedra razne pravilnih mnogouglova, onda se dobije poliedar, koji se naziva polupravilan (jednakougaoni polupravilan). Polupravilan poliedar je konveksni poliedar čija su lica pravilni mnogouglovi (moguće sa različitim brojem stranica), a svi poliedarski uglovi su jednaki.

Pored pravilnih i polupravilnih poliedara, takozvani pravilni zvjezdasti poliedri imaju lijepe oblike. Dobijaju se iz pravilnih poliedara nastavkom lica ili ivica na isti način kao što se pravilni zvjezdasti poligoni dobivaju nastavkom stranica pravilnih mnogouglova.

Od mnogih poliedara izdvajamo najpoznatije: prizmu i piramidu (sl. 1).

Prizma je poliedar koji ima dvije identične međusobno paralelne površine - baze, a ostale - bočne strane - paralelograme.

Piramida je poliedar u kojem se jedno lice - proizvoljni poligon - uzima kao osnova, a preostale strane (strana) su trouglovi sa zajedničkim vrhom, koji se naziva vrh piramide.

Na sl. 2 prikazuje nekoliko prizmi i piramida. Piramida čija je osnova u obliku trougla naziva se trouglasta piramida. Dakle, možemo govoriti o kvadratnom, peterokutnom itd. piramide sl. 2, A i 2, b. Osnova trouglaste piramide može biti bilo koje lice.

Na sl. 2, V, 2, G i 2, d dati su primjeri određene klase poliedara, čiji se vrhovi mogu podijeliti u dva skupa od istog broja tačaka; tačke svakog od ovih skupova su vrhovi p-ugla, a ravni oba p-ugla su paralelne. Ako su ova dva p-ugla (baze) podudarna i raspoređena tako da su vrhovi jednog p-ugla povezani sa vrhovima drugog p-ugla paralelnim ravnim segmentima, tada se takav poliedar naziva p-gonalna prizma. Primjeri dvije p-ugaone prizme su trokutna prizma (p = 3) na Sl. 2, V i petougaona prizma (p = 5) na Sl. 2, G. Ako se baze nalaze tako da su vrhovi jednog p-ugla povezani sa vrhovima drugog p-ugla cik-cak izlomljenom linijom koja se sastoji od 2p ravnih segmenata, kao na sl. 2, d, onda se takav poliedar naziva p-gonalna antiprizma.

Pored dvije baze, p-gonalna prizma ima p lica - paralelograma. Ako paralelogrami imaju oblik pravougaonika, tada se prizma naziva prava linija. U takvoj prizmi, rubovi bočnih strana su okomiti na bazu. Prizma čije osnove nisu paralelne naziva se skraćena.

2. Pravilni poliedri. Konveksni poliedar se naziva regularnim ako zadovoljava sljedeća dva uslova:

Sva njegova lica su kongruentni pravilni poligoni;

Svaki vrh ima isti broj susednih lica.

Ako su sva lica pravilnog poliedra pravilni mnogouglovi, onda su u pravilnim poliedrima svi ravni, poliedari i diedrali uglovi jednaki.

Ako su sva lica pravilni p-uglovi i q ih je susjedno svakom vrhu, tada se takav pravilan poliedar označava (p, q). Prvi broj u zagradama označava koliko strana ima svako lice, drugi broj označava broj lica uz svaki vrh. Ovu notaciju je predložio L. Schläfli (1814-1895), švajcarski matematičar koji je bio odgovoran za mnoge elegantne rezultate u geometriji i matematičkoj analizi. Postoje nekonveksni poliedri čija se lica seku i koji se nazivaju "pravilni zvezdasti poliedri". U geometriji, po konvenciji, pravilni poliedri označavaju isključivo konveksne pravilne poliedre.

Pravilni poliedri se ponekad nazivaju Platonovim čvrstim tijelom, jer zauzimaju istaknuto mjesto u filozofskoj slici svijeta koju je razvio veliki mislilac. Ancient Greece Platon.

Postoji 5 vrsta pravilnih poliedara: tetraedar, kocka, oktaedar, dodekaedar, ikosaedar.

TETRAEDAR je pravilan poliedar čija se površina sastoji od četiri pravilna trougla.

HEKSAEDAR (KOCKA) - pravilan poliedar, čija se površina sastoji od šest pravilnih četverougla (kvadrata)

OKTAEDAR je pravilan poliedar čija se površina sastoji od osam pravilnih trouglova.

DODEKAEDAR je pravilan poliedar čija se površina sastoji od dvanaest pravilnih pentagona.

IKOSAEDAR je pravilan poliedar čija se površina sastoji od dvadeset pravilnih trouglova.

Nazivi ovih poliedara potiču iz antičke Grčke, a označavaju broj lica:

"edra" - ivica;

"tetra" - 4;

"heksa" - 6;

"okta" - 8;

“Ikosa” - 20;

"dodeka" - 12.

Na sl. 3 prikazuje pravilne poliedre

Iz istorije

Platon je vjerovao da je svijet izgrađen od četiri "elementa" - vatre, zemlje, zraka i vode, a atomi ovih "elemenata" imaju oblik četiri pravilni poliedri. Tetraedar je personificirao vatru, budući da je njegov vrh usmjeren prema gore, poput plamena koji bukti; ikosaedar - kao najstrožija - voda; kocka je najstabilnija figura - zemlja, a oktaedar je vazduh. U našem vremenu ovaj sistem se može uporediti sa četiri agregatna stanja - čvrstom, tečnom, gasovitom i plamenom. Peti poliedar, dodekaedar, simbolizirao je cijeli svijet i smatran je najvažnijim. Ovo je bio jedan od prvih pokušaja da se ideja sistematizacije uvede u nauku.

Stari Grci su dodekaedar smatrali oblikom svemira. Takođe su proučavali mnoga geometrijska svojstva Platonovih čvrstih tela; plodovi njihovog istraživanja mogu se naći u 13. knjizi Euklidovih elemenata.

Proučavanje Platonovih tijela i srodnih figura nastavlja se do danas. I mada glavni motivi savremena istraživanja služe ljepoti i simetriji, imaju i neke naučni značaj, posebno u kristalografiji. Kristali kuhinjska sol, natrijum tioantimonid i hromna stipsa se javljaju u prirodi kao kocka, tetraedar, odnosno oktaedar. Ikosaedar i dodekaedar se ne nalaze među kristalnim oblicima, ali se mogu uočiti među mikroskopskim oblicima morski organizmi, poznati kao radiolarijanci.

Svojstva pravilnih poliedara. Vrhovi bilo kojeg pravilnog poliedra leže na sferi (što nije iznenađujuće ako se sjetimo da vrhovi bilo kojeg pravilnog poliedra leže na kružnici). Pored ove sfere, nazvane "opisana sfera", postoje još dvije važne sfere. Jedna od njih, “srednja sfera”, prolazi kroz sredine svih ivica, a druga, “upisana sfera”, dodiruje sva lica u njihovim centrima. Sve tri sfere imaju zajednički centar, koji se naziva središte poliedra.

Broj pravilnih poliedara. Prirodno je zapitati se da li, osim Platonovih tijela, postoje i drugi pravilni poliedri.

Platonska tijela su trodimenzionalni analog ravnih pravilnih poligona. Međutim, između dvodimenzionalnih i trodimenzionalnih slučajeva postoji bitna razlika: Postoji beskonačno mnogo različitih pravilnih poligona, ali samo pet različitih pravilnih poliedara. Dokaz ove činjenice poznat je više od dvije hiljade godina; Ovim dokazom i proučavanjem pet pravilnih čvrstih tijela, Euklidovi elementi su završeni

Kao što pokazuju sljedeća jednostavna razmatranja, odgovor mora biti negativan. Neka je (p, q) proizvoljan pravilan poliedar. Pošto su njegove strane pravilni p-uglovi, njihovi unutrašnji uglovi, kao što je lako pokazati, jednaki su (180 - 360/p) ili 180 (1 - 2/p) stepeni. Pošto je poliedar (p, q) konveksan, zbir svih unutrašnjih uglova duž lica koja graniče sa bilo kojim od njegovih vrhova mora biti manji od 360 stepeni. Ali svaki vrh ima q lica u susjedstvu, tako da nejednakost mora vrijediti.

gdje je simbol< означает "меньше чем". После несложных алгебраических преобразований полученное неравенство приводится к виду

Lako je vidjeti da p i q moraju biti veći od 2. Zamijenivši p = 3 u (1), nalazimo da su jedine važeće vrijednosti za q u ovom slučaju 3, 4 i 5, tj. dobijamo poliedre (3, 3), (3, 4) i (3, 5). Za p = 4, jedina važeća vrijednost za q je 3, tj. poliedar (4, 3), sa p = 5, takođe zadovoljava nejednakost (1) samo q = 3, tj. poliedar (5, 3). Za p > 5 ne postoje važeće vrijednosti q. Posljedično, ne postoje drugi pravilni poliedri osim Platonovih tijela.

3. Polupravilni poliedri. Iznad smo pogledali pravilne poliedre, tj. takvi konveksni poliedri čija su lica jednaki pravilni mnogouglovi i na svakom vrhu kojih se susreće isti broj lica. Ako u ovoj definiciji dopustimo da lica poliedra mogu biti različiti pravilni poliedri, onda se dobijaju poliedri koji se nazivaju polupravilni (jednakokutni polupravilni).

Polupravilan poliedar je konveksni poliedar čija su lica pravilni mnogouglovi (moguće sa različitim brojem stranica), a svi poliedarski uglovi su jednaki.

Polupravilni poliedri uključuju pravilne n-ugaone prizme, čije su sve ivice jednake. Na primjer, pravilna petougaona prizma na slici 4, A ima sa svojim stranama dva pravilna peterokuta - osnovu prizme i pet kvadrata koji čine bočnu površinu prizme. Polupravilni poliedri uključuju i takozvane antiprizme. Na slici 4, b vidimo petougaonu antiprizmu dobijenu iz petougaone prizme rotacijom jedne od osnova u odnosu na drugu pod uglom od 36. Svaki vrh gornje i donje osnove povezan je sa dva najbliža vrha druge baze.

a b c

Pored ova dva beskrajna niza polupravilnih poliedara, postoji još 13 polupravilnih poliedara koje je prvi otkrio i opisao Arhimed - to su Arhimedova čvrsta tijela.

Najjednostavniji od njih dobivaju se iz pravilnih poliedra operacijom "skraćenja", koja se sastoji od odsijecanja uglova poliedra ravninama. Ako uglove tetraedra odsiječemo ravninama, od kojih svaka odsiječe trećinu njegovih ivica koje izlaze iz jednog vrha, dobićemo skraćeni tetraedar sa osam strana (slika 4, V). Od toga, četiri su pravilna šestougla, a četiri pravilna trougla. Tri lica se sastaju na svakom vrhu ovog poliedra.

Ako na ovaj način odsiječemo vrhove oktaedra i ikosaedra, dobijamo skraćeni oktaedar (sl. 5, a) i skraćeni ikosaedar (sl. 5, b), respektivno. Imajte na umu da je površina fudbalske lopte napravljena u obliku površine skraćenog ikosaedra. Od kocke i dodekaedra možete dobiti i skraćenu kocku (slika 5, c) i skraćeni dodekaedar (slika 5, d).

a b c d

Ispitali smo 4 od 13 polupravilnih poliedara koje je opisao Arhimed. Preostali su poliedri složenijeg tipa.

Iz istorije

Veoma je originalna Keplerova kosmološka hipoteza u kojoj je pokušao da poveže neka svojstva solarni sistem sa svojstvima pravilnih poliedara. Kepler je sugerirao da su udaljenosti između šest tada poznatih planeta izražene u obliku veličine pet pravilnih konveksnih poliedara (Platonovih tijela). Između svakog para nebeskih sfera duž kojih se, prema ovoj hipotezi, planete okreću, Kepler je upisao jedno od Platonovih tijela. Oktaedar je opisan oko sfere Merkura, planete najbliže Suncu. Ovaj oktaedar je upisan u sferu Venere, oko koje je opisan ikosaedar. Zemljina sfera je opisana oko ikosaedra, a dodekaedar je opisan oko ove sfere.

Ozbiljan korak u nauci o poliedrima napravio je u 18. veku Leonhard Euler (1707-1783), koji je, bez preterivanja, „verovao u harmoniju u algebri“. Ojlerova teorema o odnosu između broja vrhova, ivica i lica konveksnog poliedra, čiji je dokaz Euler objavio 1758. godine u Zborniku Sankt Peterburške akademije nauka, konačno je dovela matematički red u raznoliki svijet poliedara.

Vrhovi + lica - ivice = 2.

Elementi simetrije pravilnih poliedara

Neka od pravilnih i polupravilnih tijela nalaze se u prirodi u obliku kristala, druga - u obliku virusa, jednostavnih mikroorganizama

Zvjezdani poliedri

Zvjezdasti poliedri se dobijaju iz pravilnih poliedara proširenjem lica ili ivica na isti način kao što se pravilni zvjezdasti poliedri dobijaju proširenjem stranica pravilnih mnogouglova.

Prva dva pravilna zvezdasta poliedra otkrio je J. Kepler (1571-1630), a druga dva je skoro 200 godina kasnije izgradio francuski matematičar i mehaničar L. Poinsot (1777-1859). Zato se pravilni zvjezdasti poliedri nazivaju Kepler-Poinsotova tijela.

U svom djelu “O poligonima i poliedrima” (1810), Poinsot je opisao četiri pravilna zvjezdasta poliedra, ali je pitanje postojanja drugih takvih poliedra ostalo otvoreno. Odgovor je dao godinu dana kasnije, 1811. godine, francuski matematičar O. Cauchy (1789-1857). U svom djelu "Studija o poliedrima" dokazao je da ne postoje drugi pravilni zvjezdasti poliedri.

Razmotrimo pitanje koji se pravilni poliedri mogu koristiti za dobijanje pravilnih zvjezdanih poliedara. Pravilni zvjezdani poliedri ne mogu se dobiti iz tetraedra, kocke ili oktaedra. Uzmimo dodekaedar. Nastavak njegovih rubova dovodi do zamjene svake strane zvjezdanim pravilnim petouglom (slika 30, a), a kao rezultat nastaje poliedar koji se naziva mali zvjezdani dodekaedar (slika 30, b).

Prilikom proširenja lica dodekaedra javljaju se dvije mogućnosti. Prvo, ako uzmemo u obzir pravilni pentagoni, onda dobijete takozvani veliki dodekaedar (slika 31). Ako, kao drugo, posmatramo zvjezdane peterokute kao lica, onda ćemo dobiti veliki zvjezdani dodekaedar (slika 32).

Ikosaedar ima oblik jedne zvijezde. Kada se lica pravilnog ikosaedra produže, dobija se veliki ikosaedar (slika 33).

Dakle, postoje 4 vrste pravilnih zvjezdanih poliedara.

Poliedri u obliku zvijezde su vrlo dekorativni, što im omogućava široku primjenu u industriji nakita u proizvodnji svih vrsta nakita.

Mnoge oblike zvjezdanih poliedara sugerira sama priroda. Pahulje su poliedri u obliku zvijezde (slika 34). Od davnina ljudi su pokušavali da opišu sve moguće vrste pahulja i sastavljali posebne atlase. Sada je poznato nekoliko hiljada razne vrste pahulje.

Povezane informacije.