Disperzija diskretne slučajne varijable. Standardna devijacija. Kako izračunati varijansu slučajne varijable Variance x

σ 2 (\displaystyle \displaystyle \sigma ^(2)) Kvadratni korijen varijanse je jednakσ (\displaystyle \displaystyle \sigma )

, naziva se standardna devijacija, standardna devijacija ili standardni raspon. Standardna devijacija se mjeri u istim jedinicama kao i sama slučajna varijabla, a varijansa se mjeri u kvadratima te jedinice.

Bilješke Gdje - i (\displaystyle i) -ta vrijednost slučajne varijable, p i (\displaystyle p_(i)) - vjerovatnoća da slučajna varijabla poprimi vrijednost, x i (\displaystyle x_(i)) n (\displaystyle n)

- broj vrijednosti slučajne varijable. Gdje f (x) (\displaystyle f(x))

• - gustina vjerovatnoće slučajne varijable. Zbog linearnosti matematičkog očekivanja, formula je važeća:
• D [ X ] = M [ X 2 ] − (M [ X ]) 2 (\displaystyle D[X]=M-\lijevo(M[X]\desno)^(2))
• Varijanca je drugi centralni moment slučajne varijable;
• Varijanca može biti beskonačna. Varijanca se može izračunati korištenjem funkcije generiranja momenta: U (t) (\displaystyle U(t))
• D [ X ] = M [ X 2 ] − (M [ X ]) 2 = U ″ (0) − (U ′ (0)) 2 (\displaystyle D[X]=M-\left(M[X] \desno)^(2)=U""(0)-\lijevo(U"(0)\desno)^(2))
• Varijanca cjelobrojne slučajne varijable može se izračunati korištenjem funkcije generiranja sekvence. Zgodna formula za izračunavanje pristrasne varijanse uzorka slučajne varijable X (\displaystyle X) po sekvenci X 1. .. X ¯ = ∑ i = 1 n X i n (\displaystyle (\bar (X))=(\dfrac (\sum \limits _(i=1)^(n)X_(i))(n)))- nepristrasna procjena M [ X ] (\displaystyle M[X]). Da bi se dobila nepristrasna procjena varijance uzorka, desna strana gornje jednakosti mora se pomnožiti sa n n − 1 (\displaystyle (\frac (n)(n-1))) . Nepristrasna procjena je označena: S ~ 2 (\displaystyle (\widetilde (S))^(2))

S ~ 2 = ∑ i = 1 n X i 2 − (∑ i = 1 n X i) n 2 n − 1 = ∑ i = 1 n X i 2 − n X ¯ 2 n − 1 = ∑ i = 1 n (X i 2 − X ¯ 2) n − 1 (\displaystyle (\widetilde (S))^(2)=(\dfrac (\sum \limits _(i=1)^(n)X_(i)^ (2)-(\dfrac (\left(\sum \limits _(i=1)^(n)X_(i)\right))(n))^(2))(n-1))=( \dfrac (\sum \limits _(i=1)^(n)X_(i)^(2)-n(\bar (X))^(2))(n-1))=(\dfrac ( \sum \limits _(i=1)^(n)\left(X_(i)^(2)-(\bar (X))^(2)\desno))(n-1)))

• Svojstva Varijanca bilo koje slučajne varijable nije negativna:
• D[X] ⩾ 0;
• (\displaystyle D[X]\geqslant 0;) Ako je varijansa slučajne varijable konačna, onda je njeno matematičko očekivanje konačno; Ako je slučajna varijabla jednaka konstanti, tada je njena varijansa nula: D [ a ] ​​= 0. (\displaystyle D[a]=0.) Vrijedi i suprotno: ako D [ X ] = 0 , (\displaystyle D[X]=0,) To
• X = M [ X ] (\displaystyle X=M[X]) skoro svuda; Varijanca zbira dvije slučajne varijable jednaka je: D [ X + Y ] = D [ X ] + D [ Y ] + 2 cov (X , Y) (\displaystyle D=D[X]+D[Y]+2\,(\text(cov))( X,Y)), Gdje
• cov (X, Y) (\displaystyle (\text(cov))(X,Y)) - njihova kovarijansa;< j ⩽ n c i c j cov (X i , X j) {\displaystyle D\left[\sum _{i=1}^{n}c_{i}X_{i}\right]=\sum _{i=1}^{n}c_{i}^{2}D+2\sum _{1\leqslant i Varijanca zbira dvije slučajne varijable jednaka je: Za varijansu proizvoljne linearne kombinacije nekoliko slučajnih varijabli vrijedi jednakost:;
• D [ ∑ i = 1 n c i X i ] = ∑ i = 1 n c i 2 D [ X i ] + 2 ∑ 1 ⩽ i c i ∈ R (\displaystyle c_(i)\in \mathbb (R) ) posebno, D [ X 1 + .

  .

  .

  + X n ] = D [ X 1 ] + .

  M [ X ] = ∫ 0 1 x d x = x 2 2 |

  0 1 = 1 2 .

  (\displaystyle M\left=\int \limits _(0)^(1)\!x\,dx=\left.(\frac (x^(2))(2))\right\vert _(0 )^(1)=(\frac (1)(2)).)

Zatim varijansu slučajne varijable

D [ X ] = M [ X 2 ] − (M [ X ]) 2 = 1 3 − (1 2) 2 = 1 12 . (\displaystyle D[X]=M\lijevo-(M[X])^(2)=(\frac (1)(3))-\lijevo((\frac (1)(2))\desno) ^(2)=(\frac (1)(12)).) Varijanca slučajne varijable karakteriše meru širenja slučajne varijable oko njenog matematičkog očekivanja. Ako slučajna varijabla x ima matematičko očekivanje M x , To disperzija (\displaystyle D[X]=M\lijevo-(M[X])^(2)=(\frac (1)(3))-\lijevo((\frac (1)(2))\desno) ^(2)=(\frac (1)(12)).) slučajna varijabla x je količina - (\displaystyle D[X]=M\lijevo-(M[X])^(2)=(\frac (1)(3))-\lijevo((\frac (1)(2))\desno) ^(2)=(\frac (1)(12)).) Varijanca slučajne varijable karakteriše meru širenja slučajne varijable oko njenog matematičkog očekivanja.) 2 .

D , To x = (\displaystyle D[X]=M\lijevo-(M[X])^(2)=(\frac (1)(3))-\lijevo((\frac (1)(2))\desno) ^(2)=(\frac (1)(12)).) slučajna varijabla x je količina - (\displaystyle D[X]=M\lijevo-(M[X])^(2)=(\frac (1)(3))-\lijevo((\frac (1)(2))\desno) ^(2)=(\frac (1)(12)).) Varijanca slučajne varijable karakteriše meru širenja slučajne varijable oko njenog matematičkog očekivanja.) 2 =(x Varijanca slučajne varijable karakteriše meru širenja slučajne varijable oko njenog matematičkog očekivanja. 2 - (\displaystyle D[X]=M\lijevo-(M[X])^(2)=(\frac (1)(3))-\lijevo((\frac (1)(2))\desno) ^(2)=(\frac (1)(12)).) Lako je to pokazati

x = (\displaystyle D[X]=M\lijevo-(M[X])^(2)=(\frac (1)(3))-\lijevo((\frac (1)(2))\desno) ^(2)=(\frac (1)(12)).) Varijanca slučajne varijable karakteriše meru širenja slučajne varijable oko njenog matematičkog očekivanja. M

, .

(x)2. Ova univerzalna formula se jednako dobro primjenjuje i na diskretne slučajne varijable i na kontinuirane. Magnituda 2 >za diskretne i kontinuirane slučajne varijable, respektivno, izračunava se pomoću formula

Za određivanje mjere disperzije vrijednosti slučajne varijable često se koristi

• standardna devijacija , To , vezano za disperziju relacijom .=0;

• Osnovna svojstva disperzije: , To (varijansa konstante je nula,) = , vezano za disperziju relacijom . 2 , To c

• za proizvoljnu konstantu cx(x); , To varijansa zbira dva nezavisni) = , To slučajne varijable jednake sumi njihovih varijansi: , To (x±

h (x)+

(h).

51) Funkcija distribucije je funkcija

, koji određuje vjerovatnoću da će slučajna varijabla poprimiti vrijednost koja je prikazana na brojevnoj osi tačkom koja leži lijevo od tačke x, tj.
Ponekad se umjesto izraza “funkcija distribucije” koristi termin “integralna funkcija”.

Svojstva funkcije distribucije:

1. Vrijednost funkcije distribucije pripada segmentu: 0 F(x) 1

2. F(x) je neopadajuća funkcija, tj. F(x 2) F(x 1), ako je x 2 >x 1

Posljedica 1. Vjerovatnoća da će slučajna varijabla poprimiti vrijednost sadržanu u intervalu (a,b) jednaka je prirastu funkcije distribucije na ovom intervalu:

P(a X

Primjer 9. Slučajna varijabla X data je funkcijom distribucije:

Pronađite vjerovatnoću da će kao rezultat testa X uzeti vrijednost koja pripada intervalu (0;2): P(0
Rješenje: Pošto je na intervalu (0;2) po uslovu, F(x)=x/4+1/4, onda je F(2)-F(0)=(2/4+1/4)-(0 /4+1/4)=1/2. Dakle, P(0

Grafikon funkcije distribucije nalazi se u pojasu ograničenom pravim linijama y=0, y=1 (prvo svojstvo). Kako se x povećava u intervalu (a; b), koji sadrži sve moguće vrijednosti slučajne varijable, graf se „podiže“. Na x a ordinate grafa su jednake nuli; na x b ordinate grafa su jednake jedan:

Funkcija distribucije slučajna varijabla X zove funkcija F(x), izražavajući za svaku X vjerovatnoća da je slučajna varijabla Xće uzeti vrijednost manju od X:

.

Funkcija F(x) pozvao kumulativna funkcija distribucije ili integralni zakon distribucije.

Metoda specificiranja kontinuirane slučajne varijable pomoću funkcije distribucije nije jedina. Potrebno je definirati neku funkciju koja odražava vjerovatnoće da slučajna tačka padne u različite dijelove raspona mogućih vrijednosti kontinuirane slučajne varijable. Odnosno, da obezbedi neku zamenu za verovatnoće p i za diskretnu slučajnu varijablu u kontinuiranom slučaju.

Ova funkcija je funkcija gustoće vjerovatnoće. Gustoća vjerovatnoće (gustina distribucije, diferencijalna funkcija) slučajna varijabla X zove funkcija f(x),što je prvi izvod kumulativne funkcije distribucije.

Teorija vjerovatnoće je posebna grana matematike koju izučavaju samo studenti visokoškolskih ustanova. Volite kalkulacije i formule? Zar vas ne plaše izgledi da se upoznate sa normalnom distribucijom, entropijom ansambla, matematičkim očekivanjem i disperzijom diskretne slučajne varijable? Onda će vam ova tema biti veoma interesantna. Upoznajmo se sa nekoliko najvažnijih osnovnih pojmova ove grane nauke.

Prisjetimo se osnova

Čak i ako se sjećate najjednostavnijih koncepata teorije vjerojatnosti, nemojte zanemariti prve paragrafe članka. Poenta je da bez jasnog razumijevanja osnova nećete moći raditi sa formulama o kojima se govori u nastavku.

Dakle, dogodi se neki slučajni događaj, neki eksperiment. Kao rezultat akcija koje poduzimamo, možemo dobiti nekoliko ishoda - neki se javljaju češće, drugi rjeđe. Vjerovatnoća događaja je omjer broja stvarno dobijenih ishoda jedne vrste i ukupnog broja mogućih ishoda. Samo poznavajući klasičnu definiciju ovog koncepta možete početi proučavati matematičko očekivanje i disperziju kontinuiranih slučajnih varijabli.

Aritmetička sredina

Još u školi, na časovima matematike, počeli ste da radite sa aritmetičkom sredinom. Ovaj koncept se široko koristi u teoriji vjerovatnoće i stoga se ne može zanemariti. Za nas je trenutno najvažnije da ćemo ga susresti u formulama za matematičko očekivanje i disperziju slučajne varijable.

Imamo niz brojeva i želimo da pronađemo aritmetičku sredinu. Sve što se od nas traži je da zbrojimo sve dostupno i podijelimo brojem elemenata u nizu. Neka nam budu brojevi od 1 do 9. Zbir elemenata će biti jednak 45, a tu vrijednost ćemo podijeliti sa 9. Odgovor: - 5.

Disperzija

U naučnom smislu, disperzija je prosječni kvadrat odstupanja dobijenih vrijednosti karakteristike od aritmetičke sredine. Označava se jednim velikim latiničnim slovom D. Šta je potrebno da se izračuna? Za svaki element niza izračunavamo razliku između postojećeg broja i aritmetičke sredine i kvadriramo je. Bit će tačno onoliko vrijednosti koliko može biti ishoda za događaj koji razmatramo. Zatim zbrojimo sve primljeno i podijelimo s brojem elemenata u nizu. Ako imamo pet mogućih ishoda, onda podijelite sa pet.

Disperzija takođe ima svojstva koja se moraju zapamtiti da bi se koristila prilikom rešavanja problema. Na primjer, kada se slučajna varijabla poveća za X puta, varijansa se povećava za X puta na kvadrat (tj. X*X). Nikada nije manji od nule i ne zavisi od pomeranja vrednosti gore ili dole za jednake iznose. Dodatno, za nezavisna ispitivanja, varijansa sume je jednaka zbiru varijansi.

Sada svakako moramo razmotriti primjere disperzije diskretne slučajne varijable i matematičkog očekivanja.

Recimo da smo izveli 21 eksperiment i dobili 7 različitih ishoda. Svaku od njih smo posmatrali 1, 2, 2, 3, 4, 4 i 5 puta. Čemu će biti jednaka varijansa?

Prvo, izračunajmo aritmetičku sredinu: zbir elemenata je, naravno, 21. Podijelite ga sa 7 i dobijete 3. Sada oduzmite 3 od svakog broja u originalnom nizu, kvadrirajte svaku vrijednost i saberite rezultate. Rezultat je 12. Sada sve što treba da uradimo je da podelimo broj sa brojem elemenata, i, čini se, to je sve. Ali postoji kvaka! Hajde da razgovaramo o tome.

Ovisnost o broju eksperimenata

Ispostavilo se da prilikom izračunavanja varijanse nazivnik može sadržavati jedan od dva broja: ili N ili N-1. Ovdje je N broj izvedenih eksperimenata ili broj elemenata u nizu (što je u suštini ista stvar). Od čega ovo zavisi?

Ako se broj testova mjeri u stotinama, onda moramo staviti N u nazivnik. Naučnici su odlučili da granicu povuku sasvim simbolično: danas ona prolazi kroz broj 30. Ako smo proveli manje od 30 eksperimenata, tada ćemo količinu podijeliti sa N-1, a ako više, onda sa N.

Zadatak

Vratimo se našem primjeru rješavanja problema varijanse i matematičkog očekivanja. Dobili smo srednji broj 12, koji je trebalo podijeliti sa N ili N-1. S obzirom da smo izveli 21 eksperiment, što je manje od 30, mi ćemo izabrati drugu opciju. Dakle, odgovor je: varijansa je 12 / 2 = 2.

Očekivanje

Prijeđimo na drugi koncept, koji moramo razmotriti u ovom članku. Matematičko očekivanje je rezultat zbrajanja svih mogućih ishoda pomnoženih odgovarajućim vjerovatnoćama. Važno je shvatiti da se dobijena vrijednost, kao i rezultat izračunavanja varijanse, dobiva samo jednom za cijeli problem, bez obzira na to koliko se ishoda u njemu razmatra.

Formula za matematičko očekivanje je prilično jednostavna: uzmemo ishod, pomnožimo ga njegovom vjerovatnoćom, dodamo isto za drugi, treći rezultat, itd. Sve što je vezano za ovaj koncept nije teško izračunati. Na primjer, zbir očekivanih vrijednosti jednak je očekivanoj vrijednosti sume. Isto važi i za rad. Ne dozvoljava vam svaka veličina u teoriji vjerovatnoće da izvodite tako jednostavne operacije. Uzmimo problem i izračunajmo značenje dva pojma koja smo proučavali odjednom. Osim toga, ometala nas je teorija – vrijeme je za praksu.

Još jedan primjer

Proveli smo 50 pokušaja i dobili 10 tipova ishoda – brojeva od 0 do 9 – koji se pojavljuju u različitim procentima. To su, respektivno: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%,18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Podsjetimo da da biste dobili vjerovatnoće, trebate podijeliti procentualne vrijednosti sa 100. Dakle, dobijamo 0,02; 0,1 itd. Predstavimo primjer rješavanja problema za varijansu slučajne varijable i matematičko očekivanje.

Aritmetičku sredinu izračunavamo pomoću formule koju pamtimo iz osnovne škole: 50/10 = 5.

Sada hajde da pretvorimo vjerovatnoće u broj ishoda "u komadima" da bismo lakše brojali. Dobijamo 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 i 9. Od svake dobijene vrijednosti oduzimamo aritmetičku sredinu, nakon čega svaki dobijeni rezultat kvadriramo. Pogledajte kako to učiniti koristeći prvi element kao primjer: 1 - 5 = (-4). Sljedeće: (-4) * (-4) = 16. Za ostale vrijednosti, izvršite ove operacije sami. Ako ste sve uradili ispravno, onda nakon što ih sve zbrojite dobit ćete 90.

Nastavimo računati varijansu i očekivanu vrijednost dijeljenjem 90 sa N. Zašto biramo N umjesto N-1? Tačno, jer broj izvedenih eksperimenata prelazi 30. Dakle: 90/10 = 9. Dobili smo varijansu. Ako dobijete drugi broj, ne očajavajte. Najvjerovatnije ste napravili jednostavnu grešku u proračunima. Još jednom provjeri šta si napisao i vjerovatno će sve doći na svoje mjesto.

Konačno, zapamtite formulu za matematičko očekivanje. Nećemo dati sve proračune, samo ćemo napisati odgovor koji možete provjeriti nakon što završite sve potrebne procedure. Očekivana vrijednost će biti 5,48. Prisjetimo se samo kako izvršiti operacije, koristeći prve elemente kao primjer: 0*0,02 + 1*0,1... i tako dalje. Kao što vidite, mi jednostavno množimo vrijednost ishoda njegovom vjerovatnoćom.

Devijacija

Drugi koncept usko povezan sa disperzijom i matematičkim očekivanjem je standardna devijacija. Označava se ili latinskim slovima sd, ili grčkim malim slovima "sigma". Ovaj koncept pokazuje koliko u prosjeku vrijednosti odstupaju od središnje karakteristike. Da biste pronašli njegovu vrijednost, morate izračunati kvadratni korijen varijanse.

Ako nacrtate graf normalne distribucije i želite da vidite kvadratnu devijaciju direktno na njemu, to se može učiniti u nekoliko faza. Uzmite polovicu slike lijevo ili desno od moda (centralna vrijednost), nacrtajte okomicu na horizontalnu os tako da su površine rezultirajućih figura jednake. Veličina segmenta između sredine distribucije i rezultirajuće projekcije na horizontalnu osu predstavljat će standardnu ​​devijaciju.

Softver

Kao što se može vidjeti iz opisa formula i prikazanih primjera, izračunavanje varijanse i matematičkog očekivanja nije najjednostavniji postupak sa aritmetičke tačke gledišta. Kako ne biste gubili vrijeme, ima smisla koristiti program koji se koristi u visokoškolskim ustanovama - zove se "R". Ima funkcije koje vam omogućavaju da izračunate vrijednosti za mnoge koncepte iz statistike i teorije vjerojatnosti.

Na primjer, specificirate vektor vrijednosti. To se radi na sljedeći način: vektor<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

U zaključku

Disperzija i matematičko očekivanje su bez kojih je teško bilo šta izračunati u budućnosti. U glavnom kursu predavanja na univerzitetima o njima se govori već u prvim mjesecima izučavanja predmeta. Upravo zbog nerazumijevanja ovih jednostavnih pojmova i nemogućnosti njihovog izračunavanja mnogi studenti odmah počinju zaostajati u programu i kasnije dobijaju loše ocjene na kraju sesije, što ih lišava stipendija.

Vježbajte najmanje jednu sedmicu, pola sata dnevno, rješavajući probleme slične onima predstavljenim u ovom članku. Tada ćete na bilo kojem testu iz teorije vjerojatnosti moći izaći na kraj s primjerima bez suvišnih savjeta i varalica.

Disperzija , To X slučajna varijabla X je određena formulom

, To X = E(X – EX)2

Varijanca slučajne varijable je matematičko očekivanje kvadratnog odstupanja slučajne varijable od njenog matematičkog očekivanja.

Razmotrimo slučajnu varijablu X sa zakonom raspodjele

Izračunajmo njegovo matematičko očekivanje.

E X = 1 + 2 + 3 =

Nacrtajmo zakon raspodjele slučajne varijable X – EX

a zatim zakon raspodjele slučajne varijable (X-EX) 2

, To X = ++=

Komentar. Sljedeća formula može biti pogodnija za proračun, što se može smatrati jednim od svojstava disperzije:

DX = EX2 – (EX)2

Dakle, varijansa slučajne varijable jednaka je razlici između matematičkog očekivanja kvadrata slučajne varijable i kvadrata njenog matematičkog očekivanja. Da biste koristili ovu formulu potrebno je da kreirate tabelu:

Iznad toga je pokazano EX=r. Lako je to vidjeti EX 2 =r. Tako ispada da , To X= r–r 2 =pq.

Disperzija karakterizira stupanj rasipanja vrijednosti slučajne varijable u odnosu na njeno matematičko očekivanje. Ako su sve vrijednosti slučajne varijable blisko koncentrisane oko njenog matematičkog očekivanja i mala su velika odstupanja od matematičkog očekivanja, onda takva slučajna varijabla ima nisku disperziju. Ako su vrijednosti slučajne varijable raspršene i postoji velika vjerojatnost velikih odstupanja od matematičkog očekivanja, tada takva slučajna varijabla ima veliku disperziju.

Primjer

Pronađite varijansu slučajne varijable X, ravnomjerno raspoređene po

Osobine disperzije.

Ako k– onda broj , To(kX) =k 2 , To X.

Za parno nezavisne slučajne varijable X 1 ,X 2 ,,X n jednakost je istinita

Ako su X i Y nezavisni, , To( X+Y) = , To X+ , To Y.

Predlažemo, kao vježbu, da razmotrimo koliko je D(X–Y) jednako pod istim uslovima

Nejednakosti Markova i Čebiševa

Markove nejednakosti daju procjene vrijednosti slučajne varijable u slučajevima kada je naše poznavanje slučajne varijable ograničeno na njeno očekivanje i varijansu, i iako su ove procjene prilično grube, zahtijevaju minimalne informacije o dotičnoj slučajnoj varijabli.

Ako su moguće vrijednosti diskretne slučajne varijable X nenegativne i postoji njeno matematičko očekivanje EX = a, tada je za bilo koji broj c > 0 tačna sljedeća nejednakost:

P(X<с) >1 – a/s

Shodno tome, vrijedi i nejednakost

P (X ≥ s) ≤ a / s

Ove nejednakosti se nazivaju (prva i druga) Markove nejednakosti

Primjer 9.4. Neka je X vrijeme na koje je student kasnio

predavanje, a poznato je da je EX = 1 min. Iskorištavanje

koristeći prvu Čebiševljevu nejednakost, procjenjujemo vjerovatnoću P(X >5)

da će student zakasniti najmanje 5 minuta.

Imamo P(X≥5) ≤EX/5

Dakle, željena vjerovatnoća nije veća od 0,2, tj. u prosjeku,

od svakih pet učenika ne kasni više od jednog studenta najmanje 5 minuta.

Ako je X slučajna varijabla, čije je matematičko očekivanje EX = a, varijansa DX je konačna, tada su za bilo koji broj c > 0 nejednakosti zadovoljene

P (| X – a | ≥ c) ≤DX / c 2

P (| X – a |< c) >1 – DX/s 2

Ove nejednakosti se nazivaju (prva i druga) Čebiševljeve nejednakosti

Komentar . Ponekad se i Markovljeve nejednakosti i Čebiševljeve nejednakosti nazivaju prva i druga Čebiševljeva nejednakost.

Primjer. Dodatno znajmo pod uslovima prethodnog primjera da je a = y/DX = 1. Procijenimo minimalnu vrijednost x o pri kojoj vjerovatnoća da student kasni na vrijeme ne manje od x o ne prelazi navedenu vrijednost P 3 = 0,1.

Za rješavanje problema koristimo Čebiševljevu nejednakost. Onda

P 3 ≤ P(X ≥x 0 ) = P(X - EX ≥ x o - EX) ≤ P(|X – EX| >x 0 - EX)≤

I

I, zamenjujući određene vrednosti, imamo

Dakle, vjerovatnoća da student kasni više od 4,16 minuta nije veća od 0,1.

Upoređujući dobijeni rezultat sa rezultatom prethodnog primjera, može se primijetiti da nam dodatne informacije o disperziji vremena kašnjenja omogućavaju precizniju procjenu željene vjerovatnoće.

Komentar . Elementarna posledica Čebiševe nejednakosti je Zakon velikih brojeva (u Čebiševljevom obliku):

Definicija. (Početnici) Trenutak redak slučajna varijabla X je broj m k = E(X k)

Definicija. (Centralni) trenutak narudžbek slučajna varijabla X je broj μ k = E(X–EX) k

Komentar. Lako je vidjeti da je matematičko očekivanje početni trenutak prvog reda, a disperzija središnji moment drugog reda.

Komentar. Ako je gustina raspodjele vjerovatnoće kontinuirane slučajne varijable simetrična u odnosu na pravu liniju Varijanca slučajne varijable karakteriše meru širenja slučajne varijable oko njenog matematičkog očekivanja. = EX , tada su svi njegovi centralni momenti neparnog reda jednaki nuli.

Pojavom vrijednosti koje su veće ili, obrnuto, niže od prosjeka, formiraju se asimetrične distribucije.

Definicija. Asimetrija A Slučajna varijabla X je omjer trećeg centralnog momenta i kocke standardne devijacije. A=μ 3 / σ 3

(prema E.V. Sidorenko)

Asimetrija je veličina koja karakterizira stupanj asimetrije distribucije u odnosu na matematičko očekivanje: ako je koeficijent asimetrije negativan, tada je ili većina vrijednosti slučajne varijable ili moda lijevo od matematičkog očekivanja, i obrnuto, ako je veći od nule, onda udesno.

U slučajevima kada neki razlozi favorizuju češće

Pojavom vrijednosti koje su veće ili, obrnuto, niže od prosjeka, formiraju se asimetrične distribucije. Kod lijeve, odnosno pozitivne asimetrije u distribuciji, češće su niže vrijednosti karakteristike, a kod desnostrane,

ili negativan - viši

Očigledno, za slučajnu varijablu distribuiranu simetrično u odnosu na matematičko očekivanje, asimetrija je nula.

U slučajevima kada bilo koji razlozi doprinose prevladavanju

Kada se pojave prosječne ili blizu prosječne vrijednosti, formira se distribucija s pozitivnim ekscesom. Ako distribucijom dominiraju ekstremne vrijednosti, istovremeno niže i više, tada takvu distribuciju karakterizira negativan kurtozis i može se formirati depresija u centru distribucije, pretvarajući ga u dvovrh (vidi sljedeća figura ekscesa).

Definicija. Višakγ slučajne varijable X naziva se omjer

 = (μ 4 / σ 4) –3

Kurtoza: a) pozitivna; 6) negativan. U distribucijama sa normalnom konveksnošćuγ =0.

Normalna distribucija se najčešće koristi u teoriji vjerovatnoće i matematičkoj statistici, pa je dijagram gustine vjerovatnoće normalne distribucije postao svojevrsni standard sa kojim se upoređuju druge distribucije. Jedan od parametara koji određuje razliku između distribucije slučajne varijable X i normalne distribucije je kurtosis. Za normalnu distribuciju γ=0, ako je γ >0, to znači da je graf gustine „izoštren” više od normalnog, a ako je γ<0, то, соответственно, меньше.

Definicija. Quantilla nivo α ili α-kvantil (0<α<1) называют число Q α , удовлетворяющее неравенствам Р{X < Q α }≤α и P{X>Q α ) ≤ 1 – α

½-kvantil se također naziva Medijan M slučajna varijabla X.

Za kontinuiranu slučajnu varijablu X, α-kvantil Q α je broj manji od kojeg X uzima vrijednost sa vjerovatnoćom α.

Ako je gustina distribucije ρ(x) slučajne varijable X poznata, tada se, uzimajući u obzir odnos između funkcije raspodjele i gustine, jednačina za određivanje kvantila može napisati kao

Drugim riječima, kvantil Q α je rješenje jednačine F(Q α)=α ,

Primjer.

Nađimo α-kvantil i medijan eksponencijalne distribucije

(Kontinuirana slučajna varijabla X ima eksponencijalnu distribuciju s parametrom  > 0 ako uzima samo ne-negativne vrijednosti, a njena gustina distribucije ima oblik: (x) = e -  x, x≥0 i 0 ako je x<0

, Zato
, a medijan je

Definicija. Način kontinuirane slučajne varijable naziva se tačka maksimalne (lokalne) gustine distribucije p(x). Postoje unimodalne (s jednim načinom), bimodalne (sa dva načina) i multimodalne (s nekoliko načina) distribucije.

Da bismo odredili način diskretne slučajne varijable, prvo pretpostavljamo da su njene vrijednosti x 1 , ... x n raspoređene u rastućem redoslijedu.

Način rada diskretne slučajne varijable nazovite ovu vrijednost X i , pri čemu vrijede nejednakosti za vjerovatnoće

p i -1< p i и p i +1 < р i

U slučaju diskretnih slučajnih varijabli, distribucije također mogu biti unimodalne, bimodalne i multimodalne.

Najvjerovatnije značenje naziva se načinom u kojem se postiže globalni maksimum vjerovatnoće (diskretna slučajna varijabla) ili gustine distribucije (kontinuirana slučajna varijabla).

Ako je distribucija unimodalna, tada će mod također biti najvjerovatnija vrijednost.

Unatoč činjenici da su matematička očekivanja vrijednosti X I Y su isti: M(X)=M(Y)=0, moguće vrijednosti količina X I Y"razbacani" ili "razbacani" oko svojih matematičkih očekivanja na različite načine: moguće vrijednosti količine X nalaze se mnogo bliže njihovom matematičkom očekivanju od vrijednosti količine Y.

Istaknimo još jedan primjer. Uz istu prosječnu godišnju količinu padavina, jedno područje može biti sušno i nepovoljno za poljoprivredne radove (bez kiše u proljeće i ljeto), dok drugo područje može biti povoljno za poljoprivredu.

Iz navedenog proizilazi da je potrebno uvesti novu numeričku karakteristiku slučajne varijable, po kojoj se može suditi o “disperziji” mogućih vrijednosti ove slučajne varijable.

Neka je data diskretna slučajna varijabla X:

Definicija 1. Devijacija slučajna varijabla X od svog matematičkog očekivanja M(X)(ili jednostavno odstupanje slučajne varijable X) naziva se slučajna varijabla X-M(X).

Može se vidjeti da u cilju odstupanja slučajne varijable X poprimilo značenje Varijanca slučajne varijable karakteriše meru širenja slučajne varijable oko njenog matematičkog očekivanja. 1 - M(X), dovoljno je da je slučajna varijabla X poprimilo značenje Varijanca slučajne varijable karakteriše meru širenja slučajne varijable oko njenog matematičkog očekivanja. 1 . Vjerovatnoća ovog događaja je jednaka str 1 ; dakle, vjerovatnoća da će devijacija slučajne varijable Xće uzeti vrijednost Varijanca slučajne varijable karakteriše meru širenja slučajne varijable oko njenog matematičkog očekivanja. 1 - M(X), takođe jednaka str 1 . Slična je situacija i za preostale moguće vrijednosti odstupanja slučajne varijable X. Koristeći to, zapisujemo zakon raspodjele devijacije slučajne varijable X:

Izračunajmo sada matematičko očekivanje odstupanja X-M(X). Koristeći svojstva 5 i 1 (odjeljak 9.2, klauzula 2), dobijamo

M[X - M(X)] = M(X) - M(X) = 0. Prema tome, tačna je sljedeća teorema.

Teorema 9.2. Matematičko očekivanje devijacije X-M(X) jednako je nuli:

M[X-M(X)] = 0.

Iz teoreme je jasno da uz pomoć devijacije X-M(X) nije moguće odrediti prosječno odstupanje mogućih vrijednosti količine X od svog matematičkog očekivanja, tj. stepen disperzije količine X. To se objašnjava međusobnim poništavanjem pozitivnih i negativnih mogućih vrijednosti odstupanja. Međutim, možemo se riješiti ovog nedostatka ako uzmemo u obzir kvadratnu devijaciju slučajne varijable X.

Zapišimo zakon raspodjele slučajne varijable 2 (rezonovanje je isto kao u slučaju slučajne varijable X-M(X)).

Definicija 2. disperzija D(X) diskretna slučajna varijabla X je matematičko očekivanje kvadratne devijacije slučajne varijable X iz svog matematičkog očekivanja:

D(X) = M[(X-M(X)) 2 ].

Iz zakona raspodjele vrijednosti [ HM(X)] 2 iz toga sledi , To(X) =

= [X 1 - M(X)] 2 str 1 + [X 2 - M(X)] 2 str 2 + ... + [ X n - M(X)] 2 p n.

2. Osobine disperzije diskretne slučajne varijable.

1. Varijanca diskretne slučajne varijable X jednaka je razlici između matematičkog očekivanja kvadrata vrijednosti X i kvadrata njenog matematičkog očekivanja :

, To(X) = M(X 2)-M 2(X).

Zaista, koristeći svojstva matematičkog očekivanja, imamo

, To(X) = M[(X- M(X)) 2 ] = M[X 2 -2HM(H) + M 2 (H)]=

= M(X 2)-2M(X)×M(X) + M 2 (X)=M(X 2) -2 M 2 (X) + M 2 (X)=M(X 2)- -M 2 (X).

Koristeći ovo svojstvo i svojstvo matematičkog očekivanja, uspostavljena su sljedeća svojstva.

2. Varijanca konstantne vrijednosti C je nula .

3.Konstantni faktor se može izvući iz znaka disperzije kvadraturom :D(CX) =C 2 D(X) .

4. Varijanca zbira dvije nezavisne slučajne varijable jednaka je zbroju varijansi ovih varijabli:M(X+Y) = D (X) + D (Y).

Koristeći metodu matematičke indukcije, ovo svojstvo se proširuje na slučaj bilo kojeg konačnog broja članova.

Posljedica osobina 3 i 4 je svojstvo 5.

5. Varijanca razlike između dvije nezavisne slučajne varijable X i Y jednaka je zbroju njihovih varijansi : M(X-Y) = D (X) + D (Y).

Primjer 9.6. Varijanca slučajne varijable X je jednako 3. Naći varijansu sljedećih veličina: a) --3 X; b) 4 X + 3.

Prema osobinama 2, 3 i 4 disperzije imamo

A) D(-3X) = 9D(X)= 9×3 = 27;

b) D (4H+ 3) = D(4X) + D(3) = 16D(X)+ 0 = 16×3 = 48.