Šta je konstantna, a šta promenljiva veličina? Varijable i konstante
Dom
VARIJABLE I KONSTANTE
Kao rezultat mjerenja fizičkih veličina (vrijeme, površina, volumen, masa, brzina itd.), određuju se njihove numeričke vrijednosti. Matematika se bavi količinama, apstrahujući od njihovog specifičnog sadržaja. U nastavku, kada govorimo o količinama, mislićemo na njihove numeričke vrijednosti. U raznim pojavama neke se veličine mijenjaju, dok druge zadržavaju svoju brojčanu vrijednost. Na primjer, kada se tačka kreće jednoliko, vrijeme i udaljenost se mijenjaju, ali brzina ostaje konstantna. Varijabilna vrijednost je veličina koja poprima različite numeričke vrijednosti. Zove se veličina čije se numeričke vrijednosti ne mijenjaju konstantan . Varijabilne količine će biti označene slovima x, y, z,… , konstantno –
a, b, c,…
Imajte na umu da se u matematici konstantna vrijednost često smatra posebnim slučajem varijable u kojoj su sve numeričke vrijednosti iste. Promijenite područje
Varijabla je skup svih numeričkih vrijednosti koje prihvaća. Područje promjene može se sastojati od jednog ili više intervala ili jedne točke.
NARUČENA VARIJABNA KOLIČINA. NUMERIČKI SEKVENC x Postoji naredio varijabilna količina
, ako je poznato područje njegove promjene i za svaku od bilo koje dvije njegove vrijednosti može se reći koja je prethodna, a koja sljedeća. Poseban slučaj uređene promjenljive količine je promjenjiva veličina čije se vrijednosti formiraju NARUČENA VARIJABNA KOLIČINA. NUMERIČKI SEKVENC 1 numerički niz 2 ,x ,…,x ,… n Za takve vrijednosti na< j, i, j i N NARUČENA VARIJABNA KOLIČINA. NUMERIČKI SEKVENC Za takve vrijednosti na, značenje NARUČENA VARIJABNA KOLIČINA. NUMERIČKI SEKVENC smatra se prethodnim, i j – naknadno bez obzira koja je od ovih vrijednosti veća. Dakle, niz brojeva je varijabla čije se uzastopne vrijednosti mogu prenumerisati. Označit ćemo numerički niz sa . Pojedinačni brojevi u nizu nazivaju se njegovim.
elementi na primjer, numerički niz
formiraju sledeće količine:
FUNCTION Prilikom proučavanja raznih prirodnih pojava i rješavanja tehničkih problema, a samim tim i u matematici, potrebno je razmotriti promjenu jedne veličine u zavisnosti od promjene druge. Na primjer, poznato je da se površina kruga izražava u terminima radijusa pomoću formule 2 S = πr . Ako radijus r poprima različite numeričke vrijednosti, a zatim površina također poprima različite numeričke vrijednosti, tj. promjena jedne varijable uzrokuje promjenu u drugoj.
Ako svaka vrijednost varijable NARUČENA VARIJABNA KOLIČINA. NUMERIČKI SEKVENC pripadnost određenoj oblasti odgovara jednoj specifičnoj vrijednosti druge varijable y, To y pozvao funkcija varijable x. Pisaćemo simbolično y=f(x). U ovom slučaju, varijabla NARUČENA VARIJABNA KOLIČINA. NUMERIČKI SEKVENC pozvao nezavisna varijabla ili argument.
Zapis y=C, Gdje C– konstanta, označava funkciju čija je vrijednost pri bilo kojoj vrijednosti NARUČENA VARIJABNA KOLIČINA. NUMERIČKI SEKVENC jedan te isti i jednak C.
Višestruka značenja NARUČENA VARIJABNA KOLIČINA. NUMERIČKI SEKVENC, za koje se mogu odrediti vrijednosti funkcije y prema pravilu f(x), zvao domenu funkcije.
Imajte na umu da je niz brojeva također funkcija čija se domena definicije poklapa sa skupom prirodnih brojeva.
Osnovne osnovne funkcije uključuju sve funkcije koje se izučavaju u školskom predmetu matematike:
Elementarna funkcija naziva se funkcija koja se može specificirati osnovnim elementarne funkcije i konstante koje koriste konačan broj operacija sabiranja, oduzimanja, množenja, dijeljenja i uzimanja funkcije funkcije.
POJAM GRANICA NUMERIČKOG NIZA
U daljem kursu matematike, koncept granice će igrati fundamentalnu ulogu, budući da su osnovni pojmovi matematičke analize direktno povezani s njim - derivacija, integral itd.
Počnimo s konceptom ograničenja niza brojeva.
Broj a pozvao limit sekvence NARUČENA VARIJABNA KOLIČINA. NUMERIČKI SEKVENC = {NARUČENA VARIJABNA KOLIČINA. NUMERIČKI SEKVENC ,…,x), ako za proizvoljan unaprijed određen proizvoljno mali pozitivan broj ε postoji takav prirodan broj i to pred svima n>N nejednakost |x n - a|< ε.
Ako je broj a postoji ograničenje sekvence NARUČENA VARIJABNA KOLIČINA. NUMERIČKI SEKVENC = {NARUČENA VARIJABNA KOLIČINA. NUMERIČKI SEKVENC ,…,x), onda to kažu NARUČENA VARIJABNA KOLIČINA. NUMERIČKI SEKVENC ,…,x teži za a, i napišite.
Da bismo ovu definiciju formulirali u geometrijskim terminima, uvodimo sljedeći koncept.
Susjedstvo tačke x 0 naziva se proizvoljnim intervalom ( a, b), koji sadrži ovu tačku u sebi. Često se razmatra susjedstvo tačke NARUČENA VARIJABNA KOLIČINA. NUMERIČKI SEKVENC 0 , za koje NARUČENA VARIJABNA KOLIČINA. NUMERIČKI SEKVENC 0 je onda sredina NARUČENA VARIJABNA KOLIČINA. NUMERIČKI SEKVENC 0 pozvao centar susjedstvo i vrijednost ( b–a)/2 – radijus susjedstvo.
Dakle, hajde da saznamo šta geometrijski znači koncept granice niza brojeva. Da bismo to učinili, zapisujemo posljednju nejednakost iz definicije u obrascu
Ova nejednakost znači da su svi elementi niza sa brojevima n>N mora ležati u intervalu (a – ε; a + ε).
Dakle, konstantan broj a postoji ograničenje u nizu brojeva ( NARUČENA VARIJABNA KOLIČINA. NUMERIČKI SEKVENC ,…,x), ako je za bilo koje malo susjedstvo sa središtem u tački a poluprečnik ε (ε je okolina tačke a) postoji takav element niza sa brojem i da su svi naredni elementi numerisani n>Nće se nalaziti u ovoj blizini. 
Primjeri.
Neka varijabla NARUČENA VARIJABNA KOLIČINA. NUMERIČKI SEKVENC uzima vrijednosti sekvencijalno
Dokažimo da je granica ovog niza brojeva jednaka 1. Uzmimo proizvoljan pozitivan broj ε. Moramo pronaći takav prirodan broj i to pred svima n>N vrijedi nejednakost | NARUČENA VARIJABNA KOLIČINA. NUMERIČKI SEKVENC ,…,x - 1| < ε. Действительно, т.к.
,
onda da se zadovolji relacija |x n - a|< ε достаточно, чтобы или .
Поэтому, взяв в качестве i bilo koji prirodan broj koji zadovoljava nejednakost, dobijamo ono što nam treba. Dakle, ako uzmemo, na primjer, onda, stavljanje N= 6, za sve ,…,x>6 imaćemo 
.
Uzmite proizvoljno ε > 0. Razmotrite
Tada, ako ili, tj. . Stoga biramo bilo koji prirodan broj koji zadovoljava nejednakost.
Hajde da damo nekoliko komentara.
Napomena 1. Očigledno, ako svi elementi brojevnog niza imaju istu konstantnu vrijednost NARUČENA VARIJABNA KOLIČINA. NUMERIČKI SEKVENC ,…,x =c, tada će granica ovog niza biti jednaka najkonstantnijoj. Zaista, za bilo koje ε nejednakost | NARUČENA VARIJABNA KOLIČINA. NUMERIČKI SEKVENC ,…,x -c| = |c - c| = 0 < ε.
Napomena 2. Iz definicije granice slijedi da niz ne može imati dvije granice. Zaista, pretpostavimo to NARUČENA VARIJABNA KOLIČINA. NUMERIČKI SEKVENC ,…,x
→
a i istovremeno NARUČENA VARIJABNA KOLIČINA. NUMERIČKI SEKVENC ,…,x
→
b. Uzmite bilo koji i označite susjedstvo tačaka a I b poluprečnik ε (vidi sliku). Tada, po definiciji granice, svi elementi niza, počevši od određene tačke, moraju biti smješteni u susjedstvu tačke A, te u blizini tačke b, što je nemoguće. 
Napomena 3. Ne treba misliti da svaki niz brojeva ima ograničenje. Neka, na primjer, varijabla uzima vrijednosti 
. Lako je vidjeti da ovaj niz ne teži nikakvim granicama.
|
GRANICA FUNKCIJE Neka funkcija y=f(x) definisano u nekom susedstvu tačke a. NARUČENA VARIJABNA KOLIČINA. NUMERIČKI SEKVENC Pretpostavimo da je nezavisna varijabla a se približava broju bez ograničenja . To znači da možemo dati a X a vrijednosti što je moguće bliže NARUČENA VARIJABNA KOLIČINA. NUMERIČKI SEKVENC→ , ali nije jednako. NARUČENA VARIJABNA KOLIČINA. NUMERIČKI SEKVENC Ovo ćemo označiti f(x) a b. b Za takve f(x) Nađimo odgovarajuće vrijednosti funkcije. NARUČENA VARIJABNA KOLIČINA. NUMERIČKI SEKVENC→ , ali nije jednako. Može se dogoditi da vrijednosti također se približava određenom broju bez ograničenja .Onda kažu da je broj→ , ali nije jednako postoji ograničenje funkcije at| < δ, имеет место неравенство |Hajde da uvedemo strogu definiciju granice funkcije.| < ε. Если b Za takve f(x) Funkcija NARUČENA VARIJABNA KOLIČINA. NUMERIČKI SEKVENC→ , ali nije jednako y=f(x) teži granici b na x f(x)→ , ako se za svaki pozitivan broj ε, koliko god mali bio, može odrediti pozitivan broj δ takav da je za sve x ≠ a iz domene definicije funkcije koja zadovoljava nejednakost | Funkcija NARUČENA VARIJABNA KOLIČINA. NUMERIČKI SEKVENC→ , ali nije jednako. x-a at| < δ должно следовать неравенство |Hajde da uvedemo strogu definiciju granice funkcije.| < ε, т.е. при NARUČENA VARIJABNA KOLIČINA. NUMERIČKI SEKVENC (a - δ, a f(x) - b f(x) (b - ε, b+ ε), tada, uzimajući proizvoljno ε > 0, možemo izabrati broj δ takav da za sve tačke NARUČENA VARIJABNA KOLIČINA. NUMERIČKI SEKVENC, koji leži u δ – okolini tačke a, odgovarajuće tačke grafa funkcije moraju ležati unutar trake širine 2ε ograničene pravim linijama y = b– ε i y = b + ε. Lako je vidjeti da granica funkcije mora imati ista svojstva kao i granica numeričkog niza, naime, ako je na NARUČENA VARIJABNA KOLIČINA. NUMERIČKI SEKVENC→ , ali nije jednako funkcija ima ograničenje, onda je jedina. Primjeri. Koristeći graf datu funkciju, lako je primijetiti. |
|
KONCEPT GRANICA FUNKCIJE
NA BESKONAČNO UDALJENOJ TAČKI
Do sada smo razmatrali granice za slučaj kada je varijabla NARUČENA VARIJABNA KOLIČINA. NUMERIČKI SEKVENC težio određenom konstantnom broju.
Reći ćemo da je varijabla x teži beskonačnosti, ako je za svaki unaprijed određen pozitivan broj M(može biti onoliko veliko koliko želite) možete odrediti ovu vrijednost x=x 0 , počevši od koje će sve naredne vrijednosti varijable zadovoljiti nejednakost |x|>M.
Na primjer, neka varijabla . preuzima vrijednosti NARUČENA VARIJABNA KOLIČINA. NUMERIČKI SEKVENC 1 = –1, x 2 = 2, x 3 = –3, …, x n =(–1) ,…,x n, ... Jasno je da je ovo beskonačno velika varijabla, jer za sve M> 0 sve vrijednosti varijable, počevši od određene vrijednosti, bit će veće u apsolutnoj vrijednosti M.
Varijabilna vrijednost NARUČENA VARIJABNA KOLIČINA. NUMERIČKI SEKVENC→ +∞ , ako je za proizvoljno M> 0 sve naredne vrijednosti varijable, počevši od određene vrijednosti, zadovoljavaju nejednakost x > M.
Isto tako, NARUČENA VARIJABNA KOLIČINA. NUMERIČKI SEKVENC→ – ∞, ako postoji M > 0 NARUČENA VARIJABNA KOLIČINA. NUMERIČKI SEKVENC< -M .
Reći ćemo da je funkcija f(x) teži krajnjim granicama b Funkcija NARUČENA VARIJABNA KOLIČINA. NUMERIČKI SEKVENC→ ∞, ako se za proizvoljan mali pozitivan broj ε može specificirati takav pozitivan broj M, što za sve vrijednosti NARUČENA VARIJABNA KOLIČINA. NUMERIČKI SEKVENC |x|>M, nejednakost | f(x) - b| < ε.
Odrediti .
Primjeri.
Potrebno je dokazati da će za proizvoljno ε nejednakost biti zadovoljena čim |x|>M, i broj M mora biti određen izborom ε. Napisana nejednakost je ekvivalentna sljedećem, što će vrijediti ako |x|> 1/ε=M. To znači da (vidi sliku). 
BESKONAČNO VELIKE KARAKTERISTIKE
Prethodno smo pogledali slučajeve u kojima je funkcija f(x) težio nekoj konačnoj granici b Funkcija NARUČENA VARIJABNA KOLIČINA. NUMERIČKI SEKVENC→ a ili NARUČENA VARIJABNA KOLIČINA. NUMERIČKI SEKVENC → ∞.
Razmotrimo sada slučaj kada je funkcija y=f(x) neki način da se promijeni argument.
također se približava određenom broju bez ograničenja f(x) teži ka beskonačnosti kao NARUČENA VARIJABNA KOLIČINA. NUMERIČKI SEKVENC→ a, tj. je beskonačno velika veličina ako je za bilo koji broj M, bez obzira koliko velika može biti, moguće je pronaći δ > 0 tako da za sve vrijednosti .≠a, zadovoljavajući uslov | x-a| < δ, имеет место неравенство |f(x)| > M.
Ako f(x) teži ka beskonačnosti kao NARUČENA VARIJABNA KOLIČINA. NUMERIČKI SEKVENC→ a, onda pišu ili f(x)→∞ at NARUČENA VARIJABNA KOLIČINA. NUMERIČKI SEKVENC→ a.
Formulirajte sličnu definiciju za slučaj kada NARUČENA VARIJABNA KOLIČINA. NUMERIČKI SEKVENC→∞.
Ako f(x) teži ka beskonačnosti kao NARUČENA VARIJABNA KOLIČINA. NUMERIČKI SEKVENC→ a a istovremeno uzima samo pozitivne ili samo negativne vrijednosti, prema tome pišu ili .
Primjeri.
OGRANIČENE KARAKTERISTIKE
Neka je funkcija data y=f(x), definisan na nekom skupu D vrijednosti argumenata.
također se približava određenom broju bez ograničenja y=f(x) pozvao ograničeno na setu D, ako postoji pozitivan broj M tako da za sve vrijednosti NARUČENA VARIJABNA KOLIČINA. NUMERIČKI SEKVENC iz skupa koji se razmatra važi nejednakost |f(x)|≤M. Ako je takav broj M ne postoji, onda funkcija f(x) pozvao neograničeno na setu D.
Primjeri.
također se približava određenom broju bez ograničenja y=sin NARUČENA VARIJABNA KOLIČINA. NUMERIČKI SEKVENC, definiran na -∞<NARUČENA VARIJABNA KOLIČINA. NUMERIČKI SEKVENC<+∞, является ограниченной, так как при всех значениях NARUČENA VARIJABNA KOLIČINA. NUMERIČKI SEKVENC|sin NARUČENA VARIJABNA KOLIČINA. NUMERIČKI SEKVENC|≤1 = M.
također se približava određenom broju bez ograničenja y=x 2 +2 je ograničen, na primjer, na segmentu, jer za sve NARUČENA VARIJABNA KOLIČINA. NUMERIČKI SEKVENC iz ovog segmenta |f(x)|(3) = 11.
≤f y Razmotrite funkciju NARUČENA VARIJABNA KOLIČINA. NUMERIČKI SEKVENC Funkcija NARUČENA VARIJABNA KOLIČINA. NUMERIČKI SEKVENC=ln NARUČENA VARIJABNA KOLIČINA. NUMERIČKI SEKVENC (0; 1). Ova funkcija je neograničena u navedenom intervalu, od kada NARUČENA VARIJABNA KOLIČINA. NUMERIČKI SEKVENC→-∞.
također se približava određenom broju bez ograničenja y=f(x) pozvao →0 log→ a ograničeno na x A, ako postoji susjedstvo u centru tačke
također se približava određenom broju bez ograničenja y=f(x) pozvao →0 log→ ∞ , u kojem je funkcija ograničena. , ako postoji takav broj N> . 0, što za sve vrijednosti , zadovoljavajući nejednakost|x|>N f(x), funkcija
ograničeno.
Uspostavimo vezu između ograničene funkcije i funkcije koja ima ograničenje. Teorema 1. b Ako i f(x) je konačan broj, a zatim funkcija NARUČENA VARIJABNA KOLIČINA. NUMERIČKI SEKVENC→ a.
ograničeno kada Dokaz . 0, što za sve vrijednosti . Jer , tada za bilo koje ε>0 postoji broj δ>0 takav da za sve vrijednosti<
|x-a| δ, vrijedi nejednakost<
|f(x) –b| ε. Korištenje svojstva modula|f(x) – b|≥|f(x)| - |b| , zapisujemo posljednju nejednakost u obliku<|b|+
|f(x)| ε. Dakle, ako stavimo M=|b|+ NARUČENA VARIJABNA KOLIČINA. NUMERIČKI SEKVENC→
ε, onda kada
a |f(x)| Komentar.
Iz definicije ograničene funkcije slijedi da ako je , onda je neograničena. Međutim, obrnuto nije tačno: neograničena funkcija ne mora biti beskonačno velika. Navedite primjer. Teorema 2. Ako , onda funkcija je konačan broj, a zatim funkcija NARUČENA VARIJABNA KOLIČINA. NUMERIČKI SEKVENC→ a.
ograničeno kada y=1/f(x) a. Iz uslova teoreme slijedi da za proizvoljno ε>0 u nekom susjedstvu tačke imamo<
|f(x) – b| ε. Jer, To |f(x) – b|=|b – f(x)| ≥|b| - |f(x)|<
|b| - |f(x)| ε. dakle,
|f(x)|>|b| - 
.
ε >0. Stoga
također se približava određenom broju bez ograničenja y=f(x) pozvao BESKONAČNO MALE FUNKCIJE I NJIHOVA OSNOVNA SVOJSTVA Funkcija NARUČENA VARIJABNA KOLIČINA. NUMERIČKI SEKVENC→ a infinitezimal NARUČENA VARIJABNA KOLIČINA. NUMERIČKI SEKVENC ili kada
Primjeri.
→∞, ako je ili , tj. infinitezimalna funkcija je funkcija čija je granica u datoj tački nula.
Hajde da uspostavimo sledeći važan odnos: Teorema. y=f(x) Ako je funkcija NARUČENA VARIJABNA KOLIČINA. NUMERIČKI SEKVENC→ a reprezentativan sa b kao zbir konstantnog broja i beskonačno male veličineα(x): f (x)=b+ α(x)
To . Obrnuto, ako , tada, Gdje f (x)=b+α(x) a(x) NARUČENA VARIJABNA KOLIČINA. NUMERIČKI SEKVENC→ – beskonačno malo pri
ograničeno kada.
a.
Uspostavimo vezu između ograničene funkcije i funkcije koja ima ograničenje. Razmotrimo osnovna svojstva infinitezimalnih funkcija.
ograničeno kada Algebarski zbir dva, tri i općenito bilo kojeg konačnog broja infinitezimala je infinitezimalna funkcija. . Dajemo dokaz za dva člana. Neka f(x)=α(x)+β(x) > , gdje i . Moramo dokazati da za proizvoljno mali ε δ> 0 pronađeno NARUČENA VARIJABNA KOLIČINA. NUMERIČKI SEKVENC 0, što za sve vrijednosti 0, tako da za<δ |x – a| , zapisujemo posljednju nejednakost u obliku< ε.
, se izvršava > Dakle, popravimo proizvoljan broj ε 0. Pošto prema uslovima teoremeα(x) > je infinitezimalna funkcija, onda postoji takva δ 1 0, tako da za< 0, što je δ 1 imamo< ε / 2. |α(x)| Isto tako, pošto je beskonačno mala, onda postoji takvo δ 2 > je infinitezimalna funkcija, onda postoji takva δ 1 0, tako da za< δ 2 imamo | β(x)|< ε / 2.
Uzmimo δ=min( δ 1 , δ2 } .Onda u blizini tačke a radijus δ svaka od nejednakosti će biti zadovoljena δ 1 imamo< ε / 2 i | β(x)|< ε / 2. Dakle, u ovom naselju će ih biti
|f(x)|=| α(x)+β(x)| ≤ |α(x)| + | β(x)|< ε /2 + ε /2= ε,
one. , zapisujemo posljednju nejednakost u obliku< ε, što je trebalo dokazati.
Iz definicije ograničene funkcije slijedi da ako je , onda je neograničena. Međutim, obrnuto nije tačno: neograničena funkcija ne mora biti beskonačno velika. Navedite primjer. Proizvod infinitezimalne funkcije f (x)=b+α(x) za ograničenu funkciju f(x) Funkcija NARUČENA VARIJABNA KOLIČINA. NUMERIČKI SEKVENC→ a(ili kada NARUČENA VARIJABNA KOLIČINA. NUMERIČKI SEKVENC→ ∞ ) je infinitezimalna funkcija.
ograničeno kada. Od funkcije f(x) je ograničen, onda postoji broj M tako da za sve vrijednosti NARUČENA VARIJABNA KOLIČINA. NUMERIČKI SEKVENC iz nekog komšiluka tačke a|f(x)|≤M.Štaviše, pošto f (x)=b+α(x) je infinitezimalna funkcija na NARUČENA VARIJABNA KOLIČINA. NUMERIČKI SEKVENC→ a, tada za proizvoljno ε > 0 postoji susjedstvo tačke a, u kojem će vrijediti nejednakost δ 1 imamo< ε /M. Zatim u manjem od ovih naselja koje imamo | αf|< ε /M= ε. A to znači to af– beskonačno mali. Za tu priliku NARUČENA VARIJABNA KOLIČINA. NUMERIČKI SEKVENC→ ∞ dokazivanje se izvodi na sličan način.
Iz dokazane teoreme slijedi:
Zaključak 1. Ako i, onda.
Zaključak 2. Teorema 1. c= const, zatim .
Teorema 3. Omjer infinitezimalne funkcije 0. Pošto prema uslovima teoreme po funkciji f(x), čija je granica različita od nule, je infinitezimalna funkcija.
ograničeno kada. Neka . Zatim 1 /f(x) postoji ograničena funkcija. Dakle, razlomak je proizvod infinitezimalne funkcije i ograničene funkcije, tj. funkcija je beskonačno mala.
ODNOS IZMEĐU BESKRAJNIH MALI
I BESKONAČNO VELIKE FUNKCIJE
Uspostavimo vezu između ograničene funkcije i funkcije koja ima ograničenje. Teorema. f(x) je beskonačno velika pri NARUČENA VARIJABNA KOLIČINA. NUMERIČKI SEKVENC→ a, zatim funkcija 1 /f(x) je beskonačno mali na NARUČENA VARIJABNA KOLIČINA. NUMERIČKI SEKVENC→ a.
Dokaz. Uzmimo proizvoljan broj ε >0 i pokazati to nekima δ>0 (u zavisnosti od ε) za sve NARUČENA VARIJABNA KOLIČINA. NUMERIČKI SEKVENC, za koje 0, tako da za<δ , nejednakost je zadovoljena, a to će značiti da 1/f(x) je infinitezimalna funkcija. Zaista, pošto f(x) je beskonačno velika funkcija na NARUČENA VARIJABNA KOLIČINA. NUMERIČKI SEKVENC→ a, onda će biti δ>0 tako da čim 0, tako da za<δ , pa | f(x)|> 1/ ε. Ali onda za isto NARUČENA VARIJABNA KOLIČINA. NUMERIČKI SEKVENC.
Primjeri.
Obrnuta teorema se također može dokazati.
Iz definicije ograničene funkcije slijedi da ako je , onda je neograničena. Međutim, obrnuto nije tačno: neograničena funkcija ne mora biti beskonačno velika. Navedite primjer. Teorema. f(x)- beskonačno mali at NARUČENA VARIJABNA KOLIČINA. NUMERIČKI SEKVENC→ a(ili NARUČENA VARIJABNA KOLIČINA. NUMERIČKI SEKVENC→ ∞) i onda ne nestaje y= 1/f(x) je beskonačno velika funkcija.
Provedite sami dokaz teoreme.
Pod kvantitetom razumijevamo sve što izražava svojstva predmeta, pojave ili procesa. Square zemljište, težina životinje, troškovi proizvodnje, procenat masti u mlijeku, itd. su svi primjeri količina. Svaka od veličina može se izmjeriti pomoću instrumenta ili izračunati, što rezultira brojem koji se naziva numerička vrijednost količine.
Vrijednosti su izražene u određenim jedinicama. Takve količine se nazivaju dimenzionalni . Svaka količina ima svoju jedinicu. Jedinice za veličine čine sistem. Općenito je prihvaćeno Međunarodni sistem(SI). Njegove osnovne jedinice su: metar (m) – jedinica dužine; kilogram (kg) – jedinica mase; sekunda (s) – jedinica vremena; kelvin (k) – jedinica temperature; kandela (cd) – jedinica za intenzitet svetlosti; mol je jedinica za količinu supstance.
Količine mogu biti bezdimenzionalne. Na primjer, udio eksperimenata u kojima se pojavio promatrani fenomen.
Kada posmatramo bilo koji proces ili pojavu iz oblasti fizike, ekonomije, agronomije ili neke druge oblasti znanja, vidimo da neke veličine zadržavaju svoje vrednosti, dok druge preuzimaju različita značenja. Na primjer, kod ravnomjernog kretanja tačke, vrijeme i udaljenost se mijenjaju, ali je brzina konstantna. Varijabilna vrijednost je veličina koja poprima različite numeričke vrijednosti. Zove se veličina čije se numeričke vrijednosti ne mijenjaju je veličina koja poprima različite numeričke vrijednosti. Zove se veličina čije se numeričke vrijednosti ne mijenjaju .
Oznake: x, y, z, t,…-promenljive količine; a, b, c, d,…- konstantne vrijednosti.
Poziva se skup svih numeričkih vrijednosti varijable oblast promene ovu varijablu.
Promjenjiva područja promjene:
(a, b) ={NARUČENA VARIJABNA KOLIČINA. NUMERIČKI SEKVENC:a< x < b ) – interval ili interval;
[a, b] = {NARUČENA VARIJABNA KOLIČINA. NUMERIČKI SEKVENC: a ≤ x ≤ b) – segment ili zatvoreni interval;
(a, b] = {NARUČENA VARIJABNA KOLIČINA. NUMERIČKI SEKVENC:a< x ≤ b },
[a, b) = {NARUČENA VARIJABNA KOLIČINA. NUMERIČKI SEKVENC:a ≤ x< b ) – poluotvoreni intervali;
(-∞, b] = (x: x ≤ b},
(-∞, b) = (x: x< b},
[a, +∞) = (x: x ≥ a},
(a, +∞) = (x: x > a},
(-∞, +∞) = (x: -∞< x < +∞} – бесконечные интервалы.
proizvoljni interval ( a, b), koji sadrži tačku u sebi, naziva se susjedstvo tačke : a< < b.
Ako je tačka sredina susjedstva, onda se zove centar komšiluka , količina se zove radijus komšiluka .
Varijabla se poziva povećanje , ako je svaka naredna vrijednost veća od prethodne vrijednosti. Varijabla se poziva opadajući , ako je svaka sljedeća vrijednost manja od prethodne.
Koncept funkcije. Obim njegove definicije. Metode dodjele.
Koncept funkcije vođen je proučavanjem različitih pojava u svijetu oko nas. Na primjer, svaka vrijednost dužine lica kocke odgovara njegovom volumenu; svaki trenutak u datom području odgovara određenoj temperaturi zraka; Svaka vrijednost starosti životinje odgovara njenoj masi; Svaki pokazatelj profitabilnosti odgovara određenom iznosu dobiti.
Zajedničko svim ovim primjerima je da je svaka brojčana vrijednost jedne veličine povezana s određenom numeričkom vrijednošću druge.
Pravilo f, odgovara svakom broju jednina, naziva se numerička funkcija definirana na skupu X i koja uzima vrijednosti u skupu Y.
Ako je, onda napišite y = f(x).
Funkcija se također naziva jednačina y = f(x), one. formula gdje at izraženo kroz . koristeći pravilo f.
U Eq. y = f(x)« ."pozovi nezavisna varijabla ili argument , A at - zavisna varijabla ili funkcija od " ." Ovisnost . I at naziva funkcionalnim.
Skup svih vrijednosti nezavisne varijable za koju je funkcija definirana naziva se domenom definicije ove funkcije i označava se sa D(f).
Obično D(f) predstavlja interval - otvoren, poluotvoren, beskonačan ili njihov zbir.
Primjer. . Nađi D(f).
Rješenje. Funkcija nije definirana kada . D(f) = (-∞, -1) (-1, +∞).
Najčešća tri načina specificiranja funkcije su: analitički, tabelarni i grafički.
Analitička metoda: Funkcija je specificirana u obliku jedne ili više formula ili jednadžbi.
Na primjer, 1) , 2) , 3)
Analitička metoda specificiranja funkcije je najnaprednija, jer je praćena metodama matematičke analize koje omogućavaju potpuno proučavanje funkcije.
Grafička metoda: Određuje graf funkcije.
Skup tačaka na ravni xOy,čije su apscise vrijednosti nezavisne varijable, a ordinate odgovarajuće vrijednosti funkcije, naziva se raspored ovu funkciju.
Često se grafikoni automatski crtaju instrumentima za snimanje ili se prikazuju na ekranu. Prednost grafički zadatak je njegova jasnoća, nedostatak je njegova nepreciznost.
Tabelarni metod: Funkcija je određena tablicom niza vrijednosti argumenata i odgovarajućih vrijednosti funkcije.
Na primjer, tablice trigonometrijske funkcije, logaritmi, tabele željezničkih tarifa.
Tabelarni metod je pogodan za upotrebu, široko se koristi pri snimanju eksperimenata, laboratorijskih analiza, pri izračunavanju zapremine grube krme u naslagama, itd. Nedostatak ove metode je što je ideja o funkcionalna zavisnost ovdje nije potpuno, jer je nemoguće smjestiti sve vrijednosti argumenta u tablicu.
Postoji još jedan način da se specificira funkcija, koja je nastala razvojem i uvođenjem računara u proizvodnju. Ova metoda se sastoji od specificiranja programa za izračunavanje vrijednosti funkcija na računaru.
Kompleksna funkcija. Neka su date dvije funkcije i, a skup vrijednosti druge funkcije uključen je u domenu definicije prve. Tada, na osnovu pravila φ, bilo koji odgovara određenom broju I, i broj I funkcija odgovara broju at. U ovom slučaju pravila f i φ su povezani sa svakim . jedna vrijednost at, tj.
VARIJABLE I KONSTANTE
Kao rezultat mjerenja fizičkih veličina (vrijeme, površina, volumen, masa, brzina itd.), određuju se njihove numeričke vrijednosti. Matematika se bavi količinama, apstrahujući od njihovog specifičnog sadržaja. U nastavku, kada govorimo o količinama, mislićemo na njihove numeričke vrijednosti. U različitim pojavama neke se veličine mijenjaju, dok druge zadržavaju svoju brojčanu vrijednost. Na primjer, kada se tačka kreće jednoliko, vrijeme i udaljenost se mijenjaju, ali brzina ostaje konstantna.
Varijabilna vrijednost je veličina koja poprima različite numeričke vrijednosti. Zove se veličina čije se numeričke vrijednosti ne mijenjaju je veličina koja poprima različite numeričke vrijednosti. Zove se veličina čije se numeričke vrijednosti ne mijenjaju. Varijabilne količine će biti označene slovima x, y, z,…, konstantno – a, b, c,…
Imajte na umu da se u matematici konstantna vrijednost često smatra posebnim slučajem varijable u kojoj su sve numeričke vrijednosti iste.
Promijenite područje Varijabla je skup svih numeričkih vrijednosti koje prihvaća. Područje promjene može se sastojati od jednog ili više intervala ili jedne točke.
NARUČENA VARIJABNA KOLIČINA. NUMERIČKI SEKVENC
Reći ćemo da je varijabla NARUČENA VARIJABNA KOLIČINA. NUMERIČKI SEKVENC x uređena varijabla, ako je poznato područje njegove promjene i za svaku od bilo koje dvije njegove vrijednosti može se reći koja je prethodna, a koja sljedeća.
Poseban slučaj uređene varijabilne količine je varijabilna veličina čije se vrijednosti formiraju numerički niz x 1 ,x 2 ,…,x n ,… Za takve vrijednosti na i< j, i, j Î N , značenje x i smatra se prethodnim, i x j– naknadno bez obzira koja je od ovih vrijednosti veća. Dakle, niz brojeva je varijabla čije se uzastopne vrijednosti mogu prenumerisati. Označit ćemo numerički niz sa . Pojedinačni brojevi u nizu nazivaju se njegovim – naknadno bez obzira koja je od ovih vrijednosti veća. Dakle, niz brojeva je varijabla čije se uzastopne vrijednosti mogu prenumerisati. Označit ćemo numerički niz sa . Pojedinačni brojevi u nizu nazivaju se njegovim.
Na primjer, numerički niz se formira od sljedećih veličina:
formiraju sledeće količine:
Prilikom proučavanja raznih prirodnih pojava i rješavanja tehničkih problema, a samim tim i u matematici, potrebno je razmotriti promjenu jedne veličine u zavisnosti od promjene druge. Na primjer, poznato je da se površina kruga izražava u terminima radijusa pomoću formule S = πr 2. Ako radijus . Ako radijus poprima različite numeričke vrijednosti, a zatim površina poprima različite numeričke vrijednosti, a zatim površina također poprima različite numeričke vrijednosti, tj. promjena jedne varijable uzrokuje promjenu u drugoj.
Ako svaka vrijednost varijable NARUČENA VARIJABNA KOLIČINA. NUMERIČKI SEKVENC pripadnost određenoj oblasti odgovara jednoj specifičnoj vrijednosti druge varijable y, To y pozvao funkcija varijable x. Pisaćemo simbolično y=f(x). U ovom slučaju, varijabla NARUČENA VARIJABNA KOLIČINA. NUMERIČKI SEKVENC pozvao nezavisna varijabla ili argument.
Zapis y=C, Gdje C– konstanta, označava funkciju čija je vrijednost pri bilo kojoj vrijednosti NARUČENA VARIJABNA KOLIČINA. NUMERIČKI SEKVENC jedan te isti i jednak C.
Višestruka značenja NARUČENA VARIJABNA KOLIČINA. NUMERIČKI SEKVENC, za koje se mogu odrediti vrijednosti funkcije y prema pravilu f(x), zvao domenu funkcije.
Varijable i konstante nisu sasvim jednostavne
Školska matematika nas je uvijek uvjeravala i uvjerava da se pitanje varijabli i konstanti rješava vrlo jednostavno. Varijable su veličine koje u uslovima datog problema mogu poprimiti različite vrijednosti. Količine koje ne mijenjaju svoje vrijednosti u uslovima datog problema smatraju se konstantnim.
Istovremeno, dodatno se navodi da je podjela veličina na varijable i konstante prilično proizvoljna i ovisi o okolnostima koje prate proces. rješavanje problema. Istu količinu, koja se smatra konstantnom pod nekim uslovima, treba smatrati promenljivom pod drugim uslovima. Klasičan primjer: otpor vodiča se smatra konstantnim sve dok ne budemo prisiljeni uzeti u obzir ovisnost njegovog otpora o temperaturi okoline.
Ali, kako praksa pokazuje, sve gore navedeno nije dovoljno za ispravno rješavanje određenog problema.
Šta je količina intuitivno je svima jasno. Hajde da razjasnimo ovaj koncept.
U opštem slučaju, sadržaj procesa rešavanja problema je transformacija veličina. Treba shvatiti da općenito filozofski smisao količina koja predstavlja rezultat rješavanja problema već je sadržana u njegovoj formulaciji u implicitnom obliku. Potrebno je samo ispravno konstruisati proces transformacije veličina problema da bi se ovaj rezultat eksplicitno prikazao.
Definicija
Količinu ćemo nazvati bilo kojom matematički objekat, koji nosi (ili može nositi) informacije o određenoj vrijednosti.
Oblik predstavljanja količina može biti različit. Na primjer, količina s numeričkom vrijednošću jednakom realnoj jedinici može se predstaviti kao decimalni konstante oh 1.0, funkcija Cos(0), kao i aritmetički izraz 25.0 – 15.0 – 9.0.
Vrijednosti se mogu mijenjati. Dakle, kao rezultat izvršenja akcije x = 1,0, količina u obliku varijable x ispada kao nosilac vrijednosti realne jedinice. U tom slučaju se gubi prethodna vrijednost varijable x. Navedeni primjeri već pokazuju iz malo drugačije perspektive da količine mogu biti promjenjive i konstantne.
Definicija
Varijabilne veličine imaju svojstvo da se njihove vrijednosti mogu mijenjati kao rezultat izvođenja određenih radnji. A to znači da koncept “varijabilne vrijednosti” odražava mogućnost, ali ne i činjenicu promjene.
Konstantnom vrijednošću (konstantom) treba smatrati onu čiju je vrijednost, za razliku od varijable, suštinski nemoguće promijeniti.
Na primjer, vrijednost konstante u izrazu 12+3 je 15 i ne može se promijeniti. U ovom slučaju potrebno je fiksirati značenje znakova uz pomoć kojih je količina predstavljena. U suprotnom, ako uzmemo u obzir, na primjer, znakove ovog izraza kao brojeve u brojevnom sistemu sa osnovom 5, tada će njegova vrijednost biti jednaka 10.
Definicija
Dakle, u matematičkim tekstovima, nosioci vrijednosti, odnosno količine, su varijable, konstante, pozivi funkcijama (ili jednostavno funkcije), kao i izrazi.
Karakteristike varijabli
Oznake s kojima su određene vrijednosti povezane u matematici se nazivaju varijable (pojam se koristi kao imenica).
Na primjer, vrijednost varijable x+1 zavisi od vrijednosti povezane s notacijom x. Ovdje se oznaka x koristi kao varijabla. Promjenom vrijednosti varijable x mijenjamo i vrijednost varijable x+1.
Dakle, vrijednosti varijabilnih veličina zavise od vrijednosti varijabli koje su uključene u njihov sastav. Distinctive property varijabla je da joj se njena specifična vrijednost jednostavno treba dodijeliti (dodijeliti).
Matematički pristup koji određuje mogućnost izračunavanja vrijednosti varijabli pokazuje se netočnim u ovom kontekstu. U matematici možete izračunati samo vrijednosti izraza.
Glavni uvjet za korištenje varijable u matematičkim tekstovima u njenom konačnom obliku je sljedeći: da se poziva na varijablu, dovoljno je naznačiti njenu oznaku.
Karakteristike konstanti
U matematičkim tekstovima mogu se koristiti dvije vrste konstanti: token konstante i imenovane konstante.
Inače, programeri na jezicima visokog nivoa to koriste na sasvim formalnim (pravnim) osnovama.
Koristeći konstantne tokene, vrijednosti konstantnih količina se specificiraju direktno bez izvođenja ikakvih operacija. Na primjer, da bi se dobila vrijednost konstantne vrijednosti 12+3, koja je izraz, potrebno je dodati dvije konstantne tokene 12 i 3.
Definicija
Imenovana konstanta je notacija povezana sa specifično značenje, specificirano kao konstanta tokena.
Ova tehnika se široko koristi u prirodne nauke iz razloga pogodnosti za snimanje fizičkih, hemijskih, matematičkih i drugih formula. Na primjer: g = 9,81523 – ubrzanje slobodnog pada na geografskoj širini Moskve; π = 3,1415926 – broj $π$.
Pored kompaktnih izraza, imenovane konstante daju jasnoću i značajnu pogodnost u radu sa matematičkim tekstovima.
Imenovana konstanta dobija svoje značenje kao rezultat preliminarnog dogovora.
Važno svojstvo bilo koje imenovane konstante je da se ne preporučuje mijenjanje njene vrijednosti u unutar neki matematički tekst.
Izrazi
Izrazi su komponente velika većina matematičkih tekstova. Izrazi se koriste za određivanje redoslijeda u kojem se nove vrijednosti izračunavaju na osnovu drugih prethodno poznatih vrijednosti.
Uopšteno govoreći, izrazi koriste operande, znakove operacija i regulacijske zagrade (kvadratne, vitičaste) zagrade.
Definicija
Operandi su uobičajeno ime objekti čije se vrijednosti koriste prilikom izvođenja operacija. Operandi mogu biti varijable, konstante i funkcije. Inače, ovaj termin je veoma popularan među programerima. Fragment izraza zatvoren u izlazne zagrade tretira se kao poseban složeni operand.
Znak operacije simbolizira u potpunosti određeni set radnje koje treba izvršiti na odgovarajućim operandima. Regulatorne zagrade određuju željeni redoslijed operacija, koji se može razlikovati od onog predviđenog prioritetom operacija.
Najjednostavniji slučaj izraza je jedan operand. U ovom izrazu nema simbola operacija.
Funkcija operanda ima svoje karakteristike. Po pravilu, takav operand je ime (ili znak) funkcije, praćeno listom njenih argumenata u zagradama. U ovom slučaju, zagrade su sastavni dio funkcija i ne spadaju u one koje reguliraju. Imajte na umu da se u mnogim slučajevima zagrade ne koriste u operandima funkcije (na primjer, 5! - izračunavanje faktorijela cijelog broja 5).
Matematičke operacije
Glavne karakteristike matematičkih operacija su:
- znakovi rada mogu se označiti pomoću posebnih znakova, kao i korištenjem posebno specificiranih riječi;
- operacije mogu biti unarne (izvode se na jednom operandu) i binarne (izvode se na dva operanda);
- Operacije imaju četiri nivoa prioriteta koji određuju redosled kojim se izraz vrednuje.
Pravila izračunavanja složen izraz, koji sadrži lanac operacija u nedostatku regulatornih zagrada, sljedeće:
- prvo se izračunavaju vrijednosti svih funkcija;
- tada se operacije izvode jedna po jedna u opadajućem redoslijedu njihovog prioriteta;
- operacije jednakog prioriteta se izvode redom s lijeva na desno.
Kada su prisutne izlazne zagrade, izraz sadrži složene operande čije vrijednosti se moraju prvo procijeniti.
Neke karakteristike pisanja matematičkih izraza:
- Ne preporučuje se preskakanje znakova operacija, iako u mnogim slučajevima možete preskočiti znak množenja;
- Preporučljivo je navesti argumente funkcije u zagradama;
- navođenje dva ili više simbola binarnih operacija u nizu je neprihvatljivo; Formalno je dozvoljeno koristiti nekoliko simbola unarnih operacija u nizu, uključujući zajedno s binarnim.