Dvostruki integral i njegova svojstva. Definicija dvostrukog integrala. Šta znači vrednovati dvostruki integral?
Dom
Osnovna svojstva dvostrukog integrala
Svojstva dvostrukog integrala (i njihovo izvođenje) su slična odgovarajućim svojstvima jednog određenog integrala.. 1° Aditivnost . Ako je funkcija(f, x y ) je integrabilan u domenu D ) je integrabilan u domenu i ako područje koristeći krivulju G ) je integrabilan u domenu nulta oblast je podeljena na dva povezana regiona koji nemaju zajedničke unutrašnje tačke ) je integrabilan u domenu 1 i . Ako je funkcija(f, x 2, zatim funkciju ) je integrabilan u domenu nulta oblast je podeljena na dva povezana regiona koji nemaju zajedničke unutrašnje tačke ) je integrabilan u domenu) je integrabilan u svaki od domena
2, i. 2° Linearno svojstvo . Ako je funkcija(f, x. Ako funkcije ) I(f, x g ) je integrabilan u domenu) su integrabilni u domene α , A β I α · . Ako je funkcija(f, x) + β · ) I(f, x- bilo koji realni brojevi, zatim funkcija [ ) je integrabilan u domenu)] je također integrabilan u domenu
, i Linearno svojstvo . Ako je funkcija(f, x. Ako funkcije ) I(f, x g ) je integrabilan u domenu 3° ) je integrabilan u domenu.
, tada je proizvod ovih funkcija integrabilan u Linearno svojstvo . Ako je funkcija(f, x. Ako funkcije ) I(f, x 4° ) je integrabilan u domenu) oba su domena integrabilna . Ako je funkcija(f, x) ≤ ) I(f, x i svuda u ovoj oblasti
), To Aditivnost . Ako je funkcija(f, x y ) je integrabilan u domenu 5° . Ako je funkcija(f, x, zatim funkcija | ) je integrabilan u domenu)] je također integrabilan u domenu
)| integrabilne u oblasti . Ako je funkcija(f, x(Naravno, od integrabilnosti | ) je integrabilan u domenu)| V . Ako je funkcija(f, x integrabilnost ne slijedi ) je integrabilan u domenu.)
) V. 6° Teorema srednje vrijednosti . Ako je funkcija(f, x. Ako funkcije ) I(f, x g ) je integrabilan u domenu. Ako obe funkcije ) I(f, x, funkcija ) je nenegativan (nepozitivan) svuda u ovoj regiji,, A M m . Ako je funkcija(f, x- točne gornje i točne donje granice funkcije ) je integrabilan u domenu) na tom području μ , onda postoji broj M ≤ μ ≤ ) je nenegativan (nepozitivan) svuda u ovoj regiji,, zadovoljavajući nejednakost
i tako da formula važi Dvostruki integrali.
Definicija dvostrukog integrala i njegova svojstva. Iterirani integrali. Svođenje dvostrukih integrala na ponovljene. Postavljanje granica integracije. Izračunavanje dvostrukih integrala u Dekartovom koordinatnom sistemu.
1. DVOSTRUKI INTEGRALI
1.1. Definicija dvostrukog integrala
Dvostruki integral je generalizacija koncepta određenog integrala na slučaj funkcije dvije varijable. U ovom slučaju, umjesto segmenta integracije, postojaće neka vrsta ravne figure. ) je integrabilan u domenu Neka . Ako je funkcija(f, x je neko zatvoreno ograničeno područje, i ) je integrabilan u domenu) je proizvoljna funkcija definirana i ograničena u ovoj oblasti. Pretpostavićemo da su granice regiona x=. Ako je funkcija(f sastoji se od konačnog broja krivulja definiranih jednadžbama oblika f) ili x=g( . Ako je funkcija(f), Gdje ) I(x) I
) su kontinuirane funkcije.
R
Rice. 1.1 ) je integrabilan u domenu azobiem area nasumično uključeno n dijelovi. Square i th sekcija će biti označena simbolom dijelovi. Square s . U svakom odeljku nasumično biramo tačku dijelovi. Square , P f dijelovi. Square , x dijelovi. Square i neka ima koordinate u nekom fiksnom kartezijanskom sistemu ( ). Hajde da komponujemo integralni zbir . Ako je funkcija(f, x za funkciju ) je integrabilan u domenu, ) po regionu . U svakom odeljku nasumično biramo tačku dijelovi. Square da biste to učinili, pronađite vrijednosti funkcije u svim točkama dijelovi. Square, pomnožite ih sa površinom odgovarajućih sekcija s
.
(1.1)
Hajde da pozovemo prečnika diam(G) područja G najveća udaljenost između graničnih tačaka ovog područja.
Dvostruki integral
funkcije
. Ako je funkcija(f,
x)
po regionu
) je integrabilan u domenu
je granica kojoj teži niz integrala
iznosi
(1.1) uz neograničeno povećanje broja particija
nasumično uključeno
(u isto vreme
). Ovo je zapisano na sljedeći način
.
(1.2)
Imajte na umu da, općenito govoreći, integralni zbroj za datu funkciju i datu domenu integracije ovisi o metodi particioniranja domene ) je integrabilan u domenu i odabir bodova . U svakom odeljku nasumično biramo tačku dijelovi. Square. Međutim, ako postoji dvostruki integral, to znači da granica odgovarajućih integralnih suma više ne zavisi od navedenih faktora. Da bi dvostruki integral postojao(ili, kako kažu, to funkcija . Ako je funkcija(f, x) bio integrisan u teren) je integrabilan u domenu), dovoljno je da je funkcija integrandakontinuirano u datom domenu integracije.
P
Rice. 1.2
.
(1.3)
Komentar . Ako je integrand . Ako je funkcija(f, x)1, tada će dvostruki integral biti jednak površini regije integracije:
.
(1.4)
Imajte na umu da dvostruki integrali imaju ista svojstva kao i definitivni integrali. Zabilježimo neke od njih.
Svojstva dvostrukih integrala.
1 0 . Linearno svojstvo. Integral zbira funkcija jednak je zbiru integrala:
a konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka integrala:
.
2 0 . Aditivno svojstvo. Ako je domen integracije) je integrabilan u domenupodijeljeno na dva dijela, tada će dvostruki integral biti jednak zbiru integrala nad svakim od ovih dijelova:
.
3 0 . Teorema srednje vrijednosti. Ako je funkcija f( f, x)kontinuirano u regionu) je integrabilan u domenu, onda u ovom regionu postoji takva tačka() , sta:
.
Sljedeće pitanje je: kako se izračunavaju dvostruki integrali? Može se izračunati približno u tu svrhu, razvijene su efikasne metode za sastavljanje odgovarajućih integralnih suma, koje se zatim numerički izračunavaju pomoću računara. Prilikom analitičkog izračunavanja dvostrukih integrala, oni se svode na dva određena integrala.
1.2. Iterirani integrali
Ponovljeni integrali su integrali oblika
.
(1.5)
U ovom izrazu prvo se izračunava unutrašnji integral, tj. Prvo se vrši integracija preko varijable x(u ovom slučaju varijabla f smatra se konstantnom vrijednošću). Kao rezultat integracije preko x dobijate neku funkciju prema f:
.
Tada se rezultirajuća funkcija integrira preko f:
.
Primjer 1.1. Izračunaj integrale:
A) 
, b) 
.
Rješenje . a) Hajde da se integrišemo x, pod pretpostavkom da je varijabla f= konst. Nakon toga izračunavamo integral preko f:
.
b) Pošto se u unutrašnjem integralu integracija vrši preko varijable f, To x 3 se može uzeti u vanjski integral kao konstantni faktor. Jer x 2 u unutrašnjem integralu smatra se konstantnom vrijednošću, tada će ovaj integral biti tabelarni. Izvođenje sekvencijalne integracije preko x I f, dobijamo
Postoji veza između dvostrukih i iteriranih integrala, ali hajde da prvo pogledamo jednostavna i složena područja. Područje se zove jednostavno u bilo kojem smjeru ako bilo koja prava linija povučena u ovom smjeru siječe granicu regije u najviše dvije tačke. U Dekartovom koordinatnom sistemu obično se uzimaju u obzir pravci duž O ose f i O x. Ako je područje jednostavno u oba smjera, onda se ukratko kaže - jednostavno područje, bez isticanja smjera. Ako regija nije jednostavna, kaže se da jeste kompleks.
L
a b
Rice. 1.4
Bilo koja složena regija može se predstaviti kao zbir jednostavnih regija. Prema tome, svaki dvostruki integral se može predstaviti kao zbir dvostrukih integrala nad jednostavnim područjima. Stoga ćemo u daljem tekstu uglavnom razmatrati samo integrale nad jednostavnim domenima.
Teorema . Ako je domen integracije) je integrabilan u domenu– jednostavno u smjeru osiOy(vidi sliku 1.4a), tada se dvostruki integral može zapisati u ponovljenom obliku na sljedeći način:
;
(1.6)
ako je domen integracije) je integrabilan u domenu– jednostavno u smjeru osiOx(vidi sliku 1.4b), tada se dvostruki integral može zapisati u ponovljenom obliku na sljedeći način:
.
(1.7)
E
Rice. 1.3
1.3. POSTAVLJANJE GRANICA INTEGRACIJE
1.3.1. Pravokutna domena integracije
P
Rice. 1.5
Primjer 1.2. Izračunaj dvostruki integral
.
Rješenje . Zapišimo dvostruki integral kao iteraciju:
.
1.3.2. Proizvoljni domen integracije
Da biste prešli sa dvostrukog integrala na ponovljeni, trebalo bi da:
konstruisati domen integracije;
postaviti granice u integralima, imajući na umu da granice eksternog integrala moraju biti konstantne veličine (tj. brojevi) bez obzira na to iz koje se varijable izračunava eksterni integral.
Primjer 1.3. Rasporedite granice integracije u odgovarajućim iteriranim integralima za dvostruki integral
, ako a) 
b) 
R
Rice. 1.6
.
Neka se sada integracija u vanjskom integralu izvede prema x, au internom – prema f. x U ovom slučaju vrijednosti f promijenit će se od 0 do 2. Međutim, tada je gornja granica promjene vrijednosti varijable f= x sastojaće se od dva dela f/2 i x=1. To znači da region integracije treba podijeliti na dva dijela prave linije f=1. Tada se u prvom području y mijenja od 0 do 1, i f= x sa prave linije f= x/2 do prave linije f. U drugom regionu, y se mijenja sa 1 na 2, i f= x sa prave linije f– sa prave linije
.
=1. Kao rezultat dobijamo
b
=0 do x odozgo će biti ograničen s dvije linije: kružnicom i pravom linijom. Na segmentu [–1;0] x; varijabla na segmentu x=1–f=0 do
.
. dakle, x, au internom – prema f Neka se sada u vanjskom integralu izvede integracija prema x. U ovom slučaju fće se promijeniti od 0 do 1, a varijabla 
– iz luka kružnice f=1–x na pravu liniju
.
. Kao rezultat dobijamo
Ovi primjeri pokazuju koliko je važno odabrati pravi red integracije. Primjer 1.4.
A) 
Promijenite redosljed integracije 
.
R
;
.
=0 do prave linije b) x Rice. 1.8 f Konstruirajmo domen integracije. Na segmentu za f=x Rezultat je sljedeća regija integracije (vidi sliku 1.8). Na osnovu konstruisane figure postavljamo granice integracije 
b) f=x na parabolu f=
; na segmentu - od prave linije
.
na pravu liniju
3/4. Rezultat je sljedeća regija integracije (vidi sliku 1.9). Na osnovu konstruisane figure postavljamo granice integracije, Tangenta i normalna na površinu Definicija.
U bilo kojoj tački površina ima ili samo jednu tangentnu ravan ili je uopće nema.
Ako je površina data jednadžbom z = f(x, y), gdje je f(x, y) funkcija diferencibilna u tački M 0 (x 0, y 0), tangentna ravan u tački N 0 ( x 0,y 0, ( x 0 ,y 0)) postoji i ima jednačinu:
Jednačina normale na površinu u ovoj tački je:
Geometrijski smisao ukupni diferencijal funkcije dviju varijabli f(x, y) u tački (x 0, y 0) je prirast primjene (z koordinata) tangentne ravni na površinu kada se kreće iz tačke (x 0 , y 0) do tačke (x 0 + Dx, y 0 +Du).
Kao što vidite, geometrijsko značenje ukupnog diferencijala funkcije dvije varijable je prostorni analog geometrijskog značenja diferencijala funkcije jedne varijable.
Primjer. Naći jednadžbe tangentne ravni i normale na površinu
u tački M(1, 1, 1).
Jednadžba tangentne ravni:
normalna jednačina:
Proračun dvostrukog integrala u polarnim koordinatama.
Neka je područje D ograničeno pravom r = r() i zraci = I = , gdje i r– polarne koordinate tačke na ravni pridružene njenim kartezijanskim koordinatama f, A x
Odnosi (slika 5). U ovom slučaju
Komentar. Ako je područje D u Dekartovim koordinatama dato jednadžbom koja sadrži binarnu, na primjer, itd., tada je zgodnije izračunati dvostruki integral nad takvim područjem u polarnim koordinatama.
Dvostruki integral. Osnovne definicije i svojstva.
Dvostruki integrali.
Razmotrimo neku zatvorenu krivu na ravni čija je jednačina
Skup svih tačaka koje leže unutar krive i na samoj krivoj će se zvati zatvorena regija D. Ako odaberete tačke u regiji bez uzimanja u obzir tačaka koje leže na krivulji, područje će se zvati otvorenim područjem D.
Sa geometrijske tačke gledišta, D je površina figure ograničena konturom.
Podijelimo regiju D na n parcijalnih regija pomoću mreže linija koje su međusobno razmaknute duž x ose za rastojanje Dx i, a duž y ose rastojanjem Du i. Uopšteno govoreći, ovaj redosled podjele je obavezan; moguće je podijeliti područje na djelomične površine proizvoljnog oblika i veličine.
Nalazimo da je površina S podijeljena na elementarne pravokutnike, čije su površine jednake S i = Dx i × Dy i.
U svakom parcijalnom području, uzmite proizvoljnu tačku P(x i, y i) i sastavite integralni zbir
gdje je f kontinuirana i nedvosmislena funkcija za sve tačke regije D.
Ako beskonačno povećamo broj parcijalnih regija D i, onda, očigledno, površina svake parcijalne regije S i teži nuli.
definicija: Ako, kako se korak particije domene D približava nuli, integralni sumi imaju konačnu granicu, tada se ova granica naziva dvostruki integral iz funkcije f(x, y) preko domene D.
Uzimajući u obzir činjenicu da je S i = Dx i × Dy i dobijamo:
U gornjoj notaciji postoje dva znaka S, jer zbrajanje se vrši preko dvije varijable x i y.
Jer Podjela integracionog regiona je proizvoljna, a izbor tačaka R i je takođe proizvoljan, onda, s obzirom da su sve oblasti Si iste, dobijamo formulu:
Uslovi za postojanje dvostrukog integrala.
Hajde da formulišemo dovoljne uslove za postojanje dvostrukog integrala.
Teorema. Ako je funkcija f(x, y) kontinuirana u zatvorenom domenu D, tada postoji dvostruki integral
Teorema. Ako je funkcija f(x, y) ograničena u zatvorenoj domeni D i kontinuirana je u njoj svuda osim za konačan broj glatkih linija, tada postoji dvostruki integral.
Svojstva dvostrukog integrala.
3) Ako je D = D 1 + D 2, onda
4) Teorema srednje vrijednosti. Dvostruki integral funkcije f(x, y) jednak je umnošku vrijednosti ove funkcije u nekoj tački u domeni integracije i površini domene integracije.
5) Ako je f(x, y) ³ 0 u domeni D, onda .
6) Ako je f 1 (x, y) £ f 2 (x, y), onda .
#43 Definicija Pretpostavimo da je kriva C je dato vektorskom funkcijom gdje je varijabla th sekcija će biti označena simbolom − dužina luka krive. Zatim derivacija vektorske funkcije
To je jedinični vektor usmjeren duž tangente na ovu krivu (slika 1).
U gornjoj formuli α, β
, A γ
− uglovi između tangente i pozitivnog smjera O osi f, O x i O z, odnosno.
Hajde da uvedemo vektorsku funkciju definisanu na krivulji C, tako da je za skalarnu funkciju
Postojao je krivolinijski integral. Takav integral se zove krivolinijski integral druge vrste vektorske funkcije duž krive C i označava se kao
Dakle, po definiciji,
gdje je jedinični vektor tangente na krivu C.
Posljednja formula se također može prepisati u vektorskom obliku:
Gdje.
Ako je kriva C leži u O ravni xy, onda pod pretpostavkom R= 0, dobijamo
Svojstva krivolinijskog integrala druge vrste
Krivolinijski integral druge vrste ima sljedeća svojstva: Neka C označava krivu koja počinje u tački A i krajnja tačka B. Označimo sa −C krivulja u suprotnom smjeru - od B To A. Onda
Ako C− kombinovanje krivulja C nulta oblast je podeljena na dva povezana regiona koji nemaju zajedničke unutrašnje tačke C 2 (slika 2 iznad), zatim Ako je kriva C je dat parametarski u obliku , onda Ako je kriva C leži u O ravni xy i data je jednačina Tm (pretpostavlja se da je R= 0 i t = x), tada se posljednja formula upisuje u formu
br. 49 Površina F je data eksplicitno z = z(x,y), (x,y)O D (kompaktna),
gdje z(x,y) ima kontinuirane parcijalne izvode prvog reda u D, funkcija f(x,y,z) je definirana i kontinuirana na F. Tada postoji integral jednak
Dokaz. Za oblasti koje dobijamo
Tada će integralni zbroji biti jednaki
Prvi od zbroja je integralni za , drugi se može učiniti proizvoljno malim odabirom dovoljno male particije. Ovo posljednje slijedi iz uniformnog kontinuiteta funkcije f(x,y,z(x,y)) na D.
br. 40 (nastavak) Dovoljan uslov za postojanje krivolinijskog integrala prve vrste biće formulisan kasnije, kada pokažemo kako ga izračunati.
Definicija krivolinijskog integrala prve vrste je po strukturi ista kao i definicija određenog integrala. Prema tome, krivolinijski integral prve vrste ima ista svojstva kao i definitivni integral. Predstavljamo ova svojstva bez dokaza.
SVOJSTVA KRIVILINIJSKOG INTEGRALA 1. VRSTE
1. , gdje je dužina krive.
2. Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka krivolinijskog integrala prve vrste, tj.
3. Krivolinijski integral prve vrste iz algebarskog zbira dvije funkcije (konačnog broja) jednak je algebarskom zbiru krivolinijskih integrala prve vrste iz ovih funkcija, tj.
4. Ako je kriva podijeljena na dva dijela i nema zajedničkih unutrašnjih tačaka, onda
(osobina aditivnosti krivolinijskog integrala prve vrste).
5. Ako je funkcija () svuda na krivulji, onda
6. Ako svuda na krivini (),
7. (posledica svojstava 6 i 1) Ako su i najmanja i najveća vrijednost funkcije na krivulji, tada
gdje je dužina krive.
8. (teorema o srednjoj vrijednosti za krivolinijski integral prve vrste) Ako je funkcija kontinuirana na krivulji, onda postoji tačka takva da je jednakost
gdje je dužina krive.
br. 42 Dužina krivulje.
Ako je integrand funkcija f(x, y, z) ≡ 1, onda iz definicije krivolinijskog integrala 1. vrste nalazimo da je u ovom slučaju jednaka dužini krive duž koje se vrši integracija:
Masa krivulje.
Uz pretpostavku da integrand funkcija γ (x, y, z) određuje gustinu svake tačke krive, nalazimo masu krive koristeći formulu
3. Naći ćemo momente krive l, razmišljajući na isti način kao u slučaju ravne regije: -
statički momenti ravne krive l u odnosu na ose Ox i Oy;
moment inercije prostorne krive u odnosu na ishodište;
· momenti inercije krive u odnosu na koordinatne ose.
4. Koordinate centra mase krive se izračunavaju pomoću formula
38(2) Promjena varijabli u trostrukim integralima
Prilikom izračunavanja trostrukog integrala, poput dvostrukog integrala, često je zgodno izvršiti promjenu varijabli. Ovo vam omogućava da pojednostavite oblik domene integracije ili integranda.
Neka je originalni trostruki integral zadan u kartezijanskim koordinatama x, y, z u domeni U:
Potrebno je izračunati ovaj integral u novim koordinatama u, v, w. Odnos između starih i novih koordinata opisan je relacijama:
Pretpostavlja se da su ispunjeni sljedeći uslovi:
1. Funkcije φ, ψ, χ su neprekidne zajedno sa njihovim parcijalnim derivatima;
2. Postoji korespondencija jedan prema jedan između tačaka regiona integracije U u xyz prostoru i tačaka U" regiona u uvw prostoru;
3. Jakobijan transformacije I (u,v,w), jednak
razlikuje se od nule i zadržava konstantan predznak svuda u domeni integracije U.
Tada se formula za promjenu varijabli u trostrukom integralu piše kao:
U gornjem izrazu znači apsolutna vrijednost Jakobijana.
br. 38 Trostruki integrali u sfernim koordinatama
Sferne koordinate tačke M(x,y,z) su tri broja − ρ, φ, θ, gdje je
ρ je dužina radijus vektora tačke M;
φ je ugao formiran projekcijom vektora radijusa na Oxy ravan i Ox osu;
θ je ugao odstupanja radijus vektora od pozitivnog smjera ose Oz (slika 1).
Imajte na umu da se definicije ρ, φ u sfernim i cilindričnim koordinatama razlikuju jedna od druge.
Sferne koordinate tačke odnose se na njene kartezijanske koordinate
Jakobijan prijelaza iz kartezijanskih u sferne koordinate ima oblik:
Proširujući determinantu preko druge kolone, dobijamo
Prema tome, apsolutna vrijednost Jakobijana je jednaka
Stoga formula za promjenu varijabli prilikom pretvaranja kartezijanskih koordinata u sferne koordinate ima oblik:
Pogodnije je izračunati trostruki integral u sfernim koordinatama kada je domen integracije U lopta (ili neki njen dio) i/ili kada je integrand oblika f (x2 + y2 + z2).
Površina
Odaberimo tačku M0 na glatkoj površini (zatvorenoj ili ograničenoj glatkom konturom) i nacrtajmo normalu na površinu na njoj, birajući joj određeni smjer (jedan od dva moguća). Nacrtajmo zatvorenu konturu duž površine, koja počinje i završava u tački M0. Razmotrimo tačku M koja obilazi ovu konturu i u svakom njenom položaju crtamo normalu pravca u koji normala iz prethodne tačke neprekidno prolazi. Ako se, nakon prelaska konture, normala vrati u tačku M0 u prvobitni položaj za bilo koji izbor točke M0 na površini, površina se naziva dvostranom. Ako se smjer normale, nakon prelaska barem jedne tačke, promijeni u suprotan, površina se naziva jednostrana (primjer jednostrane površine je Mobiusova traka). smjer normale u jednoj tački nedvosmisleno određuje smjer normale u svim tačkama površine.
Definicija
Skup svih tačaka na površini s istim normalnim smjerom naziva se stranica površine.
Površinska orijentacija.
Razmotrimo otvorenu glatku dvostranu površinu S, ograničenu konturom L, i odaberite jednu stranu ove površine.
Definicija
Nazovimo pozitivnim smjer pomicanja konture L, u kojem se kretanje duž konture događa u smjeru suprotnom od kazaljke na satu u odnosu na promatrača koji se nalazi na krajnjoj tački normale na neku tačku površine S koja odgovara odabranoj strani površine. Obrnuti smjer prelaska konture naziva se negativnim.
Vektorski tok polja.
Razmotrimo vektorsko polje A(M) definisano u prostornom domenu G, orijentisanu glatku površinu S G i polje jediničnih normala n(M) na odabranoj strani površine S.
Definicija 13.3. Površinski integral 1. vrste, (13.1)
gdje je An skalarni proizvod odgovarajućih vektora, a An je projekcija vektora A na normalni smjer, koji se naziva protok vektorskog polja A(M) kroz odabranu stranu površine S.
Napomena 1.
Ako odaberete drugu stranu površine, tada će normala, a samim tim i fluks promijeniti predznak.
Napomena 2.
Ako vektor A specificira brzinu protoka fluida u datoj tački, tada integral (13.1) određuje količinu fluida koja teče u jedinici vremena kroz površinu S u pozitivnom smjeru (otuda opći naziv „protok“).
br. 53 Površinski integral druge vrste. Definicija i sveci.
Definicija
Uzmite u obzir dvostranu površinu, glatku ili glatku u komadima, i fiksirajte bilo koju od njenih dviju strana, što je ekvivalentno odabiru određene orijentacije na površini.
Radi određenosti, pretpostavimo prvo da je površina data eksplicitnom jednačinom i da tačka varira u području na ravni ograničenoj komadično glatkom konturom.
Neka je sada neka funkcija definirana u tačkama ove površine. Podijelivši površinu mrežom glatkih krivulja na dijelove i odabravši tačku na svakom takvom dijelu, izračunavamo vrijednost funkcije u datoj tački i množimo je s površinom projekcije na ravan element, opremljen određenim znakom. Napravimo integralni zbir:
Konačna granica ove integralne sume pošto prečnici svih delova teže nuli naziva se površinski integral druge vrste
širi se na odabranu stranu površine i označava se simbolom
(ovdje) nas podsjeća na područje projekcije elementa površine na ravan
Ako umjesto ravni projektiramo površinske elemente na ravan ili , tada ćemo dobiti dva druga površinska integrala drugog tipa:
U aplikacijama se najčešće susreću veze integrala svih ovih vrsta:
gdje su funkcije , definirane u točkama površine.
Odnos površinskih integrala druge i prve vrste
Gdje je jedinični vektor normale površine - ort.
Svojstva
1. Linearnost: ;
2. Aditivnost: ;
3. Kada se orijentacija površine promijeni, površinski integral mijenja predznak.
60 Operatornabla (Hamiltonov operater)- vektorski diferencijalni operator, označen simbolom (nabla). Za trodimenzionalni euklidski prostor u pravokutnim Dekartovim koordinatama, nabla operator je definiran na sljedeći način: gdje su jedinični vektori duž x, y, z osa.
Svojstva opservabilnog operatora. Ovaj vektor ima smisla kada se kombinuje sa skalarnom ili vektorskom funkcijom na koju se primenjuje. Ako vektor pomnožite sa skalarom φ, dobijate vektor koji predstavlja gradijent funkcije. Ako se vektor skalarno pomnoži sa vektorom, rezultat je skalar
odnosno divergenciju vektora. Ako množite sa vektorom, dobijate rotor vektora:
Napomena: kao i za označavanje skalarnog i vektorskog proizvoda općenito, kada se koriste s nabla operatorom, uz one korištene iznad, često se koriste ekvivalentne alternativne oznake, na primjer, umjesto često pišu , i umjesto njih write ; ovo važi i za formule date u nastavku.
Prema tome, skalarni proizvod je skalarni operator koji se zove Laplaceov operator. Potonji je također označen. U Dekartovim koordinatama Laplasov operator je definisan na sledeći način: Pošto je nabla operator diferencijalni operator, pri transformisanju izraza potrebno je uzeti u obzir i pravila vektorske algebre i pravila diferencijacije. na primjer:
To jest, izvod izraza koji zavisi od dva polja je zbir izraza u svakom od kojih je diferencirano samo jedno polje. Radi lakšeg označavanja na koja polja nabla djeluje, općenito je prihvaćeno da u proizvodu polja i operatora svaki operator djeluje na izraz desno od njega, a ne djeluje na sve lijevo. Ako se od operatora traži da djeluje na polje lijevo, ovo polje se označava na neki način, na primjer, stavljanjem strelice iznad slova: Ovaj oblik notacije se obično koristi u srednjim transformacijama. Zbog svoje neugodnosti, pokušavaju se riješiti strelica u konačnom odgovoru.
№61 Vektorske diferencijalne operacije drugog reda Zovu se sljedećih pet operacija:
1. gdje je Laplaceov operator.
- - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - -
2
- - - - - - - - - - - - -
3 .
- - - - - - - - - - - - - - - - -
4. Ovdje je vektorska količina dobivena primjenom Laplaceovog operatora na svaku projekciju vektora.
- - - - - - - - - - - - - - -
Dvostruki integral ima svojstva slična osobinama određenog integrala. Navedimo samo glavne:
1. Ako su funkcije i 
integrisana u oblasti 
, tada su njihov zbir i razlika integrabilni u njega, i
2. Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka dvostrukog integrala:
3. Ako 
integrabilne u oblasti 
, a ovo područje je podijeljeno na dva područja koja se ne preklapaju 
I 
, To
.
4. Ako 
I 
integrisana u oblasti 
, u kojoj 
, To
.
5. Ako ste u tom području 
funkcija 
zadovoljava nejednakosti 
,Gdje 
I 
neki realni brojevi, dakle
,
Gdje 
– područje regije 
.
Dokazi ovih svojstava su slični dokazima odgovarajućih teorema za definitivni integral.
Izračunavanje dvostrukog integrala u pravokutnim dekartovim koordinatama
Pretpostavimo da trebamo izračunati dvostruki integral 
, gdje je područje 
- pravougaonik definisan nejednačinama 
,
.
Pretpostavimo to 
je kontinuiran u ovom pravokutniku i u njemu uzima nenegativne vrijednosti, tada je ovaj dvostruki integral jednak volumenu tijela sa bazom 
, omeđen iznad površine 
, sa strana - avioni 
,
,
,
:
.
S druge strane, volumen takve figure može se izračunati korištenjem određenog integrala:
,
Gdje 
- površina poprečnog presjeka datog tijela ravninom koja prolazi kroz tačku 
i okomito na osu 
. A budući da je dio koji se razmatra zakrivljeni trapez 
, odozgo ograničen grafom funkcije 
, Gdje 
fiksno i 
, To
.
Iz ove tri jednakosti slijedi da
.
Dakle, izračunavanje ovog dvostrukog integrala je svedeno na izračunavanje dva određena integrala; kada se računa "unutrašnji integral" (napisano u zagradama) 
smatra trajnim.
Komentar. Može se dokazati da posljednja formula vrijedi i za 
, kao i u slučaju kada je funkcija 
mijenja znak u navedenom pravokutniku.
Desna strana formule naziva se iterirani integral i označava se na sljedeći način:
.
Slično, to se može pokazati
.
Iz navedenog proizilazi da
.
Posljednja jednakost znači da rezultat integracije ne ovisi o redoslijedu integracije.
Da bismo razmotrili opštiji slučaj, uvodimo koncept standardne domene. Standardna (ili pravilna) regija u smjeru date ose je takva regija za koju bilo koja prava linija paralelna ovoj osi siječe granicu regije u najviše dvije tačke. Drugim riječima, on siječe samu regiju i njenu granicu duž samo jednog pravolinijskog segmenta.
Pretpostavimo da je ograničeno područje 
a odozgo je ograničen grafom funkcije 
, ispod - graf funkcije 
. Neka R( 
,
) - minimalni pravougaonik koji zatvara ovu oblast 
.
Pustite u okolinu 
definirana i kontinuirana funkcija 
. Hajde da predstavimo novu funkciju:
,
zatim, u skladu sa svojstvima dvostrukog integrala
.
I stoga
.
Od segmenta 
u potpunosti pripada regionu 
onda, dakle, 
at 
, i ako 
dakle leži izvan ovog segmenta 
.
Kod fiksnog 
možemo napisati:
.
Pošto su prvi i treći integral na desnoj strani jednaki nuli, onda
.
dakle,
.
Iz koje dobijamo formulu za izračunavanje dvostrukog integrala nad standardom regiona u odnosu na osu 
svodeći ga na iterirani integral:
.
Ako područje 
je standardno u smjeru osi 
i određen je nejednakostima 
,
, slično se može dokazati da
.
Komentar. Za područje 
, standardno u smjeru osi 
I 
, stoga će obje posljednje jednakosti biti zadovoljene
Ova formula mijenja red integracije prilikom izračunavanja odgovarajućeg dvostrukog integrala.
Komentar. Ako područje integracije nije standardno (ispravno) u smjeru obje koordinatne ose, tada se dijeli na zbir standardnih površina i integral se prikazuje kao zbir integrala nad tim površinama.
Primjer. Izračunaj dvostruki integral 
po regionu 
, omeđen linijama: 
,
,
.
Rješenje.
Ovo područje je standardno u odnosu na osu 
, i u odnosu na osu 
.
Izračunajmo integral, smatrajući da je površina standardna u odnosu na osu 
.
.
Komentar. Ako izračunamo integral, uzimajući u obzir standard površine u odnosu na osu 
, dobijamo isti rezultat:
.
Primjer. Izračunaj dvostruki integral 
po regionu 
, omeđen linijama: 
,
,
.
Rješenje. Opišimo datu domenu integracije na slici.
Ovo područje je standardno u odnosu na osu 
.
.
Primjer. Promijenite red integracije u iteriranom integralu:
Rješenje. Hajde da opišemo region integracije na slici.
Od granica integracije nalazimo linije koje ograničavaju područje integracije: 
,
,
,
. Za promjenu redoslijeda integracije izražavamo 
kao funkcije 
i pronađite tačke raskrsnice:
,
,
.
Budući da je na jednom od intervala funkcija 
se izražava sa dva analitička izraza, onda se integraciona oblast mora podeliti na dva regiona, a ponovljeni integral se mora prikazati kao zbir dva integrala.
.
Problem koji vodi do koncepta dvostrukog integrala Definicija dvostrukog integrala Osnovna svojstva dvostrukog integrala Površina ravne regije Redukcija dvostrukog integrala na ponovljeni integral Promjena varijabli u dvostrukom integralu Element površine u krivolinijskim koordinatama Jacobian i njegovo geometrijsko značenje Formula za promjenu varijabli u dvostrukom integralu Dvostruki integral u polarnim koordinatama
Problem koji vodi do koncepta dvostrukog integrala. Definicija dvostrukog integrala. Do koncepta dvostrukog integrala dolazimo rješavanjem specifičnog problema izračunavanja zapremine cilindričnog tijela. Cilindrično tijelo je tijelo ograničeno ravninom xOy, određenom površinom i cilindričnom površinom, čije su generatrise paralelne s osi (vidi sliku 1). Područje D promjene varijabli x i y naziva se baza cilindričnog tijela. Pri određivanju zapremine tijela polazit ćemo od dva principa: !) ako tijelo podijelimo na dijelove, tada je njegova zapremina jednaka zbiru zapremina svih dijelova (osobina aditivnosti); 2) zapremina pravog cilindra omeđenog ravninom z = const, paralelna ravnini xOy, jednaka je površini osnove pomnoženoj sa visinom. U nastavku ćemo pretpostaviti da je područje D povezano (sastoji se od jednog dijela), kvadratno (tj. ima površinu) i ograničeno (tj. nalazi se unutar određenog kruga sa središtem u početku). Neka je kontinuirana funkcija tačke P(x, y) u području svuda u području Z>, tj. da razmatrana cilindrična površina leži u potpunosti iznad ravni xOy. Označimo zapreminu cilindričnog tijela sa V. Područje D - osnova cilindričnog tijela - dijelimo na određeni broj n četverostrukih područja proizvoljnog oblika koji se ne seku; zvaćemo ih parcijalnim regionima. Nakon numerisanja djelomičnih područja nekim redoslijedom, područja - kroz shodno tome. Nazovimo prečnik parcijalnog područja Dk veličinom Problem koji vodi do koncepta dvostrukog integrala Definicija dvostrukog integrala Osnovna svojstva dvostrukog integrala Površina ravne regije Redukcija dvostrukog integrala na ponovljeni integral Promjena varijable u dvostrukom integralu Element površine u krivolinijskim koordinatama Jacobian i njegovo geometrijsko značenje Formula za promjenu varijabli u dvostrukom integralu Dvostruki integral u polarnim koordinatama gdje simbol p(P; Q) označava udaljenost između tačaka P i Q. Označimo za d najveći od prečnika parcijalnih oblasti Dk (k = 1,2,...,n). Nacrtajmo kroz granicu svake parcijalne regije cilindričnu površinu sa generatorima paralelnim sa Oz osi. Kao rezultat toga, cilindrično tijelo će biti razbijeno na n djelomičnih cilindričnih tijela. Zamenimo ovo delimično telo ravnim cilindrom sa istom osnovom i visinom jednakom aplikatu neke tačke zamenjene površine (sl. 2). Zapremina takvog cilindra jednaka je gdje je tačka površina područja Dk. Nakon što smo izvršili opisane konstrukcije za svako djelomično cilindrično tijelo, dobili smo tijelo s n korakom, čiji volumen (o) Intuitivno je jasno da Vn točnije izražava željeni volumen V, što je manja veličina parcijalnih područja Dk. Zapreminu V cilindričnog tijela uzimamo da je jednaka granici do koje zapremina (1) tijela sa n koraka teži kao n-hiljada najvećeg prečnika d parcijalnih područja Dk teži nuli. Naravno, granica ne bi trebalo da zavisi od tipa podele regiona D na parcijalne regione Dk i od izbora tačaka Pk u parcijalnim regionima. Neka je /(x, y) proizvoljna funkcija definirana u domeni D. Zbir n (1) naziva se integralni zbir za funkciju f(x)y) nad domenom D, koji odgovara datoj particiji ovog domena na n parcijalnih domena i dat izbor tačaka Ž ®*,!/*) na parcijalnim domenima Dk. Definicija. Ako za d -* 0 postoji granica integralnih suma n koja ne zavisi ni od metode particionisanja domene D na parcijalne domene ni od izbora tačaka Pk u parcijalnim domenima, onda se to naziva dvostrukim integralom funkcija f(P) (ili f(x, y )) nad domenom D i označena je simbolom ILI Dakle, (2) Sama funkcija f(x, y) naziva se integrabilnom u domenu D (f( P) je integrand, f(P) dS je integrand, dS je diferencijal (ili element) površine, region D - oblast integracije P(®, y) - varijabla integracije; ,.. Vraćajući se na cilindrično tijelo, zaključujemo: zapremina cilindričnog tijela ograničenog ravninom xOy, površinom i cilindričnom površinom s generatricijama paralelnim osi Oz, jednaka je dvostrukom integralu funkcije /( x, y) preko oblasti D, koja je osnova cilindričnog tela / ILI Ovde je dx dy element površine u Dekartovim koordinatama. Ovo je geometrijsko značenje dvostrukog integrala nenegativne funkcije. Ako tada volumen If u području D funkcije f(P) poprimi i pozitivne i negativne vrijednosti, tada integral predstavlja algebarski zbir volumena onih dijelova tijela koji se nalaze iznad ravnine xOy (uzeto sa znak “+”), a oni dijelovi tijela koji se nalaze ispod ravni xOy (uzeti sa znakom “-”). Teorema 2. Ako je funkcija /(x, y) ograničena u zatvorenom ograničenom domenu D i kontinuirana je svuda u D osim nekog skupa tačaka nulte površine, onda je ova funkcija integrabilna u domenu D. §2. Osnovna svojstva dvostrukog integrala Dvostruki integrali imaju niz svojstava sličnih svojstvima određenog integrala za funkcije jedne nezavisne varijable. 2.1. Linearno svojstvo Ako su funkcije) integrabilne u domenu D, a a i p su bilo koji realni brojevi, onda je funkcija af) također integrabilna u domenu D, i o) 2.2. Integracija nejednačina Ako su funkcije) integrabilne u domeni D i svuda u ovoj domeni, tada (2) tj. nejednakosti se mogu integrirati. Konkretno, integrirajući očigledne nejednakosti dobijamo Površina ravne regije Površina ravne regije D jednaka je dvostrukom integralu nad ovim područjem funkcije identično jednake jedinici. Zaista, integralni zbir za funkciju /(P) = 1 u domeni D ima oblik i, za bilo koju particiju domene D na parcijalne domene Dt, jednak je njenoj površini S. Ali onda je granica ove sume, tj. dvostruki integral, jednak je površini S površine D: ili, što je isto, (3) 2.4. Procjena integrala Neka je funkcija f(P) kontinuirana u ograničenom zatvorenom području D, neka su M i mn najveća i najmanja vrijednost f(P) u domeni D i 5 njenoj površini. Tada je (4) 2.5. Aditivnost: Ako je funkcija /(P) integrabilna u domenu D, a domena Z) podijeljena na dvije domene D\ i Di bez zajedničkih unutrašnjih tačaka, tada je /(P) integrabilna na svakoj od domena D\ i Di , i (5) 2.6. Teorema srednje vrijednosti Teorema 3 (srednja vrijednost). Ako je funkcija /(P) kontinuirana u zatvorenom ograničenom području D, tada postoji barem jedna tačka Pc domene D takva da je formula i gdje je S površina domene D zaista valjana /(P) je kontinuirano u zatvorenom ograničenom domenu D, tada u D uzima svoju najveću vrijednost M i svoju najmanju vrijednost m Prema svojstvu 4 na procjenu integrala koju imamo. Dakle, broj se nalazi između najvećeg i najmanjeg vrijednosti funkcije /(P) u domeni D. Zbog kontinuiteta funkcije /( P) u domeni D ona uzima u nekom trenutku Pc G D vrijednost jednaku ovom broju, odakle S Vrijednost f( Pc), određena formulom (7), naziva se prosječna vrijednost funkcije f(P) u domeni D. Geometrijsko značenje vrijednosti teoreme srednje vrijednosti Ako je u području D funkcija /(P) ^ O, tada formula (6) znači da postoji pravi cilindar sa osnovom D (čija je površina 5) i visinom H = /(Pc), čija je zapremina jednaka zapremini cilindričnog tela (sl. 3). § 3. Svođenje dvostrukog integrala na iterirani integral Jedan od efikasnih načina za izračunavanje dvostrukog integrala je njegovo svođenje na iterirani integral. 3.1. Slučaj pravougaonika Neka je površina D zatvoreni pravougaonik P sa stranicama paralelnim sa koordinatnim osa. Neka je funkcija f(x, y) neprekidna u pravokutniku P. Dvostruki integral se može protumačiti kao (algebarski) volumen cilindričnog tijela s osnovom P, ograničenog površinom. Nacrtajmo ravan okomitu na osu Oy (slika 4). Ova ravan će secirati cilindrično tijelo duž krivolinijskog trapeza omeđenog odozgo ravnom linijom z, opisanom jednadžbama. Površina trapeza ABC\A\ izražena je integralom gdje se integracija vrši preko x, i yo - drugi argument integranda - smatra se konstantnim (c ^ Uo ^ d ). Vrijednost integrala (1) ovisi o izboru vrijednosti uo. Stavimo (2) Izraz (2) daje površinu poprečnog presjeka cilindričnog tijela a kao funkciju y. Stoga se zapremina cilindričnog tijela može izračunati pomoću formule. svojim izrazom (2), dobijamo Problem koji vodi do koncepta dvostrukog integrala Definicija dvostrukog integrala Osnovna svojstva dvostrukog integrala Površina ravne regije Svođenje dvostrukog integrala na ponovljeni integral Zamjena varijabli u dvostrukom integralu Element površine u krivolinijskim koordinatama Jakobijan i njegovo geometrijsko značenje Formula za zamjenu varijabli u dvostrukom integralu Dvostruki integral u polarnim koordinatama Posljednja relacija se obično piše na sljedeći način. Zapremina cilindričnog tijela se također može naći iz površina poprečnog presjeka ravni x = x0. Ovo dovodi do formule (4) Svaki od izraza na desnoj strani formula (3) i (4) sadrži dvije uzastopne operacije obične integracije funkcije /(x, y). Zovu se ponovljeni integrali funkcije f(x, y) nad domenom P. Ako je f(x, y) kontinuirano u zatvorenom pravokutniku P, tada je prijelaz na ponovljene integrale uvijek moguć i (5) tj. vrijednosti ponovljenih integrala kontinuirane funkcije /(x, y) ne ovise o redoslijedu integracije. Primjer 1. Naći dvostruki integral funkcije nad domenom Imamo (vidi sliku 5): 3.2. Slučaj proizvoljnog domena Pretpostavimo sada da je domen integracije proizvoljni ograničeni kvadratni zatvoren domen D na ravni xOy, koji zadovoljava sljedeći uvjet: bilo koja prava paralelna osi Oy siječe granicu domene D na no više od dvije tačke ili duž cijelog segmenta (sl. 6 a). Zagradimo područje D unutar pravougaonika kao što je prikazano na sl. 66. Segment [a, 6] je ortogonalna projekcija regiona D na osu Oxy, a segment [c, dj je ortogonalna projekcija regiona D na osu Oy. Tačke A i C dijele granicu područja D na dvije krive ABC i AEC. Svaka od ovih krivulja seče proizvoljnom ravnom linijom paralelnom sa Oy osom u najviše jednoj tački. Stoga se njihove jednadžbe mogu napisati u obliku razriješenom s obzirom na y: Neka je f(x, y) neka funkcija neprekidna u području D. Secirajmo cilindrično tijelo koje se razmatra ravninom. U presjeku dobijamo krivolinijski trapez PQMN (slika 7), čija je površina izražena običnim integralom funkcije /(x, y), koja se smatra funkcijom jedne varijable y. U ovom slučaju, varijabla y se mijenja od ordinate tačke P do ordinate tačke Q\ tačka P je "ulazak" linije x = const (u ravnini) u područje - tačka njenog "izlaska" iz ove regije. Pošto je jednačina krive ABC, a krive je, ove ordinate za x su respektivno jednake. Posljedično, integral nam daje izraz za površinu ravnog presjeka cilindričnog tijela kao funkciju položaja rezne ravnine x = const. Zapremina cijelog tijela bit će jednaka integralu ovog izraza po x u intervalu promjene. Tako, posebno, za područje S regije D dobijamo: Pretpostavimo sada da svaka prava linija siječe granicu područja D u najviše dvije tačke P i Q, čije su apscise jednake, respektivno ( ili duž cijelog segmenta) (slika 8). Provodeći slično razmišljanje, dolazimo do formule koja također svodi izračunavanje dvostrukog integrala na ponovljeni. Primjer 2. Izračunajte dvostruki integral funkcije nad površinom D. ograničenom linijama ^ Prva metoda. Opišimo domen integracije D. Prava y = x i parabola y = x2 seku se u tačkama). To znači da x varira unutar 8 granica od 0. Svaka prava linija x = const) seče granicu regiona u najviše dve tačke. Stoga je primenljiva formula (8): Drugi metod (slika 10). Koristeći formulu (10). dobijamo isti rezultat: Primjer 3. Izračunati zapreminu tijela ograničenog površinom koja se siječe s ravninom xOy duž linije elipse sa poluosama zbog simetrije ovog tijela u odnosu na koordinatne ravnine xOz i y Ox dobijamo: Napomena. Ako je područje D takvo da neke prave linije (ostratekalne ili horizontalne) sijeku njegovu granicu u više od dvije tačke, tada da bi se izračunao dvostruki integral nad područjem D, treba ga na odgovarajući način podijeliti na dijelove, ponoviti svaki od integrala na dijelove , i dodati dobijene rezultate . Primjer 4. Izračunajte dvostruki integral nad područjem D zatvorenom između dva kvadrata sa centrima i na početku i stranicama paralelnim sa koordinatnim osama, ako je stranica unutrašnjeg kvadrata 2, a vanjskog 4. Neprekidna je kao u veliki kvadrat Q, čija je stranica 4, i mali kvadrat R. čija je stranica jednaka 2 (slika 12). Prema teoremi 1 postoje integrali funkcije e*** nad naznačenim kvadratima, pa je vrijednost traženog integrala §4. Promjena varijabli u dvostrukom integralu 4.1. Koncept krivolinijskih koordinata tačke Neka je zadan par funkcija u području D* ravni uOv, koje ćemo smatrati kontinuiranim u ovom području i koje imaju kontinuirane parcijalne izvode. Na osnovu jednačine (1), svaka tačka M*(α, v) domene D* odgovara jednoj specifičnoj tački M(x, y) u ravni xOy, te stoga tačke domene D* odgovaraju određeni skup D tačaka (x, y) u ravni xOy (slika 13). U ovom slučaju kažu da funkcije (1) mapiraju domenu D4 na skup D. Pretpostavimo da različite tačke (u, v) odgovaraju različitim tačkama (x, y). Ovo je ekvivalentno jedinstvenoj rješivosti jednadžbi (1) s obzirom na u, v: U ovom slučaju, preslikavanje se naziva jedno-na-jedan preslikavanje domene D* na domenu D. Sa takvom transformacijom, bilo koja neprekidna kriva L* koja leži u domeni D* će se transformirati u kontinuiranu krivulju L koja leži u području D. Ako su funkcije d(x) y) i h(x, y) također kontinuirane, tada bilo koja kontinuirana linija LCD uz pomoć transformacije (2) će ići preko kontinuirane linije L* C D*.<)> Vq) u samom području £)*, ali položaj odgovarajuće tačke M(xo, vo) u području D, xo = 4>(io, v0), 3/0 = o,vo). Ovo daje osnovu da se brojevi u, v smatraju nekim novim koordinatama tačke D oblasti M na ravni xOy. Zovu se krivolinijske koordinate tačke M. Skup tačaka u području D za koje jedna od koordinata ostaje konstantna naziva se koordinatna linija. Postavljanjem u = vq u formuli (1), dobijamo parametarske jednadžbe koordinatne linije. Ovdje ulogu parametra ima varijabla u. Dajući koordinate v različite (za to moguće) konstantne vrijednosti, dobijamo familiju koordinatnih linija (v = const) na ravni xOy. Slično, dobijamo još jednu familiju koordinatnih linija (u = const). Ako postoji korespondencija jedan-na-jedan između regiona D* i D, različite koordinatne linije iste porodice ne seku jedna drugu, a jedna linija iz svake porodice prolazi kroz bilo koju tačku regiona D. Mreža krivolinijskih koordinatnih linija na xOp ravni je slika pravokutne mreže na ravni uOv (vidi sliku 13). 4.2. Element površine u krivolinijskim koordinatama. Jakobijan i njegovo geometrijsko značenje Odaberimo u području D* na ravni Uo*V mali pravougaonik P*P?P$Pl sa stranicama paralelnim sa koordinatnim osama 0*u i O"v i dužinama stranica Ai i Av (radi određenosti, pretpostavljamo da A ) respektivno (slika 14 a. Njegova površina pravougaonik se transformiše u zakrivljeni četvorougao * u oblasti D (slika 146) ako vrhovi P) imaju koordinate, onda, prema formulama (1). ), odgovarajući vrhovi Pi imaju koordinate. Koristeći Taylorovu formulu za funkciju dvije varijable i ograničavajući se na članove prvog reda/pc u odnosu na A i Av, dobijamo sljedeće približne vrijednosti koordinata za varijable). vrhova četvorougla gde su sve njihove derivacije izračunate u tački površina DS četvorougla može se približno izraziti u smislu dužine vektorskog proizvoda, Problem koji vodi do koncepta dvostrukog integrala Definicija dvostrukog integrala Osnovna svojstva dvostrukog integrala Površina ravne oblasti Redukcija dvostrukog integrala integral u ponovljeni integral Zamjena varijabli u dvostrukom integralu Element površine u krivolinijskim koordinatama Jacobian i njegovo geometrijsko značenje Formula za promjenu varijabli u dvostrukom integralu Dvostruki integral u polarnim koordinatama Odrednica Iz formula (7) i (8) videa, apsolutna vrijednost Jakobija igra ulogu lokalnog koeficijenta rastezanja regije D" (u ovoj tački (tx, v)) kada se preslikava na domenu D pomoću formula transformacije (1). 4.3. Formula za promjenu varijabli u dvostrukom integralu Neka kontinuirane funkcije vrše jedno-prema jedan preslikavanje domene D* na D i imaju kontinuirane parcijalne izvode prvog reda. Neka je kontinualna funkcija data u području D na ravni xOy. Svaka vrijednost funkcije) u području D odgovara jednakoj vrijednosti funkcije r = u području D", gdje ćemo podijeliti područje D*. na parcijalne regije i konstruirajte odgovarajuću particiju regije D. Odaberite tačke u odgovarajućim parcijalnim regijama (u, v) i (x, y) tako da se vrijednosti funkcija u njima poklapaju, a mi sastavljamo integralne sume za funkcije z = /(x, y) i v) preko domena D i D* (zbog kontinuiteta mape (I), najveći od prečnika d parcijalnih područja u D će težiti nuli), imat ćemo gdje je Uslov J F 0 uslov lokalnog jedno-na-jedan preslikavanja izveden od Teorema funkcija 4. Da bi se dvostruki integral specificiran u Dekartovim koordinatama transformirao u dvostruki integral u krivolinijskim koordinatama, potrebno je zamijeniti varijable x i y u funkciji integranda /(x, y) redom kroz element površine dx dy - njegov izraz u krivolinijskim koordinatama: Primjer. Naći površinu figure ograničene hiperbolama m Pronalaženje površine naznačene figure svodi se na izračunavanje dvostrukog integrala nad područjem O. Uvedemo nove, krivolinijske koordinate i i o po formulama. jednadžbe, to. To znači da smo u ravni uOv dobili pravougaonik (slika 156) - figuru jednostavniju od date figure D. Izrazimo x i y iz relacija (11) kroz u i t>: Slika 15 Tada je dvostruki integral u polarnim koordinatama Izračunavanje dvostrukog integrala se često pojednostavljuje zamjenom pravokutnih koordinata x i y polarnim koordinatama prema formulama Element površine u polarnim koordinatama ima oblik i formulu za prijelaz iz integrala u kartezijanskim koordinatama u integral u polarne koordinate se mogu napisati na sljedeći način: U ovom slučaju (13) Element površine u polarnim koordinatama može se dobiti i iz geometrijskih razmatranja (vidi sliku 16). Površina zasjenjenog područja na slici A = pl. sektori. sektori Odbacivanjem beskonačno male količine višeg reda, dobijamo je i uzimamo kao element površine u polarnim koordinatama. Dakle, da biste transformirali dvostruki integral u Dekartovim koordinatama u dvostruki integral u polarnim koordinatama, trebate zamijeniti a: i y u integrandu, respektivno, kroz p costp i psiny, i zamijeniti element površine u Dekartovim koordinatama dx dy sa elementom površine u polarnim koordinatama p dp dip. Počnimo da izračunavamo dvostruki integral u polarnim koordinatama. Kao iu slučaju pravokutnih Dekartovih koordinata, izračunavanje integrala u polarnim koordinatama se provodi tako što se on svodi na iterirani integral. Razmotrimo prvo slučaj kada pol O leži izvan date regije D. Neka regija D ima svojstvo da bilo koji zrak izlazi iz pola (koordinatna prava y siječe njenu granicu u najviše dvije tačke ili duž cijelog segmenta (Slika 17) Zapazimo da su ekstremne vrijednosti i polarnog ugla granice vanjske integracije Zrak μ> = prolazi kroz tačku A konture regije D, a zrak kroz tačku B. Tačke Aw B dijele konturu regije D na dva dijela: ACB i AFB i) su jednovrijedne kontinuirane funkcije koje zadovoljavaju uslov Funkcije su granice interne integracije. Prelaskom na ponovljene integrale dobijamo sledeću formulu. Konkretno, za površinu S regiona D sa F(p, r 1) dobijamo. Neka se sada pol O nalazi unutar oblasti D. Pretpostavimo da je oblast D. je zvezdana u odnosu na pol, tj., bilo koji zrak tp = const siječe granicu regije u samo jednoj tački ili duž cijelog segmenta (Slika 18. Neka je jednačina granice regije u polarnim koordinatama). Zatim Fig. 18. Izračunajte integral gdje je regija četvrtina jedinične kružnice koja se nalazi u prvom kvadrantu različito od nule u domeni D, onda je preslikavanje u određenom susjedstvu svake tačke jedan-prema jedan preslikavanje definirano funkcijama Jakobijan ovih funkcija je jednak i, stoga, svuda različit od nule. Bez obzira na to, dobijamo za, tako da ovo mapiranje nije jedan-na-jedan. S druge strane, ako Jakobijan preslikavanja nestane u nekoj tački, onda se ipak preslikavanje u susjedstvu ove tačke može pokazati kao jedan prema jedan. Na primjer, za mapiranje definirano funkcijama, Jacobian je jednak nuli i at, ali je preslikavanje jedan prema jedan. Inverzno preslikavanje je određeno funkcijama