Koliki je sinus zbira? Zbir i razlika sinusa i kosinusa: izvođenje formula, primjeri

Dom

Jedna od oblasti matematike sa kojom se učenici najviše bore je trigonometrija. Nije iznenađujuće: da biste slobodno savladali ovu oblast znanja, potrebno vam je prostorno razmišljanje, sposobnost pronalaženja sinusa, kosinusa, tangenta, kotangensa pomoću formula, pojednostavljenja izraza i mogućnosti korištenja broja pi u kalkulacije. Osim toga, morate biti u mogućnosti koristiti trigonometriju prilikom dokazivanja teorema, a to zahtijeva ili razvijenu matematičku memoriju ili sposobnost izvođenja složenih logičkih lanaca.

Poreklo trigonometrije

Upoznavanje s ovom naukom trebalo bi započeti s definicijom sinusa, kosinusa i tangenta kuta, ali prvo morate razumjeti šta trigonometrija uopće radi.

Istorijski gledano, glavni predmet proučavanja u ovoj grani matematičke nauke bili su pravokutni trouglovi. Prisutnost ugla od 90 stepeni omogućava izvođenje različitih operacija koje omogućavaju određivanje vrijednosti svih parametara dotične figure koristeći dvije strane i jedan kut ili dva ugla i jednu stranu. U prošlosti su ljudi primijetili ovaj obrazac i počeli ga aktivno koristiti u izgradnji zgrada, navigaciji, astronomiji, pa čak i u umjetnosti.

Inicijalna faza U početku se o odnosu uglova i stranica govorilo isključivo na primjeru pravokutnih trokuta. Tada su otkrivene posebne formule koje su omogućile proširenje granica upotrebe u svakodnevni život

ovu granu matematike. Izučavanje trigonometrije u školi danas počinje pravouglim trouglim, nakon čega učenici koriste stečena znanja iz fizike i rješavanja apstraktnih zadataka. trigonometrijske jednačine

, rad sa kojim počinje u srednjoj školi.

Sferna trigonometrija Kasnije, kada je nauka izašla sljedeći nivo razvoju, formule sa sinusom, kosinusom, tangentom, kotangensom počele su da se koriste u sfernoj geometriji, gde važe različita pravila, a zbir uglova u trouglu je uvek veći od 180 stepeni. Ova sekcija se ne izučava u školi, ali je potrebno znati za njeno postojanje barem zato zemljine površine

Uzmi globus i konac. Pričvrstite konac na bilo koje dvije točke na globusu tako da bude zategnut. Imajte na umu - poprimio je oblik luka. Takvim oblicima se bavi sferna geometrija koja se koristi u geodeziji, astronomiji i drugim teorijskim i primijenjenim oblastima.

Pravokutni trokut

Pošto smo malo naučili o načinima korištenja trigonometrije, vratimo se na osnovnu trigonometriju kako bismo dalje razumjeli što su sinus, kosinus, tangenta, koja se izračunavanja mogu izvesti uz njihovu pomoć i koje formule koristiti.

Prvi korak je razumijevanje pojmova koji se odnose na pravougaonog trougla. Prvo, hipotenuza je strana nasuprot ugla od 90 stepeni. To je najduže. Sjećamo se da je prema Pitagorinoj teoremi njegova brojčana vrijednost jednaka korijenu zbira kvadrata druge dvije stranice.

Na primjer, ako su dvije stranice 3 i 4 centimetra, dužina hipotenuze će biti 5 centimetara. Inače, stari Egipćani su za to znali prije otprilike četiri i po hiljade godina.

Dvije preostale stranice, koje čine pravi ugao, nazivaju se noge. Osim toga, moramo zapamtiti da je zbir uglova u trokutu u pravougaonom koordinatnom sistemu jednak 180 stepeni.

Definicija

Konačno, uz čvrsto razumijevanje geometrijske osnove, možemo se obratiti definiciji sinusa, kosinusa i tangenta ugla.

Sinus ugla je omjer suprotnog kraka (tj. strane suprotne željenom kutu) i hipotenuze. Kosinus ugla je omjer susjedne stranice i hipotenuze.

Zapamtite da ni sinus ni kosinus ne mogu biti više od jednog! Zašto? Zato što je hipotenuza po defaultu najduža Bez obzira koliko je krak kraći, on će biti kraći od hipotenuze, što znači da će njihov omjer uvijek biti manji od jedan. Stoga, ako u svom odgovoru na problem dobijete sinus ili kosinus sa vrijednošću većom od 1, potražite grešku u proračunima ili obrazloženju. Ovaj odgovor je očigledno netačan.

Konačno, tangenta ugla je omjer suprotne i susjedne strane. Podjela sinusa kosinusom dat će isti rezultat. Pogledajte: prema formuli, dužinu stranice podijelimo hipotenuzom, zatim podijelimo s dužinom druge stranice i množimo hipotenuzom. Dakle, dobijamo isti odnos kao u definiciji tangente.

Kotangens je, prema tome, omjer strane susjedne ugla i suprotnoj strani. Dobijamo isti rezultat dijeljenjem jedan sa tangentom.

Dakle, pogledali smo definicije šta su sinus, kosinus, tangent i kotangens i možemo prijeći na formule.

Najjednostavnije formule

U trigonometriji ne možete bez formula - kako pronaći sinus, kosinus, tangent, kotangens bez njih? Ali to je upravo ono što je potrebno pri rješavanju problema.

Prva formula koju trebate znati kada počnete proučavati trigonometriju kaže da je zbroj kvadrata sinusa i kosinusa ugla jednak jedan. Ova formula je direktna posljedica Pitagorine teoreme, ali štedi vrijeme ako trebate znati veličinu ugla, a ne stranu.

Mnogi učenici se ne mogu sjetiti druge formule, koja je također vrlo popularna kod rješavanja školskih zadataka: zbir jedinice i kvadrata tangente ugla jednak je jednom podijeljenom s kvadratom kosinusa ugla. Pogledajte bliže: ovo je ista izjava kao u prvoj formuli, samo su obje strane identiteta podijeljene kvadratom kosinusa. Ispostavilo se da jednostavna matematička operacija čini trigonometrijsku formulu potpuno neprepoznatljivom. Zapamtite: znajući šta su sinus, kosinus, tangenta i kotangens, pravila transformacije i nekoliko osnovnih formula, možete u svakom trenutku izvesti potrebne složenije formule na listu papira.

Formule za dvostruke uglove i sabiranje argumenata

Još dvije formule koje trebate naučiti odnose se na vrijednosti sinusa i kosinusa za zbroj i razliku uglova. Oni su predstavljeni na donjoj slici. Imajte na umu da se u prvom slučaju sinus i kosinus množe oba puta, au drugom se dodaje upareni proizvod sinusa i kosinusa.

Postoje i formule povezane sa argumentima dvostrukog ugla. Oni su u potpunosti izvedeni iz prethodnih - kao trening pokušajte ih sami dobiti uzimajući alfa ugao jednaka uglu beta.

Konačno, imajte na umu da se formule dvostrukog ugla mogu preurediti kako bi se smanjila snaga sinusa, kosinusa, tangenta alfa.

Teoreme

Dvije glavne teoreme u osnovnoj trigonometriji su sinusna teorema i kosinusna teorema. Uz pomoć ovih teorema, lako možete razumjeti kako pronaći sinus, kosinus i tangentu, a time i površinu figure, veličinu svake strane itd.

Teorem sinusa kaže da dijeljenje dužine svake strane trougla sa suprotnim uglom rezultira istim brojem. Štaviše, ovaj broj će biti jednak dvama polumjerima opisane kružnice, odnosno kruga koji sadrži sve točke datog trougla.

Kosinusna teorema generalizira Pitagorinu teoremu, projektujući je na bilo koji trokut. Ispada da od zbira kvadrata dviju strana oduzmite njihov proizvod pomnožen dvostrukim kosinusom susjednog ugla - rezultirajuća vrijednost će biti jednaka kvadratu treće strane. Tako se ispostavlja da je Pitagorina teorema poseban slučaj kosinusne teoreme.

Nepažljive greške

Čak i znajući šta su sinus, kosinus i tangens, lako je pogriješiti zbog rasejanosti ili greške u najjednostavnijim proračunima. Da bismo izbjegli takve greške, pogledajmo one najpopularnije.

Prvo, ne biste trebali pretvarati razlomke u decimale dok ne dobijete konačni rezultat - možete ostaviti odgovor kao običan razlomak, osim ako je drugačije navedeno u uslovima. Takva se transformacija ne može nazvati greškom, ali treba imati na umu da se u svakoj fazi problema mogu pojaviti novi korijeni, koje bi, prema autorovoj zamisli, trebalo smanjiti. U tom slučaju gubite vrijeme na nepotrebne matematičke operacije. Ovo posebno vrijedi za vrijednosti kao što su korijen od tri ili korijen od dva, jer se nalaze u problemima na svakom koraku. Isto važi i za zaokruživanje „ružnih“ brojeva.

Nadalje, imajte na umu da se kosinusna teorema primjenjuje na bilo koji trokut, ali ne i Pitagorina teorema! Ako greškom zaboravite da dvaput oduzmete umnožak stranica pomnožen kosinusom ugla između njih, ne samo da ćete dobiti potpuno pogrešan rezultat, već ćete pokazati i potpuno nerazumijevanje subjekta. Ovo je gore od neoprezne greške.

Treće, nemojte miješati vrijednosti za uglove od 30 i 60 stepeni za sinuse, kosinuse, tangente, kotangense. Zapamtite ove vrijednosti, jer je sinus od 30 stepeni jednak kosinsu od 60, i obrnuto. Lako ih je zbuniti, zbog čega ćete neizbježno dobiti pogrešan rezultat.

Aplikacija

Mnogi studenti ne žure da počnu proučavati trigonometriju jer ne razumiju njeno praktično značenje. Šta je sinus, kosinus, tangenta za inženjera ili astronoma? To su koncepti koji omogućavaju izračunavanje udaljenosti do udaljenih zvijezda, predviđanje pada meteorita ili slanje istraživačke sonde na drugu planetu. Bez njih je nemoguće izgraditi zgradu, dizajnirati automobil, izračunati opterećenje na površini ili putanju objekta. A ovo su samo najočitiji primjeri! Uostalom, trigonometrija se u ovom ili onom obliku koristi svuda, od muzike do medicine.

U zaključku

Dakle, ti si sinus, kosinus, tangent. Možete ih koristiti u proračunima i uspješno rješavati školske probleme.

Cijeli smisao trigonometrije svodi se na činjenicu da koristeći poznate parametre trougla morate izračunati nepoznanice. Ukupno ima šest parametara: dužina tri strane i veličine tri ugla. Jedina razlika u zadacima je što su dati različiti ulazni podaci.

Sada znate kako pronaći sinus, kosinus, tangentu na osnovu poznatih dužina kateta ili hipotenuze. Pošto ovi pojmovi ne znače ništa više od omjera, a omjer je razlomak, glavni cilj Trigonometrijski problem postaje pronalaženje korijena obične jednačine ili sistema jednačina. I tu će vam pomoći redovna školska matematika.

Kosinus zbira i razlike dva ugla

U ovom dijelu će se dokazati sljedeće dvije formule:

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β, (1)

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β. (2)

Kosinus zbira (razlike) dva ugla jednak je proizvodu kosinusa ovih uglova minus (plus) proizvod sinusa ovih uglova.

Biće nam zgodnije da počnemo sa dokazom formule (2). Radi jednostavnosti prezentacije, pretpostavimo prvo da su uglovi α I β zadovoljiti sledećim uslovima:

1) svaki od ovih uglova je nenegativan i manji 2π:

0 < α <2π, 0< β < 2π;

2) α > β .

Neka je pozitivni dio ose 0x zajednička početna strana uglova α I β .

Krajnje strane ovih uglova označavamo sa 0A i 0B, respektivno. Očigledno ugao α - β može se smatrati uglom za koji se snop 0B treba zarotirati oko tačke 0 u smjeru suprotnom od kazaljke na satu tako da se njegov smjer poklapa sa smjerom snopa 0A.

Na zrakama 0A i 0B označavamo tačke M i N, koje se nalaze na udaljenosti 1 od početka koordinata 0, tako da je 0M = 0N = 1.

U koordinatnom sistemu x0y tačka M ima koordinate ( cos α, sin α), a tačka N su koordinate ( cos β, sin β). Dakle, kvadrat udaljenosti između njih je:

d 1 2 = (cos α - cos β) 2 + (sin α - sin β) 2 = cos 2 α - 2 cos α cos β +

+ cos 2 β + sin 2 α - 2sin α sin β + sin 2 β = .

U našim proračunima koristili smo identitet

sin 2 φ + cos 2 φ = 1.

Sada razmotrite drugi koordinatni sistem B0C, koji se dobija rotiranjem osa 0x i 0y oko tačke 0 u smeru suprotnom od kazaljke na satu za ugao β .

U ovom koordinatnom sistemu, tačka M ima koordinate (cos ( α - β ), grijeh ( α - β )), a tačka N su koordinate (1,0). Dakle, kvadrat udaljenosti između njih je:

d 2 2 = 2 + 2 = cos 2 (α - β) - 2 cos (α - β) + 1 +

+ sin 2 (α - β) = 2 .

Ali rastojanje između tačaka M i N ne zavisi od toga na koji koordinatni sistem razmatramo ove tačke u odnosu. Zato

d 1 2 = d 2 2

2 (1 - cos α cos β - sin α sin β) = 2 .

Ovdje slijedi formula (2).

Sada bi se trebali sjetiti ona dva ograničenja koja smo nametnuli radi jednostavnosti prezentacije uglova α I β .

Zahtjev da svaki od uglova α I β nije negativan, nije stvarno značajan. Uostalom, bilo kojem od ovih uglova možete dodati ugao koji je višekratnik 2, što neće uticati na valjanost formule (2). Na isti način, od svakog od ovih uglova možete oduzeti ugao koji je višekratnik 2π. Stoga možemo pretpostaviti da 0 < α < 2π, 0 < β < 2π.

Uslov se takođe ispostavlja beznačajnim α > β . Zaista, ako α < β , To β >α ; dakle, s obzirom na paritet funkcije cos X , dobijamo:

cos (α - β) = cos (β - α) = cos β cos α + sin β sin α,

što se suštinski poklapa sa formulom (2). Dakle, formula

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

tačno za sve uglove α I β . Konkretno, zamjena u njemu β na - β a s obzirom da je funkcija cosX je paran, a funkcija grijehX čudno, dobijamo:

cos (α + β) = cos [α - (- β)] = cos α cos (-β) + sin α sin (-β) =

= cos α cos β - sin α sin β,

što dokazuje formulu (1).

Dakle, formule (1) i (2) su dokazane.

Primjeri.

1) cos 75° = cos (30° + 45°) = cos 30° cos 45°-sin 30°-sin 45° =

2) cos 15° = cos (45° - 30°) = cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30° =

Vježbe

1 . Izračunajte bez upotrebe trigonometrijske tablice:

a) cos 17° cos 43° - sin 17° sin 43°;

b) sin 3° sin 42° - cos 39° cos 42°;

c) cos 29° cos 74° + sin 29° sin 74°;

d) sin 97° sin 37° + cos 37° cos 97°;

e) cos 3π / 8 cos π / 8 + sin 3π / 8 sin π / 8 ;

e) sin 3π / 5 sin 7π / 5 - cos 3π / 5 cos 7π / 5 .

2.Pojednostavite izraze:

a). cos( α + π/3 ) + cos(π/3 - α ) .

b). cos (36° + α ) cos (24° - α ) + sin (36° + α ) grijeh ( α - 24°).

V). sin(π/4 - α ) sin (π / 4 + α ) - cos (π / 4 + α ) cos (π / 4 - α )

d) cos 2 α + tg α grijeh 2 α .

3 . Izračunaj :

a) cos(α - β), Ako

cos α = - 2 / 5 , sin β = - 5 / 13 ;

90°< α < 180°, 180° < β < 270°;

b) cos ( α + π / 6), ako je cos α = 0,6;

3π/2< α < 2π.

4 . Nađi cos(α + β) i cos (α - β) ,ako se zna da je grijeh α = 7 / 25, koz β = - 5 / 13 i oba ugla ( α I β ) završavaju u istoj četvrtini.

5 .Izračunaj:

A). cos [ arcsin 1 / 3 + arccos 2 / 3 ]

b). cos [ arcsin 1 / 3 - arccos (- 2 / 3)] .

V). cos [ arctan 1 / 2 + arccos (- 2) ]

Najčešća pitanja

Da li je moguće napraviti pečat na dokumentu prema datom uzorku? Odgovori Da, moguće je. Pošaljite na naše email adresa skeniranu kopiju ili fotografiju dobar kvalitet, a mi ćemo napraviti potreban duplikat.

Koje vrste plaćanja prihvatate? Odgovori Dokument možete platiti po prijemu od strane kurira, nakon provjere ispravnosti popune i kvaliteta izrade diplome. To se može učiniti i u kancelarijama poštanskih kompanija koje nude usluge pouzeća.
Svi uslovi isporuke i plaćanja dokumenata opisani su u odeljku „Plaćanje i dostava“. Spremni smo da saslušamo i Vaše sugestije u vezi sa uslovima isporuke i plaćanja dokumenta.

Mogu li biti siguran da nakon narudžbe nećete nestati s mojim novcem? Odgovori Imamo dosta dugo iskustvo u oblasti izrade diploma. Imamo nekoliko web stranica koje se stalno ažuriraju. Naši stručnjaci rade u različitim dijelovima zemlje, izrađujući preko 10 dokumenata dnevno. Tokom godina, naši dokumenti su pomogli mnogim ljudima da riješe probleme zapošljavanja ili pređu na više visoko plaćen posao. Stekli smo povjerenje i priznanje među klijentima, tako da nema apsolutno nikakvog razloga da to radimo. Štoviše, to je jednostavno nemoguće učiniti fizički: plaćate narudžbu kada je dobijete u ruke, nema plaćanja unaprijed.

Mogu li naručiti diplomu sa bilo kojeg univerziteta? Odgovori Generalno, da. U ovoj oblasti radimo skoro 12 godina. Za to vrijeme formirana je gotovo potpuna baza dokumenata izdatih sa gotovo svih univerziteta u zemlji i šire. različite godine izdavanje. Sve što trebate je odabrati fakultet, specijalnost, dokument i ispuniti obrazac za narudžbu.

Šta učiniti ako nađete greške u kucanju i greške u dokumentu? Odgovori Prilikom primanja dokumenta od naše kurirske ili poštanske kompanije, preporučujemo da pažljivo provjerite sve detalje. Ukoliko se otkrije greška u kucanju, greška ili netačnost, imate pravo da ne preuzmete diplomu, ali uočene nedostatke morate navesti lično kuriru ili pismeno slanjem pisma na adresu email.
IN što je pre moguće Ispravićemo dokument i ponovo ga poslati na navedenu adresu. Naravno, dostavu će platiti naša kompanija.
Kako bismo izbjegli ovakve nesporazume, prije popunjavanja originalnog obrasca, e-mailom šaljemo kupcu maketu budućeg dokumenta na provjeru i odobrenje konačne verzije. Prije slanja dokumenta kurirskom ili poštom, snimamo i dodatne fotografije i video zapise (uključujući ultraljubičasto svjetlo) kako biste imali vizuelno predstavljanje o tome šta ćete na kraju dobiti.

Šta da uradim da naručim diplomu od vaše kompanije? Odgovori Da biste naručili dokument (sertifikat, diplomu, akademsko uvjerenje, itd.), morate popuniti online formular za narudžbu na našoj web stranici ili navesti svoj e-mail kako bismo vam mogli poslati obrazac za prijavu, koji morate popuniti i poslati nazad nama.
Ako ne znate šta naznačiti u bilo kojem polju narudžbenice/upitnika, ostavite ih praznim. Stoga ćemo sve informacije koje nedostaju razjasniti telefonom.

Najnovije recenzije

Alexey:

Trebalo je da steknem diplomu da bih se zaposlio kao menadžer. I najvažnije je da imam i iskustvo i vještine, ali ne mogu da se zaposlim bez dokumenta. Kada sam naišao na vaš sajt, konačno sam odlučio da kupim diplomu. Diploma je završena za 2 dana!! Sada imam posao o kojem nisam ni sanjao!! Hvala vam!

Formule za zbir i razliku sinusa i kosinusa za dva ugla α i β omogućavaju nam da pređemo od zbira ovih uglova na proizvod uglova α + β 2 i α - β 2. Odmah da primijetimo da ne treba brkati formule za zbir i razliku sinusa i kosinusa sa formulama za sinuse i kosinuse zbira i razlike. U nastavku navodimo ove formule, navodimo njihove derivacije i prikazujemo primjere primjene za određene probleme.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Formule za zbir i razliku sinusa i kosinusa

Zapišimo kako izgledaju formule zbira i razlike za sinuse i kosinuse

Formule zbira i razlike za sinuse

sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2

Formule zbira i razlike za kosinuse

cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 cos α - β 2 , cos α - cos β = 2 sin α + β 2 · β - α 2

Ove formule vrijede za sve uglove α i β. Uglovi α + β 2 i α - β 2 nazivaju se poluzbir i polurazlika uglova alfa i beta, respektivno. Dajemo formulaciju za svaku formulu.

Definicije formula za sume i razlike sinusa i kosinusa

Zbir sinusa dva ugla jednak je dvostrukom umnošku sinusa poluzbira ovih uglova i kosinusa polurazlike.

Razlika sinusa dva ugla jednak je dvostrukom umnošku sinusa polurazlike ovih uglova i kosinusa poluzbira.

Zbir kosinusa dva ugla jednak je dvostrukom umnošku kosinusa poluzbira i kosinusa polurazlike ovih uglova.

Razlika kosinusa dva ugla jednak dvostrukom umnošku sinusa poluzbira i kosinusa polurazlike ovih uglova, uzetih sa negativnim predznakom.

Izvođenje formula za zbir i razliku sinusa i kosinusa

Za izvođenje formula za zbir i razliku sinusa i kosinusa dva ugla koriste se formule sabiranja. Hajde da ih navedemo u nastavku

sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β sin (α - β) = sin α · cos β - cos α · sin β cos (α + β) = cos α · cos β - sin α sin β cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

Zamislimo i same uglove kao zbir poluzbira i polurazlika.

α = α + β 2 + α - β 2 = α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β = α + β 2 - α - β 2 = α 2 + β 2 - α 2 + β 2

Nastavljamo direktno sa izvođenjem formula za sumu i razliku za sin i cos.

Derivacija formule za zbir sinusa

U zbiru sin α + sin β, zamjenjujemo α i β sa izrazima za ove uglove datim gore. Dobili smo

sin α + sin β = sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2

Sada primjenjujemo formulu sabiranja na prvi izraz, a na drugi - formulu za sinus razlike kutova (vidi formule iznad)

sin α + β 2 + α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 Otvorite zagrade, dodajte slične pojmove i dobijete traženu formulu

sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α + β 2 cos α - β 2

Koraci za izvođenje preostalih formula su slični.

Izvođenje formule za razliku sinusa

sin α - sin β = sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 - sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α - β 2 cos α + β 2

Derivacija formule za zbir kosinusa

cos α + cos β = cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 + cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = 2 cos α + β 2 cos α - β 2

Izvođenje formule za razliku kosinusa

cos α - cos β = cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 - cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = - 2 sin α + β 2 sin α - β 2

Primjeri rješavanja praktičnih problema

Za početak, provjerimo jednu od formula zamjenom specifične vrijednosti uglovi Neka je α = π 2, β = π 6. Izračunajmo vrijednost zbira sinusa ovih uglova. Prvo, upotrijebimo tablicu osnovnih vrijednosti trigonometrijske funkcije, a zatim primijeniti formulu za zbir sinusa.

Primjer 1. Provjera formule za zbir sinusa dva ugla

α = π 2, β = π 6 sin π 2 + sin π 6 = 1 + 1 2 = 3 2 sin π 2 + sin π 6 = 2 sin π 2 + π 6 2 cos π 2 - π 6 2 = 2 sin π 3 cos π 6 = 2 3 2 3 2 = 3 2

Razmotrimo sada slučaj kada se vrijednosti uglova razlikuju od osnovnih vrijednosti prikazanih u tabeli. Neka je α = 165°, β = 75°. Izračunajmo razliku između sinusa ovih uglova.

Primjer 2. Primjena formule razlike sinusa

α = 165 °, β = 75 ° sin α - sin β = sin 165 ° - sin 75 ° sin 165 - sin 75 = 2 sin 165 ° - sin 75 ° 2 cos 165 ° + sin 75 ° 2 = = 2 sin 45 ° cos 120° = 2 2 2 - 1 2 = 2 2

Koristeći formule za zbir i razliku sinusa i kosinusa, možete prijeći od zbira ili razlike na proizvod trigonometrijskih funkcija. Često se ove formule nazivaju formulama za prelazak sa zbroja na proizvod. Formule za zbir i razliku sinusa i kosinusa se široko koriste u rješavanju trigonometrijskih jednačina i u pretvaranju trigonometrijskih izraza.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter