1 brojčani niz i načini za njegovo postavljanje. Brojčani niz i metode za njegovo specificiranje

Dom

Tema: Redoslijed brojeva i načini za njegovo postavljanje
Glavni ciljevi i zadaci lekcije
Obrazovni: objasniti učenicima značenje niza pojmova, n-tog člana niza; uvesti metode postavljanja niza.
Razvojni: razvijanje samostalnosti, uzajamna pomoć pri radu u grupi, inteligencija.

Obrazovni: podsticanje aktivnosti i tačnosti, sposobnost da se uvek vidi dobro, ulivanje ljubavi i interesovanja za predmet
Očekivani rezultati savladavanja teme
Tokom časa će steći nova znanja o brojčanim nizovima i načinu njihovog dodjeljivanja. Naučit će pronaći pravo rješenje, kreirati algoritam rješenja i koristiti ga prilikom rješavanja problema. Istraživanjem će se otkriti neka od njihovih svojstava. Sav rad je popraćen slajdovima. Universal aktivnosti učenja , čije je formiranje usmjereno obrazovni proces : sposobnost za rad u grupi, razvoj logičko razmišljanje , sposobnost analiziranja, istraživanja, izvođenja zaključaka, odbrane vlastitog gledišta. Naučite komunikacijske i saradničke vještine. Upotreba ovih tehnologija doprinosi razvoju učenika univerzalne metode aktivnosti, iskustvo kreativna aktivnost

, kompetencije, komunikacijske vještine.
Ključne ideje lekcije
Novi pristupi podučavanju i učenju
- trening dijaloga
- učenje kako učiti
Ocjenjivanje za učenje i ocjenjivanje učenja
Podučavanje kritičkog mišljenja

Obrazovanje talentovane i darovite djece
Vrsta lekcije

Učenje nove teme
Metode nastave

Vizuelni (prezentacija), verbalni (razgovor, objašnjenje, dijalog), praktični.
Oblici organizacije obrazovnih aktivnosti učenika

frontalni; grupa; parna soba; pojedinac.
Korištene interaktivne metode nastave
Vršnjačko ocjenjivanje, Samoprocjena, Grupni rad, Individualni rad,

Ocjenjivanje za učenje, IKT, Diferencirano učenje
Primena modula

Podučavanje kako učiti, Podučavanje kritičkom razmišljanju, Ocjenjivanje za učenje, Upotreba IKT u nastavi i učenju, Podučavanje talentirane i nadarene djece
Oprema i materijali udžbenik, Interaktivna tabla

grafoskop, prezentacija, markeri, wattmat A3, ravnalo, olovke u boji, naljepnice, emotikoni
Koraci lekcije

NAPREDAK ČASA

Predviđeni rezultati
Organizacioni momenat
(Doček učenika, prepoznavanje odsutnih, provjera spremnosti učenika za čas, organiziranje pažnje).
Podjela u grupe.
Uvodne napomene nastavnici
Parabola "Sve je u tvojim rukama"
Nekada davno, u jednom gradu, živio je veliki mudrac. Slava o njegovoj mudrosti pronijela se daleko po njegovom rodnom gradu, ljudi iz daleka su mu dolazili po savjet. Ali u gradu je bio čovjek koji je bio ljubomoran na njegovu slavu. Jednom je došao na livadu, uhvatio leptira, posadio ga među zatvorene dlanove i pomislio: „Pusti me da odem do mudraca i da ga pitam: reci mi, o najmudrije, koji je leptir u mojim rukama – živ ili mrtav? Ako kaže mrtav, otvoriću dlanove, leptir će odleteti, ako kaže živ, zatvoriću dlanove i leptir će umrijeti. Tada će svi shvatiti ko je od nas pametniji.” Tako se sve dogodilo. Neki zavidnik je došao u grad i upitao mudraca: "Reci mi, o, najmudriji, koji je leptir u mojim rukama - živ ili mrtav?" pametna osoba, rekao: “Sve je u vašim rukama”
Potpuna spremnost učionice i opreme za rad; brzo integrisanje časa u poslovni ritam, organizovanje pažnje svih učenika

Svrha lekcije i obrazovnim ciljevima lekcija.

Glavni dio lekcije
Priprema učenika za aktivno, svjesno učenje.
Koji se događaji u našim životima dešavaju uzastopno? Navedite primjere takvih pojava i događaja.

Student odgovara:
dani u sedmici,
imena mjeseci,
starost osobe,
broj bankovnog računa,
dolazi do uzastopne promjene dana i noći,
auto uzastopno ubrzava, redom su numerisane kuće na ulici itd.

Zadatak za grupe:
Rad u grupama, diferenciran pristup
Svaka grupa dobija svoj zadatak. Nakon što ga završe, svaka grupa se javlja razredu, počinju učenici grupe 1.

Zadatak za grupe:
Od učenika se traži da pronađu uzorke i pokažu ih strelicom.

Zadatak za učenike 1 i 2 grupe:
1. grupa:
U rastućem redoslijedu pozitivni neparni brojevi
1/2; 1/3; 1/4; 1/5; 1/6

U opadajućem redoslijedu pravi razlomci sa brojicom jednakim 1
5; 10; 15; 20; 25;

U rastućem redoslijedu pozitivni brojevi koji su višestruki od 5
1; 3; 5; 7; 9;

Grupa 2: pronađite obrasce
6; 8; 16; 18; 36;
Povećati za 3

10; 19; 37; 73; 145;
Naizmjenično povećanje za 2 i povećanje za 2 puta

1; 4; 7; 10; 13;
Povećajte 2 puta i smanjite za 1

Grupa 1 odgovara:
U rastućem redoslijedu pozitivni neparni brojevi (1; 3; 5; 7; 9;)
U opadajućem redosledu, pravi razlomci sa brojicom jednakim 1 (1/2; 1/3; 1/4; 1/5; 1/6)
U rastućem redoslijedu pozitivni brojevi koji su višestruki od 5 (5; 10; 15; 20; 25;)

Odgovori 2 grupe:
1; 4; 7; 10; 13; (Povećanje za 3)
10; 19; 37; 73; 145; (Povećajte za 2 i smanjite za 1)
6; 8; 16; 18; 36; (Naizmjenično 2x uvećanje i 2x uvećanje)
Učenje novog gradiva
- Šta razumeš pod rečju čak?
- Daj mi primjer?
- Sada reci nekoliko parnih brojeva zaredom
- Reci nam sada o neparnim brojevima?
- imenovati uzastopne neparne brojeve
BRAVO!
Brojevi koji formiraju niz nazivaju se, redom, prvi, drugi, treći, itd., n-ti članovi niza.
Članovi niza su označeni na sljedeći način:
a1; a2; a3; a4; an;
Nizovi mogu biti konačni ili beskonačni, rastući ili opadajući.

Rad na flipčartu
xn=3n+2, onda
x5=3,5+2=17;
x45=3,45+2=137.
Rekurentna metoda
Formula koja izražava bilo koji član niza, počevši od nekog, preko prethodnih (jedan ili više), naziva se rekurentna (od latinske riječi recurro - povratak).
Na primjer, niz specificiran pravilom
a1=1; an+1= an +3
može se napisati trotočkom:
1; 4; 7; 10; 13;

Fizički trening 1,2,3,4,5,6,7, ...

4. Objedinjavanje proučenog gradiva (rad u paru, diferencirani pristup)
Svaka grupa dobija individualni zadatak koji samostalno obavlja. Prilikom rješavanja zadataka djeca razgovaraju o rješenju i zapisuju ga u bilježnicu.

Date sekvence:
an=n4 ; an=(-1)nn2 ; an=n +4; an=-n-4; an=2n -5; an=3n -1.
Zadatak za učenike 1. grupe: Nizovi su dati formulama. Popunite članove niza koji nedostaju:
1; ___; 81; ___; 625; ...
-1; 4; ___; ___; -25;
5; ___; ___; ___; 9;
___; -6; ___; ___ ; -9;
___; ___; 3; 11; ___;
2; 8; ___; ___; ___;
vježba:
Zapišite prvih pet članova niza datog formulom njegovog n-tog člana.
Zadatak za grupne studente:
Odredite koji su brojevi članovi ovih nizova i popunite tabelu.

Pozitivni i negativni brojevi

Pozitivni brojevi

Negativni brojevi

Rad sa udžbenicima br. 148, br. 151

Probni rad
1. Niz je dat formulom an=5n+2. Čemu je jednak njegov treći član?
a) 3 b) 17 c) 12 d) 22
2. Zapišite prvih 5 članova niza zadanog formulom an=n-3
a) -3,-2,-1,0,1 b) -2,-1,0,1,2
c) 0,-2,-4,-16,-50 d) 1,2,3,4,5

3. Pronađite zbir prvih 6 članova niza brojeva: 2,4,6,8,
a) 66 b) 36 c) 32 d) 42
4. Koji od sljedećih nizova je beskonačno opadajući:
a) b) 2,4,6,8,
c) d)

Odgovori: 1) b 2) b 3) d 4) d

Živa komunikacija sa nastavnikom

Učenici pronalaze odgovore na postavljena pitanja.

Učenici uče da analiziraju i donose zaključke.

Formira se znanje o tome kako riješiti sistem nejednakosti sa jednom varijablom

Tačni odgovori u procesu dijaloga, komunikacije, aktivnosti učenika

Učenici ispunjavaju zadatak

Riješite sami, provjerite na slajdovima.
Neće se bojati grešaka, sve će im postati jasno na slajdovima.

www. Bilimland.kz

Učenici se savjetuju, rade u grupi, savjetuju se sa nastavnikom, darovitom djecom

Učenici u radu u parovima se sastaju i pronalaze tačna rješenja zadatka.

Učenici ocjenjuju rad druge grupe i daju ocjenu. Rezultati pokazuju da je proučavano gradivo savladano.
Reproduktivna aktivnost učenika je, prije svega, aktivnost učenika koja se reprodukuje po određenom algoritmu, što dovodi do traženog rezultata.

Refleksija
Sumiranje
Dakle, pogledali smo koncept niza i kako ga definirati.
Navedite primjere brojevnog niza: konačan i beskonačan.
Koje metode postavljanja niza poznajete?
Koja formula se zove rekurentna?

Sažmite lekciju i zabilježite najaktivnije učenike. Zahvalite učenicima na njihovom radu na času.
Učenici lijepe bilješke na naljepnice,
o onome što su naučili
šta su novo naučili?
kako ste shvatili lekciju?
da li ti se dopala lekcija?
kako su se osećali na lekciji.

Domaći.
9 №150, №152

Tačni odgovori tokom dijaloga, aktivnosti učenika

Poteškoće u izvođenju domaći zadatak neće biti

Atyrau region
Indersky okrug
Esbol selo
škola nazvana po Zhambylu
nastavnik matematike
najviša kategorija,
certificirani nastavnik
Ja sam napredovao
Iskakova Svetlana Slambekovna

Algebra. 9. razred
Lekcija #32
Datum:_____________
Učiteljica: Gorbenko Alena Sergejevna
Tema: Brojčani niz, metode njegovog specificiranja i svojstva
Tip časa: kombinovani
Svrha lekcije: dati pojam i definiciju niza brojeva, razmotriti načine
zadaci numeričke sekvence
Zadaci:
Obrazovni: upoznati učenike sa pojmom niza brojeva i pojma
numerički niz; upoznati se sa analitičkim, verbalnim, rekurentnim i
grafičke metode specificiranja numeričkog niza; razmotriti vrste brojeva
sekvence; priprema za EAUD;
Razvojni: razvijanje matematičke pismenosti, mišljenja, tehnike računanja, vještina
poređenja pri odabiru formule; razvijanje interesovanja za matematiku;
Obrazovni: razvijanje vještina samostalne aktivnosti; jasnoća i
organizacija na poslu; omogućiti svakom učeniku da postigne uspjeh;
Oprema: Školski pribor, tabla, kreda, udžbenik, materijal.
Napredak lekcije
I. Organizacioni momenat
 Uzajamni pozdrav;
 Evidentiranje odsutnosti;
 Najava teme časa;
 Postavljanje ciljeva i zadataka za čas od strane učenika.
Niz je jedan od najosnovnijih pojmova u matematici. Slijed može
biti sastavljena od brojeva, tačaka, funkcija, vektora, itd.
Danas ćemo se u lekciji upoznati sa konceptom „brojevnog niza“, saznaćemo šta
možda postoje sekvence, hajde da se upoznamo sa poznatim sekvencama.

II. Ažuriranje osnovnih znanja.
Poznajete li funkcije definirane na cijeloj brojevnoj pravoj ili na njenim kontinuiranim pravima?
III.
intervali:
linearna funkcija y = kx+b,
kvadratna funkcija y = ax2+inx+c,


 funkcija y =



 funkcija y =|x|.
Priprema za usvajanje novih znanja
direktna proporcionalnost y = kx,
inverzna proporcionalnost y = k/x,
kubična funkcija y = x3,
,
Ali postoje funkcije definirane na drugim skupovima.
Primjer. Mnoge porodice imaju običaj, neku vrstu rituala: na djetetov rođendan
roditelji ga vode do dovratnika i na njemu svečano obeležavaju visinu slavljenika.
Dijete raste, a tokom godina se na dovratniku pojavljuju čitave ljestve tragova. Tri, pet, dva: To je to
redoslijedom povećanja iz godine u godinu. Ali postoji još jedan niz, a to je
njegovi članovi su uredno ispisani pored serifa. Ovo je niz vrijednosti visine.
Ove dvije sekvence su povezane jedna s drugom.
Drugi se dobija od prvog zbrajanjem.
Rast je zbir povećanja u odnosu na sve prethodne godine.
Razmotrite još nekoliko problema.
Problem 1. U skladištu ima 500 tona uglja, svaki dan se isporučuje 30 tona uglja
na lageru za 1 dan? Dan 2? Dan 3? Dan 4? Dan 5?
(Odgovori učenika su napisani na tabli: 500, 530, 560, 590, 620).
Zadatak 2. Tokom perioda intenzivnog rasta, osoba raste u prosjeku za 5 cm godišnje. Sada rast
student S. ima 180 cm koliko će biti visok 2026. godine? (2m 30 cm). Ali ovo se neće dogoditi
Možda. Zašto?
Problem 3. Svaki dan, svaka osoba sa gripom može zaraziti 4 osobe oko sebe.
Za koliko dana će se svi učenici u našoj školi (300 ljudi) razboljeti? (Nakon 4 dana).
Ovo su primjeri funkcija definiranih na skupu prirodnih brojeva - numeričkim
sekvence.
Cilj lekcije je: pronaći načine da pronađete bilo koji član niza.
Ciljevi lekcije: Saznajte šta je niz brojeva i kako ga postaviti
sekvence.
IV. Učenje novog gradiva
Definicija: Brojčani niz je funkcija definirana na skupu
prirodni brojevi (nizovi se sastoje od takvih elemenata prirode da
može se numerisati).
Koncept niza brojeva nastao je i razvio se mnogo prije stvaranja doktrine o
funkcije. Evo primjera nizova beskonačnih brojeva poznatih u prošlosti
starine:
1, 2, 3, 4, 5, : niz prirodnih brojeva;
2, 4, 6, 8, 10, : niz parnih brojeva;
1, 3, 5, 7, 9, : niz neparnih brojeva;
1, 4, 9, 16, 25, : niz kvadrata prirodnih brojeva;
2, 3, 5, 7, 11, : sekvenca prosti brojevi;
,
1,
Broj članova svake od ovih serija je beskonačan; prvih pet sekvenci
, : niz brojeva koji su inverzni prirodnim brojevima.
,
monotono raste, a ovo drugo monotono opada.

Oznaka: y1, y2, y3, y4, y5,:
1, 2, 3, 4, 5, :n,: redni broj člana niza.
(gore) sekvenca, najviši član niza.
(an) sekvenca, ant član niza.
1 prethodni član niza,
+1 sljedeći član niza.
Nizovi mogu biti konačni i beskonačni, rastući i opadajući.
Zadaci za učenike: Zapišite prvih 5 članova niza:
Od prvog prirodnog broja povećaj za 3.
Od 10, povećanje je 2 puta, a smanjenje je 1.
Od broja 6, naizmjenično povećavajte za 2 i povećavajte za 2 puta.
Ovi brojčani nizovi se takođe nazivaju nizovi brojeva.
Metode za određivanje sekvenci:
Verbalna metoda.
Pravila za određivanje niza su opisana riječima, bez specificiranja formula ili
kada ne postoji obrazac između elemenata niza.
Primjer 1. Niz prostih brojeva: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, .... .
Primjer 2. Proizvoljan skup brojeva: 1, 4, 12, 25, 26, 33, 39, ... .
Primjer 3. Niz parnih brojeva 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ...
Analitička metoda.
Bilo koji n-ti element niza može se odrediti pomoću formule.
Primjer 1. Niz parnih brojeva: y = 2n.
Primjer 2. Niz kvadrata prirodnih brojeva: y = n2;
1, 4, 9, 16, 25, ..., n2, ... .
Primjer 3. Stacionarni niz: y = C; C, C, C, ..., C, ...
Poseban slučaj: y = 5; 5, 5, 5, ..., 5, ... .
Primjer 4. Niz y = 2n;
2, 22, 23, 24, ..., 2n, ... .
Rekurentna metoda.
Odredite pravilo koje vam omogućava da izračunate n-ti element niza if
njeni prethodni elementi su poznati.
Primjer 1. Aritmetička progresija: a1=a, an+1=an+d, gdje su a i d date brojeve, d
razlika aritmetičke progresije. Neka je onda a1=5, d=0,7 aritmetička progresija
će izgledati kao: 5; 5.7; 6.4; 7.1; 7.8; 8.5; ... .
Primjer 2. Geometrijska progresija: b1= b, bn+1= bnq, gdje su b i q dati brojevi, b
0,
0; q je imenilac geometrijske progresije. Neka je b1=23, q=½, zatim geometrijski
q
progresija će izgledati ovako: 23; 11.5; 5,75; 2.875; ... .
4) Grafička metoda. Redoslijed brojeva
je dato grafom koji predstavlja
izolovane tačke. Apscise ovih tačaka su prirodne
brojevi: n=1; 2; 3; 4; ... . Ordinate - vrijednosti članova
sekvence: a1; a2; a3; a4;…
Primjer: Zapišite svih pet članova niza brojeva,
grafički navedeno.
Rješenje.
Svaka tačka u ovome koordinatna ravan ima
koordinate (n; an). Zapišimo koordinate označenih tačaka
uzlazna apscisa n.
Dobijamo: (1; 3), (2; 1), (3; 4), (4; 6), (5; 7).
Prema tome, a1= 3; a2=1; a3=4; a4=6; a5 =7.

Odgovor: 3; 1; 4; 6; 7.
V. Primarna konsolidacija proučenog materijala
Primjer 1. Kreirajte moguću formulu za n-ti element niza (yn):
a) 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...;
b) 4, 8, 12, 16, 20, ...;
Rješenje.
a) Ovo je niz neparnih brojeva. Analitički ovaj niz može biti
postavljena formulom y = 2n+1.
b) Ovo je niz brojeva u kojem je sljedeći element veći od prethodnog
sa 4. Analitički se ovaj niz može dati formulom y = 4n.
Primjer 2. Zapišite prvih deset elemenata niza datih rekurzivno: y1=1,
y2=2, yn = yn2+yn1, ako je n = 3, 4, 5, 6, ... .
Rješenje.
Svaki naredni element ovog niza jednak zbiru dva prethodna
elementi.
y1=1;
y2=2;
y3=1+2=3;
y4=2+3=5;
y5=3+5=8;
y6=5+8=13;
y7=8+13=21;
y8=13+21=34;
y9=21+34=55;
y10=34+55=89.
VI. Sumiranje lekcije. Refleksija
1. Šta ste uspjeli da završite zadatak?
2. Da li je rad bio koordiniran?
3. Šta po vašem mišljenju nije uspjelo?

Praktični rad br. 13

Specificiranje numeričkih nizova na različite načine, izračunavanje termina niza. Pronalaženje granica sekvence i funkcije

Cilj: naučiti pisati numeričke nizove na različite načine, opisati njihova svojstva; pronaći granice sekvenci i funkcija.

Kratka teorija

Funkcija y=f (n) prirodnog argumenta n (n=1; 2; 3; 4;...) naziva se niz brojeva.

Postoje sljedeći načini za određivanje niza brojeva:

Verbalna metoda. Predstavlja obrazac ili pravilo za raspored članova niza, opisanih riječima.

Analitička metoda. Niz je dat formulom n-tog člana: y n =f(n). Koristeći ovu formulu, možete pronaći bilo koji član niza.

Rekurentna metoda. Specificirana je formula po kojoj se svaki sljedeći pojam nalazi kroz prethodne pojmove. U slučaju rekurentne metode specificiranja funkcije, jedan ili nekoliko prvih članova niza se uvijek dodatno specificiraju.

Poziva se brojčani niz povećanje, ako su njegovi članovi rastući (y n+1 y n) i opadajući ako su njegovi članovi se smanjuju(y n+1 n).

Poziva se rastući ili opadajući niz brojeva monotono.

Neka biti tačka na liniji i neka biti pozitivan broj. Interval se naziva susedstvo tačke, a broj je poluprečnik susedstva.

Razmotrimo niz brojeva čiji se zajednički termin približava nekom broju b kako se redni broj povećava n. U ovom slučaju se kaže da brojčani niz ima ograničenje. Ovaj koncept ima strožiju definiciju.

Broj b naziva se granica niza (y n) ako se u bilo kojoj unaprijed odabranoj okolini točke b nalaze svi članovi niza, počevši od određenog broja

Teorema 1 Ako , onda:

Granica zbroja/razlike dva niza jednaka je zbiru/razlici granica svakog od njih, ako potonji postoje:

Granica proizvoda dva niza jednaka je proizvodu granica svakog od njih, ako postoje granice faktora:

Granica omjera dva niza jednaka je omjeru granica svakog od njih, ako te granice postoje i granica nazivnika nije nula:

Za bilo koji prirodni pokazatelj m i bilo koji koeficijent k vrijedi sljedeća relacija:

Teorema 1 Ako , onda:

Granica zbira/razlike dvije funkcije jednaka je zbiru/razlici granica svake od njih, ako ove druge postoje:

;

Granica proizvoda dvije funkcije jednaka je proizvodu granica svake od njih, ako postoje granice faktora:

Granica omjera dvije funkcije jednaka je omjeru granica svake od njih, ako te granice postoje, a granica nazivnika nije jednaka nuli:

Konstantni faktor se može uzeti izvan graničnog znaka:

Funkcija y=f(x) se naziva kontinuiranom u tački x=a ako je granica funkcije y=f(x) dok x teži ka a jednaka vrijednosti funkcije u tački x=a.

Prva izuzetna granica: .

Praktični zadaci za rad u učionici

Definirajte niz analitički i pronađite prvih pet članova ovog niza:

a) svaki prirodni broj povezan je sa svojim suprotnim brojem;

b) svakom prirodnom broju pridružuje se kvadratni korijen ovog broja;

c) svaki prirodni broj povezan je sa brojem -5;

d) svakom prirodnom broju je dodeljena polovina njegovog kvadrata.

2. Koristeći datu formulu za n-ti član, izračunaj prvih pet članova niza (y n):

3. Da li je niz ograničen?

4. Da li se sekvenca smanjuje ili povećava?

5. Zapišite susjedstvo tačke a=-3 radijusa r=0,5 kao interval.

6. Okruženje koje tačke i poluprečnika je interval (2,1;2,3).

7. Izračunajte granicu niza:

8. Izračunajte:

Samostalan rad

Opcija 1

dio A

Dio B

Dio C

7. Izračunajte:

Opcija 2

dio A

Dio B

6. Izračunajte granicu niza:

Dio C

7. Izračunajte:

Opcija 3

dio A

Dio B

6. Izračunajte granicu niza:

Dio C

7. Izračunajte:

Opcija 4

dio A

Dio B

6. Izračunajte granicu niza:

Dio C

7. Izračunajte:

Sigurnosna pitanja

Šta je niz brojeva?

Na koje načine možete odrediti niz brojeva?

Koji niz se naziva ograničenim iznad?

Koji niz se naziva ograničenim ispod?

Koji niz se naziva rastućim?

Koji niz se naziva opadajućim?

Šta se zove granica brojevnog niza?

Navedite pravila za izračunavanje granica nizova.

Navedite pravila za izračunavanje granica funkcija.

Vida y= f(x), x O N, Gdje N– skup prirodnih brojeva (ili funkcija prirodnog argumenta), označen y=f(n) ili y 1 ,y 2 ,…, y n,…. Vrijednosti y 1 ,y 2 ,y 3 ,… nazivaju se redom prvi, drugi, treći, ... članovi niza.

Na primjer, za funkciju y= n 2 se može napisati:

y 1 = 1 2 = 1;

y 2 = 2 2 = 4;

y 3 = 3 2 = 9;…y n = n 2 ;…

Metode za određivanje sekvenci. Sekvence se mogu specificirati na različite načine, među kojima su tri posebno važna: analitički, deskriptivni i rekurentni.

1. Niz je zadan analitički ako je data njegova formula nčlan:

y n=f(n).

Primjer. y n= 2n – 1 – niz neparnih brojeva: 1, 3, 5, 7, 9, …

2. Deskriptivna Način specificiranja numeričkog niza je da se objasni od kojih elemenata je niz izgrađen.

Primjer 1. "Svi članovi niza su jednaki 1." to znači, mi pričamo o tome o stacionarnom nizu 1, 1, 1, …, 1, ….

Primjer 2: "Niz se sastoji od svih prostih brojeva u rastućem redoslijedu." Dakle, dati niz je 2, 3, 5, 7, 11, …. Sa ovom metodom specificiranja niza u ovom primjeru, teško je odgovoriti čemu je, recimo, jednak 1000. element niza.

3. Rekurentna metoda specificiranja niza je specificiranje pravila koje vam omogućava da izračunate n-ti član niza ako su poznati njegovi prethodni članovi. Naziv rekurentna metoda dolazi od latinske riječi rekurentno- vrati se. Najčešće se u takvim slučajevima navodi formula koja omogućava izražavanje n 2. člana niza kroz prethodne i specificirajte 1–2 početna člana niza.

Primjer 1. y 1 = 3; y n = y n–1 + 4 ako n = 2, 3, 4,….

Evo y 1 = 3; y 2 = 3 + 4 = 7;y 3 = 7 + 4 = 11; ….

Možete vidjeti da se sekvenca dobivena u ovom primjeru može odrediti i analitički: y n= 4n – 1.

Primjer 2. y 1 = 1; y 2 = 1; y n = y n –2 + y n–1 ako n = 3, 4,….

ovdje: y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8;

Niz u ovom primjeru se posebno proučava u matematici jer ima niz zanimljivih svojstava i primjena. Zove se Fibonačijev niz, nazvan po italijanskom matematičaru iz 13. veka. Vrlo je lako definirati Fibonačijev niz ponavljajući se, ali vrlo teško analitički. n Fibonačijev broj se izražava kroz njegov serijski broj sljedećom formulom.

Na prvi pogled, formula za n Fibonačijev broj se čini nevjerovatnim, budući da formula koja specificira niz prirodnih brojeva sama sadrži kvadratni korijeni, ali možete "ručno" provjeriti valjanost ove formule za prvih nekoliko n.

Svojstva brojčanih nizova.

Numerički niz je poseban slučaj numeričke funkcije, stoga se brojna svojstva funkcija također razmatraju za nizove.

Definicija . Slijed ( y n} naziva se rastućim ako je svaki njegov član (osim prvog) veći od prethodnog:

y 1 y 2 y 3 y n y n +1

Definition.Sequence ( y n} naziva se opadajućim ako je svaki njegov član (osim prvog) manji od prethodnog:

y 1 > y 2 > y 3 > … > y n> y n +1 > … .

Rastući i opadajući nizovi se kombinuju pod zajedničkim pojmom - monotoni nizovi.

Primjer 1. y 1 = 1; y n= n 2 – rastući niz.

Dakle, tačna je sljedeća teorema (karakteristično svojstvo aritmetičke progresije). Brojevni niz je aritmetički ako i samo ako je svaki njegov član, osim prvog (i posljednjeg u slučaju konačnog niza), jednak aritmetičkoj sredini prethodnog i narednih članova.

Primjer. Po kojoj vrednosti x brojevi 3 x + 2, 5x– 4 i 11 x+ 12 formira konačnu aritmetičku progresiju?

Prema karakteristično svojstvo, dati izrazi moraju zadovoljiti relaciju

5x – 4 = ((3x + 2) + (11x + 12))/2.

Rješavanje ove jednačine daje x= –5,5. Na ovoj vrijednosti x dati izrazi 3 x + 2, 5x– 4 i 11 x+ 12 uzimaju, respektivno, vrijednosti -14,5, –31,5, –48,5. Ovo je aritmetička progresija, njena razlika je –17.

Geometrijska progresija.

Numerički niz čiji su svi članovi različiti od nule i svaki od njih, počevši od drugog, dobija se iz prethodnog člana množenjem istim brojem q, naziva se geometrijska progresija, a broj q- imenilac geometrijske progresije.

Dakle, geometrijska progresija je niz brojeva ( b n), definisan rekurzivno relacijama

b 1 = b, b n = b n –1 q (n = 2, 3, 4…).

(b I q – dati brojevi, b ≠ 0, q ≠ 0).

Primjer 1. 2, 6, 18, 54, ... – rastuća geometrijska progresija b = 2, q = 3.

Primjer 2. 2, –2, 2, –2, … – geometrijska progresija b= 2,q= –1.

Primjer 3. 8, 8, 8, 8, … – geometrijska progresija b= 8, q= 1.

Geometrijska progresija je rastući niz ako b 1 > 0, q> 1, a opadajuće ako b 1 > 0, 0 q

Jedno od očiglednih svojstava geometrijske progresije je da ako je niz geometrijska progresija, onda je i niz kvadrata, tj.

b 1 2 , b 2 2 , b 3 2 , …, b n 2,... je geometrijska progresija čiji je prvi član jednak b 1 2 , a imenilac je q 2 .

Formula n- th član geometrijske progresije ima oblik

b n= b 1 qn– 1 .

Možete dobiti formulu za zbir članova konačne geometrijske progresije.

Neka je dana konačna geometrijska progresija

b 1 ,b 2 ,b 3 , …, b n

neka S n – zbir njenih članova, tj.

S n= b 1 + b 2 + b 3 + … +b n.

To je prihvaćeno q br. 1. Odrediti S n koristi se umjetna tehnika: izvode se neke geometrijske transformacije izraza S n q.

S n q = (b 1 + b 2 + b 3 + … + b n –1 + b n)q = b 2 + b 3 + b 4 + …+ b n+ b n q = S n+ b n q– b 1 .

dakle, S n q= S n +b n q – b 1 i stoga

Ovo je formula sa umma n pojmove geometrijske progresije za slučaj kada q≠ 1.

At q= 1 formula se ne mora izvoditi odvojeno, očigledno je da je u ovom slučaju S n= a 1 n.

Progresija se naziva geometrijska jer je svaki član u njoj, osim prvog, jednak geometrijskoj sredini prethodnog i narednih članova. Zaista, pošto

bn=bn- 1 q;

bn = bn+ 1 /q,

dakle, b n 2=bn– 1 bn+ 1 i tačna je sljedeća teorema (karakteristično svojstvo geometrijske progresije):

niz brojeva je geometrijska progresija ako i samo ako je kvadrat svakog njegovog člana, osim prvog (i posljednjeg u slučaju konačnog niza), jednak proizvodu prethodnog i narednog člana.

Granica konzistencije.

Neka postoji niz ( c n} = {1/n}. Ovaj niz se naziva harmonijskim, jer je svaki njegov član, počevši od drugog, harmonijska sredina između prethodnog i narednog člana. Geometrijska sredina brojeva a I b postoji broj

Inače se niz naziva divergentan.

Na osnovu ove definicije može se, na primjer, dokazati postojanje granice A=0 za harmonijski niz ( c n} = {1/n). Neka je ε proizvoljno mali pozitivan broj. Razlika se uzima u obzir

Da li tako nešto postoji? N to je za sve n ≥ N važi nejednakost 1 /N ? Ako to uzmemo kao N bilo koji prirodni broj, prekoračenje 1/ε , zatim za sve n ≥ N važi nejednakost 1 /n ≤ 1/N ε , Q.E.D.

Dokazivanje prisustva ograničenja za određeni niz ponekad može biti vrlo teško. Najčešći nizovi su dobro proučeni i navedeni su u referentnim knjigama. Postoje važne teoreme koje vam omogućavaju da zaključite da dati niz ima ograničenje (pa čak i izračunate ga), na osnovu već proučavanih nizova.

Teorema 1. Ako niz ima ograničenje, onda je ograničen.

Teorema 2. Ako je niz monotoničan i ograničen, onda ima granicu.

Teorema 3. Ako je niz ( a n} ima ograničenje A, zatim sekvence ( ca n}, {a n+ c) i (| a n|} imaju granice cA, A +c, |A| shodno tome (ovde c– proizvoljan broj).

Teorema 4. Ako su nizovi ( a n} i ( b n) imaju granice jednake A I B pa n + qbn) ima ograničenje pA+ qB.

Teorema 5. Ako su nizovi ( a n) I ( b n)imaju granice jednake A I B shodno tome, onda sekvenca ( a n b n) ima ograničenje AB.

Teorema 6. Ako su nizovi ( a n} i ( b n) imaju granice jednake A I B shodno tome, i, pored toga, b n ≠ 0 i B≠ 0, zatim niz ( a n / b n) ima ograničenje A/B.

Anna Chugainova

NUMERIČKI NISOVI VI

§ 127. Numerički nizovi i metode za njihovo određivanje. Konačni i beskonačni nizovi.

Razmotrite sljedeća tri skupa brojeva:

Prirodno je pretpostaviti da je svakom broju u bilo kojoj od ovih zbirki dodijeljen broj u skladu s mjestom koje zauzima u ovoj kolekciji. Na primjer, u drugom setu broj 1 je broj 1, broj 1/2 je broj 2, broj 1/3 je broj 3, itd.

Naprotiv, bez obzira koji broj naznačimo, u svakoj od ovih zbirki postoji broj opremljen ovim brojem. Na primjer, broj 2 u prvom nizu ima broj 2, u drugom - broj - 1/2, u trećem - broj sin 2. Slično, broj 10 ima: u prvom nizu - broj 10, u drugi - broj - 1/10, u trećem - broj sin 10, itd. Dakle, u gornjim agregatima svaki broj ima vrlo specifičan broj i u potpunosti je određen ovim brojem.

Zbirka brojeva, svaki sa svojim brojem n (n = 1, 2, 3, ...), naziva se niz brojeva.

Pojedinačni brojevi niza nazivaju se njegovim pojmovima i obično se označavaju na sljedeći način: prvi član a 1, drugo a 2 , .... n th član a n itd. Cijeli niz brojeva je označen

a 1 , a 2 , a 3 , ... , a n, ... ili ( a n }.

Specificirati numerički niz znači naznačiti kako se pronalazi jedan ili drugi njegov član ako je poznat broj mjesta koje zauzima. Ima ih mnogo na razne načine dodjele nizova brojeva. U nastavku ćemo pogledati neke od njih.

1. Obično se numerički niz specificira pomoću formule koja vam omogućava da odredite ovaj član po broju člana niza. Na primjer, ako se zna da za bilo koje n

a n = n 2 ,

a 1 = 1, a 2 = 4, a 3 = 9

itd. Kada a n= grijeh π / 2 n dobićemo: a 1 = greh π / 2 = 1, a 2 = greh π = 0, a 3 = greh 3 π / 2 = - 1, a 4 = greh 2 π = 0, itd.

Formula koja vam omogućava da pronađete bilo koji član numeričkog niza po njegovom broju naziva se formula za opšti član numeričkog niza.

2. Postoje slučajevi kada je niz specificiran opisom njegovih članova. Na primjer, kažu da je sekvenca

1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; ...

sastavljena od približnih vrijednosti √2 sa nedostatkom tačnim do 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 itd. U takvim slučajevima ponekad je uopšte nemoguće utvrditi formulu opšteg pojma; ipak, čini se da je redoslijed potpuno definiran.

3. Ponekad se specificira prvih nekoliko pojmova niza, a svi ostali termini se određuju ovim datim terminima prema jednom ili onom pravilu. Neka, na primjer,

a 1 = 1, a 2 = 1,

a svaki naredni termin je definisan kao zbir prethodna dva. Drugim riječima, za bilo koje n > 3

a n = a n- 1 + a n- 2

Tako se definiše niz brojeva 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ..., čiji se članovi nazivaju „Fibonačijevi brojevi“ [po italijanskom matematičaru Leonardu iz Pize (oko 1170-1250), koji se zvao i Fibonači, što znači "Bonačev sin". zanimljiva svojstva, čije razmatranje, međutim, izlazi iz okvira našeg programa.

Niz može sadržavati konačan ili beskonačan broj pojmova.

Niz koji se sastoji od konačnog broja članova naziva se konačnim, a niz koji se sastoji od beskonačnog broja članova naziva se beskonačnim nizom.

Na primjer, niz svih parnih pozitivnih brojeva 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... je beskonačan, ali je niz jednocifrenih parnih pozitivnih brojeva 2, 4, 6, 8 konačan.

Vježbe

932. Napiši prva 4 broja niza sa zajedničkim pojmom:

933. Pronađite formulu za zajednički pojam za svaki od datih nizova:

a) 1, 3, 5, 7, 9, ... ; . e) tg 45°, tg 22°30", tg 11°15", ... ;

b) 2, 4, 6, 8, 10, ... ; e) 1, - 1/2, 1/4, - 1/8, 1/16, ...;

c) 3, -3, 3, -3, 3, ... ; g) 1, 9, 25, 49, 81.....

d) 1/3, 1/9, 1/27, 1/81, ....;

934. Je li niz svih pozitivnih korijena jednadžbe konačan:

a) grijeh x = x - 1; b) tg X = X ; c) grijeh x = ax + b ?